Ravni krovovi. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom. otisak energetske učinkovitosti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ravni krovovi. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom. otisak energetske učinkovitosti"

Transcript

1 ravni krovovi // 1 Ravni krovovi Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova s kamenom vunom otisak energetske učinkovitosti otisak energetske učinkovitosti

2 otisak energetske 2 // ravni krovovi učinkovitosti Ušteđena energija je najisplativija i najdostupnija otisak energetske učinkovitosti Rockwool Grupa je vodeća u svijetu u tehnologiji proizvodnje kamene vune. Nudimo inovativne proizvode i rješenja koji su rezultat dugogodišnje stručnosti na području energetske učinkovitosti, sigurnosti, održivosti i udobnosti u zgradama. Zgrade troše oko 40% energije koja se koristi u Europi i SAD-u. Grijanje i hlađenje su ključni energetski potrošači. Ali većina ove energije uzaludno se troši zbog neadekvatne izolacije. Koristeći dokazano učinkovite tehnike za uštedu energije, u zgradama potrošnju energije za grijanje možemo smanjiti i do 90%. Rockwoolova izolacija pruža ugodnu atmosferu u unutrašnjosti zadržavajući hladnoću vani. U vrijeme visokih temperatura kamena vuna pomaže u održavanju ugodne temperature u unutrašnjosti prostora. Rockwoolovi proizvodi poboljšavaju kvalitetu života milijunima ljudi i pomažu ublažiti ekološke probleme, kao što su efekt staklenika, smog i kisele kiše. Izolacijski proizvodi od Rockwoolove kamene vune jedni su od rijetkih koji mogu uštedjeti 100 puta više energije nego što je korišteno za njihovu proizvodnju. Time se čuvaju oskudni izvori energije te smanjuje zagađenje zraka i CO 2 emisije. Naša misija je biti partner od povjerenja u građevinskoj industriji.

3 ravni krovovi // 3 Rockwoolova kamena vuna osigurava protupožarnu zaštitu ravnog krova Primjena negorivih Rockwoolovih izolacija od kamene vune osigurava siguran, trajan, energetski učinkovit te moderan krov nad glavom. Novi propisi u graditeljstvu sve veću pažnju posvećuju požarnoj sigurnosti objekata. Prema normi HRN EN :2002, u A1 razred proizvoda prema reakciji pri požaru svrstavaju se materijali koji ne pospješuju širenje požara te ne uzrokuju širenje gustog dima ili nastanak gorućih čestica odnosno oslobađanje plinova koji bi mogli dovesti do eksplozije. Rockwoolova kamena vuna ne gori već se tali na temperaturama iznad 1000 C te pripada A1 razredu negorivih materijala. Ugradnja izolacije razreda A1 u slučaju požara osigurava presudne sekunde potrebne za evakuaciju objekta i spašavanje dragocjenih života. Podaci o požarnom razredu pojedinih projektiranih materijala trebaju biti na raspolaganju svima investitoru, arhitektima pa i konačnim korisnicima zgrada. Na taj se način ističe važnost protupožarne sigurnosti zgrade ne samo za projektante već i za krajnje korisnike. Subjekt koji povezuje jedne i druge trebaju biti osiguravajuća društva. Već sada politikom različitih premija selektivno pristupaju osiguranjima stambenih objekata uzimajući u obzir stupanj njihove protupožarne zaštite. Već je sad odgovornost za primjenu propisa s područja požarne sigurnosti sve kompleksnija i podijeljena između svih navedenih subjekata. Ugradnjom protupožarnih materijala gradnja objekata postaje dugoročno jeftinija i sigurnija.

4 4 // ravni krovovi Toplinska izolacija od Rockwoolove kamene vune jamči mnoge prednosti Učinkovita toplinska zaštita i niski troškovi grijanja Nizak koeficijent prolaska topline kamene vune jamči minimalne toplinske gubitke. Drugim riječima, toplina ostaje tamo gdje je želimo, u unutrašnjosti objekta. Energetske potrebe objekta su stoga znatno niže nego inače jer je temperatura u prostorijama jednakomjerna i ne susrećemo se s neugodnim osjećajem stalno hladnih zidova ili podova. Pored uštede na troškovima grijanja tako postižemo i izuzetno zdrave i ugodne uvjete stanovanja. Izvrsna zaštita od buke Trajna izloženost buci može uzrokovati ozbiljne zdravstvene teškoće. Pri izboru izolacije kamena vuna je svakako pravi izbor jer uz izvrsna toplinsko izolacijska svojstva ima i odlična svojstva u pogledu apsorpcije zvuka. Struktura kratkih isprepletenih vlakana u kamenoj vuni jamči izvrsnu apsorpciju zvuka i dobru toplinsku izolaciju. Kod ugradnje na vanjskoj strani fasada, kao i na ravnim krovovima, kamena vuna značajno smanjuje razinu buke u prostoru i time jamči ugodan i zdrav boravak u objektima. Pozitivna energetska bilanca i odgovornost prema okolišu Gospodarenje energetskim izvorima i industrijskim otpadom postaje jedan od ključnih čimbenika u planiranju proizvodnje. S ciljem smanjivanja utjecaja na okoliš, Rockwool je svoj proizvodni proces koncipirao kao zatvoren sustav u kojem se svi otpaci recikliranjem vraćaju u proizvodni proces. Time se smanjuje potreba za energentima, a ujedno se okoliš ne opterećuje otpadnom vunom. Ista praksa vrijedi i za povrat otpadne vune od strane kupaca, odnosno gradilišta, odakle je moguće otpadnu vunu vratiti u tvornicu znatno jeftinije i jednostavnije od primjerenog odvoza na uređeni deponij. Sve te aktivnosti neposredno utječu na tzv. energetsku bilancu kamene vune kao građevinskog proizvoda. U usporedbi s drugim izolacijskim materijalima, bilanca Rockwoolove kamene vune je izrazito povoljna. Kroz uštedu energije za grijanje i hlađenje troškovi energije utrošene za proizvodnju kamene vune se vrate već za nekoliko godina.

5 ravni krovovi // 5 Dvoslojna gustoća jedinstveno na tržištu! Rockwool je u razvoju proizvoda za izoliranje ravnih krovova korak ispred ostalih. Nova generacija proizvoda s dvoslojnom gustoćom u sebi objedinjuje izvrsna toplinska i mehanička svojstva te kao materijal A1 razreda reakcije pri požaru prema HRN EN :2002, bitno doprinosi i zaštiti od požara. Proizvodi s dvoslojnom gustoćom jedinstveni su na tržištu. Omogućuju jednoslojno polaganje izolacije, odnosno ekonomičnu ugradnju, pružaju dugotrajnu elastičnu podlogu svim tipovima modernih jednoslojnih membrana za ravne krovove te smanjuju rizik oštećenja oko mehaničkih tipli. Dvoslojna gustoća u jednoj debljini ploče objedinjuje trajno elastičan donji sloj izvrsnih toplinsko izolacijskih svojstava s iznimno tvrdim i mehanički otpornim gornjim slojem koji je i do 20% otporniji na točkasto opterećenje od klasičnih jednoslojnih izolacijskih ploča od kamene vune. Primjenom proizvoda dvoslojne gustoće pored odlične protupožarne zaštite poboljšavaju se tri ključna kriterija krova: ekonomičnost ugradnje, odlična toplinska i zvučna izolacija, veća mehanička otpornost, a time i dugotrajnost krova. Trajnost materijala i niski troškovi održavanja Kamena vuna Rockwool kroz duže vremensko razdoblje zadržava svoja izolacijska svojstva i potpuno je otporna na vanjske vremenske utjecaje i starenje. Dimenzijski je stabilna te ne uzrokuje dodatna mehanička opterećenja na krovnim konstrukcijama uslijed toplinskog rastezanja. Dodatno, kamena vuna je nepodoban materijal za razvoj insekata ili drugih živih bića koja se mogu naseliti u određenim organskim toplinsko izolacijskim materijalima. Iz tih razloga troškovi održavanja krovnih sustava od Rockwoolove kamene vune su bitno niži od sustava s drugom vrstom toplinske izolacije.

6 6 // ravni krovovi Kriteriji pri projektiranju ravnih krovova Primarna funkcija izolirane krovne konstrukcije je energetski učinkovita i trajna zaštita objekta od različitih vremenskih uvjeta. Funkcija izolirane krovne konstrukcije primarno obuhvaća: zaštitu konstrukcije i prostora ispod krovišta od klimatskih utjecaja i optimalizaciju energetske učinkovitosti prostora ispod krovišta. Glavni faktori pri projektiranju krova su primarno građevinsko fizikalni. Zatim slijede ekonomski i okolišni faktori, naravno oba u funkciji željenih arhitektonskih rješenja. Među najvažnijim građevinsko fizikalnim utjecajima na ravne krovove, o kojima ovise tehnička rješenja, smatraju se: požar temperatura vjetar mehaničko opterećenje vlaga i tlak vodene pare buka.

7 ravni krovovi // 7 Temperaturne razlike na površini ravnog krova u jednom danu mogu biti i do 80 C. Toplinsko opterećenje ravnih krovova Primjenom negorivih izolacijskih materijala razreda A1 sprječava se širenje požara. Temperature na površini ravnih krovova se, ovisno o godišnjem dobu i geografskom položaju objekta, mogu kretati od -25 C pa sve do +75 C. Često u određenim vremenskim uvjetima raspon temperatura u jednom danu prelazi 80 C, što neposredno utječe na završni sloj odnosno krovnu membranu. Posredno to svakako utječe na sloj toplinske izolacije i režim prolaza vodene pare kroz krovnu konstrukciju. Izborom odgovarajuće debljine toplinske izolacije ravnog krova smanjujemo toplinske gubitke objekta zimi i sprječavamo pregrijavanje prostorija u ljetno doba. Poželjno je da toplinska izolacija s promjenama temperature ne mijenja dimenzije jer se na taj način uzrokuju neželjena rastezanja koja time opterećuju krovnu membranu ili uzrokuju neželjene toplinske mostove na dodiru izolacijskih ploča. Kamena vuna svakako ispunjava te zahtjeve, jer je dimenzijski stabilan i trajan toplinsko izolacijski materijal koji se ne rasteže. Požarna sigurnost krovne konstrukcije Krovna konstrukcija (nosiva konstrukcija, sloj toplinske izolacije i hidroizolacija) je u slučaju požara prvi konstrukcijski sustav koji je izložen izuzetno visokim temperaturama. Požarna otpornost krovne konstrukcije kao cjeline bitno utječe na raspoloživo vrijeme potrebno za evakuaciju objekta u slučaju požara. Primjenom negorivih materijala razreda A1 sprječava se širenje požara i oslobađanje štetnih plinova ili gorućih kapajućih čestica, koje često mogu biti uzrokom brojnih neželjenih i po život opasnih posljedica. Kamena vuna koju proizvodi Rockwool spada u A1 razred materijala koji ne doprinose požaru te je i po tom kriteriju pravilan izbor.

8 8 // ravni krovovi Opterećenje vjetrom neposredno utječe na raspored mehaničkih učvršćivača i način pričvršćivanja. Opterećenje vjetrom Opterećenja vjetrom na krovnoj konstrukciji uvjetovana su geografskim položajem i mikro lokacijom objekta. Kod visokih objekata opterećenja su svakako znatno veća nego kod niskih. Pored toga na opterećenja vjetrom kod ravnih krovova utječe i arhitektura samog krova. Pored statičkog izračuna krovne konstrukcije moramo izračunati i utjecaj opterećenja vjetrom koje neposredno uvjetuje način pričvršćivanja i raspored mehaničkih učvršćivača za pričvršćivanje toplinske izolacije i završnog sloja krova na nosivu konstrukciju. Bitan čimbenik u tom slučaju je i težina samog sloja toplinske izolacije na koju djeluje podtlak vjetra. Teži materijali, kao što je kamena vuna, imaju u tom slučaju prednost pred lakim organskim izolacijama. Znatan dio točkastih opterećenja i oštećenja ravnog krova nastane u fazi montaže. Mehanička opterećenja Statička opterećenja ravnog krova poput težine vlastite konstrukcije i težine snijega, utječu na dimenzioniranje nosive konstrukcije krova. S druge strane, na dimenzioniranje toplinskog izolacijskog sloja utječu povremena mehanička opterećenja krova u fazi same montaže ili kasnijeg održavanja površine krova. Stoga, ključni kriterij kakvoće nije samo površinska nosivost izolacijskog sloja već i otpornost na pojedinačna točkasta opterećenja. Ona se javljaju na mjestima mehaničkog učvršćivanja krovne folije te također pri hodanju po krovu. Iako govorimo o neprohodnim ravnim krovovima, povremeno hodanje po krovu ne može se izbjeći jer ponekad krov treba održavati. Isto tako može doći i do naknadnog izvođenja radova koji zahtijevaju privremenu upotrebu te površine. Standard HRN EN propisuje metode testiranja toplinsko izolacijskih materijala na pojedinačna točkasta opterećenja, a Rockwool tim parametrima posvećuje posebnu pozornost. Razvojem ploča dvoslojne gustoće ( dual-density ) Rockwool je korak ispred ostalih proizvođača izolacija od kamene vune i u tom pogledu svakako je najbolji izbor.

9 ravni krovovi // 9 Voda u različitim oblicima opterećuje konstrukciju ravnog krova, s vanjske kao i s unutarnje strane. Kamena vuna omogućava nesmetan prolaz vlazi Kiša, snijeg i led neposredno opterećuju krovnu membranu s vanjske strane. Vodena para u prostorijama s obzirom na razlike između unutarnje i vanjske temperature te, samim time i razlike u tlakovima, ima stalnu tendenciju prolaza kroz vanjski omotač zgrade. Dakle, krovnu konstrukciju vlaga opterećuje i iznutra. Režim prijelaza pare kroz omotač zgrade mora biti takav da se vlaga ne zaustavlja u toplinskom izolacijskom sloju. Povećana koncentracija vlage u toplinskoj izolaciji znatno smanjuje njezine izolacijske sposobnosti pa time povećava toplinske gubitke. Prevelik prodor vlage u sloj toplinske izolacije ravnog krova sprječava se ugradnjom parne brane prije izolacijskog sloja s toplije unutarnje strane. Kamena vuna je paropropustan toplinski izolacijski materijal koji vodenoj pari omogućava nesmetan prolaz u slučaju kad je paronepropustnost parne brane u odgovarajućem odnosu s paropropustnošću krovne membrane. Drugim riječima: toplinske izolacije od Rockwoolove kamene vune ne uzrokuju dodatno zadržavanja vlage u krovnoj konstrukciji, jer su paropropusne i vodoodbojne. Buka Pri projektiranju objekata u urbanom okruženju često se susrećemo sa zahtjevom smanjenja razine buke iz okoline u unutrašnjosti objekata i obrnuto. Kamena vuna sa svojom isprepletenom strukturom kamenih vlakana apsorbira zvuk i vibracije iz okoline znatno bolje nego izolacijski materijali organskog porijekla, koji imaju staničnu strukturu i nisku prostornu masu. Energija zvuka se u vlaknastoj strukturi kamene vune razbija i pretvara u druge oblike energije (najčešće u toplinu). Relativno visoka prostorna masa u usporedbi s izolacijama organskog porijekla, osigurava potrebno gušenje vibracija i sprječava moguće odbijanje zvučnih valova i rezonancije. Kamena vuna upija zvuk i ne uzrokuje zvučnu rezonancu.

10 10 // ravni krovovi Sistematizacija ravnih krovova Podjela ravnih krovova definira se na više načina. Prema tipu podkonstrukcije, prema vrsti završnog hidroizolacijskog sloja ili prema načinu pričvršćivanja ugrađenih slojeva. U praksi se ravni krovovi dijele prema građevinsko fizikalnim svojstvima cjelokupne gotove konstrukcije ravnog krova. Prema tome, tri su osnovna tipa ravnog krova: topao krov ventilirani krov obrnuti krov Tablica prikazuje najčešće projektirane sustave s obzirom na vrstu nosive konstrukcije: vrsta krova topao ventilirani obrnuti vrsta nosive konstrukcije beton profilirani lim drvo Režimi u građevinsko-fizikalnom smislu različiti su od krova do krova jer ih uvjetuju položaj parne brane i položaj krovne hidroizolacijske folije koju u određenim slučajevima može zamijeniti i krovni profilirani lim, ako takvo rješenje dopuštaju nagibi krovnih površina.

11 ravni krovovi // 11 Topao ravni krov je odgovarajuće rješenje tamo gdje želimo čim lakši krov, ali i brzu i ekonomičnu ugradnju. I Topli ravni krovovi Topli ravni krovovi su s razvojem montažne gradnje lakih konstrukcija preuzeli primat u segmentu ravnih krovova. U pravilu se izvode na nosivim konstrukcijama iz visoko profiliranog lima, a često i na betonskoj podlozi. Svakako su topli ravni krovovi odgovarajuće rješenje kad želimo imati što lakši krov te brzu i ekonomičnu izvedbu. Raspored slojeva kod toplog ravnog krova: hidroizolacijska membrana toplinska izolacija parna brana betonska nosiva konstrukcija hidroizolacijska membrana toplinska izolacija parna brana nosiva konstrukcija od visoko profiliranog lima Topli ravni krovovi najčešće su neposredno mehanički pričvršćeni na nosivu konstrukciju no slojevi mogu biti i međusobno lijepljeni. Pri većim debljinama toplinske izolacije ponekad je potrebno odlučiti se i za posredno mehaničko učvršćivanje u više slojeva s upotrebom dodatnih sekundarnih nosivih letvi za pričvršćivanje krovne membrane. Mehanički pričvršćivači koji krovnu membranu i toplinsku izolaciju fiksiraju u podlogu, probadaju parnubranu i time smanjuju njenu nepropusnost. Posljedica toga je prodor određene količine zasićene vlage iz unutrašnjosti objekta kroz sloj toplinske izolacije prema van, te se ta vlaga mora isušiti pri prolazu kroz sloj toplinske izolacije. Zaostajanje vlage u toplinskoj izolaciji slabi njena toplinsko izolacijska svojstva. Najprimjereniji režim isušivanja vlage, u skladu s tim svakako nude suvremene krovne membrane od raznih umjetnih materijala poput EPDM PVC PIB ECB TPO To su jednoslojne, lagane i zračne membrane, koje su u pravilu točkasto učvršćene što omogućava odgovarajući režim za isušivanje vlage iz paroizjednačavajućeg sloja tik pod membranom.

12 12 // ravni krovovi Ventilirani ravni krov primjeren je za krovne konstrukcije s većim nagibima. II Ventilirani ravni krovovi Ventilirani ravni krovovi su po sastavu odnosno redoslijedu slojeva slični toplim ravnim krovovima. Razlika je u dodatnom ventilacijskom sloju između toplinske izolacije i krovne membrane. U tom sloju mora se osigurati odgovarajući protok zraka, što podrazumijeva određeni nagib ventiliranih krovova. U praksi to znači približno 8 nagiba krovne plohe ili više. Raspored slojeva kod ventiliranog krova: krovna membrana ili limeni pokrov na sekundarnoj konstrukciji ventilirani sloj zraka toplinska izolacija položena preko parne brane laka nosiva konstrukcija (drvo ili prefabricirani betonski elementi) Ventilirani krovovi su primjereno rješenje za razvedene krovne plohe raznih nagiba i oblika gdje je kao pokrovni materijal predviđen lim. Ako je lim ravan mora ispod sebe imati slijepu nosivu drvenu konstrukciju, a ukoliko se radi o profiliranom limu to nije potrebno jer se učvršćuje neposredno na odstojnik. Vlaga se kroz zračni kanal isušuje kroz nosivu konstrukciju i iz objekta prema van prodire kroz parnu branu. Zračni kanal ujedno osigurava dovoljno brzo isušivanje moguće kondenzirane vlage koja nastaje pod pokrovnim limom ili na slijepoj krovnoj konstrukciji. Dotok i odvod zraka iz kanala su pritom od ključnog značaja. U sustavu ventiliranog ravnog krova toplinska izolacija nije izložena mehaničkom opterećenju, stoga se u tu svrhu često koristi kamena vuna srednje gustoće. Nikako se ne preporučuje upotreba paronepropusnih organskih izolacija jer ne osiguravaju odgovarajući protok zasićene vlage iz objekta prema van.

13 ravni krovovi // 13 Obrnuti krov se najčešće primjenjuje na masivnim betonskim podlogama. III Obrnuti ravni krovovi Obrnuti ravni krovovi se najčešće izvode na masivnoj betonskoj podlozi. Teoretski je moguća izvedba na glatkoj podlozi od drvenih dasaka, ali ipak u praksi se drvene konstrukcije na ravnim krovovima ne koriste za krovove velike težine koje su, na primjer, nasute šljunkom. Raspored slojeva kod obrnutog krova: opterećenje toplinske izolacije (balast) razdjelni sloj (geotekstil) toplinska izolacija hidroizolacijska membrana masivna betonska nosiva konstrukcija opterećenje toplinske izolacije (balast) razdjelni sloj (geotekstil) toplinska izolacija hidroizolacijska membrana montažna nosiva konstrukcija Na nosivu betonsku konstrukciju je neposredno položen hidroizolacijski sloj koji se može zavariti za konstrukciju, zalijepiti ili mehanički pričvrstiti. Pri izvedbi tog sloja izvode se i svi detalji odvodnjavanja krova. Preko hidroizolacijskog sloja se zatim polaže sloj toplinske izolacije. Izolacija se ne pričvršćuje mehanički jer bi se time oštetio vodonepropusni hidroizolacijski sloj, umjesto toga toplinska izolacija se opterećuje raznim materijalima. Toplinska izolacija kod obrnutih krovova nije zaštićena od kiše, zato se za toplinsku izolaciju takvih krovova koriste materijali otporni na vlagu i sa zatvorenom staničnom strukturom. Izvođenje balasta preko toplinske izolacije pored opterećenja ima i funkciju zaštite od UV zraka i od neposrednog mehaničkog opterećenja u slučajevima korištenja krova.

14 14 // ravni krovovi Rockwoolovi proizvodi dvoslojne gustoće Monrock MAX E Durock Hardrock II JEDINSTVENO NA TRŽIŠTU! Dvoslojna gustoća Opis proizvoda Ploča dvoslojne gustoće u presjeku daje odlične karakteristike pri točkastim opterećenjima. Iznimno tvrdi gornji sloj, debljine 20mm, predstavlja čvrstu i otpornu površinu na točkasta opterećenja. Donji sloj gornjem omogućuje trajnu elastičnu potporu s visokim toplinsko izolacijskim svojstvima. Sve to čini Rockwoolove dvoslojne ploče iznimno izdržljivim u točki djelovanja opterećenja. Gornji sloj visoke gustoće posebno je označen natpisom Rockwool ili crtom te pri postavljanju uvijek treba biti okrenut prema gore. Primjena Rockwoolovi proizvodi dvoslojne gustoće proizvedeni su posebnom tehnologijom koja im omogućuje visoku mehaničku otpornost. Struktura dvoslojne gustoće čine ih iznimno izdržljivim u točki djelovanja opterećenja što predstavlja najveću prednost za primjenu u kombinaciji s PVC ili TPO vrstama krovnih membrana. Dodatna prednost je i vrlo dobra elastična potpora mehaničkim pričvršćenjima. Rockwoolove ploče dvoslojne gustoće preporučuje se postavljati jednoslojno. Jednoslojnim polaganjem ploča dvoslojne gustoće neće doći do pojave toplinskih mostova. Rockwoolovi proizvodi dvoslojne gustoće najčešće se koriste kao toplinska, zvučna i protupožarna izolacija na takozvanim laganim konstrukcijama ravnog krova, ali i na ostalim konstrukcijama.

15 ravni krovovi // 15 Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova Tehnički parametri Monrock MAX E Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,038 W/mK HRN EN Nominalna gustoća r 210 gornji sloj 120 donji sloj kg/m 3 HRN EN 1602 Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije CS(10)40 40 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1,4 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat Ključ za obilježavanje proizvoda IGH Certifikat sukladnosti 1/05-ZGP-1000 MW-EN T5-CS(10)40-PL(5)600-TR10-MU1-WS-WL(p) Tehnički parametri Durock Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,038 W/mK HRN EN Nominalna gustoća r 210 gornji sloj 130 donji sloj kg/m 3 HRN EN 1602 Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije CS(10)50 50 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1,4 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat Ključ za obilježavanje proizvoda IGH Certifikat sukladnosti 1/05-ZGP-1000 MW-EN T5-CS(10)50-PL(5)600-TR10-MU1-WS-WL(p) Tehnički parametri Hardrock II Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,040 W/mK HRN EN Nominalna gustoća r 220 gornji sloj 150 donji sloj kg/m 3 HRN EN 1602 Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije CS(10)70 70 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1,4 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat Ključ za obilježavanje proizvoda U IZRADI MW-EN T5-CS(10)70-PL(5)800-TR10-MU1-WS-WL(p)

16 16 // ravni krovovi Rockwoolovi monolitni proizvodi Roofrock OPTI Roofrock Izolacijska ploča standardne nosivosti Opis proizvoda Rockwool Roofrock je jednoslojna ploča od kamene vune odličnih mehaničkih svojstava. Impregnirana vlakna kamene vune ploču čine vodoodbojnom. Primjena Rockwool Roofrock ploče su najpogodnije za izolaciju ravnih krovova s višeslojnim polaganjem toplinske izolacije. Koriste se za toplinsku, zvučnu i protupožarnu izolaciju ravnih krovova sa standardnim kapacitetom opterećenja. Najčešće se koristi za dvoslojno izoliranje ako se očekuju velika opterećenja te se postavlja ispod težih proizvoda. Tehnički parametri Roofrock OPTI Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,040 W/mK HRN EN Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije (40-80 mm) CS(10)50 50 kpa HRN EN 826 Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije ( mm) CS(10)40 40 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1,4 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat IGH Certifikat sukladnosti 1/05-ZGP-508 Ključ za obilježavanje proizvoda (40-80 mm) MW-EN T5-CS(10)50-PL(5)400-TR10-MU1-WS-WL(p) Ključ za obilježavanje proizvoda ( mm) MW-EN T5-CS(10)40-PL(5)400-TR10-MU1-WS-WL(p) Tehnički parametri Roofrock Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,040 W/mK HRN EN Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije CS(10)50 50 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1,4 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat IGH potvrda sukladnosti 1/05-ZGP-999 Ključ za obilježavanje proizvoda MW-EN T5-CS(10)50-PL(5)500-TR10-MU1-WS-WL(p)

17 ravni krovovi // 17 Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija ravnog krova Dachrock Izolacijska ploča visoke nosivosti Opis proizvoda Rockwool Dachrock je standardna ploča od kamene vune visoke gustoće. Impregnirana vlakna kamene vune ploču čine vodoodbojnom. Primjena Rockwool Dachrock je jednoslojna ploča visoke gustoće koja se najčešće koristi na krovovima gdje je potrebna visoka tlačna čvrstoća bez ograničenja u smislu opterećenja krova. Najčešće se primjenjuje zbog mogućnosti izrade u manjim debljinama i na onim krovovima gdje je projektirana dvoslojna ugradnja ploča u kombinaciji s donjim slojem ploča manjih gustoća. Primjenjuje se kod krovova gdje se koriste bitumenske membrane pokrivene pješčanim opterećenjem umjesto mehaničkog pričvršćenja. Rockwool Dachrock se preporučuje koristiti i za sanacije postojećih krovova gdje je tanki sloj dodatne toplinske izolacije dodan već izoliranom krovu kako bi se poboljšala njegova toplinska izolacija. Tehnički parametri Svojstvo Simbol Vrijednost Jedinica mjere Standard Reakcija na požar - A1 - HRN EN Koeficijent toplinske provodljivosti l D 0,040 W/mK HRN EN Nosivost parcijalnog točkastog opterećenja PL(5) N HRN EN Tlačna čvrstoća kod 10% deformacije CS(10)70 70 kpa HRN EN 826 Tolerancija debljine T mm HRN EN 823 Kratkrotrajna vodoupojnost WS 1,0 kg/m 2 HRN EN 1609 Dugotrajna vodoupojnost WL(P) 3,0 kg/m 2 HRN EN Paropropusnost m 1 - HRN EN Točka tališta T t > 1000 C HRN DIN 4102 Certifikat IGH potvrda sukladnosti 1/05-ZGP-999 Ključ za obilježavanje proizvoda MW-EN T5-CS(10)70-PL(5)600-TR15-MU1-WS-WL(p)

18 18 // ravni krovovi Odvodnjavanje ravnih krovnih površina s pločama od kamene vune u nagibu Tipski elementi Rockfall pružaju rješenja za različite načine odvodnjavanja.

19 ravni krovovi // 19 U slučaju potpuno ravne konstrukcije krova nagibi za odvodnjavanje oborinske vode mogu se izvesti s Rockfall elementima od kamene vune u nagibu. Na temelju tlocrtakrova, zahtjeva za minimalnom debljinom izolacije i projektiranog režima odvodnjavanja, može se napraviti popis potrebnog materijala i nacrt polaganja ploča rezanih u nagibu. Rockfall ploče s nagibom mogu imati jednostrani ili dvostrani nagib. S tako rezanim pločama voda se lako usmjerava u kanal (linijsko odvodnjavanje), ili direktno prema slivnicima (točkasto odvodnjavanje). S tipskim elementima Rockfall mogu se osigurati rješenja za praktično sve režime odvodnjavanja. Nekoliko osnovnih principa odvodnjavanja: Dvostrano linijsko odvodnjavanje (prema van ili prema sredini objekta). Četverostrano linijsko odvodnjavanje prema van. Jednostrano odvodnjavanje u slivnike. Četverostrano linijsko odvodnjavanje prema sredini objekta. Dvostrano odvodnjavanje u slivnike prema sredini objekta. Shematski prikaz nagiba za odvodnjavanje u slivnike. Elementi za točkasto odvodnjavanje S tipskim modularnim elementima Rockfall prikupljanje vode iz linijskog načina može se preusmjeriti u točkasto. Maksimalan razmak između odvoda u žljebu može biti 24 metra. Simetričnim postavljanjem modularnih elemenata Rockfall u kanal, linijski dotok vode usmjerava se direktno prema odvodima. Primjer točkastog odvodnjavanja s modularnim elementima Rockfall.

20 20 // ravni krovovi Dužina (mm) A B C D E F G H I J Debljina (mm) Rockfall moduli s oznakama od»a«do»j«, sastavljeni su od više različitih ploča kao što pokazuje skica. Podaci o pakiranju i sastavu pojedinačnih modula navedeni su u donjoj tabeli. Narudžba pojedinih ploča iz modula nije moguća jer je sustav polaganja predviđen za sastavljanje modula kao cjeline. a b c d e f c+80 d+80 e+80 f+80 a b c d e f c+80 d+80 a b c d e f a b c d a b 1,7% 6,7% Širina debljina (mm) I H G F G E D C A B Pri polaganju Rockfall modularnih elemenata potrebno je voditi računa o sljedećem: Mjestima gdje se u nagibnim plohama nalaze proboji krova proboji su često mjesta gdje se voda skuplja na gornjoj strani proboja. Razmaku između odvoda u kanalima. Potrebno je provjeriti minimalan kut kosih ravnina krova, da nakon ugradnje Rockfalla odvodnjavanje bude učinkovito i u skladu s projektom. Pri sanaciji postojećih krovova potrebno je provjeriti stvarne nagibe na krovu i po potrebi prilagoditi postojeći režim odvodnjavanja da ne dođe do zastoja vode. modul paketi sadržaj paketa ABCD ABCD 2a+2b+c+d E E a+c+e F F f+d+b G G1+U1 a+2c+e+80 H H1+H2+U1 b+2d+f+80 I I1+I2+U2 a+2c+2e+2x80 J J1+J2+U2 b+2d+2f+2x80

21 ravni krovovi // 21 Krovni elementi za poboljšanje požarne sigurnosti i akustike Puna trapezna punila Na ravnim krovovima s podkonstrukcijom iz visokoprofiliranog lima preporuke za industrijsku gradnju predviđaju pasivnu zaštitu u slučaju požara na mjestima proboja. Takva zaštita postiže se popunjavanjem trapeza oko svih proboja s punim punilima od kamene vune. Time se sprječava širenje požara kroz trapezne šupljine. Isto tako trapeze treba zapuniti i na ostalim mjestima gdje je trapezni lim prekinut ili dira zidove. Puna trapezna punila koriste se i za osiguranje potpore izolacijskom sloju ako je projektirana debljina izolacije premala da bi osigurala nosivost preko trapeznih otvora. U tom slučaju trapezi se pune po cijeloj površini krova i to s punilima gustoće 150 kg/m3 jednako uobičajenoj gustoći ploča za izoliranje ravnih krovova. Dimenzije trapeznih punila se izrađuju po narudžbi obzirom na tip trapeznog lima. Popunjavanje trapeznih otvora kamenom vunom zadovoljava sve zahtjeve za požarnu sigurnost krova. Akustična punila Akustična punila za trapezne šupljine s perforiranim stjenkama su najčešće izrađena od kamene vune optimalne gustoće, kaširane s crnim staklenim voalom. Postoje tri osnovna tipa akustičnih punila, koja se izrađuju po mjeri obzirom na tip profiliranog lima. Popunjavanje trapeznih otvora za povećanje nosivosti krovnog izolacijskog sloja manjih debljina. Punilo u obliku vrpci: Dva odvojena komada punila debljine 20 mm se konusno stavljaju u trapezni kanal. Punilo V: Punilo je u sredini zarezano te ga se može presaviti u obliku slova V. Tako presavijeno se stavlja u trapezni kanal. Punilo W: Punilo je zarezano dva puta te ga se presavije dva puta da se dobije oblik slova U (za trapeze većih širina u donjem dijelu). Presavijeno punilo se stavlja u trapezni kanal. Punila tipa V i W se obično izrađuju u debljinama 25 ili 30 mm. Akustična punila stavljaju se u trapezne otvore prije polaganja parne brane.

22 22 // ravni krovovi Zaštita od buke Na objektima s ravnim krovom želimo pasivnom zvučnom zaštitom smanjiti djelovanje buke iz okoline u unutrašnjost, i obrnuto. Zaštita od buke igra posebno bitnu ulogu u industrijskoj izgradnji hala. Kod većine takvih objekata radi se o laganim čeličnih konstrukcijama, koje sa svojom relativno malom masom predstavljaju relativno mali otpor zvučnim valovima. Upotreba kamene vune kod takvih konstrukcija ima posebno značenje. Zbog posebne strukture kamena vuna je akustički vrlo djelotvorna. Zvučni valovi mogu neometano prodrijeti u izolacijski materijal te se trenjem u pojedinim vlaknima pretvaraju u toplinsku energiju. db Stupanj jačine zvuka i utjecaj na ljude oštećenje sluha kod odraslih (kratkotrajno djelovanje buke) oštećenje sluha kod djece (kratkotrajno djelovanje buke) oštećenje sluha (konstantna dnevna buka) oštećenje sluha (konstantna 24-satna buka) ozbiljno ometanje koncentracije i rada otežano komuniciranje otežano spavanje Izvor: Svjetska zdravstvena organizacija (WHO)

23 ravni krovovi // 23 Najčešći izvori buke i njihova jakost Dugotrajna izloženost buci lako može uzrokovati ozbiljna oštećenja sluha, ali i druge zdravstvene tegobe. Stupanj jačine zvuka mjeri se u decibelima (db) Izvor: Svjetska zdravstvena organizacija (WHO) Vrijednosti zvučne izolacije različitih krovnih konstrukcija Rockwool u Njemačkoj je u Državnom uredu za ispitivanje materijala NRW te u Fraunhofer institutu za građevinsku fiziku prema DIN dao izmjeriti zvučnu izolaciju različitih krovnih konstrukcija s Rockwool proizvodima. Ovisno o ugrađenim slojevima u samoj krovnoj konstrukciji, vrstama krovnih membrana i dodatnom opterećenju izmjereni rezultati zvučne izolacije kretali su se od db. Ovi rezultati se mogu poboljšati dodatnim ispunama u trapeznom limu, što je vidljivo na skicama desno. Provedena akustična ispitivanja jasno pokazuju da Rockwoolovi izolacijski materijali od kamene vune zbog svoje otvoreno porozne strukture te svoje visoke grube gustoće bitno pridonose aktivnoj zvučnoj zaštiti ismanjuju prijenos buke iz okolice u unutrašnjost objekta, i obrnuto. membrana od umjetnih masa Rockwoolova izolacija za krov parna brana trapezni lim Rw 40 db membrana od umjetnih masa Rockwoolova izolacija za krov parna brana puna ispuna trapeza trapezni lim Rw 42 db balastni nasip troslojna bitumenska hidroizolacija Rockwoolova izolacija za krov parna brana trapezni lim Rw 50 db

24 24 // ravni krovovi Preporuke za ugradnju toplinske izolacije od kamene vune na ravnim krovovima I Polaganje ploča od kamene vune Polaganje izolacijskih ploča od kamene vune na ravan krov je prilično jednostavno i brzo. Ploče se obično nabavljaju u velikom formatu, složene na paletama do visine 1,2 metra što dvojici radnika omogućava jednostavno preuzimanje ploča s palete. Dvoslojno polaganje ploča nije potrebno jer zahvaljujući vlaknastoj strukturi materijala nema toplinskog mosta na dodiru ploča. Naročito izborom proizvoda s dvoslojnom gustoćom (Monrock MAX E, Durock, Hardrock II) polaganjem u jednom sloju udovoljava se mehaničkim zahtjevima za većom prohodnošću i izbjegava se polaganje u dva sloja te se time štedi vrijeme ugradnje. Ploče se slažu u redove s pomakom, a potrebno rezanje može se izvesti na licu mjesta većim noževima ili ručnim pilama. Polaganje ploča u nizu s pomakom. Transport paleta po krovu. Jednostavno rezanje ploča na mjeru. 600 oz 1200 mm širina 1000 oz 2000 mm dužina Preporučena orijentacija ploče ovisno o smjeru polaganja profiliranog lima. Važne preporuke: Transport materijala po krovovima izvodi se po nepokrivenim površinama, a ne preko ugrađenih ploča. U slučaju transporta preko ugrađenih ploča potrebno je transportne putove prethodno ojačati polaganjem dasaka ili drvenih ploča za oplatu preko položene izolacije od kamene vune. Jednaku zaštitu potrebno je osigurati i pri poslovima održavanja na već gotovim krovovima. Orijentacija ploča mora uvijek biti okomita na smjer valova trapeznog lima. Izolacija ravnih krovova kamenom vunom nije primjerena za prohodne površine (terase, parkirališta) ili za zelene krovove s intenzivnim ozelenjivanjem (debeli sloj humusa), gdje dolazi do opterećenja viših od 360 kg/m 2. Jednaka ograničenja opterećenja vrijede i za nasipavanje pijeskom. Za zelene krovove s ekstenzivnim ozelenjivanjem preporučuje se primjena ploča s dvoslojnom gustoćom zbog veće otpornosti na točkasta opterećenja, koja nastupaju u fazi ugradnje ekstenzivnog vegetativnog sloja. Izolacijske ploče od kamene vune smiju biti ugrađene jedino u suhom stanju. Moguću vlagu ili stajaću vodu na parnoj brani potrebno je prije polaganja izolacijskih ploča odstraniti, odnosno osušiti. Ljepljeni sustavi ravnih krovova su preporučljivi samo na objektima visine do 20m. Na višim objektima preporučuje se mehaničko pričvršćivanje ili balastno nasipavanje zbog povećanog opterećenja vjetrom.

25 ravni krovovi // 25 II Mehanički kriterij za minimalnu debljinu izolacije Pri polaganju izolacijskih ploča od kamene vune na trapezni lim potrebno je poštivati kriterij nosivosti ploče između dva oslonca. Pri ugradnji standardnih ploča za ravne krovove, koji imaju tlačnu čvrstoću 50 kpa, najmanja debljina donjeg sloja mora se odrediti u odnosu na širinu trapeznog otvora u ležećoj ravnini ploče. U pravilu debljina ploče kamene vune ne smije biti manja od polovice širine trapeznog otvora, u suprotnom u fazi montaže lako može doći do mehaničkih oštećenja odnosno lomljenja položenih ploča. min. 1/2 otvora trapeza Minimalna debljina ploče mora biti veća od polovice širine trapeznog otvora. otvor trapeza III Pravilno odvodnjavanje oko proboja krova U praksi se često susrećemo s nakupljanjem vode na ravnim krovnim površinama. Te greške su najčešće na mjestima gdje se voda zadržava na krovu, a to je obično na gornjim stranama krovnih proboja, ako oni nisu stručno izvedeni. Pravilno izvedeni proboji krova (kupole, ventilacijski kanali, dimnjaci pravokutnih oblika) moraju imati s gornje strane (prema sljemenu) dodatno ugrađene nagibne elemente od kamene vune, koji vodu usmjeravaju lijevo i desno uz proboj. Pravilno izvedeni nagibni elementi oko krovnih proboja pravokutnih oblika. Nagibni elementi koji sprječavaju zastoj vode. IV Toplinski mostovi i pričvršćivači Dodiri ploča kamene vune zbog vlaknaste strukture materijala osiguravaju zadovoljavajuću izolativnost čak i u slučaju ako fuge nisu u potpunosti stisnute. Termografskim kamerama i mjerenjima dokazano je da pri debljini ploča od 150 mm ili više čak i lagano otvoreni dodiri ploča kamene vune ne predstavljaju toplinski most, dok to za ploče iz organskih pjenastih materijala ne vrijedi i zato ih treba polagati dvoslojno. Kvalitetne tiple smanjuju toplinske gubitke Mnogo veći toplinski gubici nego na spojevima kamene vune nalaze se na mjestima mehaničkih pričvršćivača. Testovi termografskom kamerom pokazuju da su metalni pričvršćivači s pocinčanim podlošcima potpuno neprimjerni u usporedbi s teleskopskim uvučenim podlošcima. Stoga se savjetuje upotreba pričvršćivača s odgovarajućim dokazima o kvaliteti i prema preporuci dobavljača hidroizolacijskih membrana. Tiple s metalnim podlošcima: izrazit toplinski most. Teleskopske tiple s uvučenim podloškom: smanjeni toplinski gubici.

26 26 // ravni krovovi Toplinska izolacija krova Prednosti proizvoda s dvoslojnom gustoćom Toplinski otpor proizvoda (R): Debljina izolacije (mm) Monolitne ploče od kamene vune (λ=0,040) 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 Ploče od kamene vune dvoslojne gustoće (λ=0,038) 3,68 3,95 4,21 4,47 4,74 5,00 5,26 Karakteristike proizvoda s dvoslojnom gustoćom omogućavaju postizanje građevinsko-fizikalnih karakteristika krova s manjim debljinama u usporedbi s monolitnim pločama. Informacije na etiketi za proizvode s CE znakom CE oznaka daje osnovne informacije o dimenzijama i pakiranju, a pored toga i sve podatke o parametrima koji su testirani sukladno HRN EN normi. MW proizvod od mineralne vune norma specifikacije proizvoda EN13162 T5 razred odstupanja u debljini tlačna čvrstoća pri 10%-tnoj stišljivosti, razred 50 kpa CS(10)50 PL(5)600 točkasto opterećenje kod deformacije od 5 mm, od 600 N vlačna čvrstoća okomito na ravninu ploče, razred 10 kpa TR10 MU1 koeficijent relativnog otpora difuziji vodene pare 1 kratkotrajna vodoupojnost WS WL(p) dugotrajna vodoupojnost Prodajni program Monrock MAX E Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina i širina (mm) 2000 x 1200 ili 1200 x 600 komada na paleti m 2 na paleti 57,60 48,00 36,00 28,80 24,00 19,20 19,20 16,80 Durock i Hardrock II Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina i širina (mm) 2000 x 1200 ili 1200 x 600 komada na paleti m 2 na paleti 72,00 48,00 36,00 28,80 24,00 19,20 19,20 16,80

27 ravni krovovi // 27 Primjena Rockwoolovih proizvoda za ravni krov Preporučena područja primjene Rockwool proizvoda za ravne krovove Vrste hidroizolacije Primjena Proizvod Bitumenski sustav Betonska Hardrock II podkonstrukcija Dachrock Durock Roofrock OPTI Roofrock Monrock MAX E Podkonstrukcija od Hardrock II profiliranog lima Dachrock Durock Roofrock OPTI Roofrock Monrock MAX E Sanacije Hardrock II Dachrock Atika Hardrock II Dachrock Durock Roofrock OPTI Roofrock Monrock MAX E Polimerne jednoslojne membrane Način pričvršćivanja Lijepljene ploče + vareni bitumenski sustav Mehanički pričvršćene membrane Balastno opterećenje Roofrock OPTI Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina i širina (mm) 2000 x 1200 ili 1200 x 600 komada na paleti m 2 na paleti 144,00 115,20 96,00 84,00 72,00 64,80 57,60 48,00 43,20 38,40 33,60 Roofrock i Dachrock Dimenzije proizvoda i podaci o pakiranju Debljina (mm) Dužina i širina (mm) 2000 x 1200 ili 1200 x 600 komada na paleti m 2 na paleti 72,00 57,60 48,00 38,40 36,00 33,60 28,80 24,00 19,20 19,20

28 28 // ravni krovovi Rockwool Grupa Rockwool Grupa je vodeći svjetski proizvođač protupožarne, toplinske i zvučne izolacije od kamene vune. Grupa je osnovana u Hedehuseneu, u Danskoj, gdje se nalazi sjedište te centar za istraživanje i razvoj. Stoljetna tradicija i tehnološki sofisticiran proces proizvodnje jamče vrhunsku kvalitetu proizvoda i rješenja za izolaciju svih vrsta zgrada. Rockwool ima prodajne urede u 39 zemalja te 26 tvornica širom svijeta. tvornice prodajni uredi Tiskano na papiru certificiranom od strane Forest Stewardship Council (FSC). Ovlašteni distributer Rockwool Adriatic d.o.o. Ured prodaje Radnička cesta 80 HR Zagreb Tel Fax info@rockwool.hr Pravna napomena: Ovaj dokument nudi općenite informacije o Rockwoolovim proizvodima koji su na raspolaganju na području Rockwool Adriatica. Općenite informacije nisu jamstvo za tehničke parametre određenog proizvoda. Ti su parametri na raspolaganju u našim tehničkim i prodajnim službama koje na zahtjev kupca dostavljaju odgovarajuće podatke I pripadajuće ateste za pojedine proizvode. Reklamacije koje se pozivaju na ovaj dokument I navode u njemu su bez osnova i unaprijed ih odbacujemo. Zadržavamo pravo izmjene sadržaja u dokumentu u bilo koje vrijeme bez prethodne najave. Rockwool Adriatic d.o.o. Sjedište i proizvodnja Poduzetnička zona Pićan 1 HR Potpićan 03/11

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra Cjenik građevinskih izolacija i folija 2018 Izolacija za bolje sutra Toplinska i zvučna izloacija za dugoročno održivu gradnju Odlična toplinska izolacija Odlična zvučna izolacija Negoriva - klasa A1 Paropropusna

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V

H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA DJELOVANJA (OPTEREĆENJA) - EUROKOD

ANALIZA DJELOVANJA (OPTEREĆENJA) - EUROKOD GRAĐEVINSKO - ARHITEKTONSKI FAKULTET Katedra za metalne i drvene konstrukcije Kolegij: METALNE KONSTRUKCIJE ANALIZA DJELOVANJA (OPTEREĆENJA) - EUROKOD TLOCRTNI PRIKAZ NOSIVOG SUSTAVA OBJEKTA 2 PRORAČUN

Διαβάστε περισσότερα

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II

TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

knaufinsulation.hr Izolacija ravnih krovova

knaufinsulation.hr Izolacija ravnih krovova knaufinsulation.hr 2-2012 Izolacija ravnih krovova Svojstva i prednosti kamene mineralne vune Knauf Insulation danas je najbræe rastuêi koncern u Europi i jedan od rijetkih koji moæe ponuditi πiroku paletu

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

8a. FIZIKALNA SVOJSTVA ZGRADE POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA

8a. FIZIKALNA SVOJSTVA ZGRADE POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA POTROŠNJA ENERGIJE U ZGRADAMA FIZIKALNI PROCESI U ZGRADAMA/GRAĐEVINAMA su procesi koji se događaju unutar građevnih dijelova ili na njihovoj površini, a mogu biti uzrok građevinskoj šteti. Fizikalne procese

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E

KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E Katalog proizvoda 1 KOSI KROV Izolacija između i ispod greda Airrock LD, ND Multirock Izolacija iznad greda Hardrock Energy Durock Monrock MAX E KONTAKTNA FASADA (ETICS) Frontrock MAX E RAVNI KROV Monrock

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A.

Zaštitni znak tvrtke Ravago S.A. RAVATHERM XPS Općenito o proizvodu A RAVATHERM XPS je toplinska izolacija od polistirenske pjene sa strukturom zatvorenih ćelija, proizvedena najsuvremenijom tehnologijom 21. stoljeća. Modra pjena proizvedena

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA

NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA **** MLADEN SRAGA **** 00. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. obujamska masa (u suhom stanju) srednja vrijednost tlačne čvrstoće ρ b razred požarne otpornosti

je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. obujamska masa (u suhom stanju) srednja vrijednost tlačne čvrstoće ρ b razred požarne otpornosti PLOČA - P 5 je zidni element I razreda namijenjen za oblaganja. Zbog male debljine, a velike površine, ploča je idealna za završne radove u interijerima građevina, prije svega kod oblaganja kupaonskih

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O.

Cenovnik spiro kanala i opreme - FON Inžinjering D.O.O. Cenovnik spiro kanala i opreme - *Cenovnik ažuriran 09.02.2018. Spiro kolena: Prečnik - Φ (mm) Spiro kanal ( /m) 90 45 30 Muf/nipli: Cevna obujmica: Brza diht spojnica: Elastična konekcija: /kom: Ø100

Διαβάστε περισσότερα

Izolacija kosih krovova i potkrovlja

Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolacija kosih krovova i potkrovlja Izolirani krov je ušteđen novac! Važne vrijednosti za izoliranje krova: U-vrijednost: U-vrijednost opisuje koja se količina topline gubi po 1 m 2 krova kod pada (razlike)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15

TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 TOPLINSKA IZOLACIJA REV. 01/15 1 PROIZVODNJA SUSTAVA TOPLINSKE I ZVUČNE IZOLACIJE, VODONEPROPUSNIH SUSTAVA I OSTALIH ELEMENATA ZA GRADITELJSTVO Isosystem je dinamična tvrtka koja proizvodi ventilirane

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče

YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Tehnička uputa YTONG MULTIPOR mineralno izolacijske ploče Dimenzije Širina x duljina mm Debljina mm Mineralna izolacijska ploča Ytong Multipor 600 x 500 50, 75, 100, 125, 150, 200 Utrošak materijala/m

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

1 - KROVNA KONSTRUKCIJA : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2

1 - KROVNA KONSTRUKCIJA : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2 OPTEREĆENJE KROVNE KONSTRUKCIJE : * krovni pokrivač, daska, letva: = 0,60 kn/m 2 * sneg, vetar : = 1,00 kn/m 2 1.1. ROGOVI : * nagib krovne ravni : α = 35 º * razmak rogova : λ = 80 cm 1.1.1. STATIČKI

Διαβάστε περισσότερα

Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija.

Kontaktne fasade ETICS. Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija. Kontaktne fasade ETICS Kamena vuna. Protupožarna, toplinska i zvučna izolacija. 2 je jedan od najvećih proizvođača izolacijskih materijala na svijetu, koji već 80 godina proizvodi i distribuira niz održivih

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od Vrijedi: OD 20 LIPNJA 2012 Lindab CJENiK 2012 Sustav za odvodnju oborinskih voda i dodaci Lindab Elite sustav zaštite proizvoda >>> 3 Lindab Rainline Lindab Elite R Žlijeb Duljina: 4 m i 6 m 190 Elite

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα