ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Transcript

1 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους στη συχνότητα θλάσης ( j) ( j) 0log : j 0 log 0 : j 0log 0 / και το όρισμα: ta ta 0 : 0 0 : 4 : - Im X Re

2 8 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) (συνέχεια) Η καμπύλη του μέτρου χαράζεται με ασυμπτωτική προσέγγιση, δηλαδή χρησιμοποιούνται οι ευθείες που είναι εφαπτόμενες στις περιπτώσεις ω0 και ω. : : / j 0 log 0 j 0log 0 / Μπορούμε να βρούμε την απόκλιση της καμπύλης από τις ασύμπτωτες: : j : j : j 0log 0log log 4 0log 4 χρήση ασυμπτώτων τομή τους στη συχνότητα θλάσης.97 0 Αν το σύστημα διεγερθεί με μικρό ω τότε j, και η έξοδος έχει το ίδιο πλάτος με είσοδο και μικρή διαφορά φάσης. Αν διεγερθεί με μεγάλο ω τότε μικραίνει και φ μεγαλώνει τείνοντας στο π/.

3 9 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Συνοπτικά: Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμπτωτική προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 έως την συχνότητα θλάσης και μετά πέφτει με 0 ανά τάξη μεγέθους ( 0 ανά δεκάδα). Για πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται 0 ανά δεκάδα. Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0 ο έως το /0 της συχνότητας θλάσης και μετά πέφτει γραμμικά στο 90 ο στο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για πολλαπλότητα πόλου πέφτει στο 90 ο.

4 0 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) με τ=0. ec ιαγράμματα Για πόλο στα 0 rad/ec (τ=0.): j0. j Έτσι το μέτρο: j ( j) 0log 0.0 ( j) 0.0 j 0 log 0 j 0log0. 0 : 0 : 0 / και το όρισμα: ta : 0 : 0 4 : 0 0log

5 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό μηδενικό: j j ιαγράμματα για /τ = 30 rad/ec Έτσι το μέτρο: ( j) ( j) 0log : j 0 log 0 : j 0log 0 / και το όρισμα: ta 0 : 0 0 : 4 : Παρόμοια διαγράμματα με την περίπτωση του πραγματικού πόλου χρήση ασυμπτώτων τομή τους στη συχνότητα θλάσης ω= 30 rad/ec

6 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Συνοπτικά: Για ένα απλό παραγματικό πόλο η σύνθεση με ασυμτωτικη προσέγγιση του διαγράμματος Bode για το μέτρο είναι στα 0 έως την συχνότητα θλάσης και μετά αυξάνεται με 0 ανά τάξη μεγέθους (+0 ανά δεκάδα). Για πολλαπλότητα πόλου η κλίση αυτή γίνεται +0 ανά δεκάδα. Το διάγραμμα φάσης είναι στις 0 ο έως το /0 της συχνότητας θλάσης και μετά αυξάνεται γραμμικά στις +90 ο στο δεκαπλάσιο της συχνότητας θλάσης. Για πολλαπλότητα πόλου αυξάνεται στο +90 ο.

7 3 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντες ης τάξης (+jωτ) ) ± Αντιστοιχεί σε πολλαπλότητας πραγματικό πόλο ήμηδενικό. Προφανώς η καμπύλη μέτρου είναι όμοια με αυτή του παράγοντα (+jωτ) ± εκτός από το ό,τι η κλίση της ασύμπτωτης υψηλής συχνότητας είναι ±0 /ec. Οι αποκλίσεις για ω= /τ, /τ, /τ είναι ±0.97, ±3.03 και ±3.03 αντίστοιχα. Το όρισμα θα είναι φορές αυτό του παράγοντα (+jωτ) ±. ιαγράμματα Bode για διπλό πόλο με /τ =30rad/ec χρήση ασυμπτώτων τομή τους στη συχνότητα θλάσης

8 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος 4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Παράγοντας ης τάξης [+ζ(jω/ω )+(jω/ω ) ] - Αντιστοιχεί σε συζυγείς μιγαδικούς πόλους: 0, j Έτσι το μέτρο: j j 0log ) ( ) ( j j όπου: j / 40 40log 0log : και το όρισμα: όπου: 0 0 log : j 0 0 : 0 : ta : :

9 5 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης [+ζ(jω/ω )+(jω/ω ) ] - ιαγράμματα Bode Το σύστημα είναι low pa, αφού έχουμε αρνητική κλίση του μέτρου για μεγάλα ω. Το διάγραμμα μέτρου εξαρτάται από το ζ. Καθώς μικραίνει το ζ το διάγραμμα αλλάζει μορφή και παρουσιάζει μέγιστο κοντά στο ω. Όσο μικραίνει το ζ (για ζ<0.707) 0707) τόσο η κορυφή πλησιάζει το ω (φαινόμενο συντονισμού). Το σημείο όπου ηκαμπύλη εμφανίζει μέγιστο είναι η συχνότητα συντονισμού : re Όπου το μέτρο γίνεται j re Για ζ>0.707 είναι: j ενώ καθώς 0 j re max re

10 6 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος j 0 j 3 j j 3 Πρέπει να φέρουμε τους όρους στη μορφή j Έτσι: j 0. j j 33.3 j j j 0.33 j (τυπική μορφή ης τάξης) Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:. Σταθερός όρος Μηδενικό στο 0 3. Πόλος στην αρχή 4. Πόλος στο 33 Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για ρη μ μ η β ή η χ ρ ή γ να κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.

11 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι: Σταθερός όρος 33.3 Μηδενικό στο 0 Πόλος στην αρχή Πόλος στο 3 Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή ιάγραμμα Bode (μέτρο) ιάγραμμα Bode (όρισμα)

12 8 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος j 4 j 00 j 3 00 j 3 00j Πρέπει να φέρουμε τους όρους σε τυπικές μορφές (απλές συναρτήσεις). Έτσι: Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι:. Σταθερός όρος. Πόλος στο Διπλός πόλος στην αρχή 4. Συζυγείς μιγαδικές ρίζες του ++5=0 με ω=5 και ζ=0. Χρησιμοποιούμε την βασική ανάλυση των στοιχειωδών συναρτήσεων για να κατασκευαστούν τα διαγράμματα Bode των τεσσάρων όρων.

13 9 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Κατασκευή διαγράμματος Bode σύνθετου συστήματος Τα διαγράμματα μέτρου και ορίσματος φτιάχνονται με γραφική πρόσθεση των καμπυλών που αντιστοιχούν σε κάθε όρο ξεχωριστά. Οι όροι είναι: Σταθερός όρος Πόλος στο 00 Διπλός πόλος στην αρχή Συζυγείς μιγαδικές ρίζες Συνολικό διάγραμμα σε μαύρη γραμμή ιάγραμμα Bode (μέτρο) ιάγραμμα Bode (όρισμα)

14 30 ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Περιθώριο κέρδους Το περιθώριο κέρδους, μια ποσότητα που αποτελεί το μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως η τιμή του πλάτους του αντιστρόφου της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου στην συχνότητα ω π στην οποία η τιμή του ορίσματος ισούται με 80 ο. Δηλαδή: περιθώριο κέρδους όπου arg H H 80 και ω π ονομάζεται κρίσιμη συχνότητα. Περιθώριο φάσης Το περιθώριο φάσης Φ PM, μια ποσότητα που αποτελεί μέτρο της σχετικής ευστάθειας συστήματος, ορίζεται ως 80 ο συν την τιμή της φάσης Φ της συνάρτησης ης μεταφοράς ανοικτού βρόγχου όταν το κέρδος της ισούται με την μονάδα. Δηλαδή: PM 80 argh i όπου και ω ι ονομάζεται συχνότητα μοναδιαίου κέρδους. H i

15 3 ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Εύρεση περιθώριου κέρδους και περιθώριου φάσης από τα διαγράμματα Bode Η κρίσιμη συχνότητα ω π βρίσκεται από το διάγραμμα ορίσματος ως η συχνότητα στην οποία arg ope 80 Η συχνότητα μοναδιαίου κέρδους ω i βρίσκεται από το διάγραμμα μέτρου όπου K ji H ji K ji H j i Το περιθώριο φάσης είναι το ποσό της επιπλέον καθυστέρησης φάσης στην συχνότητα μοναδιαίου κέρδους που απαιτείται για να φέρει το σύστημα στο όριο αστάθειας, δηλαδή: δή ) ( i i

16 3 ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Εύρεση περιθώριου κέρδους και περιθώριου φάσης από τα διαγράμματα Bode Το περιθώριο κέρδους είναι το αντίστροφο του μεγέθους Kji H ji στην κρίσιμη συχνότητα όπου το όρισμα είναι 80 ο Kj H j 0log K i i j H j i Για ένα σταθερό σύστημα το ΠΚ δείχνει πόσο το κέρδος Κ μπορεί να αυξηθεί προτού το σύστημα γίνει ασταθές. Για ένα σύστημα με μηδενικά στο αριστερό ημιεπίπεδο το κριτήριο ευστάθειας είναι: 0 0 i

17 33 ΣΤΟΧΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Απόλυτη και σχετική ευστάθεια Θεωρούμε την ειδική περίπτωση συστημάτων που γίνονται ασταθή και παραμένουν ασταθή καθώς η σταθερά κέρδους τους Κ p παραμένει μεγαλύτερη από μια κρίσιμη τιμή Κ*, * δηλαδή τα συστήματα είναι ασταθή για Κ p >Κ*. R + Κατευθυντής Τελικό στοιχείο ελέγχου + Εγκατάσταση - p Y Η ευστάθεια του συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από την απόκριση συχνότητας ανοιχτού βρόγχου K j H p j αν ισχύουν τα παραπάνω. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: K p H 0 Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο σύστημα είναι ευσταθές όσο ισχύει: p j H j 0 log K p j H j 0 όπου ω π είναι η κρίσιμη συχνότητα. K