Παρουσίαση 5 η : Εισαγωγή στα σήματα

Transcript

1 Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση 5 η : Εισαγωγή στα σήματα Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

2 Περιεχόμενα του μαθήματος (1) ΕΝΟΤΗΤΑ 2 η Σήματα και ανάλυση Fourier (ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η ) Εισαγωγή στα σήματα (Ορισμοί, κατηγορίες σημάτων, βασικά σήματα συνεχή και διακριτά, κατηγορίες συστημάτων) Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier (Ολοκληρώματα, σειρές, ιδιότητες, μιγαδικές εκφράσεις, παραδείγματα, ανάλυση σε συνιστώσες συχνοτήτων, σειρές στο τετράγωνο και στον κύκλο, παραδείγματα υπολογισμού) Μετασχηματισμοί Fourier (Από τα ολοκληρώματα σειρές στους μετασχηματισμούς, παραδείγματα, χαρακτηριστικοί μετασχηματισμοί, ιδιότητες και αποδείξεις)

3 Περιεχόμενα του μαθήματος (2) Διακριτός μετασχηματισμός Fourier (Διαφορές από το συνεχή μετασχηματισμό, θεώρημα δειγματοληψίας, συχνότητα Nyquist, ιδιότητες, υπολογισμοί, προβλήματα, φασματική διαρροή, παραποίηση, ταχύς μετασχηματισμός Fourier FFT, παραδείγματα)

4 Βιβλιογραφία ΕΝΟΤΗΤΑ 2 η Hsu, H. P. (1995): Signals and Systems, Schaum s Outlines eds. Proakis, J.G. and D.G. Manolakis (2006): Digital Signal Processing, Fourth ed., Pearson, Prentice Hall eds. Spiegel, M.R. (1974): Ανάλυση Fourier. Schaum s Outline Series. McGraw-Hill, ΕΣΠΙ Αθήνα. Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice Hall eds. Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill eds.

5 Σήματα και γεωεπιστήμες Περιεχόμενα παρουσίασης Ορισμοί κατηγορίες σημάτων Βασικά συνεχή και διακριτά σήματα και τρόποι κατασκευής τους Συστήματα και κατηγορίες συστημάτων Η αξιοποίηση των φασματικών τεχνικών στις γεωεπιστήμες

6 Σήματα και γεωεπιστήμες Σήματα στις γεωεπιστήμες τελευταία 30ετία Οι μαθηματικές αναλύσεις της επιστήμης των ηλεκτρονικών εφαρμόζονται και στην περιγραφή φυσικών συστημάτων Η αντιμετώπιση των παρατηρήσεων ως σήματα δίνει τη δυνατότητα απλούστερων μαθηματικών υπολογισμών ταχύτεροι υπολογισμοί και διαχείριση μεγάλου όγκου δεδομένων Τα πεδία των σημάτων μπορεί να είναι από απλές χρονοσειρές έως τρισδιάστατα πεδία σημάτων περιγραφής του χώρου

7 Σήματα και γεωεπιστήμες Satellite Laser Ranging Electromagnetic Distance Measurement Satellite Altimetry Global Navigation Satellite Systems Very Long Baseline Interferometry

8 Σήματα και γεωεπιστήμες Geoid estimation Geophysics and Geodynamics

9 Ορισμοί Η έννοια του σήματος και του συστήματος είναι απαραίτητη σχεδόν σε κάθε κλάδο της επιστήμης του ηλεκτρονικού μηχανικού, αλλά και σε σύγχρονες εφαρμογές της επιστήμης της Γεωπληροφορικής Σήμα συνάρτηση που αναπαριστά μία φυσική ποσότητα ή μεταβλητή και τυπικά περιέχει πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά ή τη φύση του φαινομένου Ανεξάρτητη μεταβλητή συνήθως χρόνος (αλλά και συντεταγμένες χώρου μήκος)

10 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με τη μορφή της ανεξάρτητης μεταβλητής t Συνεχές σήμα (continuous-time signal) ανεξάρτητη μεταβλητή συνεχούς μορφής x(t) Διακριτό σήμα (discrete-time signal) ανεξάρτητη μεταβλητή t διακριτής μορφής x[n] ή x{n} (n ακέραιος διακριτός αριθμός) Εφόσον ένα διακριτό σήμα ορίζεται σε διακριτές τιμές του t συνήθως ταυτοποιείται ως μία σειρά αριθμών (sequence of numbers)

11 Κατηγορίες σημάτων Ένα διακριτό σήμα αναπαριστά ένα φυσικό φαινόμενο με διακριτή ανεξάρτητη μεταβλητή t x[n], π.χ. θερμοκρασία τις στιγμές της μέτρησης Ένα διακριτό σήμα μπορεί να προκύψει από ένα συνεχές με μία διαδικασία που ονομάζεται διακριτοποίηση ή δειγματοληψία (sampling) Οι διακριτές τιμές κατά τη μετατροπή από συνεχές σε διακριτό ονομάζονται δειγματικές τιμές (samples) και το διάστημα των δειγμάτων διάστημα δειγματοληψίας (sampling interval)

12 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με διαστάσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Μονοδιάστατα σήματα (one-dimensional signals) συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής, π.χ., χρονοσειρές παλίρροιας Διδιάστατα σήματα (two-dimentional signals) συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών, π.χ., εικόνα, πεδίο ανωμαλιών βαρύτητας, κ.λπ. Παλίρροιες στερεού φλοιού Ανωμαλίες ελευθέρου αέρα

13 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με τις συνιστώσες της συνάρτησης του σήματος (εξαρτημένη μεταβλητή) Πολυκάναλα σήματα (multichannel signals) σήματα που μπορούν να διακριθούν σε συνιστώσες, π.χ., μελέτη σεισμικών κυμάτων μετά από σεισμό: συνιστώσες στον άξονα ανατολής δύσης, βορρά νότου (Swaves) και εγκάρσια συνιστώσα (P-wave)

14 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με τις τιμές που λαμβάνει στο πεδίο ορισμού του Ένα συνεχές σήμα x(t) λαμβάνει οποιαδήποτε τιμή στο συνεχές διάστημα (a, b) αναλογικό σήμα (analog signal) (a και b μπορεί -, + ) Ένα διακριτό σήμα x[n] που μπορεί να λάβει συγκεκριμένες τιμές στο διάστημα ορισμού του ψηφιακό σήμα (digital signal)

15 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με το χώρο των συναρτήσεων, στις οποίες αντιστοιχεί Πραγματικό σήμα (real signal) οι τιμές της συνάρτησης ανήκουν στο χώρο των πραγματικών αριθμών Μιγαδικό σήμα (complex signal) οι τιμές της συνάρτησης x(t) ανήκουν στο χώρο των μιγαδικών αριθμών (πραγματικό και φανταστικό μέρος) j = 1 x x ( t) x ( t) jx ( t) [ n] = x [ n] + jx [ n] = Πραγματικά σήματα 1 2

16 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με τη στατιστική συμπεριφορά τους Ντετερμινιστικά σήματα (deterministic signals) οι τιμές τους είναι καθορισμένες πλήρως για οποιαδήποτε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής t Στοχαστικά ή τυχαία σήματα (stochastic or random signals) οι τιμές που λαμβάνουν είναι τυχαίες και είναι γνωστή μόνο η στατιστική συμπεριφορά τους Γνωστή στατιστική συμπεριφορά (μ, σ 2 ) Προκύπτει από τιμές συγκεκριμένης συνάρτησης

17 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με την απόκρισή τους στην αλλαγή προσήμου της μεταβλητής t ή τη συμμετρία τους ως προς τον άξονα x(t) ή x[n] Άρτια συμμετρικά σήματα (even symmetric signals) όταν ισχύει ( t) = x( t), x[ n] x[ n] x = Περιττά αντισυμμετρικά σήματα (odd antisymmetric signals) όταν ισχύει x ( t) = x( t), x[ n] = x[ n] Κάθε σήμα μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος x ( t) = x ( t) x (t) e + Το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών σημάτων είναι άρτιο σήμα ενώ το γινόμενο ενός άρτιο με ένα περιττό σήμα είναι περιττό σήμα o

18 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με την περιοδικότητά εμφάνισής τους Περιοδικά σήματα (periodic signals) συνεχές σήμα x(t) καλείται περιοδικό με περίοδο Τ όταν Τ > 0 και ( t + T ) x( t) x =, για κάθε t Ισχύει επίσης: ( t + mt ) x( t) x = Θεμελιώδης περίοδος (fundamental period) T o η μικρότερη θετική τιμή του Τ για την οποία ισχύει

19 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με την περιοδικότητά εμφάνισής τους Περιοδικά σήματα (periodic signals) διακριτό σήμα x[n] καλείται περιοδικό με περίοδο N όταν N > 0 και [ n + N ] x[ n] x =, για κάθε n Ισχύει επίσης: [ n + mn] x[ n] x = Θεμελιώδης περίοδος Ν ο ο μικρότερος θετικός ακέραιος Ν για τον οποίο ισχύει

20 Κατηγορίες σημάτων Ανάλογα με την περιοδικότητά εμφάνισής τους Ιδιότητες περιοδικότητας: Μία σειρά, η οποία λαμβάνεται με τη διαδικασία ομογενούς δειγματοληψίας (uniform sampling) ενός περιοδικού συνεχούς σήματος μπορεί να μην είναι περιοδική Το άθροισμα δύο συνεχών περιοδικών σημάτων μπορεί να μην είναι περιοδικό, ενώ το άθροισμα δύο περιοδικών σειρών είναι πάντοτε περιοδικό

21 Κατηγορίες σημάτων Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για συνεχή σήματα Για αυθαίρετο συνεχές σήμα x(t) Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός σήματος 1 P = lim T T ( t) 2 E = x dt T / 2 T / 2 x ( t) 2 dt

22 Κατηγορίες σημάτων Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για διακριτά σήματα (σειρές) Για αυθαίρετο διακριτό σήμα x[n] Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος E = n= x [ n] 2 Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός σήματος P 1 = lim 2N N + 1 N n = N x [ n] 2

23 Σήματα Ενέργειας και Ισχύος Κατηγορίες σημάτων Με τη βοήθεια των παραπάνω ορισμών μετριέται το «μέγεθος» ενός σήματος Η ενέργεια ενός σήματος δίνεται από το εμβαδόν της περιοχής που καλύπτει το τετράγωνο της συνάρτησης Αρνητική τιμή της συνάρτησης δεν αφαιρεί ενέργεια για τον υπολογισμό λαμβάνεται η απόλυτη τιμή

24 Κατηγορίες σημάτων Το πρόβλημα με τον υπολογισμό της ενέργειας ενός σήματος παρουσιάζεται όταν το σήμα δεν διακόπτεται άπειρη ενέργεια Στη περίπτωση αυτή η ενέργεια θεωρείται ακατάλληλη για το υπολογισμό του «μεγέθους» χρήση της ισχύος Η ισχύς αντιπροσωπεύει την ενέργεια ανά μονάδα χρόνου (ή χώρου)

25 Κατηγορίες σημάτων Κατηγορίες σημάτων ενέργειας και ισχύος Ένα σήμα ονομάζεται σήμα ενέργειας (energy signal) όταν και μόνο όταν 0 < E < P = 0 Ένα σήμα ονομάζεται σήμα ισχύος (power signal) όταν και μόνο όταν 0 < P < E = Σημείωση: ένα περιοδικό σήμα είναι ένα σήμα ισχύος εάν η περιεχόμενη ενέργεια ανά περίοδο είναι πεπερασμένη και η μέση ισχύς του χρειάζεται να υπολογιστεί μόνο μέσα σε μία περίοδο

26 Βασικά συνεχή σήματα Μοναδιαία συνάρτηση βηματισμού Unit step function (Heaviside) Ορισμός ( ) < > = t t t u ( ) < > = o o o t t t t t t u 0 1

27 Βασικά συνεχή σήματα Μοναδιαία συνάρτηση βηματισμού Unit step function (Heaviside) Εντολές MATLAB octave (packages signal, control, symblink) 1 0 t > 0 u ( t) = u( t t ) t < 0 o 1 = 0 t t > t < t o o >> n=-10:0.001:10; >> y=heaviside(n); >> plot(n,y) >> n=-10:0.001:10; >> y=heaviside(n-3); >> plot(n,y)

28 Βασικά συνεχή σήματα Μοναδιαία συνάρτηση παλμού Unit impulse function (Dirac delta) Είναι γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα του Dirac δ(t). Αποτελεί μία σημαντική συνάρτηση στην ανάλυση συστημάτων δ(t) το όριο μίας κατάλληλα επιλεγμένης συμβατικής συνάρτησης με εμβαδό ίσο με τη μονάδα δ ( t) 0 = t t 0 = 0 ε εδ ( t) dt = 1 ε 0 1 ε ε

29 Βασικά συνεχή σήματα Μοναδιαία συνάρτηση παλμού Unit impulse function (Dirac delta) Μαθηματικά ορίζεται και ως: φ ( t) δ( t) dt = φ( 0) Η συνάρτηση υστέρησης δέλτα (delayed delta function) ορίζεται σύμφωνα με τα παραπάνω φ ( t) δ( t t ) dt = φ( ) 0 t 0

30 Βασικά συνεχή σήματα Μοναδιαία συνάρτηση παλμού Unit impulse function (Dirac delta) Η παράγωγος της μοναδιαίας συνάρτησης βηματισμού ως προς την μεταβλητή t είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac δ ( ) = u ( t) t = du dt ( t) Κάποιες ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα δ 1 a ( at) = δ( t) x ( t) δ( t) = x( 0) δ( t) δ ( t) = δ( t) x( t) δ( t t ) ( ) ( ) 0 = x t0 δ t t0 Εντολές MATLAB octave (packages signal, control, symblink) >> dirac(1) ans = 0 >> dirac(0) ans = Inf >>

31 Ορίζεται ως Βασικά συνεχή σήματα Μιγαδικό εκθετικό σήμα Complex exponential signal jω t ( t) = e x 0 Πολύ σημαντικό σήμα στις αναλύσεις Fourier Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler είναι δυνατό να οριστεί και ως x j 0t ( t) = e ω = cosω t + j ω t 0 sin 0 Είναι ένα μιγαδικό σήμα του οποίου το πραγματικό μέρος είναι το cosω 0 t και το φανταστικό μέρος το sinω 0 t Το μιγαδικό εκθετικό σήμα είναι περιοδικό. Η θεμελιώδης περίοδός του είναι T 0 = 2π ω 0

32 Βασικά συνεχή σήματα Μιγαδικό εκθετικό σήμα Complex exponential signal Γενική μορφή: έστω s = σ + jω x st ( σ+ jω) t σt σt σt ( t) = e = e = e ( cosωt + jsin ωt) = e cosωt + je sin ωt Πραγματικό μέρος Φανταστικό μέρος Όταν σ > 0 το σήμα ονομάζεται εκθετικά αυξανόμενο ημιτονοειδές (συνημιτονοειδές) exponentially increasing sinusoidal signal Όταν σ < 0 το σήμα ονομάζεται εκθετικά ελαττούμενο ημιτονοειδές (συνημιτονοειδές) exponentially decreasing sinusoidal signal

33 Παράδειγμα Βασικά συνεχή σήματα Μιγαδικό εκθετικό σήμα Complex exponential signal

34 Βασικά συνεχή σήματα Πραγματικό εκθετικό σήμα Real exponential signal Πραγματικό εκθετικό σήμα (s = σ πραγματικός αριθμός) x σt ( t) = e σ > 0 σ < 0

35 Βασικά συνεχή σήματα Μιγαδικό εκθετικό σήμα Complex exponential signal Παράδειγμα σχεδίασης μιγαδικού εκθετικού σήματος x j ( π/10) ( t) = e t 0 t 100 >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp(i*w*t); >> plot(t,real(x)) cos( π/10)t >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp(i*w*t); >> plot(t,imag(x)) sin( π/10)t

36 Βασικά συνεχή σήματα Εκθετικά αυξανόμενο ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα σχεδίασης εκθετικά αυξανόμενου ημιτονοειδούς σήματος x ( 1/ 20) + j ( π/10) ( t) = e ( ) t 0 t 100 >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((1/20+i*w)*t); >> plot(t,real(x)) >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((1/20+i*w)*t); >> plot(t,imag(x))

37 Βασικά συνεχή σήματα Εκθετικά ελαττούμενο ημιτονοειδές σήμα Παράδειγμα σχεδίασης εκθετικά ελαττούμενου ημιτονοειδούς σήματος x ( 1/ 20) + j ( π/10) ( t) = e ( ) t 0 t 100 >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*t); >> plot(t,real(x)) >> t=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*t); >> plot(t,imag(x))

38 Βασικά συνεχή σήματα Πραγματικό εκθετικό σήμα Real exponential signal Παράδειγμα σχεδίασης πραγματικού εκθετικού σήματος x ( 20) ( t) e 1/ t = 0 t 100 >> t=0:0.1:100; >> x=exp((1/20)*t); >> plot(t,x) >> t=0:0.1:100; >> x=exp((-1/20)*t); >> plot(t,x)

39 Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα Sinusoidal signal Ένα συνεχές ημιτονοειδές σήμα (sinusoid) έχει τη μορφή ( t) = Acos( ω t + θ) x 0 A εύρος σήματος (amplitude) ω 0 γωνιακή συχνότητα (σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο) θ γωνία φάσης (σε ακτίνια) Σήμα ημιτόνου

40 Βασικά συνεχή σήματα Ημιτονοειδές σήμα Sinusoidal signal Το συνεχές ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδική συνάρτηση με θεμελιώδη περίοδο Το αντίστροφο της θεμελιώδους περιόδου ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler Ισχύει αντιστοίχως T 0 2π = ω 1 f hertz( Hz) 0 = T 0 0 { } j ( ω t+θ) ( ω t + θ) = A real e 0 Acos 0 A imaginary j ( ω0t+θ) { e } = Asin( ω t + θ) 0

41 Στόχοι φασματικής ανάλυσης Κυματοειδής μορφή σήματος δυνατότητα ανάλυσης σε συχνότητες Ο χώρος των συχνοτήτων επιτρέπει ευκολότερους υπολογισμούς πολύπλοκες συναρτήσεις αναλύονται σε απλής μορφής διαγράμματα συχνοτήτων Σημαντικό να γνωρίζουμε για κάθε μέτρηση κύμα τις κυρίαρχες συχνότητές της φάσμα (spectrum) της μέτρησης

42 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t

43 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t sin cos Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων

44 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): t sin cos Επανάληψη ημιτόνων ή συνημιτόνων κύκλος (= 1 επανάληψη) ημιτόνου κύκλος (= 1 επανάληψη) συνημιτόνου

45 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος Από το πεδίο του χρόνου/χώρου στο πεδίο των συχνοτήτων Σήμα f(t) μιας μοναδικής συχνότητας (μονοχρωματικό): Τ Τ t Περίοδος (Period) Τ: χρόνος που χρειάζεται για να επαναληφθεί ένας κύκλος 1 sec (f = 2.5 κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) Συχνότητα (Frequency) f: αριθμός κύκλων στη μονάδα χρόνου (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) Μήκος κύματος (wavelength) λ = ct: διάστημα που διανύει το σήμα σε μία περίοδο c : ταχύτητα φωτός (ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας) στο κενό

46 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος χαμηλή συχνότητα υψηλή συχνότητα

47 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος μεγάλη περίοδος μικρή περίοδος

48 Βασικές έννοιες κυματικής μορφής σήματος μεγάλο μήκος κύματος μικρό μήκος κύματος

49 Από τα συνεχή στα διακριτά Η διακριτοποίηση συνεχούς σήματος οδηγεί σε σειρές αριθμών (sequences of numbers) Η δημιουργία ενός διακριτού σήματος είναι δυνατή: 1. Με τη διαδικασία της δειγματοληψίας (sampling) από ένα συνεχές σήμα σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές (ή χωρικά διαστήματα) μετρητικά όργανα με μετρήσεις ανά συγκεκριμένες χρονικές περιόδους ή χωρικά διαστήματα 2. Με τη συσσώρευση μίας μεταβλητής μέσα σε μία χρονική περίοδο, π.χ. μέτρηση κυκλοφορίας ανά ώρα

50 Από τα διακριτά στα ψηφιακά Το διακριτό σήμα λαμβάνει τιμές ανά συγκεκριμένα διαστήματα (χρονικά ή χωρικά) και συνήθως ισοδιαστήματα Όταν το διακριτό σήμα λαμβάνει συγκεκριμένες τιμές (εξαρτημένη μεταβλητή συγκεκριμένων) τιμών τότε ονομάζεται ψηφιακό σήμα (digital signal) Για να είναι δυνατή η ψηφιακή επεξεργασία ενός σήματος πρέπει να είναι διακριτό στο χρόνο (χώρο) και να έχει συγκεκριμένες διακριτές τιμές Η διαδικασία «ψηφιοποίησης» διακριτού σήματος ονομάζεται κβαντοποίηση (quantization)

51 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά βηματισμού Unit Step Sequence Η μοναδιαία σειρά βηματισμού u[n] ορίζεται ως: u [ n] 1 = 0 n 0 n < 0 Σε αντίθεση με το συνεχές σήμα η σειρά ορίζεται και για n = 0

52 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά βηματισμού Unit Step Sequence Η μετατοπισμένη μοναδιαία σειρά βηματισμού (shifted unit step sequence) u[n k] ορίζεται ως u [ n k] 1 = 0 n k n < k

53 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά βηματισμού Unit Step Sequence Εντολές MATLAB octave (packages signal, control, symblink) Η συνάρτηση heaviside που χρησιμοποιείται στα συνεχή σήματα δε δίνει σωστά αποτελέσματα στα διακριτά γιατί ορίζεται σύμφωνα με τα συνεχή δε δίνει τιμή στο n = 0 >> n=-5:5; >> u=heaviside(n); >> stem(n,u) >> axis([ ])

54 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά βηματισμού Unit Step Sequence Ορισμός συνάρτησης σύμφωνα με τα προηγούμενα >> function u=step(n) u=0*n; u(find(n>=0))=1; end >> n=-5:5; >> u=step(n); >> stem(n,u) >> axis([ ]) u [ n] 1 = 0 n 0 n < 0 >> n=-5:5; >> u=step(n-3); >> stem(n,u) >> axis([ ]) u [ n 3] 1 = 0 n 3 n < 3

55 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά παλμού Unit Impulse Sequence Ορίζεται και ως μοναδιαία δειγματική σειρά (unit sample sequence) δ [ n] 1 = 0 n = 0 n 0 Σε αντίθεση με το αντίστοιχο συνεχές σήμα ορίζεται χωρίς μαθηματική δυσκολία απουσιάζει η τιμή του απείρου Η σύνδεση μεταξύ των σειρών βηματισμού και παλμού δίνεται από: δ u [ n] = u[ n] u[ n 1] [ n] = δ[ k] n k =

56 Βασικά διακριτά σήματα Μετατοπισμένη μοναδιαία σειρά παλμού Shifted Unit Impulse Sequence Ορίζεται και ως μετατοπισμένη μοναδιαία δειγματική σειρά (shifted unit sample sequence) δ [ n k] 1 = 0 n = k n k Κάποιες από τις ιδιότητες του συνεχούς σήματος όπως εκφράζονται ως διακριτές x x [ n] [ n] = x[ ] δ[ n] [ n] δ[ n k] = x[ k] δ[ n k] δ 0 Αρχή θεωρήματος δειγματοληψίας

57 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά παλμού Unit Impulse Sequence Εντολές MATLAB octave (packages signal, control, symblink) Η συνάρτηση dirac που χρησιμοποιείται στα συνεχή σήματα δε δίνει σωστά αποτελέσματα στα διακριτά γιατί ορίζεται σύμφωνα με τα συνεχή δίνει τιμή στο n = 0 >> n=-5:5 n = >> dirac(n) ans = >> Inf

58 Βασικά διακριτά σήματα Μοναδιαία σειρά παλμού Unit Impulse Sequence Εντολές MATLAB octave (packages signal, control, symblink) >> t=-5:5 >> impulse = t==0; >> stem(t,impulse) >> axis[( )] δ [ n] 1 = 0 n = 0 n 0 >> t=-5:5 >> unitstep = t>=0; >> stem(t,unitstep) >> axis[( )] Εναλλακτικός τρόπος κατασκευής μοναδιαίας σειράς βηματισμού

59 Ορίζεται ως Βασικά διακριτά σήματα Μιγαδική εκθετική σειρά Complex Exponential Sequence jω n [ n] = e x 0 Ακολουθώντας την ταυτότητα του Euler Πραγματικό μέρος x j 0n [ n] e = cosω n + j Ω n = Ω 0 Φανταστικό μέρος 0 sin Για να είναι περιοδική σειρά με περίοδο Ν > 0 πρέπει Ω m Θετικός ακέραιος 0 = 2π N Η μιγαδική εκθετική σειρά δεν είναι περιοδική για κάθε Ω 0. Είναι περιοδική μόνο όταν Ω 0 /2π είναι ρητός αριθμός σε αντίθεση με το συνεχές μιγαδικό εκθετικό σήμα που είναι περιοδικό για κάθε τιμή του ω 0

60 Βασικά διακριτά σήματα Μιγαδική εκθετική σειρά Complex Exponential Sequence Η θεμελιώδης περίοδος για την σειρά x[n] με την προϋπόθεση της περιοδικότητας που παρουσιάστηκε N 0 2π = m Ω0

61 Βασικά διακριτά σήματα Μιγαδική εκθετική σειρά Complex exponential sequence Παράδειγμα σχεδίασης μιγαδικού εκθετικού σήματος x j ( π /10) [ n] e n = 0 n 100 >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp(i*w*n); >> stem(n,real(x)) cos( π /10)n >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp(i*w*n); >> stem(n,imagl(x)) sin( π /10)n

62 Βασικά διακριτά σήματα Εκθετικά αυξανόμενη ημιτονοειδής σειρά Παράδειγμα σχεδίασης εκθετικά αυξανόμενης ημιτονοειδούς σειράς x ( 1/ 20) + j ( π /10) [ n] = e ( ) n 0 n 100 >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((1/20+i*w)*n); >> stem(n,real(x)) >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((1/20+i*w)*n); >> stem(n,imag(x))

63 Βασικά διακριτά σήματα Εκθετικά ελαττούμενη ημιτονοειδής σειρά Παράδειγμα σχεδίασης εκθετικά ελαττούμενης ημιτονοειδούς σειράς x ( 1/ 20) + j ( π /10) [ n] = e ( ) n 0 n 100 >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*n); >> stem(n,real(x)) >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*n); >> stem(n,imag(x))

64 Βασικά διακριτά σήματα Εκθετικά ελαττούμενη ημιτονοειδής σειρά Τα μιγαδικά σήματα και οι σειρές είναι δυνατό να παρουσιαστούν και σε τρισδιάστατα σχήματα >> n=0:1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*n); >> stem3(n,real(x),imag(x)) x ( 1/ 20) + j ( π /10) [ n] = e ( ) n 0 n 100 >> n=0:0.1:100; >> w=2*pi/20; >> x=exp((-1/20+i*w)*n); >> plot3(n,x)

65 Βασικά διακριτά σήματα Πραγματική εκθετική σειρά Real exponential sequence Παράδειγμα σχεδίασης πραγματικού εκθετικού σήματος x ( 20) [ n] e 1/ n = 0 n 100 >> n=0:1:100; >> x=exp((1/20)*n); >> stem(n,x) >> n=0:1:100; >> x=exp((-1/20)*n); >> stem(n,x)

66 Βασικά διακριτά σήματα Ιδιότητες μιγαδικής εκθετικής σειράς Μελετώντας μία εκθετική σειρά ισχύει: ( Ω + 2πk ) n jω n j πkn jω n = e j e e e 2 = Η μιγαδική εκθετική σειρά είναι περιοδική στο διάσημα 0 Ω 0 2π Μελετώντας μία τέτοια σειρά μπορούμε να περιοριστούμε στο διάστημα 0 Ω 0 2π, μέσα στο οποίο επιλέγεται η συχνότητα Ω 0 Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στους μετασχηματισμούς, όπου περιοδικές συναρτήσεις είναι δυνατό να περιγράψουν μη περιοδικά φαινόμενα

67 Ορίζεται ως: Βασικά διακριτά σήματα Ημιτονοειδής σειρά Sinusoidal Sequence [ n] = Acos( Ω n + θ) x 0 Αν το n είναι αδιάστατο τότε το Ω 0 και το θ έχουν μονάδες ακτίνια Η ημιτονονειδής σειρά μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση με την εκθετική μιγαδική σειρά, όπως και στα συνεχή σήματα { } j ( Ω n+θ) ( Ω n + θ) = A real e 0 Acos 0 Ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες και απαιτήσεις περιοδικότητας, όπως και στην εκθετική μιγαδική σειρά Ω0 = 2π m N Εκθετικές και ημιτονειδείς σειρές είναι οι βασικές σειρές περιγραφής των γεωδαιτικών δεδομένων κατά τη διαδικασία των διακριτών μετασχηματισμών Fourier

68 Παράδειγμα ημιτονοειδούς σειράς Βασικά διακριτά σήματα Ημιτονοειδής σειρά Sinusoidal Sequence Περιοδική Θεμελιώδης περίοδος Ν 0 = 12 Ω m = 2π N π/ 6 2π 0 = = 1 12 Μη περιοδική άρρητο Ω 1/ 2 0 = 2π 2π 1 = 4π m N

69 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Σύστημα στις γεωεπιστήμες καλείται ένα μαθηματικό μοντέλο περιγραφής ενός φυσικού φαινομένου Το σύστημα σχετίζει τα σήματα εισόδου ή διέγερσης (input or excitation) με τα σήματα εξόδου ή απόκρισης (output or response) Γωνίες Αποστάσεις Μαθηματικό μοντέλο Φυσικό Ευκλείδειας Γεωμετρίας Σύστημα Συντεταγμένες Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μετασχηματισμός ή απεικόνιση ή φιλτράρισμα του σήματος εισόδου στο σήμα εξόδου

70 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Εάν θεωρηθεί ως y το σήμα εισόδου (παρατήρηση στις γεωεπιστήμες) και ως x το σήμα εξόδου (άγνωστο στις γεωεπιστήμες) τότε ο μετασχηματισμός x = Ty Τελεστής αναπαράστασης ενός καλώς ορισμένου κανόνα μετασχηματισμού x y Παράδειγμα συστήματος πολλαπλής εισόδου εξόδου με θόρυβο Εκτίμηση Δυναμικής Θαλάσσιας Τοπογραφίας από δεδομένα αλτιμετρικών δορυφόρων και γεωδυναμικά μοντέλα Ierapetra Anticyclone Rhodes gyre and Mid-Mediterranean Jet Cretan gyre Mersa-Matruh Anticyclone Andritsanos, V. D. and I. N. Tziavos (2016): Quasi-Stationary SST Estimation in the Eastern Mediterranean Sea using marine gravity, GOCE/GRACE gravity information and recent altimetry missions through the Multiple Input / Multiple Output System Theory, European Space Agency (ESA) Living Planet Symposium, Prague

71 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με τη φύση του σήματος εισόδου και εξόδου Σύστημα συνεχών σημάτων χρόνου/χώρου (continuous-time system) Σύστημα διακριτών σημάτων χρόνου/χώρου (discrete-time system)

72 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με την εξάρτηση από τη ανεξάρτητη μεταβλητή Σύστημα χωρίς μνήμη το σήμα εξόδου σε κάθε χρονική στιγμή (χωρική συντεταγμένη) εξαρτάται μόνο από το σήμα εισόδου της ίδιας χρονικής στιγμής (χωρικής συντεταγμένης), π.χ. το ρεύμα που εισέρχεται σε μία αντίσταση και η τάση που εξέρχεται Σύστημα με μνήμη κάθε σύστημα που το σήμα εισόδου επιδρά στο σύνολο του σήματος εξόδου

73 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με τη γραμμικότητα του τελεστή του συστήματος Γραμμικός τελεστής Τ και γραμμικό σύστημα όταν ισχύουν δύο ιδιότητες 1. Προσθετικότητα: για κάθε Τy 1 = x 1 και Τy 2 = x 2 Τ{y 1 + y 2 } = x 1 + x 2 2. Ομογένεια: Τ{αx}=αy Kάθε σύστημα που δεν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται μη γραμμικό, π.χ. x = 2 y x = cos y

74 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με την επίδραση της αλλαγής της ανεξάρτητης μεταβλητής Χρονικά (ή χωρικά) αμετάβλητα συστήματα (time (space) invariant) εάν μία μεταβολή στην κλίμακα του χρόνου (χώρου) του σήματος εισόδου προκαλεί την ίδια μεταβολή στο σήμα εξόδου Συνεχή χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα T { y( t τ) } = x( t τ) Διακριτά χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα T { y[ n k] } = x[ n k]

75 Η αξιοποίηση των φασματικών τεχνικών Πλήθος δεδομένων γεωεπιστημών επίγεια, από αέρα, θαλάσσια, δορυφορικά δεδομένα τροποποίηση μεθόδων επεξεργασίας Οι διαφορετικές πηγές δεδομένων αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιοχές του φάσματος του πεδίου που αναλύεται ανάγκη συνδυασμού ετερογενών δεδομένων, π.χ., χαμηλές συχνότητες δορυφορικών δεδομένων Τροποποίηση κλασικών φασματικών τεχνικών ώστε να συμπεριλαμβάνεται στη διαδικασία κατάλληλα κριτήρια ελαχιστοποίησης των σφαλμάτων της εκτίμησης Η αντιμετώπιση των μαθηματικών μοντέλων ως συστημάτων είναι δυνατό να οδηγήσει στην κατάλληλη τροποποίηση τους με την ελαχιστοποίηση του λόγου σήμα / θόρυβος

76 Ανακεφαλαίωση Εισαγωγή στα σήματα Ορισμοί Κατηγορίες σημάτων Παραδείγματα βασικών συνεχών και διακριτών σημάτων Μέθοδοι κατασκευής σήματος Συστήματα και κατηγοριοποίηση Η αξιοποίηση των φασματικών τεχνικών στις γεωεπιστήμες