ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΟΝΟΜΑ ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΑΡΒΑΝΙΤΟΓΕΩΡΓΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΠΑΤΡΑ

2 Στα παιδιά μου Κωνσταντίνο Βικτώρια Θεοδώρα

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η διπλωματική εργασία που ακολουθεί έχει εκπονηθεί στα πλαίσια του προγράμματος << Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά >> της Σχολής Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου. Η δομή της εργασίας στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στο βιβλίο του Anrew Pressley Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία το οποίο αποτέλεσε μαζί με τα βιβλία των Δ. Κουτρουφιώτη [] και Θ. Χασάνη [] τον βασικό οδηγό μελέτης των γεωδαισιακών καμπυλών και επιφανειών ελάχιστης έκτασης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Ανδρέα Αρβανιτογεώργο για την συνεχή καθοδήγηση και συμπαράσταση καθ όλη την διάρκεια εκπόνησης της εργασίας μου. Επιπλέον ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Μιχάλη Ανούση για την τιμή που μου έκανε να είναι μέλος της επιτροπής. Μάιος Γ. Π

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΚΑΜΠΥΛΕΣ. Καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο 6. Μήκος Καμπύλης..... Αναπαραμέτρηση καμπύλης....4 Καμπυλότητα και στέψη 6. ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. Επιφάνειες 4. Εφαπτόμενο επίπεδο Καμπύλες σε επιφάνεια Κάθετο διάνυσμα. 6. Πρώτη θεμελιώδης μορφή Μήκος καμπύλης επιφάνειας Εμβαδόν επιφάνειας Οι απεικονίσεις ss και Weinren Δεύτερη θεμελιώδης μορφή.9.5 Καμπυλότητας ss και μέση καμπυλότητα.44.6 Ευθειογενείς επιφάνειες και επιφάνειες εκ περιστροφής 48. ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ. Κάθετη και γεωδαισιακή καμπυλότητα 54. Γεωδαισιακές...6. Γεωδαισιακές εξισώσεις.68.4 Γεωδαισιακές επιφανειών εκ περιστροφής Οι γεωδαισιακές ως καμπύλες ελάχιστου μήκους ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4. Το πρόβλημα του Ple 8 4. Παραδείγματα επιφανειών ελάχιστης έκτασης Η απεικόνιση ss ελαχιστικής επιφάνειας...9

5 5. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 5. Λογισμός μεταβολών Λογισμός μεταβολών σε μια μεταβλητή Γεωδαισιακές Λογισμός μεταβολών με δυο μεταβλητές Επιφάνειες ελάχιστης έκτασης. 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.....5

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο στόχος της εργασίας είναι η μελέτη των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια καθώς και των επιφανειών με δεδομένο σύνορο οι οποίες έχουν το ελάχιστο δυνατό εμβαδό. Γίνεται σύνδεση των παραπάνω στόχων με το λογισμό μεταβολών και παρουσιάζονται διάφορα παραδείγματα. Συγκεκριμένα στο Κεφάλαιο αναφέρουμε κάποια βασικά στοιχεία διαφορικής γεωμετρίας για την μελέτη καμπυλών όπως το μήκος μιας καμπύλης η καμπυλότητα η στρέψη και το πλαίσιο Serre rene. Στο Κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες διαφορικής γεωμετρίας από την τοπική θεωρία επιφανειών όπως η πρώτη και δεύτερη θεμελιώδης μορφή το μήκος επιφανειακής καμπύλης η γωνία δυο επιφανειακών καμπυλών και το εμβαδόν επιφάνειας. Επίσης παρουσιάζονται έννοιες που έχουν να κάνουν με την κυρτότητα μιας επιφάνειας όπως η απεικόνιση ss η απεικόνιση Weinren η καμπυλότητα ss και η μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας. Στο Κεφάλαιο γίνεται η μελέτη των γεωδαισιακών καμπυλών. Οι γεωδαισιακές καμπύλες προσεγγίζονται με δυο τρόπους: α Ως οι πιο ίσιες καμπύλες δηλαδή οι καμπύλες στις οποίες το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι μηδέν και β Ως οι καμπύλες που ελαχιστοποιούν τοπικά το μήκος. Στην πρώτη περίπτωση παρουσιάζονται οι γεωδαισιακές καμπύλες και οι ιδιότητες αυτών μέσα από θεωρήματα εύρεσης γεωδαισιακών καμπυλών γεωδαισιακές εξισώσεις αλλά και με παραδείγματα που έχουν να κάνουν με γεωμετρικά επιχειρήματα. Στην δεύτερη περίπτωση γίνεται η σύνδεση και η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών μέσα από την θεωρία του λογισμού των μεταβολών. Στο Κεφάλαιο 4 μελετώνται οι επιφάνειες ελάχιστης έκτασης. Συγκεκριμένα με την βοήθεια του λογισμού μεταβολών εξετάζουμε το πρόβλημα του Ple και δίνονται παραδείγματα επιφανειών ελάχιστης έκτασης. Για την καλύτερη ανάγνωση της εργασίας στο Κεφάλαιο 5 Παράρτημα παραθέτουμε κάποια στοιχεία λογισμού μεταβολών σε επιφάνειες. 4

7 ABSTRACT The im o his wor is o sy eoesics crves on srce n miniml srces. Connecions re iven wih clcls o vriions severl exmples re presene. In Chper we menion some sic conceps ierenil eomery o crves sch s he lenh o crve crvre orsion n he Serre rene rme. In Chper we presen sic conceps locl heory o srces or exmple he irs n secon nmenl orm he lenh o srce crve he nle o wo srce crves n he srce re. We lso presen he concep o ss crvre Weinren mp n he men crvre. In Chper we sy o eoesic on srce. The pproch is iven in wo wys: he srihes crves h is crves in which he ccelerion vecor is zero n s he crves wih he minimm lenh loclly. In he Chper 4 we sy miniml srces. We se clcls o vriions o sy Ple s prolem n we ive exmples o miniml srces. inlly in Chper 5 Appenix we ive some elemens o clcls vriions on srces. 5

8 ΚΑΜΠΥΛΕΣ. ΚΑΜΠΥΛΕΣ. Καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο Στην αναλυτική γεωμετρία λέγοντας καμπύλη εννοούμε ένα σύνολο Χ από σημεία του χώρου ή του επιπέδου που ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα μπορεί να είναι ο γεωμετρικός τόπος σημείων που ικανοποιούν μια συγκεκριμένη ιδιότητα κύκλος έλλειψη το γράφημα μιας συνάρτησης : R R κ.ο.κ. Όλες αυτές οι καμπύλες περιγράφονται από την καρτεσιανή τους εξίσωση x y c άξονας όπου συνάρτηση των x y και c είναι σταθερά. Όμως μπορούμε να θεωρήσουμε και καμπύλες στον x του R για παράδειγμα ο R είναι η ευθεία που περιγράφεται από τις εξισώσεις y z. Γενικότερα μια καμπύλη του R μπορεί να περιγραφεί από ένα ζεύγος εξισώσεων x y z c x y z c. Καμπύλες αυτού του είδους καλούνται καμπύλες στάθμης. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος για να ορίσουμε τις καμπύλες ο οποίος με την βοήθεια του διαφορικού λογισμού αποδεικνύεται συχνά πιο χρήσιμος. Κατά τον τρόπο αυτό μια καμπύλη θεωρείται ως ο δρόμος που χαράσσεται από ένα κινούμενο σημείο. Έτσι αν είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου στο χρόνο τότε η αντίστοιχη καμπύλη περιγράφεται από μια συνάρτηση της παραμέτρου. Σε κάθε χρονική στιγμή η κίνηση περιγράφεται από την: R I Δηλαδή η είναι μια συνάρτηση : I R ή : I R ανάλογα αν πρόκειται για επίπεδη καμπύλη ή για καμπύλη στο χώρο ενώ οι συναρτήσεις είναι οι ευκλείδειες συναρτήσεις συντεταγμένων τους. Επισημαίνουμε εδώ ότι πρέπει να διακρίνουμε το σύνολο σημείων του R από την καμπύλη : I R. Το σύνολο I ή τροχιά της. Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό: I σύνολο λέγεται εικόνα 6

9 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Ορισμός.. Μια παραμετρημένη καμπύλη στο χώρο prmerize crve ή απλώς καμπύλη στο χώρο είναι μια συνεχής απεικόνιση όπου : I R είναι τέτοια ώστε. Ο όρος παραμετρημένη σημαίνει ότι η καμπύλη περιγράφεται με την βοήθεια μιας μεταβλητής. Στην συνέχεια παραθέτω δυο παραδείγματα που μας δείχνουν πώς περνάμε από τις καμπύλες στάθμης σε παραμετρημένες καμπύλες. Παράδειγμα.. Θα βρούμε μια παραμέτρηση της παραβολής Έστω τότε θα πρέπει y x. για κάθε ορίζεται η ακόμη δεν έχει προσδιοριστεί το διάστημα. όπου Υπάρχει μια προφανής λύση της εξίσωσης. Αν τότε δηλαδή. Για να πάρουμε κάθε σημείο πάνω στην παραβολή πρέπει να επιτρέψουμε το να πάρει κάθε πραγματική τιμή αφού η τετμημένη της είναι και η τετμημένη κάθε σημείου της παραβολής μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Άρα I δηλαδή : R R με. Παράδειγμα.. Κυκλοειδής καμπύλη Η κυκλοειδής καμπύλη είναι το ίχνος που διαγράφει ένα σημείο της περιφέρειας ενός κύκλου όταν αυτός κυλά χωρίς να γλιστρά πάνω σε μια ευθεία. Θα δείξουμε ότι αν η ευθεία είναι ο άξονας x και ο κύκλος έχει ακτίνα τότε η κυκλοειδής επιδέχεται την παραμέτρηση sin cos Έστω ότι το σημείο Α από την αρχική θέση στο O μετακινείται στην θέση A x y οπότε το κέντρο του K θα μετακινηθεί κατά ένα μήκος c 7

10 ΚΑΜΠΥΛΕΣ και θα έρθει στο σημείο c K όπως φαίνεται στο σχήμα.. Σχήμα. Τότε στον άξονα x x ακουμπά το σημείο B και το τόξο AB έχει μήκος c. Συμβολίζουμε με A και A τις προβολές του A στις ευθείες K B και KK οπότε είναι: x OB AA sin sin y OK AA cos cos Συνεπώς η κυκλοειδής περιγράφεται από την παραμέτρηση sin cos. Ορισμός..4 Μια καμπύλη : I R λέγεται λεία εάν υπάρχουν οι παράγωγοι κάθε συνιστώσας της. Δηλαδή εάν όλες οι παράγωγοι i i... i. υπάρχουν για Παρατήρηση..5 i. Μια λεία καμπύλη θα την λέμε κλάσης C ii. iii. Μια καμπύλη κλάσης Για μια καμπύλη C είναι μια συνεχής απεικόνιση : I R το είναι το : I R διάνυσμα θέσης ενός σημείου που κινείται στην τροχιά I της. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι μια καμπύλη δεν είναι μόνο η 8

11 ΚΑΜΠΥΛΕΣ εικόνα I του διαστήματος I στο χώρο αλλά εμπεριέχει και έναν τρόπο διαδρομής κατά μήκος της εικόνας αυτής δηλαδή μια διεύθυνση και μια ταχύτητα όταν το μεταβάλλεται. Η ταχύτητα και η διεύθυνση της διαδρομής προσδιορίζονται για κάθε από την παράγωγο την νέα διανυσματική συνάρτηση. Γεωμετρικά το είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο. Πράγματι: lim Το διάνυσμα έχει αρχή το σημείο και πέρας το σημείο. Όταν τότε η ευθεία τείνει να γίνει εφαπτόμενη της καμπύλης στο με διεύθυνση το μοναδιαίο διάνυσμα εφόσον βέβαια. Για να έχει η καμπύλη σε κάθε σημείο μια καθορισμένη εφαπτόμενη διεύθυνση θα πρέπει. I Ο Σχήμα. Ορισμός..6 Έστω : I R τουλάχιστον. Για κάθε μια καμπύλη κλάσης I το διάνυσμα λέγεται εφαπτόμενο διάνυσμα της στο ή στο σημείο. C Παρακινούμενοι από την κινηματική του υλικού σημείου ονομάζουμε το 9

12 ΚΑΜΠΥΛΕΣ διάνυσμα στο I. διάνυσμα επιτάχυνσης της καμπύλης Ορισμός..7 Μια καμπύλη λέγεται κανονική εάν για όλα τα σημεία της. Παράδειγμα..8 Οι καμπύλες : R R : R R : R R : R R R R R R την διαγώνιο του Έχουν την ίδια εικόνα R R. R Όμως Σχήμα. και και - Η είναι διαφορίσιμη με O όπου - Η δεν είναι διαφορίσιμη. Παρατηρούμε δηλαδή ότι η ίδια καμπύλη αλλά υπάρχει ένα σημείο το δηλαδή δεν είναι κανονική. R μπορεί να περιγραφεί ως εικόνα διαφορετικών παραμετρημένων καμπυλών και δεύτερον η ανυπαρξία παραγώγων ή ο μηδενισμός τους για μια παραμέτρηση δεν συνδέεται κατ ανάγκη με κάποια ανωμαλία στο σχήμα της.

13 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Πρόταση..9 Εάν το εφαπτόμενο διάνυσμα μιας παραμετρημένης καμπύλης είναι σταθερό η εικόνα της καμπύλης είναι τμήμα ευθείας. Απόδειξη Εάν όπου ένα σταθερό διάνυσμα τότε ολοκληρώνοντας τις συνιστώσες συναρτήσεις έχουμε: όπου ένα σταθερό διάνυσμα. Εάν η παραπάνω εξίσωση αποτελεί παραμέτρηση ευθείας παράλληλης με το και διερχόμενης από το σημείο με διάνυσμα θέσης. Ο Σχήμα.4. Μήκος Καμπύλης Έστω ότι το πεδίο ορισμού της είναι το συμπαγές διάστημα μια υποδιαίρεση του. Θέτω Y mx i i i.... Έστω το οποίο μετρά το πόσο λεπτή είναι η υποδιαίρεση Y i του... i i i.... Θεωρούμε τώρα τα σημεία της καμπύλης και τα συνδέουμε με ευθύγραμμα τμήματα. Έτσι αποκτούμε ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο στο τμήμα της καμπύλης μεταξύ των σημείων και. Έστω n Y η ακολουθία υποδιαιρέσεων του που πληροί την συνθήκη

14 ΚΑΜΠΥΛΕΣ lim Y και L n το μήκος των αντίστοιχων εγγεγραμμένων πολυγώνων. Στον n n διαφορικό λογισμό αποδεικνύεται ότι αν η είναι κλάσης C τότε υπάρχει το όριο L lim L είναι ανεξάρτητο της υποδιαίρεσης και είναι πεπερασμένος n n αριθμός. Ο αριθμός αυτός είναι καμπύλης μεταξύ των σημείων και. L και τον ονομάζουμε μήκος της i Σχήμα.5 Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός.. Το μήκος τόξου μιας καμπύλης από το σημείο στο σημείο είναι η συνάρτηση s η οποία δίνεται από την s. Αν s το μήκος τόξου με αρχή το και s το μήκος του τόξου με αρχή το τότε αυτά διαφέρουν κατά μια σταθερά αφού: s s Επιπλέον το μήκος τόξου είναι διαφορίσιμη συνάρτηση αφού: s. Ορισμός.. Έστω : R είναι μια παραμετρημένη καμπύλη. Η ταχύτητα στο σημείο είναι και η καλείται καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας εάν

15 ΚΑΜΠΥΛΕΣ το είναι μοναδιαίο για κάθε. Από εδώ και στο εξής θα συμβολίζουμε με όλες τις καμπύλες μοναδιαίας ταχύτητας. Πολλοί από τους τύπους και τα αποτελέσματα που θα δούμε παρακάτω παίρνουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή όταν η καμπύλη είναι μοναδιαίας ταχύτητας. Πρόταση.. Έστω να είναι μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη τότε το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι είτε μηδενικό είτε κάθετο στο. Απόδειξη Η είναι μοναδιαίας ταχύτητας άρα Παραγωγίζοντας έχω: άρα ή.. Αναπαραμέτρηση καμπύλης Είδαμε στο Παράδειγμα..8 ότι μια καμπύλη επιδέχεται πολλές παραμετρήσεις. Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της αναπαραμέτρησης μιας καμπύλης. Ορισμός.. Η παραμετρημένη καμπύλη : R παραμετρημένης καμπύλης : R απεικόνιση h : J ~ ~ αντίστροφη απεικόνιση h : ~ ~ ~ ~ ονομάζεται αναπαραμέτρηση της εάν υπάρχει μια λεία - και επί ~ απεικόνιση αναπαραμέτρησης τέτοια ώστε η ~ h ~ ~ να είναι επίσης λεία και: Παρατηρούμε ότι επειδή η h έχει λεία αντίστροφη η είναι αναπαραμέτρηση

16 ΚΑΜΠΥΛΕΣ της ~ και ~ h hh Δυο καμπύλες οι οποίες είναι αναπαραμετρήσεις η μια της άλλης έχουν την ίδια εικόνα και επομένως έχουν τις ίδιες γεωμετρικές ιδιότητες. Παράδειγμα.. Η παραμετρημένη καμπύλη : R με cos sin παριστάνει τον μοναδιαίο κύκλο x y στο επίπεδο xy. Μια άλλη παραμέτρηση ~ αφού sin cos. αυτής είναι η: sin cos Για να δούμε ότι η ~ είναι αναπαραμέτρηση της πρέπει να βρούμε μια απεικόνιση αναπαραμέτρησης h τέτοια ώστε: ~ Μια λύση αυτής είναι η h - και επί. h cosh sinh sin cos η οποία προφανώς είναι λεία Παράδειγμα.. Έστω : I 9 R μια καμπύλη με παραμέτρηση I h : J με της μέσω της h είναι η καμπύλη h τότε προφανώς h J I h ~ R. Αν και η αναπαραμέτρηση : J που ορίζεται: ~ Από το παράδειγμα αυτό συμπεραίνουμε ότι η μας δείχνει πώς κινούμαστε πάνω στο I ενώ η ~ αναπαραμέτρηση της καθορίζει έναν διαφορετικό τρόπο κίνησης πάνω στην I. Πρόταση..4 Έστω : I R μια καμπύλη C κλάσης τουλάχιστον και ~ : J R η αναπαραμέτρηση της μέσω της h : J I η οποία είναι τουλάχιστον ~ κλάσης δηλαδή h. Τότε ισχύει: C 4

17 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ~ h h. Απόδειξη Είναι άμεση συνέπεια της παραγώγου σύνθετης συνάρτησης. Παρατήρηση..5 Από την σχέση. προκύπτει ότι αν η καμπύλη είναι κανονική τότε η αναπαραμέτρηση ~ είναι κανονική δηλαδή ~ για κάθε I αν h για κάθε και τα διαστήματα J. Τότε όμως η h είναι γνήσια μονότονη συνάρτηση I J είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μέσω της h. Ορισμός..6 Μια αναπαραμέτρηση ~ : J R της κανονικής καμπύλης : I R μέσω h της h : J I h λέγεται κανονική αναπαραμέτρηση αν κάθε J. για Θεώρημα..7 Για κάθε κανονική καμπύλη : I R υπάρχει κανονική αναπαραμέτρηση ~ R : J με διάνυσμα ταχύτητας μοναδιαίο. Απόδειξη Θα εισάγουμε ως παράμετρο της καμπύλης την συνάρτηση μήκος τόξου s. Επειδή η είναι κλάσης C από την σχέση. έχουμε ότι s για κάθε άρα η συνάρτηση s είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως από το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης του διαφορικού λογισμού υπάρχει η αντίστροφη s και s s s s s ~ s s είναι μια κανονική αναπαραμέτρηση της.. Δηλαδή η Το διάνυσμα ταχύτητας της ~ είναι παντού μοναδιαίο αφού: 5

18 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ~ s s s s άρα s s ~ s s. s Το πεδίο ορισμού της ~ είναι ένα καινούριο διάστημα J με μεταβλητή το s. Η παράμετρος s λέγεται παράμετρος μήκους τόξου ή φυσική παράμετρος. Πρόταση..8 Το μήκος μιας κανονικής καμπύλης : R και το μήκος μιας ~ h είναι ίσα. κανονικής αναπαραμέτρησης της μέσω της : ~ Απόδειξη ~ ~ ~ η κανονική αναπαραμέτρηση της μέσω της Έστω : R : ~ h. Τότε h ~ ~. ~ και ~ L ~ ~ ~ ~ h h. ~ ~ ~ h για κάθε ~ και Επειδή h θα είναι h ή h. Αν h τότε η h είναι γνησίως αύξουσα επομένως ~ ~ γνησίως φθίνουσα και h ~ ~. h ενώ αν h τότε η h είναι Για το ολοκλήρωμα της. θέτω h τότε h οπότε έχουμε: L h h ~ ~ ~ ~ ~ h. ~ L h.4 Καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης Στην παράγραφο αυτή θα αναφέρουμε δυο νέες αριθμητικές συναρτήσεις την καμπυλότητα και την στρέψη. Η καμπυλότητα είναι ένα μέτρο που μετρά πόσο διαφέρει η καμπύλη από την ευθεία ενώ η στρέψη είναι το μέτρο που μας δείχνει κατά πόσο μια καμπύλη δεν περιέχεται σε ένα επίπεδο. Έστω : R με s s s μια καμπύλη με s 6

19 ΚΑΜΠΥΛΕΣ παράμετρο το μήκος τόξου που είναι τουλάχιστον κλάσης C. Το διάνυσμα s s s s είναι παντού μοναδιαίο έχει αρχή το σημείο s και είναι εφαπτόμενο της τροχιάς διάνυσμα με T s δηλαδή: T s s s s στο s. Συμβολίζουμε αυτό το s Ορισμός.4. Ο αριθμός s s T s λέγεται καμπυλότητα crvre της καμπύλης στο s και ο αριθμός όταν s καμπυλότητας της στο s. s λέγεται ακτίνα s Παράδειγμα.4. s s που ορίζεται ως s R cos R sin με R R Η καμπύλη : R s s R έχει διάνυσμα ταχύτητας s sin cos και s R R μοναδιαίο άρα η γ έχει παραμέτρηση κατά μήκους τόξου με αρχή το O. Άρα T s s και s s T s s cos sin R R R R επομένως η καμπυλότητα είναι ακτίνα καμπυλότητας είναι: s s R. s s s s cos sin και η R R R R Είναι φανερό ότι η τροχιά της καμπύλης είναι κύκλος ακτίνας R. Αν σε ένα σημείο s ή s της καμπύλης : I R η καμπυλότητα δεν είναι μηδέν s τότε μπορούμε να ορίσουμε δυο ακόμη διανύσματα. 7

20 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Το διάνυσμα T s N s s s s ονομάζεται πρώτο κάθετο διάνυσμα της στο s αφού είναι προφανές Πρόταση.. ότι N s T s. Το διάνυσμα B s T s N s είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο T s και το N s. Το διάνυσμα B s λέγεται δεύτερο κάθετο διάνυσμα της στο s. Το σύνολο T N B αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του R η οποία είναι δεξιόστροφη και ονομάζεται τρίεδρο rene στο σημείο s της ή πλαίσιο Serre rene. Ισχύουν B s T s N s N s B s T s T s N s B s N s I T s B s Σχήμα.6 Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι s B s N για κάθε s I. Παραγωγίζοντας την σχέση έχω: N s B s N s B s. Έτσι δίνουμε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός.4. Ονομάζουμε στρέψη της καμπύλης της στο s και συμβολίζουμε με s τον πραγματικό αριθμό s B s N s N s B s. Ο αριθμός όταν s λέγεται ακτίνα στρέψης στο s. s s 8

21 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Η στρέψη αφού περιέχει την παράγωγο B s μετρά κατά κάποιον τρόπο την μεταβολή του δεύτερου κάθετου διανύσματος άρα και την μεταβολή του εγγύτατου επιπέδου επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσματα T s N s. Θεώρημα.4.4 Έστω μια καμπύλη : R με παράμετρο το μήκος τόξου κλάσης C τουλάχιστον με καμπυλότητα και στρέψη s και s αντίστοιχα. Τότε ισχύουν τα εξής: i. T s s N s ii. N s s T s s B s iii. B s s N s Οι σχέσεις αυτές είναι γνωστές ως τύποι εξισώσεις των Serre rene. Οι παραπάνω εξισώσεις συνοψίζονται ως εξής: T N B T N B Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος παραλείπεται και υπάρχει σε οποιοδήποτε βιβλίο στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας. Ορισμός.4.5 Έστω μια καμπύλη : R καμπυλότητα s με παράμετρο το μήκος τόξου και για κάθε s. Οι ποσότητες T N B αποτελούν τα στοιχεία Serre rene για την καμπύλη. Παράδειγμα.4.6 Δίνεται η λεία καμπύλη κυκλική έλικα : R R που ορίζεται ως εξής: s s s s cos sin με 9

22 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η έχει παράμετρο το μήκος τόξου δηλαδή διάνυσμα ταχύτητας μοναδιαίο. Από τους ορισμούς μας έχουμε: cos sin s s s s T sin cos s s s s T Άρα s T s Είναι sin cos s s s s T s N και cos sin s s s N s T s B Άρα sin cos s s s B και συνεπώς: s N s B s. Παρατηρώ ότι η στρέψη της κυκλικής έλικας γίνεται μηδέν όταν. Στην περίπτωση αυτή η έλικα είναι ένας κύκλος του επιπέδου xy. Αυτό δεν είναι τυχαίο όπως φαίνεται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση.4.7 Έστω : R I μια καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου και καμπυλότητα s. Η καμπύλη είναι επίπεδη αν και μόνο αν s για κάθε I s. Απόδειξη Έστω s για κάθε I s τότε από τον τρίτο τύπο των Serre rene έχω s B s B σταθερό διάνυσμα. Αν s s s s είναι τυχαίο σημείο της εικόνας της τότε: s B s s B s T s B s s B s s B s s αφού s B s T και s B. Άρα σταθερό C s B s επομένως

23 ΚΑΜΠΥΛΕΣ s s s C s s s C δηλαδή το τυχαίο σημείο s της τροχιάς της επαληθεύει την εξίσωση: x y z C που είναι η αναλυτική εξίσωση επιπέδου. Άρα το I βρίσκεται πάνω σε αυτό το επίπεδο. Αντίστροφα Έστω το επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκεται η I Σχήμα.7 και Ο η αρχή των συντεταγμένων. Έστω Ο η προβολή του Ο πάνω στο. Ισχύει O O s OO. Παραγωγίζοντας έχουμε OO s OO T s άρα το T s είναι διάνυσμα του επιπέδου. Παραγωγίζοντας ξανά έχουμε: T N OO T s OO s N s s OO N s δηλαδή και το N s είναι διάνυσμα του. Επειδή όμως B s T s N s συμπεραίνουμε ότι το B s είναι μοναδιαίο κάθετο στο και συνεπώς B s άρα B s και συνεπώς s για κάθε s I. Ο B s N s I T s s Ο Σχήμα.7 Πρόταση.4.8 Έστω μια καμπύλη : I R με παράμετρο το μήκος τόξου καμπυλότητα s R σταθερή και στρέψη s. Τότε η τροχιά της είναι κύκλος ακτίνας Απόδειξη. R

24 ΚΑΜΠΥΛΕΣ Θεωρούμε την καμπύλη : I R που ορίζεται ως s s N s R όπου N το πρώτο κάθετο διάνυσμα της. Το διάνυσμα ταχύτητας της καμπύλης άρα η R R είναι: s s N s T s s T s s B s καμπύλη είναι σταθερή. Έστω s για κάθε s I τότε s N s άρα R s για κάθε s I. Επειδή η καμπύλη R είναι επίπεδη αφού s συμπεραίνουμε ότι η τροχιά της είναι κύκλος ακτίνας. R Μέχρι τώρα έχουμε θεωρήσει καμπύλες μοναδιαίας ταχύτητας. Εάν η είναι κανονική τότε από το Θεώρημα..7 υπάρχει κανονική αναπαραμέτρηση της μοναδιαίας ταχύτητας. Ωστόσο πολλές φορές καθίσταται πολύπλοκο έως αδύνατο να την προσδιορίσουμε ακριβώς. Έτσι έχουμε τα παρακάτω θεωρήματα τα οποία παρατίθενται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα.4.9 Έστω : I R μια κανονική καμπύλη με τυχαία παράμετρο. Αν τότε ισχύουν οι σχέσεις: T N B T B και Θεώρημα.4. Γενικευμένοι τύποι Serre rene Έστω : I R μια κανονική καμπύλη με τυχαία παράμετρο μοναδιαίας ταχύτητας με μη μηδενική καμπυλότητα και T N B το αντίστοιχο τρίεδρο rene κατά μήκος της. Τότε ισχύουν οι γενικευμένοι τύποι Serre rene. i. T N ii. N T B iii. B N όπου.

25 ΚΑΜΠΥΛΕΣ

26 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. Επιφάνειες Οι επιφάνειες είναι αντικείμενα του χώρου κ.α τα οποία τοπικά μοιάζουν με το R όπως η σφαίρα ο κύλινδρος R. Για παράδειγμα η επιφάνεια της γης είναι περίπου σφαιρική παρόλα αυτά φαίνεται σε καθένα από εμάς να είναι επίπεδη. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε κάποια βασικά στοιχεία της μελέτης των επιφανειών με την βοήθεια του διαφορικού λογισμού όπως έγινε και στο προηγούμενο κεφάλαιο για τις καμπύλες. Ορισμός.. Έστω S ένα υποσύνολο του C εάν υπάρχει μια - απεικόνιση κλάσης U ανοικτό που ορίζεται ως R. Το S θα λέγεται τμήμα επιφάνειας κλάσης x y z όπου U τέτοια ώστε U S C : U R R. Η απεικόνιση θα λέγεται τότε ένα σύστημα συντεταγμένων ή παραμετρική παράσταση του τμήματος της επιφάνειας S. Ορισμός.. Έστω S ένα τμήμα επιφάνειας με αντίστοιχη απεικόνιση : U U S R κλάσης C. Το S καλείται κανονικό εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα σε όλα τα σημεία U γινόμενο. Ισοδύναμα το εξωτερικό είναι διάφορο του μηδενός για κάθε σημείο του U. Παράδειγμα.. Έστω U R ένα ανοικτό σύνολο και έστω U R : μια απεικόνιση 4

27 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ κλάσης C. Ορίζουμε το γράφημα της να είναι η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση. Εύκολα συμπεραίνουμε ότι η είναι - κλάσης αφού ο Ιακωβιανός πίνακας της στο τυχαίο U C είναι ο: και κανονική D όπου J δηλαδή τα και είναι γραμμικά ανεξάρτητα. έχει διάσταση δυο Ορισμός..4 Έστω U V R δυο ανοικτά υποσύνολα του R. Μια απεικόνιση : U V καλείται αμφιδιαφόριση εάν είναι λεία - και η αντίστροφη είναι επίσης λεία. Ορισμός..5 Μια λεία απεικόνιση : S S καλείται τοπική αμφιδιαφόριση αν για κάθε p S υπάρχει ανοικτό υποσύνολο Q της S τέτοιο ώστε το ανοικτό υποσύνολο της S και η απεικόνιση αμφιδιαφόριση. Q Q να είναι Q : Q να είναι Πρόταση..6 Έστω U και U ~ ανοικτά υποσύνολα του R και έστω κανονικό τμήμα επιφάνειας. Έστω επίσης U ~ U το : U R ένα : μια αμφιδιαφόριση. Τότε ~ είναι ένα κανονικό τμήμα επιφάνειας. Το ~ λέγεται αναπαραμέτρηση της ενώ η απεικόνιση λέγεται απεικόνιση αναπαραμέτρησης. Απόδειξη Έστω : U R με x y z μιας επιφάνειας S του η παραμετρική παράσταση ~ ~ ~ ~ ~. R. Τότε: ~ ~ ~ ~ Προφανώς το τμήμα ~ είναι λείο ως σύνθεση λείων απεικονίσεων. Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε: 5

28 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ~ ~ ~ ~ και Λαμβάνοντας υπόψη ότι εφαρμογή της επιμεριστικής ιδιότητας έχουμε: ~ ~ ~ ~. και και με ~ ~ ~ ~ J ~ ~ e ~ ~ ~ ~. Εδώ με J συμβολίζουμε τον Ιακωβιανό πίνακα J Αν e κανονική. ~ ~. J ο Ιακωβιανός είναι αντιστρέψιμος και επομένως η ~ είναι. Εφαπτόμενο επίπεδο Καμπύλες σε επιφάνεια Κάθετο διάνυσμα Ορισμός.. Έστω ένα σημείο : U R με ένα τμήμα της επιφάνειας S που περιέχει p S και έστω οι συντεταγμένες του U. Ο εφαπτόμενος χώρος της S στο p συμβολίζεται με T p S και είναι ο διανυσματικός υπόχωρος του υπολογίζονται στο σημείο R που παράγεται από τα διανύσματα ώστε p. οι παράγωγοι Αφού η είναι κανονική τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Άρα ο εφαπτόμενος χώρος είναι δισδιάστατος και θα τον ονομάζουμε εφαπτόμενο επίπεδο. Πρόταση.. Έστω : U R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S και είναι μια αναπαραμέτρηση της. Τότε τα εφαπτόμενα επίπεδα των συμπίπτουν. Απόδειξη Έστω ~ ~ : U R U R με ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ και 6

29 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ~ η απεικόνιση αναπαραμέτρησης. Τότε η ~ ~ : U R R είναι μια ~ ~ ~ ~ ~. αναπαραμέτρηση της με p ~ Το εφαπτόμενο επίπεδο T U ~ ~ ~ ~ ~ διέρχεται από το σημείο ~ ~ ~ ~ ~ ~ και είναι παράλληλο με τα διανύσματα ~ και ~. Από τις σχέσεις. συμπεραίνουμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι γραμμικοί ~ συνδυασμοί των διανυσμάτων. Συνεπώς το επίπεδο T ~ ~ U συμπίπτει με το επίπεδο U δηλαδή το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας S στο T σημείο p. ~ Έστω C του : U R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S κλάσης. Θεωρούμε μια κανονική καμπύλη R κλάσης δηλαδή I U C της οποίας η τροχιά της I. Τότε η απεικόνιση : I R βρίσκεται στο U : I R που δίνεται ως είναι μια καμπύλη κλάσης C του επιφάνεια της S δηλαδή I S. R της οποίας η τροχιά I είναι στην υ U z S I y I x Σχήμα. 7

30 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Μια τέτοια καμπύλη λέγεται καμπύλη της επιφάνειας S ή επιφανειακή καμπύλη της S. Με τον κανόνα σύνθετης παραγώγισης βρίσκουμε ότι το διάνυσμα ταχύτητας της στο I είναι. Από την. προκύπτει ότι το διάνυσμα ταχύτητας της βρίσκεται στο εφαπτόμενο επίπεδο T p S της S αφού είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι τα διανύσματα που σχηματίζουν μια βάση σε κάποιο σημείο p της επιφάνειας είναι τα εφαπτόμενα διανύσματα των παραμετρικών καμπυλών της επιφάνειας δηλαδή των καμπυλών και. Οι τροχιές των παραμετρικών γραμμών της S σχηματίζουν ένα δίκτυο σχήμα. πάνω στην επιφάνεια S που λέγεται δίκτυο παραμετρικών γραμμών ή παραμετρικό δίκτυο της S. U z S y x Σχήμα. Σε κάθε σημείο p μιας επιφάνειας S γνωρίζουμε ότι το σύνολο αποτελεί βάση του εφαπτόμενου χώρου T p S. Συνεπώς το διάνυσμα 8

31 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ είναι μοναδιαίο και κάθετο σε κάθε διάνυσμα του εφαπτόμενου χώρου αφού είναι κάθετο στα και. Ορισμός.. Έστω : U R R μια παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S και p ένα σημείο της. Το διάνυσμα λέγεται πρότυπο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του τμήματος της επιφάνειας στο σημείο p. Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ανήκουν στον θετικό προσανατολισμό του R σχήμα.. Ουσιαστικά βλέπουμε ότι η επιλογή ενός προσανατολισμού τοπικά πάνω στην S ορίζει ένα μοναδιαίο κάθετο και αντίστροφα η επιλογή ενός μοναδιαίου κάθετου ορίζει έναν τοπικό προσανατολισμό στην S. Σχήμα. Παρατήρηση..4 Αν ~ R : U είναι μια αναπαραμέτρηση της με ~ ~. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ της ορίζουσας του Ιακωβιανού πίνακα J. ~ τότε όπου το πρόσημο είναι το πρόσημο 9

32 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ. Πρώτη θεμελιώδης μορφή Μήκος Καμπύλης επιφάνειας Εμβαδόν επιφάνειας Θυμίζουμε ότι ο εφαπτόμενος χώρος T p S μιας επιφάνειας S σε ένα σημείο p S είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του R διάστασης. Ορίζουμε ένα εσωτερικό γινόμενο στον T p S ως εξής. Έστω v w T S ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των v w και το συμβολίζω με v w το εσωτερικό τους γινόμενο ως p διανύσματα του Ευκλείδειου χώρου και επαγόμενο από τον R. R. Αυτό το εσωτερικό γινόμενο λέγεται Ορισμός.. Μια συμμετρική διγραμμική μορφή σε ένα διανυσματικό χώρο V είναι μια συνάρτηση B : V V R που ικανοποιεί: για κάθε X Y V και R i. B X Y Z BX Z BY Z για κάθε X Y V ii. B X Y BY X Η συμμετρική διγραμμική μορφή είναι θετικά ορισμένη αν X X την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν X. B με Ορισμός.. Ονομάζουμε τετραγωνική μορφή προσαρτημένη στην B την απεικόνιση Q : V R που ορίζεται από την σχέση Q X BX X για κάθε X V. Ορισμός.. Η τετραγωνική μορφή επιφάνειας S που ορίζεται I p v v v επιφάνειας S στο σημείο p. I p : TpS R όπου p ένα σημείο της λέγεται πρώτη θεμελιώδης μορφή της Έστω S μια επιφάνεια με παραμετρική παράσταση : U R και p ένα σημείο της. Αν v T ps ένα διάνυσμα του εφαπτόμενου

33 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ επιπέδου τότε αυτό θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης δηλαδή: v όπου R. Τότε έχουμε ότι v v I p v όπου: I p v.4 και είναι τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της επιφάνειας S..5 Ο πίνακας της πρώτης θεμελιώδους μορφής I p v v v p ως προς την βάση στο σημείο είναι ο I. Ο πίνακας αυτός είναι θετικά ορισμένος σε κάθε σημείο U και για κάθε U αφού. Πράγματι από την ταυτότητα του Lrne έχουμε:..6 Έστω S επιφάνεια στο R με παραμετρική παράσταση U R. Θέλουμε να μετρήσουμε μήκη γωνίες και εμβαδά επί της S. Για τον σκοπό όπου αυτό θεωρούμε μια επιφανειακή καμπύλη λείες συναρτήσεις με. Το διάνυσμα ταχύτητας αυτής Σχέση. είναι: όπου η τελεία δηλώνει την παράγωγο. Τότε: Από την Παράγραφο. έχουμε ότι το μήκος αυτής είναι:

34 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ L Το μήκος του τμήματος της καμπύλης μεταξύ του και της αυθαιρέτου Ορισμός.. είναι: s άρα s Η παραπάνω έκφραση γράφεται παραδοσιακά s.7 και η ερμηνεία της είναι ότι εκφράζει το στοιχειώδης μήκος μιας επιφανειακής καμπύλης. Για το λόγο αυτό η.7 ονομάζεται και μετρική της επιφάνειας.. Πρόταση..4 [ ] Η τετραγωνική μορφή I p v είναι ανεξάρτητη της παραμέτρησης της επιφάνειας S. Παράδειγμα..5 Θεωρούμε το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο και είναι παράλληλο με τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα p q. Αυτό έχει παραμέτρηση p q. q p Σχήμα.4 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι p q και p q.

35 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Είναι: p q άρα p p q και q. Άρα η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι: I I Παράδειγμα..6 Θεωρούμε τον ορθό κυκλικό κύλινδρο ακτίνας r με άξονα περιστροφής τον άξονα z. z P r cos r sin z φ y x Σχήμα.5 Χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες r δηλαδή x r cos y r sin στο επίπεδο z. Τότε ένα σημείο P έχει συντεταγμένες P r cos r sin z Άρα έχουμε την παραμετρική παράσταση z r cos r sin z. Υπολογίζουμε z r sin r cos z. z. Άρα r και z Επομένως η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι: I r z. Θα απλοποιήσουμε την I εκτελώντας μια αναπαραμέτρηση. Θέτω z τότε r z r r και και ως προς τις νέες συντεταγμένες έχουμε: r και z άρα I.

36 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Παρατήρηση..7 Από τα παραπάνω παραδείγματα βλέπουμε ότι οι μετρικές του επιπέδου και του κυλίνδρου είναι ίδιες. Το γεγονός αυτό δηλώνει ότι οι επιφάνειες είναι τοπικά ισομετρικές. Ορισμός..8 Έστω S S δυο επιφάνειες. Μια λεία απεικόνιση : S S καλείται τοπική ισομετρία εάν απεικονίζει καμπύλες της S σε καμπύλες ίδιου μήκους της S. Αν υπάρχει τοπική ισομετρία : S S λέμε ότι οι S S είναι τοπικά ισομετρικές. Πρόταση..9 [ ] Μια τοπική αμφιδιαφόριση : S S είναι τοπική ισομετρία αν και μόνο αν για κάθε τμήμα επιφάνειας της S τα τμήματα και των S και S έχουν την ίδια πρώτη θεμελιώδη μορφή. Παράδειγμα.. Η μοναδιαία σφαίρα x y z παραμέτρηση της γεωγραφικό μήκος. S R / x y z. Η δημοφιλέστερη S δίνεται από τις συντεταγμένες γεωγραφικό πλάτος και Σχήμα.6 4

37 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Εάν U και τότε υπάρχει μια αντιστοιχία των σημείων της σφαίρας εκτός από το μέγιστο ημικύκλιο με άκρα τα Β Ν. Από το παράδειγμα αυτό αντιλαμβανόμαστε ότι γενικά είναι αδύνατο να βρούμε σύστημα παραμέτρων το οποίο να καλύπτει ολόκληρη την επιφάνεια. Αυτός είναι ένας από τους λόγους του τοπικού χαρακτήρα της στοιχειώδους διαφορικής γεωμετρίας. Από το σχήμα βλέπουμε ότι: x r cos R cos cos cos cos y r sin R cos sin cos sin z R sin sin Άρα cos coscos sin sin Είναι sin cos sin sin cos cos sin cos cos - sin cos sin sin cos - - cos sin cos cos cos Άρα η πρώτη θεμελιώδης μορφή της μοναδιαίας σφαίρας είναι: I I cos Ορισμός.. Γωνία δυο επιφανειακών καμπυλών Ονομάζουμε γωνία των καμπυλών σημείο ~ της επιφάνειας S σε ένα κοινό τους την γωνία των διανυσμάτων ταχύτητας των ~ σε αυτό το κοινό τους σημείο. ~ p γ ~ ~ J I Ι τ J Σχήμα.7 Γωνία επιφανειακών καμπυλών 5

38 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ισχύει: cos ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ όπου ~ ~. και ~ Ορισμός.. Έστω S και S δυο επιφάνειες. Μια σύμμορφη απεικόνιση : S S είναι μια τοπική αμφιδιαφόριση τέτοια ώστε εάν ~ και είναι δυο τεμνόμενες καμπύλες της S στο p S και αν ~ και οι εικόνες τους μέσω της τότε η γωνία τομής των ~ και στο p είναι ίση με την γωνία τομής των και ~ στο p. Δηλαδή η είναι σύμμορφη αν διατηρεί τις γωνίες. Πρόταση.. [ 5 ] Αποδεικνύεται ότι ένα τμήμα επιφάνειας είναι σύμμορφο αν και μόνο αν και. Έστω : U R ένα τμήμα επιφάνειας S. Όπως είδαμε Σχήμα. η εικόνα της καλύπτεται από δυο οικογένειες παραμετρικών καμπυλών που λαμβάνονται θέτοντας ένα U και έστω σταθερό και σταθερό αντίστοιχα. Σταθεροποιούμε αρκετά μικρά. Η αλλαγή του που αντιστοιχεί σε αλλαγή του είναι προσεγγιστικά και αυτή που αντιστοιχεί σε μικρές αλλαγές του είναι. Το τμήμα της επιφάνειας που περικλείουν οι παραμετρικές καμπύλες της επιφάνειας και είναι περίπου ένα παραλληλόγραμμο Σχήμα.8 στο επίπεδο με πλευρές που δίνονται από τα διανύσματα και Όμως το εμβαδό του παραλληλογράμμου με πλευρές στο επίπεδο είναι ίσο με άρα το εμβαδόν στην επιφάνεια θα είναι ίσο με 6

39 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Σχήμα.8 Έτσι παίρνουμε τον παρακάτω ορισμό. Ορισμός..4 Το εμβαδόν A R ενός υποσυνόλου R : U R που αντιστοιχεί σε ένα χωρίο U Αν συμβολίσουμε A R R.6 του τμήματος επιφάνειας R ορίζεται ως R. A τότε A R A. R Πρόταση..5 Το εμβαδόν ενός τμήματος μιας επιφάνειας παραμένει αναλλοίωτο κάτω από αναπαραμετρήσεις. Απόδειξη Έστω : U R ένα τμήμα επιφάνειας και έστω μια αναπαραμέτρηση του με απεικόνιση αναπαραμέτρησης ~ ~ ~ ~ ~. έχουμε Από την σχέση. έχουμε: ~ ~ ~ ~ : U R : U ~ U. Άρα εάν ~ ~ ~ ~ e J. 7

40 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Έστω ~ ένα χωρίο και ~ R R U R ~ U τότε A. ~ R ~ ~ ~ ~ e ~ ~ ~ ~ J A ~ R ~ ~ R R R Η τελευταία ισότητα είναι ο γνωστός τύπος μετασχηματισμού ενός διπλού ολοκληρώματος όταν αλλάξουμε τις μεταβλητές. Από όλα όσα αναφέραμε μέχρι τώρα συμπεραίνουμε ότι η γνώση της πρώτης θεμελιώδους μορφής μιας επιφάνειας επιτρέπει να υπολογίσουμε το μήκος καμπυλών πάνω σε αυτή την γωνία τεμνόμενων καμπυλών και το εμβαδόν τμήματος αυτής. 8

41 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.4 Οι απεικονίσεις ss και Weinren Δεύτερη θεμελιώδης μορφή Είδαμε στον Ορισμό.. ότι το διάνυσμα είναι ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του τμήματος της προσανατολισμένης επιφάνειας S σε ένα σημείο της p. Έτσι ο τρόπος που μεταβάλλεται το είναι ένα μέτρο της κύρτωσης της επιφάνειας S στον R. Οι τιμές της στα σημεία της S περιγράφονται από την απεικόνιση ss. Έτσι οδηγούμαστε στον εξής ορισμό. Ορισμός.4. Η απεικόνιση : S R R με λέγεται απεικόνιση ss ή σφαιρική απεικόνιση. Συχνά την απεικόνιση ss την λέμε και προσανατολισμό της επιφάνειας S. Στο σημείο p S αντιστοιχεί το σημείο p~ S που αποκτούμε αν μεταφέρουμε παράλληλα στον R το κάθετο διάνυσμα p έτσι ώστε η αρχή του να συμπέσει με το κέντρο Ο της μοναδιαία σφαίρα S. Άρα το βρίσκεται S με κέντρο την αρχή των συντεταγμένων. στην p~ p p S S Ο Σχήμα.9 Η απεικόνιση ss Ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται το πάνω στην S μετριέται από 9

42 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ την παράγωγο απεικόνιση της Ν p N : TpS TN p S.8 Η οποία παίρνει διανύσματα του εφαπτόμενου επιπέδου T p S και τα στέλνει σε διανύσματα του T N p S. Ο εφαπτόμενος χώρος S T p είναι ο μοναδικός δισδιάστατος υπόχωρος του R που είναι κάθετος στο διάνυσμα p. Από την άλλη ο εφαπτόμενος χώρος T N p S είναι ο δισδιάστατος υπόχωρος του R και είναι κάθετος στο διάνυσμα θέσης ακτίνα του σημείου p S. Επομένως οι χώροι T p S και T N p S είναι δυο επίπεδα παράλληλα μεταξύ τους ως κάθετα στο p και έχουν κοινό σημείο το Ο άρα συμπίπτουν δηλαδή T p S = T N p S. Επομένως η.8 μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η απεικόνιση p N : T S T S.9 p p Ορισμός.4. Η απεικόνιση Weinren ή τελεστής σχήματος της S στο p ορίζεται ως: W p : T S T S με W N. p p p p Πρόταση.4. Έστω : U R είναι η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S. Τότε για κάθε U ισχύουν: W και Απόδειξη W. Έστω p τότε υπολογίζουμε τις παραγώγους στο W N N W N N και έχουμε Πρόταση.4.4 Η απεικόνιση Weinren είναι αυτοσυζυγής δηλαδή W W για 4

43 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ κάθε T S. p Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα είναι μια βάση του εφαπτόμενου επιπέδου S T p. Αν είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της S τότε και με παραγώγιση ως προς παίρνουμε Με παραγώγιση ως προς της παίρνουμε Παρόμοια. και με παραγώγιση ως προς και έχω. Όμως W και W. Επειδή W W.. Όμοια προκύπτει ότι W W Από το γεγονός ότι τα εφαπτόμενα διανύσματα της S στο σημείο p είναι γραμμικοί συνδυασμοί των όλα τα παίρνω την σχέση T S άρα ο W είναι αυτοσυζυγής. p W W για Ορισμός.4.5 Έστω S μια επιφάνεια με παραμετρική παράσταση L M N : U R που ορίζονται ως L W M W W N W : U R ονομάζονται θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης της επιφάνειας S.. Οι συναρτήσεις Πρόταση.4.6 Έστω S μια επιφάνεια με παραμετρική παράσταση U ισχύουν οι σχέσεις: : U R. Για κάθε 4

44 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ L M M N Ορισμός.4.7 Η τετραγωνική μορφή που ορίζεται II v W v v επιφάνειας S. II p p p : T S R όπου p ένα σημείο της επιφάνειας S p λέγεται δεύτερη θεμελιώδης μορφή της Έστω S η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση : U R και p ένα σημείο της S. Αν v T S τότε αυτό θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός p των διανυσμάτων της βάσης δηλαδή v όπου R τότε: II p v W v v W p p. W W p p Πρ..4.7 L M N II p v N L M που ιστορικά την γράφουμε II p v L M N.4 Ο πίνακας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής ως προς την βάση είναι ο L M II. M N Παράδειγμα.4.8 Θεωρούμε το επίπεδο p q διανύσματα και p q γραμμικώς ανεξάρτητα. όπου p q είναι σταθερά Είναι p q και 4

45 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Άρα L M και Επομένως η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι II. N. Πρόταση.4.9 Έστω : U R R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S. Αν L M N για κάθε U τότε η S είναι τμήμα του επιπέδου. Απόδειξη Είναι L M N άρα από την Πρόταση.4.7 έχουμε: S. Άρα τα διανύσματα και σε κάθε σημείο. Επειδή όμως τα όπου N η απεικόνιση ss της είναι κάθετα στα και είναι κάθετα και στο και επειδή τα διανύσματα συνιστούν μια βάση των διανυσμάτων του T συμπεραίνουμε ότι: Άρα συνάρτηση:. R ένα σταθερό μοναδιαίο διάνυσμα. Θεωρούμε την : U R R με x y z Παίρνοντας τις μερικές παραγώγους της ως προς και βρίσκουμε: και Επειδή το U είναι συνεκτικό υποσύνολο του R και η συνάρτηση έχει παντού μηδενικές παραγώγους συμπεραίνουμε ότι C σταθ. Συνεπώς x y z C. Η τελευταία σχέση μας λέει ότι το τυχαίο σημείο x y z της επιφάνειας S ικανοποιεί την εξίσωση x y z C επίπεδο. ενός επιπέδου. Άρα η S είναι 4

46 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Πρόταση.4. Εξισώσεις ss Έστω ένα τμήμα επιφάνειας με πρώτη και δεύτερη θεμελιώδη μορφή και L M N αντίστοιχα. Τότε: L M N όπου Οι παραπάνω συντελεστές ij : U R R λέγονται σύμβολα του Chrisoer..5 Καμπυλότητα ss και μέση καμπυλότητα Ορισμός.5. Έστω W p η απεικόνιση Weinren μιας προσανατολισμένης επιφάνειας S στο σημείο p S. Η καμπυλότητα ss K και η μέση καμπυλότητα H της S στο p ορίζονται από την σχέσεις: K e H rce W p W p Θυμίζουμε ότι η ορίζουσα και το ίχνος μιας γραμμικής απεικόνισης όπως η W είναι αντίστοιχα ίσες με την ορίζουσα και το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα ως προς οποιαδήποτε βάση του εφαπτόμενου επιπέδου στην περίπτωση αυτή και ότι εξαρτώνται μόνο από την απεικόνιση και όχι από την επιλογή βάσης. 44

47 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 45 Πρόταση.5. Έστω ένα τμήμα μιας προσανατολισμένης επιφάνειας S. Τότε ο πίνακας της p W ως προς την βάση του S T p είναι ο II I. Απόδειξη Από τις σχέσεις. γνωρίζουμε ότι: W και W Επίσης η δράση της απεικόνισης στην βάση δίνεται ως εξής:.6.5 c c W W Τότε ο πίνακας της p W ως προς την βάση είναι ο c. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο στις.5.6 με και αντίστοιχα και δεδομένου ότι M Πρόταση.4.6 έχουμε: M L c N c M c c Οι τέσσερεις αυτές εξισώσεις είναι ισοδύναμες με την εξίσωση πινάκων: II I I II c c c N M M L. Με την βοήθεια της παραπάνω πρότασης μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την καμπυλότητα ss και την μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας συναρτήσει των θεμελιωδών μεγεθών πρώτης και δεύτερης τάξης. Είναι:.5. e e e e e e e e M LN N M M L W K I II II I II I και N M M L N M M L N M M L II I άρα

48 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ H rce W rce I II L M N L M N Επομένως η καμπυλότητα ss και η μέση καμπυλότητα μιας επιφάνειας δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: K LN M H L M N.7 Πρόταση.5. Έστω : U R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S και p II η δεύτερη θεμελιώδης μορφή. Ορίζουμε τον μοναδιαίο κύκλο S p στο εφαπτόμενο επίπεδο T p S της επιφάνειας S με κέντρο p. Δηλαδή: S p w T p S : w Η συνάρτηση II p p w : S R είναι συνεχής και ορίζεται στο συμπαγές σύνολο S p άρα παίρνει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή. Για κάθε p U ορίζουμε τις κύριες καμπυλότητες της στο p με: min II p mx II p w w ws p ws p Τα μοναδιαία διανύσματα w S p κατά μήκος των οποίων επιτυγχάνονται οι κύριες καμπυλότητες ονομάζονται κύριες διευθύνσεις. Πρόταση.5.4 Η μέση καμπυλότητα H και η καμπυλότητα ss της στο p είναι: H και K.8 Παράδειγμα.5.5 Στο Παράδειγμα.4.9 βρήκαμε για το επίπεδο ότι η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι II. Άρα από την Πρόταση.5.4 έχουμε για όλα p 46

49 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ τα σημεία του επιπέδου. Έτσι η καμπυλότητα ss K και η μέση καμπυλότητα H είναι K H για όλα τα σημεία του επιπέδου Σημείωση: Ένα σημείο μιας επιφάνειας για το οποίο λέγεται ομφαλικό. Έτσι όλα τα σημεία του επιπέδου είναι ομφαλικά. Ορισμός.5.6 Ένα σημείο p S λέγεται: Ελλειπτικό αν LN M Υπερβολικό αν LN M Παραβολικό αν LN M Επίπεδο αν L M N Παράδειγμα.5.7 Θα βρούμε την καμπυλότητα ss K και την μέση καμπυλότητα H της επιφάνειας του Παραδείγματος.. γράφημα μιας συνάρτησης. Όπως είδαμε το γράφημα της είναι η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση. Είναι και. Άρα και Ένα μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας είναι:. Συνεπώς τα θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης είναι: L M και N Επομένως η καμπυλότητα ss είναι LN M και η L M N μέση καμπυλότητα H K. 47

50 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ.6 Ευθειογενείς επιφάνειες και επιφάνειες εκ περιστροφής Ορισμός.6. Ευθειογενείς επιφάνειες Έστω : I R και : I R δύο καμπύλες κλάσης C όπου I ένα ανοικτό διάστημα του R και για κάθε I. Η επιφάνεια : U I R R R με ευθειογενής επιφάνεια. Έστω του R ονομάζεται I η ευθεία που ορίζεται από το και είναι παράλληλη με το διάνυσμα. Τότε η τροχιά της ευθειογενούς επιφάνειας αποτελείται από όλες τις ευθείες όπως φαίνεται και στο Σχήμα.. O I I Σχήμα. Η καμπύλη λέγεται καμπύλη αφετηρίας της ευθειογενούς επιφάνειας και οι ευθείες I λέγονται γενέτειρες της ευθειογενούς επιφάνειας. Η επιφάνεια είναι κανονική αν. Επειδή και για να είναι κανονική θα πρέπει. Παράδειγμα.6. Θεωρούμε επίπεδη καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας : I R. Το σύνολο I μπορεί να έχει αυτοτομές. Έστω e το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο της καμπύλης. Η επιφάνεια : U I R R με: 48

51 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ e Είναι ευθειογενής επιφάνεια και λέγεται γενικευμένος κύλινδρος. Εδώ η καμπύλη : I R είναι η σταθερή καμπύλη e για κάθε I σχήμα.. e e I Ο Σχήμα. Γενικευμένος κύλινδρος U Ειδικά αν η καμπύλη αφετηρίας είναι κύκλος τότε η επιφάνεια είναι ο κυκλικός κύλινδρος.. Χωρίς βλάβη γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το επίπεδο της καμπύλης είναι το επίπεδο xy και e. Τότε κάποιες λείες συναρτήσεις και η παραμέτριση γίνεται: για e Για τον μοναδιαίο κύλινδρο αρκεί cos και sin Είναι είναι: άρα τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης η είναι μοναδιαίας ταχύτητας άρα και Επομένως η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι: θεμελιώδη ποσά δεύτερης τάξης. I. Θα βρούμε τα 49

52 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Είναι και άρα η επιφάνεια είναι κανονική. Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της είναι. Είναι και άρα: M και N L LN M Επομένως η καμπυλότητα του ss είναι K και η μέση L M N καμπυλότητα είναι: H. Παρατήρηση.6. Οι ευθειογενείς επιφάνειες.9 με και για κάθε λέγονται μη κυλινδρικές ευθειογενείς επιφάνειες. Για αυτές τις επιφάνειες προφανώς ισχύει για κάθε. Στην.9 αν θέσουμε προκύπτει μια καμπύλη ~ : I R με ~ της οποίας η τροχιά βρίσκεται στην τροχιά της ευθειογενούς επιφάνειας. Δηλαδή η καμπύλη ~ μπορεί να θεωρηθεί ως μια καμπύλη αφετηρίας. ~ I ~ I Σχήμα. 5

53 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Αναζητούμε κατάλληλη συνάρτηση ώστε για την καμπύλη ~ να ισχύει η σχέση ~ για κάθε. Δηλαδή ~ αφού. Άρα. Η καμπύλη : I R που ορίζεται ως η οποία είναι στην τροχιά της μη κυλινδρικής ευθειογενούς επιφάνειας.9 λέγεται γραμμή συσφίξεως αυτής. Η παρατήρηση αυτή θα μας φανεί χρήσιμη στο Κεφ. 4 όπου θα μελετήσουμε τις επιφάνειες ελάχιστης έκτασης και η συνθήκη ~ για μια μη κυλινδρική ευθειογενής επιφάνεια τους υπολογισμούς. ελαφρύνει αρκετά Ορισμός.6.4 Επιφάνειες εκ περιστροφής Μια επιφάνεια εκ περιστροφής είναι η επιφάνεια που λαμβάνεται περιστρέφοντας μια επίπεδη καμπύλη γενέτειρα καμπύλη γύρω από μια ευθεία του επιπέδου. - Οι κύκλοι που λαμβάνονται όταν περιστρέψουμε ένα δεδομένο σημείο της γενέτειρας καμπύλης γύρω από τον άξονα περιστροφής ονομάζονται παράλληλοι της επιφάνειας. - Οι καμπύλες της επιφάνειας που λαμβάνονται περιστρέφοντας την γενέτειρα κατά δεδομένη γωνία ονομάζονται μεσημβρινοί της επιφάνειας. 5

54 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Σχήμα.6. Επιφάνεια εκ περιστροφής Παράδειγμα.6.5 Έστω ότι ο άξονας περιστροφής είναι ο z και το επίπεδο της καμπύλης είναι το xz. Κάθε σημείο p της επιφάνειας λαμβάνεται περιστρέφοντας κάποιο σημείο q της γενέτειρας κατά γωνία υ γύρω από τον άξονα z. Εάν είναι η παραμέτρηση της καμπύλης που περιέχει το q τότε το p έχει διάνυσμα θέσης cos sin. Είναι: cos sin sin cos και cos sin cos sin. Δηλαδή το άρα γραμμικά ανεξάρτητα αν η δηλαδή αν η γ δεν τέμνει τον άξονα z και επίσης αν οι ταυτόχρονα μηδέν δηλαδή αν η γ είναι κανονική. Έστω έτσι ώστε η και να είναι η απόσταση του δεν είναι από τον άξονα περιστροφής. Τότε η σ είναι - με την προϋπόθεση ότι η γ δεν είναι αυτοτεμνόμενη και η γωνία περιστροφής. 5

55 ΤΟΠΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Αν υποθέσουμε ότι η γ έχει παράμετρο το μήκος τόξου δηλαδή τότε: και άρα Θα βρούμε την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Είναι: Άρα I Θα υπολογίσουμε τα θεμελιώδη ποσά ης τάξης L M N για να βρούμε την καμπυλότητα ss K της επιφάνειας εκ περιστροφής. Είναι: cos sin cos sin sin cos και είναι. επομένως το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα cos sin - L cos sin - M - N cos sin LN M Άρα η καμπυλότητα ss είναι: K Όμως και παραγωγίζοντας έχουμε επομένως ο αριθμητής της παραπάνω σχέσης γίνεται: Άρα η καμπυλότητα γίνεται: K LN M K. 5

56 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ. ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ. Κάθετη και γεωδαισιακή καμπυλότητα Είδαμε στην Παράγραφο.4 ότι η μεταβολή του μοναδιαίου κάθετου διανύσματος είναι ένα μέτρο που μας δείχνει την μεταβολή καμπυλότητα μιας επιφάνειας S. Ένας άλλος τρόπος για να μελετήσουμε την καμπυλότητα μιας επιφάνειας είναι να εξετάσουμε την καμπυλότητα των διάφορων επιφανειακών καμπυλών. Έστω s καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας όπου s η παράμετρος του μήκους τόξου μιας προσανατολισμένης επιφάνειας S. Τότε εξ ορισμού το διάνυσμα είναι μοναδιαίο και εφαπτόμενο στην S σ ένα σημείο p. Άρα το είναι κάθετο στο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του όπου τμήμα της επιφάνειας S. Επομένως τα και Ν TpS είναι κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα και το σύνολο ορθοκανονική βάση. Ν αποτελεί μια δεξιόστροφη Επειδή η γ είναι μοναδιαίας ταχύτητας το διάνυσμα είναι κάθετο στο Πρόταση.. και συνεπώς θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των και το Δηλαδή: βρίσκεται στο επίπεδο των. n. Με άλλα λόγια η. δηλώνει ότι το διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε δυο συνιστώσες: s s s με s και n n n s όπου s είναι η εφαπτομενική συνιστώσα και s η κάθετη συνιστώσα. n 54

57 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Ορισμός.. Οι αριθμοί και n της. ονομάζονται γεωδαισιακή και κάθετη καμπυλότητα της γ αντίστοιχα. Παρατήρηση.. i. Η χρήση του όρου κάθετης καμπυλότητας είναι προφανής διότι αναφέρεται στο μέρος της κάθετης συνιστώσας του διανύσματος. Η χρήση του όρου γεωδαισιακή καμπυλότητα και όχι για παράδειγμα εφαπτομενική καμπυλότητα θα δικαιολογηθεί παρακάτω όταν θα δούμε ότι μια καμπύλη είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν η γεωδαισιακή της καμπυλότητα είναι μηδέν. ii. Επισημαίνουμε ότι οι αντικατασταθεί με το και μόνο οι απόλυτες τιμές των n αλλάζουν και οι δυο πρόσημα όταν το άρα σε μια μη προσανατολισμένη επιφάνεια n είναι καλά ορισμένες. N ψ n γ Σχήμα.. Κάθετη και γεωδαισιακή καμπυλότητα Πρόταση.. Έστω η καμπυλότητα της καμπύλης γ και ψ η γωνία του διανύσματος και του κύριου κάθετου διανύσματος n της γ. Τότε: i. n. 55

58 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ii. n. iii. n cos sin.4 Απόδειξη i. Από την. έχουμε ότι: n Πολλαπλασιάζοντας την. εσωτερικά με το και λαμβάνοντας υπόψη ότι η τριάδα Ν είναι ορθοκανονική παίρνουμε. Πολλαπλασιάζοντας την. εσωτερικά με το έχουμε: n n ii. Υψώνουμε την. στο τετράγωνο και έχουμε: n n n Όμως n και n n n άρα η παραπάνω σχέση γίνεται n n iii. Ισχύει T s n s n όπου ns είναι το πρώτο κάθετο διάνυσμα της καμπύλης επομένως η. γίνεται: n n n πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά με το Ν έχω: n n N cos cos. n n n Από την n προκύπτει ότι cos sin. Εάν η γ είναι κανονική αλλά όχι απαραίτητα μοναδιαίας ταχύτητας ορίζουμε την γεωδαισιακή και την κάθετη καμπυλότητα της γ να είναι 56

59 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ εκείνη της ~ όπου ~ είναι μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση της γ. Το σημαντικό για την κάθετη καμπυλότητα n είναι ότι σε κάθε σημείο εξαρτάται μόνο από την διεύθυνση της καμπύλης γ στο εν λόγω σημείο δηλαδή το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα της καμπύλης s. Πρόταση..4 Εάν γ είναι μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη μιας προσανατολισμένης επιφάνειας S η κάθετη καμπυλότητα της δίνεται από την σχέση n W. Εάν είναι τμήμα επιφάνειας της S και είναι μια καμπύλη της S τότε: Απόδειξη n L M N Αφού το είναι εφαπτόμενο της S ισχύει. Παραγωγίζοντας έχουμε. Είναι n W αφού N W Θα δείξουμε τώρα το δεύτερο μέρος της πρότασης. Γνωρίζουμε από την. ότι n και αν. είναι μια επιφανειακή καμπύλη με παράμετρο που δεν είναι απαραίτητα το μήκος τόξου τότε και. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω εσωτερικά με το διάνυσμα και δεδομένο ότι ο όρος της πρώτης παρένθεσης δίνει μηδέν τότε n L M N. 57

60 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι η κάθετη καμπυλότητα εξαρτάται από την δεύτερη θεμελιώδη μορφή της επιφάνειας ενώ η γεωδαισιακή καμπυλότητα εξαρτάται όπως θα δούμε παρακάτω από την πρώτη θεμελιώδη μορφή. Παράδειγμα..5 Θα δείξουμε ότι η κάθετη καμπυλότητα κάθε καμπύλης της σφαίρας ακτίνας r είναι. r Έστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας της σφαίρας με κάντρο και ακτίνα r. Τότε κάθε σημείο της καμπύλης απέχει από το κέντρο της σφαίρας απόσταση r δηλαδή ισχύει: r r. Παραγωγίζοντας έχουμε Παραγωγίζοντας ξανά την παραπάνω έχουμε.5. Τα διανύσματα και δηλαδή εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας στο σημείο. είναι κάθετα στο. Το διάνυσμα r είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της σφαίρας. Το πρόσημο εξαρτάται από την φορά του Ν αν δηλαδή έχει φορά προς το εσωτερικό ή το εξωτερικό της σφαίρας. Άρα η κάθετη καμπυλότητα είναι n r r.5 r Σημείωση: Μπορεί να αποδείξει κανείς [] σελ. 9 ότι η κάθετη καμπυλότητα II είναι: n προσανατολισμός Ν. I r Παράδειγμα..6 Θα υπολογίσουμε την γεωδαισιακή καμπυλότητα κάθε κύκλου της σφαίρας όχι απαραίτητα μεγίστου 58

61 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Εάν η σφαίρα έχει ακτίνα r R cos αφού στο ΟPK τρίγωνο είναι r cos. R Εάν P είναι σημείο του κύκλου αυτού το κύριο κάθετο διάνυσμα του n στο P είναι παράλληλο με την ευθεία από το P κάθετη στον άξονα z δηλαδή την PK όπου Κ η προβολή του P πάνω στον άξονα z. Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα N της σφαίρας είναι παράλληλο με την ευθεία OP όπου O το κέντρο της σφαίρας. Η γωνία των διανυσμάτων R τότε ο παράλληλος κύκλος έχει ακτίνα n έστω ψ θα είναι ή ανάλογα με τον προσανατολισμό των διανυσμάτων x Κ O z φ θ θ Σχήμα. n και sin sin. Άρα sin P π-θ y Όμως η καμπυλότητα του κύκλου είναι Επομένως sin sin r R cos. r n R Παρατηρούμε ότι όταν ο κύκλος είναι μέγιστος τότε ή και άρα ο μέγιστος κύκλος είναι γεωδαισιακή καμπύλη όπως θα δούμε και στην συνέχεια. Θεώρημα Mesnier..7 Έστω p ένα σημείο μιας επιφάνειας και έστω ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της S στο p. Έστω το επίπεδο που περιέχει την ευθεία από το p που είναι παράλληλη με το και σχηματίζει γωνία με το εφαπτόμενο επίπεδο T p S. Υποθέτουμε ότι το τέμνει την S κατά μήκος μιας καμπύλης με καμπυλότητα Απόδειξη Υποθέτουμε ότι η. Τότε το sin είναι ανεξάρτητο του. είναι μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση της καμπύλης του και της S. 59

62 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ N n ψ p S S T p θ Σχήμα. Το θεώρημα του Mesnier Τότε στο p θα έχω και άρα το διάνυσμα είναι κάθετο στο αφού η είναι μοναδιαίας ταχύτητας άρα. Επομένως η γωνία που σχηματίζει το κάθετο διάνυσμα της S και το κάθετο διάνυσμα n της θα είναι. Άρα από την πρόταση.. θα έχω n cos cos Όμως όπως αναφέραμε και παραπάνω η n sin n εξαρτάται από το σημείο p και από το εφαπτόμενο διάνυσμα και όχι από την γωνία. Ορισμός..8 Όταν δηλαδή το επίπεδο είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο T p S τότε η τομή του με την επιφάνεια S σχηματίζει μια καμπύλη γ η οποία λέγεται κάθετη τομή της επιφάνειας. 6

63 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Πόρισμα..9 Η καμπυλότητα η κάθετη καμπυλότητα n και η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας κάθετης τομής ικανοποιούν τις σχέσεις: Απόδειξη Αφού n και sin n και έπεται n. Από την σχέση. έχω n 6

64 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ. Γεωδαισιακές.. Γενικός χαρακτηρισμός των Γεωδαισιακών Οι γεωδαισιακές καμπύλες σε μια επιφάνεια παίζουν ανάλογο ρόλο με αυτό των ευθειών στο επίπεδο. Γνωρίζουμε ότι μεταξύ των όλων των γραμμών του επίπεδου ευθείες τεθλασμένες καμπύλες οι ευθείες χαρακτηρίζονται με δυο ισοδύναμους τρόπους. Είναι γραμμές ελαχίστου μήκους μεταξύ δυο τυχαίων σημείων του επιπέδου. Είναι οι πιο ίσες γραμμές με την έννοια ότι η διεύθυνση του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος κατά μήκος της γραμμής μεταβάλλεται ελάχιστα στην πραγματικότητα στις ευθείες το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα δεν μεταβάλλεται καθόλου παραμένει σταθερό. Γενικεύοντας τις δύο παραπάνω ιδιότητες των ευθειών του επιπέδου στις καμπύλες μιας επιφάνειας θα ορίσουμε τις γεωδαισιακές με δυο ισοδύναμους τρόπους. Ως καμπύλες ελάχιστου μήκους τοπικά. Ως τις πιο ίσιες καμπύλες της επιφάνειας δηλαδή τις καμπύλες κατά μήκος των οποίων η διεύθυνση του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος μεταβάλλεται ελάχιστα. Δηλαδή η παράγωγος του μοναδιαίου εφαπτόμενου διανύσματος αυτής παραμένει πάντα κάθετο στην επιφάνεια δηλαδή είναι παράλληλο με το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της επιφάνειας γεγονός που αμέσως συνεπάγεται από την πρόταση.. ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα μηδενίζεται. Οδηγούμαστε έτσι στον παρακάτω ορισμό. Ορισμός.. Μια καμπύλη γ επιφάνειας S ονομάζεται γεωδαισιακή εάν η επιτάχυνση είναι είτε μηδέν είτε είναι κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο δηλαδή παράλληλη με το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμά της για όλες τις τιμές της παραμέτρου. Ισοδύναμα η γ είναι γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν το εφαπτόμενο διάνυσμα μεταβάλλεται ελάχιστα κατά μήκος της γ. 6

65 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Πρόταση.. Κάθε γεωδαισιακή έχει σταθερή ταχύτητα. Απόδειξη Έστω μια γεωδαισιακή καμπύλη σε μια επιφάνεια S. Τότε Εφόσον η γ είναι γεωδαισιακή η επιτάχυνση είναι κάθετη στο εφαπτόμενο πεδίο και συνεπώς κάθετη στο εφαπτόμενο διάνυσμα. Άρα δηλαδή C σταθερό. Η παραπάνω πρόταση ουσιαστικά μας δηλώνει ότι η μελέτη των γεωδαισιακών είναι ανεξάρτητη της παραμέτρησής τους. Είναι φανερό από τον ορισμό ότι μια μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση μιας γεωδαισιακής γ παραμένει γεωδαισιακή. Διότι εάν τότε η ~ ~ είναι μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση της γ και η είναι παράλληλη στο επομένως κάθετη στην επιφάνεια. Άρα μπορούμε πάντοτε εάν επιθυμούμε να περιοριζόμαστε σε γεωδαισιακές μοναδιαίας ταχύτητας. Όμως εν γένει μια αναπαραμέτρηση γεωδαισιακής δεν είναι κατ ανάγκη γεωδαισιακή όπως δείχνει το παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα..4 Μια κανονική καμπύλη γ μιας επιφάνειας S με παντού μη μηδενική καμπυλότητα ονομάζεται προ-γεωδαισιακή της S εάν κάποια αναπαραμέτρηση της γ είναι γεωδαισιακή της S. Θα δείξουμε ότι: i. Μια καμπύλη γ είναι προ-γεωδαισιακή αν και μόνο αν παντού στην γ. ii. Κάθε αναπαραμέτρηση μιας προ-γεωδαισιακής είναι προ-γεωδαισιακή 6

66 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ iii. Κάθε σταθερής ταχύτητας αναπαραμέτρηση προ-γεωδαισιακής είναι γεωδαισιακή. iv. Μια προ-γεωδαισιακή σταθερής ταχύτητας είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν έχει σταθερή ταχύτητα. Απόδειξη Έστω. Παρατηρώ ότι εάν είναι αναπαραμέτρηση της γ τότε: οι αναπαραμετρήσεις έχουν ίδιο κάθετο διάνυσμα και άρα Όμως N N N N αφού N άρα N Επομένως i. Έστω γ προγεωδαισιακή και έστω Γ η γεωδαισιακή αναπαραμέτρηση της γ. Τότε αφού η Γ είναι γεωδαισιακή θα έχει σταθερή ταχύτητα έστω υ και η ~ θα είναι μοναδιαίας ταχύτητας γεωδαισιακή αφού: ~ ~ και Επομένως ~ άρα Αντίστροφα Αν και αν Γ είναι μοναδιαίας ταχύτητας 64

67 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ αναπαραμέτρηση της γ τότε άρα η Γ είναι γεωδαισιακή. ii. Έστω γ προγεωδαισιακή τότε υπάρχει κάποια αναπαραμέτρηση Γ της γ η οποία είναι γεωδαισιακή. Άρα κάθε αναπαραμέτρηση της προγεωδαισιακής είναι προγεωδαισιακή. iii. Έστω γ σταθερής ταχύτητας υ προγεωδαισιακή. Τότε η είναι προγεωδαισιακή μοναδιαίας ταχύτητας και από το i ερώτημα θα είναι άρα η Γ γεωδαισιακή. Είναι και Δηλαδή η // επομένως το είναι κάθετο στην επιφάνεια άρα η γ είναι γεωδαισιακή αφού p S iv. Έστω γ μια προγεωδαισιακή καμπύλη με σταθερή ταχύτητα υ τότε σύμφωνα με το ii η γ είναι γεωδαισιακή. Αντίστροφα Αν μια καμπύλη γ προγεωδαισιακή είναι γεωδαισιακή τότε έχει σταθερή ταχύτητα. Πράγματι έστω Γ η γεωδαισιακή αναπαραμέτρηση της προγεωδαισιακής καμπύλης γ τότε:. Αφού η Γ είναι γεωδαισιακή η επιτάχυνση είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο άρα κάθετη και στο εφαπτόμενο διάνυσμα C σταθερό. δηλαδή άρα Πρόταση..5 Μια επιφανειακή καμπύλη είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν η γεωδαισιακή της καμπυλότητα είναι μηδέν. Απόδειξη Έστω γ μοναδιαίας ταχύτητας γεωδαισιακή της επιφάνειας S και p S. Έστω τμήμα της επιφάνειας της S με το p να ανήκει στην εικόνα του και έστω 65

68 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ το πρότυπο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του τότε:.5. Αν το διάνυσμα // τότε προφανώς είναι κάθετο στο άρα από την εξίσωση.5 έχουμε Αντίστροφα αν τότε η. Όμως τα είναι κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα του R και αφού προκύπτει ότι //. Παράδειγμα..6 Κάθε τμήμα ευθείας επάνω σε μια επιφάνεια είναι γεωδαισιακή. Μια ευθεία μπορεί να παραμετριστεί από την όπου σταθερά διανύσματα και άρα είναι γεωδαισιακή. Προφανώς όλες οι ευθείες του επιπέδου είναι γεωδαισιακές Παράδειγμα..7 Οι κάθετες τομές επιφάνειας είναι γεωδαισιακές Δείξαμε στο Πόρισμα..9 ότι η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας κάθετης τομής είναι μηδέν άρα η καμπύλη που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας S και ενός επιπέδου Π που είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο T p S στο σημείο P είναι γεωδαισιακή. Παράδειγμα..8 Οι μέγιστοι κύκλοι σφαίρας είναι γεωδαισιακές. Ένας μέγιστος κύκλος είναι η τομή της σφαίρας με ένα επίπεδο Π που περνά από το κέντρο Ο της σφαίρας. Άρα αν το P είναι ένα σημείο του μεγίστου κύκλου τότε το διάνυσμα OP ανήκει στο Π και είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας στο P OP T S. Άρα το Π είναι ορθογώνιο στο T p S εφαπτόμενο επίπεδο στο p σημείο P επομένως δηλαδή η γ είναι γεωδαισιακή. 66

69 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Σημείωση: Το παραπάνω συμπέρασμα το είδαμε και στο Παράδειγμα..6 όπου υπολογίσαμε την γεωδαισιακή καμπυλότητα κάθε κύκλου της σφαίρας. P S T p Ο Π Σχήμα.4. Οι μέγιστοι κύκλοι είναι γεωδαισιακές της σφαίρας Παράδειγμα..9 Η τομή ενός γενικευμένου κυλίνδρου με ένα επίπεδο Π ορθογώνιο στους γεννήτορες του κυλίνδρου είναι γεωδαισιακή Πράγματι το μοναδιαίο διάνυσμα είναι ορθογώνιο στους γεννήτορες. Άρα το είναι παράλληλο στο Π και συνεπώς το Π είναι ορθογώνιο στο εφαπτόμενο επίπεδο άρα. Π Ν Σχήμα.5. Οι παράλληλοι γενικευμένου κυλίνδρου είναι γεωδαισιακές 67

70 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 68. Γεωδαισιακές Εξισώσεις Θεώρημα.. Μια καμπύλη γ επιφάνειας S είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν για οποιοδήποτε τμήμα της γ που περιέχεται σε ένα τμήμα επιφάνειας σ ικανοποιούνται οι ακόλουθες δυο εξισώσεις: Όπου είναι η πρώτη θεμελιώδη μορφή του σ. Απόδειξη Εφόσον το σύνολο αποτελεί βάση του εφαπτόμενου επιπέδου του σ η γ είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν η επιτάχυνση είναι ορθογώνια στο και στο. Θυμίζω ότι η γ είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν = ή N // όπου Ν το μοναδιαίο κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο διάνυσμα. Είναι: και.6 Όμως:.7 Η.6 λόγω της.7 δίνει:.8

71 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 69 Όμως.9.. Η.8 λόγω των.9.. δίνει: και αποδείξαμε την πρώτη γεωδαισιακή εξίσωση. Όμοια από την σχέση αποδεικνύεται η δεύτερη γεωδαισιακή εξίσωση. Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και συνήθως είναι από δύσκολο έως αδύνατο να επιλυθούν ακριβώς. Αναφέραμε στο Παράδειγμα..8 ότι οι μέγιστοι κύκλοι σφαίρας είναι γεωδαισιακές. Στο παρακάτω παράδειγμα θα προσδιορίσουμε τις γεωδαισιακές της μοναδιαίας σφαίρας S λύνοντας τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Παράδειγμα.. Η συνήθης παραμέτρηση της μοναδιαίας σφαίρας S δίνεται από τις συντεταγμένες του γεωγραφικού πλάτους θ και του γεωγραφικού μήκους φ και είναι: sin sin cos cos cos Βρήκαμε Παράδειγμα.. ότι η πρώτη θεμελιώδης μορφή της μοναδιαίας σφαίρας είναι: cos Θα προσδιορίσουμε τις γεωδαισιακές της μοναδιαίας σφαίρας S λύνοντας τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Έστω είναι καμπύλες που περιέχονται σε τμήματα επιφανειών της. Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι:..

72 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Τα διανύσματα ταχύτητας των καμπυλών γ είναι: και όπως γνωρίζουμε Αν περιοριστούμε σε μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλες και δεδομένου ότι = τότε η παραπάνω γίνεται: cos cos.4 Από την η cos εξίσωση των γεωδαισιακών έχουμε cos C όπου C μια σταθερά Αν C = τότε C και συνεπώς η γ είναι τμήμα ενός μεσημβρινού δηλαδή μέγιστος κύκλος. Αν C τότε: C C cos C 4 cos cos Από τις.4 και.5 έχω: άρα C 4 cos C C cos cos 4 cos cos ολοκληρώνοντας έχω: cos.5 cos C cos C cos C cos cos C cos C cos Για το ολοκλήρωμα κάνω την αντικατάσταση n τότε και επειδή cos Έχω:.6 όπου είναι σταθερά n cos cos 7

73 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Δηλαδή: θέτω cos C cos C C C sin sin C Άρα η 5 γίνεται: sin C C sin sin C n C sin C sin cos cos sin n C sin cos C cos sin.7 Όμως οι συντεταγμένες x cos cos y cos sin z sin της ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου z x y επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δηλαδή: sin cos cos cos sin n cos sin.8 Από τις.7.8 έχω: C sin C cos Άρα η γ περιέχεται στην τομή της κέντρο της σφαίρας. S με ένα επίπεδο που περνά από το Επομένως σε κάθε περίπτωση η γ είναι τμήμα μέγιστου κύκλου. Παράδειγμα.. Θα βρούμε τις γεωδαισιακές του κυκλικού κυλίνδρου λύνοντας τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Θεωρούμε την επιφάνεια με παραμετρική παράσταση cossin με D R Είναι φανερό ότι το D είναι ορθός κυκλικός κύλινδρος μοναδιαίας ακτίνας. Είναι: sin cos - sin cos και 7

74 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ - - Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι: όπου c σταθερές c c Άρα cos sin c Αν τότε cossin c και η γεωδαισιακή είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα z. cossin Αν τότε είναι κυκλική έλικα.. Παράδειγμα..4 Η επιφάνεια S με παραμέτρηση όπου : R R με cos sin μη μηδενικές σταθερές λέγεται ελικοειδές Helicoi Παράγραφος - είναι φανερό ότι η παραμετρική γραμμή είναι κυκλική έλικα - η παραμετρική γραμμή cos sin. είναι ευθεία αφού Αν γ μοναδιαίας ταχύτητα γεωδαισιακή του ελικοειδούς cos sin τότε + cossin sin cos και - sin cos - cos sin cos sin - sin cos. Επειδή η καμπύλη είναι μοναδιαίας ταχύτητας θα ισχύει:.9. 7

75 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 7 Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι:.. Η. δίνει:. όπου α σταθερά Η.9 λόγω της. δίνει:.. Από τις.. έχω κατά μήκος της γεωδαισιακής.4. Αν α = τότε η 6 δίνει σταθερά δηλαδή sin cos sin cos. Αν τότε η.4 δίνει:. Ολοκληρώνοντας την παραπάνω έχουμε: 7 όπου σταθερά. Για το ολοκλήρωμα θέτω τότε και άρα Sinh Sinh Arc sinh Επομένως η 5 δίνει: Sinh όπου είναι μια σταθερά.

76 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Το γράφημα της Sinh στο διάστημα [-] φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα.6 Θεώρημα..5 Έστω S επιφάνεια και γ επιφανειακή καμπύλη της S. Η γ είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν για κάθε παραμετρημένο τμήμα της που περιέχεται σε τμήμα επιφάνειας σ της S ικανοποιούνται οι εξής δυο εξισώσεις. Εδώ είναι τα σύμβολα του Chrisoer που ορίστηκαν στην Πρόταση i j.4. Απόδειξη Από τον ορισμό η γ είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν ή // N. Το διάνυσμα ταχύτητας της γ είναι: και θ.ss L N L N 74

77 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 75 N M L Για να είναι τώρα το N // οι συντελεστές των και θα πρέπει να είναι μηδέν δηλαδή και το θεώρημα αποδείχτηκε. Πρόταση..6 Θα δείξουμε τώρα ότι οι γεωδαισιακές εξισώσεις του Θεωρήματος είναι ισοδύναμες με τις γεωδαισιακές εξισώσεις του Θεωρήματος Από το πρώτο μέλος της.5 έχω: v.9 Επειδή και το δεύτερο μέλος της.5 γίνεται:

78 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 76 v v. Η.5 λόγω των.9 και. δίνει: N L N M L N M L. Από την. και επειδή τα { Ν} αποτελούν βάση του R έπεται ότι: δηλαδή βγάλαμε τις εξισώσεις των γεωδαισιακών. Από τα παραπάνω παρατηρούμε ότι: Οι γεωδαισιακές εξισώσεις εξαρτώνται μόνο από την πρώτη θεμελιώδη μορφή και τις παραγώγους της άρα δεν αλλάζουν κατά την καμπύλωση της επιφάνειας. Οι γεωδαισιακές μιας επιφάνειας είναι οι τροχιές που θα διαγράψουν τα σωμάτια που κινούνται ελεύθερα χωρίς την επίδραση καμίας δύναμης με μόνο περιορισμό να βρίσκονται πάντα πάνω στην επιφάνεια

79 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Μια επιφανειακή καμπύλη είναι γεωδαισιακή μόνο αν είτε είναι ευθεία είτε το πρώτο κάθετο αυτής συμπίπτει πλην ίσως προσήμου με το κάθετο Ν της επιφάνειας κατά μήκος αυτής. n Σχήμα.7 Όπως αναφέραμε παραπάνω οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης για τις συναρτήσεις και. Η θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων μας παρέχει πολύτιμη πληροφορία για τις λύσεις του συστήματος. Πρόταση..7 Έστω p ένα σημείο μιας επιφάνειας S και έστω ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της S στο p. Τότε υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή γ της S μοναδιαίας ταχύτητας η οποία περνά από το p και έχει εφαπτόμενο διάνυσμα το. <<Δηλαδή υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή που περνά από κάθε δοθέν σημείο μιας επιφάνειας σε κάθε δοθείσα κατεύθυνση>> Απόδειξη Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι της μορφής:. Όπου είναι λείες συναρτήσεις των τεσσάρων μεταβλητών. Αποδεικνύεται στην θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων θεώρημα 77

80 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ επέκτασης του Cchy ότι για οποιεσδήποτε σταθερές α c και για κάθε τιμή του υπάρχει λύση των εξισώσεων. τέτοια ώστε: c Με τις να είναι ορισμένες και λείες για όλα τα με όπου κάποιος θετικός αριθμός. Επιπλέον η λύση αυτή είναι μοναδική. Εφαρμόζουμε τώρα το παραπάνω θεώρημα στις γεωδαισιακές εξισώσεις. Έστω το p ανήκει σε ένα τμήμα της επιφάνειας. Τότε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της S στο p γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων της βάσης δηλαδή υπάρχουν c τέτοια ώστε: c όπου α c αριθμοί και οι παράγωγοί τους υπολογίζονται στα. Μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας αν και μόνο αν αν και μόνο αν περνά από το p στο ενώ έχει εφαπτόμενο διάνυσμα το c Δηλαδή c και. Άρα η εύρεση μιας μοναδιαίας ταχύτητας γεωδαισιακή γ που περνά από το p στο και έχει εφαπτόμενο διάνυσμα στο p είναι ισοδύναμη με την λύση των γεωδαισιακών εξισώσεων με αρχικές συνθήκες. Το παραπάνω πρόβλημα όμως όπως αναφέραμε έχει μοναδική λύση. Παράδειγμα..8 Όλες οι ευθείες ενός επιπέδου είναι γεωδαισιακές αφού υπάρχει μια ευθεία του επιπέδου που περνά από οποιοδήποτε δοθέν σημείο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση παράλληλη με το επίπεδο επομένως σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση δεν υπάρχουν άλλες γεωδαισιακές Παράδειγμα..9 Είδαμε στο Παράδειγμα..8 λύνοντας το σύστημα των γεωδαισιακών εξισώσεων ότι οι γεωδαισιακές μιας σφαίρας είναι οι μέγιστοι κύκλοι. Με την 78

81 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ παραπάνω πρόταση το συμπέρασμα αυτό εξάγεται πολύ πιο εύκολα. Πράγματι σε μια σφαίρα οι μέγιστοι κύκλοι είναι οι μόνες γεωδαισιακές που περνούν από οποιοδήποτε δοθέν σημείο σε οποιαδήποτε δοθείσα κατεύθυνση εφαπτόμενη στην σφαίρα. Έστω p είναι το διάνυσμα θέσης ενός σημείου και μια δοθείσα εφαπτόμενη κατεύθυνση. Αν θεωρήσουμε το επίπεδο Π που περνά από την αρχή Ο και είναι παράλληλο με τα p δηλαδή κάθετο στο παίρνουμε την τομή της σφαίρας με το Π. p τότε Πόρισμα.. [ ] Μια τοπική ισομετρία μεταξύ δυο επιφανειών απεικονίζει τις γεωδαισιακές της μιας επιφάνειας στις γεωδαισιακές της άλλης. Παράδειγμα.. Στον μοναδιαίο κυκλικό κύλινδρο x y z S R : x y γνωρίζουμε ότι οι κύκλοι που λαμβάνονται από την τομή του κυλίνδρου με επίπεδα παράλληλα με το επίπεδο xy είναι γεωδαισιακές αφού είναι κάθετες τομές. Οι ευθείες που είναι παράλληλες με τον άξονα z είναι γεωδαισιακές. Όμως αυτές σίγουρα δεν είναι οι μόνες γεωδαισιακές αφού γνωρίζουμε ότι από κάθε σημείο υπάρχει γεωδαισιακή που περνά σ οποιαδήποτε κατεύθυνση. Για να τις βρούμε θα θυμηθούμε ότι ο S είναι τοπικά ισομετρικός με το επίπεδο αφού έχουν την ίδια πρώτη θεμελιώδη μορφή. Έτσι αν χρησιμοποιήσουμε το τμήμα της επιφάνειας xy επιπέδου και cossin S S του όπου τότε : S S όπου S και S. Συνεπώς για να εντοπίσουμε όλες τις γεωδαισιακές του S πρέπει να βρούμε τις εικόνες μέσω της τοπικής ισομετρίας όλων των ευθειών του επιπέδου. Κάθε ευθεία που δεν είναι παράλληλη με τον άξονα y έχει εξίσωση y mx c. Παραμετρίζοντας αυτή την ευθεία από τις x y m c βλέπουμε ότι η εικόνα της είναι: cossin m c του κυλίνδρου. Βλέπουμε δηλαδή ότι η γ είναι κυκλική έλικα ακτίνας αφού αν x y z είναι σημείο αυτής τότε x y και z m c. 79

82 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Αν m τότε cossin c κυκλικές γεωδαισιακές που ήδη γνωρίζουμε. δηλαδή παίρνουμε τις Τέλος κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα y y απεικονίζεται μέσω της τοπικής ισομετρίας σε μια ευθεία του κυλίνδρου παράλληλη με τον άξονα z δίνοντας έτσι την άλλη οικογένεια γεωδαισιακών που ήδη γνωρίζουμε. Πράγματι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα y y είναι της μορφής x σταθερό άρα cos σταθερό sin l σταθερό και η γ θα είναι l δηλαδή ευθεία παράλληλη στον άξονα z. 8

83 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 8.4 Γεωδαισιακές επιφανειών εκ περιστροφής.4. Επιφάνειες εκ περιστροφής Αν και οι γεωδαισιακές εξισώσεις μιας επιφάνειας εκ περιστροφής δεν μπορούν συνήθως να επιλυθούν μπορούν ωστόσο να χρησιμοποιηθούν ώστε να έχουμε μια καλή ποσοτική κατανόηση των γεωδαισιακών. Παραμετρίζουμε την επιφάνεια εκ περιστροφής με τον συνήθη τρόπο sin cos όπου και. Είδαμε στο Παράδειγμα.6.5 ότι η πρώτη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας εκ περιστροφής είναι: I Επομένως οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι:.4. Περιοριζόμαστε τώρα σε γεωδαισιακές μοναδιαίας ταχύτητας sin cos τότε cos sin sin cos και.5 Με βάση τα παραπάνω θα αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση. Πρόταση.4. Στην επιφάνεια εκ περιστροφής sin cos i. Κάθε μεσημβρινός είναι γεωδαισιακή

84 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ii. Ο παράλληλος είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν το είναι ένα κρίσιμο σημείο της δηλαδή αν. Απόδειξη i. Πράγματι σε έναν μεσημβρινό έχουμε R δηλαδή επομένως και η η εξίσωση των γεωδαισιακών ικανοποιείται. Από την.5 έχω επομένως άρα η η εξίσωση των γεωδαισιακών δίνει: ισχύει. Δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις των γεωδαισιακών άρα κάθε μεσημβρινός είναι γεωδαισιακή. ii. Σε έναν παράλληλο έχουμε η.5 δίνει: R δηλαδή επομένως Η εξίσωση. γίνεται: ενώ προφανώς η η γεωδαισιακή εξίσωση ισχύει. Αντίστροφα Αν τότε προφανώς η η γεωδαισιακή εξίσωση ισχύει. Επειδή και C σταθερά δηλαδή σταθερά άρα η η γεωδαισιακή εξίσωση επίσης ικανοποιείται. Σημείωση: Θα μπορούσαμε εύκολα να αποφανθούμε ότι οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι μιας επιφάνειας εκ περιστροφής είναι γεωδαισιακές Σχήμα.8 αφού σε κάθε μεσημβρινό το κάθετο διάνυσμα της καμπύλης είναι ίσο με το κάθετο της επιφάνειας ενώ στους παράλληλους αυτό συμβαίνει μόνο αν το επίπεδο αυτού είναι κάθετο στην επιφάνεια. 8

85 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Με άλλα λόγια ο παράλληλος είναι μια γεωδαισιακή εάν και μόνο εάν έχει ληφθεί με την περιστροφή ενός σημείου όπου το εφαπτόμενο διάνυσμα της γενέτειρας είναι παράλληλο στον άξονα περιστροφής. Όχι γεωδαισιακή γεωδαισιακή γεωδαισιακή Σχήμα.8 Παραπάνω βρήκαμε ορισμένες από τις επιφάνειες εκ περιστροφής οι οποίες είναι γεωδαισιακές. Το παρακάτω θεώρημα μας βοηθά να αντιληφθούμε τις γεωδαισιακές που απομένουν. Θεώρημα του Clir.4. Έστω γ καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας μιας επιφάνειας εκ περιστροφής S έστω : S R η απόσταση ενός σημείου της S από τον άξονα περιστροφής και έστω ψ η γωνία του και των μεσημβρινών της S. Εάν η γ είναι γεωδαισιακή τότε το είναι σταθερό πάνω στην γ. sin Αντίστροφα Σχήμα.9 Εάν το sin είναι σταθερό επάνω σε κάποια επιφανειακή καμπύλη γ και αν κανένα τμήμα της γ δεν είναι τμήμα κάποιου παράλληλου της S τότε η γ είναι γεωδαισιακή. Απόδειξη 8

86 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Παραμετρίζουμε την επιφάνεια εκ περιστροφής με τον συνήθη τρόπο cos sin όπου τότε: cos sin sin cos Αν υποθέσουμε ότι η γ έχει παράμετρο το μήκος τόξου τότε: και άρα Είναι Τα διανύσματα sin cos και είναι μοναδιαία εφαπτόμενα στους παράλληλους και τους μεσημβρινούς αντίστοιχα και ορθογώνια αφού Υποθέτουμε ότι η είναι μοναδιαίας ταχύτητας τότε.6 Στο σημείο τα διανύσματα και αποτελούν μια βάση του εφαπτόμενου επιπέδου. Κάθε μοναδιαίο και εφαπτόμενο διάνυσμα γράφεται μονοσήμαντα ως προς αυτή την βάση ως εξής: cos sin cos sin.7 Από τις.6 και.7 έχω: cos sin cos sin Όμως τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα άρα: cos sin.8.9 Από την.9 έχω: sin sin sin sin.4 Όμως οι γεωδαισιακές εξισώσεις της επιφάνειας εκ περιστροφής είναι:

87 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 85 Από την.4 προκύπτει ότι: σταθερό C άρα η.4 δίνει C sin Αντίστροφα Αν C sin πάνω σε μια μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη γ της S τότε όπως είδαμε παραπάνω ικανοποιείται η εξίσωση.4 δηλαδή ικανοποιείται η μια γεωδαισιακή εξίσωση. Πρέπει να δείξουμε ότι ικανοποιείται και η.4. Είναι sin sin sin C.4 Αφού και 4 C C.44. Παραγωγίζοντας ως προς την.44 έχω: 4 C C C C 4 C δηλαδή η γ ικανοποιεί και την δεύτερη γεωδαισιακή εξίσωση. Σημείωση: Στο παραπάνω θεώρημα όταν λέμε τμήμα της γ εννοούμε ένα γj όπου J ένα ανοικτό διάστημα. Η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να παραληφθεί αφού πάνω σε έναν παράλληλο είναι και το sin σταθερό. Όμως όπως αποδείξαμε οι παράλληλοι δεν είναι γεωδαισιακές αφού για να είναι θα πρέπει. Έτσι στην απόδειξη του θεωρήματος υποθέσαμε ότι διότι αν και η γ θα ταυτίζεται με τον παράλληλο.

88 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Παράδειγμα.4.4 Θα βρούμε μια παραμέτριση της επιφάνειας εκ περιστροφής με καμπυλότητα ss K η οποία ονομάζεται ψευδοσφαίρα Σχήμα. σαν σφαίρα φανταστικής ακτίνας. Όταν K από το Παράδειγμα.6.5 έχουμε: Η χαρακτηριστική εξίσωση αυτής είναι: άρα e e όπου σταθερές Επειδή η συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων όταν ένα εκ των είναι μηδέν. Έστω και τότε e και e e όπου e e άρα e Για τον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος θέτω e sin sin cos e cos τότε sin cos sin cos cos cos άρα cos Θέτω I.45 cos cos sin cos cos cos cos sin sin τότε cos και το ολοκλήρωμα γίνεται: sin ln ln ln ln sin ln sin sin ln sin cos ln sin ln cos cos sin cos ln e n αφού e cos τότε e e e cos cos cos sin e n e n e cos Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται 86

89 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ I ln e e ln e e Επομένως η.45 γίνεται: sin lne e όμως cos e e sin ln e e e sin e άρα όπου έχουμε παραλείψει την τυχαία σταθερά αλλά μπορούμε να πάρουμε C = μεταφέροντας κατάλληλα την επιφάνεια κατά μήκος του άξονα z. cosh Θέτοντας x e z και λαμβάνοντας υπόψη ότι: ln βλέπουμε ότι η γενέτειρα καμπύλη του επιπέδου xz έχει εξίσωση z x cosh x με x Περιστρέφοντας την καμπύλη αυτή γύρω από τον άξονα z προκύπτει η επιφάνεια που ονομάζεται ψευδοσφαίρα της οποίας η καμπυλότητα ss είναι παντού -. Άρα μια παραμέτρηση της ψευδοσφαίρας είναι η επιφάνεια e cos e sin e cosh e Σχήμα.. Ψευδοσφαίρα Παράδειγμα.4.5 Θα προσδιορίσουμε με το θεώρημα του Clir τις γεωδαισιακές της ψευδοσφαίρας. 87

90 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 88 Για ευκολία στις πράξεις κάνουμε αναπαραμέτρηση της παραπάνω επιφάνειας θέτοντας w e e w όπου w e Η αναπαραμετρισμένη επιφάνεια είναι: w w w w w cosh sin cos Είναι: sin cos w w w w w w sin cos sin cos w w w w w w w w w w cos sin w w sin cos w w w w w w w w w ww - sin cos sin cos w w w - cos sin w w w Άρα η πρώτη θεμελιώδη μορφή είναι: w w w w I με w ώστε η να είναι καλά ορισμένη και λεία. Η ln cosh cosh x x x x Arc ορίζεται όταν x. Εάν w είναι μοναδιαίας ταχύτητας γεωδαισιακή τότε: w w w w w w w.46

91 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Από το θεώρημα του Clir γνωρίζουμε ότι sin sin και sin C σταθερό όπου στην συγκεκριμένη περίπτωση sin C C w.47 w w w w άρα Εάν C τότε σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι οι μεσημβρινοί. Εάν C τότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση.46 έχω: w C w 4 w w w C w Άρα πάνω στην γεωδαισιακή είναι 4 w w C w w w C w w w w Ολοκληρώνοντας έχουμε Cw Cw Cw C w w C w C w Cw C w w C w C w C C w C όπου είναι σταθερά. Υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε C C w w w με w.48 C Επομένως οι γεωδαισιακές είναι οι - εικόνες των τμημάτων των κύκλων του επιπέδου τόξα που δίνονται από την εξίσωση.48 και βρίσκονται στο χωρίο με w. Οι κύκλοι αυτοί έχουν όλοι κέντρο και συνεπώς τέμνουν κάθετα τον άξονα. w πάνω στον άξονα Οι μεσημβρινοί αντιστοιχούν σε ευθείες κάθετες στον άξονα αφού το είναι σταθερό. Σχήμα.. Γεωδαισιακές του υπερβολικού άνω ημιεπιπέδου υ 89

92 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γεωδαισιακές της ψευδοσφαίρας. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση των μεσημβρινών οι γεωδαισιακές δεν μπορούν να επεκταθούν απεριόριστα προς την μια κατεύθυνση. Στην περίπτωση των τόξων των κύκλων οι γεωδαισιακές δεν επεκτείνονται και προς τις δυο κατευθύνσεις. Αυτό διότι οι γεωδαισιακές καταλήγουν στην κυκλική άκρη της ψευδοσφαίρας στο επίπεδο xy. << Ένα έντομο που περπατά με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος μιας τέτοιας γεωδαισιακής θα έφτανε κοντά στην άκρη σε πεπερασμένο χρόνο και όπως οι αρχαίοι ναυτικοί θα ένιωθε το φόβο ότι θα πέσει από την άκρη του κόσμου >>. Σχήμα. Το θεώρημα του Clir μας βοηθά να περιγράψουμε την ποιοτική συμπεριφορά των γεωδαισιακών μιας οποιασδήποτε επιφάνειας εκ περιστροφής S όταν η επίλυση των γεωδαισιακών εξισώσεων είναι δύσκολη έως αδύνατη. Πράγματι από τις σχέσεις.4 και.44 έχουμε: C sin C C Από τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε ότι υπάρχουν δυο γεωδαισιακές που περνούν από κάθε σημείο p S με δοθείσα σταθερά C αφού η προσδιορίζεται μέχρι προσήμου από την πρώτη εξίσωση. Πράγματι η μια γεωδαισιακή λαμβάνεται από την άλλη με ανάκλαση στο επίπεδο από το p Pressley [] 9

93 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 9 που περιέχει τον άξονα περιστροφής και η οποία αλλάζει την σταθερά C σε C. Επομένως για να μελετήσουμε τις γεωδαισιακές καμπύλες μπορούμε να υποθέσουμε ότι C. Η σταθερά C είναι διαφορετική για κάθε γεωδαισιακή και έχει μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν C τότε σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι οι μεσημβρινοί. Αν C τότε από την εξίσωση C C.44 βλέπουμε ότι η γεωδαισιακή οριοθετείτε στο μέρος της επιφάνειας S που βρίσκεται σε απόσταση C. Εάν η επιφάνεια S βρίσκεται σε απόσταση C από τον άξονα τότε η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο της S. Πράγματι αν υπήρχε παράλληλος που η γεωδαισιακή δεν τον τέμνει τότε το θα ήταν φραγμένο από πάνω ή από κάτω από την S. Έστω το ελάχιστο άνω φράγμα του επάνω στην γεωδαισιακή και έστω C όπου η ακτίνα του παράλληλου. Εάν το είναι αρκετά κοντά στο η ακτίνα του αντίστοιχου παράλληλου θα είναι C C C C C C C C C C C C C C C. Επομένως η γεωδαισιακή τέμνει τον παράλληλο άτοπο. Εάν μέρος της επιφάνειας S βρίσκεται σε απόσταση C από τον άξονα τότε οι γεωδαισιακές εξισώσεις γίνονται C C

94 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ δηλαδή παίρνουμε τους παράλληλους της επιφάνειας της επιφάνειας εκ περιστροφής οι οποίοι όπως γνωρίζουμε δεν είναι όλοι γεωδαισιακές για να είναι θυμίζουμε ότι πρέπει. Στο παρακάτω παράδειγμα θα δείξουμε όλες τις πιθανές μορφές συμπεριφοράς των γεωδαισιακών. Παράδειγμα.4.6 Θεωρούμε το μονόφυλλο υπερβολοειδές που λαμβάνεται από την περιστροφή της υπερβολής x z x του επιπέδου xz γύρω από τον άξονα z. Η παραβολή τέμνει τον άξονα των x στο σημείο άρα για κάθε σημείο p της επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή της υπερβολής γύρω από τον άξονα z θα απέχει απόσταση από τον άξονα z. Αφού όλη η επιφάνεια είναι σε απόσταση από τον άξονα z θα πρέπει C. Αν C τότε οι γεωδαισιακές όπως αναφέραμε παραπάνω είναι οι μεσημβρινοί. Αν C θυμίζω τότε η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο του υπερβολοειδούς και θα εκτείνεται από το z όπως φαίνεται στο Σχήμα. z έως το Σχήμα. C 9

95 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Αν C τότε επειδή z x z x τότε η γεωδαισιακή περιορίζεται σε ένα από τα δυο χωρία z C ή z C τα οποία φράσσονται από τους κύκλους αντίστοιχα ακτίνας C. και Έστω p ένα σημείο του και θεωρούμε την γεωδαισιακή καμπύλη που περνά από το p και εφάπτεται στον στο σημείο p. Τότε στο σημείο p ισχύει C και C C C δηλαδή άρα προκύπτει ο παράλληλος κύκλος. Όμως η δεν μπορεί να περιέχεται στον αφού για να είναι ο γεωδαισιακή θα πρέπει το να είναι κρίσιμο σημείο άρα η πρέπει να κατευθύνεται στο χωρίο κάτω από το. Επιπλέον η γεωδαισιακή καμπύλη πρέπει να είναι συμμετρική γύρω από το p διότι η ανάκλασή της στο επίπεδο από το p που περιέχει τον άξονα z απεικονίζει την σε μια άλλη γεωδαισιακή που περνά επίσης από το p και έχει την ίδια εφαπτομένη στον. Γνωρίζουμε όμως ότι από σημείο p και με δεδομένη διεύθυνση διέρχεται μοναδική γεωδαισιακή άρα η νέα καμπύλη ταυτίζεται με την γεωδαισιακή. Στο χωρίο κάτω από τον είναι C C και η γεωδαισιακή θα τέμνει κάθε παράλληλο έως το z όπως φαίνεται στο Σχήμα.4. Σχήμα.4 C 9

96 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Αν C θεωρούμε την γεωδαισιακή καμπύλη που περνά από ένα σημείο p. Αν το p βρίσκεται στην μέση Γ του υπερβολοειδούς δηλαδή στον μοναδιαίο κύκλο του επιπέδου xy τότε C και άρα η είναι γεωδαισιακή κάθετη τομή και είναι εφαπτόμενη του κύκλου Γ στο p. Αν υποθέσουμε ότι το p βρίσκεται στο χωρίο κάτω από τον Γ τότε. Η γεωδαισιακή καμπύλη θα προσεγγίζει τον Γ προς μια κατεύθυνση διότι αν έμενε πάντοτε κάτω από έναν παράλληλο ~ ακτίνας τότε παντού πάνω στην δηλαδή η θα τέμνει κάθε παράλληλο άτοπο. Άρα η κινείται σπειροειδώς και πλησιάζει οσοδήποτε κοντά τον Γ αλλά δεν τον φτάνει ποτέ Σχήμα.5. Σχήμα.5 C Παράδειγμα.4.7 Θα περιγράψουμε τώρα τις γεωδαισιακές που λαμβάνονται από την περιστροφή x z της έλλειψης με γύρω από τον άξονα z. Η επιφάνεια που λαμβάνεται από την περιστροφή της έλλειψης λέγεται 94

97 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ελλειψοειδής επιφάνεια και η μέγιστη απόσταση ενός σημείου του ελλειψοειδούς από τον άξονα z είναι ίση με. Άρα για την σταθερά C θα πρέπει να ισχύει C. Αν C τότε σταθερό και οι γεωδαισιακές είναι οι μεσημβρινοί. x Αν C τότε επειδή z η γεωδαισιακή περιορίζεται στο C χωρίο του ελλειψοειδούς που περιέχεται μεταξύ των κύκλων z και σύμφωνα με αυτά που περιγράψαμε στο προηγούμενο παράδειγμα η γεωδαισιακή αναπηδά μεταξύ αυτών των δυο κύκλων όπως φαίνεται στο Σχήμα.6. Σχήμα.6 C Αν C τότε και επομένως η γεωδαισιακή τομή. θα είναι ο μέγιστος παράλληλος του σφαιροειδούς κάθετη 95

98 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ.5 Οι γεωδαισιακές ως καμπύλες ελάχιστου μήκους Στην παράγραφο αυτή θα περατώσουμε τις γεωδαισιακές καμπύλες με την απόδειξη ενός σημαντικού τύπου του λογισμού μεταβολών clcls o vriions ο οποίος θα φωτίσει περαιτέρω τις ιδιότητες αυτών. Συγκεκριμένα ελάχιστο μήκος. θα δούμε τις γεωδαισιακές ως καμπύλες με ακρότατο μέγιστο ή Για να δούμε την σύνδεση των γεωδαισιακών και των συντομότερων δρόμων πάνω σε μια οποιαδήποτε επιφάνεια S θεωρούμε μια μοναδιαίας ταχύτητας καμπύλη γ της S που περνά από δυο δοθέντα σημεία p q S. Εάν η γ είναι ο συντομότερος δρόμος στην επιφάνεια από το p στο q τότε το μέρος της γ που περιέχεται σε κάθε τμήμα επιφάνειας της S πρέπει να είναι ο συντομότερος μεταξύ δυο οποιονδήποτε σημείων του. Θεωρούμε μια καμπύλη γ που περιέχεται πλήρως σε ένα τμήμα επιφάνειας της S. Για να ελέγξουμε το πότε η γ έχει μικρότερο μήκος από κάθε άλλη καμπύλη του που περνά από δυο δοθέντα σημεία p και q του εμβαπτίζουμε την γ σε μια λεία οικογένεια καμπυλών του που περνούν από τα p και q. Μια τέτοια οικογένεια συμβολίζεται με και ονομάζεται γνήσια μεταβολή proper vriion της. Πιο συγκεκριμένα: Ορισμός.5. Έστω S μια κανονική επιφάνεια του R και : S μια καμπύλη κλάσης C πάνω στην S όπου. Μια μεταβολή της γ είναι μια λεία απεικόνιση : S όπου δ > τέτοια ώστε για κάθε I. Αν το διάστημα Ι είναι συμπαγές δηλαδή της μορφής I [ ] τότε η μεταβολή λέγεται γνήσια μεταβολή της αν για όλα τα είναι p και q. 96

99 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Σχήμα.7 Η οικογένεια δρόμων Ορισμός.5. Έστω S μια κανονική επιφάνεια του R και : I S μια καμπύλη κλάσης C πάνω στην S. Για κάθε συμπαγές υποδιάστημα [ ] μήκος του συναρτησοειδούς ως L. του I ορίζουμε το Μια καμπύλη κλάσης C : I S λέμε ότι είναι ένα κρίσιμο σημείο για το μήκος του συναρτησοειδούς αν κάθε γνήσια μεταβολή της / ικανοποιεί την: L. Θα αποδείξουμε ότι οι γεωδαισιακές μπορούν να χαρακτηριστούν ως κρίσιμα σημεία του μήκους του συναρτησοειδούς. Θεώρημα.5. Μια καμπύλη γ μοναδιαίας ταχύτητας είναι γεωδαισιακή αν και μόνο αν L για όλες τις οικογένειες καμπυλών με Απόδειξη και L Είναι: 97

100 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 98 I.49 όπου για ευκολία θέτω και Όμως.5 Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωμα της.49 τους όρους της.5 που περιέχουν τις δεύτερες μερικές παραγώγους έχουμε: I

101 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ 99 Αφού p q δηλαδή είναι ανεξάρτητο του θα είναι όταν ή. Όμως και άρα όταν ή θα είναι επομένως I Άρα η.49 γίνεται: L.5 - L

102 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Επειδή η είναι μοναδιαίας ταχύτητας και επειδή όταν έχω επομένως στην.5 αν θέσω U -.5 V -.5 και δεδομένου ότι η.5 γίνεται L U V.54 Συγκρίνοντας τις.5.5 με τις γεωδαισιακές εξισώσεις βλέπουμε ότι εάν η είναι γεωδαισιακή τότε U V για όλα τα όταν και άρα η εξίσωση.54 δίνει L Αντίστροφα όταν. Θα πρέπει να δείξουμε ότι εάν ισχύει L όταν δηλαδή U V.55 για όλες τις οικογένειες καμπυλών τότε U V όταν δηλαδή η γ ικανοποιεί τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Έστω η συνθήκη.55 ισχύει δηλαδή L για παράδειγμα ότι U όταν θα οδηγηθούμε σε άτοπο. Αφού U όταν όταν και έστω θα υπάρχει τέτοιο ώστε Υποθέτω χωρίς βλάβη γενικότητας ότι U συνεχής θα υπάρχει μια περιοχή του. U.. Επειδή η U είναι τέτοιο ώστε U όταν σε Θεωρώ μια λεία συνάρτηση τέτοια ώστε: όταν και έξω από το διάστημα αν τέτοια συνάρτηση υπάρχει όπως θα δείξουμε παρακάτω.

103 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Υποθέτω ότι και θεωρούμε την οικογένεια καμπυλών όπου και για όλες τις τιμές των. Άρα η.55 δίνει: U V U U και αφού Άρα U για κάθε τότε όταν. άτοπο. Όμοια αποδεικνύεται ότι V. Δηλαδή U V άρα η γ ικανοποιεί τις γεωδαισιακές εξισώσεις. Παράδειγμα.5.4 Θα κατασκευάσουμε τώρα μια λεία συνάρτηση τέτοια ώστε όταν και για οποιεσδήποτε άλλες τιμές. n Αρχικά θα δείξουμε ότι lim e για κάθε n Z. Αν n τότε n προφανώς lim e. Θα δείξω με επαγωγή ότι αν n τότε lim n e - Για n έχω: lim n e lim e ισχύει. - Υποθέτω ότι ισχύει για n δηλαδή lim e - Θα αποδείξω ότι ισχύει για n δηλαδή lim e.56 Είναι: lim e lim e lim e lim e lim e

104 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Δηλαδή αποδείξαμε την.56 άρα σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής lim n e για κάθε n. Επομένως δείξαμε ότι lim n e για κάθε Z n Στην συνέχεια θεωρώ την συνάρτηση e και θα δείξουμε ότι είναι λεία σε όλο το R. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με e αν και αν. Στο έχω: lim lim e άρα e. Βρίσκοντας τις κλπ συμπεραίνουμε ότι: e P n n n n για κάθε n όπου P n ένα πολυώνυμο του. - Πράγματι για n ισχύει το δείξαμε παραπάνω και P. - Έστω ισχύει για n δηλαδή e P - Θα αποδείξω ότι ισχύει για n δηλαδή e P.57. Αν τότε: e P e P 6 e P P P

105 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ P P P P P e e P e Αν είναι Στο έχω: P e lim lim P e lim e P lim P αρχικά δείξαμε. Άρα e όπως δηλαδή αποδείξαμε την.57 επομένως σύμφωνα με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής η ισχύει για κάθε n. Στην συνέχεια θεωρούμε την συνάρτηση η οποία είναι γινόμενο των συνθέσεων των λείων συναρτήσεων και με την λεία συνάρτηση άρα πρόκειται για μια λεία συνάρτηση. Θα προσδιορίσουμε την συνάρτηση. Είναι e και θέτω e και. Θα προσδιορίσουμε πρώτα την. D R - Για το πεδίο ορισμού της πρέπει: D Άρα D. Για κάθε είναι e Όμοια βρίσκουμε D και για κάθε έχω. Άρα e.

106 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε Με την βοήθεια του πίνακα e e e e e e e Έχουμε: e οπουδήποτε αλλού Τέλος η συνάρτηση είναι παντού λεία ως σύνθεση των λείων συναρτήσεων και της. Εύκολα προκύπτει ότι:. αλλού Άρα όταν. και έξω από το διάστημα αν Παράδειγμα.5.5 Μια γεωδαισιακή δεν είναι πάντοτε καμπύλη ελαχίστου μήκους μεταξύ δυο σημείων αυτής. Στην σφαίρα για παράδειγμα δυο σημεία p q καθορίζουν μαζί με το κέντρο αυτής ένα επίπεδο και η τομή αυτού με την σφαίρα είναι ένας μέγιστος κύκλος που περνά από το Α και το Β. Προφανώς το μεγαλύτερο εκ των δυο τόξων που ενώνει το Α με το Β δεν είναι γεωδαισιακή ελαχίστου μήκους. Εάν μάλιστα στρέψουμε το επίπεδο ΑΒΟ περί την χορδή ΑΒ αυτού του τόξου και τμήσουμε την σφαίρα με αυτό αποκτούμε καμπύλες που ενώνουν τα Α και Β δεν είναι γεωδαισιακές 4

107 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ βρίσκονται κοντά στο μεγαλύτερο τόξο ΑΒ αυτού του μέγιστου κύκλου και έχουν μήκος μικρότερο αυτού. Άρα το μεγαλύτερο γεωδαισιακό τμήμα δεν είναι τοπικό ελάχιστο του μήκους των καμπυλών που ενώνουν τα p και q. Όμως το μικρότερο τόξο είναι ο συντομότερος δρόμος. Ο A B Σχήμα.8. Τόξα μέγιστου κύκλου Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι: i. Εάν η γ είναι ο συντομότερος δρόμος του S από το p στο q τότε η L πρέπει να έχει ένα ολικό ελάχιστο όταν. Άρα L και από το παραπάνω θεώρημα η γ είναι γεωδαισιακή. ii. Εάν η γ είναι γεωδαισιακή του που περνά από τα σημεία p και q τότε η L έχει ένα κρίσιμο σημείο όταν αλλά αυτό δεν είναι κατ ανάγκη ολικό ελάχιστο ή ακόμη και τοπικό ελάχιστο. Επομένως η γ δεν είναι κατ ανάγκη ο συντομότερος δρόμος από το p στο q. iii. Γενικά είναι δυνατόν να μην υπάρχει συντομότερος δρόμος που συνδέει δυο σημεία μιας επιφάνειας. Για παράδειγμα θεωρούμε την επιφάνεια S που αποτελείται από το επίπεδο xy χωρίς την αρχή. Η S είναι μια πολύ καλά ορισμένη επιφάνεια αλλά δεν υπάρχει συντομότερος δρόμος πάνω στην επιφάνεια από το p στο q. Ασφαλώς ο συντομότερος δρόμος θα ήταν το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δυο σημεία όμως αυτό δεν ανήκει εξ ολοκλήρου στην επιφάνεια εφόσον περνά από την αρχή που δεν είναι σημείο της επιφάνειας. Για ένα ανάλογο στην <<πραγματική ζωή>> ας φανταστούμε ότι προσπαθούμε να βαδίσουμε από το p στο q αλλά 5

108 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ αντιλαμβανόμαστε ότι υπάρχει μια βαθιά οπή στο έδαφος εκεί που είναι η αρχή. Η λύση θα ήταν να βαδίσουμε σε ευθεία γραμμή το περισσότερο δυνατόν και κατόπιν την τελευταία στιγμή να παρακάμψουμε την οπή να ακολουθήσουμε δηλαδή μια πορεία όπως στο παρακάτω σχήμα. p Ο ε q Σχήμα.9. Επίπεδο με μια οπή: δεν υπάρχει συντομότερος δρόμος από το p στο q Ο δρόμος αυτός αποτελείται από δυο ευθύγραμμα τμήματα μήκους και από ένα ημικύκλιο ακτίνας. Άρα το συνολικό του μήκος είναι Οπωσδήποτε το παραπάνω είναι μεγαλύτερο από την ευθεία απόσταση αλλά μπορεί να γίνει όσο πλησιέστερο στο επιθυμούμε παίρνοντας το αρκετά μικρό. Στην γλώσσα της ανάλυσης το μεγαλύτερο κάτω φράγμα των μηκών των καμπυλών της επιφάνειας που συνδέουν τα p και q είναι αλλά δεν υπάρχει επιφανειακή καμπύλη από το p στο q της οποίας το μήκος να είναι ίσο με αυτό το κάτω φράγμα. iv. Τέλος μπορεί να αποδειχθεί ότι μια επιφάνεια S είναι ένα κλειστό υποσύνολο του R δηλαδή τα σημεία του R που δεν ανήκουν στην S αποτελούν ένα ανοικτό υποσύνολο του R και αν υπάρχει κάποιος δρόμος της S που συνδέει οποιαδήποτε δυο σημεία της τότε υπάρχει πάντοτε ο συντομότερος δρόμος που τα συνδέει. Για παράδειγμα ένα επίπεδο είναι ένα κλειστό υποσύνολο του R άρα υπάρχει ο συντομότερος δρόμος που συνδέει δυο οποιαδήποτε σημεία του επιπέδου. Ο δρόμος αυτός είναι η ευθεία. Όμοια μια σφαίρα είναι ένα κλειστό υποσύνολο του R και προκύπτει ότι το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου σχήμα. που συνδέει δυο σημεία της σφαίρας είναι ο συντομότερος δρόμος που τα συνδέει. Στην προηγούμενη αναφορά η επιφάνεια S δεν είναι κλειστό υποσύνολο του R. Αφού το ναι μεν δεν ανήκει στην S αλλά κάθε ανοικτή μπάλα που περιέχει το πρέπει φανερά να περιέχει και σημεία 6

109 ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ της S επομένως το σύνολο των σημείων που δεν ανήκουν στην S δεν είναι ανοικτό. Συνοψίζοντας έχουμε αποδείξει τους εξής τέσσερις χαρακτηρισμούς των γεωδαισιακών γραμμών: έχουν γεωδαισιακή καμπυλότητα μηδέν είτε είναι ευθείες είτε n N πληρούν το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων.. 4 είναι τοπικά οι καμπύλες ελάχιστου μήκους. 7

110 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4. ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Στο προηγούμενο κεφάλαιο περιγράψαμε το πρόβλημα του συντομότερου δρόμου μεταξύ δύο σημείων μιας επιφάνειας. Θα ασχοληθούμε τώρα με το αντίστοιχο πρόβλημα σε μια διάσταση παραπάνω δηλαδή της εύρεσης επιφάνειας ελάχιστου εμβαδού με σύνορο μια δοθείσα καμπύλη το οποίο ονομάζεται πρόβλημα του Ple. 4. Το πρόβλημα του Ple Όπως στην περίπτωση των καμπυλών έτσι και στην περίπτωση των επιφανειών θεωρούμε μια μεταβολή vriion της δεδομένης επιφάνειας την θεωρούμε δηλαδή ως μέλος μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας : U R. όπου το U είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R ανεξάρτητο του Υποθέτουμε ότι η παράμετρος της οικογένειας έχει πεδίο ορισμού για κάποιο και ότι η οικογένεια διανυσματική συνάρτηση τριών μεταβλητών δίνεται ως λεία έτσι ώστε: Για σταθερό η είναι η παραμετρική παράσταση της επιφάνειας. Για είναι η παραμετρική παράσταση της. Ορισμός 4.. Ορίζουμε ως επιφανειακή μεταβολή αυτής της οικογένειας την συνάρτηση : U R με διαφέρει η από την η οποία καθορίζει πόσο για μικρές τιμές του. 8

111 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Έστω μια απλή κλειστή καμπύλη που περιέχεται μαζί με το εσωτερικό της in στο U. Τότε η αντιστοιχεί σε μια απλή κλειστή καμπύλη του τμήματος της επιφάνειας και ορίζουμε την συνάρτηση επιφάνειας A να είναι το εμβαδόν του τμήματος A in in Ο αριθμός καθορίζει την μεταβολή του εμβαδού. εντός της A : Θέλουμε να μελετήσουμε πώς μεταβάλλεται το εμβαδόν ενός τμήματος της επιφάνειας όταν μεταβούμε σε μια κοντινή επιφάνεια. Θα περιοριστούμε όμως σε ειδικές μεταβολές της τις λεγόμενες κάθετες μεταβολές. Κατ αυτές κάθε σημείο της μεταβάλλεται σε διεύθυνση κάθετη προς την επιφάνεια δηλαδή μεταβολές για τις οποίες ισχύει συνάρτηση. για κάποια λεία z υ y x Σχήμα 4. Θεώρημα 4.. Υποθέτουμε ότι η επιφανειακή μεταβολή της συνοριακής καμπύλης. Τότε ισχύει H in μηδενίζεται κατά μήκος 9

112 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ όπου H είναι η μέση καμπυλότητα του και είναι οι συνιστώσες της πρώτης θεμελιώδους μορφής και το είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα του. Απόδειξη Έστω ώστε και έστω το μοναδιαίο κάθετο του. Τότε τα αποτελούν βάση του R επομένως υπάρχουν λείες συναρτήσεις τέτοιες ώστε και. Για ευκολία απαλείφουμε τον δείκτη στο υπόλοιπο της απόδειξης και στο τέλος θα θέσουμε. Είναι: in in in A A αφού άρα in. 4. Είναι. 4. Επειδή το είναι μοναδιαίο θα είναι: παραγωγίζοντας έχουμε άρα

113 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Η 4. λόγω των δίνει 4.6 Όμως 4.7 Πολλαπλασιάζοντας με την 4.7 έχουμε Όμως L και από την σχέση.9 έχουμε ενώ αντίστοιχα προκύπτει άρα η παραπάνω γράφεται L 4.8 Πολλαπλασιάζοντας με την 4.7 έχουμε Όμως και Άρα η παραπάνω γράφεται M 4.9 Αντίστοιχη με την 4.7 είναι η σχέση 4. Πολλαπλασιάζοντας με την 4. και δεδομένου ότι καταλήγουμε

114 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4. Πολλαπλασιάζοντας με την 4. παίρνουμε: M 4. Αντικαθιστώντας στην 4.6 τις και δεδομένου ότι H N M L N M L H έχω: M... L M H H

115 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ H 4. Επαναφέροντας τους πάνω δείκτες για η 4. λόγω της 4. δίνει in in in Όμως in H H in Py Qx xy P x y x Q x y y θ. reen αφού πάνω στην συνοριακή καμπύλη δηλαδή η επιφανειακή μεταβολή είναι ορθογώνια στην επιφάνεια κατά μήκος της συνοριακής καμπύλης. Άρα H in Εάν το έχει το ελάχιστο εμβαδό μεταξύ των επιφανειών με δοθείσα συνοριακή καμπύλη γ τότε το Α πρέπει να λαμβάνει μια απόλυτα ελάχιστη τιμή στο. Επομένως in H για όλες τις λείες οικογένειες επιφανειών. Αυτό σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα πρέπει να μηδενίζεται για όλες τις λείες συναρτήσεις συμβαίνει μόνο όταν H. Έτσι προκύπτει ο ορισμός: : U R. Το παραπάνω

116 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Ορισμός 4.. Μια επιφάνεια ελάχιστης έκτασης είναι μια επιφάνεια της οποίας η μέση καμπυλότητα είναι παντού μηδέν. Οι επιφάνειες ελάχιστης έκτασης έχουν μια ενδιαφέρουσα φυσική ερμηνεία. Εάν εμβαπτίσουμε ένα κλειστό τμήμα σύρματος C τυχόντος σχήματος δηλαδή μια απλή κλειστή καμπύλη του R σε σαπουνόνερο και κατόπιν το αποσύρουμε ο υμένας με σύνορο C που θα σχηματισθεί είναι μια επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Πόρισμα 4..4 Εάν μια επιφάνεια έχει το ελάχιστο εμβαδό μεταξύ όλων των επιφανειών με την ίδια συνοριακή καμπύλη τότε η S είναι ελάχιστης έκτασης. Σημείωση: Μια επιφάνεια ελάχιστης έκτασης δεν έχει πάντοτε ελάχιστο εμβαδόν όπως θα δούμε στο παράδειγμα που ακολουθεί η συνθήκη H είναι μόνο αναγκαία. Παράδειγμα 4..5 z Θεωρούμε την επιφάνεια εκ περιστροφής που ονομάζεται αλυσοειδής Cenoi η οποία παράγεται από το γράφημα του υπερβολικού συνημίτονου x cosh z του επιπέδου xz x γύρω από τον άξονα z όπου είναι μια μη μηδενική σταθερά όπως φαίνεται στο Σχήμα x cosh z 4.. Θεωρούμε στο επίπεδο την καμπύλη cosh και Σχήμα 4. δηλαδή την cosh παίρνω α =. Στροφή αυτής περί τον άξονα παράγει την εκ περιστροφής επιφάνεια cosh coscosh sin Η οποία αποτελεί μια παραμέτρηση της αλυσοειδούς. Μια αλυσοειδής επιφάνεια φαίνεται στο σχήμα 4. που ακολουθεί. 4

117 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Σχήμα 4.. Αλυσοειδής επιφάνεια Θα βρούμε την μέση καμπυλότητα της αλυσοειδούς Είναι sinh cossinh sin cosh sin cosh cos και cosh cos cosh sin sinh cosh με cosh cos cosh sin cosh sinh cosh cosh sinh cosh 4 sinh cosh cosh. Άρα ο προσανατολισμός της επιφάνειας είναι sec h. cosh Επίσης έχουμε cos cos cosh cosh sinh cosh sec h cos sec h sin nh cosh coscosh sin sinh sin sinh cos cosh cos cosh sin. Άρα τα θεμελιώδη μεγέθη ης και ης και τάξης είναι - sinh cos sinh sin sinh cosh - - cosh sin cosh cos cosh. Δηλαδή η πρώτη θεμελιώδης μορφή είναι: I cosh cosh cosh πράγμα που δείχνει ότι η παραμέτρηση είναι σύμμορφη. 5

118 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ - L cos sin - M - N cos sin. Άρα η δεύτερη θεμελιώδη μορφή είναι: II L M N Η μέση καμπυλότητα είναι H που δείχνει ότι η αλυσοειδής είναι ελαχιστική επιφάνεια. cosh cosh 4 cosh σχέση Σχήμα 4.4 Σταθεροποιούμε ένα και έστω cosh. Η επιφάνεια S που αποτελείται από το μέρος του αλυσοειδούς όπου κύκλους C ακτίνας στα επίπεδα z έχει σύνορο τους δυο z αφού cos sin Μια άλλη επιφάνεια που καλύπτει τους ίδιους κύκλους είναι βεβαίως η επιφάνεια S που αποτελείται από τους δυο δίσκους x y στα επίπεδα z. Το εμβαδόν της S είναι: S cosh cosh cosh D cosh cosh sinh 6

119 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4 sinh Sinh sinh sinh cosh sinh cosh Από την άλλη πλευρά το εμβαδόν της S είναι S cosh Επομένως η ελαχιστική επιφάνεια S δεν θα ελαχιστοποιεί το εμβαδόν μεταξύ όλων των επιφανειών με σύνορο τους δυο κύκλους C αν: S S cosh sinh cosh cosh sinh cosh cosh sinh cosh sinh e e e Τα γραφήματα των e e e φαίνονται στο σχήμα Σχήμα 4.5 Παρατηρώ ότι τέμνονται σε ένα σημείο και όταν είναι e δηλαδή η S δεν είναι επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Όταν τότε η αλυσοειδής είναι επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Από το παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε πως η συνθήκη H είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή. 7

120 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Παράδειγμα 4..6 Θεωρούμε μια ευθεία l του R η οποία τέμνει κάθετα τον z άξονα και την κοχλιώνουμε προς τα πάνω. Δηλαδή την μετατοπίζουμε στην διεύθυνση του θετικού άξονα z και συγχρόνως την στρέφουμε πάντοτε καθέτως προς τον z άξονα με σταθερή ταχύτητα α >. Η επιφάνεια που δημιουργείται ονομάζεται ελικοειδής. Εάν ονομάσουμε το μήκος του τόξου της l με αρχή τον z άξονα και την γωνία με τον άξονα x τότε η επιφάνεια έχει παράσταση cos sin 4.4. Υπολογίζουμε την I και II θεμελιώδη μορφή. cossin sin cos sin cos άρα sin και cos και Από την παράσταση 4.4 είναι φανερό Παράδειγμα..4 ότι οι παραμετρικές γραμμές είναι έλικες ενώ οι παραμετρικές γραμμές είναι ευθείες. Είναι - sin cos - cos sin cos sin - sin cos. Άρα I Από την μορφή της I συμπεραίνουμε ότι το σύστημα παραμέτρων είναι ορθογώνιο. Η επιφάνεια καλύπτεται από ένα δίκτυο καμπυλών τις ευθείες που παράγουν την επιφάνεια και τις έλικες και το δίκτυο αυτό είναι ορθογώνιο. Κάτι ανάλογο είχαμε και στις επιφάνειες εκ περιστροφής: εκεί η μια οικογένεια ήταν οι μεσημβρινοί που παράγουν την επιφάνεια η άλλη ήταν οι ορθογώνιες τροχιές των μεσημβρινών οι παράλληλοι κύκλοι. Είναι sin cos και cos sin - L άρα 8

121 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ - M sin cos sin cos sin cos - N. Άρα II Η μέση καμπυλότητα αυτής είναι: ελικοειδής είναι επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. L M N H επομένως η Σχήμα 4.6 Ελικοειδής επιφάνεια Παρατήρηση: Αν παραμετρήσουμε την ελικοειδή επιφάνεια αφήνοντας την γωνία ως έχει και θέτουμε sinh τότε οι νέες παράμετροι είναι θεμιτές αφού η Ιακωβιανή J άρα η πρώτη θεμελιώδη μορφή είναι: I cosh cosh και cosh cosh sinh cosh cosh cosh Δηλαδή είναι ακριβώς ίδια με την αλυσοειδής επιφάνεια του Παραδείγματος Συνεπώς έχουμε το ενδιαφέρον φαινόμενο ότι η ελικοειδής και η αλυσοειδής είναι τοπικώς ισομετρικές. 9

122 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Το γεγονός ότι οι δυο επιφάνειες είναι τοπικώς ισομετρικές είναι απλή σύμπτωση. Δύο επιφάνειες ελάχιστης έκτασης γενικά δεν είναι ισομετρικές. Για παράδειγμα η απεικόνιση που τυλίγει το επίπεδο στον μοναδιαίο κύλινδρο είναι τοπική ισομετρία έχουν την ίδια I θεμελιώδη μορφή Παρατήρηση..5. Όμως το επίπεδο είναι ελάχιστη επιφάνεια στο Παράδειγμα.5.6 βρήκαμε ότι και οι δυο κύριες καμπυλότητες είναι μηδέν ενώ ο κύλινδρος όχι. Πρόταση 4..7 Η μόνη μη επίπεδη εκ περιστροφής επιφάνεια ελάχιστης έκτασης είναι η αλυσοειδής. Απόδειξη Έστω επιφάνεια εκ περιστροφής με άξονα περιστροφής τον άξονα z. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει παράλληλος κύκλος κατά μήκος του οποίου το εφαπτόμενο επίπεδο δεν είναι παράλληλο στον άξονα z. Τούτο είναι θεμιτό διότι η θα ήταν κυκλικός ορθός κύλινδρος με άξονα περιστροφής τον άξονα z και οι κύλινδροι δεν είναι ελαχιστικές επιφάνειες. Μπορούμε επομένως να παραστήσουμε την τοπικά ως γράφημα z x y. z υ y x Σχήμα 4.7 Αφού η συντεταγμένη z είναι σταθερά κατά μήκος κάθε παράλληλου κύκλου x y σταθερό η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση μιας μεταβλητής του δηλαδή z.

123 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Εισάγουμε πολικές συντεταγμένες του επιπέδου z και έχουμε x cos y sin. Επειδή J x y x y x y cos sin sin cos όταν η απεικόνιση R : D R είναι μια κανονική αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση με παραμετρική παράσταση cos sin η οποία ισχύει τοπικά για κάθε μη κυλινδρική επιφάνεια εκ περιστροφής. Θα υπολογίσουμε την I και II θεμελιώδη μορφή. Είναι cossin sin cos cos sin και sin cos - cos sin - sin cos sin cos - sin cos. Είναι cos sin και άρα sin cos Επομένως - L - M cos sin cos sin cos sin - N. Η επιφάνεια είναι ελάχιστης έκτασης αν και μόνο αν: H L M. N L N

124 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Η παραπάνω είναι μια μη - γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης για την άγνωστη συνάρτηση. Θέτουμε h οπότε έχουμε επιφάνεια είναι επίπεδο η δηλ. διότι αν c h h h h h h h h h h h h 4.5 Όμως h h h h h άρα η 4.5 γράφεται h h h h h h h h h h h h h h. Ολοκληρώνοντας έχουμε σταθερα lo lo lo lo C h h lo lo lo lo lo lo lo lo h h h h lo lo h h h h Ολοκληρώνοντας ξανά έχουμε Cosh Arc ή Cosh Arc Επειδή μπορούμε να παραλείψουμε το πρόσημο - από την παραπάνω και να έχουμε Cosh Arc z z Cosh Arc z z z z z z Cosh Arc z z cosh cosh

125 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Με μεταφορά κατά μήκος του άξονα z μπορούμε να υποθέσουμε ότι z και έτσι προκύπτει η αλυσοειδής επιφάνεια που είδαμε στο παράδειγμα S : cosh z cosh A A z όπου A. Στο σημείο αυτό θυμίζω ότι το επίπεδο είναι μια τετριμμένη ελάχιστη επιφάνεια η οποία προφανώς είναι και επιφάνεια εκ περιστροφής με άξονα μια τυχούσα κάθετη ευθεία αυτού. Πρόταση 4..8 Μια κανονική ευθειογενής επιφάνεια ελάχιστης έκτασης είναι μέρος επιπέδου ή μέρος ελικοειδούς. Απόδειξη Έστω : U R R R με με για κάθε I. μια ευθειογενής επιφάνεια Αν για κάθε I τότε e και όπως είδαμε στο Παράδειγμα.6. πρόκειται για γενικευμένο κύλινδρο. Άρα η καμπυλότητα ss είναι μηδέν. Επειδή εξ υποθέσεως και η μέση καμπυλότητα είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι η τροχιά της γ είναι ευθεία και συνεπώς η τροχιά της είναι επίπεδο K και H άρα Βλ. Πρόταση.4. L=M=N= άρα επίπεδο. Αν για κάθε I δηλαδή η είναι μη κυλινδρική επιφάνεια και έστω ότι η είναι μοναδιαίας ταχύτητας τότε η ευθειογενής επιφάνεια γράφεται με γραμμή αφετηρίας την γραμμή συσφίξεως ως με 4.5 Θα υπολογίσουμε την μέση καμπυλότητα της 4.5 Είναι και Άρα

126 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ αφού άρα - Είναι και Επομένως το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της προσανατολισμός της είναι. Επομένως έχουμε - L - M - N Άρα N M L H 4.6 για κάθε U Επειδή οι συντελεστές τις 4.6 αν θεωρηθεί ως πολυώνυμο ως προς εξαρτώνται από το συμπεραίνουμε ότι ισχύουν για κάθε I οι σχέσεις:

127 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Από την 4.7 συμπεραίνουμε ότι το είναι γραμμικός συνδυασμός των και. Δηλαδή όπου λείες συναρτήσεις. Όμως οπότε παραγωγίζοντας παίρνουμε και παραγωγίζοντας ξανά την τελευταία σχέση έχουμε. 4. Άρα η καμπυλότητα της καμπύλης δ είναι. Το πρωτεύον κάθετο διάνυσμα είναι n ενώ το δεύτερο κάθετο διάνυσμα είναι: και επομένως η στρέψη είναι n. Άρα η δ παραμετρίζει έναν μοναδιαίο κύκλο Πρόταση.4.8. Χωρίς βλάβη γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δ είναι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο Oxy έτσι ώστε cos sin παίρνουμε αφού και από την 4.8 έχουμε δηλαδή το όπου h βρίσκεται στο επίπεδο των δ και τότε από την 4.. Συνεπώς και ως εκ τούτο h h c. 5

128 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Άρα c όπου υποθέτουμε ότι διότι διαφορετικά κάνουμε παράλληλη μεταφορά στον άξονα Oz. Είναι csin ccos sin cos άρα η σχέση 4.9 γίνεται τώρα c sin cos cos sin Αν c τότε η καμπύλη έχει τροχιά δηλαδή βρίσκεται στο Oxy επίπεδο όπου βρίσκεται η τροχιά της δ άρα η τροχιά είναι επίπεδο. Αν c θα είναι sin cos cos sin. 4. Όμως c sin cos sin cos Παραγωγίζοντας την 4. παίρνουμε. 4. sin cos cos sin sin cos cos sin 4. Η 4. λόγω της 4. γίνεται: sin cos cos sin sin cos cos 4. cos sin cos sin cos cos sin cos sin 4.4 Οι αποτελούν σύστημα λύνοντας το βρίσκουμε. Άρα σταθερές και cos sin c ή με παράλληλη μεταφορά στο Oxy επίπεδο έχουμε cos sin c η οποία είναι η επιφάνεια της ελικοειδούς που είδαμε στο Παράδειγμα Τελικά μια κανονική ευθειογενής επιφάνεια ελάχιστης έκτασης αν δεν είναι μέρος επιπέδου θα είναι μέρος ελικοειδούς. 6

129 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Πρόταση 4..9 Έστω S επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Τότε η S έχει καμπυλότητα ss αρνητική ή μηδέν. Επιπλέον K p αν και μόνο αν το p είναι σημείο του επιπέδου. Απόδειξη Έστω η S είναι ελάχιστη επιφάνεια άρα H. Ισχύει H K όπου οι κύριες καμπυλότητες. Δηλαδή H H K K K επομένως οι ελάχιστες επιφάνειες έχουν καμπυλότητα μη θετική δηλαδή όλα τα σημεία μιας ελάχιστης επιφάνειας είναι υπερβολικά ή επίπεδα. Αν K p 4.5. Όμως και H 4.6 Η 4.5 λόγω της 4.6 δίνει: για κάθε p S άρα το p είναι σημείο επιπέδου. Αντίστροφα Αν p είναι σημείο ενός επιπέδου τότε από το Παράδειγμα.5.5 θα είναι και H K H H άρα S ελαχιστική. Ορισμός 4.. Μια παραμετρική επιφάνεια λέγεται αρμονική αν όπου : είναι ο τελεστής Lplce. Πρόταση 4.. Έστω : U R R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S η οποία είναι σύμμορφη. Τότε ισχύει η σχέση μέση καμπυλότητα της και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμά της. Απόδειξη Επειδή η είναι σύμμορφη θα ισχύει: και H όπου H είναι η 7

130 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Με παραγώγιση ως προς και αντίστοιχα παίρνουμε και. Άρα. Όμοια βρίσκουμε Συνεπώς το Έστω. είναι παράλληλο με το ως κάθετο στα τότε πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά με το έχουμε L N. Επειδή L M N L N H L N H H Άρα. H. Πόρισμα 4.. Έστω : U R R η παραμετρική παράσταση μιας επιφάνειας S η οποία είναι σύμμορφη και αρμονική. Τότε η είναι επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Απόδειξη Προκύπτει άμεσα από τον Ορισμό 4.. και την Πρόταση 4.. Παρατήρηση 4.. Η ύπαρξη παραμέτρων σε μια επιφάνεια S έτσι ώστε και οφείλεται στον S. S. Chern An lemenry proo o he exisence o isohermic prmeers on srce. Τέτοιου είδους παράμετροι σε μια επιφάνεια S λέγονται ισοθερμικές παράμετροι. Παραδείγματα σύμμορφων και αρμονικών επιφανειών είναι η επιφάνεια του nneper και του Cln όπως θα δούμε παρακάτω. 8

131 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 9 4. Παραδείγματα επιφανειών ελάχιστης έκτασης 4.. Η επιφάνεια του nneper Η επιφάνεια του nneper είναι η. Θα δείξουμε ότι η παραπάνω επιφάνεια είναι ελάχιστης έκτασης. Είναι - και 4 4 z y x και Είναι Δηλαδή άρα η πρώτη θεμελιώδης μορφή της είναι: I πράγμα που δείχνει ότι η παραμέτρηση είναι σύμμορφη δηλαδή διατηρεί τις γωνίες. Επομένως η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας nneper είναι: N L N L N M L H O Alre nneper ήταν Γερμανός μαθηματικός σύγχρονος του Weiersrss με συνεισφορά στην Μιγαδική Ανάλυση και στην μελέτη των ελαχιστικών επιφανειών.

132 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ L αφού αρμονική. Όμως N Άρα H δηλαδή η είναι ελαχιστική. Σχήμα 4.8. Η επιφάνεια ελάχιστης έκτασης του nneper Παρατηρούμε ότι η δεν ορίζει τμήμα επιφάνειας διότι όπως φαίνεται στα παραπάνω σχήματα υπάρχουν αυτοτομές άρα η δεν είναι -. Ωστόσο αν περιοριστούμε στα που βρίσκονται σε αρκετά μικρά σύνολα η θα είναι -.

133 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4.. Η επιφάνεια του Scher Η επιφάνεια του Scher είναι η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση cos y z ln. cos x Αν z x y τότε η επιφάνεια είναι ένα γράφημα μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών δηλαδή αν προβάλλουμε την επιφάνεια στην περιοχή του xy επιπέδου τότε για κάθε σημείο σε αυτή την περιοχή υπάρχει ακριβώς ένα σημείο πάνω από αυτό και η παραμετρική παράσταση αυτής είναι: : D R R με x y x y x y Τότε από το Παράδειγμα.5.8 είναι H Η επιφάνεια είναι ελαχιστική όταν xx y xx y xy x y yy x H xx y xy x y x 4.5 yy y x xy x x y y yy x Η 4.5 δεν είναι εύκολο να λυθεί επειδή η μπορεί να είναι περίπλοκη. Σε μια περίπτωση που μπορούμε να την λύσουμε είναι όταν η χωρίζεται σε δυο συναρτήσεις από τις οποίες η καθεμία εξαρτάται από μια μόνο μεταβλητή. Συγκεκριμένα αν x y x h y γίνεται x h y h y x τότε η εξίσωση ελάχιστης επιφάνειας Αυτή είναι μια εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών και λύνεται εύκολα. Πράγματι έχουμε x h y x h y 4.6 Από την 4.6 βλέπουμε ότι αν κρατήσουμε το y σταθερό το δεύτερο μέλος της 4.6 παραμένει σταθερό καθώς αλλάζουμε το x. Άρα Ο Heinrich erinn Scher ήταν Γερμανός μαθηματικός μαθητής του Kmmer γνωστός για τις εργασίες του πάνω στους πρώτους αριθμούς και τις ελαχιστικές επιφάνειες.

134 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ x h y x x x h y C C δηλαδή x C x 4.7 Για να την λύσουμε θέτουμε x x τότε x x γίνεται: C x C x οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε x x x C και η 4.7 x K x K x C rcn rcn n. C C Για ευκολία έστω K και C τότε x n x x 4.8 Ολοκληρώνοντας την 4.8 προκύπτει x lncos x Με τον ίδιο συλλογισμό από το δεύτερο μέλος της 4.6 προκύπτει ότι h y lncos y cos y x y x h y x y ln cos y ln cos x ln δηλαδή cos x Αφού προκύπτει η επιφάνεια του Scher. Επιβεβαιώνοντας έχουμε x n x cos x H cos cos y sin x cos xy y n y cos x xx cos yy άρα y n y n x cos y cos y n y cos x n x n x n y cos x cos y n x n y y cos x sin x y n x n y cos x cos y n x n y Άρα η επιφάνεια του Scher είναι ελαχιστική. Είναι φανερό ότι η επιφάνεια υπάρχει μόνο όταν cos x και cos y είναι cos y συγχρόνως > ή < δηλαδή. cos x Αυτό συμβαίνει όταν x y ή x y.

135 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ Με άλλα λόγια όταν τα x y ανήκουν στο εσωτερικό των λευκών τετραγώνων του πλαισίου σκακιού του Σχήματος 4.9 του οποίου τα τετράγωνα έχουν κορυφές τα σημεία m n όπου m n ακέραιοι δεν υπάρχουν τετράγωνα με κοινή κορυφή που να έχουν το ίδιο χρώμα και το αρχικό τετράγωνο είναι λευκό. Τα λευκά τετράγωνα έχουν κέντρα της μορφής m n όπου m n ακέραιοι με m n άρτιο αφού cos cos y n cos y x n cos x. Σχήμα 4.9 Η επιφάνεια του Scher ορίζεται στο εσωτερικό των λευκών τετραγώνων Τα παραπάνω επιβεβαιώνονται βλέποντας στο σχήμα 4. την επιφάνεια του Sher σχεδιασμένη στο πρώτο λευκό τετράγωνο αλλά και σε μια γενικότερη περιοχή που μοιάζει με σκάκι. Σχήμα 4. Η επιφάνεια του Scher

136 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 4.. Η επιφάνεια του Cln 4 Η επιφάνεια του Cln δίνεται από την παραμετρική παράσταση sin cosh cos cosh 4sin sinh Θα δείξουμε ότι είναι μια σύμμορφα παραμετρησμένη επιφάνεια ελάχιστης έκτασης με αυτοτομές όπως η επιφάνεια του nneper. Είναι cos coshsin cosh cos sinh Άρα sin sinh cos sinh sin cosh sin coshcos coshsin sinh sin cosh cos cosh sin sinh. - cos cosh sin cosh 4cos sinh cos cosh cos cos cosh cosh cosh sin cosh 4cos sinh 4cos sinh coscosh cos cosh cosh cos cosh cosh cos cos cosh x sinh x cosh cos cosh cos cosh coscosh cosh cosh cos cosh cos cosh cosh cosh cos - cos coshsin sinh cos sinh sin cosh 4sin cos sinh cosh 4 Ο ene Chrles Cln ήταν Γάλλος Βέλγος μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών. Η Πρόταση 4..8 οφείλεται σε αυτόν. 4

137 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ - sin sinh cos sinh 4sin cosh cosh x cosh x sinh sin cosh sin x cos x Άρα I cos cosh sinh cosh cosh cos cosh cos cosh coscosh cosh cosh cos cosh. cosh cosh cos cosh cosh cos cosh cosh cos δηλαδή η είναι σύμμορφη. Επομένως η μέση καμπυλότητα της επιφάνειας Cln είναι H L M N L N L N L αφού αρμονική. Όμως N Άρα H δηλαδή η είναι ελαχιστική. Σχήμα 4. Η επιφάνεια του Cln Στην συνέχεια θα δείξουμε ότι η παραμετρική καμπύλη της επιφάνειας που δίνεται από την είναι ευθεία άρα είναι γεωδαισιακή αφού κάθε ευθεία είναι γεωδαισιακή. Πράγματι: cosh δηλαδή είναι ο άξονας y y. 5

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.

14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ημερολόγιο μαθήματος

Ημερολόγιο μαθήματος ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας. ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v

X u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία 33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

0 είναι η παράγωγος v ( t 0 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y f( είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y f(, όταν f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες

Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα του Plücker

Διάνυσμα του Plücker ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211 2 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n 1 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος..................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα