MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA"

Transcript

1 MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju materijala kod eksploatacije već i u jednostavnoj izvedbi konzolnom gradnjom bez pomoćnih skela, stupova i zatega. I ovi su sklopovi kao i mnogi drugi u čeličnim konstrukcijama bili ranije poznati, pa su i za betonske mostove većih raspona postali vrlo prihvatljiv sustav. 1

2 Oblikovanju mostova sa kosim zategama valja posvetiti osobitu pozornost, jer su to nesvakidašnje konstrukcije, koje se jako ističu u prostoru. Dok su prvi veliki mostovi sa kosim zategama bili sa niskom niveletom, jer je takva bila topografija terena, (SR Njemačka je ravničarska zemlja), danas je izveden i veliki broj objekata sa visokom niveletom. Zbog atraktivnosti i male konstruktivne visine ovi se sastavi često koriste i od većih pješačkih prijelaza. Zavješeni most sa najvećim rasponom danas je most Tatara u Japanu i ima raspon 890m, to je čelični most, najveći most sa spregnutom gredom je Yangpu u Kini raspona 602m, dok je najveći betonski most Skarnsund u Norveškoj raspona 530m. 2. OPĆI PODACI I PODJELA MOSTOVA S KOSIM ZATEGAMA 2.1. UZDUŽNA DISPOZICIJA Uzdužna dispozicija mostova sa kosim zategama ovisi o vrsti i obliku prepreke, dopuštenim gabaritima, ekonomiji, estetici itd. Na temelju uvida u izvedene ovješene mostove može se zaključiti da postoje tri osnovna sustava. Kad se radi o nesimetričnoj prepreci projektant obično predviđa most sa kosim zategama sa ekscentričnim pilonom npr. Knie most, i Most preko Rijeke dubrovačke 2

3 Ako treba premostiti dva približno jednaka otvora može se odabrati simetričan most sa kosim zategama preko dva raspona sa pilonom u sredini npr. most Shima-Maruyama 3

4 Mostovi sa kosim zategama preko tri raspona sa dva pilona čine treći osnovni sustav, u pravilu je centralni otvor mnogo veći od bočnih i takva rješenja se najčešće koriste npr. most Brotonne Odnos bočnog raspona prema centralnom rasponu l/l kod ovog se standardnog sustava obično odabire 0.4 do 0.5. Što su bočni rasponi kraći to je manja varijacija momenata savijanja grede u njima i veća efikasnost stražnjih zatega uslijed povećane krutosti. Čini se povoljno daljnje smanjenje l/l ispod vrijednosti 0.4 no u tom slučaju dolazi do odizanja oslonaca na krajevima grede što stvara nove probleme. Kod asimetričnih mostova sa jednim pilonom odnos l/l je reda veličine 0.3 do

5 Kako treba voditi računa i o umornosti zatega bočnih otvora koje su u tom pogledu najnepovoljnije napregnute odabir optimalnog odnosa l/l ovisi o primijenjenom materijalu grede i o namjeni mosta.za čelične mostove odnos pokretnog i stalnog opterećenja je cca. 0.4, a za betonske cca. 0.2, dok za željezničke mostove iznosi oko 1.1 za čelične mostove, odnosno 0.6 za betonske mostove. Slijedi da za realizaciju optimalnog stanja napona bočne otvore čeličnih mostova treba odabirati manje nego betonskih mostova. Odabir dispozicije zatega je od primarnog značaja. Za ilustraciju troškovi za zatege su od mosta Brotonne iznosili 29% ukupnih troškova mosta, a za pilon samo 4%. Razlikujemo tri različite uzdužne dispozicije zatega: harfa, lepeza i pseudo-lepeza harfa lepeza pseudolepeza 5

6 Kod lepezaste dispozicije sve zatege konvergiraju na vrhu pilona, što stvara probleme kod usidrenja i stoga se rijeđe izvodi. Kod pseudo-lepezaste dispozicije su zatege kontinuirano rasprostrte po gornjem dijelu pilona, cime se olakšava sidrenje. Ova dispozicije se zbog ekonomije najčešće izvodi. lepeza pseudolepeza Raspored u obliku harfe sa estetskog stanovišta predstavlja najelegantnije rješenje za dvije ravnine zatega, jer zatege ostaju paralelne bez obzira na kut gledanja. Priključci zatega pod istim kutom olakšavaju izvedbu, a i stabilnost pilona se povećava jer se zatege hvataju na cijeloj visini. Međutim u konstruktivnom pogledu ovaj sustav zahtjeva veću količinu zatega, proizvodi veće tlačne sile u gredi i daje zamjetne momente u pilonu. 6

7 Prvi moderni mostovi sa kosim zategama su izvedeni sa 2 do 6 redova zatega u centralnom otvoru i međurazmacima između zatega 30 do 70 m. To je iziskivalo veliku krutost grede i komplicirana usidrenja zatega na gredi i pilonima, a i montaža je bila složena sa primjenom velikog broja pomoćnih konstrukcija. Visina grede prema rasponu h/l iznosila je oko 1/70 i vise. Danas se najvećim dijelom grade mostovi druge generacije sa mnogo zatega. Međurazmaci zatega na gredi iznose 5 do 15m za betonske grede odnosno 10 do 20 m za čelične grede. Što je prije bila greda na elastičnim osloncima, kod ovog sustava postaje tlačni pojas konstruktivnog sistema obješenog na pilone Razvoj mostova sa kosim zategama 7

8 Prednosti sustava sa puno zatega su: -jednostavnost montaže koja sukcesivno napreduje uz ugradbu slijedećih zatega -pojednostavljenje prijenosa sila uslijed smanjenja koncentriranih sila kod usidrenja i momenata savijanja kod grede -lakoća zamjene zatega ako se za to ukaze potreba, bez prekida prometa, jer se uklanjanjem pojedine zatege vrlo malo mijenja distribucija unutarnjih sila -odlične aerodinamičke karakteristike uvjetovane velikim sustavnim prigušenjem od velikog broja zatega različite duljine i frekvencije oscilacija. U statičkom pogledu ovaj se sustav može shvatiti kao konzolna rešetka, a krutost grede mora biti samo tolika da se osigura sigurnost na izvijanje i da deformacije od prometnog opterećenja ne budu velike. 8

9 Osnovna dilema je u odabiru rasoreda zatega u jednoj ravnini (aksijalno) ili u dvije ravnine (lateralno), jer o tome direktno ovisi oblikovanje poprečnog presjeka grede i pilona kao i statički i dinamički odgovor konstrukcije mosta 2.2. POPREČNA DISPOZICIJA Aksijalno ovješenje u jednoj centralnoj ravnini mosta koristi se kod cestovnog prometa u dva smjera odijeljenih zaštitnim pojasom (presjek autoceste). Naravno da taj zaštitni pojas mora biti dovoljno širok, ako se pilon želi locirati unutar njega, a na cijeloj duljini se mora predvidjeti i osiguranje od udara vozila u kotve zatega u vidu jakih odbojnika na dovoljnoj udaljenosti do kotvi. Poprečni presjek grede nužno se mora oblikovati kao torziono vrlo kruti sanduk, da bi se mogla preuzeti nesimetrična opterećenja. Leonhardt smatra da aksijalno ovješenje dolazi u obzir kod raspona do cca. 300m, iako su tehnički moguća rješenja sa daleko većim rasponima (Flehe, Brotonne, Dao Kanong, ali na uštrb ekonomije. 9

10 Dvije ravnine zatega mogu biti vertikalne ili nagnute jedna prema drugoj sa sjecištem iznad uzdužne osi mosta Druga konfiguracija predstavlja optimalno rješenje. Piloni, greda i zatege u tom slučaju čine prostornu rešetku i nemogući su diferencijalni pomaci usidrenja dviju zatega. Poprečni presjeci grede se pojednostavljuju i kod mostova sa mnogo zatega mogu biti vrlo vitki (h/h= ). Torzijska krutost se realizira konstruktivnim sustavom i u principu nije potrebna za samu gredu, iako se kod velikih raspona ipak koristi za dodatno povećanje aerodinamičke stabilnosti grede gotovog objekta i naročito montažnih stanja. Sagrađeni su i neki mostovi sa tri ravnine ovješenja kao npr. most u Ljubljani. 10

11 3. POVIJESNI RAZVOJ MOSTOVA SA KOSIM ZATEGAMA Već su stari Egipćani koristili ideju ovješenja kod projektiranja brodova vješajući jedra na jarbol. Skica za prvi lančani most sa mnoštvom kosih lanaca venecijanskog graditelja Faustusa Verantiusa (Fausta Vrančića) rodom iz Dalmacije nastala je tek Godine Imanuel Loescher iz Freiburga - teorijski rad za most sa kosim zategama izveden od drva (1784) prvi autentični uspješni most sa kosim zategama postaje Twerton most preko rijeke Avon raspona 36.6m iz godine 1838, projektant T. Motley 11

12 Početkom XIX stoljeća izvedeno je još nekoliko mostova sa kosim zategama ali su se neki od njih srušili kao most preko rijeke Saale kod Nienburga Most je sagrađen 1824 a srušio se 1825, uzrok rušenja nikad nije bio službeno objavljen, vidljivo da zatege slijede neobične linije što je uzrokovalo velike momente drugog reda na koje konstrukcija nije bila dimenzionirana. To je prouzročilo nepovjerenje prema takvim konstrukcijama, naročito nakon Navier-ovog zaključka da treba prednost dati visećim mostovima. Stvarne uzroke rušenja treba međutim tražiti u neshvaćanju kompliciranog hiperstatičkog sustava naročito obzirom na utjecaje temperature, konstruktivne nedostatke i neprikladnosti ondašnjih materijala za zatege. Viseći mostovi preuzimaju primat za veće raspone, a kose zatege se ponekad koriste kao dodatni elementi za povećanje krutosti i povećanje aerodinamičke stabilnosti grede za ukrućenje 12

13 Tako je J.Roebling koncipirao svoje remek djelo most Brooklyn u New Yorku (1867), ne na bazi računa no intuitivno. Slično konstruktivno oblikovanje zajedničkog djelovanja standardnih kablova visećih mostova i kosih zatega primijenjeno je kod mostova preko Moldave u Pragu (1868) i Albert mosta preko Temze u Londonu (1868). 13

14 Vrlo značajno ostvarenje je prvi armirano-betonski most sa kosim zategama, akvadukt Tempul kod Jereza de la Frontera u Španjolskoj, koji je projektirao poznati španjolski profesor Torroja. Evolucija modernih mostova sa kosim zategama od pedesetih godina ovog stoljeća - metode numeričke analize uz primjenu računala Te metode omogućuju proračun unutarnjih sila u konstruktivnim elementima za konačno stanje i za stanje montaže, a prvi puta su sistematski provedene za montažu prvog modernog mosta sa kosim zategama Stromsund u švedskoj (1956) 14

15 Prvi veliki njemački most je Theodor Heuss most preko Rajne u Dusseldorfu (1957), Njegovom je uspješnom izgradnjom iniciran fascinantni razvoj ovog konstruktivnog sustava u početku gotovo isključivo u SR Njmačkoj gdje je trebalo obnoviti cijeli niz mostova porušenih tijekom II. Svjetskog rata. Slijede Severins (1959) prvi izvedeni asimetrični most preko dva raspona sa A-pilonom 15

16 Nordelbe prvi most sa zategama u jednoj ravnini (aksijalno) Friedrich Ebert (1967) prvi izvedeni objekt druge generacije mostova sa kosim zategama sa mnogo zatega. Implikacije ovog statičkog sustava čije je ponašanje slično gredi na elastičnoj podlozi za razliku od ponašanja sličnog kontinuiranom nosaču za prvu generaciju mostova sa kosim zategama sa malo zatega nisu odmah bile shvaćene. Knie most (1969) je asimetrični most sa zategama u obliku harfe u dvije ravnine, sa stupovima ispod svih priključaka zatega na gredu u malom otvoru cime je efikasnost dvostrukog sistema harfe povećana do te mjere da je poprečni presjek bilo moguće oblikovati sa vrlo vitkim limenim nosačima bez torzione krutosti 16

17 Sedamdesetih godina se u SR Njemačkoj gradi još desetak mostova sa kosim zategama Hoechst (1972) betonska greda Flehe (1979) betonski pilon 17

18 Nešto kasnije od prvih Njemačkih mostova sa kosim zategama R.Morandi projektira nekoliko mostova sa kosim zategama sa gredom i pilonima u betonu; Maracaibo (1962) Inženjerski zanimljivi objekti - u estetskom smislu nisu osobito uspjeli Kasnih sedamdesetih godina i ostali svijet prihvaća ove mostove, naročito Japan sa topografijom terena koja zahtijeva objekte velikog raspona. Japanski mostovi sa kosim zategama su kao i Njemački skoro isključivo izvedeni u čeliku. Ovješeni mostovi sa čeličnom gredom grade se u Velikoj Britaniji, Belgiji, Čehoslovačkoj, Španjolskoj, Nizozemskoj, Švedskoj, SAD, Tajlandu, u Novom Sadu sagradjen je 1981 most sa centralnim rasponom 351m, projektant je N. Hajdin sa suradnicima 18

19 Dok su prvi francuski mostovi sa kosim zategama kao St. Nazaire (1975) nastavljaju njemačku tradiciju čelične grede sa ortotropnom pločom, most Brotone (1977) sa betonskim sandukom i gusto raspoređenim zategama u centralnoj ravnini predstavlja sasvim novo originalno rješenje. Kod kasnijih Morandijevih mostova zatege su obučene u betonsku oblogu, a isto je napravio C.Menn na mostu Ganter (1980) 19

20 U Norveškoj je napravljen most Skarsundet raspona 530m sa betonskom gredom. Do danas je to najveći betonski most sa kosim zategama Najveći je most Tatara u Japanu raspona 890m, a ukupne duljine 2000m izveden godine u čeličnoj izvedbi. 4. OBLIKOVANJE 4.1. RASPONSKI SKLOP postojanje svih velikih mostova, pa i mostova sa kosim zategama omogućeno je prvenstveno razvitkom pogodnih materijala tehnologijom izvedbe boljim poznavanjem teorije konstrukcija, uključivo probleme stabilnosti, aerodinamičko ponašanje 20

21 za određivanje podobnosti jednog materijala za velike raspone bitna su četiri svojstva materijala: čvrstoća specifična težina krutost troškovi Jedini materijali koji dolaze u obzir za izvedbu su beton i čelik. Ako ih usporedimo ustanovit ćemo da tlačna čvrstoća betona iznosi cca. 10% čvrstoće čelika. Mnogo više pokazuje nam odnos čvrstoća/specifična težina koji su u analizu prvi uveli aeronautički stručnjaci, a koji ima dimenziju jedinice duljine. Taj odnos za beton iznosi svega cca. 30% vrijednosti za čelik, što je mana masivnih konstrukcija, jer za preuzimanje korisnih opterećenja preostaje daleko manje ukupne čvrstoće nego kod čelika S druge strane progibi od prometnog opterećenja kod masivnih mostova su mnogo manji nego kod čeličnih mostova, odnosno krutost je mnogo veća Kod troškova, ako cijena za preuzimanje neke tlačne sile čelikom iznosi 100%, onda cijena za preuzimanje iste sile betonom iznosi samo 33% od čega samo 5% otpada na čisti beton a ostalo otprilike popola na oplatu i ubetoniranu armaturu. 21

22 Iz svega toga možemo zaključiti: Kod mostova sa kosim zategama najvećih raspona kao materijal za gredu dolazi u obzir samo čelik zbog daleko povoljnijeg odnosa čvrstoće prema vlastitoj težini. Kod ostalih raspona odabir materijala je cesto uvjetovan lokalnim uvjetima, a mogući su čelični, betonski i spregnuti poprečni presjeci. Prednosti betonske grede leže u većoj krutosti, boljim karakteristikama prigušenja i manjim varijacijama napona u zategama uslijed manjeg utjecaja prometnog opterećenja i time povoljnijem ponašanju obzirom na umornost. Betonski sandučasti poprečni presjeci sa 3 ili 4 hrpta 22

23 Betonski sandučasti poprečni presjeci sa 2 hrpta Betonski presjeci za lateralno ovješenje Poprečni presjek ploča novo rješenje 23

24 Spregnuti presjeci su vrlo povoljni zbog jednostavnosti montaže, naročito kod mostova sa mnogo zatega kod kojih su momenti savijanja mali te su mogući vrlo vitki presjeci. Kombinacijom čelika i betona eliminira se nepovoljni utjecaj vlastite težine čiste betonske konstrukcije, a postiže se veća krutost u odnosu na čelične presjeke. Spregnuti poprečni presjek novi oblik poprečnog presjeka betonski uzdužni nosači i ploča sa čeličnim poprečnim nosačima 4.2. PILONI Visina pilona ima veliki utjecaj na količinu materijala za zatege i uzdužne tlačne sile u gredi. Optimalna visina pilona ovisi o uzdužnoj dispoziciji zatega. Minimalna vrijednost količine čelika za zatege : h/l=0.29 lepeza h/l =0.50 harfa, apsolutni minimum jer su sve zatege pod kutom 45 stupnjeva - teorijski značaj - zbog problema elastične stabilnosti i potencijalnog utjecaja vjetra kod vrlo visokih pilona h=( )l Za raspone ispod 200m može se usvojiti i h/l=0.3. h/l=0.2 ušteda u zategama: 14%za pseudo-lepezu prema harfi, odnosno 18% za lepezu u odnosu na harfu. 24

25 Odnosi visine pilona i raspona mosta Za asimetrične mostove s jednim pilonom vrijede isti odnosi h/l s time da se L definira kao raspon velikog otvora uvećan s korekcijskim faktorom 1.8. piloni su u uzdužnom smjeru stabilizirani tzv. pridržavajućim zategama bočnih otvora fleksijska krutost pilona u uzdužnom smjeru mala - utjecaj pokretnog opterećenja u pilonu prenosi se pridržavajućim zategama u bočnim otvorima a ne savijanjem pilona. Minimalna krutost pilona - potrebna sigurnost na izvijanje U poprečnom smjeru se teži velikoj krutosti pilona, jer treba preuzeti horizontalne sile od vjetra i seizmičkog djelovanja. iskustva sa izvedenih objekata - betonski piloti ekonomičniji od čeličnih - razlika troškova raste s veličinom mosta 25

26 sandučasti presjeci pilona i za čelične i za betonske pilone - usidrenja zatega na pilonu dostupna komunikacijom kroz pilon najekonomičniji - vertikalni piloni zatege i greda čine konzolni sustav, krak unutarnjih sila neposredno iznad ležaja pilona treba biti najveći, što je kod vertikalnih pilona i slučaj. 26

27 U uzdužnom smjeru prema bočnom otvoru nagnuti piloni zahtijevaju kod istog kraka sustava nad osloncem više pilone Kod pilona nagnutih prema glavnom otvoru (most Batman) sustava visina se smanjuje od vrha pilona prema ležaju i pridržavajuće zatege bivaju jače opterećene nego kod vertikalnih pilona, da ne sopminjemo izvedbene teškoće i estetski dojam Oblikovanje pilona u poprečnom smjeru ovisi o dispoziciji zatega, rasponu, visini nivelete, estetskim kriterijima itd. Svi sustavi pilona mogu se upotrijebiti i kod aksijalog i kod lateralnog ovješenja. Piloni za ovješenje u jednoj ravnini (aksijalno ovješenje) 27

28 Mostovi sa vitkim gredama i H pilonima su vrlo osjetljivi obzirom na aerodinamičnu nestabilnost flutter -a, jer su osnovne frekvencije fleksijskih i torzijskih oscilacija praktički jednake. Ako je visina pilona osjetno veća nego širina mosta koriste se okvirni piloni. Horizontalna greda na vrhu pilona omogućuje blago naginjanje stupova pilona, te kod lateralnog ovješenja ravnine zatega ostaju vertikalne. Piloni za ovješenje u dvije ravnine (lateralno ovješenje) Za najveće raspone najčešće se rade A piloni zbog velike krutosti u poprečnom smjeru, povećanja torzijske krutosti sustava i povoljnog estetskog dojma. Piloni su obično upeti u temelj ili stupove (samo dio iznad grede se cesto naziva pilonima), iako postoje i izvedbe sa upinjanjem u gredu i sa zglobnim oslanjanjem, kako bi temelji bili centrično opterećeni. 28

29 4.3. ZATEGE Zatege su osnovni element ovih mostova. Razvitak modernih mostova sa kosim zategama omogućen je prvenstveno primjenom visokovrijednog čelika za zatege na što je ukazao već F. Dischinger. Bitnu ulogu kod odabira materijala za zatege igraju, osim vlačne čvrstoće i modula elastičnosti antikorozivna zaštita i čvrstoća na zamor, konstruktivno oblikovanje kotvi i montaža. Modul elastičnosti vertikalnog ravnog kabela iznosi kod zatvorene spiralne užadi oko 155 kn/mm 2, a kod paralelnih žica oko 205 kn/mm 2. Koeficijent sigurnosti obzirom na vlačnu čvrstoću kod zatega iznosi tipično 2.2. Do tog nivoa napona može se pretpostaviti elastično ponašanje zatega i mogu se zanemariti efekti relaksacije. Kotve zatega moraju omogućiti točan unos projektiranih sila sa silama sloma ne manjim od sila sloma same zatege i u toku trajanja objekta ne smiju popuštati. 29

30 Za razliku od standardnih kablova za prednapinjanje, smještenih unutar betonskog presjeka, zatege su izložene znatnim fluktuacijama napona od djelovanja pokretnog opterećenja, temperature, vjetra itd. te je njihova čvrstoća umornosti od primarne važnosti. Umornost mogu prouzročiti oscilacije zatega uslijed vjetra i pokretno opterećenje. Oscilacije zatega se mogu reducirati primjenom raznih prigušivača. U konstruktivnom pogledu bitno je da ne dođe do savijanja zatege kod usidrenja pa kotve treba postaviti u smjer tangente a ne sekantne krivulje predmetne zatege. Čvrstoća na umornost zatege prvenstveno ovisi o čvrstoći na umornost kotve. Zatege su obzirom na trajnost vrlo osjetljive te treba predvidjeti adekvatnu antikorozivnu zaštitu. a) Paralelne šipke b) Paralelne žice 30

31 c) Paralelni strukovi d) Zatvoreno spiralno uže 31

32 USIDRENJE ZATEGE Usidrenja zatega na gredu ovise o poprečnom presjeku, materijalu grede i načinu ovješenja d) Usidrenje u čeličnu gredu d) Usidrenje u betonsku gredu 32

33 Usidrenja zatega na pilon ovise o poprečnom presjeku i materijalu pilona, te o uzdužnoj i poprečnoj dispoziciji zatega. Usidrenje zatega na pilon Normandie Usidrenje na čelični pilon 33

34 4.4. LEŽAJEVI I DILATACIJE Vertikalni ležajevi su kod lateralnog ovješenja u principu neophodni samo na krajnjim osloncima. Kod pilona se ne moraju predvidjeti pri čemu se greda i tamo vješa na zatege, čime se izbjegavaju veliki negativni momenti savijanja u gredi (totalno ovješenje). Pasco-Kennewick Uobičajena izvedba s tzv. parcijalnim ovješenjem, vertikalni ležajevi postavljaju se i na poprečnom nosaču pilona, ovješenje u okolici pilona se prekida. momenti savijanja grede u bočnim otvorima i kod pilona u velikoj mjeri ovise o načinu oslanjanja grede na pilon. greda upete u pilon momenti se smanjuju u bočnim poljima a jako rastu nad pilonom. slobodno oslanjanja momenti savijanje grede kod pilona su mali, ali zato jako rastu u bočnim otvorima. 34

35 Stabilnost pilona na izvijanje se bitno poboljšava ako se predvidi nepokretan ležaj za preuzimanje horizontalnih sila u uzdužnom smjeru. Kako je konstruktivni sustav (lepeza i pseudo-lepeza) u uzdužnom smjeru vrlo mekan taj ležaj se može postaviti i na jedan kraj mosta, tako da je potrebna samo jedna velika dilatacijska naprava. Uzdužno nepokretni ležaj se može locirati i na pilonu pa se onda kočne sile predaju temelju pilona savijanjem, sto je lako izvedivo jer su u pilonu velike uzdužne sile te dolazi do malog dodatnog ekscentriciteta. Ležajevi za horizontalna poprečna opterećenja (vjetar) se stavljaju na svim krutim osloncima Kod simetričnih mostova sa kosim zategama preko tri raspona uzdužno nepomični ležajevi se mogu postaviti i na oba kraja mosta ako se u sredini centralnog otvora predvidi zglob sa dilatacijskom napravom, cime se kod simetrične slobodne montaže izbjegava potreba za uspostavljanjem fleksijskog kontinuiteta na tom mjestu. Neki autori ipak smatraju da takvo rješenje nije najbolje zbog kompliciranosti zgloba (horizontalno pomičan, vertikalno nepomičan) i zbog neizbježnog loma nivelete, uslijed djelovanja pokretnog opterećenja a kod betonskih greda i puzanja i skupljanja. 35

36 5. PRORAČUNI Most sa kosim zategama je višestruko statički neodređeni sustav. Područje (veličina) sile najvećim dijelom je određena odnosom krutosti zatega, pilona i grede Momenti savijanja na gredi približavaju se onima na kontinuiranom nosaču na čvrstim osloncima, ti momenti se smanjuju što se smanjuje razmak između zatega.vertikalne komponente sila u zategama su približno jednake ležajnim reakcijama izračunatim na taj način MODELIRANJE SUSTAVA Pojednostavljenje dovoljna točnost Ravninski modeli Diepoldsau 36

37 Pasco-Kennewick Prostorni modeli Flehe Diepoldsau Zarate-Brazo Largo 37

38 Parcijalni modeli Sidrenje zatege na gredu Vrh pilona 5.3. ZATEGE Zbog male krutosti na savijanje zatege se deformiranjem uravnotežuju pod utjecajem vlastite težine zauzimajući oblik lančanice. Da bi se u proračun mogla uvesti idealizirana ravna zatega potrebno je pronaći idealizirani sekantni modul elastičnosti E i. 2 ( γl) ( 1 μ) σ m 16μ 4 E i = Ee E 2 e σ γ -jedinična težina l - horizontalni raspon zatege low μ = σ m = ( σ low + σ up )/ 2 σ up 38

39 E e = N/mm 2 β z =1 700 N/mm 2 γ=80 kn/m 3 σ=n/a E E i e 1 = 2 ( γ l) E σ e Omjer E i /E e pokazuje utjecaj progiba zatege na njenu krutost Dijgram σ-ε za zategu horizontalne dužine 500m i napona 0.1β z 5.4. PRELIMINARNI PRORAČUN pojednostavljeni proračun daje nam vrijednosti za prvu aproksimaciju preliminarnog proračuna sila u zategama. gredu promatramo kao kontinuirani nosač na čvrstim osloncima koji se nalaze na mjestima usidrenja zatege u gredu. Ni = R g, i /sinα i Za back stay (sidrene) zatege pretpostavlja se da indirektno podupiru onaj dio srednjeg raspona koji nije uravnotežen sa bočnim rasponom. Sile u tim zategama dobiju se projekcijom sile G 1 u smjeru zatege 39

40 znamo sile u zategama od stalnog opterećenja - potrebno je definirati granični napon σ g za djelovanje vlastite težine i dodatnog stalnog opterećenja tako da na osnovu toga možemo dimenzionirati tj. usvojiti poprečni presjek zatege. Pretpostavimo da zatega od pokretnog opterećenja preuzima silu N q koja je proporcionalna sa silom N g Definiramo parametar η=q/g; -g stalno opterećenje -q prometno opterećenje. Poprečni smjer Prometna opterećenja od željezničkog prometa su u pravilu veća od cestovnog, a čelična greda je lakša od betonske, pa parametar η može dosta varirati.taj je parametar relativno nizak za betonske cestovne mostove : , a visok za čelične željezničke mostove iskoristivost čelika u zategama za dvije vrijednosti η. ako je vrijednost η mala razlika naprezanja Δσ q manja je od graničnog Δσ per - kriterij čvrstoće: σ g + σ qup < σ per η veliki, razlika napona postaje velika - kriterij umornosti: Omjer η=q/g niski visoki Δσ q < Δσ per. Uvjeti σ g +Δσ q.s σ adm Δσ g Δσ adm 40

41 Za oba ova kriterija može se uspostaviti odnos σ g i η. -kriterij čvrstoće σ = g σ g + q per = 1 + q g 1 σ per -kriterij umornosti N q N q N g N q Δσ per = = = Δσ A A N N g g per q iz čega slijedi σ g = Δσ per g Maksimalni dozvoljeni napon u zategama je općenito definiran kao : σ per = 0.45β z σ per = 0.50β z u posebnim slučajevima, gdje je β z vlačna čvrstoća čelika pri slomu. Napon Δσ je garantiran od proizvođača i obično je baziran na eksperimentima od preko dva milijuna ciklusa opterećenja. 1 σ g kao funkcija η za kriterij čvrstoće i kriterij umornosti. Dozvoljeni naponi su : σ per = 0.45 X 1700=765 N/mm 2 Δσ per = 200 N/mm 2 ili 300 N/mm 2. A i = N g,i / σ g. 41

42 5.5 DIMENZIONIRANJE NA UMORNOST Δσ per = Δσ γ γ 1 2 test γ 3 = Δσ 1.5 test γ 1 =1.15 parcijalni koeficijent za čelik γ 2 =1.15 parcijalni koeficijent koji uzima u obzir efekt grupiranja (ispitivanja se provode na pojedinačnim žicama ili strukovima) γ 3 =1.15 parcijalni koeficijent koji uzima u obzir prenošenje rezultata ispitivanja u karakteristične vrijednosti Rezultati testa Razlike napona Faktor sigurnosti γ=1.5 Srednja vrijednost za 1 žicu 1 struka Vrijednost za dimenzioniranje Broj ciklusa (log n) Prikaz dimenzioniranja na umornost 42

43 5.6 DINAMICKA ANALIZA Utjecaj dinamičkih sila na ovješene i viseće mostove je veći nego na bilo koje druge mostove i vrlo je važan za proračun. -aerodinamički efekt -psihološki efekt -seizmičko djelovanje. aerodinamička stabilnost točnije nestabilnost bila je uzrok rušenja visećih mostova ranijeg razdoblja, a to je pak uvjetovalo poboljšanje i napredak na tom području. Oscilacije uzrokovane vjetrom i prometom koje ne uzrokuju oštećenje mosta mogu vrlo neugodno djelovati na njegove korisnike. vlastite frekvencije i tonovi promatrane konstrukcije savijajuća (fleksijska) i torzijska vlastita frekvencija obično je odgovor konstrukcije na dinamičko djelovanje sadržan u prvih nekoliko tonova konstrukcije, međutim kod fleksibilnih konstrukcija potrebno je razmatrati veći broj tonova za dubrovački most uzeto je 50 tonova 43

44 Most Zarate - Brazo Largo prvih 6 tonova Most prek Rijeke dubrovačke - prvi ton 44

45 Most prek Rijeke dubrovačke - drugi ton Most prek Rijeke dubrovačke - treći ton 45

46 Most prek Rijeke dubrovačke - četvrti ton Most prek Rijeke dubrovačke - peti ton 46

47 Kod ovješenih mostova glavni raspon je obično vrlo velik, ovisno o položaju mosta on može biti izložen većem ili manjem djelovanju vjetra poprečno na most. horizontalno opterećenje T vertikalno opterećenje N moment torzije M oblik poprečnog presjeka (koeficijenti oblika popr. presjeka C T, C N, C M obliku poprečnog presjeka (koeficijenti oblika popr. presjeka C T, C N, C M kutu napada vjetra na konstrukciju α 47

48 Strujanje zraka uzrokuje savijajuće i torzijske oscilacije konstrukcije uslijed male promjene kuta djelovanja vjetra mogu uzrokovati odižuće djelovanje. Ova pojava poznata kao flutter uzrokovala je rušenje mosta Tacoma 1940 godine Nakon ove katastrofe uslijedila su ispitivanja koja su pokazala da flutter nastaje kada su savijajuća i torzijska vlastita frekvencija preniske, kada su preblizu jedna drugoj po vrijednosti ili kada se podudare oba ova slučaja. Mathivat smatra da zadovoljavajući omjer te dvije frekvencije iznosi 2.5. Flutter može biti uzrokovan i odvajanjem vrtloga na rubovima poprečnog presjeka što je posljedica neadekvatnog oblikovanja poprečnog presjeka. Djelovanje vjetra na gredu sa deflektorima Djelovanje vjetra na gredu bez deflektora 48

49 Iznad određene brzine vjetra kritična brzina vjetra - greda počne primati veću energiju od one koju može disipirati prigušenjem. Rezultat je pojava savijajućih i torzijskih pomaka, uzrokovanih aerodinamičkim silama, sa rapidnim povećavanjem amplituda sve do kolapsa konstrukcije Kritična brzina vjetra za određeni most mora stoga biti dovoljno veća od brzine vjetra koji se može očekivati na lokaciji mosta. Oblikovati aerodinamički i torzijski kruti poprečni presjek, pogotovo ako imamo jednu ravninu ovješenja ili dvije vertikalne paralelne ravnine ovješenja sa H pilonom, Ovješenje bi trebalo biti u dvije ravnine i to tako da su dvije ravnine zatega nagnute jedna prema drugoj sa A pilonom, time dobijemo prostorni sustav koji je torzijski krut pa krutost same grede ne mora biti velika. 49

50 Također su bitni geometrijski odnosi Širine kolovoznog nosača (B), visine kolovoznog nosača (H) i dužine glavnog raspona (L). Prema dosadašnjim iskustvima možemo tako zaključiti da će betonski mostovi sa dvije ravnine ovješenja biti sigurni od pojave flutter -a ako su zadovoljeni sljedeći odnosi: B 10H ili B L/30. Čelični mostovi sa rasponom većim od 400m ponu su osjetljiviji na oscilacije, pa bi uz ovješenje na A pilon trebao biti zadovoljen odnos B L/ IZVEDBA Izvedba mosta s kosim zategama je čimbenik koji djeluje na zamisao i projektiranje objekta. Stoga će izbor konstruktivnog sustava i materijala, kao i izvedba detalja konstrukcije biti u uskoj vezi s načinom izvedbe. U slučaju mosta s kosim zategama nosivost pojedinačne zatege ovisi o prijenosu horizontalne komponente sile iz zatege kroz kolovozni nosač, a ista se ne može aktivirati ako prethodno nije ugrađen dio nosača u koji se kosa zatega sidri. 50

51 6.2. GRADNJA NA PRIVREMENIM OSLONCIMA Jedan od načina izvedbe mosta sa kosim zategama je izvedba kolovoznog nosača na skeli, na privremenim osloncima, a potom dodavanje i pritezanje zatega. Stupnjevi izvedbe slijede u četiri osnovne faze ÖRESUND 51

52 6.3. POSTUPNO UZDUŽNO POTISKIVANJE 6.4. POSTUPNO PREPUŠTANJE (SLOBODNA KONZOLNA GRADNJA) 52

53 53

54 54

55 55

56 PLATFORMA 1 PLATFORMA 2 PLATFORMA 3 PLATFORMA 4 PLATFORMA 5 PREGLED ZNAČAJNIJIH AJNIJIH MOSTOVA SA KOSIM ZATEGAMA 56

57 Hoechst, 1972, Njemačka 57

58 Brotonne, 1977, Francuska 58

59 Pasco - Kennewick, 1978, USA 59

60 Sancho El Mayor, 1978, Španjolska 60

61 Barrios de Luna, 1984, Španjolska 61

62 Coatzacoalcos, 1984, Mexico 62

63 East Huntington, 1985, USA Diepoldsau, 1985, Španjolska 63

64 Annacis, 1986, Canada 64

65 Sunshine Skayway, 1987, USA Tampico, 1988, Mexico 65

66 Dame Point, 1989, USA Wandre, 1989, Belgija 66

67 Helgeland, 1991, Norveška 67

68 Skarnsundet, 1991, Norveška Normandie, 1994, Francuska 68

69 Betonska greda Čelična greda Sidrenje zatega na pilon 69

70 Sidrenje zatega na betonsku i čeličnu gredu Tatara, 1999, Japan 70

71 Alamillo, Španjolska 71

72 Arena, Španjolska 72

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

Masivni mostovi DJELOVANJA NA MOSTOVE

Masivni mostovi DJELOVANJA NA MOSTOVE Masivni mostovi DJELOVANJA NA MOSTOVE Povezanost europskih normi za proračun konstrukcija EN 1990 Općenito Osnove o Eurocodovima proračuna EN 1991 Djelovanja na konstrukcije Sigurnost, uporabljivost i

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA... 2 1.1 Beton... 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja... 6 1.1.3 Razred

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

CIGLA - tehnički priručnik

CIGLA - tehnički priručnik CIGLA - tehnički priručnik SADRŽAJ TERMO PROGRAM KLASIČNI PROGRAM STROPNI PROGRAM TROŠKOVNIK ZA UGRADNJU PROIZVODA 04 13 16 21 Proizvodi Građevinska fizika Prednosti termo bloka Proizvodi Proizvodi Tehničke

Διαβάστε περισσότερα

SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE

SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE SPECIJALNE INŽENJERSKE GRAĐEVINE 4. PREDAVANJE Visoke građevine VISOKE GRAĐEVINE SADRŽAJ PREDAVANJA (1.dio) Uvodno Povijest i kronologija visokih građevina Nosivi elementi za osnovna opterećenja Mjere

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama:

PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE. Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: PREDNAPETI BETON 2 MATERIJALI, SUSTAVI I TEHNOLOGIJA PREDNAPINJANJA TE PODRUČJE PRIMJENE BETON Zahtjevi na beton u prednapetim konstrukcijama: Visoka tlačna čvrstoća (s niskim v/c odnosom) Mali iznos skupljanja

Διαβάστε περισσότερα

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA

SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE U SPLITU SRĐAN PODRUG ELEMENTI STROJEVA Predavanja za stručni studij BRODOGRADNJE za šk. god. 2006/2007. Split, 2006.

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

unutrašnja opterećenja

unutrašnja opterećenja * Ravnoteža u deformabilnom tijelu Koncentrisana sila (idealizacija) Površinska sila Spoljašnja opterećenja: površinske i zapreminske sile Reakcije oslonaca Jednačine ravnoteže Linearna raspodjela opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA

Konopi. ARTIKl BOJA PlAVO/ŽUTA. ARTIKl BOJA CRVENO/PlAVA. PREKIDNA ČVRSTOĆA (dan) DUŽINA (m) Φ (mm) ARTIKl BOJA PlAVA. ARTIKl BOJA CRVENA KONOP ZA ŠKOTE RACE - materijal jezgra dyneema na 16 struka, izvana poliester na 32 struka - za dizanje i spuštanje jedara, otporan na habanje, mala rastezljivost CRVENO/ PlAVO/ TF30 05000 TF33 05000 5

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

10. BENZINSKI MOTOR (2)

10. BENZINSKI MOTOR (2) 11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak 10. BENZINSKI MOTOR (2) 1 Sustav ubrizgavanja goriva Danas Otto motori za cestovna vozila uglavnom stvaraju gorivu smjesu pomoću sustava za ubrizgavanje

Διαβάστε περισσότερα

VAŽNO. Posmino naprezanje τ

VAŽNO. Posmino naprezanje τ UVIJANJE ŠTAPOVA 1 VAŽNO Posmino naprezanje τ τ ρ I o 2 aksimalno posmino naprezanja τ za: ρ r d 2 τ maks W 0 3 Polarni momen romosi: I o 4 d π 32 [ ] 4 cm Polarni momen opora: W o 3 d π 16 cm [ ] 3 4

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI

RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Analiza vremena Pert metodom

2.2. Analiza vremena Pert metodom 2.2. Analiza vremena Pert metodom Dok je kod CPM metode poznato samo jedno vreme trajanja aktivnosti t, kod Pert metode dane su tri procjene: a - optimistično vreme (najkraće moguće vreme u kojemu se može

Διαβάστε περισσότερα

KORISNOST VJETROENERGIJE

KORISNOST VJETROENERGIJE Karla Srnec Željka Toplek Mentor: Karmena Vadlja-Rešetar, prof. karmena.vadlja-resetar@ck.t-com.hr KORISNOST VJETROENERGIJE Čakovec 11.02.2013. Gimnazija Josipa Slavenskog Čakovec Vladimira Nazora 34 40

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja

BETONSKE KONSTRUKCIJE I. Predavanja BETONSKE KONSTRUKCIJE I Predavanja Zagreb, 010. Igor Gukov SADRŽAJ 1. UVOD...3. FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA...6.1. Beton...7.1.1 Računska čvrstoća betona...11.1. Višeosno stanje naprezanja...11.1.3

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

5. Aproksimacija i interpolacija

5. Aproksimacija i interpolacija APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X

Διαβάστε περισσότερα

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD

VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel. Zdenko Novak 1. UVOD 10.2012-13. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak TEHNIČKA SREDSTVA U CESTOVNOM PROMETU 1. UVOD 1 Literatura: [1] Novak, Z.: Predavanja Tehnička sredstva u cestovnom prometu, Web stranice Veleučilišta

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

1. TRENJE. Definicija:

1. TRENJE. Definicija: Definicija: 1. TRENJE Prema standardu DIN 5281, trenje se definira kao otpor koji se javlja između površina nalijeganja dvaju tijela i suprotstavlja se međusobnom gibanju bilo klizanjem, bilo kotrljanjem

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi)

ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) ZAVARENI SPOJEVI (elementi za spajanje nerastavljivi spojevi) Zavarivanje = spajanje dijelova koji su na mjestu spoja dovođenjem topline omekšani ili rastopljeni, uz dodavanje dodatnog materijala ili bez

Διαβάστε περισσότερα

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima

Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Metode prognoziranja na vremenskim nizovima Pomoću ovih metoda buduće vrijednosti prognoziraju se na temelju povijesnih podataka. Pravila po kojima se ponašaju podaci iz prošlosti primjenjuje se na buduće

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

ispod 20, što joj daje odlike izvrsne antene za DX rad na 80 m opsegu gdje je optimalni elevacijski kut od 15 do 20.

ispod 20, što joj daje odlike izvrsne antene za DX rad na 80 m opsegu gdje je optimalni elevacijski kut od 15 do 20. Piše: Mladen Petrović, 9A4ZZ GP antena EVA-DX 80 Ground plane antenna EVA-DX 80 Uobičajeno je da se vertikalne antene visine reda λ/4 i više, za donje opsege 40 m, 80 m i 160 m postavljaju neposredno iznad

Διαβάστε περισσότερα

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja...

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja... 1 1 S A D R Ž A J 1.0 OPIS SISTEMA 1.1 Opšti podaci... 2 1.2 Čelik za prednaprezanje... 2 1.3 Kotve i kablovi... 2 1.4 Oprema... 3 1.5 Gubici sile prednaprezanja... 3 1.5.1 Uvlačenje klina... 4 1.5.2 Elastično

Διαβάστε περισσότερα

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava

Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda spoj Snaga trofaznog sustava 7 TROFAZNI SUSTA Fazne i linijske veličine Trokut i zvijezda soj Snaga troaznog sustava Fourierova analiza 7.1. Troazni sustav Elektrorivredne tvrtke koriste troazne krugove za generiranje, rijenos i razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007.

PREDNAPETI BETON. Predavanja. Zagreb, 2007. PREDNAPETI BETON Predavanja Zagreb, 2007. SADRŽAJ 1. UVOD...3 2. SVOJSTVA MATERIJALA...7 2.1. Čelik za prednapinjanje...7 2.2. Beton...9 2.3. Mort za injektiranje...10 3. SUSTAVI ZA PREDNAPINJANJE...13

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1

Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1 Kontrola proizvodnje betona prema EN 206-1 Sadržaj Agregat Kriteriji za granulometrijski sastav agregata 4 Pregled svojstava i kategorija 8 Cement Označavanje cementa prema EN 197-1 12 Beton Odnosi između

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ

OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ OSNOVE PRORAČUNA I DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE SADRŽAJ 1 OSNOVE PRORAČUNA KONSTRUKCIJA... 2 2 DJELOVANJA NA KONSTRUKCIJE... 6 2.1 Klasifikacija djelovanja... 7 2.2 Vlastita težina... 8 2.3 Uporabna opterećenja

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Konstrukcija broda 2 20 Konstrukcija statvi broda 1

Konstrukcija broda 2 20 Konstrukcija statvi broda 1 Konstrukcija broda 2 20 Konstrukcija statvi broda 1 KONSTRUKCIJA STATVI BRODA (e:stem and sternframe structures) 1. Opis statvi Pramčana i krmena statva su dijelovi kojima započinje odnosno završava struktura

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike

Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Preporuke za rješavanje ispita iz Matematike Tijekom ocjenjivanja nacionalnih ispita i ispita državne mature, neovisno o razini, uvidjeli smo neke probleme pri rješavanju zadataka. Ovdje želimo navesti

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz nastave. CNC glodanja

Zbirka zadataka iz nastave. CNC glodanja Zbirka zadataka iz nastave CNC glodanja u I. tehničkoj školi TESLA Ivo Slade, dipl. ing. stroj. Zagreb, šk.god. 2004 / 2005. 1. ZADATAK Potrebno je napisati NC-program prema priloženom nacrtu za upravljačku

Διαβάστε περισσότερα

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter

USB Charger. Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter USB Charger Battery charger/power supply via 12 or 24V cigarette lighter Compact charger for devices chargeable via USB For example ipod, iphone, MP3 player, etc. Output voltage: 5V; up to 1.2A; short-circuit

Διαβάστε περισσότερα