ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1

2 Σφάλµα εξειδικεύσεως Αν η υπόθεση Α.1 ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης είναι σωστά εξειδικευµένο (correctly specified) για την εξαρτηµένη µεταβλητή. Αν η υπόθεση Α.1 δεν ισχύει, τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης δεν είναι σωστά εξειδικευµένο (misspecified) για την εξαρτηµένη µεταβλητή και έχουµε σφάλµα εξειδικεύσεως (specification error). Παραδείγµατα σφάλµατος εξειδικεύσεως: Παράλειψη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + β 2 X t2 + u t Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + ε t 2

3 Χρήση λάθους γραµµικού περιορισµού Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + β 2 X t2 + u t Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 (X t1 + X t2 ) + ε t Χρήση λάθους συναρτησιακής σχέσης Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X 2 t + u t Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t + ε t Περίληψη µη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + u t Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + β 2 X t2 + ε t 3

4 Μη χρήση σωστού γραµµικού περιορισµού Σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 (X t1 + X t2 ) + u t Επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης: Y t = β 0 + β 1 X t1 + β 2 X t2 + ε t Στις περιπτώσεις της παράλειψης σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής, της χρήσης λάθους γραµµικού περιορισµού και της χρήσης λάθους συναρτησιακής σχέσης, γενικά ισχύει: Ο OLS εκτιµητής β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του β. Ο OLS εκτιµητής s 2 είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2. Ο OLS εκτιµητής V ( β ) είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του V ( β ). Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων είναι αναξιόπιστα. 4

5 Στην περίπτωση της παράλειψης σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής, αν η παραλειπόµενη ερµηνευτική µεταβλητή είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστη µε τις υπόλοιπες εµηνευτικές µεταβλητές, οι OLS εκτιµητές των κλίσεων είναι αµερόληπτοι και συνεπείς. Ο OLS εκτιµητής του σταθερού όρου παραµένει µεροληπτικός και ασυνεπής. Στις περιπτώσεις της περίληψης µη σηµαντικής ερµηνευτικής µεταβλητής και µη χρήσης σωστού γραµµικού περιορισµού, οι OLS εκτιµητές είναι αµερόληπτοι και συνεπείς. Οι διακύµανσεις των OLS εκτιµητών στο επιλεγόµενο υπόδειγµα παλινδρόµησης θα έχουν υψηλότερες διακυµάνσεις από αυτούς στο σωστό υπόδειγµα παλινδρόµησης. Σε µικρά δείγµατα µπορεί να δηµιουργηθεί το πρόβληµα της πολυσυγγραµµικότητας. 5

6 Ενδογένεια Αν η ερµηνευτική µεταβλητή X j δεν συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα u, Corr(X tj, u t ) = 0 για κάθε t = 1,..., T, τότε η ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι εξωγενής (exogenous). Αν η ερµηνευτική µεταβλητή X j συσχετίζεται ταυτόχρονα µε το σφάλµα u, Corr(X tj, u t ) 0 για κάποια t = 1,..., T, τότε η ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι ενδογενής (endogenous). Αν τουλάχιστον µια ερµηνευτική µεταβλητή είναι ενδογενής, έχουµε το πρόβλη- µα της ενδογένειας (endogeneity). Αν υπάρχει ενδογένεια, η υπόθεση Α.3/Α.3 δεν ισχυεί και Ο OLS εκτιµητής β είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του β. Ο OLS εκτιµητής s 2 είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σ 2. 6

7 Ο OLS εκτιµητής V ( β ) είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του V ( β ). Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων είναι αναξιόπιστα. Λόγοι ύπαρξης ενδογένειας: Σφάλµα µετρήσεως (measurement error). Σφάλµα εξειδικεύσεως. Σφάλµα αλληλεξάρτησης (simultaneity). Αν υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής, Y t s, είναι ερµηνευτικές µεταβλητές στο υπόδειγµα παλινδρόµησης και υπάρχει αυτοσυσχέτιση. 7

8 Μέθοδος βοηθητικών µεταβλητών (IV) και γενικευµένη µέθοδος βοηθητικών µεταβλητών (GIVE) Έστω ότι η η ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι ενδογενής. Η µεταβλητή Z j είναι βοηθητική µεταβλητή (instrumental variable) για την ερµηνευτική µεταβλητή X j όταν έχει τις εξής ιδιότητες: 1. Z j είναι ταυτόχρονα ασυσχέτιστη µε τον διαρακτικό όρο. 2. Z j είναι (υψηλά) συσχετισµένη µε την ερµηνευτική µεταβλητή X j. 3. Z j δεν συµπεριλαµβάνεται στο υπόδειγµα παλινδρόµησης. Ορίζεται ο πίνακας Z = 1 Z Z 1K... 1 Z T 1... Z T K 8

9 όπου Z j = X j αν η ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι εξωγενής και Z j = Zj βοηθητική µεταβλητή αν η ερµηνευτική µεταβλητή X j είναι ενδογενής. Μπορούν να συµπεριληφθούν πάνω από µία βοηθητική µεταβλητή για κάθε ενδογενή ερµηνευτική µεταβλητή. Τότε, ο πίνακας Z έχει M > K + 1 στήλες Z = 1 Z Z 1,M Z T 1... Z T,M 1 9

10 Ο εκτιµητής των γενικευµενών βοηθητικών µεταβλητών GIVE (generalized instrumental variables estimator) του β είναι β = ( X P Z X ) 1 X P Z Y όπου P Z = Z (Z Z) 1 Z, µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων V (β ) = σ 2 ( X P Z X ) 1 Ο GIVE εκτιµητής του σ 2 είναι s 2 = 1 T K 1 (Y Xβ ) (Y Xβ ) Αν M = K + 1 η µέθοδος GIVE είναι η µέθοδος των βοηθητικών µεταβλητών IV (instrumental variables). 10

11 Ο εκτιµητής των βοηθητικών µεταβλητών IV (instrumental variables estimator) του β είναι β = ( Z X ) 1 Z Y µε πίνακα διακυµάνσεων-συνδιακυµάνσεων V (β ) = σ 2 ( Z X ) 1 Z Z ( X Z ) 1 Ο IV εκτιµητής του σ 2 είναι s 2 = 1 T K 1 (Y Xβ ) (Y Xβ ) Οι εκτιµήτες IV/GIVE β και s 2 είναι συνεπείς εκτιµητές των β και σ 2. Η διακύµανση του IV/GIVE εκτιµητή β αυξάνεται όταν η συσχέτιση µεταξύ της βοηθητικής µεταβλητής Z j και της αντίστοιχης ερµηνευτικής µεταβλητής X j µειώνεται. 11

12 Η µέθοδος IV/GIVE βασίζεται στη µέθοδο OLS σε δύο στάδια 2SLS (two stages least squares). Στάδιο 1: Για κάθε ερµηνευτική µεταβλητή X j, εκτιµάται µε OLS το υπόδειγµα παλινδρόµησης X tj = γ 0 + γ 1 Z t γ M 1 Z t,m 1 + ε t, t = 1,..., T και βρίσκονται οι υπολογισµένες τιµές X j, j = 1,..., K. Στάδιο 2: Εκτιµάται µε OLS το υπόδειγµα παλινδρόµησης Y t = β 0 + β 1 X t β K X tk + u t, t = 1,..., T ( ) Η µέθοδος OLS στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ( ) είναι ισοδύναµη µε τη µέθοδο IV/GIVE. 12

13 Στατιστικός έλεγχος: Sargan για καταλληλότητα βοηθητικών µεταβλητών Χρησιµοποιείται όταν M > K + 1. Υποθέσεις: H 0 : α 1 =... = α M 1 = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα α j 0, j = 1,..., M 1 Στατιστική ελέγχου: S = T R 2 όπου R 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης û t = α 0 + α 1 Z t α M 1 Z t,m 1 + η t, t = 1,..., T και û = Y Xβ. Κρίσιµη περιοχή: S > χ 2 M K 1,α 13