ω = ω φω ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5Α ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Η απόκριση της συχνότητας

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5Α ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Η απόκριση της συχνότητας ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ H( j ) A e j ω = ω φω ενός συστήματος είναι, γενικά, σύνθετη με κέρδος (πλάτος) Α(ω) και φάση φ(ω).ο λογάριθμος log H(jω)=log A(ω) +jφ(ω) (5Α.1) είναι επίσης σύνθετος με πραγματικό μέρος log A(ω) και φανταστικό μέρος φ(ω).τα διαγράμματα Bode του Η(jω) είναι τα λογαριθμικά διαγράμματα (βάση 10) του log Α(ω) και φ(ω). Σ αυτά τα διαγράμματα, η τετμημένη είναι x=log ω και το μέτρο της είναι η δεκάδα (Σχ.5.6). Από την άποψη του ω, η δεκάδα είναι το μήκος ενός διαστήματος (ω,10ω) γιατί log 10ω-log ω=log 10=1 Ένα μικρότερο μέτρο είναι η οκτάβα 1. Μια οκτάβα είναι το μήκος ενός διαστήματος (ω,ω). Αφού log ù log ù= log 0. 3, συμπεραίνουμε ότι 1 ïêôüâá 0. 3äåêÜäåòς (5Α.) Ο όρος οκτάβα είναι παρμένος από τη μουσική: δύο νότες είναι μία οκτάβα όταν η αναλογία των συχνοτήτων ισούται με δύο. Σχήμα 5.6 Στο διάγραμμα Bode του Α(ω), η τιμή είναι y = 0 log Á( ù) = 10 log Á ( ù) και το μέτρο της είναι το decibel (db).αν δύο τιμές Áù ( 1 ) και Áù ( ) διαφέρουν ένα decibel τότε 0 log Aù 0 log Áù ( 1) = 1. Γι αυτό, 01. Á ( ù ) = 10 Á ( ù1 ) = 1. 6Á ( ù1 ) Ένα bel είναι η μεγαλύτερη μονάδα μέτρησης ίση με 10 decibels. Αν δύο τιμές Áù ( 1 ) και Áù ( ) διαφέρουν ένα bel, τότε 0 log Áù 0 log Aù ( 1) = 10.Γι αυτό, Á ( ù ) = 10Á ( ù ) 1 1 Ο όρος οκτάβα (octave) είναι από την μουσική: δύο νότες απέχουν μία οκτάβα εάν ο λόγος των συχνοτήτων τους είναι

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Στο διάγραμμα Bode φ(ω) η τεταγμένη είναι φ(ω) και μετριέται σε μοίρες. Επομένως, οι τιμές του οριζόντιου άξονα των διαγραμμάτων Bode θα προσδιοριστούν από την άποψη του ω (λογαριθμική κλίμακα) και των τιμών του κάθετου άξονα στο πεδίο του 0 log Α(ω) ή φ(ω) (γραμμική κλίμακα).οι διάφορες καμπύλες, πάντως θα προσδιοριστούν στα πλαίσια του Α(ω) ή φ(ω). Γραμμικά Διαγράμματα Αν H s = ks m, τότε = k( jù) m Áù H jù = kù m φ(ω)=mπ/ (5Α.3) Στο επίπεδο χ-ψ, το διάγραμμα του kù m είναι μια ευθεία γραμμή ψ=0 log Α(ω)=0 log k+0m log ω=0 log k+0mx με κορυφή 0m db decade 6m db oct.η κορυφή είναι θετική αν m>0 (Σχ.5.63α), αρνητική αν m<0 (Σχ.5.63b).Στον ψ- άξονα η τομή είναι η σταθερά 0 log A(1)=0 log k Ρητές Συναρτήσεις Αν Η(s) είναι μία ρητή συνάρτηση με μηδενικά και n πόλους τότε ( jù p 1 ) ( jù p ) H( jù) = k (5A.4) jù s jù s 1 n Σε αυτή την περίπτωση, Σχήμα 5.63 log Aù = log k+ log jù p log jù s i i = 1 i = 1 öù = è ö n i é = 1 i = 1 i n i (5Α.5) όπου è i και ö i είναι τα ορίσματα των διανυσμάτων jù p i και jù s i αντίστοιχα. Για να καθορίσουμε τα διαγράμματα των Α(ω) και φ(ω) αρκεί γι' αυτό να υπολογίσουμε κάθε μηδενικό και κάθε πόλο χωριστά και να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες καμπύλες. Αλλά προς το παρόν μπορούμε πρώτα να καθορίσουμε τον ασύμπτωτο χαρακτήρα των διαγραμμάτων για ù και ù /8/008 5:1:00 pm

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Ασύμπτωτες Από (5Α.4) απορρέει ότι, αν ω είναι μεγάλο τότε Áù öù ( n ) ( jù) n ù n H jù k k ð (5Α.6) Το παραπάνω φανερώνει ότι το σχήμα Bode του Α(ω) τείνει σε ευθεία γραμμή ψ=0 log k-0(n-) log ω όταν ù.αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα ψ (ω=1) στο σημείο 0 log k και στην κορυφή της ισούται με -6(n-)db/oct. Αυτό θα διαπιστωθεί από το L και θα ονομαστεί η δεξιά ασύμπτωτη της Α(ω). Ο ασύμπτωτος χαρακτήρας του Η(jω) για ù 0 καθορίζεται παρόμοια. Ας υποθέσουμε για μικρό ω c( jù) m Aù H jù mð (5Α.7) Αυτό σημαίνει ότι το Η(s) έχει ένα μηδενικό (m>0) ή ένα πόλο (m<0) αρχικά. Από (5Α.7), απορρέει όπως στο (5Α.3) ότι για ù 0 το διάγραμμα Bode του Α(ω) τείνει σε μία ευθεία γραμμή με κορυφή 6m db/oct τέμνοντας το ω=1 άξονα στο σημείο ψ=0 log c. Αυτή η γραμμή θα διαπιστωθεί από L 0 και θα ονομαστεί αριστερή ασύμπτωτη του Α(ω). Αν m=0, αυτό σημαίνει ότι, αν Η(0) είναι πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός, τότε η αριστερή ασύμπτωτη L 0 είναι η οριζόντια γραμμή ψ=0 log Α(0). cù m öù Το διάγραμμα Bode του φ(ω) τείνει στη σταθερά -(n-)π/ για ù και στη σταθερά mπ/ για ù 0. Πραγματικές Ρίζες Ο καθορισμός των διαγραμμάτων Bode του Η(s) απλουστεύεται αν τα μηδενικά και οι πόλοι του είναι πραγματικά. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι, Σε αυτή την περίπτωση, H( s) = s + á Áù = ù + á öù = tan 1 ùá Το διάγραμμα Bode του Α(ω) είναι η καμπύλη (5Α.8) y = 0 log ù + á όπως δείχνει το σχήμα 5.64α.Η αριστερή ασύμπτωτη L 0 αυτής της καμπύλης είναι η οριζόντια γραμμή ψ=0 log α και η δεξιά ασύμπτωτη L είναι η ευθεία γραμμήψ=0 log ω επειδή log ù + á log ù= log 1 + á ù 0 ù

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Σχήμα 5.64 Όπως βλέπουμε από το σχήμα, οι γραμμές L 0 και L τέμνονται στο σημείο ω=α. Αυτό το σημείο θα ονομαστεί η γωνία συχνότητας της Α(ω). Θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε το διάγραμμα της Α(ω) από τη σπαστή γραμμή L αποτελούμενη από τις δύο ημιευθείες L 0 και L.Σε αυτή την περίπτωση, το απορρέον σφάλμα e(ω) δίνεται από το (βλέπε σχήμα 5.64α). 0 log ù + á 0 log á = 0 log 1 + ù á = 0 log ù + á 0 logù = 0 log 1 + á ù Από αυτό απορρέει ότι αν τα σημεία ù 1 και ù ισαπέχουν από τη γωνία συχνότητας ω=α αυτό σημαίνει ότι, αν ù1 á = á ù τότε eù ( 1) = eù Με άλλα λόγια, το σφάλμα e(ω) είναι επίπεδο στη γραμμή ω=α. Στο σχήμα 5.64β είδαμε το λογαριθμικό διάγραμμα του e(ω) σαν μία συνάρτηση του ω/α. Σημειώνουμε ότι eá = 0 3 db e á = e á = 0 log db. eù log και Στο σχήμα 5.65α παρουσιάσαμε το διάγραμμα γωνίας öù 1 ταυτότητα tan q+ tan 1 1 q = 90 απορρέει ότι = tan 1 ùá.από την αν ù1 á á ù öù1 + öù = 90 (5Α.9) Η αριστερή ασύμπτωτη Ì 0 της φ(ω) είναι ο οριζόντιος άξονας y=φ(0)=0 και η αριστερή ασύμπτωτη M είναι η γραμμή y = ö( ) = 90. Θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε το διάγραμμα της φ(ω) από την τεθλασμένη γραμμή Μ αποτελούμενη από τις δύο ημιευθείες Μ 0 και Μ και την τομή της ευθείας γραμμής =, τότε y = 45 log 10ω α ανάμεσα στα Μ 0 και Μ.Σ αυτή την προσέγγιση το απορρέον σφάλμα ε(ω) δίνεται από (βλ.σχ.5.65α). åù = tan 1 1 tan ùá ùá 10 ùá 45 log 10 ùá á10 ù 10á 1 90 tan ùá ù 10á Από τα παραπάνω και από (5Α.9) απορρέει ότι αν, ù1 á á ù = τότε åù = åù /8/008 5:1:00 pm

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Σχήμα 5.65 Στο σχήμα 5.65β, παρουσιάσαμε το λογαριθμικό διάγραμμα ε(ω) σαν συνάρτηση του ω/α. 1 Σημειώνουμε ότι å( 10á) = å( á 10) = tan = Παραδείγματα Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα για να καθορίσουμε τα διαγράμματα Bode διαφόρων ρητών συναρτήσεων με πραγματικά μηδενικά και πραγματικούς πόλους. Αρχίζουμε με τις ακόλουθες μελέτες. Αν ο όρος s+α μετατραπεί σε s-α, τότε το αντίστοιχο κέρδος παραμένει το ίδιο, όπως στο (5Α.8) αλλά η φάση μεταβάλλεται σε 180-φ(ω) (βλ.σχ.5.66). Ai ù = ù + ái öi ù = tan 1 ù ái όλων των παραγόντων s+ á i έχουν το ίδιο αντικείμενο σχηματισμού σε μια μετατροπή. Η οριζόντια θέση τους προσδιορίζεται στα πλαίσια των γωνιακών συχνοτήτων á i.για την κατακόρυφη θέση τους δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σωστό επίπεδο 0 log á i ; αντίθετα μπορούμε να τοποθετήσουμε την αριστερή τους ασύμπτωτη πάνω στον άξονα ω. Αυτό εισάγει έναν λανθασμένο παράγοντα στο κέρδος Α(ω) του Η(jω) αλλά το σφάλμα μπορεί να διορθωθεί αν η αριστερή (ή δεξιά) ασύμπτωτη του Α(ω) είναι σωστά τοποθετημένη όπως στο (5Α.7) ή (5Α.8). Το κέρδος και οι φάσεις Σχήμα 5.66 Αφού για μία πρώτη προσέγγιση στο διάγραμμα του Α(ω) χρησιμοποιούμε το άθροισμα των προσεγγίσεων L της τεθλασμένης γραμμής των διαγραμμάτων του καθενός από τους όρους A i ( ù).οι αριστερές τους ασύμπτωτες μπορούν να αγνοηθούν γιατί ήταν τοποθετημένες στον άξονα ψ=0.οι δεξιές τους ασύμπτωτες είναι ημιευθείες που ξεκινούν από το ù= á i και το άθροισμά τους στοιχειοθετεί μία τεθλασμένη γραμμή C αποτελούμενη από τον τομέα μιας ευθείας γραμμής ανάμεσα σε δύο διαδοχικές συχνότητες γωνιών. Αυτή η γραμμή θα ονομαστεί το ασυμπτωτικό σχήμα της Α(ω). Για να καθορίσουμε τη γραμμή C εντοπίζουμε, πρώτα, την αριστερή ασύμπτωτη L 0 του Α(ω) όπως στο (5Α.6).Αυτή είναι μία ευθεία γραμμή με κορυφή 6m db/oct και στον ψ-άξονα η τομή είναι η 0 log c.ακολουθούμε τη γραμμή L 0 από το ω=0 (x = ) μέχρι την πρώτη συχνότητα ù= á 1.Σε αυτό το σημείο αλλάζουμε την κορυφή με ±6 db oct αν ο αντίστοιχος παράγοντας s+ της Η(s) είναι απλός, ή με ±6m db oct αν είναι πολλαπλός. Συνεχίζουμε á i

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE αλλάζοντας όπως πρέπει την κορυφή των τομέων του C σε κάθε συχνότητα γωνίας á i μέχρι να φτάσουμε το μέγιστο á i.η τελευταία γραμμή που σχηματίστηκε με αυτόν τον τρόπο, είναι η δεξιά ασύμπτωτη L της Α(ω). Στην προσέγγιση της Α(ω) από την τεθλασμένη γραμμή C προκύπτει ένα σφάλμα. Παρόλα αυτά το λάθος αυτό μπορεί εύκολα να διορθωθεί αν προσθέσουμε στην συχνότητα κάθε γωνίας την καμπύλη e(ω) του σχήματος 5.64β.Η διόρθωση προστίθεται κατακόρυφα στο εσωτερικό της γωνίας του C στο ù= á i.αν η απόσταση ανάμεσα στις συχνότητες των γωνιών που γειτονεύει περάσει τις δύο οκτάβες το κενό ανάμεσα στις διορθώσεις είναι αμελητέο. Σχήμα 5.67 Στις ακόλουθες απεικονίσεις, συζητάμε μόνο τον καθορισμό των ασυμπτωτικών σχημάτων των διαφόρων κερδών. Οι απαιτούμενες διορθώσεις φαίνονται στο κάθε σχήμα. (a) 50s H() s = ( s + 10)( s + 00) Κοντά στην αρχή, είναι H( jù) jù 40, κι εφεξής η αριστερή ασύμπτωτη L o της Α(ω) είναι η γραμμή ω/40.αυτή η γραμμή τέμνει τον άξονα ω=1 στο σημείο ψ=0 log 1/40=3db και η κορυφή της ισούται με 3db/oct (σχ.5.67α).στην συχνότητα της πρώτης γωνίας ù= á1 = 10,μειώνουμε την κορυφή L o σε 6 db/oct γιατί ο όρος s+10 είναι ο παρανομαστής της Η(s).Ακολουθούμε την οριζόντια γραμμή που προκύπτει μέχρι την επόμενη συχνότητα ù= á = 00 και σε αυτό το σημείο μειώνουμε πάλι την κορυφή σε 6 db/oct. Η τελευταία γραμμή του C είναι η δεξιά ασύμπτωτη 50/ω. (b) /8/008 5:1:00 pm

7 40( s ) H() s = ss ( + ) Κοντά στην αρχή, είναι H( jù) 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ jù,γι' αυτό η αριστερή ασύμπτωτη L 0 είναι η γραμμή 1/ω.Στο σχήμα 5.67β εντοπίζουμε L 0 όχι από την ψ παρεμπόδιση του όπως προηγουμένως, αλλά από την τιμή 1/0.1=10 του 1/ω στην συχνότητα της πρώτης γωνίαςù= á1 = 01.. Σ' αυτό το σημείο,ψ=0 log 10=0 db, επομένως το L 0 είναι μια ευθεία γραμμή με κορυφή -6 db/oct που περνάει από το σημείο ω=0.1,ψ=0.πέραν από αυτό το σημείο αυξάνουμε την κορυφή του L 0 σε 6 db/oct αποκτώντας έναν οριζόντιο τομέα. Στην επόμενη συχνότητα της γωνίας ù= á = μειώνουμε την κορυφή σε 1 db/oct γιατί ο πόλος s=- είναι διπλός.η τελευταία γραμμή του C είναι η δεξιά ασύμπτωτη 40 ù. (c) s 1 H() s = s s + 10 Αυτή η συνάρτηση έχει μηδέν στο δεύτερο μέλος. Παρ όλα, αυτά jù 1 = jù+ 1 = ù + 1 αφού η συμβολή είναι η καμπύλη του σχήματος 5.64α λαμβανόμενη με ω=1. Η αριστερή ασύμπτωτη του Α(ω) είναι η οριζόντια γραμμή ψ=0 log 10=0 db. (σχ. 5.67c) γιατί Α(0)=10.Ακολουθούμε τη γραμμή μέχρι να φτάσουμε την συχνότητα της πρώτης γωνίας ù= á1 = 01.. Σ' αυτό το σημείο μειώνουμε την κορυφή σε 1 db/oct γιατί ο πόλος s=-0.1 είναι διπλός. Στη συχνότητα της επόμενης γωνίας ù= á = 1 αυξάνουμε την κορυφή σε 6 db/oct και στο ù= á3 = 10 τη μειώνουμε σε 6 db/oct φτάνοντας στην δεξιά ασύμπτωτη 1 ù. (d) Θέλουμε να βρούμε μία συνάρτηση Η(s) έτσι ώστε το ασυμπτωτικό διάγραμμα του κέρδους του Α(ω)= Η(jω) είναι η καμπύλη C που φαίνεται στο σχ.5.67d. Όπως βλέπουμε από το σχήμα η αριστερή ασύμπτωτη του Α(ω) είναι η γραμμή ψ=0 και οι συχνότητες των γωνιών ίσες με 0.1,1,10,και 100.Σ'αυτές τις συχνότητες, η κορυφή των τομέων του C μεταβάλλεται σε -6,18,-1,και -1db/oct.Αυτά τα στοιχεία καθορίζουν το Α(ω) μοναδικά. Για να καθορίσουμε το Η(s) όμως χρειαζόμαστε περισσότερα στοιχεία. Αν είναι γνωστό ότι όλες οι ρίζες του Η(s) είναι αρνητικές, τότε το Η(s) είναι το κλάσμα () H s = Και αφού A ks ( + 1) ( s )( s + 10)( s + 100) 0 = k 10 5 και η αριστερή ασύμπτωτη είναι η γραμμή ψ=0,συμπεραίνουμε ότι 0= log k 10 5, γι' αυτό,k = ΣΗΜΕΙΩΣΗ Γενικά, το Η(s) δεν είναι καθορισμένο μοναδικά στα πλαίσια του κέρδους του Η(jω).Αν Η(s) είναι η συστηματική συνάρτηση ενός σταθερού συστήματος, τότε ο παρανομαστής είναι μοναδικός γιατί όλες οι ρίζες του βρίσκονται στο δεξιό πλάνο. Αυτό πάντως δεν είναι απαραίτητο για τον αριθμητή. Στο παραπάνω παράδειγμα, ο αριθμητής μπορεί να είναι ( s + 1) ή ( s 1).Όπως δείχνει το παράδειγμα, η συνάρτηση Η(s) είναι καθορισμένη μοναδικά στα πλαίσια του κέρδους της όχι μόνο όταν οι πόλοι αλλά και τα μηδενικά της είναι στο αριστερό μέρος. Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται ελάχιστη φάση (βλέπε επίσης σελ.83)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Μιγαδικές Ρίζες Για να καθορίσουμε τα διαγράμματα Bode των συναρτήσεων με μιγαδικά μηδενικά ή πόλους, μπορούμε να βρούμε τις συμβολές που αντιστοιχούν στην κάθε ρίζα και συνεχίζουμε όπως στο (5Α.6) ή κατά προτίμηση, μπορούμε να υπολογίσουμε κατευθείαν τους αντίστοιχους δευτεροβάθμιους παράγοντες. Θα ακολουθήσουμε τη δεύτερη προσέγγιση. Όπως γνωρίζουμε (σελ.08),μια δευτεροβάθμια συνάρτηση με ρίζες á± jâ μπορεί να γραφτεί s + æùs + ù ù = á + â æ = á ù Το ανοιγμένο κέρδος Α(ω)/Α(0) της συνάρτησης είναι η ρίζα ( 0) Áù Á ù ù = 1 + 4æ ù ù της οποίας το σχήμα εξαρτάται, από την τιμή του ζ. Αν ζ>0.707,αυτό σημαίνει ότι αν α>β,τότε το κέρδος είναι μια μονοτονία που αυξάνει τη συνάρτηση όταν αυξάνεται το ω[βλ.(5.79)].αλλά αν ζ<0.707,τότε μειώνεται φτάνοντας σε ένα ελάχιστο ù= ù = â á = ù 1 æ και Áù m m = áâ. Στο σχ.5.68α,βλέπουμε τα διαγράμματα Bode ενός φυσιολογικού κέρδους Α(ω)/(Α0)σε μια συνάρτηση του ùù για διάφορες τιμές του ζ. Η αριστερή τους ασύμπτωτη είναι ο άξονας ω και η δεξιά τους ασύμπτωτη είναι η ευθεία γραμμή ù ù.αν ζ=0,τότε οι ρίζες είναι καθαρά φανταστικές Áù ù = 1 Á 0 ù όπως στο σχ.5.68b. Σημειώνουμε ότι τα διαγράμματα Bode των συναρτήσεων με σύνθετες ρίζες είναι περιορισμένης χρήσης ειδικότερα αν το æ << 1.Ο λόγος είναι ότι, σε αντίθεση με τις πραγματικές ρίζες, περιλαμβάνουν όχι μόνο μια συνάρτηση αλλά μια ολόκληρη οικογένεια συναρτήσεων που στηρίζονται στην παράμετρο ζ. Επιπλέον αν το ζ είναι μικρό, η ασυμπτωτική προσέγγιση του σφάλματος είναι μεγάλη. Σχήμα /8/008 5:1:00 pm