Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική"

Transcript

1 Κώστας. Κόκκοτας Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές στη Φυσική Σηµειώσεις για τους ϕοιτητές 13 Φεβρουαρίου 2008

2

3 Περιεχόµενα 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ (BOLZANO) Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ MULLER Η ΜΕΘΟ ΟΣ x = g(x) Βελτίωση Aitken ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON εύτερης τάξης Newton Raphson (Halley) Πολλαπλές ϱίζες ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η Μέθοδος Newton Μέθοδος τύπου x = g(x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS JORDAN ΜΕΘΟ ΟΣ L U ΜΕΘΟ ΟΣ JACOBI(Επαναληπτική) ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS SEIDEL Η ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΚΑΙ Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Η ορίζουσα Ο αντίστροφος πίνακας Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Η µέθοδος των δυνάµεων Επιτάχυνση Aitken Αντίστροφη µέθοδος των δυνάµεων Μέθοδος της µετάθεσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4 VI Περιεχόµενα 3 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ & ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ LAGRANGE Απόδειξη του τύπου Lagrange Σφάλµα του τύπου Lagrange ΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΓΙΑ ΙΣΑΠΕΧΟΝΤΑ x i Τύποι για ισαπέχοντα x i ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ (HERMITE) ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ TAYLOR ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ SPLINES ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΥΠΟΙ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΥΠΟΙ NEWTON COTES Κανόνας τραπεζίου Κανόνας του Simpson Κανόνας του Simpson(3/8) Η ϐελτίωση του Romberg Εφαρµογή των Splinesστην Παραγώγιση και Ολοκλήρωση συναρτήσεων ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Μέθοδος του Filon ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS Μέθοδος Gauss Legendre Γενίκευση της µεθόδου Gauss ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΝΟΣ ΒΗΜΑΤΟΣ Μέθοδος Σειρών Taylor Μέθοδοι Euler & Euler Heun Σφάλµατα και Ευστάθεια Μέθοδος Runge Kutta ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΒΗΜΑΤΩΝ Μέθοδος Adams Μέθοδος Milne ΜΕΘΟ ΟΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ - ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 Περιεχόµενα VII 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Παραβολή ελαχίστων τετραγώνων Συνεχή δεδοµένα ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕ ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Προσέγγιση µε ϱητή συνάρτηση για οµάδα σηµείων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η Εξίσωση Laplace ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αριθµητική Επίλυση της Κυµατικής Εξίσωσης ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Αριθµητική Λύση: Εξίσωση ιαφορών Αριθµητική Λύση: Μέθοδος Crank Nicholson Α ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Α.0.1 Σφάλµα αποκοπής Α.0.2 Σφάλµα στρογγύλεψης Α.0.3 Απώλεια σηµαντικών ψηφίων Α.0.4 Προσέγγιση τάξης O(h n ) Α.0.5 ιάδοση σφάλµατος Α.0.6 Αβεβαιότητα στα δεδοµένα Ευρετήριο

6

7 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Κλασικό πρόβληµα των στοιχειωδών µαθηµατικών είναι η εύρεση µιας τιµής ρ τέτοιας, ώστε για µια συνάρτηση f (x), x (a, b) να ισχύει: f (ρ) = 0 (1.1) Η ϐασική διαδικασία για την εύρεση ϱιζών µη-γραµµικών εξισώσεων είναι η δηµιουργία µιας αναδροµικής σχέσης. Η διαδικασία αυτή ϑα ακολουθηθεί και στην εύρεση ϱιζών γραµµικών και µη-γραµµικών συστηµάτων, αλλά και στην αριθµητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Εποµένως, σε κάθε µέθοδο που ϑα αναπτύξουµε, στόχος µας είναι η εύρεση αναδροµικών σχέσεων της µορφής x n+1 = σ (x n ) (1.2) που ϑα δίνει µια ακολουθία τιµών x 0, x 1,...,x κ,... και στο όριο κ να δίνει τη ϱίζα της εξίσωσης (1.1). Τα ϐασικά ερωτήµατα που καλούµαστε να απαντήσουµε κατά την ανάπτυξη των διαφόρων µεθόδων είναι: Κάτω από ποιες συνθήκες συγκλίνει µια µέθοδος Αν συγκλίνει, πόσο γρήγορα συγκλίνει Πώς ϑα ϐρεθεί η αρχική τιµή x 0. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ενα κλασικό λογιστικό πρόβληµα είναι το εξής : Εάν ένας καταθέτης τοποθετεί κάθε µήνα στο τραπεζικό λογαριασµό του ένα σταθερό κεφάλαιο K, τότε πόσος χρόνος απαιτείται, ώστε το κεφάλαιο του να γίνει F δοθέντος ότι το επιτόκιο είναι x. Ο µαθηµατικός κανόνας που χρησιµοποιούν οι τράπεζες είναι: F = K 12 x [ ( 1 + x ) ] N 1 12 (1.3)

8 2 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ όπου N είναι ο αριθµός των µηνών. Εύκολα µπορεί κανείς να οδηγηθεί στη λύση του προβλήµατος, αν λογα- ϱιθµήσει κατάλληλα τη σχέση (1.3). Θα µπορούσε όµως να ακολουθήσει και µια διαφορετική διαδικασία, δηλαδή να δοκιµάσει διάφορες τιµές του N, έως ότου επιτύχει το απαιτούµενο αποτέλεσµα, δηλαδή µετά από K προσπάθειες να οδηγηθεί στην τιµή N K, για την οποία f (N K ) = F 12K x [ ( 1 + x 12 εποµένως, ουσιαστικά να αναζητεί τη ϱίζα της εξίσωσης ) ] NK 1 = 0 (1.4) f (N) = 0. (1.5) Το πρόβληµα, όπως το περιγράψαµε, ίσως δεν απαιτεί τη ϐοήθεια των µε- ϑόδων εύρεσης ϱιζών που ϑα περιγράψουµε στη συνέχεια. Οµως, έστω ότι δια- ϕοροποιούµε τη λογική του, δηλαδή ϑεωρούµε ότι ο καταθέτης γνωρίζει για πόσους µήνες ϑα καταθέτει χρήµατα και αναζητά το κατάλληλο επιτόκιο. Σε αυτή την περίπτωση, αναγόµαστε στην εύρεση της ϱίζας της εξίσωσης f (x) = 0. (1.6) Οι µέθοδοι, που ϑα αναπτυχθούν στη συνέχεια, ϑα µας ϐοηθήσουν να επιλύσουµε το πρόβληµα µε ακρίβεια και ταχύτητα. 1.1 ΜΕΘΟ ΟΣ ΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ (BOLZANO) Στο προηγούµενο παράδειγµα, ας προσπαθήσουµε να εφαρµόσουµε µια απλοϊκή ίσως διαδικασία. Υποθέτουµε ότι το κεφάλαιο που κατατίθεται κάθε µήνα είναι 1000 και το ποσό που έχουµε στόχο να συλλέξουµε σε διάστηµα 50 µηνών είναι Αν δοκιµάσουµε λοιπόν για δυο τυχαίες (αλλά λογικές) τιµές του επιτοκίου, έστω x 1 = 0.10 και x 2 = 0.15, ϑα ϐρούµε: f (0.10) = f (0.15) = που σηµαίνει ότι µε επιτόκιο 0.10 (δηλαδή 10% ετησίως), υπολειπόµεθα του στόχου µας κατά , ενώ µε επιτόκιο 0.15 τον ξεπερνούµε κατά Εποµένως, η ϕυσική µας επιλογή ϑα είναι να δοκιµάσουµε για επιτόκιο 0.125, δηλαδή µια τιµή στο µέσο του διαστήµατος (0.1, 0.15). Για επιτόκιο x 3 = ϐρίσκουµε ότι: f(0.125) = άρα απέχουµε από το στόχο µας µόνο κατά ευρώ, ενώ ϕαίνεται πλέον πως η σωστή τιµή του επιτοκίου ϐρίσκεται στο διάστηµα (0.10, 0.125). Επο- µένως, επιλέγοντας µια τιµή στο µέσο του διαστήµατος, έστω x 4 = , ϐρίσκουµε ότι

9 1.1 ΜΕΘΟ ΟΣ ΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ (BOLZANO) 3 f (0.1125) = Εποµένως η σωστή τιµή ϐρίσκεται στο διάστηµα (0.1125, 0.125), άρα µπορούµε να επιλέξουµε ένα νέο επιτόκιο, που ϑα είναι x 5 = ( )/2, και να επαναλάβουµε την παραπάνω διαδικασία. Μετά από µερικές ακόµη προσπά- ϑειες, ϑα καταλήξουµε στην τιµή του κεφαλαίου που επιθυµούµε να συγκεντρώσουµε µετά από καταθέσεις 50 µηνών. Η απλοϊκή µέθοδος που χρησιµοποιήσαµε στο προηγούµενο παράδειγµα αποτελεί µια από τις κλασικές µεθόδους εύρεσης ϱιζών εξισώσεων και ονοµάζεται µέθοδος διχοτόµησης ή µέθοδος του Bolzano. Η παραπάνω διαδικασία µπορεί να κωδικοποιηθεί ως ακολούθως : `Εστω ότι µια ϱίζα ϐρίσκεται στο διάστηµα [a 0, b 0 ], τότε f(a 0 ) f(b 0 ) < 0. Αν µ 0 = (a 0 + b 0 )/2, τότε: (Ι) είτε f(µ 0 ) f(a 0 ) < 0 (ΙΙ) είτε f(µ 0 ) f(b 0 ) < 0 (ΙΙΙ) είτε f(µ 0 ) = 0. Αν ισχύει η (ΙΙΙ), τότε έχει υπολογισθεί η ϱίζα και σταµατά η διαδικασία, αλλιώς ορίζω νέο διάστηµα [µ 0, b 0 ] αν (II) [a 1, b 1 ] = (1.7) [a 0, µ 0 ] αν (I) Σχήµα 1.1. Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας που αναπτύχθηκε για τη µέθοδο διχοτόµησης

10 4 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ REPEAT SET x 3 = (x 1 + x 2)/2 IF f(x 3) f(x 1) < 0 SET x 2 = x 3 ELSE SET x 1 = x 3 ENDIF UNTIL ( x 1 x 2 < E) OR f(x 3) = 0 Πίνακας 1.1. Σχέδιο προγράµµατος για τη εύρεση ϱίζας µη-γραµµικής εξίσωσης µε τη µέθοδο της διχοτόµησης. ΚΡΙΤΙΚΗ ύο στοιχεία κάνουν την µέθοδο ελάχιστα ελκυστική: Η αργή σύγκλιση Επικίνδυνη, όταν υπάρχουν ασυνέχειες ΣΦΑΛΜΑ Ως σφάλµα ορίζουµε την απόσταση ε n = ρ x n της τιµής x n από τη ϱίζα ρ της εξίσωσης. Για τη µέθοδο διχοτόµησης το σφάλµα είναι µικρότερο απο το µισό του διαστήµατος στο οποίο περικλείεται η ϱίζα ε n 1 2 a n b n (1.8) Σε κάθε ϐήµα το σφάλµα µειώνεται στο µισό του προηγουµένου ε n+1 = ε n 2 = ε n = = ε 0 2 n+1 (1.9) υπάρχει εποµένως η δυνατότητα να υπολογίσουµε από την αρχή τον αριθµό των ϐηµάτων που απαιτούνατι για την επίτευξη µιας δεδοµένης ακρίβειας στην εύρεση της ϱίζας. Εστω εποµένως οτι E είναι η Ϲητούµενη ακρίβεια τότε η προγούµενη σχέση µας οδηγεί στο Ϲητούµενο: n = log 2 ε 0 E (1.10) ηλαδή άν δοθεί το εύρος του διαστήµατος, ε 0, εντός του οποίου εντοπίζεται η ϱίζα και τη Ϲητούµενη ακρίβεια E τότε απο τη σχέση (1.10) υπολογίζεται άµµεσα ο απαιτούµενος αριθµός επαναλήψεων, n, της διαδικασίας. 1.2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Οπως διαπιστώσαµε, η µέθοδος της διχοτόµησης συγκλίνει στην ακριβή τιµή της ϱίζας αρκετά αργά. Για το λόγο αυτό, έχουν αναπτυχθεί µέθοδοι µε τις

11 1.2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 5 οποίες επιτυγχάνεται ταχύτερη σύγκλιση. Αρκετά δηµοφιλής είναι η µέθοδος της γραµµικής παρεµβολής. Στηρίζεται στην εξής λογική: Αν στο διάστηµα [x 1, x 2 ] υπάρχει µία ϱίζα της f(x), δηλαδή f(x 1 ) f(x 2 ) < 0, τότε ϕέρνω την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία (x 1, f(x 1 )) και (x 2, f(x 2 )) µε εξίσωση: y (x) = f (x 1 ) + f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2 (x x 1 ) (1.11) η οποία τέµνει τον άξονα Ox έστω στο σηµείο x 3 που υπολογίζεται απο την παρακάτω σχέση: x 3 = x 2f(x 1 ) x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 2 ) = x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) (x 2 x 1 ) (1.12) Εποµένως στην πράξη αντικαθιστώ στο διάστηµα [x 1, x 2 ] την συνάρτηση f(x) µε µία ευθεία και ϑεωρώ προσεγγιστικά ότι η τοµή αυτής της ευθείας µε τον άξονα Ox είναι η Ϲητούµενη ϱίζα. Το νέο σηµείο είναι πλησιέστερα στη ϱίζα και ώς εκ τούτου µπορω να χρησιµοποιήσω τη σχέση (1.12) ξανά για την αναζήτηση µιας νέας τιµής που να ϐρίσκεται πλησιέστερα στη ϱίζα ρ. Για να χρησιµοποίησουµε όµως τη σχέση (1.12) απαιτείται η κατάλληλη επιλογή ενός εκ των δύο αρχικών σηµείων. Μια απλή (αλλά όχι µοναδική) διαδικασία επιλογής είναι να ϕροντίζουµε το Ϲεύγος των σηµείων που χρησιµοποιούµε να περικλείει τη ϱίζα, δηλαδή: (Ι) είτε f (x 1 ) f (x 3 ) < 0 x 2 = x 3 (ΙΙ) είτε f (x 2 ) f (x 3 ) < 0 x 1 = x 3 (ΙΙΙ) είτε f (x 3 ) = 0 ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Η σχέση (1.12) µε κατάλληλους δείκτες είναι η Ϲητούµενη αναδροµική σχέση: x n+2 = x n+1 f (x n+1 ) f (x n+1 ) f (x n ) (x n+1 x n ). (1.13) ηλαδή αν δοθούν δύο αρχικές τιµες x n και x n+1 µε την παραπάνω σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε µια νές τιµή x n+2 που ϐρίσκεται πλησιέστερα στη ϱίζα ρ της µη-γραµµικής εξίσωσης. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας εφαρµόσουµε στο παράδειγµα (λογιστικό πρόβληµα) της προηγούµενης µε- ϑόδου τη γραµµική παρεµβολή, ϑα ϐρούµε για x 1 = 0.1 και x 2 = 0.15 ότι

12 6 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σχήµα 1.2. Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας που αναπτύχθηκε για τη µέθοδο διχοτόµησης x 3 = και f(x 3 ) = δηλαδή, ήδη από το πρώτο ϐήµα έχουµε επιτύχει εξαιρετικά ακριβές αποτέλεσµα και, αν επαναλάβουµε ακόµη µια ϕορά τη διαδικασία, καταλήγουµε πρακτικά στο Ϲητούµενο αποτέλεσµα, δηλαδή: x 4 = και f(x 4 ) = 4.4 Αριθ. επαναλήψεων x 1 x 2 x 3 f(x 3) Πίνακας 1.2. Τα αποτελέσµατα απο τη χρήση της γραµµικής παρεµβολής για το πρό- ϐληµα του επιτοκίου Στο πρόβληµα που περιγράψαµε, η σύγκλιση είναι ταχύτατη, γιατί η µορφή της καµπύλης στην περιοχή της ϱίζας είναι γραµµική, και ως εκ τούτου, η προσέγγισή της µε µια ευθεία είναι πολύ καλή. ΚΡΙΤΙΚΗ Η µέθοδος της γραµµικής παρεµβολής : Συγκλίνει ταχύτερα από τη µέθοδο διχοτόµησης

13 1.2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 7 εν είναι υποχρεωτικό η ϱίζα να εσωκλείεται µεταξύ των δύο αρχικών τιµών. Η διαδικασία εύρεσης της ϱίζας µε την µεθοδολογία που αναπτύξαµε περιγρά- ϕεται από τον ακόλουθο αλγόριθµο: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (Ι) ΓΙΑ ΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Υποθέτει ότι η ϱίζα περικλείεται στο αρχικό διάστηµα (x 1, x 2) REPEAT x SET x 3 = x 2 f(x 2) 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) IF f(x 3) f(x 1) < 0 SET x 2 = x 3 ELSE SET x 1 = x 3 ENDIF UNTIL f(x 3) < E Πίνακας 1.3. Πρώτη παραλλαγή της µεθόδου γραµµικής παρεµβολής. Στη διαδικασία που µόλις περιγράψαµε (Πίνακας 1.3) υπάρχει κάποιο αδύνατο σηµείο, γιατί, όπως γίνεται αντιληπτό, η τιµή x 2 παραµένει σταθερή. Άρα πλησιάζουµε τη ϱίζα µονόπλευρα και αυτό έχει ως συνέπεια, µερικές ϕορές, η σύγκλιση να είναι αρκετά αργή, ϐλ. Σχήµα 1.2 Υπάρχουν δυο εναλλακτικές διαδικασίες για τη διόρθωση της µονόπλευρης σύγκλισης. Η πρώτη διαδικασία αλλάζει την επιλογή των τιµών για το επόµενο ϐήµα, δηλαδή, αν από δυο τιµές x 1 και x 2 έχουµε υπολογίσει µε τη χρήση της εξίσωσης (1.13) µια τιµή x 3, χρησιµοποιούµε για το επόµενο ϐήµα την x 3 και αυτήν από τις x 1, x 2, για την οποία η f(x) είναι µικρότερη. Εποµένως, ο τροποποιηµένος αλγόριθµος ϑα είναι: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (ΙΙ) ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Η ϱίζα δεν περικλείεται στο αρχικό διάστηµα (x 1, x 2) REPEAT x SET x 3 = x 2 f (x 2) 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) IF f (x 1) < f (x 2) SET x 2 = x 3 ELSE SET x 1 = x 3 ENDIF UNTIL f (x 3) < E Πίνακας 1.4. εύτερη παραλλαγή της µεθόδου γραµµικής παρεµβολής. Η δεύτερη διαδικασία που ϐελτιώνει την ακρίβεια και την ταχύτητα σύγκλισης είναι η αντικατάσταση της τιµής της f(x) στο σταθερό σηµείο x 2 µε την τιµή

14 8 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ f(x 2 )/2 κοκ. Η διαδικασία αυτή περιγράφεται στον παρακάτω τροποποιηµένο αλγόριθµο: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ (ΙΙ) (τροποποιηµένος ) F 1 = f(x 1) F 2 = f(x 2) S = f(x 1) REPEAT SET x 3 = x 2 F 2 x2 x 1 F 2 F 1 IF f(x 3) F 1 < 0 SET x 2 = x 3 SET F 2 = f(x 3) IF f (x 3) S > 0 SET F 1 = F 1/2 ENDIF ELSE SET x 1 = x 3 SET F 1 = f (x 3) IF f (x 3) S > 0 SET F 2 = F 2/2 ENDIF ENDIF SET save = f(x 3) UNTIL f(x 3) < E Πίνακας 1.5. Εναλλακτικός αλγόριθµος για τη γραµµική παρεµβολή ΣΥΓΚΛΙΣΗ Εστω ξ η ακριβής ϱίζα της εξίσωσης. Αν ϑεωρήσουµε ότι ε n = ξ x n είναι το σφάλµα στην εύρεση της ϱίζας της f (x) = 0 για x = x n, τότε η µέθοδος της γραµµικής παρεµβολής συγκλίνει µε ϐάση τη σχέση ε n+1 = k ε n (1.14) Η απόδειξη αυτής της σχέσης, µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως ϐάση για τον υπολογισµό της ταχύτητας σύγκλισης και άλλων µεθόδων αυτού του κεφαλαίου. Εστω η αναδροµική σχέση x n+2 = x n+1 f (x n+1 ) f (x n+1 ) f (x n ) (x n+1 x n ) (1.15) τότε x n = ξ + ε n (1.16)

15 1.2 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 9 όπου f (ξ) = 0. ηλαδή, ε n είναι η απόσταση (το σφάλµα) της x n από την ακριβή ϱίζα της εξίσωσης ξ. Εποµένως αν ϑεωρήσουµε ένα ανάπτυγµα Taylor για κάθε µιά από τις τρείς τιµές x 1, x 2 και x 3 f (x i ) = f (ξ + ε i ) = f (ξ) + ε i f (ξ) + ε2 i 2 f (ξ) (1.17) και αντικαταστήσουµε τα αναπτύγµατα στην αρχική σχέση ϐρίσκουµε ε n+1 f (ξ) + ε 2 ξ + ε n+2 = ξ + ε n+1 n+1f (ξ)/2 f (ξ)(ε n+1 ε n ) f (ξ) ( ε 2 n+1 ) (ε n+1 ε n ) ε2 n η σχέση αυτή µετά από µερικές απλοποιήσεις οδηγεί στην: ( ε n+2 = ε n+1 [1 1 ε n f )] (ξ) f (ξ) 2 f = ε n+1 ε n (ξ) 2f (ξ) η οποία συνδέει το σφάλµα στο ϐήµα n + 2 µε τα σφάλµατα στα ϐήµατα n + 1 και n. Το Ϲητούµενο όµως είναι µια σχέση της µορφής ε n+1 = k ε m n όπου τα k και m ειναι άγνωστες σταθερές. Για τον υπολογισµό µιας σχέσης αυτής της µορφής ϑα εργασθούµε ως εξής, τα σφάλµατα στις επαναλήψεις n + 1 και n + 2 είναι: } ( ε n+1 = k ε m n f ε n+2 = k ε m k ε m ) (ξ) n+1 = ε n+1 ε n n+1 2f (ξ) και τελικά λαµβάνουµε ε n+1 = ( ) 1 1 m 1 1 ε m 1 n A 1 m 1 όπου A = f (ξ) k 2f (ξ) (1.18) οπότε αντικαθιστώντας και το ε n+1 οδηγούµαστε σε µια σχέση µόνο για το ε n από την οποία ϑα προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τις τιµές του k και m. `Αρα `Αρα k ε m n = ( A k ) 1 m 1 ε 1 m 1 n m = 1 ± 5 2 k = ( ) A 1/(m 1) k m = 1 m 1 m2 m 1 = 0 = και k m = A = f (ξ) 2f (ξ) Οποτε τελικά καταλήγουµε στη Ϲητούµενη σχέση: ε n+1 = k ε n (1.19) Παρατηρούµε ότι η σύγκλιση της µεθόδου δεν είναι γραµµική αλλά περίπου τετραγωνική και προφανώς η εύρεση της ϱίζας µιας εξίσωσης απαιτεί σηµαντικά µικρότερο αριθµό αριθµητικών πράξεων.

16 10 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΟΥ MULLER Η µέθοδος Muller αποτελεί επέκταση της µεθόδου της γραµµικής παρεµβολής και αντί να προσεγγίζει την συνάρτηση µε ευθεία την προσέγγιζει µε παραβολή. Αν δοθούν τρεις αρχικές τιµές x i 2, x i 1, x i, υποθέτουµε ότι η f(x) προσεγγίζεται από ένα 2ο-ϐάθµιο πολυώνυµο P(x) του οποίου εύκολα υπολογίζουµε τις ϱίζες. Για τις τρεις αρχικές τιµές του x i λαµβάνουµε τρεις εξισώσεις της µορ- ϕής : f(x i ) P(x i ) = Ax 2 i + Bx i + Γ (1.20) από τις οποίες υπολογίζουµε τους 3 συντελεστές του τριωνύµου µέσω των σχέσεων όπου A = qp (x i ) q (1 + q)p (x i 1 ) + q 2 P (x i 2 ) B = (2q + 1)P (x i ) (1 + q) 2 P (x i 1 ) + q 2 P (x i 2 ) (1.21) Γ = (1 + q)p (x i ) q = x i x i 1 x i 1 x i 2. (1.22) Οπότε η επόµενη προσεγγιστική τιµή x i+1 ϐρίσκεται ως η ϱίζα της παραβολής Ax 2 + Bx + Γ = 0. (1.23) ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Η παρακάτω σχέση µπορεί να χρησιµοποιηθεί αναδροµικά για την εύρεση της ϱίζας [ ] 2Γ x i+1 = x i (x i x i 1 ) B ± (1.24) B 2 4AΓ Το σηµείο του παρονοµαστή επιλέγεται ούτως ώστε να γίνεται το κλάσµα µικρότερο απολύτως. ΣΦΑΛΜΑ Αποδεικνύεται ότι το σφάλµα της µεθόδου είναι: ε n+1 = kε 1.84 n (1.25) δηλαδή η συγκλιση είναι σηµαντικά καλύτερη από τη µέθοδο της γραµµικής παρεµβολής. ΚΡΙΤΙΚΗ Τα πλεονεκτήµατα της µεθόδου είναι: Συγκλίνει ταχύτατα Μπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την εύρεση µιγαδικών ϱιζών.

17 1.4 Η ΜΕΘΟ ΟΣ x = g(x) Η ΜΕΘΟ ΟΣ x = g(x) Στα Μαθηµατικά, ονοµάζουµε σταθερό σηµείο µιας συνάρτησης g (x) έναν πραγ- µατικό αριθµό τέτοιον, ώστε p = g (p). Ενώ η ακολουθία p n+1 = g (p n ) για n = 0, 1,... καλείται ακολουθία σταθερού σηµείου. ΘΕΩΡΗΜΑ: Εστω µια συνεχής συνάρτηση g (x) και µια ακολουθία p n, που δηµιουργείται από µια αναδροµική σχέση σταθερού σηµείου. Αν lim p n = p, n τότε το p είναι ένα σταθερό σηµείο της g (x). Αν δοθεί µια συνάρτηση f(x) της οποίας Ϲητάµε τη ϱίζα f(ρ) = 0 και είναι δυνατό να ϐρεθεί µια γραφή x = g (x) τέτοια, ώστε, αν f(ρ) = 0 να είναι ρ = g(ρ), τότε η ακολουθία x n = g(x n ) οδηγεί στη ϱίζα της εξίσωσης. Εποµένως, προσπαθούµε να ϐρούµε µια σχέση της µορφής ούτως ώστε x n+1 = g (x n ) (1.26) lim n x n = ρ. (1.27) ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν σε ένα διάστηµα I = (ρ ε, ρ + ε) περιέχεται µια απλή ϱίζα ρ της εξίσωσης f(x) = 0 και, αν η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί στη µορφή x = g(x) µε g (x) ρ < 1, τότε η ακολουθία που προκύπτει µε x 0 I συγκλίνει και δίνει τη ϱίζα ρ στο όριο n. Επιπλέον, αυτή είναι µοναδική ϱίζα της f(x) στο διάστηµα I. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν x n I, τότε x n+1 ρ = g(x n ) g(ρ) = g(x n) g(ρ) x n ρ Επειδή g (x n ) ρ < 1, µετά από n ϐήµατα Τέλος, αν ρ 1 µια άλλη ϱίζα, τότε x n+1 ρ ρ x n ρ < x n ρ (x n ρ) = g (ξ n )(x n ρ) x n ρ ρ n x 0 ρ lim n x n ρ = 0 ρ ρ 1 = g(ρ) g(ρ 1) ρ ρ 1 (ρ ρ 1 ) = g (ξ)(ρ ρ 1 ) Εποµένως επειδή g (ξ) ρ < 1 οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ρ ρ 1 ρ ρ ρ 1 < ρ ρ 1 που είναι αδύνατον. Αρα η ρ είναι η µοναδική ϱίζα στο διάστηµα I.

18 12 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σχήµα 1.3. Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας σύγκλισης της µεθόδου x = g(x) για g (x) < 1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Στα σχήµατα 1.3 και 1.4 παρουσιάζεται η διαδικασία σύγκλισης της µεθόδου. Για το σχήµα 1.3 έχει επιλεγεί g (x) < 1 ενώ για το σχήµα 1.4 είναι g (x) > 1 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Μια προφανής γραφή της σχέσης (1.4), ώστε να χρησιµοποιηθεί για την παρούσα µέθοδο, είναι: x n+1 = g (x n ) = 12K [ ( 1 + x ) ] N n 1 F 12 υστυχώς όµως, αυτή η αναδροµική σχέση δεν συγκλίνει, διότι g (x) > 1 για τιµές του x [0.05, 0.15], δηλαδή στην περιοχή της ϱίζας. Μια άλλη γραφή όµως, στη µορφή [ (xn ) 1/N F x n+1 = g 1 (x n ) = 12 12k 1 1] συγκλίνει (αλλά αργά) διότι g 1 (x) < 1 (π.χ. για x = 0.1, g 1 (x) 0.108) ΣΦΑΛΜΑ Μετά από n ϐήµατα το σφάλµα ϑα είναι ε n = ρ x n, οπότε:

19 1.4 Η ΜΕΘΟ ΟΣ x = g(x) 13 Σχήµα 1.4. Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας σύγκλισης της µεθόδου x = g(x) για g (x) > 1. επαναλήψεις x n (x n ρ)/ρ Πίνακας 1.6.

20 14 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ε n+1 = ρ x n+1 = g (ρ) g(x n ) = g (ρ)(ρ x n ) = g (ρ)ε n Αν η g (ρ) µεταβάλλεται αργά, τότε y (ρ) = g (ρ). ηλαδή το ο ϱυθµός ελάττωσης του σφάλµατος σε κάθε ϐήµα είναι γραµµικός και δίνεται από τη σχέση: ε n+1 = g (ρ)ε n (1.28) Εποµένως, επιδίωξη µας ϑα είναι η δηµιουργία µιας τέτοιας αναδροµικής σχέσης για την οποία η παράγωγος g (x) να είναι κατα το δυνατόν µικρότερη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να εφαρµοσθεί η µέθοδος για την εύρεση µιας ϱίζας της εξίσωσης f(x) = x+ln(x) στο διάστηµα [0.1, 1]. οκιµάζουµε διάφορες γραφές της εξίσωσης : x n+1 = ln(x n ) αλλά g (x) = 1 x 1 στο διάστηµα [0.1, 1] οπότε δεν συγκλίνει. x n+1 = e xn οπότε y (x) = e x e < 1 άρα συγκλίνει. Μια άλλη γραφή είναι η εξής : x = (x + e x )/2 οπότε g (x) = e x e 1 = άρα συγκλίνει. x = x+2e x 3 οπότε g (x) = e x e 1 = 0.03 άρα συγκλίνει. Προφανώς ϑα επιλέξουµε την τελευταία γραφή και η Ϲητούµενη αναδροµική σχέση ϑα είναι: x n+1 = x n + 2e xn Βελτίωση Aitken Οταν η σύγκλιση µιας µεθόδου είναι γραµµική, όπως στην προηγούµενη µέθοδο, όπου είχαµε e n+1 = g (ρ)e n, τότε, για n, η µέθοδος είναι δυνατόν να επεκταθεί, για να επιτύχουµε ακριβέστερο αποτέλεσµα χωρίς επιπλέον πράξεις. Το σφάλµα µετά από n εφαρµογές της σχέσης x n+1 = g (x n ) είναι: και µετά από n + 1 εφαρµογές είναι: ρ x n+1 g (ρ)(ρ x n ) ρ x n+2 g (ρ)(ρ x n+1 ) οπότε διαιρώντας κατά µέλη ϐρίσκουµε ότι ρ x n+1 ρ x n+2 = g (ρ)(ρ x n ) g (ρ)(ρ x n+1 )

21 1.5 ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON 15 και λύνοντας ως προς ρ ϐρίσκουµε: ρ = x n Η µέθοδος αυτή είναι γνωστή ως ϐελτίωση του Aitken. (x n x n 1 ) 2 x n 2x n 1 + x n 2 (1.29) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν στα αποτελέσµατα του Πίνακα 1.6 της µεθόδου x = g(x) χρησιµοποιήσουµε ως x 0 = , x 1 = και x 2 = , τότε η ϐελτίωση Aitken δίνει r = µε σχετικό σφάλµα ε = Η ακρίβεια αυτή επιτεύχθηκε µετά από 25 εφαρµογές της µεθόδου x = g(x). 1.5 ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON Αν στην περιοχή µιας ϱίζας ρ της συνάρτησης f(x) η f (x) και η f (x) είναι συνεχείς, τότε µπορούµε να αναπτύξουµε αλγορίθµους, οι οποίοι συγκλίνουν στη ϱίζα της εξίσωσης f (x) = 0 ταχύτερα από όλες τις µεθόδους που εξετάσαµε ως τώρα. Η µέθοδος Newton Raphson είναι ευρύτατα διαδεδοµένη και η δη- µοφιλέστερη από όλες τις προηγούµενες µεθόδους, απαιτεί όµως τη γνώση της συναρτησιακής µορφής της 1ης παραγώγου της συνάρτησης f(x). Εστω ένα σηµείο x 0, το οποίο ϑεωρούµε ως την πρώτη προσέγγιση στη ϱίζα. Η τοµή της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο (x 0, f(x 0 )) και του άξονα Ox ορίζει ένα νέο σηµείο x 1 για το οποίο προφανώς ισχύει f(x 1 ) = 0. Οπότε, από το ορθογώνιο τρίγωνο x 1 x 0 A (ϐλ. Σχήµα 1.5) ϐρίσκουµε: tan θ = f (x 0 ) = f(x 0) x 1 x 0 (1.30) και λύνοντας ως προς x 1 δηµιουργούµε την αναδροµική σχέση: x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). (1.31) Αυτή η διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί για το x 1 και να ϐρεθεί ένα νέο σηµείο x 2 κοκ. επαναλήψεις x 0 x 1 f(x 1) Πίνακας 1.7. Εφαρµογή της µεθόδου Newton Raphson για το λογιστικό πρόβληµα.

22 16 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σχήµα 1.5. Γραφική απεικόνιση της διαδικασίας που αναπτύχθηκε για τη µέθοδο Newton Raphson. Ας προσπαθήσουµε τώρα να δηµιουργήσουµε τη σχέση (1.31) µε πιο αυστη- ϱό τρόπο. Αν υποθέσουµε ότι x n+1 είναι η ακριβής λύση της εξίσωσης και µια τιµή x n ϐρίσκεται σχετικά κοντά στην x n+1 και έστω x n+1 = x n + ε n. Τότε: f (x n+1 ) = f (x n + ε n ) = f (x n ) + ε n f (x n ) + ε2 n 2 f (x n ) + Αλλά, επειδή υποθέσαµε ότι η x n+1 είναι ϱίζα της f (x), ϑα ισχύει f (x n+1 ) = 0, και έτσι αναγόµαστε στη σχέση δηλαδή 0 = f (x n ) + ε n f (x n )

23 1.5 ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON 17 ε n = f(x n) f (x n ) οπότε καταλήγουµε στην αναδροµική σχέση: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) (1.32) (1.33) που προφανώς προγραµµατίζεται πολύ εύκολα. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ Εστω ξ η ϱίζα της εξίσωσης f (x) = 0. Τότε x n = ξ + ε n και x n+1 = ξ + ε n+1, οπότε: ξ + ε n+1 = ξ + ε n f (ξ + ε n) f (ξ + ε n ) = ξ + ε n f (ξ) + ε nf (ξ) ε2 nf (ξ) f (ξ) + ε n f (ξ) Επειδή όµως f (ξ) = 0 και καταλήγουµε στη σχέση εf (ξ)/f (ξ) 1 ε f (ξ) n f (ξ) ε n+1 = f (ξ) 2f (ξ) ε2 n (1.34) Οπως παρατηρείτε, η σύγκλιση της µεθόδου είναι τετραγωνική, δηλαδή καλύτερη από κάθε άλλη µέθοδο που χρησιµοποιήσαµε ως τώρα. ΚΡΙΤΙΚΗ Η µέθοδος Newton Raphson είναι η απλούστερη από όλες τις άλλες µεθόδους και συνιστάται η χρήση της όταν είναι δυνατός ο υπολογισµός της παραγώγου της συνάρτησης. Γενικά αξίζει να ϑυµόµαστε ότι: `Εχει ταχύτατη συγκλιση Απαιτεί γνώση της 1ης παραγώγου της συνάρτησης Είναι ϑεωρητικά ισοδύναµη µε την γραµµική παρεµβολή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Newton Raphson για την εύρεση της τετραγωνικής ϱίζας ενός αριθµού a. Αν ϑεωρήσουµε ότι το a είναι λύση της εξίσωσης : f (x) = x 2 a τότε f (x) = 2x

24 18 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ οπότε αντικαθιστώντας στην αναδροµική σχέση (1.33) καταλήγω στην αναδροµική σχέση από την οποία µε µόνο λίγες επαναλήψεις µπορεί να υπολογισθεί µε ακρίβεια η ϱίζα του αριθµού x n+1 = x n x2 n a 2x n ή σε µια καλύτερη γραφή : x n+1 = 1 2 ( x n + a ). (1.35) x n COMPUTE f(x 1), f (x 1) SET x 2 = x 1 IF (f(x 1) 0) END (f (x 1) 0) REPEAT SET x 1 = x 1 SET x 2 = x 1 f(x 1)/f (x 1) UNTIL ( x 1 x 2 < E) OR ( f(x 2) < E ) ENDIF Πίνακας 1.8. Αλγόριθµος για τον προγραµµατισµό της µεθόδου Newton Raphson εύτερης τάξης Newton Raphson (Halley) Θα δοκιµάσουµε µια ϐελτίωση της µεθόδου Newton Raphson προσπαθώντας να επιτύχουµε ταχύτερη σύγκλιση. Για να το επιτύχουµε ϑα χρησιµοποιήσουµε ξανά το ανάπτυγµα Taylor κοντά στη ϱίζα της εξίσωσης. `Εστω ότι ε n = x n+1 x n, τότε f (x n+1 ) = f (x n + ε n ) = f (x n ) + ε n f (x n ) + ε2 n 2 f (x n ) +... οπότε, αν ϑεωρήσουµε ότι f (x n+1 ) 0, τότε [ f (x n ) + ε n f (x n ) + ε ] n 2 f (x n ) = 0 οπότε λύνοντας ώς το πρώτο από τα ε n που ϐρίσκεται εκτός της αγκύλης καταλήγουµε στην παρακάνω σχέση f (x n ) ε n = f (x n ) + εn 2 f (x n ) και αντικαθιστώντας το ε n του παρανοµαστή απο την αντίστοιχη σχέση (1.32) της απλής Newton Raphson που αναπτύξαµε προηγουµένως, δηλαδή:

25 1.5 ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON 19 ε n f (x n) f (x n ) καταλήγουµε στη σχέση: x n+1 = x n f (x n ) f (x 1 ) f (x n) f(x n) 2f (x n) = x n 2f (x n )f (x n ) 2f 2 (x n ) f (x n ) f (x n ) (1.36) Είναι προφανές ότι αν ϑέσουµε f (x n ) = 0 καταλήγουµε στη σχέση Newton Raphson, εξίσωση (1.33). Η µέθοδος αυτή αναφέρεται στη ϐιβλιογραφία ως µέθοδος του Halley. ΣΥΓΚΛΙΣΗ Η σύγκλιση της µεθόδου Halley είναι εντυπωσιακή και επιτυγχάνει κυβική σύγκλιση (να αποδειχθεί ως άσκηση). [ ε n+1 = 1 6 f (ξ) f (ξ) 1 4 ( f ) ] 2 (ξ) f ε 3 n (1.37) (ξ) Στο παράδειγµα που ακολουθεί κατανοούµε εύκολα την ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου Halley. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδείξετε ότι η τετραγωνική ϱίζα ενός αριθµού a δίνεται από τη σχέση: x n+1 = x3 n + 3x na 3x 2 n + a (1.38) Αν ϑέσω f(x) = x 2 a τότε f (x) = 2x και f (x) = 2 οπότε αντικαθιστώντας στην αναδροµική σχέση Halley καταλήγω στη Ϲητούµενη αναδροµική σχέση. Ας χρησιµοποιήσουµε τις δύο σχέσεις για να υπολογίσουµε την ϱίζα του 9. Αρα ϑα ϐρούµε τις ϱίζες της εξίσωσης f(x) = x 2 9 = 0. Ας ϑεωρήσουµε µιά αρχική τιµή x 0 = 15 (αρκετά µακρυά από την πραγµατική ϱίζα). Ο παρακάτω πίνακας µας δείχνει τα αποτελέσµατα από τις δύο µεθόδους Πολλαπλές ϱίζες Είναι δυνατόν η ϱίζα µιάς εξίσωσης f(x) = 0 να είναι πολλαπλή, δηλαδή f(x) = (x ρ) m q(x) όπου m είναι η πολλαπλότητα της ϱίζας ρ. Εποµένως, f (x) = (x ρ) m 1 [mq(x) + (x ρ)q (x)] άρα οι f(x) και f (x) µηδενίζονται συγχρόνως για x = ρ οπότε ο λόγος f(x)/f (x) ϑα υπολογίζεται µε µεγάλο σφάλµα διότι ουσιαστικά ϑα έχουµε τη διαίρεση δύο µικρών αριθµών.

26 20 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Newton Raphson Σφάλµα Halley Σφαλµα x 0=15 ε 0 = 12 x 0=15 ε 0 = 12 x 1=7.8 ε 1 = 4.8 x 1=5.526 ε 1 = 2.5 x 2=4.477 ε 2 = x 2= ε 2 = 0.16 x 3= ε 3 = x 3= ε 3 = x 4= ε 4 = x 4= ε 4 = x 5= ε 5 = x 5= ε 5 = 0.0 Πίνακας 1.9. Σύγκριση των µεθόδων Newton Raphson και Halley για την εύρεση της τετραγωνικής ϱίζας του αριθµού 9. Για να ξεπερασθεί το πρόβληµα δηµιουργούµε µια νέα συνάρτηση φ(x) = f(x) f (x) = (x ρ)q(x) mq(x) + (x ρ)q (x) η οποία έχει τη ρ ως ϱίζα µε πολλαπλότητα m = 1 και η αναδροµική σχέση είναι: x n+1 = x n φ(x n) φ (x n ) = x n = x n f(x n )f (x n ) [f (x n )] 2 f(x n )f (x n ) f(x n )/f (x n ) {[f (x n )] 2 f(x n )f (x n )}/[f (x n )] 2 (1.39) Η ταχύτητα σύγκλισης της µεθόδου αυτής είναι τετραγωνική, διότι πρακτικά η µέθοδος Newton Raphson εφαρµόστηκε για την εύρεση των ϱιζών της εξίσωσης φ(x) = 0 για την οποία η ρ είναι απλή ϱίζα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η εξίσωση f(x) = x 4 4x = 0 έχει προφανή διπλή ϱίζα την ρ = 2 = Χρησιµοποιώντας την παραπάνω µέθοδο επαληθεύστε το αναλυτικό αποτέλεσµα αλλά και την ταχύτητα σύγκλιση της µεθόδου. Η µέθοδος Newton Raphson δίνει την αναδροµική σχέση x n+1 = x n x2 n 2 4x n (A) ενώ η µέθοδος για πολλαπλές ϱίζες, εξίσωση (1.39), δίνει x n+1 = x n (x2 n 2)x n x 2 n + 2 Η σύγκριση των δύο µεθόδων ϕαίνεται στον Πίνακα (B). x Σχέση (Α) Σφάλµα (Α) Σχέση (Β) Σφάλµα (Β) x x x x

27 που δείχνει την ταχύτητα σύγκλισης των δύο σχέσεων. 1.5 ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON RAPHSON 21 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Θα συγκρίνουµε τον αριθµό των επαναλήψεων (ταχύτητα σύγκλισης) που απαιτούνται για την επίτευξη µιας δοσµένης ακρίβειας µεταξύ δύο µεθόδων. Ως εφαρ- µογή ϑα χρησιµοποιήσουµε τη γραµµική σύγκλιση της µεθόδου διχοτόµησης και της τετραγωνικής σύγκλισης της µεθόδου Newton Raphson. Για γραµµική σύγκλιση ϑα έχουµε: οπότε ϑα ισχύει ότι: ε n+1 lim = a n ε n ε n a ε n 1 a 2 ε n 2... a n ε 0 οπότε επιλύοντας την παραπάνω σχέση ως προς n καταλήγουµε στη γενική σχέση για τον αριθµό των απαιτούµενων επαναλήψεων ώστε να επιτευχθεί η ακρίβεια ε n : n log 10 ε n log 10 ε 0 (1.40) log 10 a Κατ αντιστοιχία για τετραγωνική σύγκλιση ϑα έχουµε: και ϑα ισχύει ότι: ε n+1 lim n ε n 2 = b ε n b ε n 1 2 b 3 ε n 2 4 b 7 ε n b 2n+1 1 ε 0 2n+1 Επιλύοντας την παραπάνω σχέση ως προς n καταλήγουµε στη γενική σχέση για τον αριθµό των απαιτούµενων επαναλήψεων ώστε να επιτευχθεί η ακρίβεια ε n : 2 n+1 log 10 ε n + log 10 b log 10 ε 0 + log 10 b (1.41) Αν υποθέσουµε ότι σε κάποιο πρόβληµα Ϲητούµε µετά από n επαναλήψεις το σφάλµα να µην υπερβαίνει το 10 6 δηλαδή ε n 10 6 µε αρχικό σφάλµα ε 0 = 0.5 και a = b = 0.7 τότε η σχέση (1.40) δίνει n log log log άρα απαιτούνται τουλάχιστον 37 επαναλήψεις ώστε να προσεγγισθεί η Ϲητούµενη ακρίβεια. Οι ίδιες απαιτήσεις ακρίβειας για τετραγωνική σύγκλιση απαιτούν

28 22 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 n+1 log log log log άρα το η Ϲητούµενη ακρίβεια ϑα επιτευχθεί µετά από 3 επαναλήψεις. Η διαφορά στην ταχύτητα σύγκλισης γίνεται εκόµη πιό µεγάλη άν για Ϲητήσουµε ακόµη µεγαλύτερη τελική ακρίβεια, έστω για παράδειγµα ε n τότε η γραµµική σύγλιση ϑα επιτύχει αυτή την ακρίβεια µετά από 89 επαναλήψεις ενώ η τετραγωνική σύγκλιση ϑα την επιτύχει µετά από 4 επαναλήψεις! 3 2 (1.56,1.25) (-1.98,-0.29) Σχήµα 1.6. Γραφική απεικόνιση του µη-γραµµικού συστήµατος (1.42). 1.6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Οι τεχνικές που αναπύξαµε στις προηγούµενες ενότητες αυτού του Κεφαλαίου για τη λύση µη-γραµµικών εξισώσεων µπορούν να εφαρµοστούν και στη λύση συστηµάτων µη-γραµµικών εξισώσεων. Στη συνέχεια ϑα αναπτύξουµε δύο µεθόδους για την αριθµητική επίλυση συστηµάτων που ϐασίζονται η πρώτη στην τεχνική της µεθόδου Newton Raphson και η δεύτερη της µεθόδου x = g(x). Ενα παράδειγµα συστήµατος µη-γραµµικών εξισώσεων είναι το εξής. Εστω δύο συναρτήσεις : f(x, y) = e x 3y 1 g(x, y) = x 2 + y 2 4 (1.42) Ζητούµε τα πιθανά σηµεία για τα οποία ταυτοχρόνως ικανοποιούνται οι σχέσεις

29 1.6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 23 f (x, y) = 0 g (x, y) = 0 Προφανώς οι εξισώσεις f (x, y) = 0 και g (x, y) = 0 ορίζουν καµπύλες στο επίπεδο xy και η τοµή τους είναι η Ϲητούµενη λύση του παραπάνω συστήµατος (ϐλ. Σχήµα 1.6) Η Μέθοδος Newton Η µέθοδος του Newton αποτελεί στην ουσία επέκταση της µεθόδου Newton Raphson που µελετήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Ως πρώτο ϐήµα ϑα µελετήσουµε την διαδικασία εφαρµογής της σε σύστηµα δύο µη-γραµµικών εξισώσεων και στη συνέχεια ϑα την επεκτείνουµε σε συστήµατα N εξισώσεων µε N αγνώστους. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Εστω το σύστηµα f (x, y) = 0 g (x, y) = 0 Εάν εφαρµόσουµε µια επαναληπτική διαδικασία που συγκλίνει σε µια από τις πιθανές λύσεις του συστήµατος, τότε µετά από n + 1 επαναλήψεις το σηµείο (x n+1, y n+1 ) µπορεί να ϑεωρηθεί ότι προσεγγίζει ικανοποιητικά σε µία λύση του συστήµατος, δηλαδή f(x n+1, y n+1 ) = 0 και g(x n+1, y n+1 ) = 0. Εάν ϑεωρήσου- µε ότι στο προηγούµενο ϐήµα (x n, y n ) το σφάλµα προσέγγισης της λύσης είναι τέτοιο ώστε x n+1 = x n + ε n και y n+1 = y n + δ n, τότε αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor γύρω από τη λύση, ϐρίσκουµε: 0 = f(x n+1, y n+1 ) = f(x n + ε n, y n + δ n ) f = f(x n, y n ) + ε n x + δ f n y 0 = g(x n+1, y n+1 ) = g(x n + ε n, y n + δ n ) g = g(x n, y n ) + ε n x + δ g n y και λύνοντας το παραπάνω σύστηµα ως προς τα ε n και δ n καταλήγουµε στις σχέσεις ε n = δ n = f g y + g f y f g x y g f x y f g x + f g x f g x y g f x y (1.43) (1.44) Από τον ορισµό των ε n και δ n, καταλήγουµε στις παρακάτω σχέσεις που αποτελούν γενίκευση της µεθόδου Newton Raphson για συστήµατα 2 µη-γραµµικών εξισώσεων:

30 24 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ x n+1 = x n f g y g f y (1.45) f x g y g x f y y n+1 = y n όπου έχουµε χρησιµοποιήσει το συµβολισµό f x = f/ x. g f x f g x f x g y g x f y (1.46) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ N ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Η παραπάνω µέθοδος µπορεί εύκολα να γενικευθεί και για συστήµατα N εξισώσεων: f 1 (x 1, x 2,..., x N ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x N ) = 0... f n (x 1, x 2,..., x N ) = 0 µε N αγνώστους (x 1, x 2,..., x N ). Αν ϑεωρήσουµε ότι οι τιµές (x 1 n+1, x2 n+1,..., xn n+1 ) προσεγγίζουν ικανοποιητικά µια πιθανή λύση του συστήµατος, τότε µε ϐάση τα προηγούµενα ϑα υπάρχει µια N-αδα τιµών (x 1 n, x2 n,..., xn n ) για τις οποίες ϑα ισχύουν οι σχέσεις x 1 n+1 = x1 n + x1 n... x N n+1 = x N n + x N n Αρα µπορούµε να ϑεωρήσουµε αναπτύγµατα της µορφής : 0 = f 1 (x 1 n+1,..., xn n+1 ) = f 1(x 1 n + x1 n,..., xn n + xn n ) f 1 + f 1 x 1 x1 n f 1 x N xn n... (1.47) 0 = f N (x 1 n+1,..., xn n+1 ) = f N(x 1 n + x1 n,..., xn n + xn n ) f N + f N x 1 x1 n f N x N xn n Οπότε, τα x i n (όπου i = 1...N) ϑα υπολογισθούν από τη λύση του γραµµικού συστήµατος f 1 f 1 f x 1 x 1 2 x N x 1 n f 1... =. (1.48) f N f N x 1 x fn x N 2 x N n f N µε αγνώστους τις N τιµές x i n.

31 1.6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 25 `Αρα, εάν ξεκινήσουµε µε µια N-άδα αρχικών τιµών (x 1 0, x 2 0,..., x N 0 ), τότε από τη λύση του παραπάνω συστήµατος ϑα υπολογίσουµε τις ποσότητες x i n που οδηγούν σε µια νέα N-άδα τιµών (x 1 1, x 2 1,..., x N 1 ) µέσω των σχέσεων : x 1 1 = x x (1.49) x N 1 = x N 0 + x N 0 Εφόσον συγκλίνει, η παραπάνω διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί όσες ϕορές απαιτείται ώστε να επιτευχθεί η Ϲητούµενη ακρίβεια, για παράδειγµα έως ότου max x i n < E όπου E µια δοθείσα επιθυµητή ακρίβεια Μέθοδος τύπου x = g(x) Αποτελεί επέκταση της µεθόδου που µελετήσαµε στην Κεφάλαιο 1.4, αλλά µεταφέρει και όλα τα πρόβλήµατα που αναλύσαµε στο συγκεκριµένο κεφάλαιο. Εστω το σύστηµα των N εξισώσεων f 1 (x 1, x 2,..., x N ) = 0. f N (x 1, x 2,..., x N ) = 0 Εάν είναι δυνατόν το σύστηµα να γραφεί στη µορφή: x 1 = F 1 (x 1, x 2,..., x N ). (1.50)... (1.51) x N = F N (x 1, x 2,..., x N ) τότε µπορούµε να εφαρµόσουµε την µεθοδολογία που αναπτύχθηκε για τη µέ- ϑοδο x = g(x). Υπάρχουν δύο διαδικασίες για την εύρεση λύσεων του συστή- µατοσ: Α ΜΕΘΟ ΟΣ Στο αρχικό ϐήµα, δίνω N αρχικές τιµές (x 1,..., x N ) 0 µόνο στο δεξιό µέλος όλων των εξισώσεων (1.51) συγχρόνως και υπολογίζω µια νέα N-άδα τιµών (x 1,..., x N ) 1 από το αριστερό µέλος των εξισώσεων. Επαναλαµβάνω τη διαδικασία για τη νέα N-άδα τιµών και υπολογίζω µια καλύτερη προσέγγιση της λύσης κ.ο.κ.

32 26 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Β ΜΕΘΟ ΟΣ ίνω N αρχικές τιµές (x 1,..., x N ) 0 στο δεξιό µέλος της πρώτης από τις εξισώσεις (1.51) και υπολογίζω (από το αριστερό της µέλος) τη νέα τιµή (x 1 ) 1. Στη συνέχεια, στο δεξιό µέλος της δεύτερης εξίσωσης δίνω τις τιµές (x 1 ) 1, (x 2,..., x N ) 0 και υπολογίζω τη νέα τιµή (x 2 ) 1. Στη τρίτη εξίσωση δίνω (x 1, x 2 ) 1, (x 3,..., x N ) 0 κ.ο.κ. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Το σύστηµα x i = f i (x 1, x 2,..., x N ) µε i = 1,...,N ϑα συγκλίνει σε σε µια περιοχή γύρω από µια λύση, αν ικανοποιούνται τα κριτήρια σύγκλισης f 1 x 1 + f 1 x f 1 x N < 1... (1.52) f N x 1 + f N x f N x N < 1 Τα κριτήρια αυτά αποτελούν επέκταση του κριτηρίου που ισχύει για τη σύγκλιση στη ϱίζα µίας µη-γραµµικής εξίσωσης, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο x = g(x). Είναι προφανές, πόσο σύνθετη γίνεται πλέον η µελέτη της σύγκλισης µε αυτή τη µέθοδο, στην περίπτωση ενός συστήµατος εξισώσεων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω το σύστηµα x 2 + y 2 = 4 e x 3y = 1 του οποίου οι ακριβείς λύσεις είναι (1.5595,1.2522) και ( , ) (σχήµα 1.6). Το σύστηµα µπορεί να γραφεί στη µορφή x n+1 = 4 y 2 n y n+1 = 1 3 (exn 1) (όπου επιλέξαµε το πρόσηµο (-) στην πρώτη εξίσωση). Αν χρησιµοποιήσουµε την πρώτη µέθοδο, µε αρχικές τιµές ( 1, 0), δηµιουργούµε την ακολουθία τιµών που ϕαίνεται στον Πίνακα 1.10 η οποία µετά από 5 επαναλήψεις έχει προσεγγίσει ικανοποιητικά τη µία από τις ϱίζες της εξίσωσης. Αν χρησιµοποιηθεί η δεύτερη µέθοδο, τότε δηµιουργούµε την ακολουθία τιµών που ϕαίνεται στον Πίνακα 1.11 ηλαδή, για το συγκεκριµένο σύστηµα, ο αριθµός

33 1.6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 27 n x y Πίνακας n x y Πίνακας των επαναλήψεων που απαιτείται για την επίτευξη της παραπάνω ακρίβειας είναι περίπου ο µισός απ ότι µε την πρώτη µέθοδο. Ας προσπαθήσουµε τώρα να και ϐρούµε τη δεύτερη λύση του συστήµατος, που ϑα προκύψει απο τη λύση του συστήµατος x n+1 = 4 y 2 n y n+1 = 1 3 (exn 1) (επιλέγοντας, αυτή τη ϕορά, το πρόσηµο (+) στην πρώτη από τις εξισώσεις). Ας ξεκινήσουµε από µια τιµή που είναι αρκετά κοντά στην ακριβή λύση, έστω λοιπόν x 0 = 1.5 και y 0 = 1. Η ακολουθία τιµών δίνεται στον Πίνακα 1.12 n x y Πίνακας Παρατηρούµε ότι αποκλίνουµε από τη λύση του συστήµατος, και τούτο διότι, άν εφαρµόσουµε τα κριτήρια σύγκλισης στην περιοχή της λύσης, ϑα παρατηρήσουµε ότι δεν ικανοποιούνται. Αν όµως γράψουµε το σύστηµα στη µορφή y n+1 = 4 x 2 n x n+1 = ln(1 + 3y n ) τότε η ακολουθία τιµών που δηµιουργούµε συγκλίνει (αλλά αργά) στην δεύτερη λύση του συστήµατος µετά από µεγάλο αριθµό επαναλήψεων.

34 28 1 ΡΙΖΕΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να ϐρεθεί η ϱίζα της εξίσωσης e x sin(x) = 0 (ρ = ). Αν το αρχικό διάστηµα είναι [-4, -3], πόσες εφαρµογές της µεθόδου διχοτόµησης απαιτούνται, για να επιτύχουµε ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων (δηλαδή) x n ρ < Υπολογίστε το σηµείο τοµής των καµπυλών y = e x και y = 2x + 1 µε ακρίβεια τριων δεκαδικών ψηφίων µε τη µέθοδο της διχοτόµησης. 3. Εφαρµόστε τη µέθοδο της γραµµικής παρεµβολής στη λύση του προβλήµατος 1. Πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη της ακρίβειας των τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων 4. Επαναλάβετε την άσκηση 2 µε τη χρήση γραµµικής παρεµβολής. 5. Εφαρµόστε τη µέθοδο Muller στις ασκήσεις 1 και Βρείτε τις τρεις ϱίζες της e x 2x 2 = 0, µε κατάλληλη χρήση της µεθόδου x = g(x). 7. Να ϐρεθούν οι ϱίζες της 3x sin(x) e x = 0 µε τη µέθοδο της γραµµικής παρεµβολής και τη µέθοδο Newton Raphson. 8. Βρείτε τις ϱίζες της εξίσωσης x 2 2x 3 = 0 (προφανώς είναι 3 και -1) µε τη µέθοδο x = g(x). οκιµάσετε τις κατάλληλες γραφές για να επιτύχεται σύγκλιση. 9. Εφαρµόστε τη µέθοδο Newton Raphson στις ασκήσεις 1 και Να ϐρεθεί η n-οστή ϱίζα ενός αριθµού (αναδροµική σχέση) 11. Να ϐρεθεί η 3η ϱίζα ενός αριθµού 12. Να ϐρεθεί η ιδιοτιµή λ της εξίσωσης y + λ 2 y = 0 µε οριακές συνθήκες y (0) = 0 και y (1) = y (1). 13. Γνωρίζουµε ότι αν η f (x) έχει διπλή ϱίζα στο x = r τότε f (r) = 0. Επίσης αν η f (x) έχει µια ϱίζα µε πολλαπλότητα m στο x = r τότε f (i) = 0, για i = 1, 2,..., m 1. Με ϐάση τα προηγούµενα να δειχθεί ότι αν f (x), f (x) και f (x) είναι συνεχείς και ϕραγµένες σ ενα διάστηµα που περιέχει µια ϱίζα πολλαπλότητας m δηλαδή είναι f (r) = f (r) =... = f (m 1) (r) = 0 αλλά f (m) (r) 0 τότε η x n+1 = x n m f (x n) f (x n ) συγκλίνει τετραγωνικά. 14. Να ϐρεθεί ο αντίστροφος ενός αριθµού χωρίς χρήση διαίρεσης. 15. Χρησιµοποιώντας τη µέθοδο x = g(x) να ϐρεθεί µια ϱίζα του πολυωνύ- µου 2x 3 + 4x 2 2x 5 = 0 κοντά στο 1. Χρησιµοποιείστε τουλάχιστον δύο διαφορετικές αναδιατάξεις του πολυωνύµου και συγκρίνετε το αποτέλεσµα. Τέλος χρησιµοποιήστε τη µέθοδο Aitken για τη ϐελτίωση του τελικού αποτελέσµατος. 16. Να ϐρεθεί αριθµητικά η τιµή του 1/ a 17. Η f (x) = e x 3x 2 = 0 έχει τρείς ϱίζες. Αν γραφεί στη µορφή x = ± e x /3 να ϐρεθούν οι ϱίζες της, όσες είναι δυνατόν, και αν δεν µπορεί να ϐρεθεί κάποια µε αυτό το σχήµα τότε δοκιµάστε εναλλακτικά σχήµατα.

35 1.7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να γίνουν δύο ϐήµατα µε τη µέθοδο Newton Raphson για το παρακάτω σύστηµα, µε αρχικές τιµές (0,1): 4x 2 y 2 = 0 4xy 2 x = Με αρχικές τιµές (0,0,1) να γίνει ένα ϐήµα µε τη µέθοδο Newton Raphson για το σύστηµα xy z 2 = 1 xyz x 2 + y 2 = 2 e x e y + z = 3 Να εξηγηθεί το αποτέλεσµα. 20. Να λυθούν τα παρακάτω συστήµατα µε χρήση των δύο αριθµητικών µεθόδων και συγκρίνεται την ταχύτητα σύγκλισης τους. e x y = 0 xy e x = 0 xyz x 2 + y 2 = 1.34 xy z 2 = 0.09 e x e y + z = 0.41 x 3 y = 0 x 2 + y 3 = 1

36

37 2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η λύση συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων απαντάται σε µια πλειάδα προβλη- µάτων κάθε επιστηµονικού κλάδου. Σε πολλές περιπτώσεις, χρειάζεται να λύσει κανείς γραµµικά συστήµατα πολύ µεγάλου µεγέθους, π.χ συντελεστών. Η λύση ενός τέτοιου συστήµατος απαιτεί ένα πολύ µεγάλο αριθ- µό πράξεων. Ακόµη και µε τη χρήση γρήγορου υπολογιστή, η λύση µπορεί να είναι χρονοβόρα και να απαιτεί µεγάλη υπολογιστική µνήµη. Επίσης, όσο µεγαλύτερος είναι ο αριθµός των ϐηµάτων, τόσο αυξάνει το συνολικό σφάλµα στρογγύλευσης των αριθµητικών πράξεων στη µνήµη του υπολογιστή. Οι µέθοδοι επίλυσης γραµµικών συστηµάτων κατατάσσονται σε δύο κατηγορίες, στις άµεσες και στις επαναληπτικές µεθόδους. Οι άµεσες µέθοδοι µπορούν να οδηγήσουν σε ακριβή λύση του συστήµατος, ενώ οι επαναληπτικές µέθοδοι ξεκινούν µε κάποια αρχική εκτίµηση της λύσης και ϐελτιώνουν την εκτίµηση µέχρι κάποια επιθυµητή ακρίβεια. Για πολύ µεγάλα γραµµικά συστή- µατα, οι επαναληπτικές µέθοδοι είναι ασύγκριτα πιο γρήγορες απ ότι οι άµεσες µέθοδοι. Για ορισµένους τύπους γραµµικών συστηµάτων π.χ. για συστήµατα που ανάγονται σε συµµετρικό πίνακα ή σε πίνακα µε διαγώνια δοµή, έχουν αναπτυχθεί ειδκές µέθοδοι που επιτυγχάνουν την επίλυση του συστήµατος µε λιγότερες πράξεις απ ότι µε τη χρήση γενικών µεθόδων. Τα προβλήµατα που συνήθως πρέπει να λύσουµε είναι: Να λυθεί το σύστηµα: A x = B, όπου a 11 a 1N x 1 a 12 a 2N A =.. x = x 2. a 1N a NN x N b 1 b 2 B =. b N Να ϐρεθεί ο A 1 (αντίστροφος πίνακας) Να ϐρεθεί η ορίζουσα του A Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του A

38 32 2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.1 ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS Σε αυτή την ενότητα ϑα παρουσιάσουµε µια ϐασική µέθοδο για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων N εξισώσεων µε N αγνώστους. Το ϐασικό ϐήµα είναι η µετατροπή του συστήµατος σε ένα άνω-τριγωνικό σύστηµα οπότε στη συνέχεια η διαδικασία υπολογισµού των λύσεων είναι απλή. Υπενθυµίζουµε ότι στα γραµµικά συστήµατα επιτρέπονται οι παρακάτω πράξεις που δεν αλλοιώνουν τις λύσεις του αρχικού συστήµατος : Αλλαγή της σειράς δύο εξισώσεων Πολλαπλασιασµός µιας εξίσωσης µε µία µη-µηδενική σταθερά Μια εξίσωση µπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισµα αυτής της εξίσωσης και ένα πολλαπλάσιο κάποιας από τις υπόλοιπες. Ας υποθέσουµε ότι δίδεται το γραµµικό σύστηµα: A x = B µε det(a) 0. a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1N x N = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2N x N = b 2. (2.1) a N1 x 1 + a N2 x 2 + a N3 x a NN x N = b N Για τη µετατροπή του παραπάνω συστήµατος σε άνω τριγωνικό ϑα ακολου- ϑήσουµε τα επόµενα ϐήµατα: ΒΗΜΑ 1ο Πολλαπλασιάζω την πρώτη εξίσωση µε a 21 /a 11 και την αφαιρώ από τη δεύτε- ϱη εξίσωση. Οµοίως, πολλαπλασιάζω την πρώτη µε a 31 /a 11 και την αφαιρώ από την τρίτη κ.ο.κ., οπότε λαµβάνω: όπου, για παράδειγµα, είναι a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1N x N = b a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2N x N = b (1) 2.. (2.2) 0 + a (1) N2 x 2 + a (1) N3 x a (1) NN x N = b (1) N. a (1) 22 = a 12a 21 a 11 a 22

39 2.1 ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS 33 ΒΗΜΑ 2ο Η πρώτη γραµµή και η πρώτη στήλη παραµένουν οπότε πολλαπλασιάζω αντίστοιχα τη δεύτερη εξίσωση µε a (1) 32 /a(1) 22 και την αφαιρώ από την τρίτη εξίσωση κ.ο.κ., οπότε a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1N x N = b a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2N x N = b (1) a (2) 33 x a (2) 3N x N = b (2) 3.. (2.3) a (2) N3 x a (2) NN x N = b (2) N Αντίστοιχα, για παράδειγµα, είναι: a (2) 33 = a(1) 32 a(1) 33 a (1) a (1) Μετά από Ν - 1 ΒΗΜΑΤΑ καταλήγω στο σύστηµα: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1N x N = b 1 a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2N x N = b (1) 2 a (2) 33 x a (2) 3N x N = b (2) 3. (2.4) a (N 1) NN x N = b (N 1) N Το παραπάνω σύστηµα είναι τριγωνικό και η λύση του µπορεί να δοθεί εύκολα ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία. Προφανώς για από τη Ν-οστή εξίσωση του παράπανω συστήµατος (2.5) λαµ- ϐάνουµε την τιµή του x N : x N = b(n 1) N a (N 1) NN (2.5) ενώ οι υπόλοιπες ϱίζες του συστήµατος υπολογίζονται εύκολα απο την σχέση: x i = b (i 1) i N k=i+1 a (i 1) ii a (i 1) ik x k (2.6) Ο αριθµός των πράξεων που απαιτεί η λύση ενός συστήµατος N γραµµικών εξισώσεων µε τη µέθοδο Gauss είναι (4N 3 + 9N 2 7N)/6 (γιατί ).

40 34 2 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χρήση της Οδήγησης (Pivoting) Για τη ϐελτίωση της ακρίβειας των υπολογισµών ϕροντίζουµε στο σύστηµα (2.3) το a 11 να είναι το απολύτως µεγαλύτερο στοιχείο. Αντίστοιχα, στο σύστηµα (2.4) το a (1) 22 πρέπει να είναι το απολύτως µεγαλύτερο στοιχείο κ.ο.κ. Το pivoting µας προφυλάσσει και από µια πιθανή παθολογική συµπεριφορά της µεθόδου Gauss. Η παθολογική συµπεριφορά οφείλεται στην ιδιότητα της µεθόδου Gauss σύµφωνα µε την οποία διαιρούµε σε κάθε ϐήµα µε το στοιχείο a NN, εποµένως, αν κάποιο από αυτά τα διαγώνια στοιχεία είναι µηδέν ή γενικά ένας πολύ µικρός αριθµός, η ακρίβεια της µεθόδου είναι πολύ κακή. Με το pivoting αποφεύγουµε τέτοιες παθολογικές καταστάσεις. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εστω ότι, µετά από τη χρήση της µεθόδου Gauss στη λύση ενός N N συστήµατος, οι δυο τελευταίες εξισώσεις, η N 1 και η N είναι: 0x N 1 + x N = 1 2x N 1 + x N = 3 Προφανώς, έχουν λύση: x N 1 = x N = 1. Αλλά, λόγω σφαλµάτων αποκοπής, στην πράξη το σύστηµα ϑα έχει τη µορφή: ǫ x N 1 + x N = 1 2x N 1 + x N = 3 οπότε συνεχίζοντας στο τελευταίο ϐήµα ϑα πάρουµε: ǫx N 1 + x N = 1 ( 1 2 ) x N = 3 2 ǫ ǫ µε λύσεις x N = 3 2 ǫ 1 2 ǫ 1 σωστό x N 1 = 1 x N ǫ! Παρατηρούµε δηλαδή, πως το x N 1 είναι απροσδιόριστο, γιατί αποτελεί το λόγο δυο µικρών αριθµών, των οποίων η ακρίβεια εξαρτάται από την ακρίβεια µε την οποία εκτελεί τις πράξεις ο Η/Υ. Στη συνέχεια, ο όρος x N 1 ϑα χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των x N 2,..., x 1 µε καταστροφικά αποτελέσµατα. Αν όµως χρησιµοποιηθεί οδήγηση, το σύστηµα γράφεται:

41 2x N 1 + x N = 3 ǫx N 1 + x N = ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS JORDAN 35 οπότε πολλαπλασιάζοντας επί ǫ την πρώτη και επί 2 την δεύτερη καταλήγουµε 2x N 1 + x N = 3 ( 1 ǫ ) x N = 1 3ǫ 2 2 οπότε η λύση του είναι x N 1.0 και x N 1 = 3 xn ΜΕΘΟ ΟΣ GAUSS JORDAN Η µέθοδος Gauss Jordan αποτελεί παραλλαγή της µεθόδου Gauss. Η ϐασική της διαφορά έγκειται στο ότι το τελικό σύστηµα, δεν είναι τριγωνικό αλλά πρακτικά διαγωνιοποιείται ο πίνακας A και η λύση του συστήµατος είναι προφανής. Η µέθοδος ϐασίζεται στην εξής λογική: Σε κάθε ϐήµα απαλείφουµε κι έναν όρο από την πρώτη εξίσωση. ηλαδή, στο σύστηµα (2.2) του προηγούµενου κεφάλαιου, πολλαπλασιάζω τη δεύτερη εξίσωση µε a 12 /a (1) 22 και την αφαιρώ από την πρώτη, οπότε το σύστηµα 2.3 γράφεται: a 11 x a (2) 13 x a (2) 1N x N = b (2) a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2N x N = b (1) a (2) 33 x a (2) 3N x N = b (2) 3. (2.7) a (2) N3 x a (2) NN x N = b (2) N στο επόµενο ϐήµα ϑα απαλειφθούν οι όροι µε συντελεστές κ.ο.κ. Οπότε τελικά µετά από N ϐήµατα καταλήγω στο σύστηµα: a 11 x 1 = b (N 1) 1 a (1) 22 x 2 = b (N 1) 2. (2.8) a (N 1) NN x N = b (N 1) N του οποίου η λύση του δίνεται από την προφανή σχέση x i = b(n 1) i a (i 1) ii. (2.9)

1181. EΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ

1181. EΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ 1181. EΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Υ ΡΕΥΣΗΣ 1181.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό καλύπτονται θέµατα σχετικά µε τον τρόπο κατασκευής των εγκαταστάσεων ύδρευσης σε κτιριακά έργα. 1181.1.1 Σχέδια Μελέτης Πριν αρχίσουν οι εργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές ελέγχου και καταστολής δασικών πυρκαγιών Προετοιµαστείστε για την επιχείρηση καταστολής πυρκαγιών Θέστε υπό έλεγχο τις πυρκαγιές

Τεχνικές ελέγχου και καταστολής δασικών πυρκαγιών Προετοιµαστείστε για την επιχείρηση καταστολής πυρκαγιών Θέστε υπό έλεγχο τις πυρκαγιές Ενότητα EF2: Μέρος 1.1: Μέρος 1.2: Τεχνικές ελέγχου και καταστολής δασικών πυρκαγιών Προετοιµαστείστε για την επιχείρηση καταστολής πυρκαγιών Θέστε υπό έλεγχο τις πυρκαγιές Αυτή η ενότητα ασχολείται µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ»

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΡΧΕΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: ρ. Αθανασάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΣΗ: Παράµετροι Αποτελεσµατικότητας των ιαφόρων Εργαλείων ιαχείρισης της Ενεργού Γήρανσης ΤΙΤΛΟΣ:

ΡΑΣΗ: Παράµετροι Αποτελεσµατικότητας των ιαφόρων Εργαλείων ιαχείρισης της Ενεργού Γήρανσης ΤΙΤΛΟΣ: ΡΑΣΗ: ΤΙΤΛΟΣ: 3 Παράµετροι Αποτελεσµατικότητας των ιαφόρων Εργαλείων ιαχείρισης της Ενεργού Γήρανσης ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΠΑΡΑ ΟΤΕΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΦΟΡΕΑΣ: «Συνθετική έκθεση - µελέτη αναφορικά µε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΥΤΙΛΗΝΗ: 03/04/2007 ΑΡΙΘ. ΠΡΩΤ.: 1835 ΙΑΚΗΡΥΞΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΥΤΙΛΗΝΗ: 03/04/2007 ΑΡΙΘ. ΠΡΩΤ.: 1835 ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΑΝΤΙΠΡΥΤΑΝΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΜΥΤΙΛΗΝΗ: 03/04/2007 ΑΡΙΘ. ΠΡΩΤ.: 1835 ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΜΕΙΟ ΟΤΙΚΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ & ΑΝΑΛΩΣΙΜΩΝ, ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟN ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Αθήνα 23 Σεπτεµβρίου 2004

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟN ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Αθήνα 23 Σεπτεµβρίου 2004 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟN ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Αθήνα 23 Σεπτεµβρίου 2004 Από το Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων ανακοινώνεται ο τρόπος εισαγωγής των µαθητών στην τριτοβάθµια εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΩΝ Αθήνα, 26/7/2011 Αρ. Πρωτ.: Εξ./399/2011 Προς: Κυρία Χρυσή Αράπογλου, Πρόεδρο της ιαρκούς Επιτροπής Μορφωτικών Υποθέσεων της Βουλής των Ελλήνων Θέµα: Προτάσεις της Ένωσης Ελλήνων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ

ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ (Ο.Ε.Υ) ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΗΜΩΝ Δεκέμβριος 2010 Με τη συγχρηµατοδότηση της Ελλάδας και της Ευρωπαϊκής Ένωσης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 2 Η

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΠΤΕΡΟΥ. Προϋπολογισµού: 1.760,13 σε ΕΥΡΩ

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΠΤΕΡΟΥ. Προϋπολογισµού: 1.760,13 σε ΕΥΡΩ /ΝΣΗ ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΑΣ & ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΙΤΛΟΣ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΠΤΕΡΟΥ ΕΠΙΣΚΕΠΤΩΝ ΑΡ.ΜΕΛΕΤΗΣ: 77/2012 Μ Ε Λ Ε Τ Η ΕΚΠΟΤΑ - ΠΡΟΧΕΙΡΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΠΤΕΡΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

για τη ριζική ανανέωση και αλλαγή της δηµοκρατικής παράταξης και του πολιτικού συστήµατος

για τη ριζική ανανέωση και αλλαγή της δηµοκρατικής παράταξης και του πολιτικού συστήµατος Προχωράµε για τη ριζική ανανέωση και αλλαγή της δηµοκρατικής παράταξης και του πολιτικού συστήµατος για να πάει η Ελλάδα µπροστά Με πίστη και πεποίθηση υποστηρίζω την ύπαρξη στην ελληνική κοινωνία ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΤΟΥΣ 2013

ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΤΟΥΣ 2013 ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΤΟΥΣ 2013 Συντονιστικής Επιτροπής ( Σ) ΕΝΩΣΗΣ ΛΕΑ ΕΛΛΑ ΟΣ --- Αγαπητοί Πρόεδροι των ΛΕΑ ΕΛΛΑ ΟΣ, Αγαπητοί συνάδελφοι µέλη των ΛΕΑ που συµµετέχετε στην 14 η ΟΛΟΜΕΛΕΙΑ της Νάξου και τυπικά στην

Διαβάστε περισσότερα

Συνεδρίαση 10 η. Θέµα 1 ο «Έγκριση πολιτιστικών εκδηλώσεων 2015, Περιφερειακής Ενότητας Κεντρικού Τοµέα»

Συνεδρίαση 10 η. Θέµα 1 ο «Έγκριση πολιτιστικών εκδηλώσεων 2015, Περιφερειακής Ενότητας Κεντρικού Τοµέα» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ Ταχ. /νση: Λ. Συγγρού 15-17 Ταχ. Κώδικας: 117 43, Αθήνα Τηλ.: 2132063554 E-mail: epolitismou@patt.gov.gr Συνεδρίαση 10 η Απόφαση υπ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΞΥΛΟΥ ΡΙΚΝΩΣΗ & ΙΟΓΚΩΣΗ. ρ. Γεώργιος Μαντάνης Εργαστήριο Επιστήµης Ξύλου Τµήµα Σχεδιασµού & Τεχνολογίας Ξύλου - Επίπλου

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΞΥΛΟΥ ΡΙΚΝΩΣΗ & ΙΟΓΚΩΣΗ. ρ. Γεώργιος Μαντάνης Εργαστήριο Επιστήµης Ξύλου Τµήµα Σχεδιασµού & Τεχνολογίας Ξύλου - Επίπλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΞΥΛΟΥ ΡΙΚΝΩΣΗ & ΙΟΓΚΩΣΗ ρ. Γεώργιος Μαντάνης Εργαστήριο Επιστήµης Ξύλου Τµήµα Σχεδιασµού & Τεχνολογίας Ξύλου - Επίπλου ΡΙΚΝΩΣΗ ΙΟΓΚΩΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ & ΕΝΝΟΙΕΣ ΡΙΚΝΩΣΗ: Η ελάττωση (µείωση)

Διαβάστε περισσότερα

Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Ο ΑΝΤΙ ΗΜΑΡΧΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ

Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Ο ΑΝΤΙ ΗΜΑΡΧΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ATTIKHΣ ΗΜΟΣ ΑΧΑΡΝΩΝ ιεύθυνση Οικονοµικών Υπηρεσιών Τµήµα Προµηθειών Φιλαδελφείας 87 & Μπόσδα Τηλ.: 213 2072469 Fax: 213 2072369 ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Αρίθµ. Πρωτ. 21602 Αχαρνές,14/03/2014

Διαβάστε περισσότερα

βρίσκεται στο http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety213

βρίσκεται στο http://www.materials.uoc.gr/el/undergrad/courses/ety213 Τ Ε Τ Υ Π Κ Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Σημειώσεις Διαλέξεων και Εργαστηρίων Ηράκλειο Ιούνιος 015 Copyright c 005 014 Στη συγγραϕή συνεισέϕεραν οι Μ Γραμματικάκης, Θ Καλαμπούκης, Γ Κοπιδάκης, Ν Παπαδάκης,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΑΠΑΝΩΝ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΟΙ ΑΠΑΝΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΑΠΑΝΩΝ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΟΙ ΑΠΑΝΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΑΠΑΝΩΝ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΣΦΑΛΙΣΗ ΟΙ ΑΠΑΝΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑ Α Η κοινωνική ασφάλιση στην Ελλάδα απορροφά µεγάλο µέρος και του προγράµµατος δηµοσίων δαπανών: το 2001

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΕΡΓΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ. ΤΙ

«ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΕΡΓΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ. ΤΙ «ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥΣ ΣΤΑ ΕΡΓΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ. ΤΙ ΚΕΡΔΙΣΑΜΕ, ΠΟΙΑ ΤΑ ΛΑΘΗ ΜΑΣ, ΤΙ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ. Η ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΕΡΓΑ ΥΠΟΔΟΜΗΣ, ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΗ ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΑ ΕΡΕΥΝΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΚΟΙΝΟΥ HELLAS HEALTH III Ινστιτούτο Κοινωνικής Προληπτικής Ιατρικής Ι ΙΩΤΙΚΕΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΕΣ Version 1: 05/11/2010 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ανάθεση: Ινστιτούτο Κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

Η Πρόταση του ΣΥΡΙΖΑ-ΕΚΜ για τη ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΡΡΙΜΜΑΤΩΝ Βιώσιμη και δίκαιη οικονομικά και οικολογικά λύση

Η Πρόταση του ΣΥΡΙΖΑ-ΕΚΜ για τη ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΡΡΙΜΜΑΤΩΝ Βιώσιμη και δίκαιη οικονομικά και οικολογικά λύση Η Πρόταση του ΣΥΡΙΖΑ-ΕΚΜ για τη ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΡΡΙΜΜΑΤΩΝ Βιώσιμη και δίκαιη οικονομικά και οικολογικά λύση Εκκινούμε από την αρχή ότι η οικολογική και η οικονομική κρίση συνδέονται και αλληλοτροφοδοτούνται:

Διαβάστε περισσότερα

0. Εισαγωγή 7. 11. Το λεξιλόγιο της λογικής 22. Σύνολα

0. Εισαγωγή 7. 11. Το λεξιλόγιο της λογικής 22. Σύνολα 0. Εισαγωγή 7 11. Το λεξιλόγιο της λογικής. Σύνολα 8 0. Εισαγωγή 0.1 Λογική Συνεπαγωγές ντιθετοαντιστροφή Γ Ισοδυναµίες Σύνδεσµοι 0. Σύνολα Σύνολα Σύνολα αριθµών Γ Μαθηµατικά σύµβολα Παράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Καθορισµός όρων για την εκµίσθωση δικαιώµατος χρήσης γεφυροπλάστιγγας στη ηµοτική Κοινότητα Καρδιτσοµαγούλας

ΘΕΜΑ Καθορισµός όρων για την εκµίσθωση δικαιώµατος χρήσης γεφυροπλάστιγγας στη ηµοτική Κοινότητα Καρδιτσοµαγούλας Α Π Ο Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ο Τ Ο Ι Χ Ο Κ Ο Λ Λ Η Σ Η Σ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΚΑΡ ΙΤΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Στην Καρδίτσα σήµερα την 10η του µηνός Μαρτίου του έτους 2014 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ5: Παρουσίαση Βασικών Παραµέτρων Α Επιλογής

ΠΕ5: Παρουσίαση Βασικών Παραµέτρων Α Επιλογής ΠΕ5: Παρουσίαση Βασικών Παραµέτρων Α Επιλογής Εισαγωγή Επιλογή Σχεδίου Ανάπτυξης (1/2) Για την προκριθείσα πρώτη επιλογή της περιοχής της «Βιοµηχανικής Ζώνης ραπετσώνας- Κερατσινίου» έχουν διατυπωθεί αρκετές

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΡΥΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΦΑΡΜΑΚΕΙΩΝ (ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΦΕΚ. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ

Ο ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΡΥΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΦΑΡΜΑΚΕΙΩΝ (ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΦΕΚ. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ Ο ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΓΙΑ ΤΗΝ Ι ΡΥΣΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΦΑΡΜΑΚΕΙΩΝ (ΝΟΜΟΣ 1963/91 ΦΕΚ. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΦΑΡΜΑΚΕΥΤΙΚΗΣ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΙΑΤΑΞΕΙΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΧΟΡΗΓΗΣΗ Α ΕΙΑΣ Ι ΡΥΣΕΩΣ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα: Περί παραχώρησης απλής χρήσης αιγιαλού για την άσκηση δραστηριοτήτων που εξυπηρετούν τους λουόµενους ή την αναψυχή του κοινού για το έτος 2012.

Θέµα: Περί παραχώρησης απλής χρήσης αιγιαλού για την άσκηση δραστηριοτήτων που εξυπηρετούν τους λουόµενους ή την αναψυχή του κοινού για το έτος 2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθµ. Απόφασης 231/2012 ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ιεύθυνση ιοικητικών Υπηρεσιών ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό 7/15-5-2012 της τακτικής συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Θέµα: Περί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙ ΙΟΥ ΜΕ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ

ΟΙ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙ ΙΟΥ ΜΕ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ ΟΙ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙ ΙΟΥ ΜΕ ΣΥΓΓΕΝΗ ΚΑΡ ΙΟΠΑΘΕΙΑ 3 α. Εξετάσεις και έλεγχος από τον παιδίατρο και τον οικογενειακό γιατρό σας. Η τακτική ιατρική παρακολούθηση είναι απαραίτητη σε όλα τα παιδιά, συµπεριλαµβανοµένων

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονική Επιµέλεια Κ.. Αϊβαλής Χ. Φ. Μπέλλας Α. A. Τορτοπίδης Στατιστική Ανάλυση Χ. Φ. Μπέλλας Γ. Παναγιωτίδης ISSN: 1108-5444

Επιστηµονική Επιµέλεια Κ.. Αϊβαλής Χ. Φ. Μπέλλας Α. A. Τορτοπίδης Στατιστική Ανάλυση Χ. Φ. Μπέλλας Γ. Παναγιωτίδης ISSN: 1108-5444 Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΗ, ΠΑΡΟΧΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ, ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΚΑΙ ΝΕΡΟΥ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΓΙΑ ΤΟ 2006 Μάιος 2007 Επιστηµονική Επιµέλεια Κ.. Αϊβαλής Χ.

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτική της Χηµείας στο σχολείο - Προβλήµατα και λύσεις

ιδακτική της Χηµείας στο σχολείο - Προβλήµατα και λύσεις ιδακτική της Χηµείας στο σχολείο - Προβλήµατα και λύσεις Μιλένα Koleva, Τεχνικό Πανεπιστήµιο του Γκάµπροβο (Βουλγαρία) kolevamilena@hotmail.com Αφηρηµένο Τα τελευταία χρόνια έχουν δει το ενδιαφέρον υποχωρούσε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ «Για τους όρους αµοιβής και εργασίας του προσωπικού κουζίνας όπου υπηρετεί µε σχέση εργασίας Ιδιωτικού ικαίου στις Σχολές Τουριστικών Επαγγελµάτων όλης της χώρας.» (Πράξη Κατάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Η ΑΓΟΡΑ ΣΤΟΝ ΚΑΠΙΤΑΛΙΣΜΟ

Θέμα: Η ΑΓΟΡΑ ΣΤΟΝ ΚΑΠΙΤΑΛΙΣΜΟ Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Λογιστικής ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: Η ΑΓΟΡΑ ΣΤΟΝ ΚΑΠΙΤΑΛΙΣΜΟ Υπό του φοιτητή: Κωνσταντίνου Κατσάνη Επιβλέπων καθηγητής: Γ. Μαγούλιος Σέρρες 2009 Η ΑΓΟΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1164/94 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 16ης Μαΐου 1994 για την ίδρυση του

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΚ) αριθ. 1164/94 ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 16ης Μαΐου 1994 για την ίδρυση του Κανονισµός (ΕΚ) αριθ. 1164/94 του Συµβουλίου της 16ης Μαΐου 1994 για την ίδρυση του ταµείου συνοχής Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. L 130 της 25/05/1994 σ. 0001-0013 Φινλανδική ειδική έκδοση: Κεφάλαιο 14 τόµος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΗ Ανανεώσιμες: Το μέλλον της ΔΕΗ Ομιλία του κ. Τάκη Αθανασόπουλου Προέδρου & Διευθύνοντος Συμβούλου ΔΕΗ Α.Ε. 6-11-2008

ΔΕΗ Ανανεώσιμες: Το μέλλον της ΔΕΗ Ομιλία του κ. Τάκη Αθανασόπουλου Προέδρου & Διευθύνοντος Συμβούλου ΔΕΗ Α.Ε. 6-11-2008 ΔΕΗ Ανανεώσιμες: Το μέλλον της ΔΕΗ Ομιλία του κ. Τάκη Αθανασόπουλου Προέδρου & Διευθύνοντος Συμβούλου ΔΕΗ Α.Ε. 6-11-2008 Αγαπητοί εκπρόσωποι των Μέσων Μαζικής Ενημέρωσης, Αγαπητοί συνάδελφοι, Θα ήθελα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΛΗΡΕΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ

ΤΟ ΠΛΗΡΕΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΤΟ ΠΛΗΡΕΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Α] Εξέλιξη του Κύκλου Εργασιών, των Καθαρών Αποτελεσμάτων προ Φόρων και του Περιθωρίου Καθαρού Κέρδους για την πενταετία 2008 2012. Η καταγραφή, και ακολούθως η μελέτη, των

Διαβάστε περισσότερα

1o ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012

1o ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 1o ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Υπεύθυνος: Πετρόπουλος Αγησίλαος ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ-ΕΜΒΑΔΟΥ-ΟΓΚΟΥ-ΜΑΖΑΣ-ΧΡΟΝΟΥ-ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ (Φυσική Β Γυμνασίου - Εργαστηριακές ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΑΣΗ (Άρθρο 3 1&2 Ν.3297/2004)

ΣΥΣΤΑΣΗ (Άρθρο 3 1&2 Ν.3297/2004) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Εισηγήτρια: Θεοδώρα Παπαδηµητρίου Ειδική Επιστήµονας-Νοµικός Αθήνα, 03 Οκτωβρίου 2011 Αρ. πρωτ.: 8947 ΣΥΣΤΑΣΗ (Άρθρο 3 1&2 Ν.3297/2004) ΘΕΜΑ: «Ασφαλιστικές Εταιρίες που έχουν άδεια λειτουργίας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΥΠ.ΑΡ. 119 /2012 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΗΣ Για την προµήθεια ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗΣ Μεγαλύτερο ποσοστό έκπτωσης (%) για δύο µήνες

ΙΑΚΗΡΥΞΗ ΥΠ.ΑΡ. 119 /2012 ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΠΡΑΓΜΑΤΕΥΣΗΣ Για την προµήθεια ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗΣ Μεγαλύτερο ποσοστό έκπτωσης (%) για δύο µήνες ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗ 6 ης ΥΓΕΙΟΝ. ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΣ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ, ΗΠΕΙΡΟΥ ΚΑΙ ΥΤ.ΕΛΛΑ ΟΣ ΓΕΝΙΚΟ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ Λ.ΑΘΗΝΩΝ 53 ΤΚ 201 00 ΚΟΡΙΝΘΟΣ /νση ιοικητικού

Διαβάστε περισσότερα

Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Νο 21/2013

Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Νο 21/2013 Ε.Υ.Α.Θ. Α.Ε. ΕΤΑΙΡΕΙΑ Υ ΡΕΥΣΗΣ & ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Α.Ε. ΕΓΝΑΤΙΑ 127-546 35 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ - ΤΗΛ: 2310/966600 FAX: 2310/212439 Ι Α Κ Η Ρ Υ Ξ Η Νο 21/2013 για την προµήθεια δύο βαλβίδων αντεπιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθµό 29 ης / 09 εκεµβρίου 2011 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ήµου Καβάλας

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθµό 29 ης / 09 εκεµβρίου 2011 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ήµου Καβάλας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθµό 29 ης / 09 εκεµβρίου 2011 Συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής ήµου Καβάλας Αριθ. απόφασης 398/2011 ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

74 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 12-13 Δεκεμβρίου 2013

74 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 12-13 Δεκεμβρίου 2013 74 η ΣΥΝΟΔΟΣ ΠΡΥΤΑΝΕΩΝ & ΠΡΟΕΔΡΩΝ Δ.Ε. ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 12-13 Δεκεμβρίου 2013 ΟΜΟΦΩΝΟ ΨΗΦΙΣΜΑ ΓΙΑ ΤΑ ΘΕΣΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ 1. Θεσμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΤΟΜΙΑΣ (Φύλλα διδασκαλίας) για Τμήματα: Εργοθεραπείας, ημόσιας Υγείας και Νοσηλευτικής. (Γεώργιος. Μπαμπλέκος.)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΤΟΜΙΑΣ (Φύλλα διδασκαλίας) για Τμήματα: Εργοθεραπείας, ημόσιας Υγείας και Νοσηλευτικής. (Γεώργιος. Μπαμπλέκος.) 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΤΟΜΙΑΣ (Φύλλα διδασκαλίας) για Τμήματα: Εργοθεραπείας, ημόσιας Υγείας και Νοσηλευτικής (Γεώργιος. Μπαμπλέκος.) Συγγράμματα Αναφοράς: Επίτομη Ανατομική Παναγιώτη Σάββα, και Και, Περιγραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 113. Ο ΠΕΡΙ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΝΟΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 113. Ο ΠΕΡΙ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΝΟΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 113. Ο ΠΕΡΙ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΝΟΜΟΣ ΚΑΤΑTΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ Άρθρο 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερµηνεία. Πρώτο Παράρτηµα ΜΕΡΟΣ I ΣΥΣΤΑΣΗ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΗ ΘΕΜΑΤΑ Ιδρυτικό Έγγραφο 3. Τρόπος σύστασης εταιρείας ως

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α Β Ο Υ Λ Η Σ

Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α Β Ο Υ Λ Η Σ Π Ρ Α Κ Τ Ι Κ Α Β Ο Υ Λ Η Σ Θ' ΠΕΡΙΟ ΟΣ (ΠΡΟΕ ΡΕΥΟΜΕΝΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ) ΣΥΝΟ ΟΣ Γ' ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Π' ευτέρα 15 Φεβρουαρίου 1999 Αθήνα, σήµερα στις 15 Φεβρουαρίου 1999, ηµέρα ευτέρα και ώρα 18.14' συνήλθε στην

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. dparatiritirio.blogspot.com

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. dparatiritirio.blogspot.com ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΑΪΟΣ 2010 1. Εισαγωγή Η Κοινωνική Ασφάλιση τον 20 ο αιώνα. αποτελεί τη κορυφαία κατάκτηση των εργαζοµένων τον 19

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΑΥΤΕΜΠΟΡΙΚΗ. Η επιστολή του Γ. Βαρουφάκη προς το Eurogroup. Τετάρτη, 25 Φεβρουαρίου 2015

Η ΝΑΥΤΕΜΠΟΡΙΚΗ. Η επιστολή του Γ. Βαρουφάκη προς το Eurogroup. Τετάρτη, 25 Φεβρουαρίου 2015 Η επιστολή του Γ. Βαρουφάκη προς το Eurogroup Τετάρτη, 25 Φεβρουαρίου 2015 Ολόκληρη η επιστολή µε τη λίστα των ελληνικών µεταρρυθµίσεων, που απέστειλε ο υπουργός Οικονοµικών Γιάνης Βαρουφάκης προς τον

Διαβάστε περισσότερα

15PROC003307705 2015-11-13

15PROC003307705 2015-11-13 5PROC003307705 205--3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΗΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ & ΤΑΜΕΙΑΚΗΣ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΚΗΡΥΞΕΩΝ & ΗΜΟΠΡΑΣΙΩΝ Πληρ.

Διαβάστε περισσότερα

Επικαιροποιημένος Οδηγός Σύναψης Συμβάσεων Έργου 10 Μαϊου 2012 Α. ΠΡΟΟΙΜΙΟ

Επικαιροποιημένος Οδηγός Σύναψης Συμβάσεων Έργου 10 Μαϊου 2012 Α. ΠΡΟΟΙΜΙΟ Α. ΠΡΟΟΙΜΙΟ 1. Ο Ενιαίος ιοικητικός Τοµέας Ευρωπαϊκών Πόρων Ειδική Υπηρεσία ιαχείρισης Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» (στο εξής ΕΥ ), για την εξυπηρέτηση ζωτικού δηµοσίου συµφέροντος

Διαβάστε περισσότερα

247 Μαθηματικών Πάτρας

247 Μαθηματικών Πάτρας 247 Μαθηματικών Πάτρας Σκοπός Αποστολή του Τμήματος είναι η καλλιέργεια της μαθηματικής σκέψης και παράλληλα η ανάδειξη επιστημόνων που θα αναζητούν, θα επεξεργάζονται και θα προτείνουν θεωρητικά μοντέλα

Διαβάστε περισσότερα

8. ΑΝΑΠΝΕΥΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΤΕΛΕΙΟΜΗΝΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ

8. ΑΝΑΠΝΕΥΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΤΕΛΕΙΟΜΗΝΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ 8 Ν. Νικολαΐδης 8. ΑΝΑΠΝΕΥΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΡΟΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΤΕΛΕΙΟΜΗΝΟΥ ΝΕΟΓΝΟΥ Ν. Nικολαΐδης ΑΙΤΙΑ ΑΝΑΠΝΕΥΣΤΙΚΗΣ ΥΣΧΕΡΕΙΑΣ ΣΤΑ ΝΕΟΓΝΑ Τα αίτια της αναπνευστικής δυσχέρειας στα νεογνά, πρόωρα και τελειόµηνα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ (ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ 1Γ/2008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία: Εργασίες απολύµανσης, απεντόµωσης και µυοκτονίας των κτιρίων ευθύνης του ήµου

Εργασία: Εργασίες απολύµανσης, απεντόµωσης και µυοκτονίας των κτιρίων ευθύνης του ήµου Εργασία: Εργασίες απολύµανσης, απεντόµωσης και µυοκτονίας των κτιρίων ευθύνης του ήµου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Από το γενικό τίτλο «Απολύµανση ηµοτικών Κτιρίων 2014-2015 και εργασίες Μυοκτονίας και Απολύµανσης

Διαβάστε περισσότερα

(2000-2004) (Dalin,1998) (Fullan,1991,1993,Levin,1976,Ravitch,2000,Rogers, 1995, Sarason,1982,1990).

(2000-2004) (Dalin,1998) (Fullan,1991,1993,Levin,1976,Ravitch,2000,Rogers, 1995, Sarason,1982,1990). ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΙΑΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ: Η ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΕΝΗΛΙΚΩΝ (2000-2004) Χρίστος ούκας,σύµβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Αρετή- ήµητρα ούκα,msc Ανάπτυξης- Σχεδιασµού Εκπαιδευτικών Μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΕΛΕΥΣΕΙΣ ΑΠΟΧΩΡΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Προσήλθαν:

ΠΡΟΣΕΛΕΥΣΕΙΣ ΑΠΟΧΩΡΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ Προσήλθαν: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ Α Α: ΒΕΖΞΩΕ6-ΓΞ4 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της υπ αριθ. 14ης / 5 Ιουνίου 2013 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Καβάλας Αριθ. Αποφάσεως 320/2013 Θ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΥΠΟ ΟΧΗΣ ΚΑΙ. Προϋπολογισµού: 64.288,09 σε ΕΥΡΩ

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΥΠΟ ΟΧΗΣ ΚΑΙ. Προϋπολογισµού: 64.288,09 σε ΕΥΡΩ ΕΛΛΗΝΙΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΙΟΥ ΗΜΟΣ ΑΡΧΑΝΩΝ -- ΑΣΤΕΡΟΥΣΙΙΩΝ /ΝΣΗ ΗΜΟΤΙΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΙΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΗΜΟΣ: Αρχανών - Αστερουσίων ΤΙΤΛΟΣ: ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΥΠΟ ΟΧΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗΣ & ΙΑΙΤΗΣΙΑΣ

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗΣ & ΙΑΙΤΗΣΙΑΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗΣ & ΙΑΙΤΗΣΙΑΣ Ε ΡΑ: Πλατεία Βικτωρίας 7, Αθήνα 10434 210 88 14 922 210 88 15 393 info@omed.gr ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Πολυτεχνείου 21, Θεσσαλονίκη 54626 2310 517 128 2310 517 119 Προς: 1. Πανελλήνια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΦΡΩ ΕΣ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΑΤΩ ΡΑΒ ΟΣ ΛΑΒΕΣ ΠΕΙΡΟΣ ΚΛΕΙ ΩΜΑΤΟΣ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΕΞΙΑ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΜΑΞΙΛΑΡΙ ΚΑΘΙΣΜΑΤΟΣ

ΑΦΡΩ ΕΣ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΑΤΩ ΡΑΒ ΟΣ ΛΑΒΕΣ ΠΕΙΡΟΣ ΚΛΕΙ ΩΜΑΤΟΣ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΕΞΙΑ ΧΕΙΡΟΛΑΒΗ ΜΑΞΙΛΑΡΙ ΚΑΘΙΣΜΑΤΟΣ Κωδ: ΑΒΡΟΛ AB ROLLER V-CRUNCH Οδηγίες Χρήσης ΦΥΛΑΞΤΕ ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΕΙ ΟΠΟΙΗΣΗ Το Παρόν προϊόν και οι πληροφορίες που περιέχονται σ' αυτό το φυλλάδιο δεν έχουν σκοπό να υποκαταστήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Ο ηθικός προβληµατισµός και η χριστιανική θεώρηση της ηθικής

Ο ηθικός προβληµατισµός και η χριστιανική θεώρηση της ηθικής Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Ο ηθικός προβληµατισµός και η χριστιανική θεώρηση της ηθικής 1. ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ 1.1. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Είναι ο ηθικός προβληµατισµός αποτέλεσµα της φυσικής ροής

Διαβάστε περισσότερα

Το µάθηµα της ιερεύνησης-

Το µάθηµα της ιερεύνησης- Το µάθηµα της ς- ηµιουργικός Εναλφαβητισµός στις Σύγχρονων Τεχνολογίες στο ηµοτικό και Γυµνάσιο µέσα από µία διαθεµατική προσέγγιση Φράγκου Στασινή stassini.frangou@cti.gr Καθηγήτρια Φυσικής και Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Ευέλικτη Ζώνη Ευέλικτη Zώνη Ευέλικτη Ζώνη

Ευέλικτη Ζώνη Ευέλικτη Zώνη Ευέλικτη Ζώνη ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ & ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Ε Υ Ε Λ Ι Κ Τ Η Ζ Ω Ν Η Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Προϋπολογισµός: Αρ. Μελέτης: Μ Ε Λ Ε Τ Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΞΥΛΙΝΟΥ ΑΠΕ ΟΥ ΣΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΑΘΛΟΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΚΑΛΟΧΩΡΙΟΥ ΤΟΥ Ν.

Προϋπολογισµός: Αρ. Μελέτης: Μ Ε Λ Ε Τ Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΞΥΛΙΝΟΥ ΑΠΕ ΟΥ ΣΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΑΘΛΟΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΚΑΛΟΧΩΡΙΟΥ ΤΟΥ Ν. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΜΙΝΩΑ ΠΕ ΙΑ ΑΣ /ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Έργο: ''ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΞΥΛΙΝΟΥ ΑΠΕ ΟΥ ΣΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΑΘΛΟΠΑΙ ΙΩΝ ΤΟΥ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΚΑΛΟΧΩΡΙΟΥ ΤΟΥ Ν.ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ''

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ.Σ. Ε.Λ.Μ.Ε. ΠΡΟΤΥΠΩΝ

ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ.Σ. Ε.Λ.Μ.Ε. ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ.Σ. Ε.Λ.Μ.Ε. ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΜΑΙΟΣ 2014 Συνάδελφοι το.σ. της Ε.Λ.Μ.Ε. θα ήθελε να σας ενηµερώσει για τα ζητήµατα τα οποία προσπάθησε να αντιµετωπίσει την προηγούµενη περίοδο καθώς και για τον σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Παροχή οδηγιών για την εφαρµογή των διατάξεων (άρθρα 1 11) του ν.3259/2004 που αναφέρονται στη περαίωση εκκρεµών φορολογικών υποθέσεων.

ΘΕΜΑ: Παροχή οδηγιών για την εφαρµογή των διατάξεων (άρθρα 1 11) του ν.3259/2004 που αναφέρονται στη περαίωση εκκρεµών φορολογικών υποθέσεων. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ /ΝΣΗ ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΜΗΜΑ Β' Ταχ. /νση: Κ. Σερβίας 10 Ταχ. Κώδ.: 10184 Αθήνα Πληροφορίες: Σ. Μπαξεβάνη Κ. Λιάκος Τηλ.:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΠΡΟΚΗΡΥΞΗ. Αριθµ. Πρωτ.: οικ.132790/3276

ΕΠΑΝΑΠΡΟΚΗΡΥΞΗ. Αριθµ. Πρωτ.: οικ.132790/3276 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Γρεβενά, 29 / 10 /2015 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ: 9/2015 /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΜΗΘΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ:

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ: ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ: Η Σηµασία των Συστηµάτων Εσωτερικού Ελέγχου. Πρακτική Εφαρµογή στις Ξενοδοχειακές Υπό των φοιτητών: ΜΠΑΡΜΠΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΗΡΩΙΚΗΣ ΠΟΛΗΣ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΣΥΣΣΙΤΙΩΝ ΤΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΗΡΩΙΚΗΣ ΠΟΛΗΣ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΣΥΣΣΙΤΙΩΝ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΗΡΩΙΚΗΣ ΠΟΛΗΣ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΣΥΣΣΙΤΙΩΝ ΤΟΥ «ΚΕΝΤΡΟΥ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ Δ.ΝΑΟΥΣΑΣ» ΚΑΙ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΠΟΤΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΨΥΚΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΟΣ: Καληµέρα σε όλους, καλή χρονιά, να είµαστε καλά, µε υγεία πάνω απ όλα, προσωπική για τον καθένα µας, συλλογική για τη χώρα µας και να

ΥΠΟΥΡΓΟΣ: Καληµέρα σε όλους, καλή χρονιά, να είµαστε καλά, µε υγεία πάνω απ όλα, προσωπική για τον καθένα µας, συλλογική για τη χώρα µας και να ΥΠΟΥΡΓΟΣ: Καληµέρα σε όλους, καλή χρονιά, να είµαστε καλά, µε υγεία πάνω απ όλα, προσωπική για τον καθένα µας, συλλογική για τη χώρα µας και να έχουµε δύναµη για τις προσπάθειές µας. Θα ήθελα ξεκινώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθµ. Απόφασης 276/2015 ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ιεύθυνση ιοικητικών Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθµ. Απόφασης 276/2015 ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ιεύθυνση ιοικητικών Υπηρεσιών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αριθµ. Απόφασης 276/2015 ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΗΜΟΣ ΧΕΡΣΟΝΗΣΟΥ ιεύθυνση ιοικητικών Υπηρεσιών ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το πρακτικό 15/19-06-2015 της τακτικής συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Θέµα:

Διαβάστε περισσότερα

591 Κ.Ι\ ΘΕΜΑ: ΚΑΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑ & ΠΕΡΙΒΑλλΟΝ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ. Τ.Ε.Ι Πειραιά για την απόκτηση του πτυχίου.

591 Κ.Ι\ ΘΕΜΑ: ΚΑΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑ & ΠΕΡΙΒΑλλΟΝ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ. Τ.Ε.Ι Πειραιά για την απόκτηση του πτυχίου. Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ 591 Κ.Ι\ ΤΜΗΜΑ ΚΛΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑ ΤΕΥΘΥΝΣΗ ΒΑΦΙΚΗ ΚΑΙ ΕΙΕΥΓΕΝΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ: ΚΑΩΣΤΟΥΦΑΝΤΟΥΡΓΙΑ & ΠΕΡΙΒΑλλΟΝ Διπλωματική εργασία που υποβλήθηκε στο Τ.Ε.Ι Πειραιά για την απόκτηση του πτυχίου

Διαβάστε περισσότερα

Newsletter 5/2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εργατικό 3-53

Newsletter 5/2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εργατικό 3-53 www.inlaw.gr Newsletter 5/2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εργατικό 3-53 [ 2 ] ΝΟΜΟΛΟΓΙΑ Αµοιβή εργασίας - Αµοιβή για πρόσθετη εργασία Αριθµός απόφασης: 18 Έτος: 2011 - Αµοιβή για πρόσθετη εργασία. Μη λήψη υπόψη πραγµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΟ ΡΑΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΤΑΚΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ 21ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2001

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΟ ΡΑΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΤΑΚΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ 21ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2001 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΟ ΡΑΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΤΑΚΤΟΥ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ 21ης ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2001 Το Ευρωπαϊκό Συµβούλιο συνήλθε σε έκτακτη σύνοδο, στις 21 Σεπτεµβρίου 2001, για να προβεί σε ανάλυση της διεθνούς

Διαβάστε περισσότερα

Φωτογραφία εξωφύλλου: Πανσέληνος στο Αιγαίο* * Όλες οι φωτογραφίες του εγχειριδίου προέρχονται από το προσωπικό αρχείο της Ματίνας Στάππα-Μουρτζίνη

Φωτογραφία εξωφύλλου: Πανσέληνος στο Αιγαίο* * Όλες οι φωτογραφίες του εγχειριδίου προέρχονται από το προσωπικό αρχείο της Ματίνας Στάππα-Μουρτζίνη Αγωγή Υγείας Βασιικέές Αρχές -- Σχεεδιιασµός Προγράµµατος Φωτογραφία εξωφύλλου: Πανσέληνος στο Αιγαίο* * Όλες οι φωτογραφίες του εγχειριδίου προέρχονται από το προσωπικό αρχείο της Ματίνας Στάππα-Μουρτζίνη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΟΔΗΓΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ - ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι ΟΔΗΓΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ - ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΤΟΠΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΑΕΙΦΟΡΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΛΙΕΥΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ 4 ΤΟΥ Ε.Π. ΑΛΙΕΙΑΣ 2007-2013 ΤΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΤΟΠΙΚΗΣ ΔΡΑΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΑ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ

Ο ΗΓΙΑ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ Ο ΗΓΙΑ ΤΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ της 24ης Νοεµqρίου 1986 για την προσέγγιση των νοµοθετικών, κανονιστικών και διοικητικών διατάξεων των κρατών µελών σχετικά µε την προστασία των ζώων που χρησιµοποιούνται για πειραµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΛΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΝΑ. Εισηγητής : Καλοµοίρης Πέτρος

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΛΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΝΑ. Εισηγητής : Καλοµοίρης Πέτρος ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΛΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΝΑ Εισηγητής : Καλοµοίρης Πέτρος Ηράκλειο Mάρτιος 2010 ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΤΟΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΟ, ΣΕ ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ. Μακέτα εργασίας 1/50.

7. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΤΟΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΟ, ΣΕ ΚΑΘΕ ΒΗΜΑ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ. Μακέτα εργασίας 1/50. Β. ΕΞ. /ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ/ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΜΕ Κα ΧΑΡΑΛΑΜΠΙΔΟΥ Παρουσίαση σε πίνακες 50Χ70 την 22 και 24 Απριλίου 1.ΠΗΓΗ ΕΜΠΝΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΙΔΕΑΣ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ: Τι συναισθήματα-ψυχική

Διαβάστε περισσότερα

.. . 10 3 . . . 6.» . . 3852/2010 .

.. . 10                     3               .                       .         . 6.»                               .             . 3852/2010 . ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ Α Α: ΒΟΖ3ΩΡΣ-3Ψ2 Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το υπ αριθµ. 5/8-2-2012 πρακτικό συνεδρίασης της Οικονοµικής Επιτροπής Θέρµης Αριθµ. Αποφ. 50/2012 ΘΕΜΑ: Εισήγηση στο δηµοτικό συµβούλιο για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΑΝΑΡΤΗΤΕΟ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΤΗΣ 1 ης ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΙΘΑΚΗΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΠΟΦΑΣΗΣ: 02 Στην Ιθάκη, σήμερα, Πέμπτη 17 Ιανουαρίου 2013 και ώρα 13:00 στο Δημοτικό Κατάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΙΟΛΑ Ο ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΑΚΑΛΛΥΝΤΙΚΑ

ΕΛΑΙΟΛΑ Ο ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΑΚΑΛΛΥΝΤΙΚΑ 3 η ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΛΚΑΤΩΑΧΑΪΑΣ ΕΛΑΙΟΛΑ Ο ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΑΚΑΛΛΥΝΤΙΚΑ ΣΑΠΟΥΝΙ ΑΠΟ ΕΛΑΙΟΛΑ Ο -ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΗΟΜΑ ΑΜΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «για τη δίκαιη δίκη και την αντιµετώπιση φαινοµένων αρνησιδικίας» Α. ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «για τη δίκαιη δίκη και την αντιµετώπιση φαινοµένων αρνησιδικίας» Α. ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «για τη δίκαιη δίκη και την αντιµετώπιση φαινοµένων αρνησιδικίας» Α. ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Το Σύνταγµα προβλέπει το δικαίωµα κάθε πολίτη ακρόασής του ενώπιον του αρµόδιου ικαστηρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Ο περί Προστασίας των Μισθών Νόµος του 2007 εκδίδεται µε ηµοσίευση στην Επίσηµη Εφηµερίδα της

Ο περί Προστασίας των Μισθών Νόµος του 2007 εκδίδεται µε ηµοσίευση στην Επίσηµη Εφηµερίδα της Αριθµός 4118 Τετάρτη, 21 Μαρτίου 2007 ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΦΗΜΕΡΙ Α ΤΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ Ι Ν. 35(Ι)/2007 Ο περί Προστασίας των Μισθών Νόµος του 2007 εκδίδεται µε ηµοσίευση στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΕΣ: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΝΟΙΚΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΜΟΝΗ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΙΚΕΣ ΕΣΤΙΕΣ Ή ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΤΕΠΑΚ

ΚΑΝΟΝΕΣ: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΝΟΙΚΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΜΟΝΗ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΙΚΕΣ ΕΣΤΙΕΣ Ή ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΤΕΠΑΚ Αρ. Φακ. 13.01.04 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΚΑΝΟΝΕΣ: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΕΝΟΙΚΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΜΟΝΗ ΣΕ ΦΟΙΤΗΤΙΚΕΣ ΕΣΤΙΕΣ Ή ΔΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΑ ΠΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΤΕΠΑΚ Το Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Αθήνα, 31 Αυγούστου2011

Αθήνα, 31 Αυγούστου2011 Αρ.Πρωτ. Αθήνα, 31 Αυγούστου2011 Προς: Τον Αναπληρωτή Υπουργό Οικονοµικών κ. Παντελή Οικονόµου Θέµα: Συνάντηση Προεδρείου ΠΕΣΕ Ε µε τον Αναπληρωτή Υπουργό Οικονοµικών κ. Παντελή Οικονόµου για φορολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλεξάνδρειο Ανώτατο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Θεσσαλονίκης

Αλεξάνδρειο Ανώτατο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Θεσσαλονίκης Αλεξάνδρειο Ανώτατο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Θεσσαλονίκης ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΉΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ: «Τύπος και Εθνικό Σύστηµα Υγείας» Για το Α Εξάµηνο του

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοστό στη.. του Μέτρου. Ποσό (σε ΕΥΡΩ)

Ποσοστό στη.. του Μέτρου. Ποσό (σε ΕΥΡΩ) ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΛΤΙΟ ΜΕΤΡΟΥ 7.4 : «ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΓΡΟΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ» Α. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΜΕΤΡΟΥ Κ.Π.Σ. 2000-2006 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΞΟΝΑΣ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟ Αγροτική Ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ. ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ ΚΑΙ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ 4 ου ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΕΡΑΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α' ΕΠΩΝΥΜΙΑ -Ε ΡΑ-ΣΚΟΠΟΣ -ΜΕΣΑ-ΠΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1

ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ. ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ ΚΑΙ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ 4 ου ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΕΡΑΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α' ΕΠΩΝΥΜΙΑ -Ε ΡΑ-ΣΚΟΠΟΣ -ΜΕΣΑ-ΠΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΓΟΝΕΩΝ ΚΑΙ ΚΗ ΕΜΟΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΟΥ 4 ου ΣΧΟΛΕΙΟΥ ΠΕΡΑΙΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α' ΕΠΩΝΥΜΙΑ -Ε ΡΑ-ΣΚΟΠΟΣ -ΜΕΣΑ-ΠΟΡΟΙ ΑΡΘΡΟ 1 Ιδρύεται σωµατείο σύµφωνα µε τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ & Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ & Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 22 ΜΑΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ο ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΩΣ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΣΤΟ ΝΟΜΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΚΟΛΙΑΚΟΥ ΑΚΗ ΕΣΠΟΙΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΨΕΙΣ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΑΝΩΝΥΜΩΝ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΟΥ ΥΠΑΓΟΝΤΑΙ ΣΤΗ Γ.Γ.Δ.Ε.

ΑΠΟΨΕΙΣ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΑΝΩΝΥΜΩΝ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΟΥ ΥΠΑΓΟΝΤΑΙ ΣΤΗ Γ.Γ.Δ.Ε. ΑΠΟΨΕΙΣ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΑΝΩΝΥΜΩΝ ΕΤΑΙΡΕΙΩΝ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΟΥ ΥΠΑΓΟΝΤΑΙ ΣΤΗ Γ.Γ.Δ.Ε. Πρόσφατα ιδρύθηκε μια ακόμη ανώνυμη εταιρεία του Δημοσίου για τη διαχείριση των δημοσίων

Διαβάστε περισσότερα

στο σχέδιο νόµου «Άσκηση εµπορικών δραστηριοτήτων εκτός καταστήµατος» Γενικό Μέρος ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

στο σχέδιο νόµου «Άσκηση εµπορικών δραστηριοτήτων εκτός καταστήµατος» Γενικό Μέρος ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Άσκηση εµπορικών δραστηριοτήτων εκτός καταστήµατος» Γενικό Μέρος Προς τη Βουλή των Ελλήνων To παρόν σχέδιο νόµου αποτελεί µια προσπάθεια εκσυγχρονισµού, επικαιροποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑ Αγγελος Ι. Σκούµπας ΧΜ Ιωάννης Τσιτσόπουλος ΑΤΜ Σεπτεµβριος 2006 1 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Καταγραφή της υφιστάµενης κατάστασης της βιοµηχανίας -µεταποίησης στην

Διαβάστε περισσότερα

4. Το Ν.2362/95 (ΦΕΚ 247/27-11-1995) «Περί ηµοσίου Λογιστικού ελέγχου των δαπανών του κράτους και

4. Το Ν.2362/95 (ΦΕΚ 247/27-11-1995) «Περί ηµοσίου Λογιστικού ελέγχου των δαπανών του κράτους και ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----------------------------------------------------- Καλλιθέα:5-11-2014 Ι Ρ Υ Μ Α Αριθ. πρωτ.:15515 ΣΙΒΙΤΑΝΙ ΕΙΟΣ ΗΜΟΣΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ, ΤΟ ΕΣΠΑ, ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ (ΙΔΙΩΣ ΤΟ ΕΛΛΑΔΑ) ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΕΙΣ

ΤΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ, ΤΟ ΕΣΠΑ, ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ (ΙΔΙΩΣ ΤΟ ΕΛΛΑΔΑ) ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ, ΑΠΟΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΦΟΡΟΥΝ ΤΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ, ΤΟ ΕΣΠΑ, ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ (ΙΔΙΩΣ ΤΟ ΕΛΛΑΔΑ)

Διαβάστε περισσότερα

1. Υδρογραφικά ίκτυα - Λεκάνες Απορροής

1. Υδρογραφικά ίκτυα - Λεκάνες Απορροής 1. Υδρογραφικά ίκτυα - Λεκάνες Απορροής Εισαγωγή Το τρεχούµενο πάνω στην επιφάνεια της Γης νερό αποτελεί τον σπουδαιότερο παράγοντα διαµόρφωσης του επιφανειακού αναγλύφου. Έτσι όταν αυτό οργανώνεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙ ΓΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΠΕΡΙ ΓΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΠΕΡΙ ΓΕΝΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ Αν θελήσει κανείς να αναδράµει ιστορικά στην προέλευση και τη δηµιουργία των γενών της ελληνικής (βυζαντινής) µουσικής, σίγουρα θα βρει την άκρη στον

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΑΡ ΙΚΙΟΥ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. «Μέλισσα, µέλισσα, µέλι γλυκύτατο»

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΑΡ ΙΚΙΟΥ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ. «Μέλισσα, µέλισσα, µέλι γλυκύτατο» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΑΡ ΙΚΙΟΥ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ «Μέλισσα, µέλισσα, µέλι γλυκύτατο» ΓΑΡ ΙΚΙ 2014 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 1. Η ΜΕΛΙΣΣΑ ΚΑΙ Η ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ 1.1. Τα µέρη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΡΑΣΗΣ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ 2014-2016

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΡΑΣΗΣ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ 2014-2016 Αγαπητοί συνάδελφοι, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΡΑΣΗΣ ΤΕΕ ΤΜΗΜΑ ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ 2014-2016 Το ΤΕΕ είναι, ως γνωστόν, ο θεσμοθετημένος Τεχνικός Σύμβουλος της Πολιτείας. Σταδιακά όμως έχει εξελιχθεί, άτυπα και σε συνδικαλιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΑΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΑΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ Σ Ο ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΗΚΗΣ ΜΙΣΘΟ ΟΣΙΑ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΑΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΑΡΟΦΑΛΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΑΜ 7344 ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2011 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 :ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΙΣ ΕΡΓΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΗ ΥΠΟΥΡΓΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΙ ΥΠΟΥΡΓΟΙ ΚΑΙ

ΚΟΙΝΗ ΥΠΟΥΡΓΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ ΟΙ ΥΠΟΥΡΓΟΙ ΚΑΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΑΝΑΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗΣ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΟΙΝΟΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΙ ΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Ε.Π. ΑΛΙΕΙΑΣ & ΘΑΛΑΣΣΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΓΟΡΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΡΧΗ Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας. ΠΟΡΙΣΜΑ (Ν. 3094/2003 Συνήγορος του Πολίτη και άλλες διατάξεις, Άρθρο 4 6)

ΣΥΝΗΓΟΡΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΡΧΗ Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας. ΠΟΡΙΣΜΑ (Ν. 3094/2003 Συνήγορος του Πολίτη και άλλες διατάξεις, Άρθρο 4 6) ΣΥΝΗΓΟΡΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΑΡΧΗ Κύκλος Κοινωνικής Προστασίας ΠΟΡΙΣΜΑ (Ν. 3094/2003 Συνήγορος του Πολίτη και άλλες διατάξεις, Άρθρο 4 6) ΑΡΙΘ. ΠΡΩΤ.:134604 ΘΕΜΑ: «Καταβολή, σύµφωνα µε τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Ι. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ 1. ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΑΛΦΑ Ι. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ Α. Διάρθρωση τμημάτων Τα τμήματα όλων των τάξεων δημιουργούνται με κύριο κριτήριο να είναι ομοιογενή από άποψη επιδόσεων των μαθητών. Δίνεται δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΚΡΗΤΗΣ Πρεβελάκη & Γρεβενών, 712 02 ΗΡΑΚΛΕΙΟ Τηλ.: 2810 342520 Fax: 2810 281128 www.teetak.grteetak@tee.gr ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Απόψεις για τη

Διαβάστε περισσότερα