Confidence intervals for percentiles in stationary ARMA processes: An application using environmental data

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Confidence intervals for percentiles in stationary ARMA processes: An application using environmental data"

Transcript

1 MRA Munich ernal ReEc Archive Cnfidence inerval fr percenile in ainary ARMA prcee: An applicain uing envirnmenal daa Gerge Halk and Ilia Kevrk Deparmen f Ecnmic, Univeriy f Thealy May 04 Online a hp://mpra.ub.uni-muenchen.de/5634/ MRA aper N. 5634, ped. May 04 3:9 UTC

2 Cnfidence inerval fr percenile in ainary ARMA prcee: An applicain uing envirnmenal daa Gerge E. Halk & Ilia S. Kevrk Labrary f Operain Reearch, Deparmen f Ecnmic, Schl f Humaniie, Univeriy f Thealy, 43 Krai Sree, Vl 38333, Greece. Abrac ercenile eimain play an impran rle a he age f making deciin in many cienific field. Hwever, he up--nw reearch n develping eimain mehd fr percenile ha been baed n he aumpin ha he daa in he ample are frmed independenly. In he curren paper we uppre hi rericive aumpin by auming ha he value f he variable under udy are frmed accrding he general linear prce. Afer deriving he aympic diribuin f he Maximum Likelihd eimar fr he 00 h percenile, we give he general frm f he crrepnding aympic cnfidence inerval. Then, he perfrmance f he eimaed aympic cnfidence inerval i evaluaed in finie ample frm he ainary AR() and ARMA(,) hrugh Mne-Carl imulain by cmpuing w aiical crieria: (a) he acual cnfidence level, (b) he expeced halflengh a percenage f he rue value f he percenile. Simulain reul hw ha he validiy f he eimaed aympic cnfidence inerval depend upn he ample ize, he ize f he rder hereical aucrrelain cefficien, and he rue cumulaive prbabiliy relaed he percenile. Finally, an applicain example i given uing he erie f he CO annual emiin ineniy in Greece (kg per kg f il equivalen energy ue) fr he perid Cnfidence inerval fr percenile are cnruced n hi erie and dicuin abu he validiy f he eimain prcedure fllw accrding he finding frm he imulain experimen regarding he value f he afremenined crieria. Keywrd: ercenile; envirnmenal daa; ime erie mdel; cnfidence inerval. JEL Claificain Cde: C3; C; C53; Q50; Q54. Wrk in hi udy ha received funding frm he "GHGMETI" prgram, which ake place wihin he SYNERGASIA 0 acin and i uppred by he Eurpean Reginal Develpmen fund and Greek Nainal Fund, prjec number SYN_8_8. The ex repreen he auhr view. Miniry f Educain and Religiu Affair GSRT - Managemen and Implemenain Agency fr RTD and Innvain Aciviie O.. Cmpeiivene and Enrepreneurhip(EAN ΙΙ), RO Macednia - Thrace, RO Cree and Aegean Iland, RO Thealy - Mainland Greece - Epiru, RO Aica

3 ιαστήµατα εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια σε στάσιµες ARMA διαδικασίες: Μία εµπειρική εφαρµογή σε περιβαλλοντικά δεδοµένα Ηλίας Κεβόρκ και Γεώργιος Χάλκος Εργαστήριο Επιχειρησιακών Ερευνών Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών, Σχολής Κοινωνικών και Ανθρωπιστικών Επιστηµών, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Κοραή 43, Βόλος Περίληψη Η εκτίµηση εκατοστηµορίων παίζει πλέον σηµαντικό ρόλο στα διάφορα στάδια λήψης αποφάσεων σε πολλούς επιστηµονικούς τοµείς. Όµως η µέχρι τώρα έρευνα ανάπτυξης µεθόδων εκτίµησης των εκατοστηµορίων βασίστηκε στην υπόθεση ότι οι παρατηρήσεις στο δείγµα διαµορφώνονται ανεξάρτητα µεταξύ τους. Στην παρούσα εργασία καταργούµε την υπόθεση αυτή υποθέτοντας ότι οι τιµές της υπό µελέτη µεταβλητής σχηµατίζονται µε βάση την γενική γραµµική στοχαστική ανέλιξη. Εξάγοντας πρώτα την ασυµπτωτική κατανοµή του εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας για το 00 h εκατοστηµόριο, δίνουµε στη συνέχεια τη γενική µορφή του αντίστοιχου ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης. Η εγκυρότητα του διαστήµατος αυτού όταν εκτιµάται σε στάσιµες σειρές AR() και ARMA(,) εξετάζεται µέσω χρήσης προσοµοιώσεων Mne-Carl και υπολογισµού δυο στατιστικών κριτηρίων: (α) του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης, και (β) του αναµενόµενου ηµι-πλάτους του διαστήµατος ως ποσοστό της πραγµατικής τιµής του εκατοστηµορίου. Τα αποτελέσµατα των πειραµάτων προσοµοίωσης δείχνουν ότι η εγκυρότητα του εκτιµηθέντος ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης εξαρτάται από το µέγεθος του δείγµατος, το µέγεθος του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ης τάξης και την τιµή της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου. Τέλος διενεργείται εφαρµογή της µεθοδολογίας εκτίµησης του ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης στη σειρά πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα στην Ελλάδα για τα έτη Στην εφαρµογή αυτή σχολιάζεται η εγκυρότητα των εκτιµηθέντων διαστηµάτων εµπιστοσύνης βάσει των ευρηµάτων των πειραµάτων προσοµοίωσης αναφορικά µε τις τιµές των δύο παραπάνω στατιστικών κριτηρίων. Λέξεις Κλειδιά: Εκατοστηµόρια, περιβαλλοντικά δεδοµένα, υποδείγµατα χρονικών σειρών, διαστήµατα εµπιστοσύνης. Κωδικοί JEL: C3; C; C53; Q50; Q54. H µελέτη αυτή έχει λάβει χρηµατοδότηση από το πρόγραµµα «GHGMETI", στα πλαίσια του έργου δράσης «ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ 0» µε κωδικό αριθµό έργου SYN_8_8 και υποστηρίζεται από το Ευρωπαϊκό Ταµείο Περιφερειακής Ανάπτυξης και από Ελληνικούς Εθνικούς Πόρους. Το κείµενο εκφράζει τις απόψεις των συγγραφέων.

4 . ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια αποτελεί πλέον θεµατική έρευνας µε αυξανόµενο ενδιαφέρον. Ήδη έχει αναγνωρισθεί στη διεθνή βιβλιογραφία η αναγκαιότητα της εκτίµησης εκατοστηµορίων σε σειρές µεγεθών που αφορούν διάφορες κοινωνικοοικονοµικές µεταβλητές όπως το οικογενειακό εισόδηµα, η εξέλιξη του βάρους και τους ύψους των νεογέννητων παιδιών κλπ. Επιπλέον, οι εκτιµήσεις των εκατοστηµορίων παίζουν σηµαντικό ρόλο σε αποφάσεις που πρέπει να ληφθούν στην άσκηση επιχειρηµατικής πολιτικής. Ως παραδείγµατα αναφέρουµε τον προσδιορισµό των ασφαλίστρων στο κλάδο ασφαλειών, τη µέτρηση της εγκυρότητας σε θέµατα µηχανικής, τον προσδιορισµό της ποσότητας παραγγελίας ή του σηµείου αναπαραγγελίας σε υποδείγµατα αποθεµατικής πολιτικής newvendr και υποδείγµατα συνεχούς επιθεώρησης, και τον προσδιορισµό της συσωρευτικής ικανότητας (aimilaive capaciy) σε υποδείγµατα διαχείρισης του περιβάλλοντος. Ειδικότερα, στον τοµέα του περιβάλλοντος, είναι πολύ σηµαντικό να αναλυθούν οι επιπτώσεις των διαφόρων περιβαλλοντικών πολιτικών σε ξεχωριστά εκατοστηµόρια της οριακής κατανοµής της υπό εξέταση περιβαλλοντικής µεταβλητής αποφεύγοντας τα προβλήµατα που ανακύπτουν από τη χρήση του µέσου αριθµητικού ως µοναδικής στατιστικής παραµέτρου. Ένας σηµαντικός αριθµός εργασιών έχει ήδη εµφανιστεί στη διεθνή βιβλιογραφία παρουσιάζοντας διαδικασίες στατιστικών ελέγχων και µεθόδους κατασκευής διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια όταν η πληθυσµιακή κατανοµή για την υπό µελέτη µεταβλητή είναι άγνωστη. Η πιο σύνηθης προσέγγιση είναι η θεµελίωση απαραµετρικών (diribuin-free) διαστηµάτων εµπιστοσύνης χρησιµοποιώντας τη σχέση µεταξύ εκατοστηµορίων και διάταξης (rdering) και κατάταξης (ranking) των παρατηρήσεων (Gibbn and Chakrabri, 003. Chakrabri and Li, 007). Από την άλλη πλευρά, η µέθοδος Brapping αποτελεί σήµερα µια σηµαντική εναλλακτική προσέγγιση ανάπτυξης 3

5 απαραµετρικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια εκµεταλευόµενοι τη δύναµη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και τις δυνατότητες που δίνουν τα διάφορα εµπορικά υπολογιστικά πακέτα Η/Υ (Efrn and Tibhirani, 993). Επίσης, µια άλλη προσέγγιση εξαγωγής εκτιµητών για εκατοστηµόρια βασίζεται στην αριστοποίηση µιας συνάρτησης απωλειών απόλυτων σφαλµάτων (ablue errr l funcin) χρησιµοποιώντας απαραµετρικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας µε το εκατοστηµόριο να εκφράζεται ως το άθροισµα µιας παραµέτρου θέσης και το γινόµενο µιας σταθεράς επί µια παράµετρο κλίµακας (Keaing 983; Keaing e al., 00). Αντίθετα µε τα παραπάνω, η εκτίµηση διαστηµάτων επιστοσύνης για εκατοστηµόρια υπό το πλαίσιο µιας παραµετρικής προσέγγισης έχει λάβει µέχρι τώρα µικρό ερευνητικό ενδιαφέρον. Πιο συγκεκριµένα, ένας µικρός αριθµός εργασιών έχει παρουσιαστεί στη διεθνή βιβλιογραφία υποθέτωντας ότι η κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση. Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της αποτελεσµατικότητας της εγγύτητας κατά iman (iman-clene efficiency) ι Dyer e al. (977) έκαναν σύγκριση διαφόρων εκτιµητών για εκατοστηµόρια [µεταξύ των εκτιµητών που εξεταστηκαν ήταν οι Maximum Likelihd (ML), Minimum Variance Unbiaed Eimar (MVUE), και Be Ιnvarian Εimar (ΒΙΕ]. Οι Bland and Alman (999) εξήγαγαν ένα συµµετρικό διάστηµα εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια χρησιµοποιώντας ιδιότητες των κατανοµών δειγµατοληψίας του δειγµατικού µέσου και της δειγµατικής διακύµανσης. Στην έκταση της γνώσης µας επί του θέµατος, οι Chakrabri and Li (007) ήταν οι πρώτοι που διενήργησαν συγκρίσεις της εγκυρότητας µεταξύ διαφόρων µεθόδων εκτίµησης διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια, όταν η κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση. Εκτός των διαστηµάτων εµπιστοσύνης τα οποία συνδέονται µε τους εκτιµητές ML και MVUE, στην µελέτη αυτή συµπεριλήφθηκαν το διαστήµα εµπιστοσύνης βασιζόµενο στον προσηµικό 4

6 έλεγχο και το διάστηµα πρόβλεψης της εκ των υστέρων Μπευνζιανής (Bayeian) ανάλυσης. Ως κριτήρια για τις συγκρίσεις αυτές, οι συγγραφείς χρησιµοποίησαν τις τιµές του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης (καλούµενο και ως κάλυψη) και του αναµενόµενου πλάτους του διαστήµατος τις οποίες η κάθε µέθοδος επιτύγχανε. Βάσει των κριτηρίων αυτών οι συγγραφείς θεωρούν ως καλή επιλογή τη χρήση των διαστηµάτων εµπιστοσύνης πεπερασµένων δειγµάτων που συνδέονται µε τους εκτιµητές ML και MVUE, όταν για µεν το πρώτο εκτιµητή χρησιµοποιούνται οι κριτικές τιµές της uden-, ενώ για τον εκτιµητή ML οι κριτικές τιµές της nn-cenral uden-. Με τη κατανοµή της υπό εξέταση µεταβλητής να είναι η κανονική µε άγνωστο µέσο και άγνωστη διακύµανση, οι Dnner και Zu (00) παρουσίασαν µια µέθοδο κατασκευής ασυµµετρικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης χρησιµοποιώντας τη µέθοδο ανάκτησης εκτιµήσεων διακύµανσης (Variance Eimae Recvery). Επίσης στα πλαίσια εκτίµησης της άριστης ποσότητας παραγγελίας σε υποδείγµατα αποθεµατικής πολιτικής newvendr ο Kevrk (00) εξήγαγε το ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης του εκτιµητή ML. Τέλος, θεωρώντας ένα διαχρονικό δείγµα ζήτησης µε την οριακή κατανοµή να είναι η εκθετική, οι Halk και Kevrk (03a) εξήγαγαν εκτιµητή ο οποίος διασφαλίζει ότι η πιθανότητα η επόµενη χρονικά παρατήρηση να είναι µικρότερη της άριστης ποσότητας παραγγελίας να ισούται µε την αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου. Η βασική όµως υπόθεση που έγινε σε όλες τις προαναφερθείσες εργασίες ήταν ότι οι παρατηρήσεις στο δείγµα διαµορφώνονται ανεξάρτητα µεταξύ τους. Παρόλα αυτά µπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις µεταβλητών για τις οποίες η εξέλιξη των τιµών τους σε έναν συγκεκριµένο χρονικό ορίζοντα να εµφανίζει αυτοσυσχέτιση. Μια τέτοια µεταβλητή παρουσιάζουµε στην εργασία αυτή από το χώρο της Οικονοµικής του Περιβάλλοντος που είναι «η πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα (CO σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό 5

7 πετρελαίου) στην Ελλάδα». Έχοντας διαθέσιµες τις τιµές της µεταβλητής αυτής για τα έτη 96-00, η εφαρµογή κατάλληλων στατιστικών ελέγχων µας οδηγεί στον ισχυρισµό ότι ο στοχαστικός νόµος γέννησης των τιµών της µεταβλητής αυτής είναι ή το στάσιµο AR() ή το στάσιµο ARMA(,). Με βάση τα ευρήµατα αυτά, στην εργασία αυτή πραγµατευόµαστε για πρώτη φορά θέµατα εκτιµητικής των εκατοστηµορίων όταν ο στοχαστικός νόµος γέννησης των τιµών της µεταβλητής είναι η γενική γραµµική στοχαστική ανέλιξη, ειδικές περιπτώσεις της οποίας αποτελούν τα στάσιµα AR() και ARMA(,). Πιο συγκεκριµένα, για την εκτίµηση του 00 h εκατοστηµορίου χρησιµοποιούµε τον εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας (Dyer e al., 977) ο οποίος αποτελεί γραµµική συνάρτηση του δειγµατικού µέσου και του εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας της δειγµατικής διακύµανσης. Για τον εκτιµητή µεγίστης πιθανοφάνειας (ML) του 00 h εκατοστηµορίου εξάγουµε την ασυµπτωτική του κατανοµή από την οποία λαµβάνουµε το αντίστοιχο ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης. Στη συνέχεια, για την εξέταση της εγκυρότητας της εκτίµησης του διαστήµατος αυτού σε πεπερασµένα δείγµατα, χρησιµοποιούµε στάσιµες σειρές από το AR() και ARMA(,) τις οποίες παράγουµε µέσω προσοµοιώσεων Mne- Carl. Χρησιµοποιώντας τις δηµιουργηµένες αυτές σειρές, η µελέτη της εγκυρότητας διενεργείται υπολογίζοντας για διαφορετικούς συνδυασµούς µεγέθους δείγµατος και αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου τις τιµές δυο στατιστικών κριτηρίων: (α) του πραγµατικού επιπέδου εµπιστοσύνης, και (β) του αναµενόµενου ηµι-πλάτους του διαστήµατος διαρούµενου µε το πραγµατικό µέγεθος του εκατοστηµορίου. Από τις τιµές των δύο αυτών στατιστικών κριτηρίων διαπιστώνουµε ότι η εγκυρότητα του εκτιµηθέντος ασυµπτωτικού διαστήµατος σε πεπερασµένα δείγµατα εξαρτάται από το µέγεθος του Πηγή των δεδοµένων η Wrld Bank (hp://daa.wrldbank.rg/) 6

8 δείγµατος, από τη µορφή του στοχαστικού υποδείγµατος, AR() ή ARMA(,), που γεννά τις τιµές της µεταβλητής όταν τα δύο αυτά υποδείγµατα έχουν τον ίδιο συντελεστή αυτιοσυσχέτισης ης τάξης, και από την αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου. Η εργασία αυτή κλείνει µε εφαρµογή της µεθοδολογίας εκτίµησης των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια στην διαθέσιµη σειρά από το χώρο της Οικονοµικής του Περιβάλλοντος. Ειδικότερα, εκτιµώντας τα διαστήµατα αυτά για εκατοστηµόρια που αναφέρονται στην πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα στην Ελλάδα την περίοδο για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας, σχολιάζουµε την εγκυρότητα αυτών βάσει των ευρηµάτων που αποκτήθηκαν από τη διεξαγωγή των προσοµοιώσεων Mne-Carl αναφορικά µε τις υπολογισθείσες τιµές των δυο παραπάνω στατιστικών κριτηρίων αξιολόγησης. Με βάση τα παραπάνω, το υπόλοιπο της εργασίας αυτής δοµείται ως εξής. Στο επόµενο τµήµα εξάγουµε την ασυµπτωτική κατανοµή του εκτιµήτη ML του εκατοστηµορίου και δίνουµε τη γενική µορφή του αντίστοιχου ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης. Εξειδικεύσεις της γενικής αυτής µορφής εξάγονται για τα στάσιµα υποδείγµατα AR() και ARMA(,). Στο τρίτο τµήµα αιτιολογούµε µέσω εφαρµογής κατάλληλων στατιστικών ελέγχων ότι η σειρά που αναφέρεται στην πυκνότητα των εκποµπών ιοξειδίου του Άνθρακα στην Ελλάδα την περίοδο έχει ως στοχαστικό νόµο παραγωγής των τιµών της ή το στάσιµο AR() ή το στάσιµο ARMA(,). Έχοντας διαθέσιµες τις εξειδικευµένες µορφές των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης εκατοστηµορίων για τα δύο αυτά στάσιµα υποδείγµατα, στο ίδιο Τµήµα εκτιµούµε τα ασυµπτωτικά διαστήµατα για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου. Ο έλεγχος της εγκυρότητας των εκτιµηθέντων αυτών διαστηµάτων διενεργείται µέσω προσοµοιώσεων Mne-Carl στο τέταρτο Τµήµα. Τέλος στο πέµπτο και τελευταίο Τµήµα της εργασίας συνοψίζουµε τα πιο σηµαντικά ευρήµατα της µελέτης αυτής. 7

9 . ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΑ ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Έστω ότι η διαχρονική εξέλιξη της υπό µελέτη µεταβλητής περιγράφεται από τη γενική γραµµική ανέλιξη, = 0 X =µ+ ψ ε, () όπου =0 ψ < j, και { } ε ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές κατανεµόµενες ως ( 0, ) N σ. Με την οριακή κατανοµή της { X } να είναι η ( 0, ) N γ, το 00 h εκατοστηµόριό της θα δίνεται από τη σχέση K = µ+ Z γ, όπου Z είναι η τιµή της αντίστροφης συνάρτησης αθροιστικής κατανοµής της ~ N( 0,) Z υπολογιζόµενη στην αθροιστική πιθανότητα. Για την εκτίµηση του εκατοστηµορίου K θα χρησιµοποιηθεί ο «µεροληπτικός» = n εκτιµητής µεγίστης πιθανοφάνειας Kˆ ˆ = X+ Z γ, όπου X= X n και γ ˆ = = n ( X X) n. Τα αποτελέσµατα των παρακάτω δυο ληµµάτων είναι απαραίτητα στην ανάλυση που θα ακολουθήσει για την εξαγωγή του ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης για την πραγµατική τιµή K. Λήµµα : Εάν X =µ+ ψε, όπου ψ < = 0 µεταβλητές κατανεµόµενες ως N( 0, ) =0 σ, τότε: j, µε { } ε να είναι ανεξάρτητες τυχαίες (α) n ( X µ ) ασυµπτωτικά ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και διακύµανση γ + = ρ, και (β) n( γ ) ˆ γ ασυµπτωτικά ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέσο 0 και + = διακυµάνση γ ρ, 8

10 όπου ρ είναι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης h τάξης. Απόδειξη: Βλέπε στο Παράρτηµα. Λήµµα : Εάν X =µ+ ψε, όπου ψ < = 0 =0 µεταβλητές κατανεµόµενες ως N( 0, ) j, µε { } ε να είναι ανεξάρτητες τυχαίες σ, τότε για οποιοδήποτε µέγεθος δείγµατος η συνδιακύµανση των X n and ˆγ είναι µηδέν. Απόδειξη: Βλέπε απόδειξη Πρότασης στο Παράρτηµα των Halk and Kevk (03b). Βάσει των αποτελεσµάτων των δυο παραπάνω ληµµάτων, το διάνυσµα [ X µ γˆ γˆ ] n ασυµπτωτικά ακολουθεί τη διµεταβλητή κατανοµή µε µέσο 0 και µήτρα διακύµανσης-συνδιακύµανσης γ Σ = + ρ = 0 γ 0 + =. οθέντος του, ισχύει επίσης ότι ρ n 0.5 ( plimγˆ ) =µ+ Z γ K p limkˆ = plimx + Z =. Εποµένως η εφαρµογή της µεθόδου έλτα (Knigh, 000, σελ. 49) οδηγεί στην ασυµπτωτική κατανοµή του στατιστικού ( Kˆ ) n, η οποία είναι η κανονική µε µέσο µηδέν και διακύµανση L Σ L όπου K Kˆ L = X n Kˆ γˆ = Xn= µ Xn= µ γˆ = γ γˆ = γ Z γ και + + Z Σ L=γ ρ+ ρ = k= L. Εποµένως το ασυµπτωτικό ( α) 00% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 00 h εκατοστηµόριο δίνεται από τον τύπο 9

11 + + γ Z Kˆ ± zα ρ+ ρ. () n = k= Το διάστηµα εµπιστοσύνης της () µπορεί να εξειδικευθεί για εναλλακτικά στάσιµα ΑRMA υποδείγµατα. Παρακάτω δίνουµε δύο χαρακτηριστικά παραδείγµατα. Παράδειγµα :Το στάσιµο αυτοπαλίνδρο σχήµα ου Βαθµού, AR(). =, µε φ <, Το υπόδειγµα αυτό έχει τη γενική µορφή X µ+φ( X µ ) + ε γ ( ) =σ φ, και k ρ k = φ (k=0,,, ). Θεωρώντας ότι η ανέλιξη έχει ξεκινήσει στο µακρυνό παρελθόν, και αντικαθιστώντας διαδοχικά για Y, Y, Y 3,, το AR() λαµβάνει τη µορφή της γενικής γραµµικής ανέλιξης της σχέσης () µε ισχύει ότι φ +φ φ +φ = + = και = + =. φ φ ρ φ φ = ρ = ψ j j = φ. Επιπλέον Εποµένως το διάστηµα εµπιστοσύνης στην () για το AR() εξειδικεύεται ως γ +ρ zr +ρ Kˆ ± z α + ρ ρ, (3) n καθώς ισχύει ρ = φ. Παράδειγµα : Το στάσιµο και αντιστρέψιµο σχήµα ARΜΑ(,). =, µε φ <, Το υπόδειγµα αυτό έχει τη γενική µορφή X µ+φ( X µ ) +ε+ θε θ <, +θ + φθ φ γ = σ, ( +φθ)( φ+θ) k ρ =, και ρ k =φ ρ +θ + φθ για k. Θεωρώντας ότι η ανέλιξη έχει ξεκινήσει στο µακρυνό παρελθόν, ο Harvey (993, σελ. 6) δείχνει ότι το ARΜΑ(,) λαµβάνει τη µορφή της γενικής γραµµικής ανέλιξης της σχέσης () µε ψ =, ψ =φ+θ, και ψ k =φψk για k. Επιπλέον ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις 0

12 = ρ = + ρ ( φ) και = + ρ ( φ ) = ρ Εποµένως το διάστηµα εµπιστοσύνης στην () για το ARΜΑ(,) εξειδικεύεται ως 4 γ ρ zr ρ Kˆ ± z α ρ ρ ρ ρ, (4) n µετά την αντικατάσταση του φ από το λόγο ρ ρ.. 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ Για τα έτη 96-00, το ιάγραµµα παρουσιάζει τη διαχρονική εξέλιξη της υπό µελέτη περιβαλλοντικής µεταβλητής, X, που είναι η πυκνότητα των εκποµπών ιοξειδίου του Άνθρακα (CO, σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα. Για τον έλεγχο της στασιµότητας της σειράς, εφαρµόστηκαν έλεγχοι ADF, τα αποτελέσµατα των οποίων παρουσιάζονται στον Πίνακα. Έχοντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή την X και ως ερµηνευτικές, εκτός του σταθερού όρου, τη µεταβλητή X, τη µεταβλητή χρονικής τάσης,, και τις µεταβλητές χρονικών υστερήσεων διαφορών, εναλλακτικές εξισώσεις X j εκτιµήθηκαν για j=,..., 0. Η χρήση του κριτηρίου Schwarz έδειξε ότι στην εκτιµηθείσα εξίωση δεν πρέπει να χρησιµοποιηθούν µεταβλητές χρονικών υστερήσεων διαφορών. Χωρίς τη χρήση των µεταβλητών αυτών, η εκτιµηθείσα εξίσωση παρουσιάζεται στον Πίνακα ως εκτιµηθέν Υπόδειγµα. Παρατηρούµε όµως, ότι στο υπόδειγµα αυτό ο συντελεστής της µεταβλητής χρονικής τάσης είναι µη στατιστικά σηµαντικός σε επίπεδο 5%. Χωρίς τη µεταβλητή χρονικής τάσης, η νέα εκτιµηθείσα εξίσωση παρουσιάζεται επίσης στο Πίνακα ως εκτιµηθέν υπόδειγµα. Παρόλα αυτά, χρησιµοποιώντας είτε το εκτιµηθέν υπόδειγµα είτε το εκτιµηθέν υπόδειγµα, παρατηρούµε ότι σε επίπεδο στατιστικής σηµαντικότητας 5%, η

13 υπόθεση της µοναδιαίας ρίζας απορρίπτεται, γεγονός το οποίο µας οδηγεί να ισχυριστούµε ότι η υπό µελέτη σειρά είναι στάσιµη. ιάγραµµα : ιαχρονική εξέλιξη της πυκνότητας εκποµπών διοξειδίου του Άνθρακα (CO ) (σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα το διάστηµα , 4,0 3,8 X 3,6 3,4 3, 3, Πίνακας : Αποτελέσµατα στατιστικών ελέγχων Augmened Dickey Fuller (ADF) Cnan erm Time-Trend X - ADF Te Value ADF p-value Εκτιµηθέν Υπόδειγµα Cefficien: p-value: Εκτιµηθέν Υπόδειγµα Cefficien: p-value: Στα ιαγράµµατα και 3 παρουσιάζουµε αντίστοιχα τη συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης και τη συνάρτηση δειγµατικής µερικής αυτοσυσχέτισης. Οι µορφές των δειγµατικών αυτών συναρτήσεων είναι ενδεικτικές είτε για υπόδειγµα AR() είτε για ARMA(,). Με τη χρήση της µεθόδου OLS παρουσιάζουµε παρακάτω τα εκτιµηµένα δυο αυτά υποδείγµατα µε τα p-value να δίνονται στις παρενθέσεις: Εκτιµηµένο AR(): Y ˆ = Y + ˆε (0.00) (0.0000) σˆ ε = , Εκτιµηµένο ARMA(): Y ˆ = Y ε ˆ + ˆε (0.0000) (0.0000) (0.706) σˆ ε =

14 ιάγραµµα : Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ ιάγραµµα 3 Συνάρτηση δειγµατικής µερικής αυτοσυσχέτισης της µεταβλητής Χ Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 arial Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Lag Για την περαιτέρω αξιολόγηση των εκτιµηθέντων AR() και ARMA(,), στα διαγράµµατα 4 και 5 παρουσιάζουµε τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων για τα δύο υποδείγµατα αντίστοιχα. Επιπλέον στον Πίνακα δίνουµε τα αποτελέσµατα και τις τιµές (p-value) των διαγνωστικών ελέγχων Jarque-Bera για κανονικότητα και ARCH-LM για αυτοπαλίνδροµη υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητα. Καταρχάς παρατηρούµε στα δύο διαγράµµατα ότι κανένας δειγµατικός συντελεστής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων δεν βρίσκεται εκτός των δυο γραµµών οριοθέτησης. Άρα τα σφάλµατα και στα δυο υποδείγµατα εµφανίζονται ως ασυσχέτιστα. Επιπλέον τα p-value των στατιστικών F και nr δίνουν ισχυρές ενδείξεις στο να αποφανθούµε ότι στα σφάλµατα των δυο υποδειγµάτων δεν υπάρχει αποτέλεσµα ARCH. Το πρόβληµα που ανακύπτει στα κατάλοιπα των εκτιµηθέντων δύο υποδειγµάτων αφορά τις τιµές του ελέγχου Jarque-Bera, τα οποία υποδεικνύουν ότι τα σφάλµατα δεν ακολουθούν τη κανονική κατανοµή. Παρόλα αυτά, εµείς θα παραβλέψουµε το πρόβληµα αυτό και θα συνεχίσουµε στην εκτίµηση των εκατοστηµορίων και των αντίστοιχων ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για την υπό εξέταση µεταβλητή όταν ο στοχαστικός νόµος που παράγει τις τιµές αυτής είναι είτε το AR() είτε το ARMA(,). 3

15 ιάγραµµα 4: Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων του εκτιµηµένου AR() ιάγραµµα 5: Συνάρτηση δειγµατικής αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων του εκτιµηµένου ARMA(,) Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 Aucrrelain,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Lag Πίνακας : Αποτελέσµατα διαγνωστικών ελέγχων για τα κατάλοιπα των εκτιµηθέντων AR() και ARMA(,) Te Jarque-Bera ARCH LM () F-aiic n*r AR() Te aiic p-value (0.0000) (0.7743) (0.7684) ARMA(,) Te aiic p-value (0.0000) (0.55) (0.53) Για διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας του εκατοστηµορίου, στον Πίνακα 3 δίνουµε για τα δύο υποδείγµατα τις εκτιµήσεις των εκατοστηµορίων και τα κάτω και πάνω όρια των 95% ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, οι µορφές των οποίων δίνονται στις σχέσεις (3) και (4). Για την εκτίµηση του δειγµατοληπτικού σφάλµατος στις δύο αυτές µορφές των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, το γ αντικαταστάθηκε από την εκτίµησή του ˆγ, ενώ οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης ˆρ και ˆρ εκτιµήθηκαν βάσει του τύπου (Harvey, 993, σελ. ) n ( X X)( X X) = + ρˆ =, =,. n ( X X) = 4

16 Πίνακας 3: Εκτιµήσεις για τα εκατοστηµόρια της πυκνότητας των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα (CO, σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου) στην Ελλάδα. [ η αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου, Kˆ η εκτίµηση του εκατοστηµορίου, LL και UL τα πάνω και κάτω όρια του 95% διαστήµατος εµπιστοσύνης για το K, και REHL το ήµισυ της διαφοράς (UL LL) διαιρούµενης µε Kˆ ]. AR() ARMA(,) Kˆ LL UL REHL LL UL REHL Από την εξέταση των στοιχείων του Πίνακα 3 διαπιστώνουµε τα εξής: (α) Όπως αναµενόταν η αύξηση της αθροιστικής πιθανότητας οδηγεί σε µεγαλύτερες εκτιµήσεις για το εκατοστηµόριο K, και (β) για τα δύο υποδείγµατα, η σχετική ακρίβεια των διαστηµάτων εµπιστοσύνης µειώνεται (δηλαδή το πλάτος του διαστήµατος εµπιστοσύνης ως ποσοστό του K αυξάνεται) µε την αύξηση του. Κλείνοντας το τµήµα αυτό, είναι αξιοσηµείωτο να θέσουµε δυο ζητήµατα. Το πρώτο αφορά τη σύγκριση των διαστηµάτων εµπιστοσύνης µεταξύ του AR() και του ARMA(,). Μια τέτοια σύγκριση στο δείγµα των 50 ετών δεν είναι εφικτή για δυο λόγους. Ο πρώτος ˆ είναι ότι ο συντελεστής του ε στο εκτιµηθέν ARMA(,) δεν είναι όπως φαίνεται στατιστικά σηµαντικός βάσει µιας τιµής την οποία δεν γνωρίζουµε σε ποια τιµή θα διαµορφωνόταν (µικρή ή µεγάλη) εάν είχαµε ένα δείγµα αρκούντως µεγάλο. Ο δεύτερος λόγος είναι ο διαφορετικός εκτιµηµένος συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης για τα δύο υποδείγµατα. Πιο συγκεκριµένα, χρησιµοποιώντας τις εκτιµηθείσες τιµές των φ και θ στον αντίστοιχο τύπο του θεωρητικού συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης του κάθε 5

17 υποδείγµατος θα παίρναµε για το AR() ρ ˆ = και για το ARMA(,) ρ ˆ = Το δεύτερο ζήτηµα αφορά την ερµηνεία του κάθε διαστήµατος εµπιστοσύνης για το διαφορετικό εκατοστηµόριο K. Η αθροιστική πιθανότητα του εκατοστηµορίου αφορά για τη συγκεκριµένη σειρά ποσοστό ετών. Εποµένως για =0.80, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι εάν οι εξωτερικές συνθήκες διαµόρφωσης των τιµών της σειράς παραµείνουν οι ίδιες, στο 80% των ετών, µε πιθανότητα 95% η πυκνότητα των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα θα κυµανθεί µεταξύ και σε κιλά ανά ισοδύναµο κιλό πετρελαίου στην περίπτωση του AR() και µεταξύ και κιλών για το ARMA(,). 4. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΓΚΥΡΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΏΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στο τµήµα αυτό ελέγχουµε την εγκυρότητα των κατασκευασθέντων διαστηµάτων εµπιστοσύνης για τις πραγµατικές τιµές των εκατοστηµορίων της οριακής κατανοµής των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα, όταν ο στοχαστικός νόµος που παράγει τις τιµές της συγκεκριµένης µεταβλητής περιγράφεται είτε από το στάσιµο AR() είτε από το στάσιµο ARMA(,). Η διερεύνηση αυτή διενεργείται υπολογίζοντας τα παρακάτω δυο στατιστικά κριτήρια σε 0000 σειρές στάσιµων AR() και σε 0000 σειρές στάσιµων ARMA(,) οι οποίες παρήχθησαν µέσω προσωµοιώσεων Mne-Carl: (α) Κάλυψη (Cverage) που δείχνει το πραγµατικό επίπεδο εµπιστοσύνης που επιτυγχάνει σε πεπερασµένα δείγµατα το εκτιµηµένο ασυµπτωτικό διάστηµα εµπιστοσύνης, και (β) Σχετικό Αναµενόµενο Ηµι-πλάτος του διαστήµατος (Relaive Expeced Half-Lengh, REHL). Ας σηµειωθεί επίσης ότι η γεννήτρια τυχαίων αριθµών που χρησιµοποιήθηκε καθώς και η µέθοδος παραγωγής τυχαίων τιµών από τη τυποποιηµένη κανονική κατανοµή περιγράφονται στον Kevrk (00). 6

18 Η επιλογή των παραµέτρων για τα υποδείγµατα AR() και ARMA(,) έγινε βάσει δυο αρχών: (α) Η οριακή κατανοµή της υπό µελέτη µεταβλητής να έχει τον ίδιο στάσιµο µέσο µ = 00 και την ίδια διακύµανση γ 400, και (β) ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ης τάξης = να έχει την ίδια τιµή και στα δυο υποδείγµατα. Με βάση τις δυο αυτές αρχές, οι τιµές των παραµέτρων για τα δυο υποδείγµα είναι οι εξής: ρ = 0.56 AR(): φ = 0. 56, = ARMA(,): φ = 0. 3, θ = 0. 4, = 60 σ ε σ ε Για την επίτευξη στασιµότητας σε κάθε µια από τις 0000 προσοµοιωµένες σειρές από το κάθε υπόδειγµα, η τιµή 0 X παρήχθη από τη στάσιµη οριακή κατανοµή ( 00,400) N, και επιπλέον για το ARMA(,) η αρχική τιµή ε 0 παρήχθη από την κατανοµή των σφαλµάτων N ( 0,60). Στη συνέχεια, η διερεύνηση της εγκυρότητας των εκτιµηθέντων ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης, όπως αυτά δίνονται στις σχέσεις (3) και (4), διενεργήθηκε για διαφορετικούς συνδυασµούς µεγέθους δείγµατος και διαφορετικές τιµές της αθροιστικής πιθανότητας,, του εκατοστηµορίου. Ειδικότερα, για κάθε µια από τις 0000 παραχθείσες σειρές από το κάθε υπόδειγµα, και για κάθε ένα συνδυασµό µεγέθους δείγµατος, n, και αθροιστικής πιθανότητας,, εκτιµήθηκαν το εκατοστηµόριο, το δειγµατοληπτικό σφάλµα του διαστήµατος εµπιστοσύνης, και τα όρια του διαστήµατος εµπιστοσύνης. Με βάση τις εκτιµήσεις αυτές, για κάθε ένα συνδυασµό n και, υπολογίσθηκαν η κάλυψη ως το ποσοστό των 0000 διαστηµάτων εµπιστοσύνης τα οποία περιείχαν την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου, και το REHL ως ο µέσος αριθµητικός του ηµι-πλάτους των 0000 διαστηµάτων εµπιστοσύνης διαιρούµενος µε την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου. Η διαίρεση του αναµενόµενου Ηµι-πλάτους του διαστήµατος µε την πραγµατική τιµή του εκατοστηµορίου κρίνεται αναγκαία για τη διασφάλιση της 7

19 συγκρισιµότητας της ακρίβειας διαστηµάτων εµπιστοσύνης που κατασκευάζονται για διαφορετικές τιµές του. Και αυτό γιατί µε την αύξηση του, αυξάνεται και η τιµή του εκατοστηµορίου. Ένα πρόβληµα που ανέκυψε σε ορισµένες σειρές από το ARMA(,) ήταν ότι σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος η εκτίµηση της διακύµανσης του Kˆ ήταν αρνητική. Στο Πίνακα 4 δίνουµε τον αριθµό των σειρών αυτών για διαφορετικές τιµές του. Παρατηρούµε ότι ένας σηµαντικός αριθµός τέτοιων σειρών εµφανίζεται για πολύ χαµηλά µεγέθη δείγµατος της τάξεως των 5 και 0 παρατηρήσεων, ενώ ο αριθµός αυτός αρχίζει να γίνεται αµελητέος έως και µηδενικός για µεγέθη δείγµατος άνω των 30 παρατηρήσεων. Επιπλέον, για τα πολύ χαµηλά µεγέθη δείγµατος, ο αριθµός των σειρών αυτών αυξάνει όσο µετακινούµαστε στη τιµή =0.50 για την οποία λαµβάνουµε το µέσο αριθµητικό. Πίνακας 4: Αριθµός στάσιµων σειρών ARMA(,) για τις οποίες η ασυµπωτική διακύµανση του Kˆ εκτιµώµενη σε πεπερασµένα δείγµα είναι αρνητική. [Συνολικός αριθµός σειρών για στάσιµο ARMA(,) που παρήχθησαν µέσω προσοµοιώσεων Mne-Carl ήταν 0000]. Μέγεθος είγµατος ρ =0.56 n=5 n=0 n=0 n=30 n=40 n=50 n=60 n=80 n=00 ARMA(,) = = = = = = = = Στη συνέχεια για τα δύο υποδείγµατα AR() και ARMA(,), και για ονοµαστικό επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, στον Πίνακα 5 δίνουµε τις τιµές της κάλυψης ενώ στον Πίνακα 6 τις τιµές του REHL. Για το ARMA(,), σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος, οι τιµές των δύο αυτών στατιστικών κριτηρίων υπολογίσθηκαν ως µέσοι όροι των αριθµών των σειρών για τις οποίες η εκτιµηθείσα διακύµανση του Kˆ ήταν θετική. Από τα στοιχεία του Πίνακα 5 διαπιστώνουµε ότι σε χαµηλά µεγέθη δείγµατος η κάλυψη είναι σηµαντικά µικρότερη του 8

20 95%, ενώ µε την αύξηση του µεγέθους του δείγµατος η ταχύτητα σύγκλισης της κάλυψης στο ονοµαστικό επίπεδο εµπιστοσύνης είναι σχετικά πιο γρήγορη στο ARMA(,). εχόµενοι επίσης ότι µια κάλυψη της τάξεως άνω του 90% αποτελεί µια αποδεκτή προσέγγιση του ονοµαστικού επιπέδου εµπιστοσύνης, ένα δείγµα 50 παρατηρήσεων και πάνω διασφαλίζει την εγκυρότητα του ασυµπτωτικού διαστήµατος εµπιστοσύνης. Αντίθετα εάν γίνουµε άκρως αυστηροί στην προσέγγιση αυτή και επιθυµούµε καλύψεις πχ. άνω του 94%, τότε το απαραίτητο µέγεθος δείγµατος είναι της τάξης των 500 παρατηρήσεων κάτι που από πλευράς δεδοµένων της πραγµατικής οικονοµίας είναι αδύνατον να είναι διαθέσιµο. Πίνακας 5: Καλύψεις των εκτιµηθέντων ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης για εκατοστηµόρια σε 0000 στάσιµες σειρές AR() and ARMA(,) που παρήχθησαν µέσω προσοµοιώσεων Mne-Carl. Το ονοµαστικό επίπεδο εµπιστοσύνης είναι 95% ρ =0.56 n=5 n=0 n=0 n=30 n=50 n=00 n=00 n=500 n=000 n=000 =0.5 ARMA AR =0.6 ARMA AR =0.8 ARMA AR =0.95 ARMA AR =0.99 ARMA AR Παρατηρώντας επίσης τα στοιχεία του Πίνακα 6 βλέπουµε ότι για κάθε µέγεθος δείγµατος, το REHL είναι µικρότερο στο ARMA(,) όταν ο θεωρητικός συντελεστής αυτοσυσχέτισης ης τάξης και των δυο υποδειγµάτων είναι ο ίδιος. Επίσης, για κάθε υπόδειγµα, το REHL βαίνει µειούµενο όσο αυξάνεται το έως κάποια τιµή του µεταξύ του 0.6 και 0.8, και στη συνέχεια αυξάνεται και πάλι. Λαµβάνοντας λοιπόν υπόψη τις παραπάνω διαπιστώσεις για τις ιδιότητες των ασυµπτωτικών διαστηµάτων εµπιστοσύνης όταν αυτά εκτιµώνται σε πεπερασµένα δείγµατα, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι τα διαστήµατα εµπιστοσύνης για τα εκατοστηµόρια της οριακής κατανοµής των εκποµπών διοξειδίου του άνθρακα τα οποία δόθηκαν στο 9

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF)

Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) ΜΑΘΗΜΑ 5ο Επαυξημένος έλεγχος Dickey - Fuller (ADF) Στον έλεγχο των Dickey Fuller (DF) και στα τρία υποδείγματα που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως κάνουμε την υπόθεση ότι ο διαταρακτικός όρος e είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο

Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Εργαστήριο Οικονομετρίας Προαιρετική Εργασία 2016 Χειμερινό Εξάμηνο Χρήσιμες Οδηγίες Με την βοήθεια του λογισμικού E-views να απαντήσετε στα ερωτήματα των επόμενων σελίδων, (οι απαντήσεις πρέπει να περαστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2

Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Επαναληπτικές Ερωτήσεις για Οικονοµετρία 2 Κεφάλαιο 8 1) Τι είναι ετεροσκεδαστικότητα και τι είδους προβλήµατα παρουσιάζονται; ( 2, 4, σελίδες 370-372). 2) Γράψτε τον τύπο της διακύµανσης της κλίσης όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα

Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα ΜΑΘΗΜΑ ο Συνολοκλήρωση και VAR υποδείγματα Ησχέσησ ένα στατικό υπόδειγμα συνολοκλήρωσης και σ ένα υπόδειγμα διόρθωσης λαθών μπορεί να μελετηθεί καλύτερα όταν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αυτοπαλίνδρομων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Σφάλµα εξειδικεύσεως Αν η υπόθεση Α.1 ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι σωστά εξειδικευµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 17 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2004), σελ. 399-408 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΝΕΟΓΝΩΝ Γεωργία Στεφάνου και Τάσος Χριστοφίδης Τµήµα Μαθηµατικών και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller ΜΑΘΗΜΑ 7ο Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller Είδαμε προηγουμένως ότι οι τιμές της στατιστικής Τ 2δ0, Τ 3δ0 και Τ 3δ1 που χρησιμοποιήθηκαν στην παραπάνω παράγραφο εξαρτώνται από τη μορφή της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. :\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες

Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS)

ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (POPULATION PROJECTIONS) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ (OULATION ROJECTIONS) Η κύρια πηγή στατιστικών δεδοµένων που αφορούν το µέγεθος και τη σύνθεση του πληθυσµού είναι η απογραφή. Η απογραφή πληθυσµού

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα

Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες. Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Επίλυση Υποδειγμάτων με Ορθολογικές Προσδοκίες Το Πρωτοβάθμιο Υπόδειγμα Καθηγητής Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναμική Μακροοικονομική, 2014 Ορισμός των Ορθολογικών Προσδοκιών για Μία Περίοδο στο Μέλλον Η ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 8ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 8ο Επιλογή του αριθμού των χρονικών υστερήσεων Στις περισσότερες οικονομικές χρονικές σειρές υπάρχει υψηλή συσχέτιση μεταξύ της τρέχουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα

ΜΑΘΗΜΑ 4 ο. Μοναδιαία ρίζα ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Ένας άλλος τρόπος που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ ΑΥΤΟΠΑΛΙΝΔΡΟΜΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ AR(p) Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος ΕΠΙΧ Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου ιαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµατεπώνυµο : Σίσκου Σταµατίνα Ειρήνη. Υπεύθυνοςκαθηγητής: ΑναστάσιοςΒ. Κάτος. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 2010

Ονοµατεπώνυµο : Σίσκου Σταµατίνα Ειρήνη. Υπεύθυνοςκαθηγητής: ΑναστάσιοςΒ. Κάτος. Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 2010 Π.Μ.Σ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ο προσδιορισµός του επιπέδου της ιδιωτικής κατανάλωσης, των επενδύσεων και των συνολικών εισαγωγών. Mία εµπειρική µελέτη για την Νορβηγία, την

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.

εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ. Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΩΝ (ΑΛΛΗΛΟΕΞΑΡΤΗΜΕΝΩΝ) ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μέχρι τώρα η μελέτη μας επικεντρώθηκε σε οικονομικά υποδείγματα μιας εξισώσεως, όπου έχουμε πάντα μια εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα