Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Transcript

1 Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Εαρινό εξάμηνο /6

2 Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων 9//6. Δίνεται σύστημα με δεδομένο διάγραμμα βαθμίδων: α Βρείτε τα μόνιμα σφάλματα, και r, καθώς και την τελική τιμή y της εξόδου. του συστήματος για βηματική είσοδο β Υπολογίστε την ολική συνάρτηση μεταφοράς του δεδομένου συστήματος και διερευνήστε την ευστάθειά του με το κριτήριο Ruh. Λύση α Από το διάγραμμα προκύπτουν οι εξισώσεις: E R E E R E E E E E E E E E E E E E E E 6 E E & E E 6 E E E E 6 από E R E 6

3 E R E 6 R 6 E R & E R & 6 E R E R Και Y E ή Y R Για r και R έχουμε από το θεώρημα τελικής τιμής Lalac: 6 6 lim E lim lim lim E lim lim E lim lim y lim Y lim lim β H ολική συνάρτηση μεταφοράς είναι: Y G R Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο προκύπτει ο πίνακας Ruh:

4 , άρα το σύστημα είναι ευσταθές. 8. Εξετάστε την ευστάθεια των παρακάτω πολυωνύμων εφαρμόζοντας το κριτήριο Ruh: α Q 8 77 β Q 6 6 γ Q δ Q Λύση α Q 8 77, ο πίνακας και οι συντελεστές Ruh είναι: Άρα το σύστημα είναι ευσταθές. 8 β Q 6 6, ο πίνακας και οι συντελεστές Ruh είναι: 6 c 6 6 6, c Δύο εναλλαγές στα πρόσημα των συντελεστών του πίνακα άρα ασταθείς πόλοι.

5 γ Q, ο πίνακας και οι συντελεστές Ruh είναι: c d, οπότε θεωρούμε c η εναλλαγή d c η εναλλαγή c Άρα ασταθείς πόλοι.,,. δ Q c d η εναλλαγή 6 8, c 9.9 η εναλλαγή d 6 c.7 c Άρα ασταθείς πόλοι.

6 . Έστω κλειστό σύστημα ελέγχου με K G και a C. Εφαρμόστε το κριτήριο Ruh και σχεδιάστε στο επίπεδο a, K το πεδίο ευστάθειας του συστήματος, δηλαδή βρείτε γραφικά τα όρια των παραμέτρων a, K ώστε το κλειστό σύστημα να είναι ευσταθές. Λύση a K C G P Q Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: K a ak Q Q P K a K O πίνακας και οι συντελεστές Ruh είναι: K ak K a ak ak K a K K Πρέπει K, ak άρα a, και ή K a Ka ή K K a a ή K a a Ενδεικτικές τιμές για την εξίσωση K a a και πεδίο ευστάθειας: a K... 6

7 Άσκηση Τόπος ριζών & Σύνθεση με τη μέθοδο του τόπου ριζών 9//6 6 Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G. α Σχεδιάστε τον τόπο ριζών του συστήματος. Βρείτε ασύμπτωτες, σημεία διακλάδωσης θλάσης, σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα αν υπάρχουν, συνθήκη ευστάθειας, καθώς και την τιμή του κέρδους K στα σημεία διακλάδωσης. z β Βρείτε ελεγκτή Lad με συνάρτηση μεταφοράς C K ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους. 6 j., β Προσδιορίστε την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης T που αντιστοιχούν σε αυτούς τους επιθυμητούς πόλους. β Επιλέξτε κατάλληλα την τιμή της ρίζας/μηδενιστή του ελεγκτή ώστε να υπάρχει αποδεκτή λύση για το δεδομένο πρόβλημα. Προσδιορίστε τον τρίτο πόλο του συστήματος. β Σχεδιάστε τον τόπο ριζών του νέου συστήματος. Βρείτε ασύμπτωτες, σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα αν υπάρχουν, σημεία διακλάδωσης θλάσης, συνθήκη ευστάθειας, καθώς και την τιμή του κέρδους K στα σημεία διακλάδωσης. Λύση α Γενικά το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζα: z 6, z 6 Έχουμε n m, μία ασύμπτωτος:. 6 και. 8 n m dg Σημεία διακλάδωσης:, δηλαδή 6 ή d με λύσεις: αποδεκτό, αποδεκτό. Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα δεν υπάρχουν. Το σύστημα είναι ευσταθές για όλες τις τιμές του K. 7

8 β Επιθυμητοί πόλοι:. 6 j, β Υπερύψωση & χρόνος αποκατάστασης T Ισχύει j. j &, n n 6 Από n n ln, n ln T και n λύσεις. 98 αποδεκτό,. απορρίπτεται και n. 6 ln Από.98 ln.,.6 T..98T.8 και ln.8 εφόσον 8

9 β Ελεγκτής Lad με συνάρτηση μεταφοράς C K Επιλέγουμε αρχικά μηδενιστή/ρίζα z με z 9. z Υπολογισμός του πόλου με το κριτήριο γωνιών: z z 8 είναι άρα.6 8 an 68. 7, z an. αδύνατο Διερεύνηση γωνίας Αν οριακά η γωνία z ώστε ο πόλος του ελεγκτή να είναι ευσταθής:.6 8 an άρα από 68.7 z z ή 6. z από ή z Επιλέγουμε z με άρα.6 z 8 an & 7. an an

10 Υπολογισμός του K με το κριτήριο μέτρων:.6.9 K z z Εφόσον.6. 6, z.6. 6, z.6.9,.6. 9 άρα z C K.6 ελεγκτής Lad.98 Τρίτος πόλος συστήματος από χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q Q με λύσεις,..66 j. 6 j,. 8 ευσταθής β Το νέο σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ' 6 G C G έχει.98 n πόλους: και. 98, και m ρίζες: z και z 6 Έχουμε n m, μία ασύμπτωτος με. 8 ' dg Σημεία διακλάδωσης: d ή με λύσεις: 8. 7,.9,. αποδεκτά. Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα δεν υπάρχουν.

11 Επαλήθευση από MaLa Το νέο σύστημα έχει πόλους. 6 j όταν K. 6.,

12 Άσκηση Αναλυτική σύνθεση Αρμονικά διαγράμματα Nyqui //6 6. Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G. Επιλέξτε ελεγκτή Lad με συνάρτηση μεταφοράς C K ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους:. 6 j, Υπολογίστε τους συντελεστές K, του ελεγκτή καθώς και τον τρίτο πόλο του κλειστού συστήματος με την αναλυτική μέθοδο σύγκριση χαρακτηριστικών πολυωνύμων. Λύση Ελεγκτής Lad: Συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου: C K 6 C G K Πραγματικό χαρακτηριστικό: Q K 6 K 7K 6K Επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο με επιθυμητούς πόλους. 6 j και, διορθωτικό πολυώνυμο a :.6 a a 6 a 9.6 6a 9. a Q 6! ' Πρέπει Q Q άρα K 6 a 7 K 9. 6 a 6K 9.6a K. 6a από 7.6a 9.6 a a. 9 από K.6a K. 96 από Οπότε ο ελεγκτής, όπως και με τη μέθοδο του τόπου ριζών άσκηση είναι: C K και a.9, άρα ο τρίτος πόλος. 9 ευσταθής

13 . Σχεδιάστε τα διαγράμματα Nyqui των συστημάτων με συνάρτηση μεταφοράς: 6 α G, β G, γ G. Υπολογίστε κατά περίπτωση ασύμπτωτες, σημεία τομής με τον πραγματικό και τον φανταστικό άξονα κλπ. Λύση α G, με n, m και τύπος a έχουμε a, n m για j j j j j : G j j j j όπου RG j και ImG j για : RG j και ImG j για : RG j και ImG j MaLa

14 β G, n, m και τύπος a έχουμε a, n m για j j j j j : G j j j j όπου RG j και ImG j για : RG j και ImG j για : RG j και ImG j MaLa

15 6 γ G, n, m και τύπος a έχουμε και για a, n m [ m n m n m a n j 6 j 6 j : G j j 6 όπου RG j και ImG j a ] [ ] για : RG j και ImG j για : RG j και ImG j MaLa

16 Άσκηση Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης & λύση //6. Δίνεται το παρακάτω ηλεκτρικό σύστημα με εξισώσεις: i Ri R L i i u βρόχος και L i R i R i i C βρόχος Θεωρήστε L, L, R, R, C., μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης i, i,, έξοδο y i. i Γράψτε τις εξισώσεις του συστήματος στο χώρο κατάστασης και υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς του. Λύση i Ri R L L i i u C i R i R i i ή i i i i u ή i i i i Μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης: i ή i Εξισώσεις κατάστασης: ή i i ή i i από u i από και i i i u και y i 6

17 .. 7 Σε μορφή πινάκων: u B y C Συνάρτηση μεταφοράς: B I C G T ij I Η ορίζουσα με ανάπτυγμα ως προς την η γραμμή είναι: Ο πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων ij T T ij οπότε B I C G G G. Έστω ομογενές σύστημα είσοδος u με εξισώσεις κατάστασης:. Επιλύστε τις εξισώσεις με τη μέθοδο του

18 .. 8 μετασχηματισμού Lalac και βρείτε τις χρονικές αποκρίσεις των μεταβλητών,, με αρχικές συνθήκες. Λύση Η ελεύθερη απόκριση για u έχει εξίσωση: Η λύση είναι: X, όπου I και όπου οπότε Με ανάλυση σε κλάσματα είναι:, με τη μέθοδο των υπολοίπων:,, με τη μέθοδο των υπολοίπων:

19 .. 9,,, με τη μέθοδο των υπολοίπων:,, με τη μέθοδο των υπολοίπων:,, με τη μέθοδο των υπολοίπων:,, με τη μέθοδο των υπολοίπων:, άρα και Άρα

20 .. 8 ή 8