Confidence intervals for percentiles in stationary ARMA processes: An application using environmental data

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Confidence intervals for percentiles in stationary ARMA processes: An application using environmental data"

Transcript

1 MRA Munich ernal ReEc Archive Cnfidence inerval fr percenile in ainary ARMA prcee: An applicain uing envirnmenal daa Gerge Halk and Ilia Kevrk Deparmen f Ecnmic, Univeriy f Thealy May 04 Online a hp://mpra.ub.uni-muenchen.de/5634/ MRA aper N. 5634, ped. May 04 3:9 UTC

2 Cnfidence inerval fr percenile in ainary ARMA prcee: An applicain uing envirnmenal daa Gerge E. Halk & Ilia S. Kevrk Labrary f Operain Reearch, Deparmen f Ecnmic, Schl f Humaniie, Univeriy f Thealy, 43 Krai Sree, Vl 38333, Greece. Abrac ercenile eimain play an impran rle a he age f making deciin in many cienific field. Hwever, he up--nw reearch n develping eimain mehd fr percenile ha been baed n he aumpin ha he daa in he ample are frmed independenly. In he curren paper we uppre hi rericive aumpin by auming ha he value f he variable under udy are frmed accrding he general linear prce. Afer deriving he aympic diribuin f he Maximum Likelihd eimar fr he 00 h percenile, we give he general frm f he crrepnding aympic cnfidence inerval. Then, he perfrmance f he eimaed aympic cnfidence inerval i evaluaed in finie ample frm he ainary AR() and ARMA(,) hrugh Mne-Carl imulain by cmpuing w aiical crieria: (a) he acual cnfidence level, (b) he expeced halflengh a percenage f he rue value f he percenile. Simulain reul hw ha he validiy f he eimaed aympic cnfidence inerval depend upn he ample ize, he ize f he rder hereical aucrrelain cefficien, and he rue cumulaive prbabiliy relaed he percenile. Finally, an applicain example i given uing he erie f he CO annual emiin ineniy in Greece (kg per kg f il equivalen energy ue) fr he perid Cnfidence inerval fr percenile are cnruced n hi erie and dicuin abu he validiy f he eimain prcedure fllw accrding he finding frm he imulain experimen regarding he value f he afremenined crieria. Keywrd: ercenile; envirnmenal daa; ime erie mdel; cnfidence inerval. JEL Claificain Cde: C3; C; C53; Q50; Q54. Wrk in hi udy ha received funding frm he "GHGMETI" prgram, which ake place wihin he SYNERGASIA 0 acin and i uppred by he Eurpean Reginal Develpmen fund and Greek Nainal Fund, prjec number SYN_8_8. The ex repreen he auhr view. Miniry f Educain and Religiu Affair GSRT - Managemen and Implemenain Agency fr RTD and Innvain Aciviie O.. Cmpeiivene and Enrepreneurhip(EAN ΙΙ), RO Macednia - Thrace, RO Cree and Aegean Iland, RO Thealy - Mainland Greece - Epiru, RO Aica

3 ιαστήµατα εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια σε στάσιµες ARMA διαδικασίες: Μία εµπειρική εφαρµογή σε περιβαλλοντικά δεδοµένα Ηλίας Κεβόρκ και Γεώργιος Χάλκος Εργαστήριο Επιχειρησιακών Ερευνών Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών, Σχολής Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστηµών, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Κοραή 43, Βόλος Περίληψη Η εκτίµηση εκατοστηµορίων παίζει πλέον σηµαντικό ρόλο στα διάφορα στάδια λήψης αποφάσεων σε πολλούς επιστηµονικούς τοµείς. Όµως η µέχρι τώρα έρευνα ανάπτυξης µεθόδων εκτίµησης των εκατοστηµορίων βασίστηκε στην υπόθεση ότι οι παρατηρήσεις στο δείγµα διαµορφώνονται ανεξάρτητα µεταξύ τους. Στην παρούσα εργασία καταργούµε την υπόθεση αυτή υποθέτοντας ότι οι τιµές της υπό µελέτη µεταβλητής σχηµατίζονται µε βάση την γενική γραµµική στοχαστική ανέλιξη. Εξάγοντας πρώτα την ασυµπτωτική κατανοµή του εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας για το 00 h εκατοστηµόριο, δίνουµε στη συνέχεια τη γενική µορφή του αντίστοιχου ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης. Η εγκυρότητα του διαστήµατος αυτού όταν εκτιµάται σε στάσιµες σειρές AR() και ARMA(,) εξετάζεται µέσω χρήσης προσοµοιώσεων Mne-Carl και υπολογισµού δυο στατιστικών κριτηρίων: (α) του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης, και (β) του αναµενόµενου ηµι-πλάτους του διαστήµατος ως ποσοστό της πραγµατικής τιµής του εκατοστηµορίου. Τα αποτελέσµατα των πειραµάτων προσοµοίωσης δείχνουν ότι η εγκυρότητα του εκτιµηθέντος ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος, το µέγεθος του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ης τάξης και την τιµή της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου. Τέλος διενεργείται εφαρµογή της µεθοδολογίας εκτίµησης του ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης στη σειρά πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα στην Ελλάδα για τα έτη Στην εφαρµογή αυτή σχολιάζεται η εγκυρότητα των εκτιµηθέντων διαστηµάτων εµπιστοσύνης βάσει των ευρηµάτων των πειραµάτων προσοµοίωσης αναφορικά µε τις τιµές των δύο παραπάνω στατιστικών κριτηρίων. Λέξεις Κλειδιά: Εκατοστηµόρια, περιβαλλοντικά δεδοµένα, υποδείγµατα χρονικών σειρών, διαστήµατα εµπιστοσύνης. Κωδικοί JEL: C3; C; C53; Q50; Q54. H µελέτη αυτή έχει λάβει χρηµατοδότηση από το πρόγραµµα «GHGMETI", στα πλαίσια του έργου δράσης «ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ 0» µε κωδικό αριθµό έργου SYN_8_8 και υποστηρίζεται από το Ευρωπαϊκό Ταµείο Περιφερειακής Ανάπτυξης και από Ελληνικούς Εθνικούς Πόρους. Το κείµενο εκφράζει τις απόψεις των συγγραφέων.

4 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια αποτελεί πλέον θεµατική έρευνας µε αυξανόµενο ενδιαφέρον. Ήδη έχει αναγνωρισθεί στη διεθνή βιβλιογραφία η αναγκαιότητα της εκτίµησης εκατοστηµορίων σε σειρές µεγεθών που αφορούν διάφορες κοινωνικοοικονοµικές µεταβλητές όπως το οικογενειακό εισόδηµα, η εξέλιξη του βάρους και τους ύψους των νεογέννητων παιδιών κλπ. Επιπλέον, οι εκτιµήσεις των εκατοστηµορίων παίζουν σηµαντικό ρόλο σε αποφάσεις που πρέπει να ληφθούν στην άσκηση επιχειρηµατικής πολιτικής. Ως παραδείγµατα αναφέρουµε τον προσδιορισµό των ασφαλίστρων στο κλάδο ασφαλειών, τη µέτρηση της εγκυρότητας σε θέµατα µηχανικής, τον προσδιορισµό της ποσότητας παραγγελίας ή του σηµείου αναπαραγγελίας σε υποδείγµατα αποθεµατικής πολιτικής newvendr και υποδείγµατα συνεχούς επιθεώρησης, και τον προσδιορισµό της συσωρευτικής ικανότητας (aimilaive capaciy) σε υποδείγµατα διαχείρισης του περιβάλλοντος. Ειδικότερα, στον τοµέα του περιβάλλοντος, είναι πολύ σηµαντικό να αναλυθούν οι επιπτώσεις των διαφόρων περιβαλλοντικών πολιτικών σε ξεχωριστά εκατοστηµόρια της οριακής κατανοµής της υπό εξέταση περιβαλλοντικής µεταβλητής αποφεύγοντας τα προβλήµατα που ανακύπτουν από τη χρήση του µέσου αριθµητικού ως µοναδικής στατιστικής παραµέτρου. Ένας σηµαντικός αριθµός εργασιών έχει ήδη εµφανιστεί στη διεθνή βιβλιογραφία παρουσιάζοντας διαδικασίες στατιστικών ελέγχων και µεθόδους κατασκευής διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια όταν η πληθυσµιακή κατανοµή για την υπό µελέτη µεταβλητή είναι άγνωστη. Η πιο σύνηθης προσέγγιση είναι η θεµελίωση απαραµετρικών (diribuin-free) διαστηµάτων εµπιστοσύνης χρησιµοποιώντας τη σχέση µεταξύ εκατοστηµορίων και διάταξης (rdering) και κατάταξης (ranking) των παρατηρήσεων (Gibbn and Chakrabri, 003. Chakrabri and Li, 007). Από την άλλη πλευρά, η µέθοδος Brapping αποτελεί σήµερα µια σηµαντική εναλλακτική προσέγγιση ανάπτυξης 3

5 απαραµετρικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια εκµεταλευόµενοι τη δύναµη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και τις δυνατότητες που δίνουν τα διάφορα εµπορικά υπολογιστικά πακέτα Η/Υ (Efrn and Tibhirani, 993). Επίσης, µια άλλη προσέγγιση εξαγωγής εκτιµητών για εκατοστηµόρια βασίζεται στην αριστοποίηση µιας συνάρτησης απωλειών απόλυτων σφαλµάτων (ablue errr l funcin) χρησιµοποιώντας απαραµετρικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας µε το εκατοστηµόριο να εκφράζεται ως το άθροισµα µιας παραµέτρου θέσης και το γινόµενο µιας σταθεράς επί µια παράµετρο κλίµακας (Keaing 983; Keaing e al., 00). Αντίθετα µε τα παραπάνω, η εκτίµηση διαστηµάτων επιστοσύνης για εκατοστηµόρια υπό το πλαίσιο µιας παραµετρικής προσέγγισης έχει λάβει µέχρι τώρα µικρό ερευνητικό ενδιαφέρον. Πιο συγκεκριµένα, ένας µικρός αριθµός εργασιών έχει παρουσιαστεί στη διεθνή βιβλιογραφία υποθέτωντας ότι η κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της αποτελεσµατικότητας της εγγύτητας κατά iman (iman-clene efficiency) ι Dyer e al. (977) έκαναν σύγκριση διαφόρων εκτιµητών για εκατοστηµόρια [µεταξύ των εκτιµητών που εξεταστηκαν ήταν οι Maximum Likelihd (ML), Minimum Variance Unbiaed Eimar (MVUE), και Be Ιnvarian Εimar (ΒΙΕ]. Οι Bland and Alman (999) εξήγαγαν ένα συµµετρικό διάστηµα εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια χρησιµοποιώντας ιδιότητες των κατανοµών δειγµατοληψίας του δειγµατικού µέσου και της δειγµατικής διακύµανσης. Στην έκταση της γνώσης µας επί του θέµατος, οι Chakrabri and Li (007) ήταν οι πρώτοι που διενήργησαν συγκρίσεις της εγκυρότητας µεταξύ διαφόρων µεθόδων εκτίµησης διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια, όταν η κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση. Εκτός των διαστηµάτων εµπιστοσύνης τα οποία συνδέονται µε τους εκτιµητές ML και MVUE, στην µελέτη αυτή συµπεριλήφθηκαν το διαστήµα εµπιστοσύνης βασιζόµενο στον προσηµικό 4

6 έλεγχο και το διάστηµα πρόβλεψης της εκ των υστέρων Μπευνζιανής (Bayeian) ανάλυσης. Ως κριτήρια για τις συγκρίσεις αυτές, οι συγγραφείς χρησιµοποίησαν τις τιµές του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης (καλούµενο και ως κάλυψη) και του αναµενόµενου πλάτους του διαστήµατος τις οποίες η κάθε µέθοδος επιτύγχανε. Βάσει των κριτηρίων αυτών οι συγγραφείς θεωρούν ως καλή επιλογή τη χρήση των διαστηµάτων εµπιστοσύνης πεπερασµένων δειγµάτων που συνδέονται µε τους εκτιµητές ML και MVUE, όταν για µεν το πρώτο εκτιµητή χρησιµοποιούνται οι κριτικές τιµές της uden-, ενώ για τον εκτιµητή ML οι κριτικές τιµές της nn-cenral uden-. Με τη κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής να είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση, οι Dnner και Zu (00) παρουσίασαν µια µέθοδο κατασκευής ασυµµετρικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης χρησιµοποιώντας τη µέθοδο ανάκτησης εκτιµήσεων διακύµανσης (Variance Eimae Recvery). Επίσης στα πλαίσια εκτίµησης της άριστης ποσότητας παραγγελίας σε υποδείγµατα αποθεµατικής πολιτικής newvendr ο Kevrk (00) εξήγαγε το ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης του εκτιµητή ML. Τέλος, θεωρώντας ένα διαχρονικό δείγµα ζήτησης µε την οριακή κατανοµή να είναι η εκθετική, οι Halk και Kevrk (03a) εξήγαγαν εκτιµητή ο οποίος διασφαλίζει ότι η πιθανότητα η επόµενη χρονικά παρατήρηση να είναι µικρότερη της άριστης ποσότητας παραγγελίας να ισούται µε την αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου. Η βασική όµως υπόθεση που έγινε σε όλες τις προαναφερθείσες εργασίες ήταν ότι οι παρατηρήσεις στο δείγµα διαµορφώνονται ανεξάρτητα µεταξύ τους. Παρόλα αυτά µπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις µεταβλητών για τις οποίες η εξέλιξη των τιµών τους σε έναν συγκεκριµένο χρονικό ορίζοντα να εµφανίζει αυτοσυσχέτιση. Μια τέτοια µεταβλητή παρουσιάζουµε στην εργασία αυτή από το χώρο της Οικονοµικής του Περιβάλλοντος που είναι «η πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα (CO σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό 5

7 πετρελαίου) στην Ελλάδα». Έχοντας διαθέσιµες τις τιµές της µεταβλητής αυτής για τα έτη 96-00, η εφαρµογή κατάλληλων στατιστικών ελέγχων µας οδηγεί στον ισχυρισµό ότι ο στοχαστικός νόµος γέννησης των τιµών της µεταβλητής αυτής είναι ή το στάσιµο AR() ή το στάσιµο ARMA(,). Με βάση τα ευρήµατα αυτά, στην εργασία αυτή πραγµατευόµαστε για πρώτη φορά θέµατα εκτιµητικής των εκατοστηµορίων όταν ο στοχαστικός νόµος γέννησης των τιµών της µεταβλητής είναι η γενική γραµµική στοχαστική ανέλιξη, ειδικές περιπτώσεις της οποίας αποτελούν τα στάσιµα AR() και ARMA(,). Πιο συγκεκριµένα, για την εκτίµηση του 00 h εκατοστηµορίου χρησιµοποιούµε τον εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας (Dyer e al., 977) ο οποίος αποτελεί γραµµική συνάρτηση του δειγµατικού µέσου και του εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας της δειγµατικής διακύµανσης. Για τον εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας (ML) του 00 h εκατοστηµορίου εξάγουµε την ασυµπτωτική του κατανοµή από την οποία λαµβάνουµε το αντίστοιχο ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης. Στη συνέχεια, για την εξέταση της εγκυρότητας της εκτίµησης του διαστήµατος αυτού σε πεπερασµένα δείγµατα, χρησιµοποιούµε στάσιµες σειρές από το AR() και ARMA(,) τις οποίες παράγουµε µέσω προσοµοιώσεων Mne- Carl. Χρησιµοποιώντας τις δηµιουργηµένες αυτές σειρές, η µελέτη της εγκυρότητας διενεργείται υπολογίζοντας για διαφορετικούς συνδυασµούς µεγέθους δείγµατος και αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου τις τιµές δυο στατιστικών κριτηρίων: (α) του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης, και (β) του αναµενόµενου ηµι-πλάτους του διαστήµατος διαρούµενου µε το πραγµατικό µέγεθος του εκατοστηµορίου. Από τις τιµές των δύο αυτών στατιστικών κριτηρίων διαπιστώνουµε ότι η εγκυρότητα του εκτιµηθέντος ασυµπτωτικού διαστήµατος σε πεπερασµένα δείγµατα εξαρτάται από το µέγεθος του Πηγή των δεδοµένων η Wrld Bank (hp://daa.wrldbank.rg/) 6

8 δείγµατος, από τη µορφή του στοχαστικού υποδείγµατος, AR() ή ARMA(,), που γεννά τις τιµές της µεταβλητής όταν τα δύο αυτά υποδείγµατα έχουν τον ίδιο συντελεστή αυτιοσυσχέτισης ης τάξης, και από την αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου. Η εργασία αυτή κλείνει µε εφαρµογή της µεθοδολογίας εκτίµησης των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια στην διαθέσιµη σειρά από το χώρο της Οικονοµικής του Περιβάλλοντος. Ειδικότερα, εκτιµώντας τα διαστήµατα αυτά για εκατοστηµόρια που αναφέρονται στην πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα στην Ελλάδα την περίοδο για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας, σχολιάζουµε την εγκυρότητα αυτών βάσει των ευρηµάτων που αποκτήθηκαν από τη διεξαγωγή των προσοµοιώσεων Mne-Carl αναφορικά µε τις υπολογισθείσες τιµές των δυο παραπάνω στατιστικών κριτηρίων αξιολόγησης. Με βάση τα παραπάνω, το υπόλοιπο της εργασίας αυτής δοµείται ως εξής. Στο επόµενο τµήµα εξάγουµε την ασυµπτωτική κατανοµή του εκτιµήτη ML του εκατοστηµορίου και δίνουµε τη γενική µορφή του αντίστοιχου ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης. Εξειδικεύσεις της γενικής αυτής µορφής εξάγονται για τα στάσιµα υποδείγµατα AR() και ARMA(,). Στο τρίτο τµήµα αιτιολογούµε µέσω εφαρµογής κατάλληλων στατιστικών ελέγχων ότι η σειρά που αναφέρεται στην πυκνότητα των εκποµπών ιοξειδίου του Άνθρακα στην Ελλάδα την περίοδο έχει ως στοχαστικό νόµο παραγωγής των τιµών της ή το στάσιµο AR() ή το στάσιµο ARMA(,). Έχοντας διαθέσιµες τις εξειδικευµένες µορφές των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης εκατοστηµορίων για τα δύο αυτά στάσιµα υποδείγµατα, στο ίδιο Τµήµα εκτιµούµε τα ασυµπτωτικά διαστήµατα για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου. Ο έλεγχος της εγκυρότητας των εκτιµηθέντων αυτών διαστηµάτων διενεργείται µέσω προσοµοιώσεων Mne-Carl στο τέταρτο Τµήµα. Τέλος στο πέµπτο και τελευταίο Τµήµα της εργασίας συνοψίζουµε τα πιο σηµαντικά ευρήµατα της µελέτης αυτής. 7

9 . ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Έστω ότι η διαχρονική εξέλιξη της υπό µελέτη µεταβλητής περιγράφεται από τη γενική γραµµική ανέλιξη, = 0 X =µ+ ψ ε, () όπου =0 ψ < j, και { } ε ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές κατανεµόµενες ως ( 0, ) N σ. Με την οριακή κατανοµή της { X } να είναι η ( 0, ) N γ, το 00 h εκατοστηµόριό της θα δίνεται από τη σχέση K = µ+ Z γ, όπου Z είναι η τιµή της αντίστροφης συνάρτησης αθροιστικής κατανοµής της ~ N( 0,) Z υπολογιζόµενη στην αθροιστική πιθανότητα. Για την εκτίµηση του εκατοστηµορίου K θα χρησιµοποιηθεί ο «µεροληπτικός» = n εκτιµητής µεγίστης πιθανοφάνειας Kˆ ˆ = X+ Z γ, όπου X= X n και γ ˆ = = n ( X X) n. Τα αποτελέσµατα των παρακάτω δυο ληµµάτων είναι απαραίτητα στην ανάλυση που θα ακολουθήσει για την εξαγωγή του ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης για την πραγµατική τιµή K. Λήµµα : Εάν X =µ+ ψε, όπου ψ < = 0 µεταβλητές κατανεµόµενες ως N( 0, ) =0 σ, τότε: j, µε { } ε να είναι ανεξάρτητες τυχαίες (α) n ( X µ ) ασυµπτωτικά ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και διακύµανση γ + = ρ, και (β) n( γ ) ˆ γ ασυµπτωτικά ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και + = διακυµάνση γ ρ, 8

10 όπου ρ είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης h τάξης. Απόδειξη: Βλέπε στο Παράρτηµα. Λήµµα : Εάν X =µ+ ψε, όπου ψ < = 0 =0 µεταβλητές κατανεµόµενες ως N( 0, ) j, µε { } ε να είναι ανεξάρτητες τυχαίες σ, τότε για οποιοδήποτε µέγεθος δείγµατος η συνδιακύµανση των X n and ˆγ είναι µηδέν. Απόδειξη: Βλέπε απόδειξη Πρότασης στο Παράρτηµα των Halk and Kevk (03b). Βάσει των αποτελεσµάτων των δυο παραπάνω ληµµάτων, το διάνυσµα [ X µ γˆ γˆ ] n ασυµπτωτικά ακολουθεί τη διµεταβλητή κατανοµή µε µέσο 0 και µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης γ Σ = + ρ = 0 γ 0 + =. οθέντος του, ισχύει επίσης ότι ρ n 0.5 ( plimγˆ ) =µ+ Z γ K p limkˆ = plimx + Z =. Εποµένως η εφαρµογή της µεθόδου έλτα (Knigh, 000, σελ. 49) οδηγεί στην ασυµπτωτική κατανοµή του στατιστικού ( Kˆ ) n, η οποία είναι η κανονική µε µέσο µηδέν και διακύµανση L Σ L όπου K Kˆ L = X n Kˆ γˆ = Xn= µ Xn= µ γˆ = γ γˆ = γ Z γ και + + Z Σ L=γ ρ+ ρ = k= L. Εποµένως το ασυµπτωτικό ( α) 00% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 00 h εκατοστηµόριο δίνεται από τον τύπο 9

11 + + γ Z Kˆ ± zα ρ+ ρ. () n = k= Το διάστηµα εµπιστοσύνης της () µπορεί να εξειδικευθεί για εναλλακτικά στάσιµα ΑRMA υποδείγµατα. Παρακάτω δίνουµε δύο χαρακτηριστικά παραδείγµατα. Παράδειγµα :Το στάσιµο αυτοπαλίνδρο σχήµα ου Βαθµού, AR(). =, µε φ <, Το υπόδειγµα αυτό έχει τη γενική µορφή X µ+φ( X µ ) + ε γ ( ) =σ φ, και k ρ k = φ (k=0,,, ). Θεωρώντας ότι η ανέλιξη έχει ξεκινήσει στο µακρυνό παρελθόν, και αντικαθιστώντας διαδοχικά για Y, Y, Y 3,, το AR() λαµβάνει τη µορφή της γενικής γραµµικής ανέλιξης της σχέσης () µε ισχύει ότι φ +φ φ +φ = + = και = + =. φ φ ρ φ φ = ρ = ψ j j = φ. Επιπλέον Εποµένως το διάστηµα εµπιστοσύνης στην () για το AR() εξειδικεύεται ως γ +ρ zr +ρ Kˆ ± z α + ρ ρ, (3) n καθώς ισχύει ρ = φ. Παράδειγµα : Το στάσιµο και αντιστρέψιµο σχήµα ARΜΑ(,). =, µε φ <, Το υπόδειγµα αυτό έχει τη γενική µορφή X µ+φ( X µ ) +ε+ θε θ <, +θ + φθ φ γ = σ, ( +φθ)( φ+θ) k ρ =, και ρ k =φ ρ +θ + φθ για k. Θεωρώντας ότι η ανέλιξη έχει ξεκινήσει στο µακρυνό παρελθόν, ο Harvey (993, σελ. 6) δείχνει ότι το ARΜΑ(,) λαµβάνει τη µορφή της γενικής γραµµικής ανέλιξης της σχέσης () µε ψ =, ψ =φ+θ, και ψ k =φψk για k. Επιπλέον ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις 0

12 = ρ = + ρ ( φ) και = + ρ ( φ ) = ρ Εποµένως το διάστηµα εµπιστοσύνης στην () για το ARΜΑ(,) εξειδικεύεται ως 4 γ ρ zr ρ Kˆ ± z α ρ ρ ρ ρ, (4) n µετά την αντικατάσταση του φ από το λόγο ρ ρ.. 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ Για τα έτη 96-00, το ιάγραµµα παρουσιάζει τη διαχρονική εξέλιξη της υπό µελέτη περιβαλλοντικής µεταβλητής, X, που είναι η πυκνότητα των εκποµπών ιοξειδίου του Άνθρακα (CO, σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα. Για τον έλεγχο της στασιµότητας της σειράς, εφαρµόστηκαν έλεγχοι ADF, τα αποτελέσµατα των οποίων παρουσιάζονται στον Πίνακα. Έχοντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή την X και ως ερµηνευτικές, εκτός του σταθερού όρου, τη µεταβλητή X, τη µεταβλητή χρονικής τάσης,, και τις µεταβλητές χρονικών υστερήσεων διαφορών, εναλλακτικές εξισώσεις X j εκτιµήθηκαν για j=,..., 0. Η χρήση του κριτηρίου Schwarz έδειξε ότι στην εκτιµηθείσα εξίωση δεν πρέπει να χρησιµοποιηθούν µεταβλητές χρονικών υστερήσεων διαφορών. Χωρίς τη χρήση των µεταβλητών αυτών, η εκτιµηθείσα εξίσωση παρουσιάζεται στον Πίνακα ως εκτιµηθέν Υπόδειγµα. Παρατηρούµε όµως, ότι στο υπόδειγµα αυτό ο συντελεστής της µεταβλητής χρονικής τάσης είναι µη στατιστικά σηµαντικός σε επίπεδο 5%. Χωρίς τη µεταβλητή χρονικής τάσης, η νέα εκτιµηθείσα εξίσωση παρουσιάζεται επίσης στο Πίνακα ως εκτιµηθέν υπόδειγµα. Παρόλα αυτά, χρησιµοποιώντας είτε το εκτιµηθέν υπόδειγµα είτε το εκτιµηθέν υπόδειγµα, παρατηρούµε ότι σε επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας 5%, η

13 υπόθεση της µοναδιαίας ρίζας απορρίπτεται, γεγονός το οποίο µας οδηγεί να ισχυριστούµε ότι η υπό µελέτη σειρά είναι στάσιµη. ιάγραµµα : ιαχρονική εξέλιξη της πυκνότητας εκποµπών διοξειδίου του Άνθρακα (CO ) (σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα το διάστηµα , 4,0 3,8 X 3,6 3,4 3, 3, Πίνακας : Αποτελέσµατα στατιστικών ελέγχων Augmened Dickey Fuller (ADF) Cnan erm Time-Trend X - ADF Te Value ADF p-value Εκτιµηθέν Υπόδειγµα Cefficien: p-value: Εκτιµηθέν Υπόδειγµα Cefficien: p-value: Στα ιαγράµµατα και 3 παρουσιάζουµε αντίστοιχα τη συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης και τη συνάρτηση δειγµατικής µερικής αυτοσυσχέτισης. Οι µορφές των δειγµατικών αυτών συναρτήσεων είναι ενδεικτικές είτε για υπόδειγµα AR() είτε για ARMA(,). Με τη χρήση της µεθόδου OLS παρουσιάζουµε παρακάτω τα εκτιµηµένα δυο αυτά υποδείγµατα µε τα p-value να δίνονται στις παρενθέσεις: Εκτιµηµένο AR(): Y ˆ = Y + ˆε (0.00) (0.0000) σˆ ε = , Εκτιµηµένο ARMA(): Y ˆ = Y ε ˆ + ˆε (0.0000) (0.0000) (0.706) σˆ ε =

14 ιάγραµµα : Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ ιάγραµµα 3 Συνάρτηση δειγµατικής µερικής αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 arial Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Lag Για την περαιτέρω αξιολόγηση των εκτιµηθέντων AR() και ARMA(,), στα διαγράµµατα 4 και 5 παρουσιάζουµε τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων για τα δύο υποδείγµατα αντίστοιχα. Επιπλέον στον Πίνακα δίνουµε τα αποτελέσµατα και τις τιµές (p-value) των διαγνωστικών ελέγχων Jarque-Bera για κανονικότητα και ARCH-LM για αυτοπαλίνδροµη υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητα. Καταρχάς παρατηρούµε στα δύο διαγράµµατα ότι κανένας δειγµατικός συντελεστής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων δεν βρίσκεται εκτός των δυο γραµµών οριοθέτησης. Άρα τα σφάλµατα και στα δυο υποδείγµατα εµφανίζονται ως ασυσχέτιστα. Επιπλέον τα p-value των στατιστικών F και nr δίνουν ισχυρές ενδείξεις στο να αποφανθούµε ότι στα σφάλµατα των δυο υποδειγµάτων δεν υπάρχει αποτέλεσµα ARCH. Το πρόβληµα που ανακύπτει στα κατάλοιπα των εκτιµηθέντων δύο υποδειγµάτων αφορά τις τιµές του ελέγχου Jarque-Bera, τα οποία υποδεικνύουν ότι τα σφάλµατα δεν ακολουθούν τη κανονική κατανοµή. Παρόλα αυτά, εµείς θα παραβλέψουµε το πρόβληµα αυτό και θα συνεχίσουµε στην εκτίµηση των εκατοστηµορίων και των αντίστοιχων ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για την υπό εξέταση µεταβλητή όταν ο στοχαστικός νόµος που παράγει τις τιµές αυτής είναι είτε το AR() είτε το ARMA(,). 3

15 ιάγραµµα 4: Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων του εκτιµηµένου AR() ιάγραµµα 5: Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων του εκτιµηµένου ARMA(,) Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Lag Πίνακας : Αποτελέσµατα διαγνωστικών ελέγχων για τα κατάλοιπα των εκτιµηθέντων AR() και ARMA(,) Te Jarque-Bera ARCH LM () F-aiic n*r AR() Te aiic p-value (0.0000) (0.7743) (0.7684) ARMA(,) Te aiic p-value (0.0000) (0.55) (0.53) Για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου, στον Πίνακα 3 δίνουµε για τα δύο υποδείγµατα τις εκτιµήσεις των εκατοστηµορίων και τα κάτω και πάνω όρια των 95% ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, οι µορφές των οποίων δίνονται στις σχέσεις (3) και (4). Για την εκτίµηση του δειγµατοληπτικού σφάλµατος στις δύο αυτές µορφές των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, το γ αντικαταστάθηκε από την εκτίµησή του ˆγ, ενώ οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης ˆρ και ˆρ εκτιµήθηκαν βάσει του τύπου (Harvey, 993, σελ. ) n ( X X)( X X) = + ρˆ =, =,. n ( X X) = 4

16 Πίνακας 3: Εκτιµήσεις για τα εκατοστηµόρια της πυκνότητας των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα (CO, σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα. [ η αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου, Kˆ η εκτίµηση του εκατοστηµορίου, LL και UL τα πάνω και κάτω όρια του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης για το K, και REHL το ήµισυ της διαφοράς (UL LL) διαιρούµενης µε Kˆ ]. AR() ARMA(,) Kˆ LL UL REHL LL UL REHL Από την εξέταση των στοιχείων του Πίνακα 3 διαπιστώνουµε τα εξής: (α) Όπως αναµενόταν η αύξηση της αθροιστικής πιθανότητας οδηγεί σε µεγαλύτερες εκτιµήσεις για το εκατοστηµόριο K, και (β) για τα δύο υποδείγµατα, η σχετική ακρίβεια των διαστηµάτων εµπιστοσύνης µειώνεται (δηλαδή το πλάτος του διαστήµατος εµπιστοσύνης ως ποσοστό του K αυξάνεται) µε την αύξηση του. Κλείνοντας το τµήµα αυτό, είναι αξιοσηµείωτο να θέσουµε δυο ζητήµατα. Το πρώτο αφορά τη σύγκριση των διαστηµάτων εµπιστοσύνης µεταξύ του AR() και του ARMA(,). Μια τέτοια σύγκριση στο δείγµα των 50 ετών δεν είναι εφικτή για δυο λόγους. Ο πρώτος ˆ είναι ότι ο συντελεστής του ε στο εκτιµηθέν ARMA(,) δεν είναι όπως φαίνεται στατιστικά σηµαντικός βάσει µιας τιµής την οποία δεν γνωρίζουµε σε ποια τιµή θα διαµορφωνόταν (µικρή ή µεγάλη) εάν είχαµε ένα δείγµα αρκούντως µεγάλο. Ο δεύτερος λόγος είναι ο διαφορετικός εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης για τα δύο υποδείγµατα. Πιο συγκεκριµένα, χρησιµοποιώντας τις εκτιµηθείσες τιµές των φ και θ στον αντίστοιχο τύπο του θεωρητικού συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης του κάθε 5

17 υποδείγµατος θα παίρναµε για το AR() ρ ˆ = και για το ARMA(,) ρ ˆ = Το δεύτερο ζήτηµα αφορά την ερµηνεία του κάθε διαστήµατος εµπιστοσύνης για το διαφορετικό εκατοστηµόριο K. Η αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου αφορά για τη συγκεκριµένη σειρά ποσοστό ετών. Εποµένως για =0.80, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι εάν οι εξωτερικές συνθήκες διαµόρφωσης των τιµών της σειράς παραµείνουν οι ίδιες, στο 80% των ετών, µε πιθανότητα 95% η πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα θα κυµανθεί µεταξύ και σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου στην περίπτωση του AR() και µεταξύ και κιλών για το ARMA(,). 4. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΏΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στο τµήµα αυτό ελέγχουµε την εγκυρότητα των κατασκευασθέντων διαστηµάτων εµπιστοσύνης για τις πραγµατικές τιµές των εκατοστηµορίων της οριακής κατανοµής των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα, όταν ο στοχαστικός νόµος που παράγει τις τιµές της συγκεκριµένης µεταβλητής περιγράφεται είτε από το στάσιµο AR() είτε από το στάσιµο ARMA(,). Η διερεύνηση αυτή διενεργείται υπολογίζοντας τα παρακάτω δυο στατιστικά κριτήρια σε 0000 σειρές στάσιµων AR() και σε 0000 σειρές στάσιµων ARMA(,) οι οποίες παρήχθησαν µέσω προσωµοιώσεων Mne-Carl: (α) Κάλυψη (Cverage) που δείχνει το πραγµατικό επίπεδο εµπιστοσύνης που επιτυγχάνει σε πεπερασµένα δείγµατα το εκτιµηµένο ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης, και (β) Σχετικό Αναµενόµενο Ηµι-πλάτος του διαστήµατος (Relaive Expeced Half-Lengh, REHL). Ας σηµειωθεί επίσης ότι η γεννήτρια τυχαίων αριθµών που χρησιµοποιήθηκε καθώς και η µέθοδος παραγωγής τυχαίων τιµών από τη τυποποιηµένη κανονική κατανοµή περιγράφονται στον Kevrk (00). 6

18 Η επιλογή των παραµέτρων για τα υποδείγµατα AR() και ARMA(,) έγινε βάσει δυο αρχών: (α) Η οριακή κατανοµή της υπό µελέτη µεταβλητής να έχει τον ίδιο στάσιµο µέσο µ = 00 και την ίδια διακύµανση γ 400, και (β) ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ης τάξης = να έχει την ίδια τιµή και στα δυο υποδείγµατα. Με βάση τις δυο αυτές αρχές, οι τιµές των παραµέτρων για τα δυο υποδείγµα είναι οι εξής: ρ = 0.56 AR(): φ = 0. 56, = ARMA(,): φ = 0. 3, θ = 0. 4, = 60 σ ε σ ε Για την επίτευξη στασιµότητας σε κάθε µια από τις 0000 προσοµοιωµένες σειρές από το κάθε υπόδειγµα, η τιµή 0 X παρήχθη από τη στάσιµη οριακή κατανοµή ( 00,400) N, και επιπλέον για το ARMA(,) η αρχική τιµή ε 0 παρήχθη από την κατανοµή των σφαλµάτων N ( 0,60). Στη συνέχεια, η διερεύνηση της εγκυρότητας των εκτιµηθέντων ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, όπως αυτά δίνονται στις σχέσεις (3) και (4), διενεργήθηκε για διαφορετικούς συνδυασµούς µεγέθους δείγµατος και διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας,, του εκατοστηµορίου. Ειδικότερα, για κάθε µια από τις 0000 παραχθείσες σειρές από το κάθε υπόδειγµα, και για κάθε ένα συνδυασµό µεγέθους δείγµατος, n, και αθροιστικής πιθανότητας,, εκτιµήθηκαν το εκατοστηµόριο, το δειγµατοληπτικό σφάλµα του διαστήµατος εµπιστοσύνης, και τα όρια του διαστήµατος εµπιστοσύνης. Με βάση τις εκτιµήσεις αυτές, για κάθε ένα συνδυασµό n και, υπολογίσθηκαν η κάλυψη ως το ποσοστό των 0000 διαστηµάτων εµπιστοσύνης τα οποία περιείχαν την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου, και το REHL ως ο µέσος αριθµητικός του ηµι-πλάτους των 0000 διαστηµάτων εµπιστοσύνης διαιρούµενος µε την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου. Η διαίρεση του αναµενόµενου Ηµι-πλάτους του διαστήµατος µε την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου κρίνεται αναγκαία για τη διασφάλιση της 7

19 συγκρισιµότητας της ακρίβειας διαστηµάτων εµπιστοσύνης που κατασκευάζονται για διαφορετικές τιµές του. Και αυτό γιατί µε την αύξηση του, αυξάνεται και η τιµή του εκατοστηµορίου. Ένα πρόβληµα που ανέκυψε σε ορισµένες σειρές από το ARMA(,) ήταν ότι σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος η εκτίµηση της διακύµανσης του Kˆ ήταν αρνητική. Στο Πίνακα 4 δίνουµε τον αριθµό των σειρών αυτών για διαφορετικές τιµές του. Παρατηρούµε ότι ένας σηµαντικός αριθµός τέτοιων σειρών εµφανίζεται για πολύ χαµηλά µεγέθη δείγµατος της τάξεως των 5 και 0 παρατηρήσεων, ενώ ο αριθµός αυτός αρχίζει να γίνεται αµελητέος έως και µηδενικός για µεγέθη δείγµατος άνω των 30 παρατηρήσεων. Επιπλέον, για τα πολύ χαµηλά µεγέθη δείγµατος, ο αριθµός των σειρών αυτών αυξάνει όσο µετακινούµαστε στη τιµή =0.50 για την οποία λαµβάνουµε το µέσο αριθµητικό. Πίνακας 4: Αριθµός στάσιµων σειρών ARMA(,) για τις οποίες η ασυµπωτική διακύµανση του Kˆ εκτιµώµενη σε πεπερασµένα δείγµα είναι αρνητική. [Συνολικός αριθµός σειρών για στάσιµο ARMA(,) που παρήχθησαν µέσω προσοµοιώσεων Mne-Carl ήταν 0000]. Μέγεθος είγµατος ρ =0.56 n=5 n=0 n=0 n=30 n=40 n=50 n=60 n=80 n=00 ARMA(,) = = = = = = = = Στη συνέχεια για τα δύο υποδείγµατα AR() και ARMA(,), και για ονοµαστικό επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, στον Πίνακα 5 δίνουµε τις τιµές της κάλυψης ενώ στον Πίνακα 6 τις τιµές του REHL. Για το ARMA(,), σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος, οι τιµές των δύο αυτών στατιστικών κριτηρίων υπολογίσθηκαν ως µέσοι όροι των αριθµών των σειρών για τις οποίες η εκτιµηθείσα διακύµανση του Kˆ ήταν θετική. Από τα στοιχεία του Πίνακα 5 διαπιστώνουµε ότι σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος η κάλυψη είναι σηµαντικά µικρότερη του 8

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 17 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2004), σελ. 399-408 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ Γεωργία Στεφάνου και Τάσος Χριστοφίδης Τµήµα Μαθηµατικών και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS)

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (OULATION ROJECTIONS) Η κύρια πηγή στατιστικών δεδοµένων που αφορούν το µέγεθος και τη σύνθεση του πληθυσµού είναι η απογραφή. Η απογραφή πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση

3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3 Ετεροσκεδαστικότητα και Αυτοσυσχέτιση 3. Αιτίες που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα Η ετεροσκεδαστικότητα οφείλεται σε διάφορες αιτίες. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι: Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή 2013 [Πρόλογος] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 2012-2013 Μ.Επ. ΟΕ0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Μαρί-Νοέλ Ντυκέν, Επ. Καθηγητρία

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΣΟΔΩΝ: ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

ΕΠΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΣΟΔΩΝ: ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ. 109118 ΕΠΟΧΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΣΟΔΩΝ: ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Νικόλαος Δριτσάκης Τμήμα Εφαρμοσμένης

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων

Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων Συλλογή,, αποθήκευση, ανανέωση και παρουσίαση στατιστικών δεδοµένων 1. Αναζήτηση των κατάλληλων δεδοµένων. 2. Έλεγχος µεταβλητών και κωδικών για συµβατότητα. 3. Αποθήκευση σε ηλεκτρονική µορφή (αρχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ-ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ CRAMER-RAO ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑ - ΑΠΟ ΟΤΙΚΟΙ ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Θεώρηµα Cramer-Rao Θεώρηµα Cramer-Rao Εστω X = (X 1, X,...,X n ) ένα δείγµα µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f X

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Σάββας Παπαδόπουλος metrika@otenet.gr http://www.riskmetrica.wordpress.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ. Σάββας Παπαδόπουλος metrika@otenet.gr http://www.riskmetrica.wordpress. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Η Ύλη του µαθήµατος είναι στις διαφάνειες (slides) τα οποία καλύφθηκαν στην τάξη και βρίσκονται στην ιστοσελίδα: ανεξάρτητα µε το πιο βιβλίο που χρησιµοποιείται. Μερικά από τα θέµατα καλύπτονται

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή

Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r)

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) 5 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) Περίληψη Σκοπός του κεφαλαίου είναι η εφαρμογή της ανάλυσης συσχέτισης (Pearson r) μέσω του PASW. H ανάλυση συσχέτισης Pearson r χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα