Παρουσίαση 8 η : Συνέλιξη Συσχέτιση σημάτων Φασματική πυκνότητα ενέργειας ισχύος

Transcript

1 Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση 8 η : Συνέλιξη Συσχέτιση σημάτων Φασματική πυκνότητα ενέργειας ισχύος Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών: Γεωχωρικές τεχνολογίες

2 Περιεχόμενα του μαθήματος (1) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η Μετάδοση και επεξεργασία σήματος (ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η ) Διαμόρφωση, συνέλιξη, συσχέτιση (Συναρτήσεις συσχέτισης, συνέλιξης, συναρτήσεις φασματικής πυκνότητας, ιδιότητες, τρόποι υπολογισμού) Εισαγωγή στη μετάδοση και επεξεργασία σήματος (Εκπομπή και λήψη, μετάδοση, διαμόρφωση, αποδιαμόρφωση, πολυπλεξία, μίξη, ετεροδυνάμωση, παραδείγματα)

3 Βιβλιογραφία ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η Δερμάνης, Α. (1999): Διαστημική Γεωδαισία και Γεωδυναμική, Εκδόσεις Ζήτη. Papoulis A. (1977): Signal Analysis, McGraw-Hill eds. Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer (1989): Discrete-time signal processing. Prentice Hall eds. Marple, S.L. Jr. (1987): Digital spectral analysis with applications. Signal processing Series. Prentice Hall eds. Brigham, E.O. (1988): The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice Hall eds. Bracewell, R.N. (1978): The Fourier Transform and its applications. McGraw-Hill eds.

4 Περιεχόμενα παρουσίασης Κατηγοριοποίηση συστημάτων Φιλτράρισμα σήματος Συνέλιξη Σύγκριση σημάτων Συσχέτιση Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος συναρτήσεις συμμεταβλητότητας Εφαρμογές συνέλιξης συσχέτισης σημάτων στις γεωεπιστήμες Γραμμικά συστήματα και κατηγορίες φίλτρων

5 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Σύστημα στις γεωεπιστήμες καλείται ένα μαθηματικό μοντέλο περιγραφής ενός φυσικού φαινομένου Το σύστημα σχετίζει τα σήματα εισόδου ή διέγερσης (input or excitation) με τα σήματα εξόδου ή απόκρισης (output or response) Γωνίες Αποστάσεις Μαθηματικό μοντέλο Φυσικό Ευκλείδειας Γεωμετρίας Σύστημα Συντεταγμένες Ένα σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως μετασχηματισμός ή απεικόνιση ή φιλτράρισμα του σήματος εισόδου στο σήμα εξόδου

6 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Εάν θεωρηθεί ως x το σήμα εισόδου (παρατήρηση στις γεωεπιστήμες) και ως y το σήμα εξόδου (άγνωστο στις γεωεπιστήμες) τότε ο μετασχηματισμός y = Tx Τελεστής αναπαράστασης ενός καλώς ορισμένου κανόνα μετασχηματισμού x y Παράδειγμα συστήματος πολλαπλής εισόδου εξόδου με θόρυβο Εκτίμηση Δυναμικής Θαλάσσιας Τοπογραφίας από δεδομένα αλτιμετρικών δορυφόρων και γεωδυναμικά μοντέλα Ierapetra Anticyclone Rhodes gyre and Mid-Mediterranean Jet Cretan gyre Mersa-Matruh Anticyclone Andritsanos, V. D. and I. N. Tziavos (2016): Quasi-Stationary SST Estimation in the Eastern Mediterranean Sea using marine gravity, GOCE/GRACE gravity information and recent altimetry missions through the Multiple Input / Multiple Output System Theory, European Space Agency (ESA) Living Planet Symposium, Prague

7 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με τη φύση του σήματος εισόδου και εξόδου Σύστημα συνεχών σημάτων χρόνου/χώρου (continuous-time system) Σύστημα διακριτών σημάτων χρόνου/χώρου (discrete-time system)

8 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με την εξάρτηση από τη ανεξάρτητη μεταβλητή Σύστημα χωρίς μνήμη το σήμα εξόδου σε κάθε χρονική στιγμή (χωρική συντεταγμένη) εξαρτάται μόνο από το σήμα εισόδου της ίδιας χρονικής στιγμής (χωρικής συντεταγμένης), π.χ. το ρεύμα που εισέρχεται σε μία αντίσταση και η τάση που εξέρχεται Σύστημα με μνήμη κάθε σύστημα που το σήμα εισόδου επιδρά στο σύνολο του σήματος εξόδου

9 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με τη γραμμικότητα του τελεστή του συστήματος Γραμμικός τελεστής Τ και γραμμικό σύστημα όταν ισχύουν δύο ιδιότητες 1. Προσθετικότητα: για κάθε Τx 1 = y 1 και Τx 2 = y 2 Τ{x 1 + x 2 } = y 1 + y 2 2. Ομογένεια: Τ{αx}=αy Κάθε σύστημα που δεν ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται μη γραμμικό, π.χ. 2 y = x y = cos x

10 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ανάλογα με την επίδραση της αλλαγής της ανεξάρτητης μεταβλητής Χρονικά (ή χωρικά) αμετάβλητα συστήματα (time (space) invariant) εάν μία μεταβολή στην κλίμακα του χρόνου (χώρου) του σήματος εισόδου προκαλεί την ίδια μεταβολή στο σήμα εξόδου Συνεχή χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα T { y( t τ) } = x( t τ) Διακριτά χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα συστήματα T { y[ n k] } = x[ n k]

11 Συστήματα και κατηγοριοποίηση Ο τελεστής Τ ενός γραμμικού συστήματος σε συνεχή σήματα δίνεται ( t) Tx( t) = h( t s) x( s) y =, ds Όταν το σύστημα είναι χρονικά (χωρικά) αμετάβλητο τότε η συνάρτηση h των δύο μεταβλητών μετατρέπεται σε συνάρτηση μίας μεταβλητής. Ισχύει Το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής ονομάζεται συνελικτικό (convolution integral) h ( t + τ, s + τ ) = h( t, s) h( t s, s s) = h( t s, 0) = h ( t s) y ( t) Tx( t) = h ( t s) x( s) = ds

12 Συνέλιξη Convolution Τι ακριβώς είναι η συνέλιξη δύο σημάτων; Σχετίζεται με την ανάλυση των συστημάτων εισόδου εξόδου Είναι η βασική σχέση σύνδεσης των σημάτων εισόδου και εξόδου Φιλτράρισμα ενός σήματος από ένα άλλο Στο χώρο των συχνοτήτων το συνελικτικό ολοκλήρωμα μεταξύ σημάτων μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό φασμάτων Ο υπολογισμός του συνελικτικού ολοκληρώματος εμπλέκει το γινόμενο δύο σημάτων εκ των οποίων το ένα έχει υποστεί ανάκλαση και μετατόπιση

13 Συνέλιξη Convolution Αναπαράσταση συνέλιξης conv ( t) f ( τ) g( t τ) conv fg fg = ( t) = f ( t) * g( t) dτ Σύμβολο συνέλιξης Μεταβλητή το τ t σταθερό μέσα στο ολοκλήρωμα Το πρώτο σήμα εισέρχεται αυτούσιο στη διαδικασία Το δεύτερο σήμα έχει υποστεί δύο είδη επεξεργασίας Ανάκλαση g ( τ) g( τ) Μετατόπιση g ( τ) g( t τ)

14 Συνέλιξη Convolution Αναπαράσταση συνέλιξης g ανάκλαση ως προς τον κατακόρυφο άξονα και μετατόπιση κατά t Αλλαγή μεταβλητής και ανάκλαση ως προς τον κατακόρυφο Μετατόπιση κατά t Ολίσθηση στο άξονα τ και υπολογισμός γινομένου σημάτων (εμβαδό κοινής περιοχής) Όταν περάσει το σήμα g το αποτέλεσμα της συνέλιξης μηδενίζεται

15 Συνέλιξη Convolution Αναπαράσταση συνέλιξης ενός σήματος ορθογωνικού παλμού και ενός εκθετικού σήματος

16 Συνέλιξη Convolution Αναπαράσταση συνέλιξης δύο σημάτων διαφορετικών ορθογωνικών παλμών

17 Θεώρημα συνέλιξης Μετατρέπει τη συνέλιξη από τον ένα χώρο σε πολλαπλασιασμό στον άλλο χώρο. Έστω συναρτήσεις f και g F F { f ( t) } F( ω) { g( t) } = G( ω) = 1 F Θεώρημα συνέλιξης ως προς το χρόνο { f ( t) * g( t) } = F( ω) G( ω) F { F( ω) G( ω) } = f ( t) * g( t) f g F 1 ( t) = F { F( ω) } 1 ( t) = F { G( ω) } 1 F 1 2π 1 { F( ω) * G( ω) } = 2πf ( t) g( t) 1 2π { f ( t) g( t) } = [ F( ω) * G( ω) ] = F( ϕ) G( ω ϕ) dϕ Θεώρημα συνέλιξης ως προς τη συχνότητα

18 Διακριτή συνέλιξη Σε διακριτά σήματα το συνελικτικό ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα f g [ k t] T k = 0,1,, N 1 [ k t] T k = 0,1,, N 1 conv fg N 1 [ k] = f [ i] g[ k i] t = f [ k] * g[ k] = F 1 { F[ u] G[ u] } i= 0 Η συνέλιξη αποτελεί ουσιαστικά το φιλτράρισμα του ενός από τα δύο σήματα από το άλλο Φαίνεται ξεκάθαρα στο χώρο των συχνοτήτων το φάσμα του ενός σήματος είτε εξασθενεί, είτε ενισχύεται, γενικότερα τροποποιείται σύμφωνα με τη μορφή του φάσματος του δεύτερου σήματος

19 Διακριτή συνέλιξη σε 2D Σε σήματα δύο διαστάσεων η διακριτή συνέλιξη έχει τη μορφή [ ] [ ] 1, 0,1, 1, 0,1,,, 1, 0,1, 1, 0,1,,, = = = = M l N k T T y l x k g M l N k T T y l x k f y x y x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) { } v G u v u F l k g l k f y x j l i k g j i f l k N i M j fg,,, *,,,, conv F 1 = = = = =

20 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Γραφική μέθοδος για συνεχείς συναρτήσεις f ( ) 1 t f 2 (t) f ( τ) 2 (t τ) f 2

21 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση πίνακα για διακριτά σήματα Τιμές της συνέλιξης Έστω: f ( t) = [ f ( t) = [ ] 4 2]

22 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση διαγωνίων για διακριτά σήματα f[0] f[1] f[2] f[3] g[0] g[1] g[2] g[3]

23 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Με τη χρήση του MATLAB Octave (συνάρτηση conv) >> f=[ ] f = Διάσταση N = 4 >> g=[ ] g = Διάσταση M = 4 >> c=conv(f,g) c = Διάσταση N+M-1 = 7

24 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Με τη χρήση του MATLAB Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών) conv fg >> f=[ ]; >> g=[ ]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> c=ifft(f.*g) c = N 1 [ k] = f [ i] g[ k i] t = f [ k] * g[ k] = F 1 { F[ u] G[ u] } i= 0 Οι αλγόριθμοι FFT στα διακριτά δεδομένα θεωρούν τις συναρτήσεις περιοδικές και υπολογίζουν τη συνέλιξη ως κυκλική ή περιοδική συνέλιξη (circular or periodic convolution) c = Λάθος αποτέλεσμα. Γιατί; Αποτέλεσμα γραμμικής συνέλιξης

25 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Επίδραση κυκλικής συνέλιξης στους αλγορίθμους FFT Θεωρώντας περιοδικά τα εμπλεκόμενα σήματα υιοθετούν κοινές διαστάσεις για το αποτέλεσμα της συνέλιξης κυκλικός υπολογισμός κυκλική συνέλιξη f[0] f[1] f[2] f[3] g[0] g[1] g[2] g[3] c =

26 Τρόποι υπολογισμού συνέλιξης Με τη χρήση του MATLAB Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών) Προσοχή στις διαστάσεις των σημάτων τα σήματα που εμπλέκονται στη συνέλιξη με αυτή τη διαδικασία πρέπει να έχουν διαστάσεις ίδιες με το σήμα της συνέλιξης κυκλική συνέλιξη (circular convolution) >> f(7)=0; >> g(7)=0; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> c=ifft(f.*g) c = g f [ t] = [ ] [ t] = [ ] Προσθήκη μηδενικών τιμών zero padding

27 Zero padding Στην περίπτωση χρήση διακριτών δεδομένων όταν τα δύο σήματα έχουν διαστάσεις Ν η γραμμική συνέλιξη έχει διάσταση 2Ν 1 Οι αλγόριθμοι FFT θεωρούν την ύπαρξη περιοδικότητας στα σήματα επομένως και στο αποτέλεσμα της συνέλιξης (φιλτραρίσματος) διάσταση Ν Οι υπολογισμοί οδηγούν στην κυκλική ή περιοδική συνέλιξη γραμμική συνέλιξη επηρεασμένη από το σφάλμα της παραποίησης Αντιμετώπιση τεχνική της προσθήκης μηδενικών τιμών (zero padding)

28 Zero padding Τα σήματα επεκτείνονται με μηδενικά στοιχεία σύμφωνα με f [ i] = f [ i] 0,, 0 i N 1 N i 2N 1 g [ i] [ i] g, = 0, 0 i N 1 N i 2N 1 Βήματα υπολογισμού 1. Δημιουργία των [ i] g [ i] f 2. Υπολογισμός των φασμάτων 3. Υπολογισμός του φάσματος της συνέλιξης [ u] = F{ f [ i] } G [ u] = { g [ i] } C [ u] = F[ u] G[ u] c[ i] = F 1 { C[ u] } F F 4. Υπολογισμός της συνέλιξης με τον αντίστροφο FFT Στη περίπτωση αυτή το σήμα της συνέλιξης έχει διαστάσεις 2Ν 1 ακριβώς ίδιες με τον υπολογισμό της γραμμικής συνέλιξης, αφού δεν υφίσταται παραποίηση συχνοτήτων λόγω της υπερκάλυψης των τιμών των σημάτων

29 Συσχέτιση Correlation Η συσχέτιση αποτελεί τη διαδικασία σύγκρισης δύο σημάτων Η συσχέτιση μοιάζει με την συνέλιξη απουσιάζει η διαδικασίας της ανάκλασης του σήματος Οι διαδικασίες της μετακίνησης, πολλαπλασιασμού και ολοκλήρωσης των σημάτων ακολουθούν τα βήματα της συνέλιξης Η συσχέτιση χρησιμοποιείται ιδιαιτέρως στη σύγκριση σημάτων για την εκτίμηση της διαφοράς του χρόνου εκπομπής λήψης Εφαρμογές τηλεπικοινωνίες, ραντάρ, γεωδαιτικές (GPS, SLR, VLBI), επεξεργασίας εικόνας, κ.λπ.

30 Συσχέτιση Correlation Σύγκριση συνέλιξης συσχέτισης σημάτων

31 Διαδικασία συσχέτισης Συσχέτιση Correlation corr xh corr ( t) R ( t) = z( t) = x( τ) h( t + τ) xh = dτ xh ( t) = R ( t) = z( t) = x( t) h( t) xh Σύμβολο συσχέτισης Μετατόπιση κατά t Ολίσθηση στο άξονα τ και υπολογισμός γινομένου σημάτων Όταν περάσει το σήμα h το αποτέλεσμα της συσχέτισης μηδενίζεται

32 Συσχέτιση Correlation Παραδείγματα συσχέτισης σημάτων

33 Συσχέτιση Correlation Αυτοσυσχέτιση (auto-correlation) όταν ένα σήμα συγκρίνεται με τον εαυτό του corr xx ( t) R ( t) = z( t) = x( τ) x( t + τ) = dτ xx Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation) όταν συγκρίνονται ανόμοια σήματα Συσχέτιση μέτρο της ομοιότητας δύο σημάτων

34 Θεώρημα συσχέτισης Μετατρέπει τη συσχέτιση από τον ένα χώρο σε πολλαπλασιασμό στον άλλο F F χώρο. Έστω συναρτήσεις f και g { f ( t) } F( ω) { g( t) } = G( ω) = * * 1 F{ f ( t) g( t) } = F( ω) G ( ω) F F( ω) G ( ω) Θεώρημα συσχέτισης ως προς το χρόνο Συζυγής μιγαδικός G * ( ω) = R( ω) ji( ω) { } = f ( t) g( t) f g F 1 ( t) = F { F( ω) } 1 ( t) = F { G( ω) } 1 F 1 2π 1 * { f ( t) g( t) } = F( ω) G ( ω) * { F( ω) G ( ω) } = 2πf ( t) g( t) 1 2π * [ ] = F( ϕ) G ( ω + ϕ) dϕ Θεώρημα συσχέτισης ως προς τη συχνότητα

35 Διακριτή συσχέτιση Σε διακριτά σήματα η διαδικασία της συσχέτισης μετατρέπεται σε άθροισμα f g [ k t] T k = 0,1,, N 1 [ k t] T k = 0,1,, N 1 corr fg N 1 * [ k] R [ k] = f [ i] g[ k + i] t = f [ k] g[ k] = F 1 { F[ u] G [ u] } = fg i = 0 Η συσχέτιση αποτελεί και αυτή μία διαδικασία φιλτραρίσματος του ενός σήματος με το άλλο, χρησιμοποιώντας το συζυγή μιγαδικό του φάσματος του δεύτερου σήματος Η χρήση του συζυγούς μιγαδικού οδηγεί τη διαδικασία του φιλτραρίσματος σε σύγκριση των φασμάτων των δύο σημάτων

36 Διακριτή συσχέτιση σε 2D Σε σήματα δύο διαστάσεων η διακριτή συσχέτιση έχει τη μορφή [ ] [ ] 1, 0,1, 1, 0,1,,, 1, 0,1, 1, 0,1,,, = = = = M l N k T T y l x k g M l N k T T y l x k f y x y x [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) { } v u G v u F l k g l k f y x j l i k g j i f l k R l k N i M j fg fg,,,,,,,, corr * F 1 = = = = + + = =

37 Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση πίνακα για διακριτά σήματα όπως η διαδικασία της συνέλιξης, με αντιστροφή του κινούμενου σήματος Τιμές της συσχέτισης Έστω: f ( t) = [ f ( t) = [ ] 4 2]

38 Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης Αναλυτική μέθοδος με τη χρήση διαγωνίων για διακριτά σήματα f[0] f[1] f[2] f[3] g[3] g[2] g[1] g[0]

39 Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης Με τη χρήση του MATLAB Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών) corr fg Συζυγής μιγαδικός N 1 = fg i = 0 { } * [ k] R [ k] = f [ i] g[ k + i] t = f [ k] g[ k] = F 1 F( u) G ( u) >> f=[ ]; >> g=[ ]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> r=ifft(f.*conj(g)) c = Οι αλγόριθμοι FFT στα διακριτά δεδομένα θεωρούν τις συναρτήσεις περιοδικές και υπολογίζουν τη συσχέτιση ως κυκλική ή περιοδική συσχέτιση (circular or periodic correlation) r = Λάθος αποτέλεσμα. Γιατί; Αποτέλεσμα γραμμικής συσχέτισης

40 Τρόποι υπολογισμού συσχέτισης Με τη χρήση του MATLAB Octave (με τις ιδιότητες των μετασχηματισμών) Zero padding προσθήκη μηδενικών διαστάσεις συσχέτισης N + M 1 Διαφορά με συνέλιξη λόγω της ανυπαρξίας ανάκλασης στο κινούμενο σήμα >> f=[ ]; >> g=[ ]; >> F=fft(f); >> G=fft(g); >> r=ifft(f.*conj(g)) r = g f [ t] = [ ] [ t] = [ ] Προσθήκη μηδενικών τιμών στην αρχή του σταθερού Προσθήκη μηδενικών τιμών στο τέλος του κινούμενου

41 Συνέλιξη Συσχέτιση Συσχέτιση και συνέλιξη μοιάζουν απουσιάζει η ανάκλαση στη συσχέτιση Συνδέονται σύμφωνα με ( t) = x( t) y( t) R xx ( t) = x( t) * x( t) R xy * Στη συνέλιξη ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν συμβαίνει το ίδιο στη συσχέτιση x ( t) * y( t) = y( t) * x( t) x( t) y( t) y( t) x( t)

42 Συνέλιξη Συσχέτιση

43 Εφαρμογές συνέλιξης συσχέτισης Χρήση ραντάρ Χρήση συνέλιξης φιλτράρισμα θορύβου Χρήση συσχέτισης εύρεση χρονικής / χωρικής διαφοράς πομπού στόχου

44 Εφαρμογές συνέλιξης συσχέτισης Εφαρμογές Συμβολομετρίας Μεγάλης Βάσης (Very Long Baseline Interferometry VLBI) και Δορυφορικής Τηλεμετρίας Laser (Satellite Laser Ranging SLR)

45 Εφαρμογές συνέλιξης συσχέτισης Δορυφορική αλτιμέτρία Satellite Altimetry

46 Εφαρμογές συνέλιξης συσχέτισης Επεξεργασία σήματος GPS

47 Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων χωροστάθμηση GNSS γεωειδές ελλειψοειδές Η = h N Ορθομετρικό υψόμετρο = = γεωμετρικό υψόμετρο αποχή γεωειδούς μετρήσεις βαρύτητας σε κάνναβο ανωμαλίες βαρύτητας Δg πάνω από ελλειψοειδές από μετρήσεις GPS

48 Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων χωροστάθμηση GNSS R N P = S( ψ PQ) g 4πG σ Q dσ Q

49 Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων χωροστάθμηση GNSS συνέλιξη T T x y R Nxy (, ) = Sr () g(, ξη) dξdη 4 G ξ η π = 0 = 0 σε επίπεδη προσέγγιση r = ( x ξ ) + ( y η 2 ) 2

50 Εφαρμογές ανάλυσης σήματος στη Γεωδαισία Προσέγγιση ορθομετρικών υψομέτρων χωροστάθμηση GNSS T T x y R Nxy (, ) = Sr () g(, ξη) dξdη 4 G ξ η F{ N} = F{ S} F{ g} π = 0 = 0 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΝΤΙ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ!! F{} Διδιάστατος ευθύς μετασχηματισμός Fourier

51 Κατηγορίες σημάτων Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για συνεχή σήματα Για αυθαίρετο συνεχές σήμα x(t) Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός σήματος 1 P = lim T T ( t) 2 E = x dt T / 2 T / 2 x ( t) 2 dt

52 Κατηγορίες σημάτων Σήματα Ενέργειας και Ισχύος για διακριτά σήματα (σειρές) Για αυθαίρετο διακριτό σήμα x[n] Η ομαλοποιημένη ενέργεια Ε (normalized energy) ενός σήματος E = n= x [ n] 2 Η ομαλοποιημένη μέση ισχύς P (normalized average power) ενός σήματος P 1 = lim 2N N + 1 N n = N x [ n] 2

53 Σήματα Ενέργειας και Ισχύος Κατηγορίες σημάτων Με τη βοήθεια των παραπάνω ορισμών μετριέται το «μέγεθος» ενός σήματος Η ενέργεια ενός σήματος δίνεται από το εμβαδόν της περιοχής που καλύπτει το τετράγωνο της συνάρτησης Αρνητική τιμή της συνάρτησης δεν αφαιρεί ενέργεια για τον υπολογισμό λαμβάνεται η απόλυτη τιμή

54 Κατηγορίες σημάτων Το πρόβλημα με τον υπολογισμό της ενέργειας ενός σήματος παρουσιάζεται όταν το σήμα δεν διακόπτεται άπειρη ενέργεια Στη περίπτωση αυτή η ενέργεια θεωρείται ακατάλληλη για το υπολογισμό του «μεγέθους» χρήση της ισχύος Η ισχύς αντιπροσωπεύει την ενέργεια ανά μονάδα χρόνου (ή χώρου)

55 Συσχέτιση και σήματα ενέργειας Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) σε σήματα ενέργειας x(t), y(t) R xy R xx ( t) x( τ) y( t + τ) = dτ ( t) x( τ) x( t + τ) = dτ Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation) Αυτό-συσχέτιση (auto-correlation) Στη σύγκριση (αυτό-συσχέτιση) σημάτων χρησιμοποιείται συνήθως και ο συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) r ( t) = x ( τ ) x( t + τ ) x ( τ ) 2 dτ dτ = Rxx E ( t) r( 0 ) = 1 Στιγμή ή θέση πλήρους ταύτισης σημάτων

56 Φασματική πυκνότητα ενέργειας Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης σε σήμα ενέργειας φασματική πυκνότητα ενέργειας (energy spectral density ESD) Για σήμα ενέργειας f(t) ισχύουν ( ω) = F{ R( t) } = R( t) Για t = 0 η ενέργεια δίνεται από τη σχέση f S R S ( t) F( ω) ( ω) = F( ω) 2 1 2π e jωt 1 ( t) = F { S( ω) } = F( ω) dt 2 e jωt dω E 1 = R( 0) = S( ω) dω 2π

57 Συσχέτιση και σήματα ισχύος Η συνάρτηση συσχέτισης (correlation function) σε σήματα ισχύος x(t), y(t) R xy ( t) = lim x( τ) y( t + τ) R xx T 1 T T / 2 T / 2 ( t) = lim x( τ) x( t + τ) T T / 2 T / 2 dτ dτ Δια- ή ετερο-συσχέτιση (cross-correlation) Αυτό-συσχέτιση (auto-correlation) Στη σύγκριση (αυτό-συσχέτιση) σημάτων χρησιμοποιείται συνήθως και ο συντελεστής συσχέτισης (correlation coefficient) γ ( t) = lim T / 2 x T T / 2 T / 2 lim T T / 2 ( τ) x( t + τ) x ( τ) 2 dτ dτ = Rxx P ( t) γ( 0 ) = 1 Στιγμή ή θέση πλήρους ταύτισης σημάτων

58 Φασματική πυκνότητα ισχύος Ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συσχέτισης σε σήματα ισχύος φασματική πυκνότητα ισχύος (power spectral density PSD) Για σήμα ισχύος f(t) ισχύουν f S R S ( ω) = F{ R( t) } = lim R( t) ( t) F( ω) ( ω) = F( ω) T 1 2π Για t = 0 η ισχύς του σήματος δίνεται από τη σχέση 2 T / 2 T / 2 e jωt 1 ( t) = F { S ( ω) } = lim F( ω) T T / 2 T / 2 dt 2 e jωt dω P = R 1 2π ( 0) = lim, S ( ω) T T / 2 T / 2 dω

59 Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος Οι συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος, τόσο σε σήματα ενέργειας, όσο και σε σήματα ισχύος αποτελούν σημαντικό εργαλείο στην ανάλυση σήματος Επιτρέπουν την ανεύρεση των κυρίαρχων συχνοτήτων (dominant frequencies) συχνότητες στις οποίες τα συγκεκριμένα δεδομένα συνεισφέρουν περισσότερο

60 Σημασία των συναρτήσεων πυκνότητας φάσματος Ο ρόλος τους είναι σημαντικός στη θεωρία της πρόγνωσης και του φιλτραρίσματος Επιτρέπουν τον ταχύ υπολογισμό των συναρτήσεων συσχέτισης και συμμεταβλητότητας των δεδομένων

61 Πυκνότητα φάσματος και διακριτά δεδομένα Διακριτά δεδομένα δύο διαστάσεων συνάρτηση συσχέτισης έχει τη μορφή R hg M 1 N 1 [ k, l] = lim h[ i, j] g[ k + i, l + j] M, N 1 M 1 N Συνάρτηση συσχέτισης εξάρτηση των δεδομένων σε μία απόσταση (ή χρονική στιγμή) από τις τιμές σε άλλη απόσταση (ή χρονική στιγμή) i= 0 j= 0 Η συνάρτηση συμμεταβλητότητας (covariance function) δύο συναρτήσεων C hg M 1 N 1 ( µ ) [ k, l] = lim ( h[ i, j] µ ) g[ k + i, l + j] M, N 1 M hg 1 N i= 0 j= 0 [ k, l] = R [ ] hg k, l µ h g C µ Για συναρτήσεις ανηγμένες στη μέση τιμή των δεδομένων τους συνάρτηση συμμεταβλητότητας και συνάρτηση συσχέτισης ταυτίζονται h g

62 Συναρτήσεις συμμεταβλητότητας Περιγράφουν τη στατιστική συμπεριφορά σημάτων ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή τους (χρόνος απόσταση) C C C hg hh hh [ 0,0] = σ 2 [ 0,0] = σ h [, ] = 0 hg Σύμμεταβλητότητα h και g Μεταβλητότητα h Ο συντελεστής συσχέτισης σε όρους συναρτήσεων συμμεταβλητότητας r hg [ k l] hh C [ ] hg k, l [ 0,0] C [ 0,0], = = C gg C hg [ k, l] σ σ h g Μετράει το βαθμό εξάρτησης ανάμεσα στις τιμές δύο συναρτήσεων για διαφορετικές μεταβολές της μίας συνάρτησης σε σχέση με την άλλη

63 Τρόποι υπολογισμού PSD Δύο κυρίως μέθοδοι υπολογισμού στις πρακτικές εφαρμογές του PSD Κλασικές ή μη-παραμετρικές μέθοδοι εφαρμογές αλγορίθμων FFT μειονέκτημα ο περιοδικός χαρακτήρας που αποδίδεται σε περιορισμένα διακριτά δεδομένα Μοντέρνες ή παραμετρικές μέθοδοι Ανάλυση δεδομένων δίχως παραδοχές, περιγράφουν τα στατιστικά χαρακτηριστικά των δεδομένων και ενσωματώνουν εκ των προτέρων πληροφορίες για το σήμα και το θόρυβο

64 Μη-παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD Άμεση (periodogram) απευθείας μετασχηματισμοί Fourier στα δεδομένα S T T N M u v * [ u, v] = { X [ u, v] X [ u v] } xx, Ευθύς FFT Συζυγής μιγαδικός του Χ Έμμεση (correlogram) Από τον αντίστροφο μετασχηματισμό της συνάρτησης συσχέτισης Σε στοχαστικά δεδομένα μηδενικής μέσης τιμής χρησιμοποιείται η συνάρτηση συμμεταβλητότητας S [ u, v] = F{ C [ u v] } xx xx,

65 Παραμετρικές μέθοδοι υπολογισμού PSD Χρησιμοποιούνται παραμετρικά μοντέλα περιγραφής του PSD Το PSD εξαρτάται από την επιλογή του μοντέλου, το βαθμό ανάπτυξής του και το είδος των δεδομένων που χρησιμοποιούνται Διακρίνονται σε παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης (AR models) και παραμετρικά μοντέλα αυτο-παλινδρόμησης κινητού μέσου όρου (ARMA models) Διαδικασία προσδιορισμού 1. Επιλογή μοντέλου 2. Προσδιορισμός βέλτιστου βαθμού ανάπτυξης 3. Εκτίμηση συντελεστών Αρχές εκτίμησης παραμέτρων 4. Στατιστική αξιολόγηση μοντέλου

66 Γραμμικά συστήματα και φίλτρα Ο τελεστής Τ ενός γραμμικού συστήματος σε συνεχή σήματα δίνεται ( t) Tx( t) = h( t s) x( s) y =, ds Όταν το σύστημα είναι χρονικά (χωρικά) αμετάβλητο τότε η συνάρτηση h των δύο μεταβλητών μετατρέπεται σε συνάρτηση μίας μεταβλητής. Ισχύει Το ολοκλήρωμα αυτής της μορφής ονομάζεται συνελικτικό (convolution integral) h ( t + τ, s + τ ) = h( t, s) h( t s, s s) = h( t s, 0) = h ( t s) y ( t) Tx( t) = h ( t s) x( s) = ds

67 Γραμμικά συστήματα και φίλτρα Στο χώρο των συχνοτήτων το συνελικτικό ολοκλήρωμα έχει τη μορφή Το ζεύγος του μετασχηματισμού ( t) = h( t) * x( t) Y ( ω) H ( ω) X ( ω) y = h ( t) H ( ω) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης σε ώθηση (impulse response function) του συστήματος ή φίλτρο (filter) Ειδικότερα η Η(ω) ονομάζεται συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα ή συνάρτηση μετάδοσης του φίλτρου σήμα εισόδου x (t) H y(t) σήμα εξόδου

68 Γραμμικά συστήματα και φίλτρα Φίλτρο γραμμικό σύστημα για το οποίο η συνάρτηση Η(ω) μηδενίζεται σε ένα τμήμα του πεδίου Για H ( ω) = 0 Y ( ω) = H ( ω) X ( ω) = 0 Συχνότητες φιλτράρονται (απομακρύνονται ή απομονώνονται) και δεν υπάρχουν στην έξοδο του γραμμικού συστήματος Φίλτρα χρονικά (χωρικά) αμετάβλητα γραμμικά συστήματα με H(ω) = 0 σε τμήματα συχνοτήτων ω (=αποκοπή ορισμένων συχνοτήτων)

69 Απλά φίλτρα στις γεωεπιστήμες X ( ω) H ( ω) Y ( ω) Χαμηλής διέλευσης (LPF = Low Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν ω > ω 0 Υψηλής διέλευσης (HPF = High Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν ω < ω 0 Διέλευσης εντός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν ω < ω 1 < ω 2 ή ω 1 < ω 2 < ω Διέλευσης εκτός ζώνης (BPF = Band Pass Filter) : Η(ω) = 0 όταν ω 1 < ω < ω 2 x(t) L y ( t) = h( t s) x( s) ds + X (ω) L Y ( ω) = H ( ω) X ( ω)

70 Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων Γεωεπιστήμες διδιάστατα διακριτά δεδομένα συστήματα και φίλτρα δύο διαστάσεων [ u, v] = H[ u, v] X [ u v] Y, Διδιάστατη συνάρτηση απόκρισης κατά συχνότητα Διδιάστατα φίλτρα παρουσιάζουν μία κυκλική συμμετρία και είναι γραμμικά και ομοιογενή

71 Φίλτρα διακριτών δεδομένων δύο διαστάσεων Παραδείγματα διδιάστατων φίλτρων Διδιάστατο φίλτρο χαμηλής διέλευσης Διδιάστατο φίλτρο υψηλής διέλευσης Διδιάστατο φίλτρο διέλευσης εντός ζώνης

72 Ανακεφαλαίωση Συστήματα και κατηγοριοποίηση Συνέλιξη σημάτων Συσχέτιση σημάτων Συναρτήσεις πυκνότητας φάσματος Γεωδαιτικές Εφαρμογές Γραμμικά συστήματα και φίλτρα