knaufinsulation.hr Izolacija ravnih krovova

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "knaufinsulation.hr Izolacija ravnih krovova"

Transcript

1 knaufinsulation.hr Izolacija ravnih krovova

2 Svojstva i prednosti kamene mineralne vune Knauf Insulation danas je najbræe rastuêi koncern u Europi i jedan od rijetkih koji moæe ponuditi πiroku paletu gotovo svih vrsta uobiëajenih i provjerenih toplinskih izolacija, ali u segmentu ravnog krova kamena vuna je zaista optimalno rjeπenje. Knauf Insulation ploëe za ravne krovove DDP, DDP RT, DDP G ispunit Êe gotovo sve spomenute zahtjeve, a odlikuju se sljedeêim svojstvima, ujedno i prednostima: Protupoæarna zaπtita Mineralna vuna Knauf Insulation optimalan je izbor klase gorivosti A1 (regulirano HRN EN :2002), s temperaturom taljenja iznad 1000 C. ZvuËna zaπtita Mineralna vuna Knauf Insulation ima visoku sposobnost apsorpcije i priguπenja zvuka. Toplinska zaπtita Mineralna vuna Knauf Insulation izvrstan je toplinski izolator, osigurava ugodnu klimu u interijeru i ljeti i zimi. Zaπtita okoliπa i zdravlja Mineralna vuna Knauf Insulation doprinosi zaπtiti okoliπa. Znatno smanjenje emisije ugljiënog dioksida CO 2 kao stakleniëkog plina te spreëavanje nastanka kondenzata u krovnoj konstrukciji kao i na unutarnjim stropnim povrπinama, a time i nastanak plijesni i gljivica πtetnih za zdravlje. Trajnost i otpornost Pravilno ugraappleena Knauf Insulation kamena vuna gotovo da i nema roka trajanja, zanemarivog je temperaturnog istezanja (temperature koje nastaju na krovu te oscilacija iste od -25 C do 75 C), kemijski je inertna te nepodobna za nastanjenje insekata i mikroorganizama, πto uvelike smanjuje troπkove odræavanja krova. Uπteda Mineralna vuna Knauf Insulation πtedi energiju i novac. Jednostavna i brza ugradnja Mineralna vuna Knauf Insulation polaæe se brzo i jednostavno na ravne krovove. 2

3 Izolacija ravnih krovova Ravni krovovi Krov nije isto πto i nadstreπnica za zaπtitu od oborina, veê konstrukcijski i funkcionalno sloæena graappleevna cjelina koja izgleda jednostavno samo na djeëjim crteæima. Prema tipu i obliku krov naglaπava prepoznatljivost pojedine zgrade, ulice ili naselja, a ponekad i cijelog grada, bilo da se radi o ravnim krovovima, kosim dvostreπnim ili krovovima na viπe voda, raznolikih i razvedenih kombinacija, πatorastim, mansardnim krovovima, terasama, kupolama, zaobljenim kroviπtima, tornjiêima, itd. U zadnjih 50 godina u stambeno-poslovnoj gradnji dominira ravni krov kao odlika i prepoznatlijivost nastavka moderne arhitekture i urbanizma. Krov je graappleevni element koji je najjaëe optereêen klimatskim i graappleevnofizikalnim utjecajima. Svaki krov mora biti mehaniëki otporan, Ëvrst i stabilan, prvenstveno vodonepropusan, postojan na UV-zrake, otporan na vatru te sposoban oduprijeti se nastanku kondenzata u krovnoj konstrukciji, odnosno uspjeπno odvesti difuznu paru iz iste. Krov takoappleer treba biti izveden na naëin da s njega ne smije pasti niπta πto bi moglo ugroziti prolaznike, ukljuëujuêi snijeg i led. Zbog uëestalijih problema s prokiπnjavanjem ravnog krova proπirilo se nepovjerenje u ravni krov, kako meappleu struënjacima tako i meappleu nestruënjacima. Zbog πtednje se najëeπêe ne traæe uzroci proboja oborinske vode veê se preko postojeêe hidroizolacije izvede joπ jedan hidroizolacijski sloj. Nedavno istraæivanje πteta nastalih na ravnim krovovima u zemljama EU pokazalo je da u ukupnim πtetama na ravnim krovovima pogreπke u projektiranju i izvoappleenju, koje se uglavnom svode na nedovoljno poznavanje graappleevne fizike, sudjeluju sa 75%, πto znaëi da je veêina πteta na ravnim krovovima posljedica neëega πto se s malo viπe znanja i paænje moglo sprijeëiti. Stoga je dilema ravni ili kosi krov nepotrebna. Dokaz tome su milijuni metara kvadratnih razliëitih vrsta ravnih krovova πirom Europe, koji su ispravno projektirani, briæljivo izvedeni te odgovarajuêe odræavani i koji vrπe svoju funkciju bez nedostataka veê desetke godina. 3

4 Ravni krov je, za razliku od kosih, prekriven neprekinutom vodonepropusnom opnom - hidroizolacijom, te u tom smislu moæe biti bilo kojeg nagiba od 0 do 90. Struka Êe ipak prema nagibu krovove podijeliti na: - krovove velikog nagiba ili kose krovove nagiba >25 - krovove blagog nagiba od 5 do 25 i - krovove neznatnog nagiba ili ravne krovove <5. Ravne krovove prema zavrπnom sloju dijelimo na: - neprohodne krovove - prohodne krovove - krovne terase - zelene krovove. Prema konstrukciji i graappleevno-fizikalnom djelovanju krovove dijelimo na: - provjetravane dvodjelne (raniji naziv hladni krovovi ), obiëno neπto veêeg nagiba - neprovjetravane jednodjelne (raniji naziv topli krovovi ). 4

5 Izolacija ravnih krovova Poseban oblik jednodjelnog neprovjetravanog krova je obrnuti krov koji se najëeπêe izvodi na masivnim betonskim podlogama, a kod kojeg se sloj toplinske izolacije nalazi iznad sloja hidroizolacije te se kod ovakvog rjeπenja materijal za toplinsku izolaciju najviπe koristi ekstrudirani polistiren (XPS). Osnovne komponente zelenog krova Krov kod kojeg se dio toplinske izolacije nalazi ispod, a dio iznad sloja hidroizolacije, naziva se DUO-krov ili PLUS-krov no takvo rjeπenje Ëesto se koristi kod sanacije ravnog krova pri Ëemu se zadræavaju postojeêi slojevi krova. Dodatno se iznad sanirane hidroizolacije izvede sloj ekstrudiranog polistirena sa slojem πljunka kao dodatnog optereêenja protiv usisavajuêeg djelovanja vjetra vegetacijski sloj 2. plodni supstrat 3. filterski sloj 4. drenažno-akumulacijski sloj 5. protukorijenska zaštita 6. hidroizolacija 7. toplinska izolacija 8. parna brana 9. krovna konstrukcija ć Ekoloπke i ekonomske prednosti zelenih krovova Zdravija životna okolina apsorpcija prašine i štetnih plinova, proëišêavanje zraka od smoga ugodnija mikroklima ljeti, oëuvanje vlažnosti zraka poveêana zaštita od zraëne buke Ekologija životni prostor za biljke i životinje smanjenje i usporenje dotoka oborinskih voda globalno povoljan utjecaj na klimu Uštede u korištenju i održavanju zgrade produljenje životnog vijeka hidroizolacije dodatna toplinska zaštita Iskoristivost površine dodatna korisna površina ljepša slika grada i pejzaža 5

6 Funkcionalni slojevi klasiënog ravnog krova 1. Sloj za zaπtitu gornje povrπine Ima zadatak zaπtititi krovnu hidroizoalciju od UV-zraËenja te mehaniëkih, toplinskih i atmosferskih utjecaja, ali kod suvremenih visokovrijednih sintetskih polimernih membrana taj sloj viπe nije potreban. 2. Krovna hidroizolacija Ima zadatak sprijeëiti prodiranje oborinske vode u slojeve krova, a time i u unutraπnjost zgrade. Mora odoljeti brojnim nepovoljnim utjecajima kao πto su: UV-zraËenje, visoka i niska temperatura, snijeg, tuëa, vjetar, atmosferska oneëiπêenja, dim, leteêa vatra, zraëenje topline, mehaniëko optereêenje kod koriπtenja. U novije vrijeme koriste se krovne membrane na bazi EPDM, VAE, CSM, PVC, PIB, ECB, TPO. 3. Razdjelni sloj/sloj za izjednaëenje tlaka vodene pare Treba zaπtititi hidroizolaciju od hrapave podloge i sprijeëiti posljedice kemijske nepodnoπljivosti izmeappleu materijala hidroizolacije i toplinske izolacije. Ponekad razdjelni sloj treba osigurati otpornost hidroizolacije protiv leteêe vatre i zraëene topline pa se u tom sluëaju koristi stakleni voal od 120g/m 2. Sloj takoappleer treba omoguêiti izjednaëenje lokalnih tlakova vodene pare koja potjeëe od eventualno ugraappleene ili difuzijske vlage te smanjiti prenoπenje pomicanja donjih slojeva na sloj hidroizolacije.»esto se u tu svrhu koriste hidroizolacijske folije s netkanim filcom, a ako se za hidroizolaciju koriste visokovrijedne polimerne folije i polaæu se slobodno ili se toëkasto, trakasto lijepe, tada razdjelni sloj nije potreban. 4. Sloj toplinske izolacije Zadatak mu je ograniëiti gubitke topline (uπtediti energiju i smanjiti emisiju CO 2 ), omoguêiti postizanje ugodne mikroklime u prostoru ispod krova i sprijeëiti kondenzaciju vodene pare na povrπini stropa, a time i razvoja plijesni i gljivica. Toplinska izolacija mora imati minimalnu nosivost 20 kpa. Kamena vuna Knauf Insulation DDP, DDP RT i DDP G uz toplinsku izolaciju uëinkovita je protupoæarna i zvuëna izolacija, Ëime ispunjava velik dio bitnih zahtjeva za graappleevine. 5. Sloj parne brane Zadatak mu je sprijeëiti ulazak vodene pare iz unutraπnjosti zgrade u sloj toplinske izolacije gdje moæe kondenzirati. Sloj takoappleer moæe vrπiti funkciju privremene hidroizolacije za vrijeme graappleenja. Trake parne brane moraju biti meappleusobno nepropusno zabrtvljene. Za uobiëajene uvjete koriπtenja zgrade, mehaniëko uëvrπêenje slojeva kroz sloj parne brane obiëno ne πteti njenoj funkciji. Kod svih prikljuëaka, prodora i zavrπetaka radova parna brana se podiæe u vertikalu do gornje povrπine sloja toplinske izolacije i nepropusno 6

7 Izolacija ravnih krovova 1200 KNAUF INSULATION DDP krovne izolacijske ploëe 2000 Parna brana Obavezan naëin postavljanja Knauf Insulation krovnih ploëa u odnosu na smjer rebara profiliranog lima KNAUF INSULATION visokoljepiva traka LDS Soliplan - za ljepljenje preklopa parne brane spaja na vertikalne graappleevne elemente. Ovisno o fizikalnom proraëunu koriste se polietilenske folije ili jaëe parne brane tipa bitumenskih traka s uloπkom od aluminijske folije. 6. Sloj za izjednaëenje Ima zadatak zaπtititi parnu branu od hrapave povrπine podloge i njezinih kemijskih utjecaja, a takoappleer i premostiti male pukotine uslijed stezanja i naprezanja nosive konstrukcije. Za tu svrhu se najëeπêe koristi sintetiëki voal. 7. Nosiva krovna ploëa Ima zadatak da zatvori prostor zgrade prema gore, preuzme vanjsko optereêenje od vlastite teæine krova, te ovisno o materijalu i povrπinskoj masi akumulira toplinu. U pravilu se izvodi u nagibu radi bræe odvodnje krova, a za njenu izvedbu se koriste sljedeêi materijali: -ljevani beton -predgotovljeni elementi od AB ili prednapregnutog betona -predgotovljeni elementi od porobetona -ËeliËni trapezni lim -daπëana oplata ili ploëe na bazi drva. KNAUF INSULATION armirana ljepiva traka LDS Solifit - za ljepljenje parne brane uz atiku, odzraënike i dimnjake 7

8 Upute za ugradnju krovnih ploëa kamene vune PRILIKOM UGRADNJE KNAUF INSULATION PLO»A ZA RAVNE KROVOVE POTREBNO JE PRIDRÆAVATI SE SLJEDE EG: DDP DDP-RT Transport paleta na krovu preko dasaka, oplatnih ploëa ili paleta ugraappleivati se smije samo suh i neoπteêen proizvod proizvod se polaæe na pripremljenu suhu podlogu prilikom polaganja proizvoda na otvorenom potrebno je sprijeëiti moguêe oπteêenje uslijed djelovanja atmosferilija (kiπa, snijeg) ukoliko se izvodi kombinacija proizvoda DDP RT i DDP, proizvod DDP RT se postavlja ISKLJU»IVO ispod proizvoda DDP, pri Ëemu debljina proizvoda DDP ne smije biti manja od 5,00 cm proizvodi DDP i DDP RT namijenjeni su u prvom redu izvedbi klasiënih, ravnih neprohodnih krovova. Isti se mogu primjeniti i prilikom izvedbe prohodnih krovova uz sljedeêe napomene: - obavezna primjena drenaænih slojeva (geotekstila ili sl.) iznad sloja hidroizolacije - obavezna primjena armaturnih mreæa nosivih u oba smjera u vlaënoj zoni armirano-betonske ploëe (ili estriha), kao nosivih slojeva zavrπne obloge - ne preporuëa se postava predgotovljenih ploëa preko podmetaëa (podloænih ploëica) koji su oslonjeni direktno na hidroizolacijsku foliju. U tom sluëaju, preporuëa se postava podmetaëa povrπine ca. 50% povrπine zavrπnih ploëa ili oslanjanje podmetaëa na armirano-betonsku ploëu ili estrih preko toplinske izolacije. prilikom ugradnje proizvoda, potrebno je pridræavati se redoslijeda ugradnje pojedinih slojeva konstrukcije danih u projektnoj dokumentaciji, odnosno projektu u odnosu na toplinsku zaπtitu i uπtedu energije, te prospektnoj dokumentaciji i preporukama od strane proizvoappleaëa tijekom dostave proizvoda (uglavnom na paletama), isti se NIKAKO ne smiju poloæiti direktno na ploëe toplinske izolacije (i hidroizolaciju), veê ISKLJU»IVO na prethodno poloæenu podlogu (daske, ploëe od iverice i sl.) preko sloja izolacije ukoliko se vrπi transport materijala i opreme direktno preko sloja toplinsko-izolacijskih ploëa, obavezna je postava hodnih staza od dasaka ili ploëa od iverica ili sl., preko spomenutog sloja kod izolacije ravnih ili kosih krovova koji se izoliraju s Knauf Insulation DDP, DDP RT, odnosno Knauf Insulation DDP G proizvodom, potrebno je poduzeti mjere za spreëavanje oπteêenja izolacijskog materijala (izrada privremenih transportnih puteva). Detalj KICKERSA za istovar bez palete 1200x300x100 do debljine ploëa 100 mm. Za veêe debljine ploëa od 100 mm, KICKERSI su u debljini ploëa. 8

9 Izolacija ravnih krovova Osnovne komponente klasiënog ravnog krova hidroizolacijska membrana 2 - teleskopske tiple 3 - KNAUF INSULATION KL klin za ravne krovove 4 - KNAUF INSULATION DDP ploëa za ravne krovove 5 - KNAUF INSULATION DDP RT ploëa za ravne krovove 6 - parna brana, PE folija 7 - ËeliËni profilirani lim Slika prikazuje presjek ravnog krova, kombinaciju DDP RT krovnih ploëa kao podloge i DDP ploëa u gornjem sloju minimalne debljine 5cm. KL klin dimenzija 5x5 do 10x10cm postavlja se uz krovnu atiku, usmjerava oborinsku vodu te spreëava spoj hidroizolacije pod pravim kutem πto joj spreëava oπteêenje, odnosno kidanje folije. Kod trakastih i visokovrijednih paropropusnih HI membrana parorasteretni sloj (stakleni voal) nije potreban, u protivnom se preporuëa postava istog kao i odzraënika za odvodnju difuzne pare (1 na 35m 2 povrπine). PREDNOSTI IZOLIRANJA KOMBI- NACIJOM DDP RT i DDP PLO»A: bolja toplinska izolacija DDP RT ploëa (lambda 0,038) bolja tlaëna ËvrstoÊa DDP ploëa (CS 70) izbjegavanje toplinskih mostova drugim slojem izolacije preko spojeva ploëa prvog sloja izolacije hidroizolacijska membrana 2 - teleskopske tiple 3 - KNAUF INSULATION DDP G klin za ravne krovove 4 - KNAUF INSULATION DDP ploëa za ravne krovove 5 - slivnik 6 - parna brana, PE folija 7 - sintetiëki voal 8 - AB nosiva ploëa Na slici je prikazan presjek ravnog krova s kombinacijom ravnih krovnih ploëa od kamene vune DDP i u gornjem sloju krovne ploëe u padu DDP G (moguêi pad od 0,5-8%). Po dostavi izvedbenih nacrta s tlocrtnim dimenzijama ravnog krova, æeljenim smjerovima odvodnje oborinske vode, odnosno pozicijama slivnika kao i minimalnoj debljini TI i æeljenom padu, izraappleuje se plan polaganja DDP G i precizna specifikacija materijala toplinske izolacije za ravni krov. SintetiËki voal (geotekstil) na AB-podlozi ima funkciju razdjelnog i parorasteretnog sloja, prvenstveno spreëava oπteêenje parne brane od moguêih neravnina i pukotina na AB-ploËi. U sluëaju korektno izvedene nosive AB-ploËe, razdjelni sloj nije potreban. 9

10 Smjernice za pravilno polaganje krovnih ploëa Dulja strana ploëe mora biti postavljena okomito na smjer rebara krovnog lima. PRILIKOM POLAGANJA PROIZVODA NA TRAPEZNE LIMOVE POTREBNO JE PAZITI NA SLJEDE E: ploëe standardnih dimenzija 2000 x 1200 mm i 1000 x 600 mm (iznimno), postavljaju se na naëin da se dulja strana ploëe polaæe okomito u odnosu na smjer pruæanja rebara trapeznog lima minimalna debljina izolacijskog sloja poloæenog na trapezni lim ovisno o razmaku izmeappleu rebara: svjetla πirina izmeappleu gornjih povrπina rebara (mm) minimalna preporuëena debljina toplinske izolacije (mm) ukoliko je projektnom dokumentacijom predviappleeno polaganje izolacije u dva sloja, tada ploëe gornjeg sloja moraju biti izmaknute u odnosu na ploëe donjeg sloja, tj. spojevi ploëa gornjeg i donjeg sloja ne smiju se podudarati. na mjestima na kojima se predviappleaju ËeπÊa dinamiëka optereêenja uslijed potreba za komunikacijom prilikom redovitih kontrola i odræavanja krova i instalacija, obavezna je postava ojaëanja (hodnih staza) kako bi se izbjegla eventualna mehaniëka oπteêenja toplinske i hidroizolacije. 10

11 Izolacija ravnih krovova Knauf Insulation proizvodi za izolaciju ravnih krovova KNAUF INSULATION ploëa za ravne krovove DDP Opis proizvoda Tvrde ploëe od kamene vune Proizvod je negoriv, otporan na visoke temperature, vodoodbojan, otporan na starenje te kemijski neutralan. Dimenzije i program isporuke za KNAUF INSULATION ploëu za ravne krovove DDP Debljina (mm) Širina (mm) Duljina (mm) m 2 /paleta , , , , , , , ,20 TehniËki podaci Simbol Vrijednost Norme i propisi Deklarirani koeficijent toplinske provodljivosti λ D 0,040 W/mK HRN EN Klasa negorivosti - najviša - A1 HRN EN Otpor difuziji vodene pare µ 1 HRN EN Uzdužni otpor strujanju zraka r r > 60 kns/m 2 HRN EN KljuË za obilježavanje - T5-DS(T+)-DS(TH)-CS(10)70-TR10-PL(5)650-WS HRN EN Potvrda o sukladnosti 1/05 - ZGP IGH Obrazloæenje kljuëa za obiljeæavanje proizvoda MW - mineralna vuna; EN - europska norma; T - tolerancija za debljinu; DS(TH) - deklarirana vrijednost dimenzionalne stabilnosti kod 70 C i 90% relativne vlaænosti zraka; CS(10) - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu tlaëne ËvrstoÊe; TR - Oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu delaminacije (raslojavanja); PL(5) - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu toëkastog optereêenja; WL(P) - oznaka kvalitete proizvoda u pogledu dugotrajne vodoupojnosti; AF - oznaka kvalitete proizvoda u pogledu otpora strujanju. 11

12 KNAUF INSULATION ploëa za ravne krovove DDP RT Opis proizvoda Tvrde ploëe od kamene vune Proizvod je negoriv, otporan na visoke temperature, vodoodbojan, otporan na starenje te kemijski neutralan. Dimenzije i program isporuke za KNAUF INSULATION ploëu za ravne krovove DDP RT Obrazloæenje kljuëa za obiljeæavanje proizvoda MW - mineralna vuna; EN - europska norma; T - tolerancija za debljinu; CS(10) - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu tlaëne ËvrstoÊe; WS - oznaka kvalitete proizvoda u pogledu kratkotrajne vodoupojnosti. Debljina (mm) Širina (mm) Duljina (mm) m 2 /paleta , , , , , ,20 TehniËki podaci Simbol Vrijednost Norme i propisi Deklarirani koeficijent toplinske provodljivosti λ D za debljine 50 mm λ = 0,038 W/mK HRN EN Klasa negorivosti - najviša - A1 HRN EN Otpor difuziji vodene pare µ 1 HRN EN KljuË za obilježavanje - T5-DS(T+)-DS(TH)-CS(10)50-TR10-PL(5)500-WS HRN EN Potvrda o sukladnosti 1/05 - ZGP IGH KNAUF INSULATION klin za ravne krovove KL Ugradnjom krovnog klina omoguêavamo otjecanje oborinskih voda te spreëavamo spajanje hidroizolacijskih membrana pod oπtrim kutem πto bi moglo dovesti do naruπavanja njihove trajnosti. 12

13 Izolacija ravnih krovova KNAUF INSULATION ploëa za ravne krovove DDP G Opis proizvoda Tvrde ploëe od kamene vune kvadratnog oblika u nagibu od 0,5 do 8% Proizvod je negoriv, otporan na visoke temperature, vodoodbojan, otporan na starenje te kemijski neutralan. Dimenzije i program isporuke za KNAUF INSULATION ploëu za ravne krovove DDP G nagiba 1% Debljina (mm) Širina (mm) Duljina (mm) m 2 /paket 20/ ,00 30/ ,00 40/ ,00 50/ ,00 60/ ,00 70/ ,00 80/ ,00 90/ ,00 TehniËki podaci Simbol Vrijednost Norme i propisi Deklarirani koeficijent toplinske provodljivosti λ D 0,040 W/mK HRN EN Klasa negorivosti - najviša - A1 HRN EN Otpor difuziji vodene pare µ 1 HRN EN Uzdužni otpor strujanju zraka r r > 60 kns/m 2 HRN EN KljuË za obilježavanje - T5-DS(T+)-DS(TH)-CS(10)70-TR10-PL(5)650-WS HRN EN Potvrda o sukladnosti 1/05 - ZGP IGH Obrazloæenje kljuëa za obiljeæavanje proizvoda MW - mineralna vuna; EN - europska norma; T - tolerancija za debljinu; DS(TH) - deklarirana vrijednost dimenzionalne stabilnosti kod 70 C i 90% relativne vlaænosti zraka; CS(10) - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu tlaëne ËvrstoÊe; TR - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu delaminacije (raslojavanja); PL(5) - oznaka za kvalitetu proizvoda u pogledu toëkastog optereêenja; WL(P) - oznaka kvalitete proizvoda u pogledu dugotrajne vodoupojnosti; AF - oznaka kvalitete proizvoda u pogledu otpora strujanju. Dimenzije i program isporuke za KNAUF INSULATION klina za ravne krovove KL Debljina (mm) Duljina (mm) irina (mm) komada/paleta

14 KNAUF INSULATION Polyfoam C-350 LJ glatki falcani Opis proizvoda Glatke ploëe ravnog ruba, proizvedene kao tvrda izolacijska pjena od ekstrudiranog polistirena, gotovo 100% zatvorenih pora, za toplinsku zaπtitu graappleevnih dijelova i konstrukcija koje su izloæene visokim tlaënim optereêenjima i vlazi. Dimenzije i program isporuke za KNAUF INSULATION Polyfoam C-350 LJ Debljina (mm) Širina (mm) Duljina (mm) m 2 /paket m 2 /paleta ,50 126, ,50 90, ,00 72, ,25 63, ,75 45, ,00 36, ,25 31, ,25 27,00 C-350 LJ - glatka površina Svojstva dana u skladu sa zahtjevima norme HRN EN 13164:2002 Oblik rubova ploëa je utvrappleen sljedeêim oznakama: SE - ravan rub, LJ - stepenasti L rub TehniËki podaci Nominalna debljina mm Toplinska provodljivost λ D - W/m K Tolerancija debljine T - Klasa 1 Toplinska stabilnost - % DS(TH), DLT(1)5, DLT(2)5 TlaËna ËvrstoÊa CS (10/Y) - kpa Vodoupojnost WL(T) - Vol.-% 0.7 WD(V) - Vol.-% Otpornost na smrzavanje i odmrzavanje FT - Vol.-% Negorivost Euroklasa E 14

15 Izolacija ravnih krovova TOPLINSKI MOSTOVI I MEHANI»KO U»VR ENJE Kada toplinski izoliramo svaki graappleevni element mora biti besprijekorno obavijen toplinskom izolacijom. Svi proboji kroz konstrukcije, sve promjene geometrije graappleevnog elementa potencijalni su toplinski mostovi odnosno rupe za istjecanje topline i uvjet za nastanak graappleevinskih πteta, razvoja plijesni i gljivica. PloËe kamene vune zbog svoje strukture imaju korektnu izolativnost, Ëak i kada nisu Ëvrsto sljubljene jedna uz drugu. Termografijom je dokazano da pri otvorenom dodiru krovnih ploëa debljine 150 mm nema toplinskog mosta dok to za ploëe iz organskih pjenastih materijala ne vrijedi, pa se moraju polagati dvoslojno. Mnogo veêi toëkasti toplinski gubici javljaju se na mjestima mehaniëkog priëvrπêenja (tiplanja), stoga savjetujemo upotrebu priëvrsnica prema preporuci dobavljaëa hidroizolacijskih membrana s odgovarajuêim dokazima o kvaliteti (npr. teleskopske tiple s uvuëenim podloπkom koje smanjuju toplinske gubitke). KOMBINACIJA KAMENE VUNE I EKSTRUDIRANOG POLISTIRENA (XPS) hidroizolacijska membrana 2 - teleskopske tiple 3 - parorasteretni sloj, stakleni voal 4 - KNAUF INSULATION DDP G klin za ravne krovove 5 - KNAUF INSULATION XPS C 350 LJ 6 - KNAUF INSULATION DDP RT ploëa za ravne krovove 7 - parna brana, PE folija 8 - sloj za izjednaëenje, sintetiëki voal 9 - AB nosiva ploëa Slika prikazuje presjek ravnog krova, kombinaciju krovnih ploëa od kamene vune DDP RT kao podloge i u gornjem sloju ploëe od ekstrudiranog polistirena C 350 LJ (falcane). Ovaj tip krovne konstrukcije preporuëamo za krovove gdje su poveêani zahtjevi za tlaënim optereêenjem ili su postavljene instalacije i ureappleaji koji bi mogli uzrokovati razna procurjevanja tekuêina (rashladni ureappleaji, strojarnice i sliëno). Takoappleer je ovaj tip krova pogodan i u sluëaju postave podloænih ploëica. Razdjelni sloj (sintetiëki voal) ispod hidroizolacijske membrane u ovom sluëaju spreëava moguêu kemijsku reakciju hidro i termo-izolacije, πtiti toplinsku izolaciju od leteêe vatre ili zraëene topline, osobito pri varenju hidro-izolacije, a takoappleer ima ulogu izjednaëenja tlaka vodene pare. MehaniËko priëvrπêenje (tiplanje) hidroizolacije linijski u varenom preklopu 3 komada na 1 metar MehaniËko priëvrπêenje (tiplanje) toplinske izolacije od ekstrudiranog polistirena (XPS) preklop (falc) gore - u svakom kutu po jedna tipla preklop (falc) dole - jedna tipla u sredini 15

16 Sva prava zadræana, ukljuëujuêi i fotomehaniëku reprodukciju i skladiπtenje na elektronskim medijima. Komercijalna upotreba procesa i radnih aktivnosti prikazanih u ovom materijalu nije dopuπtena. Puno paænje je uloæeno u sastavljanje ovog dokumenta pri sakupljanju podataka, tekstova i ilustracija. Mala margina pogreπke ipak postoji. IzdavaË i urednici ne mogu preuzeti zakonsku niti bilo kakvu drugu odgovornost za netaëne informacije i moguêe posljedice istih. IzdavaË i urednici su unaprijed zahvalni za prijedloge, sugestije i ukazane pogreπke u cilju daljeg unapreappleenja. Knauf Insulation d.o.o. Varaædinska Novi Marof Tel.: +385 (0) Faks: +385 (0) infohr@knaufinsulation.com besplatni info-telefon

knaufinsulation.hr Izolacija podova

knaufinsulation.hr Izolacija podova knaufinsulation.hr 2-2012 Izolacija podova Izolacija od neæeljenog zvuka Koliko puta Vam se desilo da je susjed zapoëeo s pospremanjem ili graappleevnim radovima toëno u trenutku kada ste se htjeli odmoriti

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra Cjenik građevinskih izolacija i folija 2018 Izolacija za bolje sutra Toplinska i zvučna izloacija za dugoročno održivu gradnju Odlična toplinska izolacija Odlična zvučna izolacija Negoriva - klasa A1 Paropropusna

Διαβάστε περισσότερα

knaufinsulation.hr Izolacija kosih krovova i potkrovlja

knaufinsulation.hr Izolacija kosih krovova i potkrovlja knaufinsulation.hr 2-2012 Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolirani krov je uπteappleen novac! Ispravna izolacija πtedi i πtiti. Toplinska izolacija mjera je sanacije s najveêim potencijalom uπtede

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Izolacija kosih krovova i potkrovlja

Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolirani krov je ušteđen novac! Važne vrijednosti za izoliranje krova: U-vrijednost: U-vrijednost opisuje koja se količina topline gubi po 1 m 2 krova kod pada (razlike)

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A.

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A. RAVATHERM XPS Općenito o proizvodu A RAVATHERM XPS je toplinska izolacija od polistirenske pjene sa strukturom zatvorenih ćelija, proizvedena najsuvremenijom tehnologijom 21. stoljeća. Modra pjena proizvedena

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

KATALOG PROIZVODA 0100 KATALOG PROIZVODA 0101 TEHNIČKI PODATCI I PODRUČJA PRIMJENE 0111 OBRNUTI RAVNI KROV 0130 FASADE 0150 KONSTRUKCIJE U ZEMLJI

KATALOG PROIZVODA 0100 KATALOG PROIZVODA 0101 TEHNIČKI PODATCI I PODRUČJA PRIMJENE 0111 OBRNUTI RAVNI KROV 0130 FASADE 0150 KONSTRUKCIJE U ZEMLJI 0100 KATALOG PROIZVODA 0101 TEHNIČKI PODATCI I PODRUČJA PRIMJENE 0130 FASADE 0150 KONSTRUKCIJE U ZEMLJI 0151 SEISMIC TEMELJNI JASTUK FIBRAN NORD d.o.o. Novo mesto Kočevar jeva ulica 1 SI-8000 Novo mesto

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ARHITEKTURA DETAJL 1, 1:10

ARHITEKTURA DETAJL 1, 1:10 0.15 0.25 3.56 0.02 0.10 0.12 0.10 SESTV S2 polimer-bitumenska,dvoslojna(po),... 1.0 cm po zahtevah SIST DIN 52133 in nadstandardno, (glej opis v tehn.poročilu), npr.: PHOENIX STR/Super 5 M * GEMINI P

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

konstruktivni detalji

konstruktivni detalji Ytong sustav gradnje konstruktivni detalji λ 10 DRY = 0,09 Najbolja toplinska izolacija 115 110/120 100 20/90 120 80/120 60 70/75 30/35/40/45 50 30/35 15/20/25 10/15 10 10/15 10 TEMELJ I SOKL 10-05 Temelj

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

KVALITETAN GRAĐEVNISKI MATERIJAL

KVALITETAN GRAĐEVNISKI MATERIJAL Utjecaj na okoliš KVALITETAN GRAĐEVNISKI MATERIJAL mora biti je proizvod koji ne utječe negativno na okoliš i čiji je proizvodni proces prilagođen upotrebi neškodljivih materijala. Kada govorimo o XPS-u,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

OBRNUTI RAVNI KROV KROV ZAŠTIĆENE HIDRIOZOLACIJE IRMA INSULATED ROOF MEMBRANE ASSEMBLY IZOLACIJA KROVNO MEMBRANSKOG SUSTAVA

OBRNUTI RAVNI KROV KROV ZAŠTIĆENE HIDRIOZOLACIJE IRMA INSULATED ROOF MEMBRANE ASSEMBLY IZOLACIJA KROVNO MEMBRANSKOG SUSTAVA OBRNUTI RAVNI KROV KROV ZAŠTIĆENE HIDRIOZOLACIJE IRMA INSULATED ROOF MEMBRANE ASSEMBLY IZOLACIJA KROVNO MEMBRANSKOG SUSTAVA 17 OBRNUTI RAVNI KROV SLOJEVI 1 PLOČE GLINOPORA 20/20 DEBLJINE 3cm NA GUMENIM

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Ravni krovovi. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom. otisak energetske učinkovitosti

Ravni krovovi. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom. otisak energetske učinkovitosti ravni krovovi // 1 Ravni krovovi Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom otisak energetske učinkovitosti otisak energetske učinkovitosti otisak energetske 2 // ravni krovovi

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

KATALOG PROIZVODA

KATALOG PROIZVODA KATALOG PROIZVODA WWW.PLASTFORM.HR MI PROIZVODIMO STIROPOR O NAMA Tvrtka Plastform d.o.o. osnovana je 1992. godine, a osnovna djelatnost tvrtke je proizvodnja stiropora za toplinsku izolaciju u graditeljstvu

Διαβάστε περισσότερα

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija

Kombinirana protupožarna pregrada od morta PROMASTOP -VEN. Popis pozicija 0 EI 0 3 3 Tablica Dimenzije pregrada od protupožarnog morta za protupožarno brtvljenje Situacija ugradnje 3 0 površine s mortom Detalj A Kombinirano protupožarno brtvljenje mortom u lakom pregradnom zidu

Διαβάστε περισσότερα

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Tehnička uputa YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Dimenzije Širina x duljina mm Debljina mm Mineralna izolacijska ploča Ytong Multipor 600 x 500 50, 75, 100, 125, 150, 200 Utrošak materijala/m

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

CJELOKUPNI PAKET POLIETILENSKE IZOLACIJE ZA UČINKOVITU UŠTEDU ENERGIJE I ZVUČNU ZAŠTITU

CJELOKUPNI PAKET POLIETILENSKE IZOLACIJE ZA UČINKOVITU UŠTEDU ENERGIJE I ZVUČNU ZAŠTITU CJELOKUPNI PAKET POLIETILENSKE IZOLACIJE ZA UČINKOVITU UŠTEDU ENERGIJE I ZVUČNU ZAŠTITU Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Kompletan raspon polietilenskih proizvoda za toplinsku i zvučnu izolaciju Zadovoljava

Διαβάστε περισσότερα

je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. obujamska masa (u suhom stanju) srednja vrijednost tlačne čvrstoće ρ b razred požarne otpornosti

je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. obujamska masa (u suhom stanju) srednja vrijednost tlačne čvrstoće ρ b razred požarne otpornosti PLOČA - P 5 je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. Zbog male debljine, a velike površine, ploča je idealna za završne radove u interijerima građevina, prije svega kod oblaganja kupaonskih

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

8a. FIZIKALNA SVOJSTVA ZGRADE POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA

8a. FIZIKALNA SVOJSTVA ZGRADE POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA FIZIKALNI PROCESI U ZGRADAMA/GRAĐEVINAMA su procesi koji se događaju unutar građevnih dijelova ili na njihovoj površini, a mogu biti uzrok građevinskoj šteti. Fizikalne procese

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Termička izolacija ravnog krova

Termička izolacija ravnog krova Termička izolacija ravnog krova EPS i XPS u ravnim krovovima Formiranje sloja za pad uz pomoć EPS važi od 01.04.2016. konvencionalni (klasični) ravni krovovi obrnuti (inverzni) ravni krovovi dupli ravni

Διαβάστε περισσότερα

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju.

zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. zastori zastori sunset curtain Kućište od željeza zaštićeno epoksidnim prahom, opruge od željeza. Lako i brzo se montiraju. (mm) (mm) za PROZOR im (mm) tv25 40360 360 400 330x330 tv25 50450 450 500 410x410

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 1 PROIZVODNJA SUSTAVA TOPLINSKE I ZVUČNE IZOLACIJE, VODONEPROPUSNIH SUSTAVA I OSTALIH ELEMENATA ZA GRADITELJSTVO Isosystem je dinamična tvrtka koja proizvodi ventilirane

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od Vrijedi: OD 20 LIPNJA 2012 Lindab CJENiK 2012 Sustav za odvodnju oborinskih voda i dodaci Lindab Elite sustav zaštite proizvoda >>> 3 Lindab Rainline Lindab Elite R Žlijeb Duljina: 4 m i 6 m 190 Elite

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Srednjenaponski izolatori

Srednjenaponski izolatori Srednjenaponski izolatori Linijski potporni izolatori tip R-ET Komercijalni naziv LPI 24 N ET 1) LPI 24 L ET/5 1)2) LPI 24 L ET/6 1)2) LPI 38 L ET 1) Oznaka prema IEC 720 R 12,5 ET 125 N R 12,5 ET 125

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

TOLERANCIJE I DOSJEDI

TOLERANCIJE I DOSJEDI 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα