ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΠΟ ΤΟ 20 ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100

Transcript

1 ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΠΟ ΤΟ 20 ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 Τα τελευταία είκοσι χρόνια στη βιβλιογραφία της έρευνας για τη διδασκαλία των μαθηματικών παρουσιάστηκαν πολλές προσπάθειες οργάνωσης των διάφορων στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές σε προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 100 (Beishuizen, 1985, 1993; Blote, Klein, & Beishuizen, 2000; Cooper, Fuson, 1992, Heirdsfield, & Irons, 1996; Reys, Reys, Nohda, Ishida, Yoshikawa, & Shimizu, 1991; Thompson & Smith, 1999). Μια σύνθεση αυτών των στρατηγικών παρουσιάζουμε στον πίνακα 1. Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς από το 20 μέχρι το 100 Ο Beishuizen (1985) παρουσιάζει μια κατηγοριοποίηση των στρατηγικών, στην οποία περιγράφει δύο κύριες στρατηγικές για τις νοερές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Η πρώτη είναι η στρατηγική του διαχωρισμού (1010), κατά την οποία χωρίζουμε τους δύο όρους της πράξης σε μονάδες και δεκάδες και τις προσθέτουμε μεταξύ τους (π.χ (40+3)+(20+6) (40+20)+(3+6) 60+9=69). Η δεύτερη είναι η στρατηγική της συσσώρευσης (Ν10), όπου κρατούμε σταθερό τον ένα όρο και προσθέτουμε σε αυτόν διαδοχικά τις δεκάδες και τις μονάδες του άλλου όρου (π.χ = =69). Ερευνητές από όλο τον κόσμο, όπως οι Fuson (1992) και Cobb (1995) στις ΗΠΑ, οι Radatz και Schipper (1988) στη Γερμανία και οι Thompson (1994) και Deboys and Pitt (1995) στην Αγγλία, δέχονται όλοι αυτόν το διαχωρισμό σε δύο τύπους στρατηγικών. Αυτές οι δύο μέθοδοι (1010 και Ν10) θεωρητικά και εμπειρικά συνδέονται με δύο θεμελιωδώς διαφορετικές προσεγγίσεις των αριθμητικών πράξεων. Η μέθοδος του διαχωρισμού (1010) αναφέρεται στη δομή του δεκαδικού συστήματος (χωρισμός του αριθμού σε μονάδες και δεκάδες) και η μέθοδος της συσσώρευσης (Ν10) στη διαδοχική προσέγγιση του αριθμού με την αρίθμηση (Fuson, 1992; Lawler, 1990). Οι Beishuizen, Van Putten, and Van Mulken (1997) επέκτειναν τη λίστα συμπεριλαμβάνοντας και τη στρατηγική πέρασμα από το 10 (Α10), σύμφωνα με την οποία ο δεύτερος όρος της πράξης χωρίζεται σε δύο μέρη, τέτοια ώστε η πρόσθεση ή η αφαίρεση του πρώτου όρου με το ένα μέρος του δεύτερου όρου να δίνει ένα πολλαπλάσιο του δέκα (π.χ = =74). Σε μια επόμενη δημοσίευση οι Klein, Beishuizen, and Treffers (1998) παρουσιάζουν μια άλλη στρατηγική, που την ονομάζουν αντιστάθμιση N10C, όπου ο ένας όρος της πράξης στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο πολλαπλάσιο του δέκα και το αποτέλεσμα επιδιορθώνεται ή αντισταθμίζεται από την στρογγυλοποίηση (π.χ = =74). Ο Yackel (2001) περιγράφει λύσεις που βασίζονται στις συλλογές ( collectionsbased ), όπου και οι δύο αριθμοί διαχωρίζονται σε μέρη, συνήθως σε δεκάδες και μονάδες (όπως η 1010), και στρατηγικές που βασίζονται στην αρίθμηση ή στη διαδοχή ( counting or sequence based ), που ξεκινούν με τον έναν αριθμό και συνδέονται με τον άλλον προοδευτικά, κομμάτι με κομμάτι (παρόμοια με την Ν10).

2 Στρατηγική Στρατηγική διαχωρισμού (1010) Στρατηγική συσσώρευσης (N10) Πέρασμα από τα πολλαπλάσια του 10 (Α10) Μικτή στρατηγική διαχωρισμού και συσσώρευσης (10S) Ολιστικές στρατηγικές Αφαίρεση με πρόσθεση (SA) Μόνο για αφαιρέσεις Έμεση Αφαίρεση (IS) Μόνο για αφαιρέσεις 7 Αρίθμηση 8 Νοητική εικόνα του αλγορίθμου με μολύβι και χαρτί Αντιστάθμιση (Ν10C) Εξισορρόπησ η Με μονάδες Με δεκάδες ή άλλους αριθμούς Παραδείγματα Πρόσθεση (38+25) Αφαίρεση (63-25) : = 13, = 50, : = 43, = : = 40, = : = 50, 50+8=58, 58+5= : = 65, 65-2 = : 13-5 = 8, = 30, 38 = 60, : 63-5 = 58, = 38 (subtractive) 63-25: = 33, = 63, 38 (additive) 63-25: 63-3 = 60, = 40, 40-2=38 (subtractive) 63-25: = 30, = 63, 38 (additive) 63-25: = 40, = 43, 43-5 = : = 33, = : = : = : 38, 39, 40, : 38+10=48, 48+10=58, 58+5= : 25+5= = = = : 63-3= = = = : 63, 62, 60, 63-25: 63-10=53, 53-10=43, 43-5=38 Σκέφτονται και εκτελούν νοερά τη μέθοδο του τυπικού γραπτού αλγορίθμου Πίνακας 1: Στρατηγικές πρόσθεσης και αφαίρεσης με αριθμούς μέχρι το 100

3 1) Στρατηγική διαχωρισμού (1010). Στην Ελλάδα, αλλά και σε άλλες χώρες, όπως η Αγγλία, η πιο κοινή στρατηγική πρόσθεσης είναι η μέθοδος διαχωρισμού (split method). Αποκαλείται έτσι επειδή οι αριθμοί που προστίθενται ή που αφαιρούνται διαχωρίζονται σε πολλαπλάσια του δέκα και στις μονάδες. Αυτή η στρατηγική καλείται μερικές φορές μέθοδος χωρισμού (partitioning method). Στην Ολλανδία η μέθοδος αυτή ονομάζεται με τη συντομογραφία 1010 (δέκα-δέκα) διαδικασία. Ζωή γιατί 30 και 20 κάνουν τέσσερα και πέντε... εννιά 50 και εννιά κάνει 59. Εδώ η Ζωή χρησιμοποιεί τη στρατηγική του διαχωρισμού. Χώρισε το 34 σε 30 και 4, χώρισε το 25 σε 20 και 5, πρόσθεσε μαζί τα δύο πολλαπλάσια του δέκα (30 και 20), πρόσθεσε το 4 και το 5 και τέλος πρόσθεσε μαζί τα δύο υποαθροίσματα (50 και 9), για να πάρει τη σωστή απάντηση 59. Στη στρατηγική αυτή μπορούμε να διακρίνουμε δύο υποκατηγορίες και να χρησιμοποιήσουμε τους εξής όρους: Διαχωρισμός από δεξιά στα αριστερά (u-1010) ή Διαχωρισμός Μονάδες Δεκάδες. Οι μαθητές ξεκινούν από τα δεξιά προς τα αριστερά και πρώτα προσθέτουν τις μονάδες και μετά τις δεκάδες: Στο άθροισμα , βρίσκουν πρώτα το = 13 και μετά υπολογίζουν = 50 και τέλος αθροίζουν 13 και 50 για να βρουν το 63. Διαχωρισμός από αριστερά στα δεξιά (1010) ή Διαχωρισμός Δεκάδες Μονάδες. Εδώ ξεκινούν από αριστερά προς τα δεξιά και αθροίζουν πρώτα τις δεκάδες και μετά τις μονάδες: Στο άθροισμα , βρίσκουν πρώτα το = 50 και μετά υπολογίζουν = 13 και τέλος αθροίζουν 50 και 13 για να βρουν το 63. Στην αφαίρεση η στρατηγική αυτή του διαχωρισμού δεν είναι τόσο βολική όταν στον αφαιρετέο ο αριθμός των μονάδων είναι μεγαλύτερος από αυτόν του μειωτέου, δηλαδή χρειάζεται να δανειστούμε. Για παράδειγμα, στην αφαίρεση 43-25, λέμε 13-5=8, 30-20=10, άρα 18. Ενώ στην αφαίρεση που δεν υπάρχει θέμα δανεισμού, η στρατηγική αυτή εφαρμόζεται πιο απλά, 40-20=20, 7-3=4, 20+4=24. 2) Στρατηγική συσσώρευσης (N10). Συναντιέται λιγότερο στην εκπαίδευση της Ελλάδας και της Αγγλίας από ό,τι η προηγούμενη στρατηγική. Δίνεται, όμως, πολλή έμφαση σε αυτήν και διδάσκεται πρώτη στην Ολλανδία. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, κρατούμε σταθερό τον πρώτο όρο, διασπούμε τον δεύτερο όρο σε μονάδες και δεκάδες και προσθέτουμε ή αφαιρούμε διαδοχικά από τον πρώτο όρο τις μονάδες και τις δεκάδες. Ανδρέας Βγάζω 5 από το 63 και μου μένουν 58 από το 58 βγάζω 20 και έχω 38 είναι 38. Εναλλακτικές ονομασίες για αυτήν την στρατηγική στη βιβλιογραφία είναι διαδοχικές μέθοδοι (sequencing methods) ή στην Ολλανδία όπου παρουσιάζεται με

4 την συντομογραφία N10, μέθοδος άλματος (jump method). Στη στρατηγική αυτή δίνεται το όνομα άλμα επειδή μπορεί να αναπαρασταθεί εύκολα -εμπειρικά ή νοητικά- σε μια αριθμογραμμή, όπου αρχίζεις από έναν αριθμό και κινείσαι προς την απάντηση με άλμα επάνω στη γραμμή, προσθέτοντας ή αφαιρώντας κατάλληλα μέρη του δεύτερου αριθμού, όπως κάνει η Ελένη παρακάτω (σχήμα 2.3). Ελένη Πήρα 20 τα έβγαλα από για να πάρω και πήρα τρία από 23 που γίνονται και έβγαλα άλλα τέσσερα για να πάρω 16 Εικόνα 2.3: Η στρατηγική Ν10 στην αριθμογραμμή Στη στρατηγική αυτή μπορούμε να διακρίνουμε τις παρακάτω δύο υποκατηγορίες: Στρατηγική συσσώρευσης με μονάδες δεκάδες (u-n10). Στον πρώτο όρο πρώτα προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις μονάδες και μετά τις δεκάδες. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση , στο 38 προσθέτουμε το 5 ( = 43) και στο 43 προσθέτουμε το 20 ( = 63). Στρατηγική συσσώρευσης με δεκάδες μονάδες. Στον πρώτο όρο πρώτα προσθέτουμε ή αφαιρούμε τις δεκάδες και μετά τις μονάδες. Για παράδειγμα, στην αφαίρεση 63 25, από το 63 αφαιρούμε το 20 (63-20 = 43) και από το 43 αφαιρούμε το 5 (43-5 = 38). 2.1) Πέρασμα από το 10 (Α10). Η στρατηγική αυτή μπορεί να θεωρηθεί υποκατηγορία της συσσωρευτικής στρατηγικής (Ν10) ή ανεξάρτητη στρατηγική. Οι Ολλανδοί την ονομάζουν με την συντομογραφία Α10. Είναι μια στρατηγική που χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην πράξη, όταν κάνουμε νοερούς υπολογισμούς. Όπως στη στρατηγική συσσώρευσης, κρατούμε σταθερό τον πρώτο όρο και προσθέτουμε ή αφαιρούμε μέρη από τον δεύτερο όρο. Η ιδιαιτερότητα είναι ότι προσθέτουμε ή αφαιρούμε στον πρώτο όρο έναν τέτοιο αριθμό από τον δεύτερο, ώστε να φτάσει στην πλησιέστερη δεκάδα, γι αυτό και ονομάζεται πέρασμα από το 10. Δανάη Κρατώ τα 38 και προσθέτω 2 για να γίνουν 40 τώρα από τα 25 έμειναν που είχα και 23 είναι 63. 3) Μικτή στρατηγική διαχωρισμού και συσσώρευσης (10S). Πολλοί την ονομάζουν μέθοδο διαχωρισμού-άλματος (split-jump method) ή μικτή μέθοδο ή, στην

5 Ολλανδία, μέθοδο 10S. Πρόκειται για έναν συνδυασμό της στρατηγικής διαχωρισμού και συσσώρευσης. Βαγγέλης , επειδή, ξέρετε, έκανα 30 και 20 είναι και 58 και ένα άλλο δύο από τα πέντε είναι και έχω τρία δεξιά, έτσι 63. Σε αυτήν την περίπτωση ο Βαγγέλης χωρίζει και τους δύο αριθμούς: 38=30+8 και 25=20+5, προσθέτει 30+20=50, προσθέτει το 8 (ο μεγαλύτερος των δύο μονάδων) στο 50, (50+8=58) και προσθέτει άλλα δύο 58+2=60, για να φτάσει στις δεκάδες. Τέλος, προσθέτει και τα υπόλοιπα 3: 60+3=63. 4) Ολιστικές στρατηγικές. Αυτές οι στρατηγικές ονομάζονται ολιστικές γιατί οι αριθμοί χρησιμοποιούνται με έναν ολιστικό τρόπο, ονομάζονται επίσης και κοντά στα πολλαπλάσια του δέκα, γιατί εφαρμόζονται συνήθως για αριθμούς που είναι κοντά στα πολλαπλάσια του δέκα. Η μέθοδος αυτή απαιτεί σύνθετους νοητικούς χειρισμούς και η χρήση της από τους μαθητές είναι συνήθως ένδειξη ευελιξίας για τον μαθητή. Ευέλικτος είναι ο μαθητής ο οποίος μπορεί να επιλέγει και να εφαρμόζει σωστά την κατάλληλη στρατηγική, σύμφωνα με τους αριθμούς που έχει μια πράξη. Με βάση τη στρατηγική αυτή οι μαθητές κάνουν προσθαφαιρέσεις στους όρους της πράξης, έτσι ώστε να προκύψουν αριθμοί οι οποίοι να μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν πιο εύκολα. Οι ολιστικές στρατηγικές χωρίζεται σε δύο υποκατηγορίες: Στρατηγική αντιστάθμισης (N10C). Για τη στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται από τους Ολλανδούς η συντομογραφία N10C, διότι μπορεί να θεωρηθεί ως μια στρατηγική συσσώρευσης (Ν10) που κινείται στην πλησιέστερη δεκάδα. Η στρατηγική αντιστάθμισης (compensation) χρησιμοποιείται παρακάτω από τον Νίκο. Νίκος και 25 θα ήταν αν βγάλουμε δύο μας δίνουν 63. Βλέπουμε εδώ ο Νίκος ξεκινάει με το 38 και το στρογγυλοποιεί στην πλησιέστερη δεκάδα, που είναι το 40. Έτσι μπορεί να κάνει εύκολα την πρόσθεση 40+25=65, αλλά στο τέλος αφαιρεί τον αριθμό που πρόσθεσε για να στρογγυλοποιήσει, δηλαδή το δύο 65-2=63. Στρατηγική εξισορρόπησης. Η στρατηγική αυτή μοιάζει με την προηγούμενη, διαφέρει όμως στο εξής: ό,τι προσθαφαιρούμε στον πρώτο όρο της πράξης, το προσθαφαιρούμε και στον δεύτερο όρο, ώστε οι δύο παρεμβάσεις να αλληλοεξουδετερώνονται και να έχουμε τελικό αποτέλεσμα μηδέν ή ισορροπία (α+β=γ (α-ν)+(β+ν)=γ). Αυγή: κάνω 40 το 38 και 23 το 25 και έχω 40 και 23 ίσον 63 Η Αυγή στρογγυλοποιεί το 38 στην πλησιέστερη δεκάδα, το 40, προσθέτοντας το δύο, αλλά αυτό το δύο το αφαιρεί από το 25 και γίνεται 23. Έτσι, προσθέτει 40 και 23 και βρίσκει το 63.

6 5) Αφαίρεση με πρόσθεση (SA). This strategy is only applied to subtractions. Subtraction by addition, as it was used by Peters, De Smedt et al., (2013), is performed by adding on from the subtrahend until getting to the minuend. Here is an example 63-25=?, 25+5=30, 30+30=60, 60+3=63, so the answer is =38. Several authors referred subtraction by addition using different terms but similar terms. For example, Beishuizen (1997) used the terms solving subtractions by means of addition. Selter (2001) used the term the adding-up or completion strategy. Blöte et al. (2000, 2001) used the term the short jump strategy, while Torbeyns, De Smedt et al., (2009) called this strategy indirect addition. 6) Έμεση Αφαίρεση (IS). This strategy only applies to subtractions, as well. Indirect subtraction is executed by subtracting from the minuend until getting to the subtrahend, for example, 63-25=?, 63-3=60, 60-30=30, 30-5=25, so the answer is =38 (De Corte & Verschaffel, 1987, p.123). This strategy seems to be more effective when there is a small difference between the subtraction values (e.g., 42-39=?). Previous studies concluded that the indirect subtraction has been very rarely or not at all used (Beishuizen, Van Putten, & Van Mulken, 1997; Torbeyns, De Smedt, Ghesquière, & Verschaffel, 2009) 7) Αρίθμηση. Εδώ οι μαθητές μετρούν βήμα-βήμα με βάση την ακολουθία των αριθμών, ξεκινούν από τον πρώτο όρο και ανεβαίνουν (πρόσθεση) ή κατεβαίνουν (αφαίρεση) τόσα βήματα όσα δείχνει ο δεύτερος όρος της πράξης. Η αρίθμηση είναι μια βασική μέθοδος που μαθαίνεται στην πρώτη σχολική ηλικία, αλλά όταν χρησιμοποιείται όψιμα δείχνει αδυναμία στην εκτέλεση νοερών πράξεων. Η στρατηγική αυτή χωρίζεται σε δύο υποκατηγορίες, ανάλογα με το αν οι μαθητές χρησιμοποιούν μονάδες ή δεκάδες στην αρίθμηση: Αρίθμηση με μονάδες. Ξεκινώντας από τον έναν όρο, συνήθως τον μεγαλύτερο, ανεβαίνουν ή κατεβαίνουν ένα ένα τόσα βήματα όσα είναι ο άλλος όρος. Άννα είπα 38 και ένα 39 40, 41, 42,, 63 Αρίθμηση με δεκάδες. Ξεκινώντας από τον έναν όρο, ανεβαίνουν ή κατεβαίνουν ανά δέκα ή άλλους αριθμούς, σύμφωνα με τον τρόπο που αναλύουν τον άλλον όρο της πράξης. Χρήστος σκέφτηκα 63 βγάζω 10, 53, βγάζω άλλα 10, 43 βγάζω 3, 40, βγάζω 2, 38. Εδώ ο Χρήστος ξεκινά από τον πρώτο όρο, το 63, στην αρχή κατεβαίνει ανά 10 και στη συνέχεια ανά 3 και 2. Αναλύει, δηλαδή, τον αριθμό 25 σε

7 6) Νοητική αναπαράσταση του τυπικού αλγορίθμου. Εδώ χρησιμοποιείται νοερά η μέθοδος του τυπικού γραπτού αλγορίθμου της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης. Δηλαδή, τοποθετούν τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλον, όπως στο χαρτί, και εκτελούν την πράξη, από δεξιά προς τα αριστερά. Αλίκη είπα 8 και 5 κάνει 13 τρία και ένα το κρατούμενο... ένα και δύο, τρία και τρία 6 άρα 63.