_Toc ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

Transcript

1 _Toc ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΤΟ MATHEMATICA ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ. 8. ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ MATHEMATICA ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 37. ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ. 43. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 60

2 . Αθροίσµατα και γινόµενα στο Mathematica. Παράδειγµα. Να υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες στο Mathematica a) b) c) d) n k = 00 k = n k = 00 k = k k k k Απάντηση. Οι συναρτήσεις που χρησιµοποιούµε για τον υπολογισµό αθροίσµατος και γινοµένου ακολουθίας αριθµών είναι οι Sum[ακολουθία, {δείκτης, αρχική τιµή, τελική τιµή}] και Product[ακολουθία, {δείκτης, αρχική τιµή, τελική τιµή}] αντίστοιχα. In[]:= Sum@k, 8k,, n<d nhn + L In[]:= Product@k, 8k,, 00<D Out[]= Out[]= Ö Ö In[3]:= SumAk, 8k,, n<e nhn + LHn +L 6 In[4]:= ProductAk, 8k,, 00<E Out[3]= Out[4]= Ö Ö Ö Ö Ö Προσπάθησε να δείξεις ότι το άθροισµα του Mathematica. n 3 k είναι τέλειο τετράγωνο µε την βοήθεια k =

3 . Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών στο Mathematica. Παράδειγµα. Να γίνει η γραφική παράσταση της ακολουθίας a n = για n n=,,,00 και στη συνέχεια να υπολογιστεί το όριο της ακολουθίας. Απάντηση. Με την συνάρτηση Table[] δηµιουργούµε αρχικά µια λίστα µε τους όρους της ακολουθίας s= TableA, 8n,, 00<E; è!!! n και στη συνέχεια µε την ListPlot[] εµφανίζουµε την γραφική παράσταση των σηµείων αυτών ListPlot@sD Παρατηρούµε από την παραπάνω γραφική παράσταση ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν στο 0 καθώς το n µεγαλώνει. Το όριο της ακολουθίας το υπολογίζουµε µε την συνάρτηση Limit[ακολουθία, n->infinity] LimitA,n InfinityE è!!! n 0 Μπορούµε όµως να χρησιµοποιήσουµε και τον ορισµό της σύγκλισης, δηλ. για κάθε θετικό οσοδήποτε µικρό αριθµό ε π.χ. ε=0.000, υπάρχει n 0, τέτοιος ώστε n> n, 0 an ε. Θα πρέπει λοιπόν να λύσουµε την ανισότητα an ε για ε= Σ αυτό µπορεί να µας βοηθήσει η συνάρτηση InequalitySolve[] που ανήκει στο πακέτο συναρτήσεων <<Algebra` όπως φαίνεται παρακάτω : e= 0 4 ; << Algebra` InequalitySolveAAbsA E e, ne è!!! n n fi n

4 Από την παραπάνω απάντηση έχουµε ότι υπάρχει 8 4 > 0, 0. n a n 8 n 0 = 0 τέτοιος ώστε Επίσης, ε > 0, m, p> m, ν, xp xp+ ν < ε. Άρα για κάποιο φυσικό 4 ν π.χ. ν = 35 και για κάποιο ε > 0 π.χ. ε = 0, ο φυσικός m για τον οποίο ισχύει η παραπάνω πρόταση, µπορεί να υπολογιστεί µε τη βοήθεια της συνάρτησης InequalitySolve του πακέτου Algebra του Mathematica. Πράγµατι: e= 0 4 ;n= 35; a@n_d := è!!! n << Algebra` InequalitySolve@Abs@a@pD a@p+ ndd < e, pdêê N p > 3. 4 Συνεπώς υπάρχει m = 3 τέτοιο ώστε p> m, ν, xp xp+ ν < 0. 3n Προσπάθησε να δουλέψεις παρόµοια µε την ακολουθία an = n +. Παράδειγµα. Να δείξετε γραφικά ότι η ακολουθία ( ) a n = δεν συγκλίνει. Απάντηση. Όµοια µε το προηγούµενο παράδειγµα, έχουµε s= Table@8n, H L n <, 8n,, 0<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.0D, AxesOrigin 80, 0<D n Από το παραπάνω παράδειγµα φαίνεται εύκολα ότι η ακολουθία συγκλίνει σε δύο διαφορετικά όρια για άρτιες και περιττές τιµές του n αντίστοιχα. Παράδειγµα 3. Να εµφανίσετε γραφικά τις ακολουθίες log ( n) n an =, bn = n, cn = + n n και να υπολογίσετε τα όρια τους. Απάντηση. α) a@n_integerd := Log@nD n s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 00<D; n

5 PlotStyle AxesOrigin 80, 0<D LimitA Log@nD,n InfinityE n 0 β) a@n_integerd := è!!! n n s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 00<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.05DD LimitA è!!! n n,n InfinityE γ) a@n_integerd := J+ n Nn s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 000<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.05DD LimitAJ+ n Nn,n InfinityE

6 n 0 Παράδειγµα 4. Να δείξετε ότι η ακολουθία a n = είναι γνησίως φθίνουσα. n! an Απάντηση. Θα προσπαθήσουµε να δείξουµε ότι η ανισότητα + < ισχύει. a a@n_d := 0n n! a@n+ D InequalitySolveAFullSimplifyA E <, ne a@nd n <- fi n > 9 Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η ανισότητα ισχύει για n>9. Η συνάρτηση FullSimplify[] χρησιµοποιήθηκε για να γίνουν όλοι οι δυνατοί µετασχηµατισµοί κατά την διαίρεση. Το ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα για n>9 φαίνεται και από το διάγραµµα των σηµείων της : s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 50<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.05DD n Το όριο της παραπάνω ακολουθίας είναι : Limit@a@nD,n InfinityD 0 an + 3 Παράδειγµα 5. ίνεται η αναδροµική ακολουθία an+ =, a =. Να 3an + υπολογίσετε την γενική µορφή της ακολουθίας καθώς και το όριο της ακολουθίας. Απάντηση. Για τον υπολογισµό της γενικής µορφή της ακολουθίας χρησιµοποιούµε την συνάρτηση RSolve[{σύστηµα ακολουθιών},ακολουθία που ψάχνουµε, µεταβλητή ακολουθίας] όπως φαίνεται παρακάτω : a@nd +3 RSolveA9a@n+ D == 3 a@nd +,a@d == =,a@nd,neêêfullsimplify 0H-L n ::ahnl Ø + -5H-L n +35 >> n Το όριο λοιπόν της ακολουθίας θα είναι : LimitA+ 0 H L n 5H L n,n InfinityE + 35n

7 Προσπάθησε να υπολογίσεις τον γενικό τύπο της ακολουθίας Fn + Fn = Fn + Fn, F = F = καθώς και το όριο της (λόγος της χρυσής τοµής). F n

8 3. Σειρές πραγµατικών αριθµών στο Mathematica. Παράδειγµα. Υπολογίστε τις σειρές n α) ( ) k = k k + β) ( ) k = k k + γ) k = k Απάντηση. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης Sum[] υπολογίζουµε τα παραπάνω αθροίσµατα : α) SumA k, 8k,, n<e k+ n n + β) SumA k γ), 8k,, Infinity<E k+ SumA, 8k,, Infinity<E k p 6 Παράδειγµα. Υπολογίστε τις σειρές a) k b) k = k = k c) ( ) k k = k Απάντηση. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης Sum[] υπολογίζουµε τα παραπάνω αθροίσµατα : α) SumA, 8k,, Infinity<E k Sum::div : Sum doesnot converge. More k k = Συνεπώς η παραπάνω σειρά δεν συγκλίνει. Παρακάτω δίνουµε µια γραφική παράσταση των όρων της σειράς. Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση Sum[/k,{k,,n}] υπολογίζει τους n, πρώτους όρους της σειράς. Συνεπώς αν ορίσουµε ως a[n_]:= Sum[/k,{k,,n}] την ακολουθία αθροισµάτων, θα µπορέσουµε να σχεδιάσουµε τα αθροίσµατα για n=,,3,.

9 := SumA, 8k,, n<e k s= Table@8n, a@nd<, 8n, 0, 000, 0<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.05DD Από το παραπάνω σχήµα φαίνεται ότι η ακολουθία αθροισµάτων αργό τρόπο. αποκλίνει µε k k = β) SumAJ Nk, 8k,, Infinity<E Παρόµοια µε παραπάνω µπορούµε να δούµε µε ποιον τρόπο µεταβάλλονται τα αθροίσµατα της σειράς γραφικά. a@n_d := SumAJ Nk, 8k,, n<e s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 0<D; ListPlot@s, PlotStyle PointSize@0.0D, AxesOrigin 80, 0<D Βλέπουµε ότι η παραπάνω ακολουθία αθροισµάτων συγκλίνει πολύ γρήγορα στο. γ) SumAH L k, 8k,, Infinity<E k -loghl a@n_d := SumAH L k, 8k,, n<e k s= Table@8n, a@nd<, 8n,, 00<D;

10 PlotStyle

11 4. Συναρτήσεις στο Mathematica. H δήλωση µιας συνάρτησης µπορεί να γίνει µε πολλούς τρόπους, ένας εκ των οποίων και ο παρακάτω : Όνοµα Συνάρτησης[όρισµα _,όρισµα _,., όρισµα n _]:=έκφραση Όνοµα Συνάρτησης[όρισµα _,.,όρισµα n _]:=(έκφραση ; έκφραση ;., έκφραση m ) Το σύµβολο = που χρησιµοποιούµε στην ανάθεση τιµών σε µεταβλητές σηµαίνει ότι πρώτα υπολογίζουµε την έκφραση δεξιά του ίσον και στη συνέχεια τοποθετούµε το αποτέλεσµα στην µεταβλητή που βρίσκεται αριστερά του ίσον. Αντίθετα το σύµβολο := που χρησιµοποιούµε στην δήλωση της συνάρτησης έχει αναβλητικό χαρακτήρα, δηλαδή η ανάθεση της τιµής δεν γίνεται όταν εκτελείται η συγκεκριµένη εντολή αλλά όταν καλέσουµε την συνάρτηση τοποθετούµε συγκεκριµένες τιµές στα ορίσµατα της. f@x_d = ExpandAHx+ L E + x+ x f@+ yd + H + yl + H + yl g@x_d := ExpandAH+ xl E g@+ yd 4+ 4y+ y Στα ορίσµατα που χρησιµοποιούµε στον ορισµό της συνάρτησης χρησιµοποιούµε το σύµβολο _ για να δηλώσουµε ότι η συγκεκριµένη συνάρτηση δουλεύει για οποιαδήποτε τύπο ορίσµατος που θα µπει στη συγκεκριµένη θέση και όχι µόνο για όρισµα που θα έχει το συγκεκριµένο όνοµα π.χ. g@xd = x + x g@xd + x g@yd g@yd g@x_d := x g@xd + x g@yd + y Η έκφραση που παρουσιάζεται δεξιά του ίσον στην συνάρτηση µπορεί να είναι µια ή περισσότερες εντολές χωρισµένες µε ερωτηµατικό και τοποθετηµένες µέσα σε παρένθεση. Η συνάρτηση επιστρέφει µια τιµή στο Mathematica. Την τιµή αυτή την τοποθετούµε σε µια µεταβλητή την οποία και παρουσιάζουµε στο τέλος της συνάρτησης (δες µεταβλητή f στο παρακάτω παράδειγµα) ή την επιστρέφουµε µε την εντολή Return. Στο παρακάτω παράδειγµα ορίζουµε µια συνάρτηση που υπολογίζει τον n-οστό όρο της ακολουθίας Fibonacci.

12 := Hf = ; f = ; Do@f= f+ f; f = f; f = f, 8i,, n <D; fl fibon@8d Η παραπάνω τιµή συµφωνεί µε την τιµή που µας δίνει η εντολή Fibonacci του Mathematica : Fibonacci@8D Παράδειγµα. Ορίστε τις συναρτήσεις ( ) = cos( x + ) f x gx ( ) = x Κάντε τη γραφική τους παράσταση στο διάστηµα [-π,π]. Να βρεθούν οι σύνθετες συναρτήσεις f g και g f και να γίνουν τα γραφήµατά τους. Απάντηση. Ορίζουµε τις συναρτήσεις µε τον τρόπο που ορίσαµε παραπάνω : f@x_d := CosAx + E και χρησιµοποιούµε την συνάρτηση Plot[συνάρτηση,{µεταβλητή, αρχή πεδίου ορισµού, τέλος πεδίου ορισµού}] : Plot@f@xD, 8x, Pi, Pi<D g@x_d := x Plot@g@xD, 8x, Pi, Pi<D

13 ή µπορούµε να παρουσιάσουµε και τις δύο µαζί τις συναρτήσεις ως εξής : Plot@8f@xD,g@xD<, 8x, Pi, Pi<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D<D όπου η επιλογή RGBColor[x,y,z] (µε 0 x, yz, ) δηλώνει το χρώµα µε το οποίο θα σχεδιασθεί η γραφική παράσταση σε αποχρώσεις του κόκκινου (x), πράσινου (y) και µπλε (z). Οι σύνθετες συναρτήσεις f g και g f υπολογίζονται µε τη συνάρτηση Composition[f,g] και Composition[g,f] αντίστοιχα : fg@x_d := Composition@f, gd@xd fg@xd cos i y j + k Hx -L z { Plot@fg@xD, 8x, Pi, Pi<D και gf@x_d := Composition@g, fd@xd gf@xd cos Hx +L - Plot@gf@xD, 8x, Pi, Pi<D

14 Παράδειγµα. Να ορίσετε την συνάρτηση f :, f ( x) = x + και στη συνέχεια να υπολογίσετε την αντίστροφη της παραπάνω συνάρτησης (εφόσον υπάρχει) και να τις σχεδιάσετε µαζί. Απάντηση. Παρακάτω ορίζουµε την συνάρτηση f ( x) = x + και σχεδιάζουµε την γραφική της παράσταση για x [ 5,5]. f@x_d := x + Plot@f@xD, 8x, 5, 5<D Είναι εύκολο να καταλάβουµε από το παραπάνω σχήµα ότι η αντίστροφη της συνάρτησης δεν υπάρχει στο [-5,5] διότι σε ένα y π.χ. y=5, αντιστοιχούν τιµές του x π.χ. x =±. Αντίθετα υπάρχει η αντίστροφη της συνάρτησης f : +, f x = x +. Προσπαθώντας να λύσουµε την y = x + έχουµε ότι : ( ) ReduceAy== x +, xe x ã- è!!!!!!!!!!!! y - Í x ã è!!!!!!!!!!!! y - Και συνεπώς µπορούµε εύκολα να παρατηρήσουµε ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f : + +, f ( x) = x + είναι η f :, [ + ), f ( x) = x. Η γραφική παράσταση των δύο αυτών συναρτήσεων στο διάστηµα [,5] είναι η παρακάτω : PlotA9x +, è!!!!!!!!! x =, 8x,, 5<, AxesOrigin 80, 0<E

15 Αν θέλατε να διατηρήσετε τον λόγο των αξόνων σε αναλογία : θα έπρεπε να προσθέσετε στην παραπάνω εντολή την επιλογή AspectRatio -> Automatic. Παρόµοια θα δουλέψουµε και µε το συµµετρικό κοµµάτι της f. Παράδειγµα 3. Να κάνετε την γραφική παράσταση : α) των τριγονοµετρικών συναρτήσεων sin ( x),cos( x), tan ( x ) στο διάστηµα [0,π], β) της εκθετικής/λογαριθµικής συνάρτησης στο διάστηµα [0,5]. cosh x στο διάστηµα [-3,3]. γ) του υπερβολικού ηµιτόνου sinh ( x) και συνηµίτονου ( ) Απάντηση. α) Plot@8Sin@xD, Cos@xD, Tan@xD<, 8x, 0, Pi<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D, RGBColor@0, 0, D<D Με κόκκινο χρώµα (RGBColor[,0,0]) σχεδιάσθηκε η sin ( x ), µε πράσινο χρώµα (RGBColor[0,,0]) σχεδιάσθηκε η cos( x ) και µε µπλε χρώµα (RGBColor[0,0,]) σχεδιάσθηκε η tan ( x ). β) Plot@8Exp@xD,Log@xD<, 8x, 0, <, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D<D γ) Plot@8Sinh@xD, Cosh@xD<, 8x, 3, 3<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D<D

16

17 5. Όρια πραγµατικών συναρτήσεων στο Mathematica. Για να υπολογίσουµε όρια στο Mathematica κάνουµε χρήση της συνάρτησης Limit[] της οποίας η σύνταξη περιγράφεται στον παρακάτω πίνακα. Μαθηµατική Έκφραση lim f ( x) x 0 lim f ( x) x a lim f ( x) x a lim f ( x) x a+ Υλοποίηση στο Mathematica Limit[f,x->0] Limit[f,x->a] Limit[f,x->a,Direction->] Limit[f,x->a,Direction->-] Στον παραπάνω πίνακα το x είναι η µεταβλητή. Η f είναι η συνάρτηση, ως προς x. H συνάρτηση µπορεί να γραφεί απευθείας µέσα στη Limit ή να έχει ορισθεί από πριν. Για όρια στο άπειρο το a αντικαθιστάται µε το Infinity. Παράδειγµα. Υπολογίστε τα ακόλουθα όρια. sin( x) α) lim x 0 x 3 x 3x+ β) lim x x x+ 8 Απάντηση. α) LimitA Sin@xD,x 0E x LimitA x3 3 x+ x x+ 8,x E 0 Παράδειγµα. Να µελετήστε τη συµπεριφορά της f( x) = x στο x=0-, x=0+ και ±. Απάντηση. Η γραφική παράσταση της f(x) δίνεται παρακάτω : PlotA, 8x,, <E x

18 LimitA,x 0, Direction E x - και συνεπώς lim x 0 =. x LimitA,x 0, Direction E x και συνεπώς lim x 0 + LimitA x,x +InfinityE 0 LimitA x,x InfinityE 0 και συνεπώς =+. x limx ± = 0. x Παράδειγµα 3. Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f :, όπου x, όταν x x, f( x) = x +, όταν x > Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης δίνεται παρακάτω : p = Plot@x, 8x,, <, PlotStyle 8Hue@0.4D<, PlotRange 88, 6<, 8, 6<<, Prolog 8Circle@8, <, 0.085D<, Epilog 8PointSize@0.0D, Hue@0.4D, Point@8, <D<, Ticks 88<, 8, <<, DisplayFunction IdentityD; p = Plot@x+, 8x,.05, 5<, PlotStyle 8Hue@0.4D<, PlotRange 88, 6<, 8, 6<<, Ticks 88<, 8, <<, DisplayFunction IdentityD; Show@p, p, DisplayFunction $DisplayFunctionD;

19 Ορίζουµε την συνάρτηση και παρατηρούµε ότι Direction D και f@x_d := If@x, x, x + D lim f( x) = lim( x+ ) = + + x x lim f( x) = lim( x) =, x x Limit@f@xD,x, Direction D δηλαδή ότι υπάρχουν (στο ) τα όρια + x x lim f ( x), + x lim f ( x) lim f ( x) lim f( x). Εποµένως, το ξ = είναι σηµείο ασυνέχειας πρώτου είδους της f. x και ότι

20 6. Παράγωγοι στο Mathematica. Παράδειγµα. Υπολογίστε την παράγωγο της f ( x) = cos( x) µε τον ορισµό της παραγώγου. Απάντηση. Ο υπολογισµός της παραγώγου της cos( x ) µε τη χρήση του ορισµού µπορεί να γίνει µε τις ακόλουθες εντολές. f@x+ hd f@xd LimitA,h 0E h -sinhxl Η εντολή µε τη χρήση της οποίας υπολογίζουµε παραγώγους είναι η D[]. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η σύνταξή της. Μαθηµατική Έκφραση df ( x) dx k d f( x) k dx Υλοποίηση στο Mathematica D[f(x),x] ή x f@xd D[f(x),{x,k}] Στον παραπάνω πίνακα το x είναι η µεταβλητή. Η f είναι η συνάρτηση, ως προς x. H συνάρτηση µπορεί να γραφεί απευθείας µέσα στη D[] ή να έχει ορισθεί από πριν. Παράδειγµα. Να υπολογίσετε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης Απάντηση. Ορισµός της συνάρτησης f@x_d := CosAx + E Πρώτη παράγωγος D@f@xD,xD - xsinix + M ή x f@xd - xsinix + M εύτερη παράγωγος D@f@xD, 8x, <D -4cosIx + M x - sinix + M ή x,x f@xd -4cosIx + M x - sinix + M f x ( ) = cos( x + )

21 Παράδειγµα 3. Να διατυπώσετε τους κανόνες παραγώγισης συναρτήσεων (αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου, σύνθεσης). Απάντηση. Πρώτα διαγράφουµε προηγούµενους ορισµούς των συναρτήσεων f,g gd Παράγωγος + g@xd, xd f HxL + g HxL Παράγωγος γινοµένου g@xd, xd ghxl f HxL + f HxL g HxL Παράγωγος πηλίκου xd f HxL ghxl - f HxL g HxL ghxl Παράγωγος σύνθεσης συναρτήσεων xd f HgHxLL g HxL

22 7. Βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού. Παράδειγµα. Να εφαρµόσετε το θεώρηµα της µέσης τιµής για το πολυώνυµο f x = x 3x + 3x+ στο διάστηµα [0,]. ( ) 3 Απάντηση. 3 Η f ( x) = x 3x + 3x+ είναι συνεχής στο [0,], παραγωγίσιµη στο (0,) και συνεπώς υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f '( ξ ) τιµή του ξ. f@x_d := x 3 3 x + 3 x+ f@d f@0d SolveAf'@aD ==,ae 0 ::a Ø è!!!! I3-3 M>, :a Ø è!!!! I3 + 3 M>> 3 3 = f ( ) f ( 0) 0 Άρα υπάρχουν δύο τέτοια σηµεία ξ 0 ( 3 3 ), ξ ( 3 3). Παρακάτω υπολογίζουµε την = 3 = 3 +. Σχηµατίζουµε τις ευθείες που περνούν από τα σηµεία ξ0, ξ. y@x_d := fa 3 I3 è!!! 3ME + f'a è!!! I3 3ME Jx è!!! I3 3MN 3 3 y@x_d := fa 3 I3+è!!! 3ME + f'a è!!! I3+ 3ME Jx è!!! I3+ 3MN 3 3 καθώς και την ευθεία που ενώνει τα σηµεία ( ) {( 0, f 0 ),(, f ( ) )} y@x_d := f@0d+ Hf@D f@0dl ê H 0L Hx 0L και στη συνέχεια κάνω την γραφική παράσταση των συναρτήσεων f x, y x, y x, y x ( ) ( ) ( ) ( ) Plot@8f@xD, y@xd, y@xd, y@xd<, 8x, 0, <D Συνεπώς συµπεραίνουµε από το θεώρηµα της µέσης τιµής ότι υπάρχουν σηµεία πάνω στην καµπύλη µου στο διάστηµα [0,], στα οποία η εφαπτοµένη είναι παράλληλη µε την ευθεία που ενώνει τα σηµεία ( ) {( 0, 0 ),(, ( ) )} f f.

23 3 Παράδειγµα. ίνεται η συνάρτηση f ( x) = x 3x + 3x+. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης, τα σηµεία καµπής, τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση είναι αύξουσα-φθίνουσα, καθώς και τα σηµεία στα οποία η συνάρτηση είναι κοίλη ή κυρτή. 3 Απάντηση. Ορίζουµε την συνάρτηση f ( x) = x 3x + 3x+ f@x_d := x 3 3 x + 3 x+ και στη συνέχεια για να υπολογίσουµε τα πιθανά τοπικά ακρότατα υπολογίζουµε τις τιµές για τις οποίες µηδενίζεται η παράγωγος : Solve@f'@xD 0, xd 88x Ø <, 8x Ø << Συνεπώς πιθανό τοπικό ακρότατο έχουµε στο σηµείο x=. Η δεύτερη παράγωγος στο σηµείο αυτό µας βοηθάει να υπολογίσουµε αν έχουµε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό µέγιστο ή σηµείο καµπής. f''@d 0 Επειδή f ''( 0) = 0 άρα έχουµε σηµείο καµπής στο x=. Στο συµπέρασµα αυτό θα καταλήγαµε αν ελέγχαµε τις περιοχές που η συνάρτηση είναι αύξουσα ( f '( x) 0) και φθίνουσα ( f '( x) 0). << Algebra`InequalitySolve` (καλούµε την συνάρτηση InequalitySolve από το πακέτο Algebra) InequalitySolve@f'@xD > 0, xd x < fi x > InequalitySolve@f'@xD < 0, xd False Από τα παραπάνω φαίνεται ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς. Το σηµείο καµπής θα µπορούσαµε να το υπολογίσουµε και ως το σηµείο στο οποίο µηδενίζεται η δεύτερη παράγωγος Solve@f''@xD 0, xd 88x Ø << Η συνάρτηση f(x) έχει τα κοίλα άνω για τις τιµές των x για τις οποίες f ''( x ) > 0, ενώ έχει τα κοίλα κάτω για τις τιµές των x για τις οποίες f ''( x ) < 0. InequalitySolve@f''@xD > 0, xd x > InequalitySolve@f''@xD < 0, xd x <

24 Άρα έχει τα κοίλα άνω για x> και τα κοίλα κάτω για x<. Η συνάρτηση f(x) έχει οριζόντια ασύµπτωτη την y a lim x f x a = αν ( ) ± = Limit@f@xD,x InfinityD Άρα δεν έχει η συνάρτηση µας οριζόντια ασύµπτωτη. Η συνάρτηση f(x) έχει κάθετη ασύµπτωτη την x = x0 αν lim x x f ( x) = Limit@f@xD,x x0d x0 3-3x0 +3x0+ 0 Άρα δεν έχει η συνάρτηση µας κατακόρυφη ασύµπτωτη. Η συνάρτηση f(x) έχει f ( x) πλάγια ασύµπτωτη την y = λx+ β αν lim x = λ,limx f ( x) λx = β x LimitA f@xd,x InfinityE x Άρα δεν έχει η συνάρτηση µας πλάγια ασύµπτωτη. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δίνεται παρακάτω : Plot@f@xD, 8x, 3, 3<D Παρακάτω δίνουµε και την γραφική παράσταση των 3 συναρτήσεων { f ( x), f '( x), f ''( x )} για να µπορέσετε να δείτε την µονοτονία της συνάρτησης και τα κοίλα της. Plot@8f@xD, f'@xd, f''@xd<, 8x, 3, 3<, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D, RGBColor@0, 0, D<D

25 Η πράσινη γραµµή που συµβολίζει την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης είναι µονίµως θετική και συνεπώς η συνάρτηση µας είναι αύξουσα, ενώ η µπλε γραµµή που συµβολίζει την δεύτερη παράγωγο είναι αρνητική για x< και θετική για x> και συνεπώς στα αντίστοιχα διαστήµατα η συνάρτηση µας έχει τα κοίλα κάτω και άνω αντίστοιχα, ενώ στο σηµείο x= βλέπουµε να αλλάζουν τα κοίλα και συνεπώς το x= είναι σηµείο καµπής. Προσπάθησε να µελετήσεις την γραφική παράσταση της f ( x) παραπάνω µεθοδολογία. 4 = x x 3 µε την Παράδειγµα. είξτε ότι η συνάρτηση ( ) 3 διάστηµα [, ]. Απάντηση. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) 3 f x = x 3x+ έχει µια µόνο ρίζα στο f x = x 3x+. f@x_d := x 3 3 x+ Επειδή f@d f@d 3 και η f (ως πολυωνυµική) είναι συνεχής, από το θεώρηµα Bolzano συνεπάγεται ότι στο [, ] υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 τέτοιο ώστε f( x 0) = 0. Επειδή D@f@xD,xD 3 + 3x και << Algebra` InequalitySolve@D@f@xD,xD > 0, xd x <»» x > η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) οπότε η ρίζα είναι µοναδική. Για να υπολογίσουµε την ρίζα της παραπάνω πολυωνυµικής εξίσωσης µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την προσεγγιστική µέθοδο Newton-Raphson f ( xk ) x = k x + k f '( xk ) ( ) g xk

26 η οποία µπορεί να υλοποιηθεί στο Mathematica ως εξής : α) ορίζουµε την συνάρτηση g(x) ως εξής : g@x_d := x x3 3 x+ 3 x 3 και β) εφαρµόζουµε την συνάρτηση FixedPointList[g,x0] η οποία υπολογίζει την λίστα τιµών {g[x0],g[g[x0]],.} ή διαφορετικά τα σηµεία {x,x,x3, } έως ότου η απόλυτη τιµή της διαφοράς xk+ xk < ε οπότε και σταµατάει η επαναληπτική αυτή διαδικασία. FixedPointList@g,.D 8.,.638,.9979,.66574,.5484,.5338,.5309,.5309,.5309,.5309< Άρα η λύση που ψάχνουµε είναι x0= Θα µπορούσαµε να βρούµε κατευθείαν την τιµή χρησιµοποιώντας την συνάρτηση FixedPoint[f,x0] FixedPoint@g,.D.5309 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) στο [,] είναι η παρακάτω : PlotAx 3 3 x+, 8x,, <E Η παραπάνω µέθοδος συγκλίνει για εκείνες τις τιµές του x για τις οποίες g' ( x ) < δηλ. InequalitySolve@Abs@D@g@xD,xDD <, xdêê N x <.5598»» < x < »» x >.3538

27 8. Το ορισµένο ολοκλήρωµα στο Mathematica. Παρακάτω παρουσιάζεται µια εφαρµογή υπολογισµού ορισµένου ολοκληρώµατος στο Mathematica µε την βοήθεια : α) των αθροισµάτων Riemmann, β) του κανόνα του τραπεζίου, και γ) της συνάρτησης Integrate[], της οποίας η σύνταξη δίνεται παρακάτω. Integrate[f(x), {x, a, b}] Υπολογίζει το ορισµένο ολοκλήρωµα της f(x) που εξαρτάται από τη µεταβλητή x στο κλειστό διάστηµα [a,b]. Παράδειγµα. Να υπολογισθεί το ορισµένο ολοκλήρωµα : 3 x dx Απάντηση. Θα προσπαθήσουµε αρχικά να λύσουµε το πρόβληµα µε τα αθροίσµατα Riemann και στη συνέχεια πολύ πιο απλά µε την συνάρτηση Integrate[]. Αρχικά ορίζουµε την συνάρτηση της οποίας θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα : f@x_d := x 3 ; Στη συνέχεια δηµιουργούµε µια συνάρτηση που υπολογίζει το αριστερό άθροισµα Riemann : LeftRiemannSum@a0_, b0_, n0_d := ModuleA8a= a0, b = b0, X, k, n = n0, X<, X = b a n ; X k_ = a+ k X; n ReturnA f@xk D X E;E; k= Η συνάρτηση LeftRiemmanSum[] εξαρτάται από την αρχική και τελική τιµή a0 και b0 αντίστοιχα του κλειστού διαστήµατος στο οποίο υπολογίζουµε το ορισµένο

28 ολοκλήρωµα αλλά και το πλήθος n0 των υποδιαστηµάτων στα οποία χωρίζεται το κλειστό διάστηµα [a0,b0]. Στην δεύτερη γραµµή ορίσαµε τις τοπικές µεταβλητές που θα χρησιµοποιήσουµε και δώσαµε αρχικές τιµές στα a,b. Στην Τρίτη γραµµή υπολογίσαµε το µήκος του διαστήµατος x, ενώ στη συνέχεια ορίσαµε την τιµή από το άκρο κάθε διαστήµατος. Στην τελευταία γραµµή επιστρέψαµε από τη συνάρτηση το άθροισµα Riemmann. Ας δούµε όµως ποια θα είναι το άθροισµα Riemmann αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε k ίσα υποδιαστήµατα : LeftRiemannSum@,, kd H + 3kLH 3 + 5kL 4k το οποίο καθώς το k τείνει στο άπειρο, δηλαδή τα υποδιαστήµατα τείνουν να γίνουν άπειρα, θα γίνει ίσο µε : Limit@%, k InfinityD 5 4 Στην παραπάνω τιµή θα καταλήγαµε και αν πέρναµε την συνάρτηση Integrate[] : Integrate@f@xD, 8x,, <D 5 4 Παρακάτω δίνουµε ένα διάγραµµα του σχήµατος που δηµιουργείται αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε 0 ίσα υποδιαστήµατα και πάρουµε τα ορθογώνια που χρησιµοποιούµε για το αριστερό άθροισµα Riemmann. f@x_d := x 3 ; a= ; b= ; n= 0; LeftSum = LeftRiemannSum@a, b, nd; << Graphics`FilledPlot`; << Graphics`Colors`; gr= Plot@f@xD, 8x,, <, PlotPoints 0, PlotStyle Magenta, DisplayFunction IdentityD; Floor@n Hx LD gr = FilledPlotAfA+ E, 8x,, <, PlotRange 88,.0<, 80, 8.060<<, n PlotStyle Blue, Fills Cyan, DisplayFunction > IdentityE; Show@8gr, gr<, DisplayFunction $DisplayFunction, ImageSize 8640, Automatic<D; Print@"f@xD=", f@xd, " a, ",", b, "D using ", n, " subintervals."d; Print@"The left Riemman sum is :"D; n PrintA" ","f@xk D x=", LeftSum, "=", N@LeftSumDE; "k="

29 f@xd=x 3 using 0 subintervals. The left Riemman sum is : 0 f@xk D x= 363 k= 400 = Όµοια µπορούµε να δουλέψουµε µε τα δεξιά αθροίσµατα : RightRiemannSum@a0_, b0_, n0_d := ModuleA8a= a0, b = b0, X, k, n = n0, X<, X = b a n ; X k_ = a+ k X; n ReturnA f@xk D X E;E; k= Το δεξί άθροισµα Riemmann αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε k ίσα υποδιαστήµατα θα γίνει : RightRiemannSum@,, kd H + 3kLH3 + 5kL 4k το οποίο καθώς το k τείνει στο άπειρο, δηλαδή τα υποδιαστήµατα τείνουν να γίνουν άπειρα, θα γίνει ίσο µε : Limit@%, k InfinityD 5 4

30 Παρακάτω δίνουµε ένα διάγραµµα του σχήµατος που δηµιουργείται αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε 0 ίσα υποδιαστήµατα και πάρουµε τα ορθογώνια που χρησιµοποιούµε για το δεξιά άθροισµα Riemmann. f@x_d := x 3 ; a= ; b= ; n= 0; RightSum = RightRiemannSum@a, b, nd; << Graphics`FilledPlot`; << Graphics`Colors`; gr= Plot@f@xD, 8x,, <, PlotPoints 0, PlotStyle Magenta, DisplayFunction IdentityD; gr3 = FilledPlotAfA+ Ceiling@nHx LD E, 8x,, <, PlotRange 88,.0<, 80, 8.060<<, PlotStyle Red, n Fills Yellow, DisplayFunction > IdentityE; Show@8gr3, gr<, DisplayFunction $DisplayFunction, ImageSize 8640, Automatic<D; Print@"f@xD=", f@xd, " a, ",", b, "D using ", n, " subintervals."d; Print@"The right Riemman sum is :"D; n PrintA" ","f@xk D x=", RightSum, "=", N@RightSumDE; "k=" f@xd=x 3 using 0 subintervals. The right Riemman sum is : 0 f@xk D x= 643 k= 400 =4.075 Παρακάτω δίνουµε έναν πίνακα µε τις τιµές του δεξιά και αριστερά αθροίσµατος Riemmann της παραπάνω συνάρτησης : Table@8k, N@LeftRiemannSum@,, kdd,n@rightriemannsum@,, kdd<, 8k,, 0<D êê TableForm

31 όπου εύκολα φαίνεται ότι όσο πιο πολλά διαστήµατα τόσο πιο πολύ περιορίζεται το κλειστό διάστηµα µεταξύ του δεξιού αθροίσµατος και του αριστερού αθροίσµατος Riemmann, το οποίο τελικά συγκλίνει στην τιµή 5/4=3.75. Ένας άλλος τρόπος εύρεσης του ορισµένου ολοκληρώµατος είναι να χρησιµοποιήσουµε αντί για ορθογώνια, τραπέζια. Να προσεγγίσω δηλαδή την 3 επιφάνεια κάτω από την καµπύλη f ( x) = x όχι µε ορθογώνια όπως παρακάτω : αλλά µε τραπέζια όπως στο παρακάτω σχήµα : Στη συνέχεια δηµιουργούµε µια συνάρτηση που υπολογίζει το άθροισµα των k τραπεζίων στο κλειστό διάστηµα [a0,b0] :

32 b0_, m0_d := ModuleA8a = N@a0D, b = N@b0D,k, m = m0, X<, h = b a m ; X k_ = a + kh; ReturnA h Hf@aD +f@bdl + h k= m f@xk DE;E; Tο άθροισµα των k τραπεζίων αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε k ίσα υποδιαστήµατα θα είναι : TrapRule@,, kdêêsimplify k το οποίο καθώς το k τείνει στο άπειρο, δηλαδή τα υποδιαστήµατα τείνουν να γίνουν άπειρα, θα γίνει ίσο µε : Limit@%, k InfinityD 3.75 Παρακάτω δίνουµε ένα διάγραµµα του σχήµατος που δηµιουργείται αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε 0 ίσα υποδιαστήµατα και πάρουµε τα τραπέζια που χρησιµοποιούµε για το παραπάνω άθροισµα. TrapezoidalSum = TrapRule@a, b, nd; X k_ = a+ k b a n ; pts = Table@8X k,f@x k D<, 8k, 0, n<d; dots = ListPlot@pts, PlotStyle 8Red, PointSize@0.008D<, DisplayFunction IdentityD; << Graphics`FilledPlot`; << Graphics`Colors`; gr = Plot@f@xD, 8x,, <, PlotPoints 0, PlotStyle Blue, DisplayFunction IdentityD; gr5 = FilledListPlot@pts, PlotRange 88,.0<, 80, 8.060<<, PlotStyle 8Red<, Fills Pink, DisplayFunction > IdentityD; Show@8gr5, gr, dots<, DisplayFunction $DisplayFunction, ImageSize 8640, Automatic<D; Print@"f@xD=", f@xd, " a, ",", b, "D using ", n, " subintervals."d; Print@"The trapezoidal sum is :"D; n PrintA" ","f@xk D x=", TrapezoidalSum, "=", N@TrapezoidalSumDE; "k=" Παρακάτω δίνουµε έναν πίνακα µε τις τιµές των αθροισµάτων των εµβαδών των τραπεζίων αν χωρίσουµε το διάστηµα [,] σε,3,...,0 διαστήµατα. Table@8k, TrapRule@,, kd<, 8k,, 0<D êê TableForm

33 Παρατηρήστε ότι η µέθοδος των τραπεζίων συγκλίνει πιο γρήγορα στο ορισµένο ολοκλήρωµα που ψάχνουµε. Προσπαθήστε να χρησιµοποιήσετε το Mathematica για να εφαρµόσετε τον κανόνα του Simpson µε τρόπο παρόµοιο µε αυτόν που χρησιµοποιήσαµε στις παραπάνω παραγράφους. Τα παραπάνω προγράµµατα (µε ελαφρές τροποποιήσεις) αλλά και πολλά ακόµα που αφορούν προσεγγιστικές µεθόδους µπορείτε να βρείτε στη διεύθυνση Παράδειγµα. Να υπολογισθούν τα ορισµένα ολοκλήρωµατα ( ( )) ax sin sin x dx e dx 0 0 Απάντηση. Κάνοντας χρήση της συνάρτησης Integrate[] έχουµε Integrate@Sin@Sin@xDD, 8x, 0, <D 0 Sin@Sin@xDD x Ο λόγος για το παραπάνω αποτέλεσµα είναι διότι δεν υπάρχει αναλυτική µορφή του αόριστου ολοκληρώµατος sin ( sin ( x) ) dx. Για την προσεγγιστική τιµή του παραπάνω ορισµένου ολοκληρώµατος κάνουµε χρήση της NIntegrate[] η οποία έχει όµοια σύνταξη µε την Integrate[]. NIntegrate@Sin@Sin@xDD, 8x, 0, <D Για τον υπολογισµό του δεύτερου ολοκληρώµατος έχουµε Integrate@Exp@axD, 8x, 0, Infinity<D IfBRe@aD < 0, a, Integrate@ ax, 8x, 0, <, Assumptions Re@aD 0DF Συνεπώς για αρνητικές τιµές του a το αποτέλεσµα είναι -/a, ενώ για θετικές ή µηδενικές τιµές του a το ολοκλήρωµα δεν υπάρχει πρδ. Integrate@Exp@ xd, 8x, 0, Infinity<D Integrate@Exp@xD, 8x, 0, Infinity<D Integrate ::idiv : Integral of x does not converge on 80, <. More 0 x x

34 Μπορούµε λοιπόν να θέτουµε συνθήκες για άγνωστες παραµέτρους που υπεισέρχονται στα ολοκληρώµατα κάνοντας χρήση της επιλογής Assumptions π.χ. 8x, 0, <, Assumptions a < 0D a

35 9. Υπολογισµός αορίστων ολοκληρωµάτων στο Mathematica. Παράδειγµα. Να υπολογισθούν τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώµατα : Απάντηση. IntegrateASqrtAx + a E,xE Jx "########### + x + ArcSinh@xDN + ( ) cos( ) ( ) x adx xlog xdx x x x dx dx ax + b è!!!!!!!!!!!! x + a x Μπορούµε επίσης να γράψουµε αντί IntegrateASqrtAx + a E,xE. Σχηµατίζουµε πρώτα το σύµβολο γράφοντας Çint ([Esc]int[Esc]). Το στο ολοκληρωµα δεν είναι το ίδιο µε το d το Αγγλικό αλλά σχηµατίζεται γράφοντας Çdd ([Esc]dd[Esc]). Επίσης η ρίζα γράφεται ως [Ctrl]+. Μπορούµε επίσης να κάνουµε χρήση των εργαλείων και της παλέτας Basic Input (File-Palettes-BasicInput) è!!!!!!!!!!!! x + a x Jx "########### + x + ArcSinh@xDN

36 Στο δεύτερο παράδειγµα θα έχουµε 4 x H + Log@xDL ή xlog@xd x 4 x H + Log@xDL Στο τρίτο παράδειγµα θα έχουµε IntegrateAIx + 3 x+ M Cos@xD,xEêêSimplify H3+ xl Cos@xD + H + 3x+ x L Sin@xD ή Ix + 3 x+ M Cos@xD xêê Simplify H3+ xl Cos@xD + H + 3x+ x L Sin@xD Στο τελευταίο παράδειγµα θα έχουµε Integrate@êSqrt@ax+ bd, xd è!!!!!!!!! + x ή è!!!!!!!!!!!! ax+ b x è!!!!!!!!! + x Για να δηµιουργήσουµε το κλάσµα πατούµε τα πλήκτρα [Ctrl]+/.

37 0. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων στο Mathematica. Παρακάτω δίνουµε µερικές από τις εφαρµογές των ολοκληρωµάτων στο περιβάλλον του Mathematica. x Παράδειγµα. Η παραβολή y = διαιρεί τον κύκλο x + y = 8 σε δύο µέρη. Να βρεθεί το εµβαδόν καθενός από τα δύο αυτά µέρη. Απάντηση. Αρχικά µπορούµε να σχεδιάσουµε και τα δύο γραφήµατα µε την συνάρτηση ImplicitPlot[], << Graphics` ImplicitPlotA9y x,x + y 8=, 9x, è!!! 8, è!!! 8=E Τα σηµεία τοµής των δύο γραφηµάτων είναι : SolveA9y x,x + y 8=, 8x, y<e 99y 4, x è!!! =, 9y 4, x è!!! =, 8y, x <, 8y, x <= Μας ενδιαφέρουν λοιπόν δύο περιοχές : αυτή µεταξύ της καµπύλης y = 8 x και x της y = στο διάστηµα [0,], και την συµµετρική της στο διάστηµα [-,0]. Το άθροισµα των δύο αυτών περιοχών µας δίνει την πρώτη περιοχή που ζητάει η άσκηση. FilledPlotA9 è!!!!!!!!! 8 x!, x =, 8x,, <E

38 Παραπάνω χρησιµοποιήσαµε την συνάρτηση FilledPlot[] η οποία ανήκει στο πακέτο <<Graphics` και έχει ως σκοπό την σκιαγράφηση του χώρου µεταξύ δύο καµπυλών. Αν µέσα στο όρισµα της FilledPlot[] είχαµε µια µόνο συνάρτηση θα γέµιζε µε χρώµα ο χώρος µεταξύ της καµπύλης και του άξονα των x. Το εµβαδόν που θέλουµε να υπολογίσουµε θα είναι ίσο µε : Integrate@Sqrt@8 x^d x^ê, 8x,, <D π ή i j è!!!!!!!!!!! 8 x x y z x k { π Συνεπώς η υπόλοιπη περιοχή θα έχει εµβαδόν : π I è!!! 8M J πn π Το π γράφεται πατώντας [Esc]pi[ESC] δηλ. Çpi. Παράδειγµα. Να βρεθεί το εµβαδόν της επιφάνειας που δηµιουργείται από την περιστροφή του γραφήµατος της y( x) = sin ( x) µε x [ 0, π ] γύρω από τον άξονα των x. Στη συνέχεια να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού που δηµιουργήθηκε. Απάντηση. Την περιστροφή µιας συνάρτησης f(x) στο διάστηµα [xmin,xmax] γύρω από τον άξονα που συνδέει το σηµείο (0,0,0) µε το σηµείο (a,b,c) µπορούµε να την πετύχουµε µε την εντολή SurfaceOfRevolution[f,{x,xmin,xmax},RevolutionAxis->{a,b,c}] SurfaceOfRevolution@Sin@xD, 8x, 0, π<, RevolutionAxis > 8, 0, 0<, AspectRatio > AutomaticD

39 Το εµβαδόν της παραπάνω επιφάνειας δίνεται από τον τύπο π 0 ( ) ( ) E = π f z + f ' z dz και υπολογίζεται στο Mathematica ως εξής : Pi Integrate@Sin@xD Sqrt@+ D@Sin@xD,xDD, 8x, 0, Pi<D 8 è!!! π 3 ή π è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π Sin@xD + x Sin@xD x 0 8 è!!! π 3 π V = π f z dz και Ο όγκος του παραπάνω στερεού δίνεται από τον τύπο ( ) υπολογίζεται στο Mathematica ως εξής : 0 Integrate@Pi HSin@xDL^, 8x, 0, Pi<D π ή π π HSin@xDL x 0 π Παράδειγµα 3. Να υπολογισθεί το µήκος της καµπύλης y( x) log ( x) = µεταξύ των σηµείων x = 3 και x = 8. Απάντηση. Παρακάτω δίνουµε το γράφηµα της καµπύλης στο ζητούµενο διάστηµα. PlotALog@xD, 9x, è!!! 3, è!!! 8=E

40 Το µήκος της καµπύλης δίνεται από τον τύπο = + '( ) παρακάτω : 8 ( ) και είναι το 3 L y x dx IntegrateASqrt@+ D@Log@xD,xD^D, 9x, è!!! 3, è!!! 8=E J + LogB 3 FN ή è!!!! 8 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!! + H x Log@xDL x 3 J + LogB 3 FN Παράδειγµα 4. Να υπολογισθεί : α) το κέντρο µάζας ενός ηµικυκλικού δίσκου µε κέντρο (0,0) και ακτίνα r. β) το κέντρο µάζας ενός ηµικύκλιου µε κέντρο (0,0) και ακτίνα r. Απάντηση. (α) Το κέντρο µάζας δίνεται από τις συντεταγµένες : b b xf ( x) dx f ( x) dx a a x=, y = b b f x dx f x dx a ( ) και συνεπώς, εφόσον y( x) r x, x [ r, r] a ( ) =, θα έχουµε r r x è!!!!!!!!!!!! r x x rè!!!!!!!!!!!! r x x r 0 r Ÿ r Hr x L x rè!!!!!!!!!!!! r x x r 4 è!!!!! r 3 π και συνεπώς οι ζητούµενες συντεταγµένες θα είναι 4r 0, 3 π. (β) Το κέντρο µάζας του ηµικυκλίου δίνεται από τις συντεταγµένες :

41 b ( ) ( ) ( ) ( ( )) b ( ( )) f x + f ' x dx x + f ' x dx a y =, x= b a a b ( ( )) + f ' x dx + f ' x dx και συνεπώς, εφόσον y( x) r x, x [ r, r] =, θα έχουµε a r r è!!!!!!!!!!!! r x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!!!!!!!! + J x r x N x r $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!!!!!!!! + J x r r x N x rabs@rd IfBr > 0, π r, IntegrateB$%%%%%%%%%%% r, 8x, r, r<, Assumptions r 0FF r x r r r 0 r x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!!!!!!!! + J x r x N x $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% è!!!!!!!!!!!! + J x r x N x και συνεπώς οι ζητούµενες συντεταγµένες θα είναι r 0, π. Παράδειγµα 5. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα : dx dx dx (α) (β) x (γ) ( x ) 0 x Απάντηση. (α) Integrate@êx^, 8x,, Infinity<D x x (β) Hx L x Integrate ::idiv : Integral H + xl x (γ) 0 H x L 3 x 3 HH Lê3 3 ê3 L of H + xl ( ) /3 does not converge on 8, <. More

42 Παράδειγµα 6. είξτε ότι η σειρά συγκλίνει αν p>. p n= n Απάντηση. Υπολογίζοντας το ολοκλήρωµα x p x IfBRe@pD >, + p, Integrate@x p, 8x,, <, Assumptions Re@pD DF συµπεραίνουµε ότι το παραπάνω ολοκλήρωµα υπάρχει αν και µόνο αν p>. Επειδή η συνάρτηση f ( x) = p, p> είναι θετική και φθίνουσα στο [, ), θα έχουµε από το x κριτήριο σύγκλισης στην σελ. 6 του Β Τόµου, έχουµε ότι και η σειρά p n= n συγκλίνει για p> και ακόµα : dx < p < dx p p p x n= n + x ή ισοδύναµα λόγω της παραπάνω απόκρισης του Mathematica < < + p p n= n p Αναφέρουµε χαρακτηριστικά τις περιπτώσεις για p= : x x n= n π 6 N@%D και p=3 : x 3 x n= n 3 Zeta@3D N@%D.006 Προσπάθησε να δουλέψεις παρόµοια για το άθροισµα. p n= n log n ( ( ))

43 . Σειρές Taylor υναµοσειρές. Παράδειγµα. Να υπολογίσετε τους 0 πρώτους όρους του αναπτύγµατος Maclaurin της συνάρτησης f ( x) =. Να υπολογίσετε το λάθος που θα προκύψει E 0 x παίρνοντας τους 0 πρώτους όρους του αναπτύγµατος Maclaurin στο κλειστό διάστηµα [-0.5,0.5] και να γίνει η γραφική παράσταση του λάθους. Απάντηση. Για τον υπολογισµό των πρώτων n όρων ου αναπτύγµατος Taylor µιας συνάρτησης f(x) στο x=x0, χρησιµοποιούµε την συνάρτηση Series[f(x),{x,x0,n}]. Συνεπώς για να απαντήσουµε στο πρώτο ερώτηµα θα πάρουµε : SeriesA, 8x, 0, 0<E x + x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 0 + O@xD Αν πάλι θέλουµε να κόψουµε τον όρο µε τα λάθη θα γράψουµε : NormalASeriesA, 8x, 0, 0<EE x + x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 0 Η συνάρτηση SeriesCoeffιcient[series,n] µας βοηθάει να υπολογίσουµε τον n-οστό όρο της σειράς : SeriesCoefficientASeriesA, 8x, 0, 0<E,E x Παρακάτω δίνουµε µια γραφική παράσταση στο κλειστό διάστηµα [-,] των συναρτήσεων f ( x) = (σε Magenta χρώµα) και του προσεγγιστικού x πολυώνυµου Maclaurin g( x) = + x+ x + x + x + x + x + x + x + x + x (σε πράσινο χρώµα) f@x_d := x ; g@x_d := + x+ x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 +x 7 + x 8 + x 9 + x 0 ; Plot@8f@xD,g@xD<, 8x,, <, PlotStyle 8Magenta, Green<D;

44 καθώς και του λάθους f ( x) g( x) το οποίο είναι ίσο µε e@x_d := f@xd g@xd e@xdêêsimplify x x Plot@e@xD, 8x,, <D; Το µέγιστο λάθος που έχουµε στο διάστηµα [-,] είναι : Maximize@e@xD, 0.5 x 0.5, 8x<D , 8x 0.5<< tο οποίο ισχύει για x=0.5. Παρακάτω δίνουµε την προσέγγιση της f(x) µε πολυώνυµα ου, 3 ου, και 5 ου βαθµού για να δούµε πόσο καλά προσεγγίζουν την συνάρτηση µας. PlotA9 x,+ x, + x+ x + x 3,+ x+ x + x 3 + x 4 + x 5 =, 8x,, <, PlotRange 80, 5<, PlotStyle > 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, D, RGBColor@,, 0D, RGBColor@, 0, D<E Θα µπορούσαµε να πάρουµε και κινούµενη γραφική παράσταση των προσεγγίσεων ου, 3 ου, 5 ου,..., ου βαθµού ως εξής : << Graphics`; AnimateAPlotAEvaluateANormalASeriesA, 8x, 0, n<eee, x 8x, 5, 5<, PlotRange > 8, <E, 8n,,, <E

45 Κάνοντας διπλό κλίκ σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουµε την συνεχή εναλλαγή των απεικονίσεων των προσεγγιστικών πολυωνύµων. Παράδειγµα. Να υπολογίσετε τους 3 πρώτους όρους του αναπτύγµατος Maclaurin της συνάρτησης ( ) x f x = e. Να υπολογίσετε το λάθος που θα προκύψει E 3 παίρνοντας τους 3 πρώτους όρους του αναπτύγµατος Maclaurin στο κλειστό διάστηµα [0,] και να γίνει η γραφική παράσταση του λάθους. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα του αναπτύγµατος Maclaurin που υπολογίσατε στο διάστηµα [0,]. Απάντηση. Παρόµοια µε το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε : s@x_d := EvaluateANormalASeriesAE x, 8x, 0, 3<EEE s@xd + x Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση της ( ) αναπτύγµατος Maclaurin (κόκκινο χρώµα) x f x = e (πράσινο χρώµα) και του

46 x =, 8x, 0, <, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D<E Το µέγιστο λάθος το έχουµε στο x= όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα και είναι MinimizeAs@xD E x,0 x, 8x<E êê N , 8x.<< εν υπάρχει αναλυτικός τύπος για το ολοκλήρωµα της συνάρτησης ( ) x f x = e. Αντίθετα το ολοκλήρωµα αυτό µπορεί να προσεγγισθεί από το ολοκλήρωµα του αναπτύγµατος Maclaurin όπως παρακάτω : s@x_d := Evaluate@Integrate@s@xD,xDD s@xd x+ x3 3 Η προσέγγιση του ολοκληρώµατος στο Mathematica είναι : g@k_d := IntegrateAE x, 8x, 0, k<e g@kd è!!! π Erfi@kD Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση του ολοκληρώµατος που βρήκαµε µε την προσέγγιση πολυωνύµου 3 ου βαθµού (κόκκινο χρώµα), του ολοκληρώµατος όπως το προσεγγίζει το Mathematica (πράσινο χρώµα), και τέλος του λάθους µεταξύ των αυτών συναρτήσεων στο διάστηµα [0,]. Plot@8s@xD,g@xD,s@xD g@xd<, 8x, 0, <, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D, RGBColor@0, 0, D<D

47 Το µέγιστο λάθος από ότι φαίνεται το έχουµε για x= και είναι το εξής : Abs@s@D g@dd êê N οκιµάστε να πάρετε το ανάπτυγµα MacLaurin 5 ου βαθµού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τα αντίστοιχα µεγέθη. f x = x+. Παράδειγµα 3. Να υπολογίσετε το ανάπτυγµα MacLaurin της ( ) ( ) 5 Απάντηση. NormalASeriesAHx+ L 5, 8x, 0, 5<EE + 5x+ 0 x + 0 x 3 + 5x 4 + x 5 ή ExpandAHx+ L 5 E + 5x+ 0 x + 0 x 3 + 5x 4 + x 5 Παράδειγµα 4. Να αναπτύξετε το sin(x) στο σηµείο π/6. Απάντηση. Το ανάπτυγµα 5 ου βαθµού είναι NormalASeriesACos@xD, 9x, π 6,5=EE è!!! 3 + J π 6 xn è!!! 3 J π xn + J π 6 + xn3 + I π 6 + xm4 6 è!!! 3 40 J π 6 + xn5 ενώ µια σύγκριση µεταξύ της Cos[x] και των προσεγγίσεων ου, ου και 3 ου βαθµού φαίνεται παρακάτω s = NormalASeriesACos@xD, 9x, π 6,=EE; s = NormalASeriesACos@xD, 9x, π 6,=EE; s3 = NormalASeriesACos@xD, 9x, π 6,3=EE; PlotA8Cos@xD, s, s, s3<, 9x, π 6 π, π 6 + π =, AxesOrigin 9 π 6,0=, PlotStyle 8RGBColor@, 0, 0D, RGBColor@0,, 0D, RGBColor@0, 0, D, RGBColor@0,, D<E

48 κόκκινο χρώµα : Cos[x] πράσινο χρώµα : προσέγγιση ου βαθµού µπλέ σκούρο χρώµα : : προσέγγιση ου βαθµού µπλέ ανοικτό χρώµα : : προσέγγιση 3 ου βαθµού

49 . Σειρές Fourier. Παράδειγµα. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( x) = x στο διάστηµα [-π,π). Απάντηση. Το ανάπτυγµα που ψάχνουµε είναι της µορφής : όπου k ( ) ( ) = + cos( ) + sin ( ) F x A A nx B nx k 0 n n n= π A0 = Fn ( x) dx π π π Ak = Fn( x) cos ( kx) dx k n π π π Bk = Fn( x) sin ( kx) dx k n π Ορίζουµε λοιπόν στο Mathematica τους παραπάνω τύπους : π a@0d := HêH πll Integrate@f@xD, 8x, π, π<d a@k_d := Hê πl Integrate@f@xD Cos@k xd, 8x, π, π<d b@k_d := Hê πl Integrate@f@xD Sin@k xd, 8x, π, π<d F@x_, K_D := a@0d +Sum@a@kD Cos@k xd + b@kd Sin@k xd, 8k,, K<D Η γραφική παράσταση του παραπάνω αναπτύγµατος F ( ) την συνάρτηση : k x στο [-π,α) δίνεται από p@k_, a_d := Plot@Evaluate@F@x, KD, 8x, π,a<, PlotRange All, PlotPoints 00DD Αν ορίσουµε λοιπόν ως f ( x) = x f@x_d := x^ θα έχουµε a@0d π 3 Simplify@a@kDD 4kπ Cos@k πd + H + k π L Sin@k πd k 3 π Simplify@b@kDD 0 Συνεπώς η σειρά Fourier αν πάρουµε 3 όρους για παράδειγµα θα είναι F@x, 3D

50 π 3 4Cos@xD + Cos@xD 4 9 Cos@3xD Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση της σειράς Fourier F ( ) στο διάστηµα [-π,π) s = p@3, πd 3 x (µε 3 όρους) και στο διάστηµα [-π,3π) p@3, 3 πd ή των δύο συναρτήσεων µαζί f(x) και F ( x ) s = PlotAx, 8x, π, π<e Show@8s, s<d

51 Η γραφική παράσταση της διαφοράς των δύο συναρτήσεων (λάθους) είναι η παρακάτω : PlotA π 3 4Cos@xD + Cos@xD 4 9 Cos@3xD x, 8x, π, π<e Η συνάρτηση f(x) και η σειρά Fourier έχουν το ίδιο ορισµένο ολοκλήρωµα στο διάστηµα [-π,π). IntegrateA π 3 4Cos@xD + Cos@xD 4 9 Cos@3xD x, 8x, π, π<e 0 Παρακάτω δίνουµε µια λίστα µε την προσέγγιση F ( ) k π όταν κ=,,...,0 Table@F@π,kD, 8k, 0, 0<D êê N , , , , , 9.443, 9.554, , , , , 9.5, , , , 9.663, 9.675, 9.64, , , < ListPlot@%D

52 Παρατηρούµε ότι το F ( ) F@π,000Dêê N Η τιµή αυτή είναι κατά προσέγγιση ίση µε HêL Hf@ πd +f@πdl êê N k π συγκλίνει προς µια τιµή π.χ. για k=000 έχουµε Παράδειγµα. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( x) = x στο διάστηµα [-,). Απάντηση. Παρόµοια µε την προηγούµενη άσκηση έχουµε : όπου k ( ) ( ) = + cos( ) + sin ( ) F x A A nx B nx k 0 n n n= A0 = Fn ( x) dx L Ak = Fn( x) cos ( kx) dx k n L L L Bk = Fn( x) sin ( kx) dx k n L L Ορίζουµε λοιπόν στο Mathematica τους παραπάνω τύπους : L L L a@0d := HêH LL Integrate@f@xD, 8x,, <D a@k_d := HêL Integrate@f@xD Cos@k xd, 8x,, <D b@k_d := HêL Integrate@f@xD Sin@k xd, 8x,, <D F@x_, K_D := a@0d +Sum@a@kD Cos@k xd + b@kd Sin@k xd, 8k,, K<D Η γραφική παράσταση του παραπάνω αναπτύγµατος F ( ) την συνάρτηση : k x στο [-,) δίνεται από p@k_, a_d := Plot@Evaluate@F@x, KD, 8x,, a<, PlotRange All, PlotPoints 00DD Αν ορίσουµε λοιπόν ως f ( x) = x f@x_d := Abs@xD θα έχουµε a@0d Simplify@a@kDD HkCos@kD Sin@kDL Sin@kD k

53 0 Συνεπώς η σειρά Fourier αν πάρουµε 3 όρους για παράδειγµα θα είναι F@x, 3D + Cos@xDH + Cos@D + Sin@DL + 4 Cos@xDH + Cos@4D + 4 Sin@4DL + Cos@3xDH + Cos@6D + 6Sin@6DL 9 Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση της σειράς Fourier F ( ) στο διάστηµα [-,) s = p@3, D 3 x (µε 3 όρους) ή των δύο συναρτήσεων µαζί f(x) και F ( x ) s = Plot@Abs@xD, 8x,, <D Show@8s, s<d Η γραφική παράσταση της διαφοράς των δύο συναρτήσεων (λάθους) είναι η παρακάτω :

54 PlotA+ + Sin@DL + Cos@xDH + Cos@4D + 4Sin@4DL Cos@3xDH + Cos@6D + 6Sin@6DL Abs@xD, 8x,, <E Η συνάρτηση f(x) και η σειρά Fourier έχουν το ίδιο ορισµένο ολοκλήρωµα στο διάστηµα [-,). IntegrateA+ Cos@xDH +Cos@D + Sin@DL + Cos@xDH + Cos@4D + 4Sin@4DL + 4 Cos@3xDH + Cos@6D + 6Sin@6DL Abs@xD, 8x, π, π<e êê N Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση της σειράς F40 ( x ) και 00 ( ),) p@40, D F x στο [- - - p@00, D

55 Επιπλέον δυνατότητες για ανάλυση Fourier συναρτήσεων µας δίνει το πακέτο <<Calculus`FourierTransform` του Mathematica. Παράδειγµα 3. Να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier η συνάρτηση f ( x ) = στο διάστηµα [,3). Απάντηση. Παρόµοια µε την προηγούµενη άσκηση έχουµε : όπου k ( ) ( ) = + cos( ) + sin ( ) F x A A nx B nx k 0 n n n= A0 = Fn ( x) dx B A Ak = Fn( x) cos ( kx) dx k n B A A B Bk = Fn( x) sin ( kx) dx k n B A A Ορίζουµε λοιπόν στο Mathematica τους παραπάνω τύπους : B A B a@0d := HêH3 LL Integrate@f@xD, 8x,, 3<D a@k_d := HêH3 LL Integrate@f@xD Cos@k xd, 8x,, 3<D b@k_d := HêH3 LL Integrate@f@xD Sin@k xd, 8x,, 3<D F@x_, K_D := a@0d +Sum@a@kD Cos@k xd + b@kd Sin@k xd, 8k,, K<D Η γραφική παράσταση του παραπάνω αναπτύγµατος F ( ) συνάρτηση : k x στο [,3) δίνεται από την p@k_, a_d := Plot@Evaluate@F@x, KD, 8x,, a<, PlotRange All, PlotPoints 00DD Αν ορίσουµε λοιπόν ως f ( x ) = f@x_d := θα έχουµε a@0d Simplify@a@kDD Sin@kD + Sin@3kD k Simplify@b@kDD 4Cos@kD Sin@kD k Συνεπώς η σειρά Fourier αν πάρουµε 3 όρους για παράδειγµα θα είναι F@x, 3Dêê N Cos@xD Cos@. xd Cos@3. xd Sin@xD Sin@. xd Sin@3. xd

56 Παρακάτω δίνουµε την γραφική παράσταση της σειράς F40 ( x ) και 00 ( ) F x στο [,3) p@40, 3D p@00, 3D

57 3. Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις. Παράδειγµα. Να επιλύσετε την παρακάτω διαφορική εξίσωση : dy x y xy, x 0 dx = + Απάντηση. Χρησιµοποιούµε την συνάρτηση DSolve[διαφορική εξίσωση, συνάρτηση, µεταβλητή] DSolveAx D@y@xD,xD y@xd + xy@xd, y@xd,xe x ::y@xd x C@D >> Παράδειγµα. Να επιλύσετε την παρακάτω διαφορική εξίσωση : dy xy x dx = µε αρχική συνθήκη y(0)=. Απάντηση. Χρησιµοποιούµε την συνάρτηση DSolve[{διαφορική εξίσωση/εις, αρχικές συνθήκες}, συνάρτηση/εις, µεταβλητή] DSolve@8D@y@xD,xD xy@xd x, y@0d <, y@xd,xd ::y@xd J + 3 x N>> Παράδειγµα 3. Να επιλύσετε την παρακάτω διαφορική εξίσωση : d y dy 5 + 6y = sin( x) dx dx y 0 = 0, y' 0 =. µε αρχική συνθήκη ( ) ( ) Απάντηση. DSolve@8D@y@xD, 8x, <D 5 D@y@xD,xD +6 y@xd Sin@xD, y@0d 0, y'@0d <,y@xd,xd ::y@xd 0 H x + 3x + Cos@xD + Sin@xDL>> Παράδειγµα 4. Να επιλύσετε το παρακάτω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων : dy ( x) = 3y( x) + y( x) dx dy ( x) = y( x) + y( x) dx µε αρχικές συνθήκες y( 0) =, y( 0) =. Απάντηση. Χρησιµοποιούµε την συνάρτηση DSolve[{διαφορική εξίσωση/εις, αρχικές συνθήκες}, συνάρτηση/εις, µεταβλητή]

58 @xd,xd <, x H+ x H + xl<< Παράδειγµα 5. Να υπολογισθούν οι µετασχηµατισµοί Laplace των συναρτήσεων : sin ax,cos ax,, x ( ) ( ) Απάντηση. Χρησιµοποιούµε την συνάρτηση LaplaceTransform[f(x),x,s] LaplaceTransform@Sin@axD,x,sD è!!!!! a Sign@aD a + s LaplaceTransform@Cos@axD,x,sD s a + s LaplaceTransformAx,x,sE s 3 και πιο γενικά LaplaceTransform@x n,x,sd s n Gamma@ + nd Παράδειγµα 6. Να υπολογισθούν οι αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Laplace των συναρτήσεων : s 5s+ 6, s + 9 s + s+ Απάντηση. Χρησιµοποιούµε την συνάρτηση InverseLaplaceTransform[f(x),s,x] InverseLaplaceTransformA s + 9,s,xE 3 Sin@3xD InverseLaplaceTransformA s 5 s+ 6 s + s+,s,xe x H 7 + xl + DiracDelta@xD Παράδειγµα 7. Να επιλύσετε την παρακάτω διαφορική εξίσωση : d y dy 5 + 6y = sin( x) dx dx µε αρχική συνθήκη y( 0) = 0, y' ( 0) = µε την βοήθεια των µετασχηµατισµών Laplace. Απάντηση. Παίρνουµε µετασχηµατισµούς Laplace στο αριστερό µέλος της εξίσωσης

59 8x, <D 5 D@y@xD,xD +6 y@xd,x,sdê. 8y@0D 0, y'@0d < êêsimplify + H6 5s+ s L LaplaceTransform@y@xD,x,sD και στο δεξιά µέρος της εξίσωσης LaplaceTransform@Sin@xD,x,sD + s και λύνουµε την εξίσωση που προκύπτει SolveA + I6 5s+ s M y== + s,ye + s ::y H + s LH6 5s+ s L >> της οποίας ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace είναι ο παρακάτω : + s InverseLaplaceTransformA H+ s LH6 5s+ s L,s,xE 0 H x H + x L + Cos@xD + Sin@xDL Για τον υπολογισµό του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace µε το χέρι θα πρέπει να αναλύσουµε το κλάσµα σε µερικά κλάσµατα, το οποίο στο Mathematica γίνεται µέσω της εντολής Apart[] 0 H 3 + sl 6 5 H + sl + + s 0 H+ s L

60 4. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Παράδειγµα. ίνεται το παρακάτω σύνολο αριθµών : S={74,00,55,70,39,98,79,78,33,88,9,73,86,9,9,69,4,88,96,87,56} οι οποίοι αποτελούν τους βαθµούς εργασιών φοιτητών. (α) Να υπολογισθεί ο µέσος όρος n ( x ) j x n x j n j = x = και η τυπική απόκλιση j= s = των παραπάνω αριθµών. n (β) Να γίνει ιστόγραµµα των παραπάνω αριθµών σε διαστήµατα µήκους 0. Απάντηση. (α) Πρώτα δηµιουργούµε την λίστα µε τους παραπάνω αριθµούς : S= 874, 00, 55, 70, 39, 98, 79, 78, 33, 88, 9, 73, 86, 9, 9, 69, 4, 88, 96, 87, 56< 874, 00, 55, 70, 39, 98, 79, 78, 33, 88, 9, 73, 86, 9, 9, 69, 4, 88, 96, 87, 56< Στη συνέχεια καλούµε το πακέτο <<Statistics`DescriptiveStatistics` και µέσω των συναρτήσεων Mean[] και Variance[] υπολογίζουµε τον µέσο όρο και την απόκλιση s και στη συνέχεια την τυπική απόκλιση << Statistics`DescriptiveStatistics` N@Mean@SDD N@Variance@SDD Sqrt@%D 0.87 ή StandardDeviation@SDêê N 0.87 (β) Καλούµε το πακέτο <<Graphics`Graphics` και στη συνέχεια χρησιµοποιούµε την συνάρτηση Histogram[]. s. << Graphics`Graphics` Histogram@S, Ticks IntervalBoundaries, HistogramScale Length@SD, HistogramCategories 80, 0, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 00.5<D

61 Η επιλογή HistogramCategories είναι προαιρετική και στόχος της είναι ο χωρισµός των διαστηµάτων σύµφωνα µε τις επιλογές µας. Length[S] είναι το µήκος της λίστας και η επιλογή HistogramScale->Length[S] φροντίζει ώστε το εµβαδόν κάτω από το ιστόγραµµα να είναι ίσο µε. Παρακάτω δίνουµε τι θα γινόταν αν δεν είχαµε πάρει τις επιλογές αυτές : Histogram@SD Παράδειγµα. Η πιθανότητα να φέρουµε 6 όταν ρίχνουµε ένα ζάρι είναι /6. Ποια η πιθανότητα να φέρουµε 6 στις από τις επόµενες 5 φορές που θα ρίξουµε ένα ζάρι. Απάντηση. Με την υπόθεση ότι τα τεστ είναι ανεξάρτητα και p=/6 για κάθε µια από τις n=5 προσπάθειες, τότε η πιθανότητα να πετύχουµε x= φορές το 6 είναι σύµφωνα µε την διωνυµική κατανοµή : n x n x f ( x) = p ( p) x το οποίο σύµφωνα µε το Mathematica είναι : f@x_, p_, n_d := Binomial@n, xd p x H pl n x NAfA, 6,5EE Αν θέλαµε την πιθανότητα να πετύχουµε 6 έως και φορές τότε θα έπρεπε να υπολογίσουµε το f(0)+f()+f() δηλαδή : NASumAfAx,,5E, 8x, 0, <EE Παράδειγµα 3. Η πιθανότητα να επιζήσει ένας ασθενής από µια σπάνια αρρώστια του αίµατος είναι 0.4. Εάν είναι γνωστό ότι 5 άτοµα έχουν προσβληθεί από την αρρώστια αυτή ποια είναι η πιθανότητα να επιζήσουν τουλάχιστον 0.