Βασίλειος ΤΣΙΓΓΕΛΗΣ 1, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3

Transcript

1 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 28 Άρθρο 1797 Συγκριτική Αξιολόγηση της Φασματικής Υπερωθητικής Ανάλυσης Έναντι της Στατικής και της Ιδιομορφικής Υπερωθητικής Ανάλυσης Evaluation of Spectral Pushover Analysis as Copared with Nonlinear Static Procedure and Modal Pushover Analysis Βασίλειος ΤΣΙΓΓΕΛΗΣ 1, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση της ακρίβειας της Φασματικής Υπερωθητικής Ανάλυσης [ΦΥΑ]. Αρχικά παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο, περιγράφονται οι παραδοχές της μεθόδου και καταγράφονται τα διαδοχικά βήματα εφαρμογής της υπό μορφή διαγράμματος ροής. Για την αξιολόγηση της ακρίβειας της ΦΥΑ διενεργήθηκαν εκτεταμένες παραμετρικές επιλύσεις διαφόρων επίπεδων και χωρικών φορέων (α) με τη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση [ΣΥΑ] βάσει του EC8 και του ATC-55 (=FEMA 44, με τις δύο παραλλαγές που υιοθετεί το συγκεκριμένο κείμενο), (β) με την Ιδιομορφική Υπερωθητική Ανάλυση [ΙΥΑ], (γ) με τη ΦΥΑ και (δ) με την Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση [ΑΧΑ]. Η τελευταία έχει τον ρόλο της λύσης αναφοράς. Ως σεισμικές διεγέρσεις ελήφθησαν υπόψη 2 διαφορετικές φυσικές καταγραφές με τα αντίστοιχα φάσματά τους. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται τα αποτελέσματα ενός επίπεδου 9- ώροφου μη συμμετρικού πλαισίου και μιας σειράς μονώροφων μονοσυμμετρικών κτιρίων με διαφορετικά μαζικά χαρακτηριστικά και διαφορετικές εκκεντρότητες. Η σύγκριση των προσεγγιστικών μεθόδων ανελαστικής ανάλυσης με τη λύση αναφοράς δείχνει αποκλίσεις της ίδιας τάξης μεγέθους στα επίπεδα πλαίσια, ενώ στα χωρικά η προτεινόμενη μέθοδος παρουσιάζει αποτελέσματα πλησιέστερα στη λύση αναφοράς έναντι των υπολοίπων. ABSTRACT : In this paper a newly developed procedure called Spectral Pushover Analysis [SPA] is briefly presented and applied in order to evaluate its accuracy. First, the theoretical background is presented, the underlying assuptions and approxiations are identified and the successive steps of the ethod are outlined. Then, in order to copare the seisic deands produced by SPA, a series of paraetric analyses of planar and spatial systes is carried out using (a) the Nonlinear Static Procedure [NSP] as described in EC8 and ATC-55 (=FEMA 44), (b) the Modal Pushover Analysis [MPA], (c) the SPA and (d) the nonlinear Response History Analysis [RHA], whose results are considered as reference solution. Twenty different sets of recorded ground otions have been used as seisic input. Here, the results for a 9-story non-syetric planar frae and for a set of single story onosyetric buildings with different inertial characteristics and eccentricities are presented. Their coparative evaluation shows that, as far as the planar frae is concerned, the agnitude 1 Υποψήφιος Διδάκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, eail: vasilios@civil.auth.gr 2 Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, eail: inak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, eail: avra@civil.auth.gr

2 of errors is siilar for all approxiate procedures, whereas for the single story buildings SPA is in general the ore accurate one. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Την τελευταία δεκαετία έχουν αναπτυχθεί πολλές απλοποιημένες μέθοδοι για την εκτίμηση των μέγιστων ανελαστικών παραμορφώσεων των κατασκευών. Στα σχετικά κανονιστικά κείμενα (π.χ. ATC-4 [1996], FEMA 273/274 [1997], FEMA 356 [2], ATC-55 [24]) παρουσιάζονται γενικώς δύο παραλλαγές της Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης (ΣΥΑ): η μέθοδος του ισοδύναμου γραμμικού συστήματος και η μέθοδος της τροποποίησης της μετακίνησης. Δυστυχώς, όπως έχει προ πολλού επισημανθεί διεθνώς, οι μέθοδοι αυτές παρουσιάζουν πολλά μειονεκτήματα, καθώς έχουν περιορισμένο πεδίο εφαρμογής (π.χ. δεν καλύπτουν ικανοποιητικά τα ασύμμετρα χωρικά κτίρια) και εμφανίζουν προβλήματα ακρίβειας (κυρίως λόγω παράλειψης της επιρροής των ανώτερων ιδιομορφών). Προς μερική αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών, οι Chopra και Goel παρουσίασαν το 21 την Ιδιομορφική Υπερωθητική Ανάλυση (ΙΥΑ), η οποία λαμβάνει υπόψη μεταξύ άλλων και τη συμβολή των ανώτερων ιδιομορφών ταλάντωσης. Η μέθοδος αυτή, μετά από ορισμένες τροποποιήσεις και «διορθωτικές» αλλαγές, φαίνεται ότι προσφέρει ικανοποιητικό βαθμό ακρίβειας. Το 23 οι ίδιοι συγγραφείς «επέκτειναν» τη μέθοδο αυτή και σε χωρικά συστήματα. Παράλληλα, στο πλαίσιο των προσπαθειών ανάπτυξης βελτιωμένων υπερωθητικών αναλύσεων, προτάθηκε το 21 από τον Αναστασιάδη η Φασματική Υπερωθητική Ανάλυση (ΦΥΑ). Κύριο χαρακτηριστικό γνώρισμα της ΦΥΑ είναι η απευθείας επαυξητική εισαγωγή του φάσματος της σεισμικής διέγερσης στην κατασκευή, αντί της επαυξητικής εφαρμογής των σεισμικών δυνάμεων ορόφων. Με τη σταδιακή αυτή εισαγωγή του φάσματος επιτυγχάνεται με ενιαίο τρόπο η ανάλυση οποιουδήποτε επίπεδου ή χωρικού φορέα, εφαρμόζοντας επαναληπτικά την κατά τα λοιπά γνωστή δυναμική φασματική μέθοδο. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση και αξιολόγηση της ΦΥΑ. Αρχικά, γίνεται μία σύντομη παρουσίαση του θεωρητικού υποβάθρου της μεθόδου και καταγράφονται τα διαδοχικά βήματα και οι παραδοχές που υιοθετούνται. Στη συνέχεια, με σκοπό την αξιολόγησή της, επιλύονται ένα επίπεδο 9-ώροφο μη συμμετρικό πλαίσιο και μια σειρά μονώροφων μονοσυμμετρικών κτιρίων (με διαφορετικά μαζικά χαρακτηριστικά και διαφορετικές εκκεντρότητες) χρησιμοποιώντας τις προαναφερθέντες απλοποιημένες ανελαστικές μεθόδους και την ανελαστική χρονολογική ανάλυση. Η τελευταία θεωρείται ως λύση αναφοράς. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (ΦΥΑ) Η βασική ιδέα της μεθόδου συνίσταται στην άμεση μεταφορά του σκεπτικού της κλασικής υπερωθητικής ανάλυσης από το πεδίο της Στατικής στο πεδίο της Δυναμικής Φασματικής Ανάλυσης. Έτσι, η φόρτιση εκφράζεται όχι με οριζόντια στατικά φορτία, αλλά με το ελαστικό 2

3 φάσμα (απόκρισης ή σχεδιασμού) Sa, το οποίο πρέπει να μερισθεί κατάλληλα, ώστε να εφαρμοστεί επαυξητικά, όπως επιτάσσει το βασικό σκεπτικό της υπερωθητικής ανάλυσης. Ο μερισμός ενός δεδομένου φάσματος Sa σε μια σειρά n φασματικών επαυξήσεων λ 1 Sa, λ 2 Sa,, λ k Sa,, λ n-1 Sa, λ n Sa (1) φαίνεται στο Σχήμα 1. Το άθροισμα των συντελεστών λ k αποτελεί το ποσοστό του φάσματος που έχει καλυφθεί μέχρι το βήμα k. Προφανώς ισχύει: n λk = 1 (k=1, 2,, n) (2) 1 Κατά αναλογία προς τη στατική υπερωθητική ανάλυση, το μερισμένο φάσμα εισάγεται επαυξητικά στη βάση της κατασκευής, ξεκινώντας με την πρώτη φασματική επαύξηση λ 1 Sa και προσθέτοντας διαδοχικά μία νέα φασματική επαύξηση λ k Sa (k=2,, n) έπειτα από κάθε νέα εμφάνιση πλαστικής άρθρωσης (ή άλλου τύπου διαρροής) στις διατομές του αναλυόμενου προσομοιώματος της κατασκευής. Η νέα φασματική επαύξηση λ k Sa εφαρμόζεται επάνω σε νέο προσομοίωμα της κατασκευής, το οποίο θα διαφέρει από αυτό του προηγούμενου βήματος, καθώς το νέο θα διαθέτει μία ή περισσότερες αρθρώσεις. Για κάθε φασματική επαύξηση λ k Sa εφαρμόζεται η δυναμική φασματική μέθοδος στο προσομοίωμα Π k-1 με μηδενικές αρχικές συνθήκες (αφόρτιστος φορέας). Για αυτό το ποσοστό του φάσματος υπολογίζεται η μέγιστη σεισμική απόκριση και προστίθεται με κατάλληλο τρόπο στο άθροισμα των αποκρίσεων λόγω των προηγούμενων επαυξήσεων. Με τον τρόπο αυτό η συνολική απόκριση του ανελαστικού συστήματος συντίθεται από τις διαδοχικές συνεισφορές των ελαστικών γραμμικών υποσυστημάτων Π k. S a (T) (/sec 2 ) λ n S a λ n-1 S a T 1,n-1 T1,n Λ n S a Λ n-1 S a λ 2 S a λ 1 S a T 1,1 Λ 2 S a T 1,2 Σχήμα 1. Μερισμός φάσματος για την εφαρμογή της ΦΥΑ.. Λ 1 S a T (sec) Περιγραφή των Βημάτων της Ανάλυσης Για την περιγραφή των βημάτων της ΦΥΑ χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι συμβολισμοί: k : αριθμός βήματος με k= 1, 2,, n. 3

4 Π k : Προσομοίωμα της κατασκευής στο βήμα k (Π είναι το αρχικό προσομοίωμα). {F y } k,i : Απομένουσα αντοχή της κρίσιμης διατομής i του προσομοιώματος Π k-1 ({F y },i είναι η αντοχή διαρροής της κρίσιμης διατομής i του αφόρτιστου προσομοιώματος Π και {F y } 1,i είναι η απομένουσα αντοχή διαρροής της κρίσιμης διατομής i του προσομοιώματος Π μετά τη φόρτισή του με τα μόνιμα φορτία). {F} i, {R} : Μέγεθος έντασης στην κρίσιμη διατομή i και τυχόν μέγεθος απόκρισης. {F g } i, {R g } : Τιμές λόγω μονίμων φορτίων στο προσομοίωμα Π ({F g },i ={F g } i, {R g } ={R g }). {F s } k,i, {R s } k : Πιθανές μέγιστες τιμές υπό την επίδραση του συνόλου του φάσματος στο Π k-1 ({F s },i =, {R s } =). {ΔF s } k,i, {ΔR s } k : Πιθανές μέγιστες τιμές υπό την επίδραση του ποσοστού του φάσματος λ k Sa στο Π k-1 ({ΔF s },i =, {ΔR s } =). {F s } k,i, {R s } k : Άθροισμα όλων των {ΔF s } k,i, {ΔR s } k από το βήμα 1 έως το βήμα k ({F s },i =, {R s } =). {F} k,i, {R} k : Συνολική απόκριση υπό σεισμικά και μόνιμα φορτία στο τέλος του βήματος k. Τα διαδοχικά βήματα της μεθόδου απεικονίζονται στο Σχήμα 2 υπό μορφή διαγράμματος ροής. Καταγραφή των Παραδοχών της Μεθόδου Για την εφαρμογή της ΦΥΑ έγιναν οι ακόλουθες παραδοχές σε ό,τι αφορά στην ανελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων: Ως κρίσιμες διατομές στις οποίες συγκεντρώνονται οι ανελαστικές παραμορφώσεις θεωρούνται τα άκρα των δομικών στοιχείων. Η ανελαστική συμπεριφορά των κρίσιμων περιοχών θεωρείται ως ιδανικά ελαστικήιδανικά πλαστική (για συντομία: ιδανικά ελαστοπλαστική). Θεωρούνται καμπτικού μόνο τύπου διαρροές-αστοχίες. Θεώρηση μιας τέτοιας τιμής για την οριακή πλαστική στροφή στο διάγραμμα ροπής κάμψης συναρτήσει της γωνίας στροφής θ, ώστε να μην εμφανίζονται αστοχίες. Αγνοούνται τυχόν φαινόμενα Ρ-δ. Αγνοείται η επιρροή της ανακυκλιζόμενης φόρτισης του σεισμού στη συμπεριφορά των ήδη σχηματισθεισών πλαστικών αρθρώσεων. Όσον αφορά τα μεγέθη απόκρισης {F} i, {R}, το μεν {F} i αναφέρεται αποκλειστικά στα μεγέθη έντασης στις κρίσιμες διατομές, ενώ το {R} σε όλα τα υπόλοιπα μεγέθη (έντασης ή παραμόρφωσης). Με τη διάκριση αυτή γίνεται δυνατή η θεώρηση της ανακατανομής της έντασης λόγω μονίμων φορτίων κατά τις προοδευτικά εμφανιζόμενες πλαστικές αρθρώσεις. Ενώ όμως προς τούτο η αρχικά διατυπωθείσα ΦΥΑ λάμβανε κάθε φορά υπόψη τα μόνιμα φορτία στο εκάστοτε προσομοίωμα Π k, η εδώ προτεινόμενη διαδικασία διαφέρει, καθώς η επιρροή των μονίμων φορτίων λαμβάνεται υπόψη μόνο στο αρχικό προσομοίωμα Π. Η επιλογή αυτή (που περιγράφεται στο Σχήμα 2) έγινε με κριτήρια: α) ότι και στη Στατική Υπερωθητική Ανάλυση δεν λαμβάνεται η ανακατανομή της έντασης των μονίμων λόγω εμφάνισης πλαστικοποιήσεων και β) λόγω απλούστευσης, καθώς στη συγκεκριμένη παραλλαγή δεν υπάρχει λόγος διαχωρισμού των διατομών σε κρίσιμες και σε μη. Το πρώτο 4

5 Αρχικό (αφόρτιστο) προσομοίωμα Π της κατασκευής με προσομοίωση της ανελαστικής συμπεριφοράς των δομικών στοιχείων Ελαστική στατική ανάλυση του προσομοιώματος Π για τα μόνιμα φορτία και υπολογισμός των {F g } i, {R g } Επιλογή ενός φάσματος Sa (απόκρισης ή σχεδιασμού) για απόσβεση ζ k = 1 Υπολογισμός της απομένουσας αντοχής: {F y } k,i = {F y },i -{F g } i ±{F s } k-1,i ({F s },i =) Δυναμική φασματική ανάλυση του Π k-1 χρησιμοποιώντας το σύνολο του φάσματος για τον υπολογισμό των {F s } k,i, {R s } k k = k +1 Υπολογισμός του συντελεστή λ k : λ = in( {F } {F } ) k ± y k,i s k, i Υπολογισμός των πιθανών μέγιστων τιμών {ΔF s } k,i, {ΔR s } k που αναπτύσσονται για ποσοστό φάσματος (λ k x Sa) στο Π k-1, δηλαδή {ΔF s } k,i = λ k x {F s } k,i και {ΔR s } k =λ k x {R s } k Υπολογισμός των συνολικών τιμών των μεγεθών λόγω σεισμού: {F s } k,i ={F s } k-1,i+{δf s } k,i και {R s } k ={R s } k-1 +{ΔR s } k Υπολογισμός των συνολικών τιμών λόγω μονίμων και σεισμικών φορτίων: {F} k,i ={F s } k,i +{F g } i και {R} k ={R s } k +{R g } Τροποποίηση του προσομοιώματος για τον καθορισμό του Π k Έλεγχοι: (1) Σλ k 1 (2) u u οριακό Όχι Ικανοποιούνται οι έλεγχοι; Ναι Τέλος Σχήμα 2. Διάγραμμα ροής εφαρμογής της ΦΥΑ. 5

6 από τα παραπάνω κριτήρια, που με άλλα λόγια αποτελεί την άμεση μεταφορά της Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης από το πεδίο της Στατικής στο πεδίο της Δυναμικής Φασματικής, ήταν και ο λόγος που επελέγη η πρόσθεση των μεγίστων τιμών λόγω σεισμού σε κάθε βήμα για τον υπολογισμό των συνολικών τιμών των μεγεθών λόγω σεισμού ({F s } k,i ={F s } k-1,i+{δf s } k,i και {R s } k ={R s } k-1 +{ΔR s } k ). Μία επιπλέον παραδοχή αποτελεί και η τοποθέτηση ή μη πλαστικής άρθρωσης στα κατακόρυφα στοιχεία. Εφόσον η ανελαστική συμπεριφορά των διατομών θεωρείται ιδανικά ελαστοπλαστική, η τροποποίηση του προσομοιώματος σε κάθε βήμα συνίσταται στην εισαγωγή μηχανικών αρθρώσεων στα σημεία που εμφανίζεται πλαστική άρθρωση, δηλαδή στα σημεία όπου το {F} k,i γίνεται ίσο με την αντοχή διαρροής {F y },i της διατομής. Η τοποθέτηση (ή μη) πλαστικής άρθρωσης στα κατακόρυφα στοιχεία αποτελεί, όμως, περιπλοκότερη περίπτωση από ό,τι στις δοκούς λόγω της αλληλεπίδρασης της ροπής κάμψης με την αξονική δύναμη. Η παραδοχή που υιοθετείται εδώ είναι ότι πλαστική άρθρωση στα κατακόρυφα στοιχεία τοποθετείται εφόσον και τα δύο σημεία (+Μ,+Ν) και (+Μ,- Ν) βρίσκονται «έξω» από την καμπύλη αλληλεπίδρασης ή εάν και τα δύο σημεία (-Μ,+Ν) και (-Μ,-Ν) βρίσκονται «έξω» από την καμπύλη αλληλεπίδρασης (Σχήμα 3). Επίσης, μία σημαντική παραδοχή αποτελεί ο δεύτερος έλεγχος για το πέρας της διαδικασίας (βλέπε Σχήμα 2). Ενώ θα ήταν λογικό η διαδικασία να σταματά όταν το άθροισμα των συντελεστών λ k για όλα τα βήματα γίνει ίσο με τη μονάδα, αναλύσεις διαφόρων φορέων έδειξαν ότι υπήρχαν σημαντικές αποκλίσεις από τη λύση αναφοράς όταν ο απαιτούμενος συντελεστής συμπεριφοράς έπαιρνε μεγάλες τιμές. Αυτό οδήγησε στην επιβολή ενός ακόμα περιορισμού, ο οποίος εισάγεται με τη μορφή παραμορφώσεων, u u οριακό. Ο προσδιορισμός του u οριακό βασίζεται στην κρίση του μελετητή (π.χ., να μην υπερβαίνει τις μετακινήσεις που προκύπτουν από δυναμική φασματική ανάλυση για το σύνολο του ελαστικού φάσματος). P (θλίψη) P (θλίψη) N 1 = {N g }+{N s } k N 1 = {N g }+{N s } k M= {M g }+{M s } k M M= {M g }+{M s } k M N 2 = {N g }- {N s } k (α) N 2 = {N g }- {N s } k (β) Σχήμα 3. Πλαστική άρθρωση σε κατακόρυφα στοιχεία: (α) Μη-τοποθέτηση (β) τοποθέτηση. 6

7 Τέλος, αξίζει να τονιστούν τα εξής σημεία που αφορούν στην προτεινόμενη μέθοδο ΦΥΑ: Η φόρτιση προσομοιώνεται μέσω ενός ελαστικού φάσματος σχεδιασμού Sa(T,ζ) ή μέσω του ελαστικού φάσματος απόκρισης για συγκεκριμένη σεισμική καταγραφή. Η φόρτιση αυτή μεταβάλλεται από βήμα σε βήμα επειδή μεταβάλλονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής έπειτα από την εμφάνιση κάθε νέας πλαστικής άρθρωσης. Δεν χρειάζεται να σχεδιαστεί υπερωθητική καμπύλη ούτε υπάρχει αναγκαιότητα χρήσης κάποιου ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Η σειρά εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων διαφέρει για την κάθε θεωρούμενη διέγερση (φάσμα). Με τη ΦΥΑ δεν χρειάζεται ανάλυση σε δύο διευθύνσεις και με διαφορετικές καθ ύψος κατανομές. Όπως η δυναμική φασματική ανάλυση ελαστικών φορέων, έτσι και η ΦΥΑ μπορεί να εφαρμοστεί χωρίς περιορισμούς και σε χωρικά συστήματα. ΜΕΛΕΤΗΘΕΝΤΕΣ ΦΟΡΕΙΣ Περιγραφή Φορέων, Φορτία και Σεισμικές Διεγέρσεις Για την αξιολόγηση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων της εδώ αξιολογούμενης μεθόδου ΦΥΑ γίνεται εφαρμογή σε ένα μη συμμετρικό επίπεδο πλαίσιο τριών ανοιγμάτων και εννιά ορόφων από οπλισμένο σκυρόδεμα για τα φάσματα απόκρισης που αντιστοιχούν σε 2 φυσικές καταγραφές ( Πίνακας 1 ). Επίσης, για τα ίδια φάσματα απόκρισης γίνεται εφαρμογή Πίνακας 1. Κατάλογος εδαφικών κινήσεων. α/α Σεισμική διέγερση ü go (c/sec 2 ) Loa Prieta (Agnews State Hospital) Loa Prieta (Capitola) Loa Prieta (Gilroy Array #3) Loa Prieta (Gilroy Array #4) Loa Prieta (Gilroy Array #7) Loa Prieta (Hollister City Hall) Loa Prieta (Hollister Diff. Array) Loa Prieta (Sunnyvale - Colton Ave.) Northridge (Canoga Park) Northridge (LA - N Faring Rd) Northridge (LA - Fletcher Dr) Northridge (Glendale - Las Palas) Northridge (LA - Hollywood Stor FF) Northridge (La Crescenta - New York) Northridge (Northridge - Saticoy St) San Fernando (LA - Hollywood Stor Lot) Superstition Hills (Brawley) Superstition Hills (El Centro Ip. Co. Center) Superstition Hills (Plaster City) Superstition Hills (Westorland Fire Station) 169 7

8 G, Q 35 x 6 35 x 6 35 x 6 35 x x 35 7 x 7 7 x 7 35 x 6 35 x 6 35 x 6 35 x x 35 7 x 7 7 x 7 35 x 6 35 x 6 35 x 6 35 x x 35 7 x 7 7 x 7 35 x 6 35 x 6 35 x 6 5 x 5 5 x 5 8 x 8 8 x 8 35 x 6 35 x 6 35 x 6 5 x 5 5 x 5 8 x 8 8 x 8 35 x 6 35 x 6 35 x 6 5 x 5 5 x 5 8 x 8 8 x 8 35 x 6 35 x 6 35 x 6 7 x 7 7 x 7 1 x 1 1 x 1 35 x 6 35 x 6 35 x 6 7 x 7 7 x 7 1 x 1 1 x 1 35 x 6 35 x 6 35 x 6 7 x 7 7 x 7 1 x 1 1 x G = 2 kn/ Q = 1 kn/ E = 29 kn/² v =.2 = 6 t C2/S y 5. 2,5 1,5 1,,5 E = 29 kn/² v =.2 My,T1 = 15 kn My,T2 = 325 kn My,T3 = 15 kn 6. T1 2x T2 2x13 T3 2x8 x 1. Θεμελιώδης Ιδιοπερίοδος Τ1 =.2 sec Τ1 =.5 sec Σημείο : = t J = 3.88 t ² = t J = t ² Σημείο 1: = t J = t ² = t J = t ² Σημείο 2: = t J = t ² = t J = t ² Σημείο 3: = t J = t ² = t J = t ² Σημείο 4: = t J = 16.7 t ² = t J = 1.46 t ² Σχήμα 4. Γεωμετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά των μελετηθέντων φορέων. 8

9 σε μια σειρά μονώροφων μονοσυμμετρικών κτιρίων με διαφορετικά μαζικά χαρακτηριστικά και διαφορετική εκκεντρότητα (άξονας συμμετρίας x-x).τα γεωμετρικά και ελαστικά χαρακτηριστικά των μελετηθέντων φορέων δίνονται στο Σχήμα 4. Η διαστασιολόγηση και η όπλιση των δομικών στοιχείων του πλαισίου γίνεται με τη βοήθεια του προγράμματος NEXT, ενώ οι απαιτούμενες για την ανελαστική ανάλυση αντοχές (ροπές) διαρροής (και αστοχίας) όλων των κρίσιμων διατομών του πλαισίου υπολογίζονται με το πρόγραμμα XTRACT. Όσον αφορά τους χωρικούς φορείς, πρόκειται για συμμετρικά σε κάτοψη συστήματα τριών τοιχείων που διαφέρουν μόνο ως προς τη θέση και το μέγεθος των αδρανειακών τους χαρακτηριστικών (μάζα, μαζική ροπή αδράνειας J ). Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται πέντε διαφορετικές θέσεις του Κέντρου Μάζας και δύο διαφορετικοί λόγοι /J. Για κάθε θέση του Κέντρου Μάζας η επιλογή των δύο λόγων /J γίνεται έτσι ώστε να προκύπτουν δύο διαφορετικές τιμές θεμελιώδους ιδιοπεριόδου:.2 και.5 sec. Δηλαδή, εξετάζονται συνολικά δέκα διαφορετικά μονώροφα μονοσυμμετρικά κτίρια. Η σεισμική διέγερση θεωρείται κάθετη στον άξονα συμμετρίας. Οι τιμές των αντοχών (ροπών) διαρροής των τοιχείων θεωρούνται αμετάβλητες (Σχήμα 4). Σημειώνεται ότι στο μονώροφο χωρικό φορέα αγνοούνται τα κατακόρυφα φορτία καθώς και η αλληλεπίδραση της ροπής κάμψης με την αξονική δύναμη, ενώ αντίθετα λαμβάνονται υπόψη στο 9-ώροφο πλαίσιο. Μέθοδοι ανάλυσης Οι μέθοδοι ανάλυσης που εφαρμόζονται στους δύο επιλεγέντες φορείς παρουσιάζονται στον Πίνακα 2. Πίνακας 2. Μέθοδοι ανάλυσης των δύο φορέων. α/α Μέθοδος ανάλυσης 9-ώροφο επίπεδο Μονώροφο μονοσυμμετρικό χωρικό πλαίσιο σύστημα τριών τοιχείων 1 LRHA (ΕΧΑ) 2 LRSA (ΔΦΑ) 3 NLRHA (ΑΧΑ) 4 NSP- [ATC-55 (Eq. Lin.)] (ΣΥΑ) 5 NSP- [ATC-55 (Dis. Mod.)] (ΣΥΑ) 6 NSP- EC-8 (ΣΥΑ) 7 MPA (ΙΥΑ) 8 SPA (ΦΥΑ) Επεξήγηση συντομογραφιών: LRHA: Linear Response History Analysis ΕΧΑ: Ελαστική Χρονολογική Ανάλυση LRSA: Linear Response Spectru Analysis ΔΦΑ: Δυναμική Φασματική Ανάλυση NLRHA: NonLinear Response History Analysis ΑΧΑ: Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση NSP: Nonlinear Static Procedure ΣΥΑ: Στατική Υπερωθητική Ανάλυση Eq. Lin.: Equivalent Linearization Μέθοδος του ισοδύναμου γραμμικού συστήματος Dis. Mod.: Displaceent Modification Μέθοδος της τροποποίησης της μετακίνησης MPA: Modal Pushover Analysis IYA: Ιδιομορφική Υπερωθητική Ανάλυση SPA: Spectral Pushover Analysis ΦΥΑ: Φασματική Υπερωθητική Ανάλυση Ελαστικές Αναλύσεις Αρχικά εφαρμόζεται στα δύο συστήματα (επίπεδο και χωρικό) η ελαστική ανάλυση με δύο τρόπους: (α) Ελαστική Χρονολογική Ανάλυση [ΕΧΑ] και (β) Δυναμική Φασματική Ανάλυση [ΔΦΑ]. Από την εφαρμογή των δύο ελαστικών μεθόδων υπολογισμού των μεγεθών απόκρισης και της μεταξύ τους σύγκρισης αποδεικνύεται η εγγενής διαφορά-απόκλισή τους 9

10 ακόμα και στη γραμμική περιοχή. Επίσης, από τη ΔΦΑ λαμβάνονται οι παραμορφώσεις για τον προσδιορισμό της οριακής παραμόρφωσης, η οποία αποτελεί το σημείο πέρατος της ΦΥΑ. Ανελαστική Χρονολογική Ανάλυση Η ανελαστική χρονολογική ανάλυση διενεργείται με το πρόγραμμα SAP2 Nonlinear. Οι τιμές των μεγεθών απόκρισης που προκύπτουν από αυτήν την ανάλυση θεωρούνται ως λύση αναφοράς με την οποία συγκρίνονται τα αποτελέσματα των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων. Στατική Υπερωθητική Ανάλυση Για το 9-ώροφο πλαίσιο διενεργείται ΣΥΑ με δύο καθ ύψος κατανομές (μία ομοιόμορφη και μία ανάλογη με την πρώτη ελαστική ιδιομορφή) για δύο διευθύνσεις, καθώς το πλαίσιο είναι ασύμμετρο. Ο υπολογισμός των απαιτήσεων σε σεισμό γίνεται με τη «μέθοδο του ισοδύναμου γραμμικού συστήματος» σύμφωνα με τους τύπους του ATC-55, αλλά και με την «μέθοδο της τροποποίησης της μετακίνησης» τόσο σύμφωνα με τον ATC-55 όσο και με τον EC-8. Στην περίπτωση όμως της ΣΥΑ κατά τον EC-8, ο υπολογισμός της ανελαστικής μετακίνησης του αντίστοιχου ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος γίνεται με ανελαστική χρονολογική ανάλυση και όχι με τους τύπους του EC-8. Στο μονώροφο χωρικό σύστημα των τριών τοιχείων, η εφαρμογή της ΣΥΑ γίνεται για μία επαυξητική οριζόντια δύναμη που ενεργεί στο Κέντρο Μάζας κάθετα στον άξονα συμμετρίας, αλλά και για μία κατανομή που προκύπτει από την ελαστική ιδιομορφή (δύναμη και ροπή) με το μεγαλύτερο ποσοστό συμμετοχής για διέγερση κάθετη στον άξονα συμμετρίας. Στις περιπτώσεις όπου η μάζα μετατοπίζεται στις θέσεις 3 και 4 (Σχήμα 4), λαμβάνεται υπόψη και δεύτερη ελαστική ιδιομορφή, καθώς το ποσοστό συμμετοχής αυξάνεται σημαντικά ( Πίνακας 3 ). Για τον υπολογισμό των απαιτήσεων σε σεισμό ισχύει ό,τι και στο επίπεδο πλαίσιο. Πίνακας 3. Ποσοστά συμμετοχής ιδιομορφών. Θέση μάζας ε 1 (%) ε 2 (%) Σύνολο (%) Ιδιομορφική Υπερωθητική Ανάλυση Για την εφαρμογή της ΙΥΑ στο 9-ώροφο πλαίσιο λαμβάνονται υπόψη οι τρεις πρώτες ελαστικές ιδιομορφές για τις δύο διευθύνσεις (σύνολο έξι καθ ύψος κατανομές). Ο υπολογισμός των απαιτήσεων σε σεισμό γίνεται με τη «μέθοδο της τροποποίησης της μετακίνησης», ενώ ο υπολογισμός της ανελαστικής μετακίνησης του αντίστοιχου ισοδύναμου «ιδιομορφικού» μονοβάθμιου συστήματος γίνεται με ανελαστική χρονολογική ανάλυση. Στο χωρικό σύστημα και για την εφαρμογή της ΙΥΑ λαμβάνονται υπόψη οι δύο ελαστικές ιδιομορφές που συμμετέχουν στην απόκριση για σεισμική διέγερση κάθετα στον άξονα 1

11 συμμετρίας. Για τον υπολογισμό των απαιτήσεων σε σεισμό ισχύει ό,τι και στο επίπεδο πλαίσιο. Φασματική Υπερωθητική Ανάλυση Για την ανάλυση του πολυωρόφου πλαισίου με την διερευνούμενη μέθοδο ΦΥΑ λαμβάνονται υπόψη όλες οι ιδιομορφές. Η ιδιομορφική επαλληλία πραγματοποιείται με τον κανόνα CQC. Σύμφωνα με τα βήματα που περιγράφηκαν στο Σχήμα 2, μετά τον καθορισμό του αρχικού προσομοιώματος Π και τον προσδιορισμό των αντοχών διαρροής γίνεται ανάλυση για τα μόνιμα φορτία. Ακολουθεί δυναμική φασματική ανάλυση του Π για το σύνολο του ελαστικού φάσματος απόκρισης επιταχύνσεων κάθε σεισμικής διέγερσης και υπολογισμός των πιθανών μέγιστων τιμών των εντατικών μεγεθών όλων των κρίσιμων διατομών. Στη συνέχεια υπολογίζεται ο συντελεστής λ 1 για τον οποίο εμφανίζεται η πρώτη πλαστική άρθρωση (ή οι πρώτες πλαστικές αρθρώσεις, καθόσον μπορεί να διαρρέουν ταυτόχρονα περισσότερες από μία διατομές) και οι αναπτυσσόμενες αποκρίσεις για το ποσοστό του φάσματος (λ 1 x Sa). Στα σημεία (διατομές) που διαρρέουν τοποθετούνται μηχανικές αρθρώσεις και γίνεται δυναμική φασματική ανάλυση του τροποποιημένου φορέα (με επικαιροποιημένα τα δυναμικά του χαρακτηριστικά και τις αντίστοιχες φασματικές επιταχύνσεις) για το σύνολο του φάσματος και ο υπολογισμός των νέων πιθανών μέγιστων τιμών. Για το δεύτερο αυτό βήμα, υπολογίζεται ο νέος συντελεστής λ 2. Ακολούθως γίνεται άθροιση τόσο των συντελεστών λ k (και έλεγχος αν Σλ k >1, k=2) όσο και των πιθανών μέγιστων τιμών όλων των βημάτων. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου είτε η μετακίνηση όλων των ορόφων φτάσει τη μετακίνηση που προκύπτει για ελαστική ανάλυση του αρχικού προσομοιώματος Π για το σύνολο του φάσματος, είτε το άθροισμα των συντελεστών λ k για όλα τα βήματα γίνει ίσο με τη μονάδα. Το κριτήριο (παραδοχή) «η μετακίνηση όλων των ορόφων να φτάσει τη μετακίνηση που προκύπτει για ελαστική ανάλυση του αρχικού προσομοιώματος Π για το σύνολο του φάσματος» για την παύση της μεθόδου είναι μία συντηρητική παραδοχή, καθώς θα μπορούσε να επιλεγεί ως κριτήριο μόνο η μετακίνηση κορυφής ή οποιαδήποτε άλλη μετακίνηση ορόφου. Η εφαρμογή της ΦΥΑ στο χωρικό μονοσυμμετρικό φορέα δεν διαφέρει ουσιαστικά από την εφαρμογή της στο επίπεδο πλαίσιο. Αποτελέσματα για τις Μετακινήσεις Ορόφων του Επίπεδου Πλαισίου Στο Σχήμα 5 απεικονίζεται το μέσο σφάλμα των μετακινήσεων των ορόφων του 9-ώροφου πλαισίου για τις 2 σεισμικές διεγέρσεις του Πίνακα 1 για όλες τις παραλλαγές της ΣΥΑ (EC-8, ATC-55, FEMA-44). Επίσης, παρατίθενται και τα αντίστοιχα μέσα σφάλματα που προκύπτουν από την εφαρμογή της ΙΥΑ και της ΦΥΑ. Σημειώνεται ότι το μέσο σφάλμα των μετακινήσεων που προκύπτει από την εφαρμογή των απλοποιημένων ανελαστικών μεθόδων σε σχέση με τη μέθοδο αναφοράς ΑΧΑ υπολογίζεται από τη σχέση: 2 1 uip uid σφάλμα (%) = u (3) id όπου u ip είναι η μετακίνηση του ορόφου i από απλοποιημένη ανελαστική ανάλυση και u id η αντίστοιχη μετακίνηση που προκύπτει από την ΑΧΑ. Όσο πιο κοντά είναι το μέσο σφάλμα 11

12 στο μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι τα αποτελέσματα των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων στα αποτελέσματα αναφοράς της ΑΧΑ, ενώ το θετικό/αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων υπερεκτιμούν/υποεκτιμούν τα ζητούμενα μεγέθη συγκριτικά με τα αποτελέσματα που προκύπτουν από την ΑΧΑ EC-8 ATC-55 FEMA-44 MPA SPA ΣΥΑ: Κατανομή 1 η ιδιομορφή Φορά θετική ΣΥΑ: Κατανομή 1 η ιδιομορφή Φορά αρνητική ΣΥΑ: Κατανομή σταθερή Φορά θετική ΣΥΑ: Κατανομή σταθερή Φορά αρνητική Σχήμα 5. Μέσο σφάλμα μετακινήσεων ορόφων (%). 12

13 Αποτελέσματα Παραμορφώσεων Χωρικού Φορέα Στα Σχήματα 6 και 7 δίνεται το μέσο σφάλμα της μετακίνησης του κέντρου βάρους, της δύσκαμπτης, της εύκαμπτης πλευράς και της στροφής του διαφράγματος. Οι εικονιζόμενες παραμορφώσεις προκύπτουν από την εφαρμογή όλων των παραλλαγών της ΣΥΑ (EC-8, ATC-55, FEMA-44) για συνεχώς αυξανόμενο φορτίο μόνο μία δύναμη, αλλά και από την εφαρμογή της ΙΥΑ και της ΦΥΑ. Επισημαίνεται ότι για τη μετακίνηση της δύσκαμπτης πλευράς δεν χρησιμοποιήθηκε κάποιος διορθωτικός συντελεστής όπως ορίζεται στον EC-8. Όπως και στο επίπεδο πλαίσιο, όσο πιο κοντά είναι το μέσο σφάλμα στο μηδέν, τόσο πιο κοντά είναι τα αποτελέσματα των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων στα αποτελέσματα αναφοράς της ΑΧΑ, ενώ το θετικό/αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων υπερεκτιμούν/υποεκτιμούν τα ζητούμενα μεγέθη συγκριτικά με αυτά της ΑΧΑ. Μέσο σφάλμα (%) ATC-55 EC-8 FEMA-44 MPA SPA Μέσο σφάλμα (%) Εκκεντρότητα () Εκκεντρότητα () Μέσο σφάλμα μετακίνησης κέντρου βάρους Μέσο σφάλμα μετακίνησης δύσκαμπτης πλευράς 4 Μέσο σφάλμα (%) Μέσο σφάλμα (%) Εκκεντρότητα () Εκκεντρότητα () Μέσο σφάλμα μετακίνησης εύκαμπτης πλευράς Μέσο σφάλμα στροφής διαφράγματος Σχήμα 6. Φορέας με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο Τ 1 =.2 sec και φορτίο μόνο δύναμη για τη ΣΥΑ. 13

14 Μέσο σφάλμα (%) ATC-55 EC-8 FEMA-44 MPA SPA Μέσο σφάλμα (%) Εκκεντρότητα () Εκκεντρότητα () Μέσο σφάλμα μετακίνησης κέντρου βάρους Μέσο σφάλμα μετακίνησης δύσκαμπτης πλευράς 2 3 Μέσο σφάλμα (%) Μέσο σφάλμα (%) Εκκεντρότητα () Εκκεντρότητα () Μέσο σφάλμα μετακίνησης εύκαμπτης πλευράς Μέσο σφάλμα στροφής διαφράγματος Σχήμα 7. Φορέας με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο Τ 1 =.5 sec και φορτίο μόνο δύναμη για τη ΣΥΑ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται αποτελέσματα μιας συγκριτικής μελέτης διαφόρων ανελαστικών μεθόδων σεισμικής ανάλυσης με κύριο στόχο τη διερεύνηση της ακρίβειας της Φασματικής Υπερωθητικής Ανάλυσης. Τα συμπεράσματα που εξάγονται βάσει των μελετηθέντων φορέων μπορούν να συνοψισθούν ως εξής: Όσον αφορά στο επίπεδο πλαίσιο, προκύπτει ότι τα σφάλματα από την εφαρμογή της ΦΥΑ είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με αυτά των Στατικών Υπερωθητικών Αναλύσεων όταν χρησιμοποιείται η ιδιομορφική καθ ύψος κατανομή οριζοντίων δυνάμεων. Η ΦΥΑ υπερτερεί έναντι της ΣΥΑ όταν στην τελευταία χρησιμοποιείται ομοιόμορφη καθ ύψος κατανομή. 14

15 Για το επίπεδο πλαίσιο, η ΙΥΑ και η ΦΥΑ εμφανίζουν παρόμοια εικόνα. Εντούτοις, η επεξεργασία των αποτελεσμάτων στην ΙΥΑ είναι πολύπλοκη, καθώς απαιτούνται έξι υπερωθητικές καμπύλες (αν ληφθούν υπόψη τρεις ιδιομορφές, σε κάθε μία από τις δύο διευθύνσεις). Η ιδιομορφική επαλληλία δίνει οκτώ συνδυασμούς για τις τρεις ιδιομορφές, ενώ αν είχαν ληφθεί υπόψη τέσσερεις ιδιομορφές, τότε θα απαιτούνταν δεκαέξι συνδυασμοί. Όσον αφορά στο χωρικό σύστημα με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο Τ 1 =.2sec, η ΙΥΑ και η ΦΥΑ υποεκτιμούν τις μετακινήσεις του κέντρου βάρους και της εύκαμπτης πλευράς, ενώ η ΣΥΑ υπερεκτιμά τα αντίστοιχα μεγέθη. Δεν συμβαίνει το ίδιο όμως με τη δύσκαμπτη πλευρά και τη στροφή του διαφράγματος, όπου η ΣΥΑ αδυνατεί να εκτιμήσει τη μετακίνηση της δύσκαμπτης πλευράς, την οποία υποεκτιμά από -5% έως πάνω από -9%. Στην περίπτωση που αντί της οριζόντιας μόνο δύναμης χρησιμοποιηθεί δύναμη σε συνδυασμό με στρεπτική ροπή (σύμφωνα με την 1 η ή τη 2 η ιδιομορφή), τα αποτελέσματα της ΣΥΑ διαφοροποιούνται κατά πολύ, χωρίς όμως να προκύπτει σαφές συμπέρασμα για το ποιά κατανομή υπερέχει. Όσον αφορά στο χωρικό σύστημα με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο Τ 1 =.5sec, η ΙΥΑ και η ΦΥΑ άλλοτε υποεκτιμούν και άλλοτε υπερεκτιμούν τις μετακινήσεις του κέντρου βάρους και της εύκαμπτης πλευράς, ενώ η ΣΥΑ υπερεκτιμά τα αντίστοιχα μεγέθη (εξαιρείται η περίπτωση που ο υπολογισμός γίνεται με τη FEMA-44). Δεν συμβαίνει το ίδιο όμως με τη δύσκαμπτη πλευρά, όπου η ΣΥΑ αδυνατεί να εκτιμήσει τη μετακίνηση της δύσκαμπτης πλευράς, την οποία υποεκτιμά πάνω από -9%. Αντίθετα, τα σφάλματα μετακίνησης της δύσκαμπτης πλευράς κυμαίνονται σε υψηλά επίπεδα όταν εφαρμόζεται η ΙΥΑ (από 16% έως 24 %). Η ΦΥΑ υπερεκτιμά την αντίστοιχη μετακίνηση με αυξητικό τάση με την αύξηση της εκκεντρότητας (από 25% σε 75%), αλλά σαφέστατα σε χαμηλότερα επίπεδα από την ΙΥΑ. Στην περίπτωση που αντί της οριζόντιας μόνο δύναμης χρησιμοποιηθεί δύναμη σε συνδυασμό με στρεπτική ροπή (σύμφωνα με την 1 η ή τη 2 η ιδιομορφή), τα αποτελέσματα της ΣΥΑ διαφοροποιούνται πολύ, χωρίς και πάλι να προκύπτει σαφές συμπέρασμα για το ποιά κατανομή υπερέχει. Ιδιαίτερη προσοχή θα πρέπει να δοθεί στη χρήση των απλοποιημένων ανελαστικών αναλύσεων στους χωρικούς ασύμμετρους φορείς, καθώς μέχρι σήμερα δεν έχουν προκύψει αποδεκτά αποτελέσματα από την εφαρμογή τους σε ασύμμετρα χωρικά κτίρια. Η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, η οποία στα χωρικά συστήματα αυξάνει με αυξανόμενο πλήθος ορόφων πολύ ταχύτερα από ό,τι σε επίπεδα συστήματα, η επιρροή της ταυτόχρονης φόρτισης σε δύο διευθύνσεις, αλλά και η επιρροή της στρέψης είναι ορισμένα από τα προβλήματα που πρέπει να λυθούν προκειμένου να «επεκταθούν» οι απλοποιημένες ανελαστικές αναλύσεις στα χωρικά ασύμμετρα κτίρια, χωρίς δραστική μείωση της αξιοπιστίας τους. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ATC-4, Seisic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings. Applied Technology Council, Redwood City, California. ATC-55 (FEMA-44), 24. Iproveent of Nonlinear Static Seisic Analysis Procedures. Applied Technology Council, Redwood City, California. 15

16 Aναστασιάδης, Κ.Κ., Δυναμική των Κατασκευών (τόμος ΙΙ). Π. Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Aναστασιάδης, Κ.Κ., 21. Φασματική υπερωθητική ανάλυση για εκτίμηση σεισμικής επίδοσης κτιρίων, 2 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής και Τεχνικής Σεισμολογίας, Θεσσαλονίκη. Chintanapakdee, C. and Chopra, Α.Κ, 23. Evaluation of the Modal Pushover Analysis Procedure Using Vertically Regular and Irregular Generic Fraes. Report No. EERC 23-3, Earthquake Engineering Research Center, Deceber 22, University of California, Berkeley Chopra, Α.Κ, and Goel, R.K, 21. Α Modal Pushover Analysis Procedure to Estiate Seisic Deands for Buildings: Theory and Preliinary Evaluation. PEER Report 21/3, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. Chopra, Α.Κ, and Goel, R.K, 22. Modal Pushover Seisic Analysis of Sac Buildings Excluding Gravity Loads. Proceedings of the 12th European Conference on Earthquake Engineering, London, UK, Paper no Chopra, Α.Κ, and Goel, R.K, 23. A Modal Pushover Analysis Procedure to Estiate Seisic Deands for Unsyetric-Plan Buildings: Theory and Preliinary Evaluation. Report No. EERC 23-8, Earthquake Engineering Research Center, Septeber 23, University of California, Berkeley. Chopra, Α.Κ, Goel, R.K, and Chintanapakdee, C., 24. Evaluation of a Modified MPA Procedure Assuing Higher Modes as Elastic to Estiate Seisic Deand. Earthquake Spectra, August 24, Vol. 2, No. 3, pp EC-8, CEN Techn. Co. 25 / SC8. Eurocode 8: Earthquake Resistant Design of Structures-Part 1: General rules. (ENV1998-1, Parts 1,2,3), CEN. Brussels, 1994, FEMA-274 (NEHRP), Coentary on the Guidelines for the Seisic Rehabilitation of Buildings. Prepared by ATC, Washington, D.C. FEMA-356, 2. Prestandard and Coentary for the Seisic Rehabilitation of Buildings. Prepared by ASCE, Washington, D.C. Goel, R.K, and Chopra, Α.Κ, 25a. Role of Higher- Mode Pushover Analyses in Seisic Analysis of Buildings. Earthquake Spectra, February 25, Vol. 21, No. 1, pp Goel, R.K, and Chopra, Α.Κ, 25b. Extension of Modal Pushover Analysis to Copute Meber Forces. Earthquake Spectra, Noveber 25, Vol. 21, No. 4, pp NEXT, Πρόγραμμα Στατικής & Δυναμικής Ανάλυσης και Διαστασιολόγησης, Coputec Software. SAP2. Integrated Finite Eleent Analysis and Design of Structures. Coputers and Structures, Inc., Berkeley, California, USA, 2. Τσιγγέλης Β.Σ., Αθανατοπούλου Α.Μ. και Αβραμίδης Ι.Ε., 26, Σύγκριση της Φασματικής Υπερωθητικής Ανάλυσης με τη Στατική και την Ιδιομορφική Υπερωθητική Ανάλυση, Πρακτικά 15 ου Πανελλήνιου Συνέδριου Οπλισμένου Σκυροδέματος, Αλεξανδρούπολη. XTRACT. Cross sectional analysis progra for structural engineers. Ibsen Software Systes and Associates, Inc., Sacraento, California, USA,