f I X i I f i X, για κάθεi I.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f I X i I f i X, για κάθεi I."

Transcript

1 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα παράγραφο θα ορίσουμε την τοπολογία γινόμενο ή καρτεσιανή τοπολογία για μια τυχούσα οικογένεια τοπολογικών χώρων : I. Πριν από αυτό πρέπει να επεκτείνουμε τον ορισμό του καρτεσιανού γινομένου για οποιοδήποτε οικογένεια συνόλων. Αυτή η επέκταση βασίζεται στην παρατήρηση ότι, αν,..., είναι σύνολα τότε τα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου... δηλαδή οι άδες x,... x με x, k μπορούν να θεωρηθούν ως εκείνες οι συναρτήσεις f :,2,...,, ώστε f k k κάθε k,2,...,. k k k k, για Ορισμός 2. Έστω : I οικογένεια συνόλων. Το καρτεσιανό γινόμενο, είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων : : : I f I I f, για κάθε I. Αν για κάθε I, τότε το καρτεσιανό γινόμενο : I συμβολίζεται με I ( = το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : I ). Οι συμβολισμοί γενικά γράφεται είναι ταυτόσημοι. Ένα στοιχείο f και : I I x ή x και αυτό σημαίνει ότι, f x I, για κάθε I., Με αυτόν τον συμβολισμό x, ονομάζεται η - συντεταγμένη του στοιχείου x. Το σύνολο καλείται ο - παράγων του x x ( δηλαδή η απεικόνιση f f : : I προβολή στην - συντεταγμένη. I I. Για κάθε I η απεικόνιση ονομάζεται η Ακολούθως διατυπώνουμε το αξίωμα επιλογής.

2 48 Πρόταση 2.2 Έστω : I μη κενή οικογένεια μη κενών συνόλων, τότε. Δηλαδή, I και I για κάθε I. I Παρατήρηση 2.3 Αν I ή για κάποιο I τότε I. Έτσι στην συνέχεια θα θεωρούμε πάντοτε ( και χωρίς ρητά να το αναφέρουμε ) μη κενές οικογένειες μη κενών συνόλων ή τοπολογικών χώρων. Παραδείγματα 2.4. ) Το σύνολο ( διανυσματικός χώρος με πράξεις κατά σημείο ) των ακολουθιών πραγματικών αριθμών. R x : x R, Καθώς επίσης και ο διανυσματικός χώρος των ακολουθιών μιγαδικών αριθμών C z : z C,. 2) Περισσότερο γενικά, αν σύνολο τότε ο R είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των συναρτήσεων f : 3) Τα σύνολα, 0, και, R. ( Αντίστοιχα ορίζεται και ο χώρος C.) είναι αντιστοίχως το σύνολο όλων των ακολουθιών με τιμές στο, το σύνολο όλων των ακολουθιών με τιμές στο 0, και το σύνολο όλων των ακολουθιών πραγματικών αριθμών x με x. για κάθε Στην επόμενη πρόταση συνοψίζονται κάποιες απλές και χρήσιμες ιδιότητες του Καρτεσιανού γινομένου καθώς και των προβολών, I. Πρόταση 2.5. Έστω : I οικογένεια συνόλων. Για κάθε I έστω A, B υποσύνολα του. Τότε :

3 49. (α) Αν A B, για κάθε I τότε A B (β) A B A B I I I (γ) A B A B I I I (δ) Αν F I, ορίζουμε ώστε x A για κάθε F. Τότε I I A να είναι το σύνολο όλων των x F I \ F A A. F I \ F F για κάθε I. Ειδικότερα, A A Απόδειξη. Καθώς οι ισχυρισμοί (α), (β), (γ) είναι απλοί αποδεικνύουμε μόνο τον (δ). με x A x x A x x F I \ F με x x x με x A x x x A. F για κάθε F A για κάθε F για κάθε F Ορισμός 2.6 Έστω,, I, οικογένεια τοπολογικών χώρων. Η τοπολογία γινόμενο ή καρτεσιανή τοπολογία επί του καρτεσιανού γινομένου I I είναι εκείνη η οποία έχει σαν βάση την οικογένεια, B U : U για κάθε I και I : U πεπερασμένο I U : U για κάθε F και F I πεπερασμένο F I \ F Είναι σαφές ότι ( χρησιμοποιώντας την πρόταση 2.5 ) η B ικανοποιεί τις προϋποθέσεις της πρότασης.32 και έτσι είναι πράγματι μια βάση για μια

4 50 (μοναδική ) τοπολογία στον. Παρατηρήσεις 2.7.) Αν B είναι βάση στον τοπολογικό χώρο, για κάθε I, τότε η οικογένεια B U : U B για κάθε I και I : U πεπερασμένο I είναι και αυτή μια βάση για την ( γιατί;) 2) Το σύνολο U : U είναι υποβάση της τοπολογίας. ( Κάθε μέλος της βάσης B της είναι ίσο, σύμφωνα με την πρόταση 2.5 (δ), με μία πεπερασμένη τομή μελών της.) 3) Αν θέσουμε B ' U : U για κάθε I, τότε B B' και ( εύκολα I αποδεικνύεται ότι ) η B ' αποτελεί βάση για κάποια τοπολογία του τοπολογία αυτή είναι γενικά λεπτότερη της τοπολογίας γινόμενο ( αν το I είναι πεπερασμένο τότε προφανώς ταυτίζεται με την τοπολογία γινόμενο ) και ονομάζεται box τοπολογία. Η box τοπολογία δεν είναι δεν είναι τόσο σημαντική όσο η τοπολογία γινόμενο και δεν θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα I. Η σε αυτές τις σημειώσεις. Στην συνέχεια, οποτεδήποτε θεωρούμε ένα καρτεσιανό γινόμενο τοπολογικών χώρων, θα υποθέτομε πάντοτε ότι είναι εφοδιασμένο με την τοπολογία γινόμενο, εκτός και αν ρητά αναφέρουμε κάτι διαφορετικό. Ορισμός 2.8. Έστω Y, τ.χ. και f : Y συνάρτηση. Η f λέγεται ανοικτή ( αντιστοίχως κλειστή ) αν για κάθε U ανοικτό ( αντιστοίχως F κλειστό ) έπεται ότι το f U ( αντιστοίχως το f F ) είναι ανοικτό ( αντιστοίχως κλειστό ) στον Y.

5 5 Πρόταση 2.9. Η προβολή : είναι συνεχής και ανοικτή απεικόνιση, για I κάθε J. Εν γένει δεν είναι κλειστή. Απόδειξη. Έστω U ανοικτό, τότε το U U είναι ανοικτό στον χώρο, συνεπώς η είναι συνεχής. Έστω aa U ανοικτό. Τότε το U γράφεται ως ένωση βασικών ανοικτών έστω I U Va U Va. Έτσι αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν V aa βασικό ανοικτό τότε V ανοικτό στον. Συνεπώς η είναι ανοικτή. Μια προβολή δεν είναι αναγκαία κλειστή απεικόνιση. Πράγματι, το σύνολο 2 F x, : x 0 είναι κλειστό στον x ανοικτό υποσύνολο του R. R ( γιατί; ), όμως F I 0, είναι Πρόταση 2.0. (α) Η τοπολογία γινόμενο είναι η μικρότερη τοπολογία ώστε κάθε προβολή να είναι συνεχής. (β) Αν τ.χ. τότε μια συνάρτηση f : of, είναι συνεχής για κάθε J. I είναι συνεχής αν και μόνο αν η ( Aν θέσουμε, f of, I, τότε η f δίνεται από την εξίσωση f x f x. ) I

6 52 Απόδειξη (α) έστω μια τοπολογία στον είναι συνεχής. Τότε για κάθε I και για κάθε U I ώστε κάθε προβολή : να I ανοικτό το U είναι ανοικτό στον χώρο,. Δηλαδή η περιέχει όλα τα μέλη της υποβάσης Σ I της τοπολογίας γινόμενο που περιγράψαμε στην παρατήρησης 2.7 (2), και άρα. (β) Αν f συνεχής τότε από την πρόταση 2.9 έχουμε το συμπέρασμα αφού η fo είναι σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Έστω U τυχόν ανοικτό υποβασικό ( U ανοικτό ). Τότε, f U f U of U μας για τις συναρτήσεις, ανοικτό στον από την υπόθεσή of, για I. Έτσι η f αντιστρέφει τα ανοικτά υποβασικά του χώρου σε ανοικτά υποσύνολα του και άρα είναι συνεχής. I Παρατηρήσεις 2.. ) Έστω : I οικογένεια τ.χ. και για κάθε I, έστω υπόχωρος του. Τότε η τοπολογία γινόμενο του I A A συμπίπτει με τη σχετική τοπολογία του A η οποία επάγεται από την τοπολογία γινόμενο του I I. ( Γιατί;). 2) Υπενθυμίζουμε ότι: Αν τ.χ. x ακολουθία στον και x τότε, x x για κάθε περιοχή U του x υπάρχει 0 : 0 x U. Σημειώνουμε ότι: Αν και Y τ.χ. και f : Y συνεχής συνάρτηση, τότε για κάθε ακολουθία x : x x f x f x. (Γιατί; )

7 53 Πρόταση 2.2 Έστω και x I I κάθε I,, I οικογένεια τοπολογικών χώρων. Έστω ότι x x x συντεταγμένες στο x. x. Δηλαδή x και I x x I x ακολουθία στον. Τότε, x x για x αν και μόνο αν η x συγκλίνει κατά Απόδειξη. Οι προβολές είναι συνεχείς έτσι το συμπέρασμα έπεται από την πρόταση 2.0 σε συνδυασμό με την παρατήρηση 2. (2) Έστω U V βασική περιοχή του x, τότε x V F I \ F για κάθε F. Από την υπόθεσή μας έπεται ότι, για κάθε F υπάρχει : x V. Επειδή το F είναι πεπερασμένο υπάρχει το F x U. Κατά συνέπεια x 0 x. 0 max :. Έτσι αν Παραδείγματα 2.3. ) Μια βάση για την τοπολογία γινόμενο του διανυσματικού χώρου R αποτελείται από όλα τα σύνολα της μορφής UU 2... U R \.2,..., όπου και U,..., U ανοικτά υποσύνολα του R. Μία άλλη βάση για την ίδια τοπολογία του,..., a b a b R Όπου και ak b, για κάθε k k,2,...,. R συνιστούν τα σύνολα της μορφής \,2,.., 2) Ένα γενικότερο παράδειγμα του προηγουμένου είναι ο διανυσματικός χώρος R ( όπου σύνολο ) όλων των συναρτήσεων f : τοπολογία γινόμενο του R είναι τα σύνολα της μορφής R. Μία βάση για την U U R \,...,...

8 54 Όπου,,..., και U,..., U ανοικτά στον R. Τα U μπορούν να αντικατασταθούν βέβαια όπως και πριν από ανοικτά διαστήματα του R. Ανάλογα ισχύουν και για την τοπολογία γινόμενο του χώρου C των μιγαδικών συναρτήσεων f : C. Παρατηρούμε ότι, αν f : R, είναι ακολουθία συναρτήσεων και f : R συνάρτηση τότε όπως προκύπτει από την πρόταση 2.2, f f. Δηλαδή η f f f κατά σημείο επί του. f για κάθε 3) Σημαντικοί υπόχωροι του R είναι ο κύβος του Hlbert 0,, ο χώρος του Bare και το σύνολο,cator υπεραριθμήσιμο ) είναι ο κύβος το σύνολο είναι πεπερασμένο και τοπολογία γινόμενο του 0,. Σημαντικοί υπόχωροι του R ( με 0, και το γενικευμένο σύνολο Cator 0,. Αν, τότε ο R ταυτίζεται με τον R και η R είναι ίση με την ευκλείδεια τοπολογία. Το γεγονός ότι οι δύο τοπολογίες συμπίπτουν είναι φανερό γεωμετρικά όταν 2 ή 3 ( πρβλ. παράδειγμα.3 (4).) Για την γενική περίπτωση παραπέμπουμε στην παρατήρηση 2.20 (6) καθώς και στην άσκηση 6. 4) Έστω g : R R, ακολουθία συνεχών συναρτήσεων. Είναι τότε προφανής συνέπεια της πρότασης 2.0 ( β) ότι η συνάρτηση g : R R : g t g t, g t,..., g t,..., t R 2 Είναι συνεχής. Έπεται για παράδειγμα οι συναρτήσεις g t t, t,..., t,... 2,,...,,... f t t t t συνεχείς., h t t, t, t, , και t,2, e t,cos t,,,...,,... είναι

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y. 2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. Έστω (, ) και (, ) {( x, ) : x και } χώροι με νόρμα. Τότε ο διανυσματικός χώρος = ( με τις συνήθεις κατά σημείο πράξεις ) γίνεται χώρος με

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΟΓΔΟΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ. Έστω μετρικός χώρος (X, d) και A X. Ονομάζουμε εσωτερικό του A το σύνολο Ονομάζουμε σύνορο του A το σύνολο A = {x x εσωτερικό του A}. A = {x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Εισαγωγικές Ένvοιες Ι Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1

Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Διάλεξη 1 - Σημειώσεις 1 Σύνολα Πως διαβάζουμε κάποιους συμβολισμούς: ανήκει και η άρνηση, δηλαδή δεν ανήκει υπάρχει για κάθε : τέτοιο ώστε. Επίσης το σύμβολο έχει την ερμηνεία «τέτοιο ώστε» και ή υπονοεί

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x β. τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x Α. = f (x) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..3: Κανόνες Παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών

Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Function Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών Νιάχος ιονύσιος Χώροι Συναρτήσεων (Functon Spaces) Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Πατρών 2 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ UNIVERSITY OF PATRAS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα