MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA
|
|
- Μαργαρίτες Ελευθεριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 MOSTOVI SA KOSIM ZATEGAMA U toku posljednjih tridesetak godina mostovi sa kosim zategama doživljavaju spektakularan razvoj u cijelom svijetu. Ekonomičnost ovih mostova ne leži samo u odličnom iskorištenju materijala kod eksploatacije već i u jednostavnoj izvedbi konzolnom gradnjom bez pomoćnih skela, stupova i zatega. I ovi su sklopovi kao i mnogi drugi u čeličnim konstrukcijama bili ranije poznati, pa su i za betonske mostove većih raspona postali vrlo prihvatljiv sustav. 1
2 Oblikovanju mostova sa kosim zategama valja posvetiti osobitu pozornost, jer su to nesvakidašnje konstrukcije, koje se jako ističu u prostoru. Dok su prvi veliki mostovi sa kosim zategama bili sa niskom niveletom, jer je takva bila topografija terena, (SR Njemačka je ravničarska zemlja), danas je izveden i veliki broj objekata sa visokom niveletom. Zbog atraktivnosti i male konstruktivne visine ovi se sastavi često koriste i od većih pješačkih prijelaza. Zavješeni most sa najvećim rasponom danas je most Tatara u Japanu i ima raspon 890m, to je čelični most, najveći most sa spregnutom gredom je Yangpu u Kini raspona 602m, dok je najveći betonski most Skarnsund u Norveškoj raspona 530m. 2. OPĆI PODACI I PODJELA MOSTOVA S KOSIM ZATEGAMA 2.1. UZDUŽNA DISPOZICIJA Uzdužna dispozicija mostova sa kosim zategama ovisi o vrsti i obliku prepreke, dopuštenim gabaritima, ekonomiji, estetici itd. Na temelju uvida u izvedene ovješene mostove može se zaključiti da postoje tri osnovna sustava. Kad se radi o nesimetričnoj prepreci projektant obično predviđa most sa kosim zategama sa ekscentričnim pilonom npr. Knie most, i Most preko Rijeke dubrovačke 2
3 Ako treba premostiti dva približno jednaka otvora može se odabrati simetričan most sa kosim zategama preko dva raspona sa pilonom u sredini npr. most Shima-Maruyama 3
4 Mostovi sa kosim zategama preko tri raspona sa dva pilona čine treći osnovni sustav, u pravilu je centralni otvor mnogo veći od bočnih i takva rješenja se najčešće koriste npr. most Brotonne Odnos bočnog raspona prema centralnom rasponu l/l kod ovog se standardnog sustava obično odabire 0.4 do 0.5. Što su bočni rasponi kraći to je manja varijacija momenata savijanja grede u njima i veća efikasnost stražnjih zatega uslijed povećane krutosti. Čini se povoljno daljnje smanjenje l/l ispod vrijednosti 0.4 no u tom slučaju dolazi do odizanja oslonaca na krajevima grede što stvara nove probleme. Kod asimetričnih mostova sa jednim pilonom odnos l/l je reda veličine 0.3 do
5 Kako treba voditi računa i o umornosti zatega bočnih otvora koje su u tom pogledu najnepovoljnije napregnute odabir optimalnog odnosa l/l ovisi o primijenjenom materijalu grede i o namjeni mosta.za čelične mostove odnos pokretnog i stalnog opterećenja je cca. 0.4, a za betonske cca. 0.2, dok za željezničke mostove iznosi oko 1.1 za čelične mostove, odnosno 0.6 za betonske mostove. Slijedi da za realizaciju optimalnog stanja napona bočne otvore čeličnih mostova treba odabirati manje nego betonskih mostova. Odabir dispozicije zatega je od primarnog značaja. Za ilustraciju troškovi za zatege su od mosta Brotonne iznosili 29% ukupnih troškova mosta, a za pilon samo 4%. Razlikujemo tri različite uzdužne dispozicije zatega: harfa, lepeza i pseudo-lepeza harfa lepeza pseudolepeza 5
6 Kod lepezaste dispozicije sve zatege konvergiraju na vrhu pilona, što stvara probleme kod usidrenja i stoga se rijeđe izvodi. Kod pseudo-lepezaste dispozicije su zatege kontinuirano rasprostrte po gornjem dijelu pilona, cime se olakšava sidrenje. Ova dispozicije se zbog ekonomije najčešće izvodi. lepeza pseudolepeza Raspored u obliku harfe sa estetskog stanovišta predstavlja najelegantnije rješenje za dvije ravnine zatega, jer zatege ostaju paralelne bez obzira na kut gledanja. Priključci zatega pod istim kutom olakšavaju izvedbu, a i stabilnost pilona se povećava jer se zatege hvataju na cijeloj visini. Međutim u konstruktivnom pogledu ovaj sustav zahtjeva veću količinu zatega, proizvodi veće tlačne sile u gredi i daje zamjetne momente u pilonu. 6
7 Prvi moderni mostovi sa kosim zategama su izvedeni sa 2 do 6 redova zatega u centralnom otvoru i međurazmacima između zatega 30 do 70 m. To je iziskivalo veliku krutost grede i komplicirana usidrenja zatega na gredi i pilonima, a i montaža je bila složena sa primjenom velikog broja pomoćnih konstrukcija. Visina grede prema rasponu h/l iznosila je oko 1/70 i vise. Danas se najvećim dijelom grade mostovi druge generacije sa mnogo zatega. Međurazmaci zatega na gredi iznose 5 do 15m za betonske grede odnosno 10 do 20 m za čelične grede. Što je prije bila greda na elastičnim osloncima, kod ovog sustava postaje tlačni pojas konstruktivnog sistema obješenog na pilone Razvoj mostova sa kosim zategama 7
8 Prednosti sustava sa puno zatega su: -jednostavnost montaže koja sukcesivno napreduje uz ugradbu slijedećih zatega -pojednostavljenje prijenosa sila uslijed smanjenja koncentriranih sila kod usidrenja i momenata savijanja kod grede -lakoća zamjene zatega ako se za to ukaze potreba, bez prekida prometa, jer se uklanjanjem pojedine zatege vrlo malo mijenja distribucija unutarnjih sila -odlične aerodinamičke karakteristike uvjetovane velikim sustavnim prigušenjem od velikog broja zatega različite duljine i frekvencije oscilacija. U statičkom pogledu ovaj se sustav može shvatiti kao konzolna rešetka, a krutost grede mora biti samo tolika da se osigura sigurnost na izvijanje i da deformacije od prometnog opterećenja ne budu velike. 8
9 Osnovna dilema je u odabiru rasoreda zatega u jednoj ravnini (aksijalno) ili u dvije ravnine (lateralno), jer o tome direktno ovisi oblikovanje poprečnog presjeka grede i pilona kao i statički i dinamički odgovor konstrukcije mosta 2.2. POPREČNA DISPOZICIJA Aksijalno ovješenje u jednoj centralnoj ravnini mosta koristi se kod cestovnog prometa u dva smjera odijeljenih zaštitnim pojasom (presjek autoceste). Naravno da taj zaštitni pojas mora biti dovoljno širok, ako se pilon želi locirati unutar njega, a na cijeloj duljini se mora predvidjeti i osiguranje od udara vozila u kotve zatega u vidu jakih odbojnika na dovoljnoj udaljenosti do kotvi. Poprečni presjek grede nužno se mora oblikovati kao torziono vrlo kruti sanduk, da bi se mogla preuzeti nesimetrična opterećenja. Leonhardt smatra da aksijalno ovješenje dolazi u obzir kod raspona do cca. 300m, iako su tehnički moguća rješenja sa daleko većim rasponima (Flehe, Brotonne, Dao Kanong, ali na uštrb ekonomije. 9
10 Dvije ravnine zatega mogu biti vertikalne ili nagnute jedna prema drugoj sa sjecištem iznad uzdužne osi mosta Druga konfiguracija predstavlja optimalno rješenje. Piloni, greda i zatege u tom slučaju čine prostornu rešetku i nemogući su diferencijalni pomaci usidrenja dviju zatega. Poprečni presjeci grede se pojednostavljuju i kod mostova sa mnogo zatega mogu biti vrlo vitki (h/h= ). Torzijska krutost se realizira konstruktivnim sustavom i u principu nije potrebna za samu gredu, iako se kod velikih raspona ipak koristi za dodatno povećanje aerodinamičke stabilnosti grede gotovog objekta i naročito montažnih stanja. Sagrađeni su i neki mostovi sa tri ravnine ovješenja kao npr. most u Ljubljani. 10
11 3. POVIJESNI RAZVOJ MOSTOVA SA KOSIM ZATEGAMA Već su stari Egipćani koristili ideju ovješenja kod projektiranja brodova vješajući jedra na jarbol. Skica za prvi lančani most sa mnoštvom kosih lanaca venecijanskog graditelja Faustusa Verantiusa (Fausta Vrančića) rodom iz Dalmacije nastala je tek Godine Imanuel Loescher iz Freiburga - teorijski rad za most sa kosim zategama izveden od drva (1784) prvi autentični uspješni most sa kosim zategama postaje Twerton most preko rijeke Avon raspona 36.6m iz godine 1838, projektant T. Motley 11
12 Početkom XIX stoljeća izvedeno je još nekoliko mostova sa kosim zategama ali su se neki od njih srušili kao most preko rijeke Saale kod Nienburga Most je sagrađen 1824 a srušio se 1825, uzrok rušenja nikad nije bio službeno objavljen, vidljivo da zatege slijede neobične linije što je uzrokovalo velike momente drugog reda na koje konstrukcija nije bila dimenzionirana. To je prouzročilo nepovjerenje prema takvim konstrukcijama, naročito nakon Navier-ovog zaključka da treba prednost dati visećim mostovima. Stvarne uzroke rušenja treba međutim tražiti u neshvaćanju kompliciranog hiperstatičkog sustava naročito obzirom na utjecaje temperature, konstruktivne nedostatke i neprikladnosti ondašnjih materijala za zatege. Viseći mostovi preuzimaju primat za veće raspone, a kose zatege se ponekad koriste kao dodatni elementi za povećanje krutosti i povećanje aerodinamičke stabilnosti grede za ukrućenje 12
13 Tako je J.Roebling koncipirao svoje remek djelo most Brooklyn u New Yorku (1867), ne na bazi računa no intuitivno. Slično konstruktivno oblikovanje zajedničkog djelovanja standardnih kablova visećih mostova i kosih zatega primijenjeno je kod mostova preko Moldave u Pragu (1868) i Albert mosta preko Temze u Londonu (1868). 13
14 Vrlo značajno ostvarenje je prvi armirano-betonski most sa kosim zategama, akvadukt Tempul kod Jereza de la Frontera u Španjolskoj, koji je projektirao poznati španjolski profesor Torroja. Evolucija modernih mostova sa kosim zategama od pedesetih godina ovog stoljeća - metode numeričke analize uz primjenu računala Te metode omogućuju proračun unutarnjih sila u konstruktivnim elementima za konačno stanje i za stanje montaže, a prvi puta su sistematski provedene za montažu prvog modernog mosta sa kosim zategama Stromsund u švedskoj (1956) 14
15 Prvi veliki njemački most je Theodor Heuss most preko Rajne u Dusseldorfu (1957), Njegovom je uspješnom izgradnjom iniciran fascinantni razvoj ovog konstruktivnog sustava u početku gotovo isključivo u SR Njmačkoj gdje je trebalo obnoviti cijeli niz mostova porušenih tijekom II. Svjetskog rata. Slijede Severins (1959) prvi izvedeni asimetrični most preko dva raspona sa A-pilonom 15
16 Nordelbe prvi most sa zategama u jednoj ravnini (aksijalno) Friedrich Ebert (1967) prvi izvedeni objekt druge generacije mostova sa kosim zategama sa mnogo zatega. Implikacije ovog statičkog sustava čije je ponašanje slično gredi na elastičnoj podlozi za razliku od ponašanja sličnog kontinuiranom nosaču za prvu generaciju mostova sa kosim zategama sa malo zatega nisu odmah bile shvaćene. Knie most (1969) je asimetrični most sa zategama u obliku harfe u dvije ravnine, sa stupovima ispod svih priključaka zatega na gredu u malom otvoru cime je efikasnost dvostrukog sistema harfe povećana do te mjere da je poprečni presjek bilo moguće oblikovati sa vrlo vitkim limenim nosačima bez torzione krutosti 16
17 Sedamdesetih godina se u SR Njemačkoj gradi još desetak mostova sa kosim zategama Hoechst (1972) betonska greda Flehe (1979) betonski pilon 17
18 Nešto kasnije od prvih Njemačkih mostova sa kosim zategama R.Morandi projektira nekoliko mostova sa kosim zategama sa gredom i pilonima u betonu; Maracaibo (1962) Inženjerski zanimljivi objekti - u estetskom smislu nisu osobito uspjeli Kasnih sedamdesetih godina i ostali svijet prihvaća ove mostove, naročito Japan sa topografijom terena koja zahtijeva objekte velikog raspona. Japanski mostovi sa kosim zategama su kao i Njemački skoro isključivo izvedeni u čeliku. Ovješeni mostovi sa čeličnom gredom grade se u Velikoj Britaniji, Belgiji, Čehoslovačkoj, Španjolskoj, Nizozemskoj, Švedskoj, SAD, Tajlandu, u Novom Sadu sagradjen je 1981 most sa centralnim rasponom 351m, projektant je N. Hajdin sa suradnicima 18
19 Dok su prvi francuski mostovi sa kosim zategama kao St. Nazaire (1975) nastavljaju njemačku tradiciju čelične grede sa ortotropnom pločom, most Brotone (1977) sa betonskim sandukom i gusto raspoređenim zategama u centralnoj ravnini predstavlja sasvim novo originalno rješenje. Kod kasnijih Morandijevih mostova zatege su obučene u betonsku oblogu, a isto je napravio C.Menn na mostu Ganter (1980) 19
20 U Norveškoj je napravljen most Skarsundet raspona 530m sa betonskom gredom. Do danas je to najveći betonski most sa kosim zategama Najveći je most Tatara u Japanu raspona 890m, a ukupne duljine 2000m izveden godine u čeličnoj izvedbi. 4. OBLIKOVANJE 4.1. RASPONSKI SKLOP postojanje svih velikih mostova, pa i mostova sa kosim zategama omogućeno je prvenstveno razvitkom pogodnih materijala tehnologijom izvedbe boljim poznavanjem teorije konstrukcija, uključivo probleme stabilnosti, aerodinamičko ponašanje 20
21 za određivanje podobnosti jednog materijala za velike raspone bitna su četiri svojstva materijala: čvrstoća specifična težina krutost troškovi Jedini materijali koji dolaze u obzir za izvedbu su beton i čelik. Ako ih usporedimo ustanovit ćemo da tlačna čvrstoća betona iznosi cca. 10% čvrstoće čelika. Mnogo više pokazuje nam odnos čvrstoća/specifična težina koji su u analizu prvi uveli aeronautički stručnjaci, a koji ima dimenziju jedinice duljine. Taj odnos za beton iznosi svega cca. 30% vrijednosti za čelik, što je mana masivnih konstrukcija, jer za preuzimanje korisnih opterećenja preostaje daleko manje ukupne čvrstoće nego kod čelika S druge strane progibi od prometnog opterećenja kod masivnih mostova su mnogo manji nego kod čeličnih mostova, odnosno krutost je mnogo veća Kod troškova, ako cijena za preuzimanje neke tlačne sile čelikom iznosi 100%, onda cijena za preuzimanje iste sile betonom iznosi samo 33% od čega samo 5% otpada na čisti beton a ostalo otprilike popola na oplatu i ubetoniranu armaturu. 21
22 Iz svega toga možemo zaključiti: Kod mostova sa kosim zategama najvećih raspona kao materijal za gredu dolazi u obzir samo čelik zbog daleko povoljnijeg odnosa čvrstoće prema vlastitoj težini. Kod ostalih raspona odabir materijala je cesto uvjetovan lokalnim uvjetima, a mogući su čelični, betonski i spregnuti poprečni presjeci. Prednosti betonske grede leže u većoj krutosti, boljim karakteristikama prigušenja i manjim varijacijama napona u zategama uslijed manjeg utjecaja prometnog opterećenja i time povoljnijem ponašanju obzirom na umornost. Betonski sandučasti poprečni presjeci sa 3 ili 4 hrpta 22
23 Betonski sandučasti poprečni presjeci sa 2 hrpta Betonski presjeci za lateralno ovješenje Poprečni presjek ploča novo rješenje 23
24 Spregnuti presjeci su vrlo povoljni zbog jednostavnosti montaže, naročito kod mostova sa mnogo zatega kod kojih su momenti savijanja mali te su mogući vrlo vitki presjeci. Kombinacijom čelika i betona eliminira se nepovoljni utjecaj vlastite težine čiste betonske konstrukcije, a postiže se veća krutost u odnosu na čelične presjeke. Spregnuti poprečni presjek novi oblik poprečnog presjeka betonski uzdužni nosači i ploča sa čeličnim poprečnim nosačima 4.2. PILONI Visina pilona ima veliki utjecaj na količinu materijala za zatege i uzdužne tlačne sile u gredi. Optimalna visina pilona ovisi o uzdužnoj dispoziciji zatega. Minimalna vrijednost količine čelika za zatege : h/l=0.29 lepeza h/l =0.50 harfa, apsolutni minimum jer su sve zatege pod kutom 45 stupnjeva - teorijski značaj - zbog problema elastične stabilnosti i potencijalnog utjecaja vjetra kod vrlo visokih pilona h=( )l Za raspone ispod 200m može se usvojiti i h/l=0.3. h/l=0.2 ušteda u zategama: 14%za pseudo-lepezu prema harfi, odnosno 18% za lepezu u odnosu na harfu. 24
25 Odnosi visine pilona i raspona mosta Za asimetrične mostove s jednim pilonom vrijede isti odnosi h/l s time da se L definira kao raspon velikog otvora uvećan s korekcijskim faktorom 1.8. piloni su u uzdužnom smjeru stabilizirani tzv. pridržavajućim zategama bočnih otvora fleksijska krutost pilona u uzdužnom smjeru mala - utjecaj pokretnog opterećenja u pilonu prenosi se pridržavajućim zategama u bočnim otvorima a ne savijanjem pilona. Minimalna krutost pilona - potrebna sigurnost na izvijanje U poprečnom smjeru se teži velikoj krutosti pilona, jer treba preuzeti horizontalne sile od vjetra i seizmičkog djelovanja. iskustva sa izvedenih objekata - betonski piloti ekonomičniji od čeličnih - razlika troškova raste s veličinom mosta 25
26 sandučasti presjeci pilona i za čelične i za betonske pilone - usidrenja zatega na pilonu dostupna komunikacijom kroz pilon najekonomičniji - vertikalni piloni zatege i greda čine konzolni sustav, krak unutarnjih sila neposredno iznad ležaja pilona treba biti najveći, što je kod vertikalnih pilona i slučaj. 26
27 U uzdužnom smjeru prema bočnom otvoru nagnuti piloni zahtijevaju kod istog kraka sustava nad osloncem više pilone Kod pilona nagnutih prema glavnom otvoru (most Batman) sustava visina se smanjuje od vrha pilona prema ležaju i pridržavajuće zatege bivaju jače opterećene nego kod vertikalnih pilona, da ne sopminjemo izvedbene teškoće i estetski dojam Oblikovanje pilona u poprečnom smjeru ovisi o dispoziciji zatega, rasponu, visini nivelete, estetskim kriterijima itd. Svi sustavi pilona mogu se upotrijebiti i kod aksijalog i kod lateralnog ovješenja. Piloni za ovješenje u jednoj ravnini (aksijalno ovješenje) 27
28 Mostovi sa vitkim gredama i H pilonima su vrlo osjetljivi obzirom na aerodinamičnu nestabilnost flutter -a, jer su osnovne frekvencije fleksijskih i torzijskih oscilacija praktički jednake. Ako je visina pilona osjetno veća nego širina mosta koriste se okvirni piloni. Horizontalna greda na vrhu pilona omogućuje blago naginjanje stupova pilona, te kod lateralnog ovješenja ravnine zatega ostaju vertikalne. Piloni za ovješenje u dvije ravnine (lateralno ovješenje) Za najveće raspone najčešće se rade A piloni zbog velike krutosti u poprečnom smjeru, povećanja torzijske krutosti sustava i povoljnog estetskog dojma. Piloni su obično upeti u temelj ili stupove (samo dio iznad grede se cesto naziva pilonima), iako postoje i izvedbe sa upinjanjem u gredu i sa zglobnim oslanjanjem, kako bi temelji bili centrično opterećeni. 28
29 4.3. ZATEGE Zatege su osnovni element ovih mostova. Razvitak modernih mostova sa kosim zategama omogućen je prvenstveno primjenom visokovrijednog čelika za zatege na što je ukazao već F. Dischinger. Bitnu ulogu kod odabira materijala za zatege igraju, osim vlačne čvrstoće i modula elastičnosti antikorozivna zaštita i čvrstoća na zamor, konstruktivno oblikovanje kotvi i montaža. Modul elastičnosti vertikalnog ravnog kabela iznosi kod zatvorene spiralne užadi oko 155 kn/mm 2, a kod paralelnih žica oko 205 kn/mm 2. Koeficijent sigurnosti obzirom na vlačnu čvrstoću kod zatega iznosi tipično 2.2. Do tog nivoa napona može se pretpostaviti elastično ponašanje zatega i mogu se zanemariti efekti relaksacije. Kotve zatega moraju omogućiti točan unos projektiranih sila sa silama sloma ne manjim od sila sloma same zatege i u toku trajanja objekta ne smiju popuštati. 29
30 Za razliku od standardnih kablova za prednapinjanje, smještenih unutar betonskog presjeka, zatege su izložene znatnim fluktuacijama napona od djelovanja pokretnog opterećenja, temperature, vjetra itd. te je njihova čvrstoća umornosti od primarne važnosti. Umornost mogu prouzročiti oscilacije zatega uslijed vjetra i pokretno opterećenje. Oscilacije zatega se mogu reducirati primjenom raznih prigušivača. U konstruktivnom pogledu bitno je da ne dođe do savijanja zatege kod usidrenja pa kotve treba postaviti u smjer tangente a ne sekantne krivulje predmetne zatege. Čvrstoća na umornost zatege prvenstveno ovisi o čvrstoći na umornost kotve. Zatege su obzirom na trajnost vrlo osjetljive te treba predvidjeti adekvatnu antikorozivnu zaštitu. a) Paralelne šipke b) Paralelne žice 30
31 c) Paralelni strukovi d) Zatvoreno spiralno uže 31
32 USIDRENJE ZATEGE Usidrenja zatega na gredu ovise o poprečnom presjeku, materijalu grede i načinu ovješenja d) Usidrenje u čeličnu gredu d) Usidrenje u betonsku gredu 32
33 Usidrenja zatega na pilon ovise o poprečnom presjeku i materijalu pilona, te o uzdužnoj i poprečnoj dispoziciji zatega. Usidrenje zatega na pilon Normandie Usidrenje na čelični pilon 33
34 4.4. LEŽAJEVI I DILATACIJE Vertikalni ležajevi su kod lateralnog ovješenja u principu neophodni samo na krajnjim osloncima. Kod pilona se ne moraju predvidjeti pri čemu se greda i tamo vješa na zatege, čime se izbjegavaju veliki negativni momenti savijanja u gredi (totalno ovješenje). Pasco-Kennewick Uobičajena izvedba s tzv. parcijalnim ovješenjem, vertikalni ležajevi postavljaju se i na poprečnom nosaču pilona, ovješenje u okolici pilona se prekida. momenti savijanja grede u bočnim otvorima i kod pilona u velikoj mjeri ovise o načinu oslanjanja grede na pilon. greda upete u pilon momenti se smanjuju u bočnim poljima a jako rastu nad pilonom. slobodno oslanjanja momenti savijanje grede kod pilona su mali, ali zato jako rastu u bočnim otvorima. 34
35 Stabilnost pilona na izvijanje se bitno poboljšava ako se predvidi nepokretan ležaj za preuzimanje horizontalnih sila u uzdužnom smjeru. Kako je konstruktivni sustav (lepeza i pseudo-lepeza) u uzdužnom smjeru vrlo mekan taj ležaj se može postaviti i na jedan kraj mosta, tako da je potrebna samo jedna velika dilatacijska naprava. Uzdužno nepokretni ležaj se može locirati i na pilonu pa se onda kočne sile predaju temelju pilona savijanjem, sto je lako izvedivo jer su u pilonu velike uzdužne sile te dolazi do malog dodatnog ekscentriciteta. Ležajevi za horizontalna poprečna opterećenja (vjetar) se stavljaju na svim krutim osloncima Kod simetričnih mostova sa kosim zategama preko tri raspona uzdužno nepomični ležajevi se mogu postaviti i na oba kraja mosta ako se u sredini centralnog otvora predvidi zglob sa dilatacijskom napravom, cime se kod simetrične slobodne montaže izbjegava potreba za uspostavljanjem fleksijskog kontinuiteta na tom mjestu. Neki autori ipak smatraju da takvo rješenje nije najbolje zbog kompliciranosti zgloba (horizontalno pomičan, vertikalno nepomičan) i zbog neizbježnog loma nivelete, uslijed djelovanja pokretnog opterećenja a kod betonskih greda i puzanja i skupljanja. 35
36 5. PRORAČUNI Most sa kosim zategama je višestruko statički neodređeni sustav. Područje (veličina) sile najvećim dijelom je određena odnosom krutosti zatega, pilona i grede Momenti savijanja na gredi približavaju se onima na kontinuiranom nosaču na čvrstim osloncima, ti momenti se smanjuju što se smanjuje razmak između zatega.vertikalne komponente sila u zategama su približno jednake ležajnim reakcijama izračunatim na taj način MODELIRANJE SUSTAVA Pojednostavljenje dovoljna točnost Ravninski modeli Diepoldsau 36
37 Pasco-Kennewick Prostorni modeli Flehe Diepoldsau Zarate-Brazo Largo 37
38 Parcijalni modeli Sidrenje zatege na gredu Vrh pilona 5.3. ZATEGE Zbog male krutosti na savijanje zatege se deformiranjem uravnotežuju pod utjecajem vlastite težine zauzimajući oblik lančanice. Da bi se u proračun mogla uvesti idealizirana ravna zatega potrebno je pronaći idealizirani sekantni modul elastičnosti E i. 2 ( γl) ( 1 μ) σ m 16μ 4 E i = Ee E 2 e σ γ -jedinična težina l - horizontalni raspon zatege low μ = σ m = ( σ low + σ up )/ 2 σ up 38
39 E e = N/mm 2 β z =1 700 N/mm 2 γ=80 kn/m 3 σ=n/a E E i e 1 = 2 ( γ l) E σ e Omjer E i /E e pokazuje utjecaj progiba zatege na njenu krutost Dijgram σ-ε za zategu horizontalne dužine 500m i napona 0.1β z 5.4. PRELIMINARNI PRORAČUN pojednostavljeni proračun daje nam vrijednosti za prvu aproksimaciju preliminarnog proračuna sila u zategama. gredu promatramo kao kontinuirani nosač na čvrstim osloncima koji se nalaze na mjestima usidrenja zatege u gredu. Ni = R g, i /sinα i Za back stay (sidrene) zatege pretpostavlja se da indirektno podupiru onaj dio srednjeg raspona koji nije uravnotežen sa bočnim rasponom. Sile u tim zategama dobiju se projekcijom sile G 1 u smjeru zatege 39
40 znamo sile u zategama od stalnog opterećenja - potrebno je definirati granični napon σ g za djelovanje vlastite težine i dodatnog stalnog opterećenja tako da na osnovu toga možemo dimenzionirati tj. usvojiti poprečni presjek zatege. Pretpostavimo da zatega od pokretnog opterećenja preuzima silu N q koja je proporcionalna sa silom N g Definiramo parametar η=q/g; -g stalno opterećenje -q prometno opterećenje. Poprečni smjer Prometna opterećenja od željezničkog prometa su u pravilu veća od cestovnog, a čelična greda je lakša od betonske, pa parametar η može dosta varirati.taj je parametar relativno nizak za betonske cestovne mostove : , a visok za čelične željezničke mostove iskoristivost čelika u zategama za dvije vrijednosti η. ako je vrijednost η mala razlika naprezanja Δσ q manja je od graničnog Δσ per - kriterij čvrstoće: σ g + σ qup < σ per η veliki, razlika napona postaje velika - kriterij umornosti: Omjer η=q/g niski visoki Δσ q < Δσ per. Uvjeti σ g +Δσ q.s σ adm Δσ g Δσ adm 40
41 Za oba ova kriterija može se uspostaviti odnos σ g i η. -kriterij čvrstoće σ = g σ g + q per = 1 + q g 1 σ per -kriterij umornosti N q N q N g N q Δσ per = = = Δσ A A N N g g per q iz čega slijedi σ g = Δσ per g Maksimalni dozvoljeni napon u zategama je općenito definiran kao : σ per = 0.45β z σ per = 0.50β z u posebnim slučajevima, gdje je β z vlačna čvrstoća čelika pri slomu. Napon Δσ je garantiran od proizvođača i obično je baziran na eksperimentima od preko dva milijuna ciklusa opterećenja. 1 σ g kao funkcija η za kriterij čvrstoće i kriterij umornosti. Dozvoljeni naponi su : σ per = 0.45 X 1700=765 N/mm 2 Δσ per = 200 N/mm 2 ili 300 N/mm 2. A i = N g,i / σ g. 41
42 5.5 DIMENZIONIRANJE NA UMORNOST Δσ per = Δσ γ γ 1 2 test γ 3 = Δσ 1.5 test γ 1 =1.15 parcijalni koeficijent za čelik γ 2 =1.15 parcijalni koeficijent koji uzima u obzir efekt grupiranja (ispitivanja se provode na pojedinačnim žicama ili strukovima) γ 3 =1.15 parcijalni koeficijent koji uzima u obzir prenošenje rezultata ispitivanja u karakteristične vrijednosti Rezultati testa Razlike napona Faktor sigurnosti γ=1.5 Srednja vrijednost za 1 žicu 1 struka Vrijednost za dimenzioniranje Broj ciklusa (log n) Prikaz dimenzioniranja na umornost 42
43 5.6 DINAMICKA ANALIZA Utjecaj dinamičkih sila na ovješene i viseće mostove je veći nego na bilo koje druge mostove i vrlo je važan za proračun. -aerodinamički efekt -psihološki efekt -seizmičko djelovanje. aerodinamička stabilnost točnije nestabilnost bila je uzrok rušenja visećih mostova ranijeg razdoblja, a to je pak uvjetovalo poboljšanje i napredak na tom području. Oscilacije uzrokovane vjetrom i prometom koje ne uzrokuju oštećenje mosta mogu vrlo neugodno djelovati na njegove korisnike. vlastite frekvencije i tonovi promatrane konstrukcije savijajuća (fleksijska) i torzijska vlastita frekvencija obično je odgovor konstrukcije na dinamičko djelovanje sadržan u prvih nekoliko tonova konstrukcije, međutim kod fleksibilnih konstrukcija potrebno je razmatrati veći broj tonova za dubrovački most uzeto je 50 tonova 43
44 Most Zarate - Brazo Largo prvih 6 tonova Most prek Rijeke dubrovačke - prvi ton 44
45 Most prek Rijeke dubrovačke - drugi ton Most prek Rijeke dubrovačke - treći ton 45
46 Most prek Rijeke dubrovačke - četvrti ton Most prek Rijeke dubrovačke - peti ton 46
47 Kod ovješenih mostova glavni raspon je obično vrlo velik, ovisno o položaju mosta on može biti izložen većem ili manjem djelovanju vjetra poprečno na most. horizontalno opterećenje T vertikalno opterećenje N moment torzije M oblik poprečnog presjeka (koeficijenti oblika popr. presjeka C T, C N, C M obliku poprečnog presjeka (koeficijenti oblika popr. presjeka C T, C N, C M kutu napada vjetra na konstrukciju α 47
48 Strujanje zraka uzrokuje savijajuće i torzijske oscilacije konstrukcije uslijed male promjene kuta djelovanja vjetra mogu uzrokovati odižuće djelovanje. Ova pojava poznata kao flutter uzrokovala je rušenje mosta Tacoma 1940 godine Nakon ove katastrofe uslijedila su ispitivanja koja su pokazala da flutter nastaje kada su savijajuća i torzijska vlastita frekvencija preniske, kada su preblizu jedna drugoj po vrijednosti ili kada se podudare oba ova slučaja. Mathivat smatra da zadovoljavajući omjer te dvije frekvencije iznosi 2.5. Flutter može biti uzrokovan i odvajanjem vrtloga na rubovima poprečnog presjeka što je posljedica neadekvatnog oblikovanja poprečnog presjeka. Djelovanje vjetra na gredu sa deflektorima Djelovanje vjetra na gredu bez deflektora 48
49 Iznad određene brzine vjetra kritična brzina vjetra - greda počne primati veću energiju od one koju može disipirati prigušenjem. Rezultat je pojava savijajućih i torzijskih pomaka, uzrokovanih aerodinamičkim silama, sa rapidnim povećavanjem amplituda sve do kolapsa konstrukcije Kritična brzina vjetra za određeni most mora stoga biti dovoljno veća od brzine vjetra koji se može očekivati na lokaciji mosta. Oblikovati aerodinamički i torzijski kruti poprečni presjek, pogotovo ako imamo jednu ravninu ovješenja ili dvije vertikalne paralelne ravnine ovješenja sa H pilonom, Ovješenje bi trebalo biti u dvije ravnine i to tako da su dvije ravnine zatega nagnute jedna prema drugoj sa A pilonom, time dobijemo prostorni sustav koji je torzijski krut pa krutost same grede ne mora biti velika. 49
50 Također su bitni geometrijski odnosi Širine kolovoznog nosača (B), visine kolovoznog nosača (H) i dužine glavnog raspona (L). Prema dosadašnjim iskustvima možemo tako zaključiti da će betonski mostovi sa dvije ravnine ovješenja biti sigurni od pojave flutter -a ako su zadovoljeni sljedeći odnosi: B 10H ili B L/30. Čelični mostovi sa rasponom većim od 400m ponu su osjetljiviji na oscilacije, pa bi uz ovješenje na A pilon trebao biti zadovoljen odnos B L/ IZVEDBA Izvedba mosta s kosim zategama je čimbenik koji djeluje na zamisao i projektiranje objekta. Stoga će izbor konstruktivnog sustava i materijala, kao i izvedba detalja konstrukcije biti u uskoj vezi s načinom izvedbe. U slučaju mosta s kosim zategama nosivost pojedinačne zatege ovisi o prijenosu horizontalne komponente sile iz zatege kroz kolovozni nosač, a ista se ne može aktivirati ako prethodno nije ugrađen dio nosača u koji se kosa zatega sidri. 50
51 6.2. GRADNJA NA PRIVREMENIM OSLONCIMA Jedan od načina izvedbe mosta sa kosim zategama je izvedba kolovoznog nosača na skeli, na privremenim osloncima, a potom dodavanje i pritezanje zatega. Stupnjevi izvedbe slijede u četiri osnovne faze ÖRESUND 51
52 6.3. POSTUPNO UZDUŽNO POTISKIVANJE 6.4. POSTUPNO PREPUŠTANJE (SLOBODNA KONZOLNA GRADNJA) 52
53 53
54 54
55 55
56 PLATFORMA 1 PLATFORMA 2 PLATFORMA 3 PLATFORMA 4 PLATFORMA 5 PREGLED ZNAČAJNIJIH AJNIJIH MOSTOVA SA KOSIM ZATEGAMA 56
57 Hoechst, 1972, Njemačka 57
58 Brotonne, 1977, Francuska 58
59 Pasco - Kennewick, 1978, USA 59
60 Sancho El Mayor, 1978, Španjolska 60
61 Barrios de Luna, 1984, Španjolska 61
62 Coatzacoalcos, 1984, Mexico 62
63 East Huntington, 1985, USA Diepoldsau, 1985, Španjolska 63
64 Annacis, 1986, Canada 64
65 Sunshine Skayway, 1987, USA Tampico, 1988, Mexico 65
66 Dame Point, 1989, USA Wandre, 1989, Belgija 66
67 Helgeland, 1991, Norveška 67
68 Skarnsundet, 1991, Norveška Normandie, 1994, Francuska 68
69 Betonska greda Čelična greda Sidrenje zatega na pilon 69
70 Sidrenje zatega na betonsku i čeličnu gredu Tatara, 1999, Japan 70
71 Alamillo, Španjolska 71
72 Arena, Španjolska 72
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότεραTABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II
TABLICE I DIJAGRAMI iz predmeta BETONSKE KONSTRUKCIJE II TABLICA 1: PARCIJALNI KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ZA DJELOVANJA Parcijalni koeficijenti sigurnosti γf Vrsta djelovanja Djelovanje Stalno Promjenjivo
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET
SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραKolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE. Program
BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE. Program
BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 017. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) () () 600 (B) 600 (B) 500 () 500 () SDRŽJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01... 3.1. naliza opterećenja ploče POZ 01-01...
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραZadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama
5. ožujka 2018. 7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama Primjer sloma zbog djelovanja poprečne sile SLIKA 1. T- nosač slomljen djelovanjem poprečne sile Do sloma armirano-betonske grede uslijed
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOpšte KROVNI POKRIVAČI I
1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće
Διαβάστε περισσότεραSPREGNUTE KONSTRUKCIJE
SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4
Διαβάστε περισσότερα35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD
Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραNOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA
NOSIVI DIJELOVI MEHATRONIČKIH KONSTRUKCIJA Zavareni spojevi - I. dio 1 ZAVARENI SPOJEVI Nerastavljivi spojevi Upotrebljavaju se prije svega za spajanje nosivih mehatroničkih dijelova i konstrukcija 2 ŠTO
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske
Διαβάστε περισσότερα3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI
Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu predmet: MASIVNI MOSTOVI Skripte uz predavanja 3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI SADRŽAJ: 3. REBRASTI GREDNI MOSTOVI... 0 3.1. OPĆENITO... 1 3.2. PRORAČUN PLOČE KOLNIKA
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL
PRORAČUN AB STUPA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Materijal: Beton: C25/30 C f ck /f ck,cube valjak/kocka f ck 25 N/mm 2 karakteristična tlačna čvrstoća fcd proračunska tlačna
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραTEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Διαβάστε περισσότεραPRETHODNI PRORACUN VRATILA (dimenzionisanje vratila)
Predet: Mašinski eleenti Proračun vratila strana Dienzionisati vratilo elektrootora sledecih karakteristika: oinalna snaga P = 3kW roj obrtaja n = 400 in Shea opterecenja: Faktor neravnoernosti K =. F
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραANALIZA DJELOVANJA (OPTEREĆENJA) - EUROKOD
GRAĐEVINSKO - ARHITEKTONSKI FAKULTET Katedra za metalne i drvene konstrukcije Kolegij: METALNE KONSTRUKCIJE ANALIZA DJELOVANJA (OPTEREĆENJA) - EUROKOD TLOCRTNI PRIKAZ NOSIVOG SUSTAVA OBJEKTA 2 PRORAČUN
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα6. Plan armature prednapetog nosača
6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότερα3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120
Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTeorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd
Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραAkvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραQ (promjenjivo) P (stalno) c uk=50 (kn/m ) =17 (kn/m ) =20 (kn/m ) 2k=0 (kn/m ) N 60=21 d=0.9 (m)
L = L 14.1. ZADATAK Zadan je pilot kružnog poprečnog presjeka, postavljen kroz dva sloja tla. Svojstva tla i dimenzije pilota su zadane na skici. a) Odrediti graničnu nosivost pilota u vertikalnom smjeru.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα