TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS"

Transcript

1 Werner Rosenheinrich Ernst - Abbe - Hochschule Jena First variant: University of Applied Sciences Germany TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS Integrals of the type J 0 d or J 0 aj 0 b d are well-known Most of the following integrals are not found in the widely used tables of Gradstein/Ryshik, Bateman/Erdélyi, Abramowitz/ Stegun, Prudnikov/Brychkov/Marichev or Jahnke/Emde/Lösch The goal of this table was to get tables for practicians So the integrals should be epressed by Bessel and Struve functions Indeed, there occured some eceptions Generally, integrals of the type µ J ν d may be written with Lommel functions, see 8], 10-74, or ], III In many cases reccurence relations define more integrals in a simple way Partially the integrals may be found by MAPLE as well In some cases MAPLE gives results with hypergeometric functions, see also ], 96, or 4] Some known integrals are included for completeness Here Z ν denotes some Bessel function or modified Bessel function of the first kind Partially the functions Y ν sometimes called Neumann s functions or Weber s functions and denoted by N ν ] and the Hankel functions H ν 1 and H ν are also considered The same holds for the modified Bessel function of the second kind K ν When a formula is continued in the net line, then the last sign + or - is repeated in the beginning of the new line On page 41 the used special functions and defined functions are described *E* - This sign marks formulas, that were incorrect in previous editions The pages with corrected errors are listed in the errata in the end I wish to epress my thanks to B Eckstein, S O Zafra, Yao Sun and F Nouguier for their remarks 1

2 References: 1] M Abramowitz, I Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, NY, 1970 ] Y L Luke: Mathematical Functions and their Approimations, Academic Press, NY, 1975 ] Y L Luke: Integrals of Bessel Functions, MacGraw-Hill, NY, 196 4] A P Prudnikov, A Bryqkov, O I Mariqev: Integraly i r dy, t : Specialьnye funkcii, Nauka, Moskva, 00; FIZMATLIT, 00 5] E Jahnke, F Emde, F Lösch: Tafeln höherer Funktionen, 6 Auflage, B G Teubner, Stuttgart, ] I S Gradstein, I M Ryshik: Summen-, Produkt- und Integraltafeln / Tables of Series, Products, and Integrals, Band 1 / Volume 1, Verlag Harri Deutsch, Thun Frankfurt/M, ] I S Gradstein, I M Ryshik: Summen-, Produkt- und Integraltafeln / Tables of Series, Products, and Integrals, Band / Volume, Verlag Harri Deutsch, Thun Frankfurt/M, ] G N Watson: A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge, University Press, 19 / ] P Humbert: Bessel-integral functions, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Series, 19, : ] B A Peavy, Indefinite Integrals Involving Bessel Functions JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards - B, vol 718, Nos and, April - September 1967, pp ] B G Korenev: Vvedenie v teori besselevyh funkci i, Nauka, Moskva, ] S K H Auluck, Some integral identities involving products of general solutions of Bessel s equation of integral order, arivorg/abs/

3 1 1 n Z ν with integer values of n Contents 1 Integrals with one Bessel function 111 n Z n+1 Z n 1 Z n Z n Z n+1 Z n Z ν, ν > Higher Antiderivatives 44 1 Elementary Function and Bessel Function 11 n+1/ J ν 46 a Z ν d 46 b Integrals 51 c Recurrence { Formulas } 56 1 n e ± Iν 57 K ν a Integrals with e 57 b Integrals with e 59 { } sinh 1 n I ν 6 14 n cosh { sin cos } J ν n e a J ν 68 a General facts 68 b The Case a > 0 69 c The Case a < 0 77 d Integrals 8 e Special Cases n 1/ { sin cos } J ν n 1/ e ± I ν 9 a n 1/ e I ν 9 b n 1/ e I ν 94 c General formulas n+1 ln Z n ln Z n+ν ln Z ν 104 a The Functions Λ k and Λ k 104 b Basic Integrals 108 c Integrals of n ln Z c Integrals of n+1 ln Z n e ± ln Z ν Some Cases of n e ± Z 0 α 11 1 Special Function and Bessel Function 11 Orthogonal Polynomials 1 a Legendre Polynomials P n 1 b Chebyshev Polynomials T n 18

4 c Chebyshev Polynomials U n 14 d Laguerre Polynomials L n 146 e Hermite Polynomials H n Eponential Integral Sine and Cosine Integral 157 Products of two Bessel Functions 1 Bessel Functions with the the same Argument : 11 n+1 Zν n Zν n Zν 168 a The Functions Θ and Ω 168 b Integrals n Z 0 Z n+1 Z 0 Z n+1 Z 0 Z n+1 J 0 I n J 0 I n J 1 I n+1 J 1 I n+1] J µ Y ν 190 a n+1 J 0 Y b n J 0 Y c n J 0 Y 1 19 d n 1 J 0 Y 1 19 e n J 1 Y f n 1 J 0 Y g n+1 J 1 Y h n J 1 Y Bessel Functions with different Arguments α and β : 1 n+1 Z ν αz ν β 198 a ν = b ν = 1 08 n Z 0 αz 1 β 19 n Z ν αz ν β 4 a Basic Integrals 4 b Integrals 44 4 n+1 Z 0 αz 1 β 51 5 n+1 J 0 αi 0 β 55 6 n J 0 αi 1 β 57 7 n J 1 αi 0 β 59 8 n+1 J 1 αi 1 β 61 9 n+1 J ν αy ν β 6 Bessel Functions with different Arguments and + α 1 1 Z ν Z 1 + α and + α] 1 Z 1 + αz 1 d 64 4 Elementary Function and two Bessel Functions 41 n+1 ln Z ν d and n ln Z 0 Z 1 d 65 4 n ln Z ν Z ν d 7 a Integrals with 4n+ ln J 0 Z 0 7 4

5 a Integrals with 4n+1 ln J 1 Z 1 7 c Integrals with n+1 ln I ν K ν 74 d Integrals with n+ ln I ν K 1 ν 76 4 Some Cases of n ln Z ν Zν α d ep/ sin / cos Z ν Z 1 d Some Cases of n e α Z ν Z 1 d Some Cases of { } sin / cos n α Z sinh / cosh µ Zν β d 9 a { } sin n α Z µ Z ν β d 9 cos b { sinh n cosh } α Z µ Z ν β d 98 Products of three Bessel Functions 1 n Z0 m Z1 m 0 a Basic Integral Z0 0 b Basic Integral Z 0 Z1 06 c Basic Integral Z1 09 d n Z0 17 e n Z0 Z 1 0 f n Z 0 Z1 g n Z1 5 h Recurrence Relations 9 n Z κ α Z µ β Z ν γ 0 a n Z κ Z µ Z ν 0 b n Z κ α Z µ β Z ν α + β 41 c n Z κ α Z µ β Z ν α ± β 67 4 Products of four Bessel Functions 41 m Z0 n Z1 4 n 70 a Eplicit Integrals 70 b Basic Integral Z c Basic Integral Z0 Z1 70 d Basic Integral Z e Integrals of m Z0 4 8 f Integrals of m Z0 Z 1 85 g Integrals of m Z0 Z1 89 h Integrals of m Z 0 Z1 9 i Integrals of m Z j Recurrence relations 95 5 Quotients Denominator p Z 0 + q Z a Typ f Z µ /p Z 0 + q Z 1 ] Denominator p Z 0 + q Z 1 ] 401 a Typ f Z µ /p Z 0 + q Z 1 ] 401 b Typ f Z0 n Z1 n /p Z 0 + q Z 1 ], n = 0, 1, Denominator p Z 0 + q Z 1 ] 405 a Typ f Z µ /p Z 0 + q Z 1 ] Denominator p Z 0 + q Z 1 ]

6 a Typ f Z µ /p Z 0 + q Z 1 ] Denominator p Z0 + q Z1 408 a Typ f Z0 n Z1 n /p Z0 + q Z1 ], n = 0, 1, 408 b Typ f Z0 n Z1 n /p Z0 + q Z 0 Z 1 + rz1 ], n = 0, 1, Denominator a Z 0 + b Z 1 + p Z0 0 Z 1 + r Z Miscellaneous Used special functions and defined functions 41 8 Errata 41 6

7 1 Integrals with one Bessel Function: See also 10], 11 n Z ν with integer values of n 111 Integrals of the type n Z 0 d Let Φ = π J 1 H 0 J 0 H 1 ], where H ν denotes the Struve function, see 1], chapter 1117, 1118 and 1 And let Ψ = π I 0 L 1 I 1 L 0 ] be defined with the modified Struve function L ν Furthermore, let Φ Y = π Y 1 H 0 Y 0 H 1 ], Φ 1 π ] H = H 1 1 H 0 H 1 0 H 1, Φ π ] H = H 1 H 0 H 0 H 1 and Ψ K = π K 0 L 1 + K 1 L 0 ] In the following formulas J ν may be substituted by Y ν and simultaneously Φ by Φ Y or H ν p, p = 1, and Φ p H Well-known integrals: J 0 d = J 0 + Φ = Λ 0 I 0 d = I 0 + Ψ = Λ 0 K 0 d = K 0 + Ψ K The new-defined function Λ 0 is discussed in 110 a on page 104 and so is Λ 0 on page 106 See also 1], 111 H p 0 Y 0 d = Y 0 + Φ Y d = Hp 0 + Φp H, p = 1, J 0 d = J 1 Φ I 0 d = I 1 + Ψ K 0 d = K 1 + Ψ K 4 J 0 d = 4 9 J 1 + J 0 + 9Φ 4 I 0 d = I 1 I 0 + 9Ψ 4 K 0 d = K 1 K 0 + 9Ψ K E 7

8 6 J 0 d = J J 0 5Φ 6 I 0 d = I I 0 + 5Ψ 6 K 0 d = K K 0 + 5Ψ K and so on 8 J 0 d = J J Φ 8 I 0 d = I I Ψ 10 J 0 d = J J Φ 10 I 0 d = I I Ψ 1 J 0 d = J 0 + Let J Φ 1 I 0 d = I I Ψ n!! = and n!! = 1 in the case n 0 General formulas: and + + n J 0 d = n 1 k=0 n { 4 n n, n = m 1 5 n n, n = m + 1 n 1 k n 1!!] n k 1 J 0 + n 1 k!!] n k!!] k=0 ] 1 k n 1!! n k J n n 1!!] Φ = n 1 k!! = n 1 k=0 k=0 1 k n!] n k! n k 1! n k 1 k+1 n! J 0 + n k! n k! ] 1 k n! n k! k n k n! n k! n k=0 n I 0 d = n 1 n 1!!] n k 1 n 1 k!!] n k!!] ] n! J n n Φ n! ] n 1!! n k I 1 n 1 k!! k=0 I 0 + n 1!!] Ψ = 8

9 n k=0 Recurrence formulas: = n 1 ] n! n k! k n k I 1 n! n k! k=0 n!] n k! n k 1! n k 1 k+1 n! n k! n k! ] n! I 0 + n Ψ n! n+ J 0 d = n + 1 n+1 J 0 + n+ J 1 n + 1 n+ I 0 d = n + 1 n+1 I 0 + n+ I 1 + n + 1 n+ K 0 d = n + 1 n+1 K 0 n+ K 1 + n + 1 n J 0 d n I 0 d n K 0 d In the case n < 0 the previous formulas give J0 d = J J 0 Φ I0 d = 1 I 0 I 1 + Ψ K0 d = 1 K 0 + K 1 + Ψ K J0 4 d = ] 9 J 0 1 J 1 + Φ I0 4 d = 1 4 ] 9 I I 1 + Ψ K0 4 d = 1 4 ] 9 K K 1 + Ψ K J0 6 d = J I0 6 d = I K ] K 1 + Ψ K K0 6 d = 1 5 J0 8 d = I0 8 d = ] J 0 Φ ] I 1 + Ψ and so on J ] 5 6 J 1 + Φ I J d = J I0 10 d = ] J 0 Φ I 0 9 ] I 1 + Ψ E E 9

10 ] I 1 + Ψ J0 1 d = I0 1 d = J ] J 1 + Φ I I 1 + Ψ General formula: With n!! as defined on page 8 holds J0 d 1 n n 1 n = n 1!!] + 1 k k + 1!! k 1!! k 1 J 0 k=0 ] n 1 1 k k + 1!!] k J 1 + Φ = k=0 = 1n n n! n! 1 n k=0 { n k k +! k! k+1 k + 1! k! k+1 J 0 1 k k+ k=0 ] } k +! k+1 J 1 + Φ k + 1! With obviously modifications one gets the the formulas for the integrals n I 0 d and n K 0 d ] 10

11 11 Integrals of the type n+1 Z 0 d In the following formulas J ν may be substituted by Y ν or H p ν, p = 1, J 0 d = J 1 I 0 d = I 1 K 0 d = K 1 J 0 d = J J 1 ] I 0 d = + 4 I 1 I 0 ] K 0 d = + 4 K 1 + K 0 ] 5 J 0 d = 4 J J 1 ] 5 I 0 d = I I 0 ] 5 K 0 d = K K 0 ] 7 J 0 d = J J 1 ] 7 I 0 d = I I 0 ] 7 K 0 d = K K 0 ] 9 J 0 d = = J J 1 ] 9 I 0 d = = I I 0 ] 9 K 0 d = = K K 0 ] Let m J 0 d = P m J 0 + Q m J 1 ] and m I 0 d = Q mi 1 P mi 0 ], m K 0 d = Q mk 1 + P mk 0 ], then holds P 11 = Q 11 = P11 = Q 11 = *E* 11

12 P 1 = Q 1 = P1 = Q 1 = P 15 = Q 15 = P 15 = = *E* Q 15 = Recurrence formulas: n+1 J 0 d = n n J 0 + n+1 J 1 4n n+1 I 0 d = n n I 0 + n+1 I 1 + 4n n+1 K 0 d = n n K 0 n+1 K 1 + 4n k=0 n 1 J 0 d General formula: With n!! as defined on page 8 holds n 1 n+1 J 0 d = 1 k n!!] n k n k!!] n k!!] = n 1 1 k k=0 n ] + 1 k n!! n+1 k J 1 = n k!! k=0 n J 0 + k+1 n! n k n k! n k 1! k=0 n 1 I 0 d n 1 K 0 d J 0 + ] 1 k k n! n+1 k J 1 n k! With obviously modifications one gets the the formulas for the integrals n+1 I 0 d and n+1 K 0 d *E* 1

13 11 Integrals of the type n 1 Z 0 d The basic integral J0 d can be epressed by 0 1 J 0 t t J 0 t dt dt or = Ji 0, t see 1], equation and the following formulas There are given asymptotic epansions and polynomial approimations as well Tables of these functions may be found by 1], 111] or 11] The function Ji 0 is introduced and discussed in 9] For fast computations of this integrals one should use approimations with Chebyshev polynomials, see ], tables 9 I got the information from F Nouguier, that there is an error in a formula in 9], p 78 The true formula is The power series in Ji 0 ln = sin π π I0 d can be used without numerical problems γ ln + sin π π = ln + k=1 s=1 1 s 1 s Ji 0s ln s] 1 k k k! E In the following formulas J ν may be substituted by Y ν or H ν p, p = 1, J0 d = J 0 + J J0 d 4 I0 d = I 0 I I0 d 4 J0 d 1 5 = J J J0 d 64 I0 d 1 5 = I I I0 d 64 J0 d 7 = J J 1 1 J0 d 04 I0 d 7 = I I I0 d 04 J0 d 9 = = J J 1 + I0 d 9 = = I I 1 + J0 d 11 = E J J0 d J I0 d 11 = I I J0 d I0 d I0 d 1

14 Descending recurrence formulas: n 1 J 0 d = 1 4n n 1 I 0 d = 1 4n n+1 J 1 n n J 0 n+1 I 1 n n I 0 + General formula: With n!! as defined on page 8 holds J0 d n+1 = ] n+1 J 0 d ] n+1 I 0 d { n 1 n 1 = 1n k k +!! k!! } n!!] 1 k+ J 0 1 k k!!] J0 d k+1 J 1 + = E k=0 k=0 { n 1 n 1 = 1n n n! 1 k k+1 k + 1! k! k+ J 0 1 k k k! } J0 d k+1 J 1 + E k=0 With obviously modifications one gets the the formula for the integral n 1 I 0 d k=0 14

15 114 Integrals of the type n Z 1 d In the following formulas J ν may be substituted by Y ν or H p ν, p = 1, J 1 d = J 0 I 1 d = I 0 K 1 d = K 0 J 1 d = J 1 J 0 ] I 1 d = I 0 I 1 ] K 1 d = K 0 + K 1 ] 4 J 1 d = 4 16 J 1 8 J 0 ] 4 I 1 d = + 8 I I 1 ] 4 K 1 d = + 8 K K 1 ] 6 J 1 d = J J 0 ] 6 I 1 d = I I 1 ] 6 K 1 d = K K 1 ] 8 J 1 d = = J J 0 ] 8 I 1 d = = I I 1 ] 8 K 1 d = = K K 1 ] 10 J 1 d = J J 0 ] 10 I 1 d = I I 1 ] 10 K 1 d = K

16 K 1 ] Let m J 1 d = Q m J 1 P m J 0 ] and m I 1 d = P mi 0 Q mi 1 ], m K 1 d = P mi 0 + Q mi 1 ], then holds P 1 = Q 1 = P 1 = Q 1 = *E* P 14 = Q 14 = P14 = Q 14 = Recurrence formulas: n+ J 1 d = n+ J 0 + n + n+1 J 1 4nn + 1 n J 1 d n+ I 1 d = n+ I 0 n + n+1 I 1 + 4nn + 1 n+ K 1 d = n+ K 0 n + n+1 K 1 + 4nn + 1 n I 1 d n K 1 d General formula: With n!! as defined on page 8 holds n 1 n k n!!] n!!] n 1 k J 1 d = 1 n k!!] = n 1 k=0 1 k k=0 n 1 k=0 n 1 n!! n!! n k n k!!] n k!!] J 0 = 1 k k+1 n! n 1! n 1 k n 1 k!] J 1 k=0 1 k k n! n 1!! n k J 0 n k! n 1 k! J 1 With obviously modifications one gets the the formulas for the integrals n I 1 d and n K 1 d 16

17 115 Integrals of the type n Z 1 d About the integrals see 11, page 1 J0 d and I0 d In the following formulas J 0 may be substituted by Y 0 and simultaneously J 1 by Y 1 J1 d = 1 J J0 d I1 d = 1 I I0 d J1 d 4 = 1 8 J J 1 1 J0 d 16 I1 d 4 = 1 8 I I I0 d 16 J1 d 6 = = J J J0 d 84 I1 d 6 = I I I0 d 84 J1 d 8 = = J J 1 1 J0 d 184 I1 d 8 = I I I0 d 184 J1 d 10 = Recurrence formulas: = J J J0 d I1 d 10 = = I I I0 d E E J1 d J 0 n+ = 4nn + 1 n I1 d I 0 n+ = 4nn + 1 n J 1 n + n+1 1 4nn + 1 I 1 n + n nn + 1 J1 d n I1 d n 17

18 General formula: With n!! as defined on page 8 holds J1 d 1 n+1 n = n!! n!! { n n 1 k k +!! k!! } 1 k+ J 0 1 k k!!] J0 d k+1 J 1 + = k=0 k=0 1 n+1 = n 1 n! n 1! n 1 1 k k+1 k + 1! k! k+ J 0 1 k k k! ] J0 d k+1 J 1 + n k=0 With obviously modifications one gets the the formula for the integral n I 1 d k=0 18

19 116 Integrals of the type n+1 Z 1 d Φ, Φ Y, Ψ and Ψ K are the same as in 111, page 7 In the following formulas J ν may be substituted by Y ν and simultaneously Φ by Φ Y or H ν p, p = 1, and Φ p H J 1 d = Φ I 1 d = Ψ K 1 d = Ψ K J 1 d = J 1 J 0 Φ I 1 d = I 1 + I 0 Ψ K 1 d = K 1 K 0 + Ψ K 5 J 1 d = J J Φ 5 I 1 d = I I 0 45Ψ 5 K 1 d = K K Ψ K 7 J 1 d = J J Φ E 7 I 1 d = I I Ψ 7 K 1 d = K K Ψ K 9 J 1 d = = J J Φ 9 I 1 d = = I I Ψ 9 K 1 d = = K K Ψ General formula: With n!! as defined on page 8 holds n 1 n+1 k n + 1!! n 1!! n k J 1 d = 1 n 1 k!!] J 1 n 1 k=0 k=0 k n + 1!! n 1!! n+1 k 1 J n n + 1!! n 1!! Φ = n + 1 k!! n 1 k!! 19

20 n 1 k=0 n 1 = 1 k n +! n! n k!] n k k+1 n + 1! n! n k!] J 1 k=0 k n +! n! n + 1 k! n k! n+1 k 1 k J 0 + n + 1! n! n + k! n k! + 1 n n +! n! n+1 n + 1! n! Φ With obviously modifications one gets the the formulas for the integrals n+1 I 1 d and n+1 K 1 d Recurrence formulas: n+1 J 1 d = n+1 J 0 + n + 1 n J 1 n 1n + 1 n 1 J 1 d n+1 I 1 d = n+1 I 0 n + 1 n I 1 + n 1n + 1 n+1 K 1 d = n+1 K 0 n + 1 n K 1 + n 1n + 1 n 1 I 1 d n 1 K 1 d Descending: J1 d J 0 n+1 = 4n 1 n 1 J 1 n + 1 n 1 J1 d 4n 1 n 1 I1 d I 0 n+1 = 4n 1 n 1 I 1 n + 1 n + 1 I1 d 4n 1 n 1 K1 d K 0 n+1 = 4n 1 n 1 K 1 n + 1 n + 1 K1 d 4n 1 n 1 J1 d = J 0 J 1 + Φ I1 d = I 0 I 1 + Ψ K1 d = K 0 K 1 Ψ K J1 d = 1 ] 1 J J 0 Φ I1 d = 1 ] + 1 I I 0 + Ψ K1 d = 1 ] + 1 K 1 1 K 0 Ψ K J1 5 d = J 0 4 ] J 1 + Φ I1 5 d = I ] I 1 + Ψ K1 5 d = K ] K 1 Ψ K J1 7 d = J ] J 0 Φ 0

21 I1 7 d = K1 7 d = = = = J1 11 d = 6 I K J1 9 d = 7 J I1 9 d = 7 I K1 9 d = ] I 0 + Ψ ] K 0 Ψ k ] J 1 + Φ ] I 1 + Ψ 7 K J I1 11 d = K1 11 d = 9 ] J 0 Φ I ] I 0 + Ψ K 0 + Ψ K General formula: With n!! as defined on page 8 holds { J1 d 1 n n+1 = + n + 1!! n 1!! n 1 k=0 ] ] I 1 Ψ K K 1 1 k k + 1!! k 1!! k+1 J 0 } n 1 k k + 1!!] 1 1 J 1 + Φ = k=0 k+ { = n+1 n 1 n + 1! n! 1 k k +! k! n +! n! k+1 k + 1! k! k+1 J 0 k=0 } n k k +!] k+ k + 1!] k+ J 1 + Φ k=0 With obviously modifications one gets the the formulas for the integrals n 1 I 1 d and n 1 K 1 d 1

22 117 Integrals of the type n Z ν d, ν > 1 : From the well-known recurrence relations one gets immadiately J ν+1 d = J ν + J ν 1 d and I ν+1 d = I ν I ν 1 d With this formulas follows J ν t dt = Λ 0 0 κ=1 n J κ 1, J ν+1 t dt = 1 J 0 0 κ=1 n J κ 0 I ν t dt = 1 n Λ 0+ n 1 n+κ I κ 1, κ=1 0 I ν+1 t dt = 1 n I 0 1]+ n 1 n+κ I κ The integrals Λ 0 and Λ 0 are defined on page 7 and discussed on page 104 and 106 Holds n n Y ν d = Y 0 + Φ Y Y κ 1, Y ν+1 d = Y 0 Y κ 1 H 1 ν H ν d = H1 0 + Φ1 d = H 0 + Φ κ=1 H n κ=1 H n κ=1 H 1 κ 1, H κ 1, H 1 ν+1 d = H1 H ν+1 d = H { K ν d = 1 n K 0 + π } K 0L 1 + K 1 L 0 ] + K ν+1 d = 1 n+1 K 0 + About the functions Φ Y, Φ 1 H, Φ H see page 7 Further on, holds t J ν+1 t dt = ν + 1Λ 0 J 0 + ] ν 1 t J ν t dt = J 1 + J κ+1 κ=1 t I ν+1 t dt = 1 ν+1 ν + 1Λ 0 I 0 κ=1 κ=1 κ=1 0 n κ=1 0 n κ=1 H 1 κ 1 H κ 1 n 1 n+κ K κ 1, κ=1 n 1 n+κ+1 K κ κ=1 ] ν J κ κ=1 ν 1 4 κ=0 ν 1 + ν1 J 0 ] 4 κ=1 ν κj κ+1 ν κj κ ] ν ν 1 1 κ I κ 4 1 κ ν κi κ+1 ] ν 1 ν 1 t I ν t dt = 1 I ν κ I κ+1 + ν1 I 0 ] 4 1 κ ν κi κ Some of the previous sums may cause numerical problems, if is located near 0 For instance, the sum 0 gives with = 0 t I 6 t dt = J 1 J + J J 0 + 8J 4J = = , κ=1 κ=0 κ=1

23 which means the loss of 10 decimal digits For that reason the value of such integrals should be computed by the power series or other formulas See also the following remark In the following the integrals are epressed by Z 0 and Z 1 Integrals with n 4 are written eplicitely: at first n = 0, 1,,, 4, after them n = 1, In the other cases the functions P ν n, Q n ν and the coefficients R n ν, S ν n describe the integral n J ν d = P ν n J 0 + Q n ν J 1 + R n ν Λ 0 + S ν n J0 d Furthermore, let n I ν d = P n, ν I 0 + Q n, ν I 1 + R n, ν Λ 0 + S ν n, I0 d Concerning 1 Z 0 d see 11, page 1 Simple recurrence formula: n J ν+1 d = ν n 1 J ν d n J ν 1 d n I ν+1 d = ν n 1 J ν d + n J ν 1 d The integrals of n Z 0 and n Z 1 to start this recurrences are already described Remark: Let F ν m denote the antiderivative of m Z ν as given in the following tables They do not eist in the point = 0 in the case ν + m < 0 However, even if ν + m 0 the value of F ν m 0 sometimes turns out to be a limit of the type For instance, holds J d = J 0 J 1 = F with lim F = With L ν,m = lim 0 F ν m for the Bessel functions J ν and L ν,m for the modified Bessel functions I ν one has the following limits in the tables of integrals The values L ν,m = 0 are omitted: L, 1 = 1/, L, 1 = 1/ L,0 = 1, L, = 1/8; L,0 = 1, L, = 1/8 L 4,1 = 4, L 4, 1 = 1/4, L 4, = 1/48; L 4,1 = 4, L 4, 1 = 1/4, L 4, = 1/48 L 5, = 4, L 5,0 = 1, L 5, = 1/4, L 5, 4 = 1/84; L 5, = 4, L 5,0 = 1, L 5, = 1/4, L 5, 4 = 1/84 L 6, = 19, L 6,1 = 6, L 6, 1 = 1/6, L 6, = 1/19, L 6, 5 = 1/840; L 6, = 19, L 6,1 = 6, L 6, 1 = 1/6, L 6, = 1/19, L 6, 5 = 1/840 L 7,4 = 190, L 7, = 48, L 7,0 = 1, L 7, = 1/48, L 7, 4 = 1/190, L 7, 6 = 1/46080; L 7,4 = 190, L 7, = 48, L 7,0 = 1, L 7, = 1/48, L 7, 4 = 1/190, L 7, 6 = 1/46080 L 8,5 = 040, L 8, = 480, L 8,1 = 8, L 8, 1 = 1/8, L 8, = 1/480, L 8, 5 = 1/040; L 8,5 = 040, L 8, = 480, L 8,1 = 8, L 8, 1 = 1/8, L 8, = 1/480, L 8, 5 = 1/040 L 9,6 = 560, L 9,4 = 5760, L 9, = 80, L 9,0 = 1, L 9, = 1/80, L 9, 4 = 1/5760, L 9, 6 = 1/560; L 9,6 = 560, L 9,4 = 5760, L 9, = 80, L 9,0 = 1, L 9, = 1/80, L 9, 4 = 1/5760, L 9, 6 = 1/560 L 10,7 = , L 10,5 = 80640, L 10, = 960, L 10,1 = 10, L 10, 1 = 1/10, L 10, = 1/960, L 10, 5 = 1/80640; L 10,7 = , L 10,5 = 80640, L 10, = 960, L 10,1 = 10, L 10, 1 = 1/10, L 10, = 1/960, L 10, 5 = 1/80640

24 In the described cases of limits of the type the numerical computation of F ν m causes difficulties, if 0 < << 1 Then it is preferable to use the power series, which has a fast convergengence for such values of With m + ν 0 holds 0 t m J ν t dt = m+ν+1 ν 1 k k k! ν + k! 4 k m + ν k k=0 and From this one has For instance, 0 t m I ν t dt = m+ν+1 ν F m ν = L ν,m k=0 k k! ν + k! 4 k m + ν k t m J ν t dt and F,m ν = L ν,m + J d = J 0 J = 0 t m I ν t dt = = = = It was a loss of seven decimal digits at = 000 This value may be found without problems by the power series: F 000 = = ] = = = In the previous value, signed by *, the last digit should be instead of 4 and the result had to finish with 8 The integrals with I ν may be computed in the same way This method can be used even if ν + m < 0 For instance, J 4 1 J 4 J 4 7 d = d d and the second integral is given in the following tables For the first one holds with the power series of the function J 4 1 J d = = d = 1 1 = d = = ln = = = = Here are no differences of nearly the same values = 4

25 Z : J d = J 1 + Λ 0 I d = I 1 Λ 0 J d = J 0 J 1 I d = I 0 + I 1 J d = J 0 J 1 + Λ 0 I d = I 0 + I 1 + Λ 0 J d = 4 J 0 8 J 1 I d = 4 I I 1 4 J d = 5 J 0 15 J 1 15Λ 0 4 I d = 5 + I I Λ 0 J d = J 1 I d = I 1 J d = 1 J 0 + J Λ 0 I d = 1 I 0 I Λ 0 P 5 = 6 8, Q 5 = , R 5 = 0, S 5 = 0 P 5, = 6 + 8, Q 5, = , R 5, = 0, S 5, = 0 P 6 = , Q 6 = , R 6 = 15, S 6 = 0 P 6, = , Q 6, = , R 6, = 15, S 6, = 0 P 7 = , Q 7 = , R 7 = 0, S 7 = 0 P 7, = , Q 7, = , R 7, = 0, S 7, = 0 P 8 = , Q 8 = , R 8 = 14175, S 8 = 0 P 8, = , Q 8, = , R 8, = 14175, S 8, = 0 P 9 = , Q 9 = , R 9 = 0, S 9 = 0 5

26 P 9, = , Q 9, = , R 9, = 0, S 9, = 0 P 10 = , Q 10 = , R 10 = , S 10 = 0 P 10, = , Q 10, = , R 10, = , S 10, = 0 P = 1 4, Q = + 4 8, R = 0, S = 1 8 P, = 1 4, Q, = 4 8, R, = 0, S, = 1 8 P 4 = 15, Q 4 = , R 4 = 1 15, S 4 = 0 P 4, = + 15, Q 4, = , R 4, = 1 15, S 4, = 0 P 5 = , Q 5 = , R 5 = 0, S 5 = 1 96 P 5, = , Q 5, = , R 5, = 0, S 5, = 1 96 P 6 = , Q 6 = , R 6 = 1 15, S 6 = 0 P 6, = , Q 6, = , R 6, = 1 15, S 6, = 0 Z : J d = J 0 4 J 1 I d = I 0 4 I 1 J d = J 0 8J 1 + Λ 0 I d = I 0 8I 1 + Λ 0 J d = 8J 0 6J 1 I d = + 8I 0 6I 1 J d = 15 J 0 7 J Λ 0 I d = + 15 I 0 7 I 1 15Λ 0 4 J d = 4 J J 1 4 I d = + 4 I I 1 J d = 4 J J Λ 0 6

27 I d = 4 I I 1 1 Λ 0 J d = J 0 J 1 I d = I 0 I 1 P 5 = , Q 5 = , R 5 = 105, S 5 = 0 P 5, = , Q 5, = , R 5, = 105, S 5, = 0 P 6 = , Q 6 = , R 6 = 0, S 6 = 0 P 6, = , Q 6, = , R 6, = 0, S 6, = 0 P 7 = , Q 7 = , R 7 = 85, S 7 = 0 P 7, = , Q 7, = , R 7, = 85, S 7, = 0 P 8 = , Q 8 = , R 8 = 0, S 8 = 0 P 8, = , Q 8, = , R 8, = 0, S 8, = 0 P 9 = , Q 9 = , R 9 = 15595, S 9 = 0 P 9, = , Q 9, = , R 9, = 15595, S 9, = 0 P 10 = , Q 10 = , R 10 = 0, S 10 = 0 P 10, = , Q 10, = , R 10, = 0, S 10, = 0 P = , Q = , R = 1 15, S = 0 P, = 1 15, Q, = , R, = 1 15, S, = 0 P 4 = , Q 4 = , R 4 = 0, S 4 = 1 48 P 4, = , Q 4, = , R 4, = 0, S 4, = 1 48 P 5 = , Q 5 = , R 5 = 1 105, S 5 = 0 P 5, = , Q 5, = , R 5, = 1 105, S 5, = 0 P 6 = , Q 6 = , R 6 = 0, S 6 = P 6, = , Q 6, = , R 6, = 0, S 6, =

28 Z 4 : J 4 d = 8J 0 16J 1 + Λ 0 I 4 d = 8I I 1 + Λ 0 J 4 d = 8J J 1 I 4 d = 8I I 1 J 4 d = 9J J Λ 0 I 4 d = 9I I 1 15Λ 0 J 4 d = 10 48J J 1 I 4 d = I I 1 4 J 4 d = J J Λ 0 4 I 4 d = I I Λ 0 J4 d = 6J J 1 I4 d = 6J J 1 J4 d = J J Λ 0 I4 d = 7 15 I I Λ 0 P 5 4 = , Q 5 4 = , R 5 4 = 0, S 5 4 = 0 P 5, 4 = , Q 5, 4 = , R 5, 4 = 0, S 5, 4 = 0 P 6 4 = , Q 6 4 = , R 6 4 = 945, S 6 4 = 0 P 6, 4 = , Q 6, 4 = , R 6, 4 = 945, S 6, 4 = 0 P 7 4 = , Q 7 4 = , R 7 4 = 0, S 7 4 = 0 P 7, 4 = , Q 7, 4 = , R 7, 4 = 0, S 7, 4 = 0 P 8 4 = , Q 8 4 = , R 8 4 = 1185, S 8 4 = 0 8

TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS

TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS Werner Rosenheinrich 191016 Ernst - Abbe - Hochschule Jena First variant: 40900 University of Applied Sciences Germany TABLES OF SOME INDEFINITE INTEGRALS OF BESSEL FUNCTIONS Integrals of the type J 0

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΜΑΣΤΕΚΤΟΜΗ ΓΕΩΡΓΙΑ ΤΡΙΣΟΚΚΑ Λευκωσία 2012 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτικές λειτουργίες

Συντακτικές λειτουργίες 2 Συντακτικές λειτουργίες (Syntactic functions) A. Πτώσεις και συντακτικές λειτουργίες (Cases and syntactic functions) The subject can be identified by asking ποιος (who) or τι (what) the sentence is about.

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

Derivations of Useful Trigonometric Identities

Derivations of Useful Trigonometric Identities Derivations of Useful Trigonometric Identities Pythagorean Identity This is a basic and very useful relationship which comes directly from the definition of the trigonometric ratios of sine and cosine

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C

Correction Table for an Alcoholometer Calibrated at 20 o C An alcoholometer is a device that measures the concentration of ethanol in a water-ethanol mixture (often in units of %abv percent alcohol by volume). The depth to which an alcoholometer sinks in a water-ethanol

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

3.4. Click here for solutions. Click here for answers. CURVE SKETCHING. y cos x sin x. x 1 x 2. x 2 x 3 4 y 1 x 2. x 5 2

3.4. Click here for solutions. Click here for answers. CURVE SKETCHING. y cos x sin x. x 1 x 2. x 2 x 3 4 y 1 x 2. x 5 2 SECTION. CURVE SKETCHING. CURVE SKETCHING A Click here for answers. S Click here for solutions. 9. Use the guidelines of this section to sketch the curve. cos sin. 5. 6 8 7 0. cot, 0.. 9. cos sin. sin

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1)

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1) 8 Higher Derivative of the Product of Two Fuctios 8. Leibiz Rule about the Higher Order Differetiatio Theorem 8.. (Leibiz) Whe fuctios f ad g f g are times differetiable, the followig epressio holds. r

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG

DuPont Suva. DuPont. Thermodynamic Properties of. Refrigerant (R-410A) Technical Information. refrigerants T-410A ENG Technical Information T-410A ENG DuPont Suva refrigerants Thermodynamic Properties of DuPont Suva 410A Refrigerant (R-410A) The DuPont Oval Logo, The miracles of science, and Suva, are trademarks or registered

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ www.cms.org.cy ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence:

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence: Math 6 Practice Problems Solutios Power Series ad Taylor Series 1. For each of the followig power series, fid the iterval of covergece ad the radius of covergece: (a ( 1 x Notice that = ( 1 +1 ( x +1.

Διαβάστε περισσότερα

Code Breaker. TEACHER s NOTES

Code Breaker. TEACHER s NOTES TEACHER s NOTES Time: 50 minutes Learning Outcomes: To relate the genetic code to the assembly of proteins To summarize factors that lead to different types of mutations To distinguish among positive,

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS

DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANSFORMATION SEMIGROUPS GANIT J. Bangladesh Math. oc. IN 606-694) 0) -7 DIRECT PRODUCT AND WREATH PRODUCT OF TRANFORMATION EMIGROUP ubrata Majumdar, * Kalyan Kumar Dey and Mohd. Altab Hossain Department of Mathematics University

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS ΟΜΗΡΟΥ ΙΛΙΑΔΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS www.scooltime.gr [- 2 -] The Project Gutenberg EBook of Iliad, by Homer This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S.

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S. Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. Proof. ( ) Since α is 1-1, β : S S such that β α = id S. Since β α = id S is onto,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICES

MATRICES MARICES 1. Matrix: he arrangement of numbers or letters in the horizontal and vertical lines so that each horizontal line contains same number of elements and each vertical row contains the same numbers

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves:

wave energy Superposition of linear plane progressive waves Marine Hydrodynamics Lecture Oblique Plane Waves: 3.0 Marine Hydrodynamics, Fall 004 Lecture 0 Copyriht c 004 MIT - Department of Ocean Enineerin, All rihts reserved. 3.0 - Marine Hydrodynamics Lecture 0 Free-surface waves: wave enery linear superposition,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 11: The Unreal Past Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Macromechanics of a Laminate Tetboo: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Figure 4.1 Fiber Direction θ z CHAPTER OJECTIVES Understand the code for laminate stacing sequence Develop relationships

Διαβάστε περισσότερα

Door Hinge replacement (Rear Left Door)

Door Hinge replacement (Rear Left Door) Door Hinge replacement (Rear Left Door) We will continue the previous article by replacing the hinges of the rear left hand side door. I will use again the same procedure and means I employed during the

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ ΣΕ Φ/Β ΠΑΡΚΟ 80KWp

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ ΣΕ Φ/Β ΠΑΡΚΟ 80KWp ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΗ ΙΣΧΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH LEAN PRODUCTION TOOLS

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH LEAN PRODUCTION TOOLS ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΑΝΑΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΣΥΝΑΡΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΡΓΑΛΕΙΩΝ ΛΙΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ REDESIGNING AN ASSEMBLY LINE WITH

Διαβάστε περισσότερα

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved.

(C) 2010 Pearson Education, Inc. All rights reserved. Connectionless transmission with datagrams. Connection-oriented transmission is like the telephone system You dial and are given a connection to the telephone of fthe person with whom you wish to communicate.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ AΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΒΙΩΣΙΜΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7 Analytic Trigonometry

Chapter 7 Analytic Trigonometry Chapter 7 Analytic Trigonometry Section 7.. Domain: { is any real number} ; Range: { y y }. { } or { }. [, ). True. ;. ; 7. sin y 8. 0 9. 0. False. The domain of. True. True.. y sin is. sin 0 We are finding

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author.

Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. Κάθε γνήσιο αντίγραφο φέρει υπογραφή του συγγραφέα. / Each genuine copy is signed by the author. 2012, Γεράσιμος Χρ. Σιάσος / Gerasimos Siasos, All rights reserved. Στοιχεία επικοινωνίας συγγραφέα / Author

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς;

1. Πόσοι αριθμοί μικρότεροι του διαιρούνται με όλους τους μονοψήφιους αριθμούς; ΚΥΠΡΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΤΙΡΙ ΠΡΧΙΚΟΣ ΙΩΝΙΣΜΟΣ 7//2009 ΩΡ 0:00-2:00 ΟΗΙΣ. Να λύσετε όλα τα θέματα. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 0 μονάδες. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι (επιτρέπεται η χρήση μολυβιού για τα

Διαβάστε περισσότερα

A METHOD OF SOLVING LAGRANGE S FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WHOSE COEFFICIENTS ARE LINEAR FUNCTIONS

A METHOD OF SOLVING LAGRANGE S FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WHOSE COEFFICIENTS ARE LINEAR FUNCTIONS International Journal of Differential Equations and Applications Volume 14 No. 2 2015, 65-79 ISSN: 1311-2872 url: http://www.ijpam.eu doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijdea.v14i2.2091 PA acadpubl.eu A METHOD

Διαβάστε περισσότερα

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Day one I. Word Study and Grammar 1. Most Greek verbs end in in the first person singular. 2. The present tense is formed by adding endings to the present stem.

Διαβάστε περισσότερα

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Business English. Ενότητα # 9: Financial Planning. Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Business English Ενότητα # 9: Financial Planning Ευαγγελία Κουτσογιάννη Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE By Tom Irvie Email: tomirvie@aol.com March 3, 999 Itroductio May processes have a ormal probability distributio. Broadbad radom vibratio is a example. The purpose

Διαβάστε περισσότερα

1000 VDC 1250 VDC 125 VAC 250 VAC J K 125 VAC, 250 VAC

1000 VDC 1250 VDC 125 VAC 250 VAC J K 125 VAC, 250 VAC Metallized Polyester Film Capacitor Type: ECQE(F) Non-inductive construction using metallized Polyester film with flame retardant epoxy resin coating Features Self-healing property Excellent electrical

Διαβάστε περισσότερα

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις

Repeated measures Επαναληπτικές μετρήσεις ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο αρχείο δεδομένων diavitis.sav καταγράφεται η ποσότητα γλυκόζης στο αίμα 10 ασθενών στην αρχή της χορήγησης μιας θεραπείας, μετά από ένα μήνα και μετά από δύο μήνες. Μελετήστε την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

Taylor Polynomials. 2 x2 6 x3 24 x4

Taylor Polynomials. 2 x2 6 x3 24 x4 > Taylor Polynomials > Taylor Polynomials about x = 0. A primary use of Taylor polynomials is to find good polynomial approximations to a function near a specified value. As a first example, we use a fourth

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ιπλωµατική Εργασία του φοιτητή του τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Ηλεκτρονικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) , ) , ; kg 1) 80 % kg. Vol. 28,No. 1 Jan.,2006 RESOURCES SCIENCE : (2006) ,2 ,,,, ; ;

( ) , ) , ; kg 1) 80 % kg. Vol. 28,No. 1 Jan.,2006 RESOURCES SCIENCE : (2006) ,2 ,,,, ; ; 28 1 2006 1 RESOURCES SCIENCE Vol. 28 No. 1 Jan. 2006 :1007-7588(2006) 01-0002 - 07 20 1 1 2 (11 100101 ; 21 101149) : 1978 1978 2001 ; 2010 ; ; ; : ; ; 24718kg 1) 1990 26211kg 260kg 1995 2001 238kg( 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Διπλωµατική Εργασία Της Φοιτήτριας του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού)

Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Οι αδελφοί Montgolfier: Ψηφιακή αφήγηση The Montgolfier Βrothers Digital Story (προτείνεται να διδαχθεί στο Unit 4, Lesson 3, Αγγλικά Στ Δημοτικού) Προσδοκώμενα αποτελέσματα Περιεχόμενο Ενδεικτικές δραστηριότητες

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Η προβολή επιστημονικών θεμάτων από τα ελληνικά ΜΜΕ : Η κάλυψή τους στον ελληνικό ημερήσιο τύπο Σαραλιώτου

Διαβάστε περισσότερα