ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ «Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραµµένη σε εκείνο το µεγάλο βιβλίο που βρίσκεται συνεχώς µπροστά στα µάτια µας, εννοώ το Σύµπαν εν µπορούµε όµως να το κατανοήσουµε χωρίς να µάθουµε πρώτα τη γλώσσα του και να αντιληφθούµε το νόηµα των συµβόλων της Το βιβλίο είναι γραµµένο στη γλώσσα των Μαθηµατικών» Γαλιλαίος (6ος αιώνας)

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Galle Galle (564-64)

3 ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟΥ Dalg spra due massm sstem del mnd 6

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟΥ «Τίποτε δεν θεωρώ µεγαλύτερο αίνιγµα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν µε απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτοµαι» Charles Lamb (9 ος αιώνας) «Κάθε βάσιµη επιστηµονική θεωρία, είτε αναφέρεται στο χρόνο και στο χώρο, είτε σε οποιαδήποτε άλλη έννοια, οφείλει να στηρίζεται στην πλέον αποτελεσµατική φιλοσοφία της επιστήµης: τη θετικιστική προσέγγιση Σύµφωνα µε το συγκεκριµένο τρόπο σκέψης, µια επιστηµονική θεωρία συνιστά ένα µαθηµατικό πρότυπο που περιγράφει και κωδικοποιεί τις παρατηρήσεις µας Αν κάποιος ακολουθεί τη θετικιστική προσέγγιση τότε δεν µπορεί να πει τι είναι στην πραγµατικότητα ο χρόνος, όµως µπορεί να περιγράψει αυτό το οποίο θεωρείται ως ένα καλό µαθηµατικό πρότυπο του χρόνου και να αναφέρει τις προβλέψεις αυτού του προτύπου Ο Ισαάκ Νεύτων, στο έργο του Phlsphae Naturals Prncpa Mathematca (687), παρουσίασε το πρώτο µαθη- µατικό πρότυπο για το χρόνο και το χώρο Στο πρότυπο αυτό, ο χρόνος και ο χώρος συνιστούν ένα υπόβαθρο όπου διαδραµατίζονται τα γεγονότα, το οποίο όµως δεν επηρεάζεται από αυτά Ο χρόνος είναι διαχωρισµένος από το χώρο και θεωρείται ως µια ανεξάρτητη γραµµή, κάτι σαν σιδηροδροµική γραµµή, που εκτείνεται επ άπειρο προς τις δυο κατευθύνσεις Θεωρείται επίσης παντοτινός, υπό την έννοια ότι είχε υπάρξει από πάντα και θα υπάρχει για πάντα» Stephen Hawng * (0ος αιώνας) Χωρο-χρόνος του Νεύτωνα Χωρόχρονος του Αϊνστάιν * Από το βιβλίο του Stephen Hawng: «The Unverse n a Nutshell»

5 ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟΥ 5 Ο χώρος και ο χρόνος δεν έχουν αρχή συνεπώς, στο µαθηµατικό πρότυπό τους, κανένα σηµείο και καµία χρονική στιγµή δεν πρέπει να ξεχωρίζουν ώστε να θεωρηθούν ως αρχή Στην Κλασική Μηχανική, ο χωρο-χρόνος ορίζεται γεωµετρικά ως τετραδιάστατος αφινικός χώρος και τα σηµεία του καλούνται γεγονότα Η µετάβαση από ένα γεγονός σε άλλο πραγµατοποιείται µε µεταφορά και οι µεταφορές αυτές σχηµατίζουν ένα διανυσµατικό 4 χώρο ισόµορφο προς τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο Ο χρόνος ορίζεται ως προβολή του χώρου των µεταφορών στο χρονικό άξονα: 4 τ: Το χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε δύο γεγονότα a και b προσµετράται µε τον πραγµατικό αριθµό τ( b a ) και όταν τ( b a ) = 0 τότε τα γεγονότα λέγονται ταυτόχρονα Ο πυρήνας της προβολής αυτής αποτελείται από τις µεταφορές που µεταφέρουν οποιοδήποτε γεγονός σε ταυτόχρονό του Τα ταυτόχρονα γεγονότα ορίζουν ένα -διάστατο αφινικό χώρο προσαρτηµένο στον ευκλείδειο χώρο Το καρτεσιανό γινόµενο του ευκλείδειου χώρου µε τον χρονικό άξονα αποτελεί τον αριθµητικό χωρο-χρόνο Στον αριθµητικό χωρο-χρόνο, η χωρική απόσταση δύο ταυτόχρονων γεγονότων a = ( x, t ) και b = ( yt, ) προσµετράται µε την ευκλείδεια µετρική: * d :, d( x, y) = x y Τα τρία χαρακτηριστικά του χωρο-χρόνου, δηλαδή, ο αφινικός χαρακτήρας του, η γραµµικότητα του χρόνου και ο ευκλείδειος χαρακτήρας του χώρου ορίζουν την γαλιλαϊκή δοµή του Μετάβαση από το γεγονός a στο γεγονός b του χωρο-χρόνου * Στην Κλασική Μηχανική δεν υπάρχει φυσική µετρική που να προσµετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήµατα γιατί σε αυτό το πλαίσιο δεν υφίσταται παγκόσµια σταθερά µε διαστάσεις ταχύτητας όπως συµβαίνει µε την ταχύτητα του φωτός στη Θεωρία Σχετικότητας

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Οι µετασχηµατισµοί του χωρο-χρόνου που διατηρούν αναλλοίωτη τη γαλιλαϊκή δοµή του καλούνται γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί * Πρόκειται για τους µετασχηµατισµούς g : που διατηρούν τις χρονικές αποστάσεις των γεγονότων και τις χωρικές απόστάσεις των ταυτόχρονων γεγονότων, καθώς και τον προσανατολισµό του χώρου Οι µετασχηµατισµοί αυτοί προκύπτουν από τη σύνθεση χωρικών και χρονικών µεταφορών, χωρικών στροφών και µετασχηµατισµών αδρανειακής κίνησης: Χωρο-χρονική µεταφορά: ( x, t) ( x+ x, t+ t ), x, t Χωρική στροφή: ( x, t) (S x, t ), S SO () Αδρανειακή κίνηση: ( x, t) ( x v t, t ), + v Οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί, εφοδιασµένοι µε την πράξη της σύνθεσης, σχηµατίζουν µια µη αντιµεταθετική οµάδα που καλείται οµάδα Γαλιλαίου και συµβολίζεται G( ) Κάθε στοιχείο αυτής της οµάδας καθορίζεται από τις τιµές 0 παραµέτρων: t, x = ( x, x,, x ), v = ( v, v,, v ), S () SO, και δρα στο χωρο-χρόνο µετασχηµατίζοντας κάθε γεγονός σε άλλο γεγονός ως εξής: g g :, ( x, t) = (S x+ v t+ x, t+ t ) H δράση αυτή αναπαρίσταται µε πίνακες ως εξής: * Από φυσική άποψη οι µετασχηµατισµοί του χωρο-χρόνου οφείλουν να διασφαλίζουν τη χωρική και χρονική οµογένεια, τη χωρική ισοτροπία και την αδρανειακή συµπεριφορά

7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 7 v x x x S v x x x + = v x x x t t t Η οµάδα του Γαλιλαίου µπορεί να ταυτιστεί ισοµορφικά µε µια υποοµάδα 5 της γραµµικής οµάδας GL( ) και έτσι η δράση της να εκφραστεί ως εξής: v x x x S v x x x v x x = x t t t Τα στοιχεία της οµάδας του Γαλιλαίου µε χρονική παράµετρο t = 0 είναι ακριβώς αυτά που µετασχηµατίζουν τα γεγονότα σε ταυτόχρονά τους γεγονότα Στον -διάστατο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων ο επαγόµενος µετασχηµατισµός ορίζει χωρική ισοµετρία που διατηρεί τον προσανατολισµό του προσαρτηµένου ευκλείδειου χώρου, συνεπώς * πρόκειται για χωρική στροφή ακολουθούµενη από µεταφορά: x x v t+ x 0 0 S x = x + v0t+ x0 x x v0t+ x0 και σε κατάλληλη ορθοκανονική βάση προκύπτει η έκφραση: x csθ sn θ 0 x v t+ x 0 0 sn cs 0 x = θ θ x + v0t+ x0 x 0 0 x v0t+ x0 Η στροφή πραγµατοποιείται γύρω από τον ιδιοάξονά της και η γωνία της προσδιορίζεται λαµβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος του µετασχηµατισµού διατηρείται αναλλοίωτο κατά την αλλαγή βάσης, συνεπώς: csθ + = TrS * Στον ευκλείδειο χώρο κάθε ισοµετρία αποσυντίθεται µονοσήµαντα σε ένα ορθογώνιο µετασχηµατισµό ακολουθούµενο από µια µεταφορά Οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα των βάσεων και εκείνοι που επιπλέον διατηρούν τον προσανατολισµό τους είναι ακριβώς οι χωρικές στροφές δηλαδή τα στοιχεία της οµάδας SO ()

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Μετασχηµατισµοί στο χωρο-χρόνο Στον αριθµητικό χωρο-χρόνο θεωρούµε το µετασχηµατισµό: g :, ( x, t) = (S x+ v t+ x, t+ t ), g όπου t = 0, x, v και S γραµµικός µετασχηµατισµός του ευκλείδειου χώρου που στην κανονική βάση εκφράζεται µε τον πίνακα: S= Πρόκειται για χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό που ανήκει στην οµάδα του Γαλιλαίου, αφού T SS = I και dets = άρα S SO () Αποσυνθέτοντας στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου τα διανύσµατα x = ( x, x, x ) και v v v v = (,, ) ο γαλιλαϊκός αυτός µετασχηµατισµός εκφράζεται ως εξής: x / / / v x x x / / / v x x = + x / / / v x x t t 0 Στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων, εφοδιασµένο µε την κανονική βάση, ο µετασχηµατισµός αυτός διατυπώνεται ως εξής: x x v t+ x 0 0 x = 0 0 x + v t+ x x x v0t+ x0 προκύ- και σε κατάλληλη θετικά προσανατολισµένη * ορθοκανονική βάση {, ζζ,} ξ πτει: x cs θ sn θ 0 x v0t+ x0 sn cs 0 x = θ θ x + v0t+ x0 x 0 0 x v t+ x 0 0 * Το ότι µια ορθοκανονική βάση {, ζζ,} ξ του ευκλείδειου χώρου είναι θετικά προσανατολισµένη δηλώνεται διαµέσου του εξωτερικού γινοµένου των διανυσµάτων ως εξής: ζ ζ =ξ

9 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 9 Η ορθοκανονική αυτή βάση συγκροτείται από το µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα ξ=( /, /, /) του µετασχηµατισµού S SO () το οποίο ορίζει τον άξονα στροφής και δυο ορθογώνια µοναδιαία διανύσµατα ζ και ζ που ανήκουν στο ορθογώνιο επίπεδο: Π= {( x, x, x ) / x + x + x = 0} και διατάσσονται έτσι ώστε να διασφαλίζεται ο θετικός προσανατολισµός της Επειδή το ίχνος ενός πίνακα δεν επηρεάζεται από την αλλαγή βάσης προκύπτει ότι: csθ + = θ= ±π / και λαµβάνοντας υπόψη τον προσανατολισµό του ιδιοάξοανα και τον θετικό προσανατολισµό της ορθοκανονικής βάσης, καθορίζεται η προσανατολισµένη * γωνία στροφής θ=π / γύρω από τον ιδιοάξονα στον ευκλείδειο χώρο Στροφή στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Σχόλιο Στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, αν ξ =( ξ, ξ, ξ) είναι το µοναδιαίο ιδιοδιάνυσµα που ορίζει τον άξονα της στροφής, τότε ο µετασχηµατισµός της χωρικής στροφής εκφράζεται µε τον πίνακα: ( cs θ) ξ + cs θ ( cs θ) ξ ξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξ ξ + (sn θ) ξ S (e,e,e ) = ( cs θ) ξξ + (sn θ) ξ ( cs θ) ξ + cs θ ( cs θ) ξξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξξ + (sn θ) ξ ( cs θ) ξ + cs θ * Ο προσανατολισµός της γωνίας στροφής γύρω από τον άξονα του µοναδιαίου ιδιοδιανύσµατος ξ καθορίζεται απευθείας λαµβάνοντας υπόψη ότι για κάθε µοναδιαίο διάνυσµα ζ Π ισχύει: sn θ = det ζ,s ζ, ξ

10 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Μια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο εκφράζεται ως συνεχής απεικόνιση ορισµένη στο χρονικό άξονα ή σε ένα διάστηµά του: x :I Η τροχιά της κίνησης εκφράζεται µε την προσανατολισµένη καµπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον ευκλείδειο χώρο και το γράφηµά της ορίζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο Το γράφηµα της απεικόνισης που εκφράζει µια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο ορίζει την εξέλιξη της κίνησης στο χωρο-χρόνο Ο όρος υλικό σηµείο δηλώνει ένα σηµειακό γεωµετρικό πρότυπο που διανύει την τροχιά µιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο Σε κάθε χρονική στιγµή η θέση του εντοπίζεται µε τις ευκλείδειες συντεταγµένες: όπου οι συνιστώσες συναρτήσεις: ( ) x() t = x (), t x (), t x () t x :I, =,,, υποτίθενται τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιµες µε συνεχείς παραγώγους Η ταχύτητα µε την οποία διανύεται η τροχιά ορίζεται τη στιγµή t I ως το εφαπτόµενό της διάνυσµα στο σηµείο x() t : dx dx dx xt () = (), t (), t () t x() t

11 ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ και η επιτάχυνση την ίδια στιγµή ορίζεται ως το διάνυσµα: d x d x d x xt () = (), t (), t () t Σε κάθε χρονική στιγµή η επιτάχυνση αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντροµόλο συνιστώσα της: όπου x () t =γ () t +γ () t ε κ γ ()// ε t x() t και γ () t x () t κ xt () Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντροµόλο συνιστώσα της Στην περίπτωση γκ 0 η τροχιά είναι ευθύγραµµη και αν επιπλέον γε 0 τότε πρόκειται για ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: x() t = x + v t = ( x + v t, x + v t, x + v t ), x, v Η ύπαρξη κεντροµόλου επιτάχυνσης προκαλεί καµπύλωση της τροχιάς και η καµπυλότητα καθορίζεται σε κάθε χρονική στιγµή από την τιµή της συνάρτησης: + x() t x() t κ:i, κ () t =, xt ( ) µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της ταχύτητας Προφανώς, η συνάρτηση καµπυλότητας είναι µηδενική αν και µόνο αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη, ενώ όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της τόσο εντονότερη είναι η καµπύλωση

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Η στρέψη της τροχιάς υποδεικνύει την ανέλιξή της στον ευκλείδειο χώρο και καθορίζεται σε κάθε χρονική στιγµή από την τιµή της συνάρτησης: + < x( t) x( t), x( t) > τ:i, τ () t =, xt ( ) xt ( ) µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της καµπυλότητας Προφανώς, η συνάρτηση στρέψης είναι µηδενική αν και µόνο αν η κίνηση είναι επίπεδη, ενώ όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της τόσο εντονότερη είναι η ανέλιξη Όταν η κεντροµόλος επιτάχυνση δεν µηδενίζεται τότε σε κάθε σηµείο της τροχιάς προσαρτάται ένα τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων στο οποίο εµπεριέχονται τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της όπως η καµπυλότητα και η στρέψη της Πρόκειται για το καλούµενο τρίεδρο Frenet που σε κάθε χρονική στιγµή ορίζεται από τα µοναδιαία διανύσµατα: * x () t T( t) =, x ( t) T( t) N( t) =, B( t)=t( t) N( t ) T( t) Σχόλιο Επαναχρονισµός της κίνησης Ο επαναχρονισµός µιας κίνησης x :I, x() t = ( x (), t x (), t x () t ), επιτυγχάνεται µε µια αντιστρέψιµη αµφιδιαφορίσιµη συνάρτηση s :I I, s() t = t, διαµέσου της οποίας προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση x x s :I, ( ) = ( ( ), ( ), ( )) x t x t x t x t Προφανώς, ο επαναχρονισµός έχει επίπτωση στην ταχύτητα της κίνησης: dx d( x s ) dx ds = =, =,, Ο συνήθης επαναχρονισµός καθορίζεται λαµβάνοντας υπόψη το µήκος της τροχιάς από µια αρχική στιγµή t έως µια οποιαδήποτε στιγµή t : t s () t = x ( u) du t * Βλ Στοιχειώδης ιαφορική Γεωµετρία, B O Nel, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00

13 ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Η αµφιδιαφορισιµότητα της συνάρτησης t=st () διασφαλίζεται µε την προϋπόθεση µη µηδενισµού της ταχύτητας και προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση: της οποίας η ταχύτητα x t = x t s, x :I, ( ) ( ( )) x ( t ) = x ( t ), x ( t ), x ( t ) ( ) έχει σταθερό µοναδιαίο µέτρο: x ( t ) = x ( t) / ds = αφού ds d t = x( u) du = x( t) t Ο επαναχρονισµός αυτός, σταθεροποιώντας το µέτρο της ταχύτητας, µηδενίζει την επιτρόχια επιτάχυνση, οπότε: x ( t ) x ( t ), t I, και κατά συνέπεια η συνάρτηση καµπυλότητας εκφράζεται ως εξής: + κ:i, κ ( t ) = x ( t ) Με την προϋπόθεση µη µηδενισµού της καµπυλότητας, σε κάθε χρονική στιγµή, καθορίζεται το τρίεδρο Frenet: T( t ) = x ( t ), N( t ) = x ( t ) κ( t ), B( ) T( t t ) N( = t ) Η συγγραµµικότητα N( t ) B( t ) οδηγεί στον καθορισµό της συνάρτησης στρέψης: και προκύπτει ότι: + τ:i, B( t ) = τ( t ) N( t ), T =κ N, N = κ T+τ B, B= τn Αποσυνθέτοντας την επιτάχυνση στο τρίεδρο Frenet και εισάγοντας το διορθωτικό συντελεστή υ, µέτρο της ταχύτητας µε την οποία διανύεται η τροχιά, προκύπτουν οι εκφράσεις: T =κυ N, N = κυ T+τυ B, B= τυn, και x () t =υ()t() t t, dυ x () t = ()T() t t +κ() t υ() t N() t

14 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κυκλική ελικοειδής κίνηση Η κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής: ( ) x:, x( t) = acs t, asn t, bt, a > 0, b 0 Η ταχύτητά της έχει σταθερό µέτρο: xt () = asn t, acs, t b, ( ) x () t, x( t) = a + b = v και η επιτάχυνσή της είναι κάθετη στην ταχύτητα: xt () = acs, t asn t,0 ( ) x () t Η καµπυλότητα και η στρέψη της τροχιάς είναι σταθερές: a κ () t = a + b, b τ () t = a + b, και το τρίεδρο Frenet, σε κάθε χρονική στιγµή, προσδιορίζεται ως εξής: T( t ) = ( a sn t, a cs t, b ), v N( t ) = a cs, t a sn t,0, ( ) B( t ) = ( b sn t, b cs t, a ) v Κυκλική ελικοειδής κίνηση στον ευκλείδειο χώρο Ο επαναχρονισµός της κίνησης καθορίζεται από το µήκος της διανυόµενης τροχιάς: t s() t = v = v t και προκύπτει η επαναχρονισµένη κίνηση: 0

15 ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 5 x :, x () s = x( s/ v) = ( acs( s/ v), asn( s/ v), bs/ v ) µε ταχύτητα µοναδιαίου µέτρου: x ( s) = ( asn( s/ v), acs( s/ v), b) v και επιτάχυνση: x () s = ( acs( s/ v), asn( s/ v),0) v το µέτρο της οποίας ορίζει απευθείας τη συνάρτηση καµπυλότητας: κ () s = x () s = Ξαναβρίσκουµε έτσι το τρίεδρο Frenet: a + a b T( s) = ( asn( s/ v), acs( s/ v), b), N( s) = ( cs( s/ v), sn( s/ v ),0), v B( s) = T( s) N( s) = ( bsn( s/ v), bcs( s/ v), a), v και λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση B= τ N προκύπτει η συνάρτηση στρέψης: τ () s = b a + b Αν b = 0 τότε η στρέψη είναι µηδενική και η καµπυλότητα σταθερή κ = /a άρα πρόκειται για κυκλική τροχιά ακτίνας a Οι τροχιές σταθερής µη µηδενικής καµπυλότητας και στρέψης είναι κυκλικές ελικοειδείς στον ευκλείδειο χώρο Εξέλιξη στο χωρο-χρόνο της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης

16 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 4 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Ο Αριστοτέλης αναζητώντας το αίτιο της κίνησης εισήγαγε την έννοια της δύναµης Από την εποχή εκείνη έως τον 7 ο αιώνα ήταν αποδεκτό ότι η κίνηση ενός σώµατος διατηρείται αν και µόνο αν προωθείται διαρκώς από µια δύναµη Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που τόλµησε να δηλώσει ότι καµιά εξωτερική δύναµη δεν απαιτείται για τη διατήρηση της ταχύτητας ενός σώµατος παρά µόνο για τη µεταβολή της Το σύγγραµµά του Dalg spra due massm sstem del mnd, που δηµοσιεύτηκε το 6, σηµατοδοτεί κατά γενική οµολογία την απαρχή της σύγχρονης φυσικής και πέρα από την επιστηµονική του σπουδαιότητα θεωρείται ως εξαιρετικό λογοτεχνικό έργο Στις σελίδες του ξετυλίγεται ένας σπουδαίος φιλοσοφικός και επιστηµονικός διάλογος µεταξύ τριών προσώπων, του Salvat που εκφράζει τις απόψεις του συγγραφέα, του Smplc οπαδού της αριστοτελικής παράδοσης και του Sagred που εκπροσωπεί τον µη προκατειληµµένο συζητητή Από αυτόν το διάλογο αναδύονται οι θεµελιακές αντιλήψεις που διαµόρφωσαν τη βάση της Κλασικής Μηχανικής Στις σελίδες αυτού του βιβλίου ο Γαλιλαίος αποκαλύπτει µε απλοϊκό τρόπο την αρχή της σχετικότητας που αποτελεί θεµελιακό αξίωµα της Κλασικής Μηχανικής: «Κλειστείτε µαζί µε φίλους σας στο αµπάρι ενός πλοίου εκεί όπου δεν έχετε δυνατότητα εξωτερικής αντίληψης και αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πετούµενα, βάλτε µικρά ψάρια σε ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφουν στάλες νερού σε ένα µπουκάλι τοποθετηµένο στο πάτωµα Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς πετούν τα µικρά ζώα εξίσου άνετα προς όλες τις κατευθύνσεις, πώς κινούνται τα ψάρια εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά, πώς όλες οι στάλες πέφτουν στο µπουκάλι Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε µεγαλύτερη ή µικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείµενο στον ένα ή τον άλλο φίλο σας που βρίσκονται ολόγυρά σας και απέχουν εξίσου από σας Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι οµαλή χωρίς ταλαντώσεις, δεν θα διακρίνετε την παραµικρή αλλαγή στις παρατηρήσεις σας ώστε να µπορέσετε να συµπεράνετε ότι πράγµατι κινείται Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ότι άλλο υπάρχει σε αυτό συµπεριλαµβανοµένου του αέρα» Ο Νεύτωνας εµπνευσµένος από τα κείµενα του Γαλιλαίου συνέγραψε το µνηµειώδες επιστηµονικό σύγγραµµα Phlsphae Naturals Prncpa Mathematca που δηµοσιεύτηκε το 687 Εκεί διατύπωσε την αρχή της σχετικότητας η οποία δηλώνει την ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου που επιτρέπει να αποφανθούµε για το αν ένα σώµα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας ή όχι Απλά, µπορούµε να αποφανθούµε για το αν ένα σώµα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεµίας σε σχέση µε κάποιο άλλο Έτσι διαµορφώθηκε η αρχή της αδράνειας µε την οποία εισάγεται αξιωµατικά η ύπαρξη των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς Κατόπιν, εισήγαγε τη θεµελιώδη εξίσωση της κίνησης που αποτελεί τη βάση του επιστηµονικού ντετερµινισµού και από την οποία απορρέει ότι αν, σε µια χρονική στιγµή, είναι γνωστή η θέση και η ταχύτητα ενός φυσικού συστήµατος τότε είµαστε σε θέση να προβλέψουµε την εξελικτική του πορεία στο µέλλον Οι δυο αυτές αρχές έδωσαν το έναυσµα στη διαµόρφωση σηµαντικών επιστηµονικών και φιλοσοφικών αντιλήψεων της σύγχρονης εποχής

17 4 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 7 Η Κλασική Μηχανική στηρίζεται σε δυο θεµελιώδη αξιώµατα, την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου και την αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα Η αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα δηλώνει ότι η θέση και η ταχύτητα ενός υλικού σηµείου σε µια χρονική στιγµή ορίζουν µονοσήµαντα τη χρονική εξέλιξή του Συγκεκριµένα, υπάρχει συνάρτηση * f : που ορίζει την κίνηση ως λύση της θεµελιώδους εξίσωσης: d x = f ( xxt,, ), xt (), για δεδοµένες αρχικές συνθήκες xt ( ) και xt ( ) Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου δηλώνει την ύπαρξη µιας κλάσης προνοµιούχων συστηµάτων αναφοράς στα οποία η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού διατηρείται αναλλοίωτη Συγκεκριµένα, πρόκειται για τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς στα οποία οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου µετατρέπουν την εξέλιξη ενός συστήµατος υλικών σηµείων σε εξέλιξη του ίδιου συστήµατος µε άλλες αρχικές συνθήκες Η ανάγκη αξιωµατικής εισαγωγής των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς οφείλεται στην αδυναµία πειραµατικής απόδειξης της ύπαρξής τους Συνέπεια Αδρανειακή κίνηση: Κάθε σύστηµα αναφοράς που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ανήκει και αυτό στην κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς Συνέπεια Χρονική οµογένεια: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χρονική µεταφορά υποδεικνύουν ότι, αν x = φ() t είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης, τότε x = φ ( t+ t ) είναι επίσης λύση για κάθε t, που σηµαίνει ότι οι νόµοι της φύσης παραµένουν αναλλοίωτοι στο πέρασµα του χρόνου Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο, συνεπώς εκφράζεται ως εξής: d x = f ( xx, ) * Η συνάρτηση αυτή καθορίζεται από τα φυσικά δεδοµένα και, εφόσον πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος ύπαρξης και µοναδικότητας της λύσης των διαφορικών εξισώσεων ορίζει µονοσήµαντα την κίνηση, τουλάχιστο σε ένα διάστηµα του χρονικού άξονα, για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα

18 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Συνέπεια Χωρική οµογένεια: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χωρική µεταφορά υποδεικνύουν ότι, αν x = φ() t είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης τότε x = φ () t + x είναι επίσης λύση για κάθε x, που σηµαίνει ότι ο χώρος είναι οµογενής, δηλαδή έχει παντού ίδιες φυσικές ιδιότητες Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση δεν εξαρτάται παρά από τις σχετικές θέσεις µεταξύ των υλικών σηµείων που απαρτίζουν το σύστηµα Το ανάλογο συµπέρασµα ως προς τις ταχύτητες προκύπτει από τους µετασχηµατισµούς αδρανειακής κίνησης Συνέπεια 4 Χωρική ισοτροπία: Οι µετασχηµατισµοί του Γαλιλαίου που εκφράζουν χωρική στροφή υποδεικνύουν ότι, αν ( ) x () t (),, t () t =φ = φ φ είναι λύση της θεµελιώδους εξίσωσης τότε ( ) S φ ( t) = S φ( t),,s φ ( t ) είναι επίσης λύση για κάθε S SO (), που σηµαίνει ότι ο χώρος είναι ισότροπος, δηλαδή δεν διαθέτει προνοµιούχο διεύθυνση Από εδώ προκύπτει ότι, στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η συνάρτηση που υπεισέρχεται στη θεµελιώδη εξίσωση πληροί τη σχέση: f (S x,s x) = S f( x, x ), S SO () Σχόλιο Η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού και ορίζεται από τη συνάρτηση * : f :, (, ) = ( (, ), (, ), (, ) ) f xx f xx f xx f xx, αποσυντίθεται σε σύστηµα τριών διαφορικών εξισώσεων ης τάξης: d x f ( xx, ) =, =,,, και, θέτοντας y = x, ανάγεται σε σύστηµα διπλάσιου πλήθους διαφορικών εξισώσεων ης τάξης ορισµένο στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων : dx = y, dy = f (, ) x y, =,, * Όταν ένα σύστηµα υλικών σηµείων επηρεάζεται από ένα άλλο εξωτερικό σύστηµα τότε η επίδραση αυτή µπορεί να υποκατασταθεί από µια χρονική µεταβολή των παραµέτρων που υπεισέρχονται στη θεµελιώδη εξίσωση του αρχικού συστήµατος και έτσι να εµφανιστεί ο χρόνος ως ανεξάρτητη µεταβλητή

19 4 ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ 9 Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Ο όρος σύστηµα αναφοράς δηλώνει ένα σύστηµα αξόνων ορισµένο από µια προσανατολισµένη ορθοκανονική βάση τοποθετηµένο σε ένα οποιοδήποτε σηµείο του ευκλείδειου χώρου Η αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου εισάγει την κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς όπου ακριβώς σε αυτά η θεµελιώδης εξίσωση που εισάγεται από την αρχή του ντετερµινισµού του Νεύτωνα διατηρείται αναλλοίωτη: d x = f ( xx, ) Ο αδρανειακός χαρακτήρας των συστηµάτων αναφοράς διατηρείται κατά τους γαλιλαϊκούς µετασχηµατισµούς αδρανειακής κίνησης:, ( x, t) ( x v t, t ), + v Σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς R, σε κάθε χρονική στιγµή, η θέση ενός υλικού σηµείου προσδιορίζεται µε τις συντεταγµένες: ( ) x() t = x (), t x (), t x () t και σε ένα σύστηµα αναφοράς R που προκύπτει από τέτοιο µετασχηµατισµό, λαµβάνοντας υπόψη ότι t = t, προσδιορίζονται οι συντεταγµένες: όπου ( ) x () t = x (), t x (), t x () t x () t = x() t + v t x ( t)= x()+ t v x ( t)= x() t, =,, Συνεπώς, η θεµελιώδης εξίσωση διατηρείται αναλλοίωτη στο σύστηµα αναφοράς R Το συµπέρασµα αυτό προφανώς δεν ισχύει όταν το R επιταχύνεται ως προς το R, γεγονός που σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το R δεν ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 5 ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ο Νεύτωνας διατύπωσε τους θεµελιώδεις νόµους της Κλασικής Μηχανικής στηριζόµενος στην έννοια της δύναµης η οποία από φυσική άποψη εισάγεται ως θεµελιακή έννοια και από µαθηµατική άποψη εκφράζεται ως διανυσµατική συνάρτηση της θέσης και της ταχύτητας: F: ος Νόµος: Αρχή αδράνειας Κάθε υλικό σηµείο στο οποίο δεν ασκείται δύναµη εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: F 0 x = σταθερά Σχόλιο Ο ος νόµος του Νεύτωνα αποτελεί ουσιαστικά την πρόταση εισαγωγής των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς ηλώνει ότι όταν σε ένα υλικό σηµείο δεν ασκείται δύναµη τότε στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς η καταγραφόµενη ταχύτητά του είναι σταθερή, χωρίς να γίνεται διάκριση από την κατάσταση ηρεµίας Όταν σε ένα σύστηµα αναφοράς ένας παρατηρητής βρίσκει ότι ένα σώµα ηρεµεί, τότε, σε άλλο σύστηµα αναφοράς που κινείται ευθύγραµµα οµαλά ως προς το πρώτο, ο άλλος παρατηρητής βρίσκει ότι το ίδιο σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα, άρα, και οι δυο βρίσκουν ότι το σώµα δεν επιταχύνεται και βασιζόµενοι σε αυτόν το νόµο συµπεραίνουν ότι δεν ασκείται επάνω του δύναµη ος Νόµος: Εξίσωση της κίνησης Η δύναµη που ασκείται σε ένα υλικό σηµείο προκαλεί ανάλογη προς αυτήν επιτάχυνση: d x m = F( x, x ) Σχόλιο Ο ος νόµος του Νεύτωνα εισάγει την εξίσωση της κίνησης των υλικών ση- µείων στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς Επιπλέον, υποδεικνύει το διανυσµατικό χαρακτήρα της δύναµης και καθορίζει τη µάζα * ως συντελεστή αναλογίας της δύναµης προς την επιτάχυνση Η εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου αποσυντίθεται στις συνιστώσες διαφορικές εξισώσεις: m d x = F( x, x ), m d x = F( x, x ), m d x = F( x, x ) * Έως την εποχή του Νεύτωνα, η έννοια της µάζας ως ποσότητα της ύλης (quanttas materae) που περιέχεται σε ένα σώµα παρέµενε ασαφής τουλάχιστο σε ότι αφορά τη µετρησιµότητά της Πάντως, ήταν αντιληπτό ότι η µάζα αποτελεί µέτρο της αδράνειας της ύλης και για το λόγο αυτό ονοµάστηκε αδρανειακή µάζα Στην Κλασική Μηχανική, σε αντίθεση µε τη Θεωρία Σχετικότητας, η µάζα παραµένει σταθερή και ανεξάρτητη από την ταχύτητα του σώµατος

21 5 ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ος Νόµος: Αρχή δράσης-αντίδρασης Τα υλικά σηµεία ενός συστήµατος αλληλεπιδρούν ανά δύο µε αµοιβαίες αντίρροπες δυνάµεις ίδιου µέτρου Σχόλιο Ο ος νόµος του Νεύτωνα εισάγει τις δυνάµεις αλληλεπίδρασης υποδεικνύοντας ότι αν f j δηλώνει την ασκούµενη δύναµη στο -οστό υλικό σηµείο από το j -οστό υλικό σηµείο του συστήµατος τότε ισχύει: f + f = 0 j j Συνεπώς, η συνολικά ασκούµενη δύναµη στο -οστό υλικό σηµείο από τα υπόλοιπα υλικά σηµεία του συστήµατος καθορίζεται ως εξής: f = f = f e j j j j= j= j j όπου f j = f j δηλώνει το µέτρο της δύναµης αλληλεπίδρασης f j και e j το µοναδιαίο διάνυσµα του προσανατολισµένου άξονα που ορίζεται από το -οστό και το j -οστό υλικό σηµείο Αν επιπλέον ασκείται στο υλικό αυτό σηµείο µια συνισταµένη εξωτερική δύναµη F τότε η συνολικά ασκούµενη δύναµη καθορίζεται ως εξής: F f F ' = j + j= j Αν στα υλικά σηµεία ενός συστήµατος ασκούνται µόνο δυνάµεις αλληλεπίδρασης λέµε ότι πρόκειται για κλειστό σύστηµα * και προκύπτει η προφανής άθροιση: f = f = 0 j = = j= j * Στην πραγµατικότητα δεν υφίστανται κλειστά συστήµατα, αλλά η θεώρηση εξωτερικών δυνάµεων προσφέρει τη δυνατότητα διαχωρισµού του συστήµατος υλικών σηµείων από το υπόλοιπο περιβάλλον Στα συστήµατα που αποτελούνται µόνο από ένα υλικό σηµείο προφανώς δεν υφίστανται παρά µόνο εξωτερικές δυνάµεις

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Αδρανειακές δυνάµεις Στον ευκλείδειο χώρο, θεωρούµε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς R και ένα σύστηµα αναφοράς R που την αρχική στιγµή ταυτίζεται µε το R και µε την πάροδο του χρόνου περιστρέφεται διατηρώντας την αρχή του ταυτισµένη µε την αρχή του R Στα δυο αυτά συστήµατα αναφοράς ο τελεστής παραγώγισης δεν είναι ταυτόσηµος και υπεισέρχεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος R ως προς το σύστηµα R : ω () t = ω (), t ω (), t ω () t που καθορίζει το συσχετισµό: ( ) dr dr = +ω () t Συγκεκριµένα, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστηµα R βλέπει την ορθοκανονική βάση e (), t e (), t e () t του συστήµατος R να περιστρέφεται και καταγράφει την αποσύνθεση: dr e () t = a() t e () t + a() t e () t + a() t e () t dr e () t = b() t e () t + b() t e () t + b() t e () t dr e () t = c() t e () t + c() t e () t + c() t e () t οπότε, µε έναν απλό υπολογισµό *, καταλήγει στην έκφραση: * Λαµβάνοντας υπόψη ότι: d e R () t d e R () t < e (), t e () t >= < e (), t >= 0 e () t, =,,

23 5 ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ dr e () t = 0 e ( t) + ω( t) e ( t) ω ( t) e ( t) dr e () t = ω() t e () t + 0 e () t + ω () t e () t dr e () t = ω() t e () t ω () t e () t + 0 e () t Το συµπέρασµα συνοψίζεται ως εξής: d e R () t =ω () t e () t, =,,, από όπου καθορίζεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας του συστήµατος R ως προς το σύστηµα R Επίσης, προκύπτει ο αντισυµµετρικός πίνακας του τελεστή γωνιακής ταχύτητας: L ω 0 ω( t) ω( t) () t = () 0 () ω t ω t ω() t ω() t 0 που πληροί την κλασική διανυσµατική σχέση: L ξ =ω () t ξ, ξ ω Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται στον ευκλείδειο χώρο, η θέση και η ταχύτητά του καταγράφονται διαφορετικά στα δυο συστήµατα αναφοράς Σε κάθε χρονική στιγµή, αποσυνθέτοντας το διάνυσµα θέσης στην ορθοκανονική βάση του συστήµατος R : προκύπτει: άρα x() t = c() t e () t = d x () t d c () t d e () t R R R = e () t + c() t = = drx() t dr x() t = +ω () t x() t * * Όταν το υλικό σηµείο είναι ακίνητο στο σύστηµα R τότε στο σύστηµα R καταγράφεται η σχέση: x () t =ω () t x() t

24 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Λαµβάνοντας υπόψη ότι η γωνιακή επιτάχυνση δεν εξαρτάται από το σύστηµα αναφοράς: d () t d () t () () t () t d t Rω R ω R ω = +ω ω = προκύπτει ο συσχετισµός καταγραφής των επιταχύνσεων στα δύο συστήµατα αναφοράς: drx () t dr x () t dr x () t dω () t = +ω () t ( ω () t x() t ) + ω () t + x() t Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστηµα R αντιλαµβάνεται ως µόνο αίτιο της κίνησης του υλικού σηµείου τη δύναµη που καθορίζει την εξίσωση του Νεύτωνα: dr x() t m = F( x, x ) Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο σύστηµα R αντιλαµβάνεται ότι επενεργούν τρεις επιπλέον δυνάµεις οφειλόµενες στη µη αδρανειακή φύση του συστήµατός του: * d x () t R d x R () t dω () t m = F( x, x ) mω () t ( ω () t x() t ) mω () t m x() t Πρόκειται για τις καλούµενες αδρανειακές δυνάµεις και συγκεκριµένα για τη φυγόκεντρο δύναµη (κεντροµόλο δύναµη όταν τεθεί θετικό πρόσηµο), τη δύναµη Crls και µια επιπρόσθετη αδρανειακή δύναµη που εµφανίζεται µόνο όταν η γωνιακή ταχύτητα δεν είναι σταθερή, οι οποίες εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής: = ω φ () ( ω () dr x() t F m t t x() t ), F = mω ( t), C dω () t F α = m x() t * Πράγµατι: d x() t d d x() t d d x() t d x() t m = m +ω () t x() t = m +ω () t x() t + mω () t R +ω () t x() t = = d x() t d x() t d ω () t d x() t m + mω () t R + m x() t + mω () t R + mω () t ( ω () t x() t ) = = dr x() t dr x() t dω() t m + mω ( t) + m x( t) + mω ( t) ( ω ( t) x( t) )

25 5 ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 5 Κίνηση όπως την αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής τοποθετηµένος στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς R και ένας παρατηρητής τοποθετηµένος στο µη αδρανειακό περιστρεφόµενο σύστηµα αναφοράς R Σχόλιο Αν, επιπλέον, η αρχή O του συστήµατος R κινείται αναφορικά προς την αρχή O του αδρανειακού συστήµατος R, η θέση του υλικού σηµείου εντοπίζεται στο σύστηµα R µε το διάνυσµα: x () t = OO() t + x() t και προκύπτει ο συσχετισµός καταγραφής των ταχυτήτων στα δυο συστήµατα αναφοράς: d x() t d OO() t d x R R R () t = + +ω () t x () t και ο συσχετισµός καταγραφής των επιταχύνσεων: d x() t d OO() t d x R R R () t d x R () t dω() t = + +ω () t ( ω () t x () t ) + ω () t + x () t Όταν η αρχή του περιστρεφόµενου συστήµατος αναφοράς R κινείται σε σχέση µε την αρχή του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς R πρέπει επιπλέον να ληφθεί υπόψη και αυτή η κίνηση

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Συστήµατα αναφοράς στην επιφάνεια της γης Ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς R τοποθετηµένο στο κέντρο της γης θεωρείται πρακτικά * αδρανειακό, ενώ ένα σύστηµα αναφοράς R τοποθετηµένο στο κέντρο της γης αλλά ενσωµατωµένο σε αυτή, συνεπώς περιστρεφόµενο µαζί της, είναι µη αδρανειακό Η γη πραγµατοποιεί κάθε περιστροφή γύρω από τον άξονά της σε χρονικό διάστηµα 8664 sec και µπορούµε να θεωρήσουµε σταθερή τη γωνιακή ταχύτητά της ως προς το αδρανειακό σύστηµα R Επιλέγοντας ως ο άξονα των συστηµάτων αναφοράς τον άξονα περιστροφής της γης, καθορίζεται το διάνυσµα γωνιακής ταχύτητας ω= (0,0, ω) µε αριθµητική τιµή ω = π /8664 rad / s Με αυτά τα δεδοµένα η εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται στο µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς R ως εξής: d x() t R dr x() t m = F( x, x ) mω ( ω x( t) ) mω Καταγραφή της κίνησης ενός υλικού σηµείου σε ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς τοποθετηµένο στο κέντρο της γης και ένα µη αδρανειακό τοποθετηµένο στην επιφάνειά της Αν το σύστηµα R τοποθετηθεί σε ένα σηµείο O της επιφάνειας της γης, θέτοντας R( t) = OO ( t) και θεωρώντας το διάνυσµα θέσης: ()= x t x () t R() t προκύπτει: συνεπώς drx() t dr(r() t + x ()) t drr() t d R x () t = = + +ω x () t () R() () () drx t dr t dr x t dr x t = + +ω ( ω x () t ) + ω * Στην πραγµατικότητα το σύστηµα αναφοράς R είναι κατά προσέγγιση αδρανειακό αφού η γη περιφέρεται γύρω από τον ήλιο, ενώ ένα σύστηµα αναφοράς τοποθετηµένο στο κέντρο του ήλιου ή ενός αστέρα είναι αδρανειακό µε καλύτερη προσέγγιση

27 5 ΤΟ ΑΙΤΙΟ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 7 Η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται τώρα στο σύστηµα αναφοράς R ως εξής: dr x () t drr() t dr x () t m = F( x, x ) mω ( ω x ( t) ) mω Λαµβάνοντας υπόψη την έκφραση της κεντροµόλου επιτάχυνσης: dr R( t) =ω ( ω R( t) ) προκύπτει: dr x () t dr x () t m = F( x, x ) mω ( ω R( t) ) mω ( ω x ( t) ) mω * Φυγόκεντρος δύναµη ασκούµενη σε µια µάζα στην επιφάνεια της γης Σχόλιο Αν ένα σώµα είναι τοποθετηµένο στην επιφάνεια της γης τότε η ασκούµενη φυγόκεντρος δύναµη: F = mω ω R( t) φ ( ) είναι κάθετη στο διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης µε φορά εξωτερική και αν συγκεκριµένα βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος γωνίας ϕ τότε το µέτρο της ασκούµενης φυγόκεντρης δύναµης είναι: = φ m ω ϕ F R sn * Κατά την περιστροφή της γης, το σηµείο O() t διαγράφει περιφέρεια µε κέντρο την προβολή του στον άξονα περιστροφής της γης και παρατηρούµε ότι: ω ω = ω ω + = ω ω = ω ω ( R() t ) ( (OK KO()) t ) ( KO() t ) ( R() t )

28 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Όταν οι µαθηµατικοί του 8 ου και 9 ου επιχείρησαν να αναδιατυπώσουν το θεωρητικο υπόβαθρο της Κλασικής Μηχανικής, η έννοια της δύναµης σκιάστηκε από τις έννοιες της ορµής και της ενέργειας Ο παραµερισµός της από την κεντρική εννοιολογική της θέση έγινε εντονότερος µε τα επιτεύγµατα της φυσικής του 0 ου αιώνα Αυτό δεν σηµαίνει απόρριψη του θεµελιακού ρόλου της, όµως όπως έγινε αντιληπτό η έννοια της ορµής προσφέρει σαφέστερες και ευρύτερες δυνατότητες κατανόησης των φαινοµένων Η δύναµη αντιµετώπισε µια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών όπως αυτή που αφορά στη δράση της από απόσταση Αφού οι δυνάµεις δεν δρουν ακαριαία στο χώρο, οφείλουµε να αναρωτηθούµε για το τι συµβαίνει στο ενδιάµεσο χρονικό διάστηµα έως ότου ένα σωµατίδιο αντιδράσει στην παρουσία ενός άλλου υπακούοντας στο νόµο δράσης-αντίδρασης Χρειάστηκε λοιπόν να επανεξετάσουµε τον ο νόµο του Νεύτωνα και να προβληµατιστούµε για το ενδεχόµενο αντικατάστασής του από την αρχή διατήρησης της ορµής η οποία δεν επηρεάζεται από τη χρονική υστέρηση της διάδοσης της δύναµης Στην ουσία, ο λόγος που οδηγεί στο να θεωρήσουµε την αρχή διατήρησης της ορµής ως θεµελιώδη νόµο είναι το ότι σε αυτήν αντικατοπτρίζεται η οµογένεια του χώρου, ενώ παράλληλα η ισοτροπία του χώρου αντικατοπτρίζεται στην αρχή διατήρησης της στροφορµής και η οµογένεια του χρόνου στην αρχή διατήρησης της ενέργειας Οι νόµοι της φύσης, από ότι τουλάχιστο γνωρίζουµε, είναι ίδιοι σε όλα τα σηµεία του χώρου σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή Συνεπώς, η χρονική και χωρική οµογένεια και η χωρική ισοτροπία ίσως είναι οι βαθύτεροι λόγοι που οδηγούν αντίστοιχα στις αρχές διατήρησης της ενέργειας, της ορµής και της στροφορµής, καθιστώντας τις τρεις αυτές έννοιες ως εξέχουσες και θεµελιώδεις για την Κλασική Μηχανική Αδρανειακό κέντρο Ο όρος αδρανειακό κέντρο ενός συστήµατος υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες m, =,,, δηλώνει το σηµείο του ευκλείδειου χώρου που σε κάθε χρονική στιγµή ορίζεται µε το διάνυσµα: r( t) = mr( t) m = όπου r( t ) συµβολίζει το διάνυσµα θέσης του υλικού σηµείου µάζας m και m τη συνολική µάζα του συστήµατος, δηλαδή το άθροισµα των µαζών των υλικών του σηµείων Το αδρανειακό κέντρο δεν εξαρτάται από την επιλογή της αρχής του χώρου ως προς την οποία ορίζονται τα διανύσµατα θέσης, δηλαδή πρόκειται για έννοια ενδογενή του συστήµατος και, θεωρώντας το ως υλικό σηµείο µάζας m, προκύπτει η ταχύτητά του και η επιτάχυνσή του: r( t) = mr( t) m = και r( t) = m r( t) m =

29 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 9 Στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα: m r( t) = F όπου F δηλώνει την ασκούµενη εξωτερική δύναµη στο υλικό σηµείο µάζας m, =,, * Συνεπώς, όταν η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων στο σύστηµα υλικών σηµείων είναι µηδέν τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση Τοποθετώντας ένα σύστηµα αναφοράς στο αδρανειακό κέντρο και θεωρώντας τα προσαρτηµένα στο αδρανειακό κέντρο διανύσµατα θέσης των υλικών σηµείων: r( t) = r( t) r( t ), =,,, προκύπτει: mr( t ) = 0 και m r( t ) = 0 = = = ιάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήµατος Η ορµή ενός υλικού σηµείου ορίζεται ως το γινόµενο της µάζας του επί την ταχύτητά του και η ορµή ενός συστήµατος υλικών σηµείων ορίζεται ως το άθροισµα των ορµών των υλικών σηµείων του: p( t) = p ( t ) όπου p () t = m r() t, =,, = * Πράγµατι, λαµβάνοντας υπόψη την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµεων προκύπτει ότι: m r( t) = mr( t) = f + F = f + F = F = F ( ) ( ) j = = = j= = = j

30 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Η ορµή κάθε συστήµατος υλικών σηµείων ταυτίζεται µε την ορµή του αδρανειακού του κέντρου στο οποίο θεωρούµε συµπυκνωµένη όλη τη µάζα του συστήµατος: * p( ) t = m r( t ) Στο πλαίσιο της ισχύος του νόµου δράσης-αντίδρασης, λαµβάνοντας υπόψη την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάµεων, η εξίσωση του Νεύτωνα που διέπει την κίνηση του αδρανειακού κέντρου στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς εκφράζεται ως εξής: p( ) = F t όπου F δηλώνει την ασκούµενη εξωτερική δύναµη στο υλικό σηµείο µάζας m, =,, Αν η συνισταµένη των ασκούµενων εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδενική τότε το σύστηµα κατά την εξέλιξή του διατηρεί σταθερή την ορµή του παρότι η ορµές των υλικών σηµείων του ενδεχοµένως δεν είναι σταθερές Αυτή ακριβώς είναι η καλούµενη αρχή διατήρησης της ορµής: = = F = 0 p( t ) σταθερή Όταν η συνισταµένη εξωτερική δύναµη δεν είναι µηδενική τότε η µεταβολή της ορµής ανάµεσα σε δυο χρονικές στιγµές ορίζει την αντίστοιχη ώση του συστήµατος: t t F = p( t) = p( t ) p( t ) t t Στροβοσκοπική φωτογραφία της κίνησης συγκρουόµενων µαζών Η µια µάζα είναι περίπου διπλάσια της άλλης και οι ορµές τους µεταβάλλονται κατά τη κρούση αλλά το άθροισµά τους διατηρείται σταθερό και το αδρανειακό τους κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση * Πράγµατι: p() = p() = r() d = d t t m t mr() t = ( m r() t ) = m r() t = = =

31 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 4 Η στροφορµή ενός συστήµατος υλικών σηµείων ορίζεται ως άθροισµα των στροφορµών των υλικών σηµείων ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου : Ω () t = Ω () t = r() t p() t = = Θεωρώντας τις εξωτερικές δυνάµεις F, =,,, που ασκούνται αντίστοιχα στα υλικά σηµεία του συστήµατος ορίζεται η ολική ροπή τους ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου: Λ () t = Λ () t = r() t F() t = = Η αρχή δράσης-αντίδρασης υποδεικνύει την αλληλοαναίρεση των ροπών των εσωτερικών δυνάµεων και έτσι προσδιορίζεται ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής: * dω () t = Λ () t Η αρχή διατήρησης της στροφορµής δηλώνει ότι αν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σύστηµα υλικών σηµείων είναι µηδενική τότε το σύστηµα διατηρεί σταθερή στροφορµή κατά την εξέλιξή του, παρότι οι στροφορµές των υλικών σηµείων του ενδεχοµένως µεταβάλλονται: Λ () t = 0 Ω() t σταθερή Όταν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα δεν είναι µηδενική τότε η µεταβολή της στροφορµής του ανάµεσα σε δυο χρονικές στιγµές ορίζει τη στροφική ώση: Λ () t = dω () t = Ω( t ) Ω( t ) t t t t * Πράγµατι: dω() t d ( r( t) p ( t) ) ( r( t) p ( t) ) ( r( t) p ( t) = = + ) r( t) ( fj F) = + = = = = = j= j r( t) f = j + ( r( t) F) = ( r( t) F ) = Λ ( t) = Λ( t) = j= = = = j

32 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Η ιδιοστροφορµή (spn) ενός συστήµατος υλικών σηµείων ορίζεται ως εξής: Ω () t = Ω () t = r() t p() t = = Η διαφορά της ιδιοστροφορµής από τη στροφορµή του συστήµατος εκφράζει τη στροφορµή του αδρανειακού κέντρου ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου : * Ω () t Ω () t = r() t p() t Όταν το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση σε άξονα διερχόµενο από την αρχή του ευκλείδειου χώρου τότε, προφανώς, ιδιοστροφορµή και στροφορµή ταυτίζονται: Ω () t =Ω () t Η διαφορά του ρυθµού µεταβολής της ιδιοστροφορµής από το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος εκφράζει τη ροπή της συνισταµένης δύναµης ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου : όπου Ω() t Ω () t = r( t) F( t) F= F = p = = Η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα ως προς το αδρανειακό του κέντρο: Λ () t = Λ () t = r() t F() t = = εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της ιδιοστροφορµής: dω () t =Λ () t * Πράγµατι: () ( r() t t mr() t ) ( ( r() t r() t ) m( r() t r() t )) Ω = = + + = = = ( r( t) mr( t) ) ( r( t) mr( t) ) ( r( t) mr( t) ) ( r( t) mr( t )) = = = = = = = r() t m r() t + mr() t r() t + r() t mr() t + r() t p() t = r() t p() t +Ω () t ( ) ( ) ( ) = = =

33 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 4 Συνεπώς * Λ () t = 0 Ω () t σταθερή που σηµαίνει ότι όταν η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα ως προς το αδρανειακό του κέντρο είναι µηδενική τότε η ιδιοστροφορµή διατηρείται σταθερή Άρα, η αρχή διατήρησης της στροφορ- µής ισχύει όχι µόνο στα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς αλλά και σε συστήµατα αναφοράς που ακολουθούν την κίνηση του αδρανειακού κέντρου Σχόλιο Η αρχή διατήρησης της στροφορµής ενός συστήµατος υλικών σηµείων, η θέση των οποίων σε κάθε χρονική στιγµή καθορίζεται στον ευκλείδειο χώρο µε τα διανύσµατα: r () t = x (), t y (), t z () t, =,,, ( ) σηµαίνει ότι οι τρεις συνιστώσες της στροφορµής διατηρούνται σταθερές, γεγονός που εκφράζεται στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς µε τις εξισώσεις: = = ( ) m y() tz() t y() tz() t = c m( z() tx () t z tx() t) = c m( x() t y() t x () t y() t ) = c = Στροφορµή υλικού σηµείου ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου * Πράγµατι, dω () t dω() t = r( t) F= ( r( t) F) ( r( t) F) = ( ( r( t) r( t) ) F) = ( r( t) F ) =Λ ( t) = = = =

34 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Η κινητική ενέργεια ενός συστήµατος υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες m ορίζεται στο χώρο των ταχυτήτων ως εξής: K : + K (r,,r ) = m < r ( t), r ( t) >= m r ( t) = = και εκφράζεται στο χώρο των ορµών ως: p ( t) K (p,,p ) = = m Η κινητική ενέργεια του συστήµατος των υλικών σηµείων δεν ταυτίζεται µε την κινητική ενέργεια του αδρανειακού τους κέντρου: K, : + p( ) p ( ) (p) = = t t K m m Συγκεκριµένα, εισάγοντας τις ορµές των υλικών σηµείων ως προς το αδρανειακό κέντρο, προκύπτει ότι: * : όπου = K(p,,p ) = K (p) + K (p,,p ) K (p,,p ) = = p ( t) m εκφράζει, από φυσική άποψη, συνδυασµό της στροφικής κινητικής ενέργειας και της εσωτερικής κινητικής ενέργειας του συστήµατος * Πράγµατι, θεωρώντας τα διανύσµατα θέσης ως προς το αδρανειακό κέντρο: r( t) = r( t) r( t ), =,,, και λαµβάνοντας υπόψη ότι m r( t ) = 0 και m r( t ) = 0 = = προκύπτει: K (r,,r) = m < r(),r() t t >= m < r() t + r(),r() t t + r() t >= = = = m < r( t),r( t) >+ m < r( t),r( t) >+ m < r( t),r( t ) >= = = = = m rt ( ) + m r ( t) = K(r) + K (r,, r ) =

35 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 45 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Κίνηση του αδρανειακού κέντρου δυο υλικών σηµείων Θεωρούµε ένα σύστηµα δυο υλικών σηµείων µε αντίστοιχες µάζες m, m και, σε κάθε χρονική στιγµή, εντοπίζουµε τη θέση τους στον ευκλείδειο χώρο µε τα αντίστοιχα διανύσµατα: r()=om() t t και r()=om() t t, οπότε προκύπτει η θέση του αδρανειακού κέντρου: m r( t) + mr( t) r( t) = m + m Αν στα υλικά σηµεία ασκούνται αντίστοιχα εξωτερικές δυνάµεις F και F, συµβολίζοντας f j τη δύναµη αλληλεπίδρασης που ασκεί το υλικό σηµείο µάζας m στο υλικό σηµείο µάζας m j, =,, οι εξισώσεις κίνησης διατυπώνονται ως εξής: m r( t ) = f+ F και m r() t = f+ F Η αρχή δράσης-αντίδρασης δηλώνει ότι f + f = 0, άρα η κίνηση του αδρανειακού κέντρου υπακούει στην εξίσωση: ( m + m )r( t ) = F + F Η ορµή του συστήµατος ταυτίζεται µε την ορµή του αδρανειακού κέντρου: p( t) = p() t + p () t = m r() t + m r() t = ( m + m )r() t και αν η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων είναι µηδέν τότε το αδρανειακό κέντρο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση: F + F = 0 p( t ) σταθερά

36 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Η κινητική ενέργεια του συστήµατος: p ( t) p ( t) K (p,p ) = + m m αποσυντίθεται σε µεταφορική και στροφική κινητική ενέργεια: p ( t) + p ( t) K p ( t) p ( t) (p,p ) = + m m K (p) = ( m+ m) και Η στροφορµή του συστήµατος εκφράζεται ως εξής: Ω () t = r() t p() t + r() t p () t Θεωρώντας το διάνυσµα ρ () t αρχής M() t και πέρατος M() t και σηµειώνοντας ότι m = ρ r()=r() m t t r() t = ρ () t r( t)=r( t) r( t) ( t), m+ m m+ m και r( )=r( ) r( m t t t) = ρ ( t) m + m r()=r() r() m t t t = ρ () t,, m+ m προσδιορίζεται η ιδιοστροφορµή: mm Ω = + = ρ ρ () t r() t p() t r() t p () t () t () t m+ m Ας εφαρµόσουµε τα προηγούµενα συµπεράσµατα σε ένα σύστηµα δυο υλικών ση- µείων ίδιας µάζας m που κινούνται αντίστοιχα στον ισηµερινό και το µεσηµβρινό µιας σφαίρας µοναδιαίας ακτίνας επικεντρωµένης στην αρχή του ευκλείδειου χώρου και η θέσης τους, σε κάθε χρονική στιγµή, εντοπίζεται από τα διανύσµατα: r()= t cs,sn t t,0 ( ) και r()= t ( sn,0,cs t t) Κίνηση των δυο υλικών σηµείων στην επιφάνεια της σφαίρας

37 6 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 47 Το αδρανειακό κέντρο του συστήµατος προφανώς διαγράφει ελλειπτική τροχιά που ορίζεται από την τοµή ενός επιπέδου µε ένα κύλινδρο: r( t) = cs t+ sn t, sn t, cst και η στροφορµή του προσδιορίζεται ως εξής: ( ) m r( t) p( t) = (,,) Η στροφορµή του συστήµατος προσδιορίζεται ως εξής: και η ιδιοστροφορµή του: Ω () t = r() t p() t + r() t p () t = m(0,,) mm m Ω = ρ ρ = () t () t () t (,,) m+ m Προφανώς πληρούται η σχέση: Ω () t Ω () t = r() t p() t Η σταθερότητα της στροφορµής σηµαίνει µηδενισµό της ολικής ροπής των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα: d Ω () t =Λ () t = r() t F() t + r() t F() t = 0 γεγονός που άλλωστε προκύπτει απευθείας και από την έκφραση των δυνάµεων που ασκούνται στα υλικά σηµεία: F()= t m cs,sn t t,0 ( ) και F()= t m( sn,0,cs t t) Στροφορµή ζεύγους υλικών σηµείων

38 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση δυο υλικών σηµείων ίδιας µάζας που η θέση τους στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς καθορίζεται αντίστοιχα, κάθε χρονική στιγ- µή, ως εξής: r()= t ( cs,sn t t,) και r()= ( cs( π + ),sn( π+ ), ) t t t Τα υλικά αυτά σηµεία προφανώς περιφέρονται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα διαγράφοντας παράλληλες κυκλικές τροχιές µε ίδια γωνιακή ταχύτητα ω= (0,0,) Το αδρανειακό κέντρο του συστήµατός τους είναι αµετακίνητο, άρα η ιδιοστροφορ- µή ταυτίζεται µε τη στροφορµή ως προς την αρχή του ευκλείδειου χώρου : mm Ω =Ω = ρ ρ = () t () t () t () t m( cs, t sn t,) m+ m Η στροφορµή δεν διατηρείται σταθερή και η ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στο σύστηµα είναι: () () d Ω t Λ t = = m(cs, t sn t,0) Ο προσδιορισµός της ολικής ροπής: Λ () t = r() t F() t + r() t F() t ( ) προκύπτει επίσης από τη γνώση αυτών των δυνάµεων: F()= t m cs,sn t t,0 F()= t m cs,sn,0 t t και ( ) Αν τα υλικά σηµεία εκτελούσαν την κίνηση: r()= cs,sn, r()= t cs( π+),sn( t π+), t, t ( t t ) και ( ) η στροφορµή θα ήταν σταθερή και συγγραµµική προς τη γωνιακή ταχύτητα Στροφορµή ζεύγους υλικών σηµείων

39 7 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 49 7 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Στην κλασική Μηχανική, η δοµή του χωρο-χρόνου χαρακτηρίζεται από την αφινικότητά του, τη γραµµικότητα του χρόνου και την ευκλείδεια δοµή του χώρου ιευκρινίστε τι σηµαίνουν από µαθηµατική άποψη αυτά τα χαρακτηριστικά Στην κλασική Μηχανική, σε αντίθεση µε τη θεωρία Σχετικότητας, δεν υφίσταται φυσική µετρική στο χωρο-χρόνο που να προσµετρά συγχρόνως χωρικές αποστάσεις και χρονικά διαστήµατα ιευκρινίστε αυτή την παρατήρηση ιευκρινίστε την αλγεβρική δοµή του συνόλου των µεταφορών στο χωρο-χρόνο διαµέσου των οποίων πραγµατοποιείται η µετάβαση από ένα γεγονός σε κάποιο 4 άλλο και την ισοµορφική ταύτισή του µε τον πραγµατικό διανυσµατικό χώρο 4 ιευκρινίστε τις 0 παραµέτρους που υπεισέρχονται στην οµάδα του Γαλιλαίου Ποιο είναι το ουδέτερο στοιχείο αυτής της οµάδας και πως διατυπώνεται το αντίστροφο στοιχείο ενός οποιουδήποτε στοιχείου της; ιαπιστώστε την µη αντιµεταθετικότητά της και εξετάστε αν διαθέτει αντιµεταθετικές υποοµάδες 5 Αποδείξτε ότι οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί διατηρούν την ορθοκανονικότητα και τον προσανατολισµό των βάσεων του ευκλείδειου χώρου ; Γιατί στην οµάδα του Γαλιλαίου δεν υπεισέρχονται όλοι οι ορθογώνιοι µετασχηµατισµοί του ευκλείδειου χώρου ; 6 Εντοπίστε µεταξύ των ακόλουθων µετασχηµατισµών του χωρο-χρόνου εκείνους που ανήκουν στην οµάδα του Γαλιλαίου: 0 0 v x x x 0 0 v x x x + = 0 0 v x x x t t t / / / v x x x / / / v x x x + = / / / v x x x t t t 0 0 v x x x 0 0 v x x x + = 0 0 v x x x t t t / / / v x x x / / / v x x x + = / / / v x x x t t t / 0 / v x x x 0 0 v x x x + = / 0 / v x x x t t t / / / v x x x / / / v x x x + = / / / v x x x t t t

40 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ 7 Εξετάστε αν υπάρχει στοιχείο της οµάδας του Γαλιλαίου του οποίου η χωρική δράση στον ευκλείδειο χώρο µετασχηµατίζει το ευκλείδειο σύστηµα αξόνων στο σύστηµα αξόνων που είναι επικεντρωµένο στο σηµείο (,,) και ορίζεται από τα διανύσµατα e = (,,), e = (,,), e = (,, ) 8 Προσδιορίστε τη χωρική απόσταση των ταυτόχρονων γεγονότων a (,,, 0) και b (,0,0,0) του χωρο-χρόνου και τη γωνία που ορίζουν στον ευκλείδειο χώρο Επίσης, προσδιορίστε τη χωρική απόσταση και τη γωνία των αντίστοιχων γεγονότων που προκύπτουν από το χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό: x x x x + = 0 0 x x t 0 t 9 είξτε ότι σε κατάλληλη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου κάθε γαλιλαϊκός µετασχηµατισµός µηδενικής χρονικής παραµέτρου εκφράζεται ως εξής: x csθ sn θ 0 x v t + x 0 0 sn cs 0 x = θ θ x + v0t + x0 x 0 0 x v0t + x0 0 Προσδιορίστε την ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου που αναφέρεται στην προηγούµενη άσκηση στην περίπτωση του γαλιλαϊκού µετασχηµατισµού του οποίου τα αριθµητικά στοιχεία είναι εκφρασµένα στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου : x 0 0 x x x = + x 0 0 x 0 t t 0 Ένα στοιχείο της οµάδας Γαλιλαίου ορίζει µηδενική χωρο-χρονική µεταφορά, αδρανειακή κίνηση στον άξονα του διανύσµατος ξ= (,,) µε ταχύτητα µοναδιαίου µέτρου και στροφή γωνίας π/ γύρω από αυτόν τον άξονα στον ευκλείδειο χώρο Τα αριθµητικά δεδοµένα είναι εκφρασµένα στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου και ζητάµε να προσδιορίσετε στη βάση αυτή τα αριθµητικά στοιχεία που υπεισέρχονται στον οριζόµενο χωρο-χρονικό µετασχηµατισµό: x x x x + = x x t t

41 7 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 5 είξτε ότι, στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, ο µετασχηµατισµός στροφής γωνίας θ γύρω από τον άξονα µοναδιαίου διανύσµατος ξ =( ξ, ξ, ξ) εκφράζεται ως εξής: ( cs θ) ξ + cs θ ( cs θ) ξ ξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξ ξ + (sn θ) ξ S (e,e,e ) = ( cs θ) ξξ + (sn θ) ξ ( cs θ) ξ + cs θ ( cs θ) ξξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξξ (sn θ) ξ ( cs θ) ξξ + (sn θ) ξ ( cs θ) ξ + cs θ Εξετάστε αν η χωρική δράση των στοιχείων της οµάδας του Γαλιλαίου επηρεάζει την καµπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 4 Εξετάστε αν ο επαναχρονισµός του χρονικού άξονα επηρεάζει την καµπυλότητα και τη στρέψη των κινήσεων στον ευκλείδειο χώρο 5 Αποδείξτε ότι κάθε κίνηση µη µηδενιζόµενης ταχύτητας µε κατάλληλο επαναχρονισµό ανάγεται σε κίνηση ταχύτητας µοναδιαίου µέτρου 6 Αποδείξτε ότι οι τροχιές µηδενικής στρέψης είναι επίπεδες και οι τροχιές µηδενικής καµπυλότητας είναι ευθύγραµµες 7 Προσδιορίστε την έκφραση της συνάρτηση φ() t κατά τρόπο ώστε η τροχιά της ακόλουθης κίνησης να είναι επίπεδη: ( ) x() t = cs, t sn, t φ() t 8 Προσδιορίστε τον επαναχρονισµό που καθιστά µοναδιαία την ταχύτητα της ακόλουθης κίνησης και δείξτε ότι η τροχιά της είναι επίπεδη κυκλική: x :, 4 x() t = cs, t sn t, cst ιαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης: x :[- π, π], () = ( + cs, sn, sn /) x t t t t, εξελίσσεται στην τοµή της επιφάνειας ενός κυλίνδρου και µιας σφαίρας και προσδιορίστε την καµπυλότητα και τη στρέψη της 0 ιαπιστώστε ότι η τροχιά της κίνησης: x : +, () ( e t cs, e t = sn, e t) xt t t, εξελίσσεται στην επιφάνεια ενός κώνου και προσδιορίστε την τροχιά της προβολής της στο οριζόντιο επίπεδο του ευκλείδειου χώρου Ποια είναι η σχέση της κα- µπυλότητας της τροχιάς µε την καµπυλότητα της προβολής της;