Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Ορισμοί Κινηματική Υλικού Σημείου Δυναμική Υλικού Σημείου Κινηματική Στερεού Σώματος Δυναμική Στερεού Σώματος

4 Ορισμοί Κινηματική: υπολογισμοί κίνησης (θέσεων/ταχυτήτων) των στοιχείων ενός μηχανικού συστήματος Υπολογίζονται ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας q (Β.Ε.) του συστήματος Με τον όρο «θέση» συμπεριλαμβάνεται και η διεύθυνση Βαθμοί ελευθερίας q: ένα πιθανό σετ κινηματικών μεταβλητών που περιγράφουν πλήρως την θέση των στοιχείων ενός μηχανικού συστήματος To σετ δεν είναι μοναδικό! Μπορούν να επιλεγούν διαφορετικοί Β.Ε. Πάντα όμως ο ίδιος αριθμός Β.Ε. Δυναμική: Περιγραφή του πως εξωτερικές δυνάμεις/ροπές επιρεάζουν την κίνηση ενός μηχανικού συστήματος Νόμοι Νεύτωνα

5 Παράδειγμα: Σύστημα στρόφαλου-διωστήρα Στοιχεία: στρόφαλος, διωστήρας Θέσεις/διευθύνσεις που περιγράφουν πλήρως το σύστημα Θέση πιστονιού x Γωνία στροφάλου φ 1 Β.Ε. αρκεί να περιγράψει πλήρως το σύστημα Κινηματική Αν επιλέξω q = x x q = x, φ q = φ x Αν επιλέξω q = φ x q = x(φ), φ q = φ φ x

6 Υλικό Σημείο VS Στερεό Σώμα 2 μοντέλα για να περιγράψουμε μηχανικά εξαρτήματα Περιλαμβάνει μάζα/αδράνεια, αμελεί ελαστικότητα Υλικό σημείο: Αμελούμε τις διαστάσεις του Κάνει μόνο μεταφορική κίνηση Στερεό σώμα: Έχει διαστάσεις και κατανομή βάρους Κάνει μεταφορική και περιστροφική κίνηση Το κατάλληλο μοντέλο εξαρτάται από Είδος κίνησης Σχετικές διαστάσεις εξαρτημάτων και κίνησης

7 Κινηματική Υλικού Σημείου Ένα υλικό σημείο περιγράφεται από την θέση του r(q) Κίνηση σε 3 διάστάσεις r q = X(q) Y(q) Z(q) Τ Κίνηση σε 2 διαστάσεις r q = X(q) Y(q) Τ Κίνηση σε 1 διάσταση r q = X(q) Ένα υλικό σημείο κάνει μόνο μεταφορική κίνηση } δυναμική μηχανών Ταχύτητα υλικού σημείου P: u P q, q = X P (q) Y P (q) Z P (q) = dr P q dt = J P q P Ιακωβιανός πίνακας της r P q ως προς q

8 Δυναμική Υλικού Σημείου Νόμοι Νεύτωνα για υλικό σημείο μάζας m : Σf = l = m du dt m du dt = Σf Όπου l = m u είναι η ορμή της μάζας m, και Σf είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο υλικό σημείο Η επιτάχυνση du υπολογίζεται παραγωγίζοντας την u q, q dt H συνισταμένη των δυνάμεων Σf περιέχει εξωτερικές διεγέρσεις f(t), αντιδράσεις, δυνάμεις ελατηρίων & τριβής, κτλ Χρειάζεται προσοχή στα πρόσημα των συνιστωσών δυνάμεων!!!

9 Κινηματική Στερεού Σώματος Ενα στερεό σώμα διαφέρει σε σχέση με υλικό σημείο Έχει διαστάσεις Έχει κέντρο βάρους (Κ.Β.), συμβολίζεται G Έχει αδράνεια σε περιστροφή Μπορεί να οριστεί σωματόδετο σ.σ. Η κίνηση στερεού σώματος είναι επαλληλία μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης Η θέση κάθε σημείου του στερεού σώματος προκύπτει από την θέσης του Κ.Β. του r P r G G P ρ P

10 Κινηματική Στερεού Σώματος Η κίνηση ενός στερεού σώματος σε 3D περιγράφεται από: Την θέση r G (q) του κέντρου βάρους (Κ.Β.) Tην διεύθυνση του σώματος (3 γωνίες Euler) Σε 2D περιγράφεται από: Την θέση r G q = X G q Y G q Τ του Κ.Β. Tην διεύθυνση του σώματος θ q Σε 1D περιγράφεται είτε μόνο από X G q είτε μόνο από την διεύθυνση θ q Σε αυτό το μάθημα κινήσεις σε 1D ή 2D

11 Κινηματική Στερεού Σώματος Υπολογισμός θέσης σημείου P σε στερεό σώμα: Θέση σημείου P r P (q) = r G (q)+ρ P (q) r P r G G ρ P P Θέση Κ.Β. G [!!] τα διανύσματα r P, r G, ρ P είναι εκφρασμένο στο χωρόδετο σ.σ. ΧΥΖ Μετασχηματισμός συντεταγμένων Μερικά διανύσματα (π.χ. ρ P ) βολέβει να υπολογιστούν πρώτα στο σωματόδετο σσ xyz και μετά να μ/χ στο χωρόδετο σσ ΧΥΖ. Διάνυσμα εκφρασμένο στο χωρόδετο σσ XYZ Απόσταση σημείου P από Κ.Β. G r = L G R L r Πίνακας μετασχηματισμού Διάνυσμα εκφρασμένο στο σωματόδετο σσ xyz

12 Κινηματική Στερεού Σώματος Ο υπολογισμός ταχύτητας του σημείου P μπορεί να γίνει με 2 τρόπους 1. Παραγωγίζοντας την αναλυτική σχέση r P (q) (σε 1D, 2D): u P q = r P q = X P Y P Z P Τ 2. Παραγώγήση διανυσμάτων εκφρασμένων σε σωματόδετο σ.σ. u P q = r P q = r G q + ρ P (q) ρ P (q) = G L R q ( L ρ P (q) + L ω(q) L ρ P (q)) δυναμική μηχανών I Παράγωγος ρ P (q) εκφρασμένη στο χωρόδετο σσ XYZ Πίνακας μετασχηματισμού Παράγωγος του ρ P (q) εκφρασμένη στο σωματόδετο σσ xyz (αυτό αντιλαμβάνεται παρατηρητής στο σώμα) Διάνυσμα ρ P (q) εκφρασμένο στο σωματόδετο σσ xyz Γωνιακή ταχύτητα σώματος εκφρ. στο σωματόδετο σσ xyz

13 Κινηματική Στερεού Σώματος Σε κάθε περίπτωση, η ταχύτητα του σημείου P εκφράζεται σαν: u P q = r P q = J p (q) q Ιακωβιανός πίνακας της r P q ως προς q Υπολογισμός επιτάχυνσης σημείου P: a P q = r P q = J p q q + J p (q) Η γωνιακή ταχύτητα ω του στερεού σώματος περιγράφει τον ρυθμό αλλαγής της διεύθυνσης του Όταν ω 0 κάθε σημείο στο στερεό σώμα έχει διαφορετική ταχύτητα q

14 Κινηματική Στερεού Σώματος σε 2 Διαστάσεις Μεταφορική κίνηση στο επίπεδο XY r G (q) = X G (q) Y G (q) T Ταχύτητα Κ.Β. u G q = r G q = J G (q) q Οι άξονες Ζ (χωρόδ) & z (σωματόδ) είναι παράλληλοι Μετασχηματισμός συντεταγμένων r = G L R L r = X Y = cos(θ) sin(θ) Περιστροφική κίνηση περί του άξονα Ζ sin(θ) cos(θ) Η γωνιακή ταχύτητα ω = ω Ζ = θ Ζ είναι παράλληλη στον άξονα Ζ και μπορεί να οριστεί ως η παράγωγος της διεύθυνσης θ: ω = θ(q) = J θ (q) q Y x y y y X P x x θ

15 Δυναμική Στερεού Σώματος σε 2 Διαστάσεις Νόμοι Νεύτωνα για μεταφορική κίνηση στερεού σώματος μάζας m: Σf = l = m d r G dt m r G = Σf l = m r G είναι η ορμή του σώματος, r G = X G Y T G, και Σf = Σf X Σf T Y είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα m X G = Σf X Y G Σf Y H συνισταμένη των δυνάμεων Σf περιέχει: Εξωτερικές διεγέρσεις f(t), αντιδράσεις, δυνάμεις ελατηρίων & τριβής, κτλ Προσοχή στα πρόσημα!

16 Δυναμική Στερεού Σώματος Νόμοι Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση στερεού σώματος σε 3D : h G = Στ G Όπου h G = Ι ω είναι η στροφορμή του στερεού σώματος ως προς το Κ.Β. του, και Στ G είναι η συνισταμένη ροπών ως προς το Κ.Β. του Σε 2D κίνηση οι εξισώσεις απλοποιούνται: dω z I z dt = Στ G,Ζ I z θ = Στ G,Ζ I z είναι η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα Z Στ G,Ζ η συνισταμένη των ροπών ως προς το Κ.Β. λόγω των N t ροπών τ i & των N f δυνάμεων f j (ασκούνται στις θέσεις ρ fj από το Κ.Β.) που ασκούνται στο σώμα Στ G,Ζ = N t τ i + i=1 N f (ρ fj f j ) e Z j=1 δυναμική μηχανών I Μοναδιαίο διάνυσμα Ζ

17 Αριθμός Β.Ε. Αριθμός Στερεών/Σημείων Η κίνηση ενός στερεού σώματος σε 2D περιγράφεται από έως και 3 μεταβλήτές (X G, Y G, θ) Η κίνηση ενός υλικού σημείου σε 2D περιγράφεται από έως και 2 μεταβλήτές (Χ, Y) Η ύπαρξη περιορισμών (άρθρωση, πάκτωση κτλ) μειώνει τον αριθμό των B.E. που απαιτείται για να περιγραφεί η κίνηση ενός συστήματος σωμάτων 1 υλικό σημείο Απαιτούνται 2 Β.Ε. 3 στερεά σώματα Απαιτείται 1 Β.Ε.

18 Αντιδράσεις Για κάθε περιορισμό που εμποδίζει κάποια κίνηση, αντιστοιχεί μια (άγνωστη) αντίδραση Εμπόδια στην μεταφορική κίνηση κατά άξονα X δύναμη f X (αντίδραση) Εμπόδιο στην περιστροφική κίνηση κατά άξονα Z ροπή τ z (αντίδραση) Οδηγός επιτρέπει κίνηση μόνο κατά Y λόγω αντιδράσεων f X1, τ z Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X2, f Y2 Y X Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X3, f Y3 Άρθρωση επιτρέπει μόνο σχετική περιστροφή κατά Ζ λόγω αντιδράσεων f X4, f Y4

19 Αντιδράσεις στο σύστημα εκκέντρου-στροφάλου-διωστήρα Αντιδράσεις f Y2 f Y3 f X1 τ z f X2 f X3 f X2 100 mm f Y2 f X3 f X4 f Y3 f Y4

20 Παράδειγμα