ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Ι. ΠΕΔΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΡΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ 1. Εξετάστε αν το πεδίο διανυσµάτων του ακόλουθου σχήµατος εκφράζει πράγµατι την κατευθυντήρια κλίση της συνάρτησης που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο ως εξής: f (x, y) = xy. Στα σηµεία των ισοσταθµικών καµπύλων αυτής της συνάρτησης: { }, c, Σ c ( f ) = (x, y) 2 / f (x, y) = c διαπιστώστε ότι το διανυσµατικό αυτό πεδίο είναι ορθογώνιο προς τις αντίστοιχες εφαπτόµενες ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση: x f (x o, y o )(x x o ) + y f (x o, y o )( y y o ) = 0. Διαπιστώστε ότι σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου επιπέδου το διανυσµατικό αυτό πεδίο υποδεικνύει την κατεύθυνση προς την οποία οι τιµές της συνάρτησης έχουν το µεγαλύτερο ρυθµό µεταβολής. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 1

2 2. Ο λόφος του σχήµατος ας υποθέσουµε ότι έχει ακριβώς µορφή ελλειπτικού παραβολοειδούς και ότι το υψόµετρό του δίνεται από τη συνάρτηση: hxy (, ) c ax by 2 2 =. Διαπιστώστε ότι το πεδίο κατευθυντήριας κλίσης αυτής της συνάρτησης είναι κάθετο στις ισοσταθµικές της καµπύλες και σε κάθε σηµείο υποδεικνύει το συντοµότερο δρόµο ανάβασης προς την κορυφή. Προς ποια κατεύθυνση αυξάνει εντονότερα το υψόµετρο όταν βρισκόµαστε στο σηµείο µε γεωγραφικές συντεταγµένες (1,1) ; Προς ποια κατεύθυνση θα κυλήσει ένα σφαιρικό σώµα αν τον αφεθεί από αυτό το σηµείο; Στο σηµείο αυτό, προς ποια κατεύθυνση πρέπει να χαραχθεί ένας δρόµος ώστε να έχει κλίση 3%; 3. Ένα διαστηµόπλοιο περνά κοντά από µια πηγή θερµότητας και αν (, xyz,) είναι µια δεδοµένη χρονική στιγµή οι συντεταγµένες της θέσης του σε ένα καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς επικεντρω- µένο στην πηγή τότε η θερµοκρασία στο τοίχωµά του δίνεται από τη συνάρτηση: x 2y 3z T( x, y, z) = e Αν κάποια στιγµή το διαστηµόπλοιο βρεθεί στη θέση (1,1,1), προς ποια κατεύθυνση πρέπει να κινηθεί ώστε να µειωθεί η θερµοκρασία του τοιχώµατός του το συντοµότερο δυνατόν; Πόσο γρήγορα θα µειωθεί η θερµοκρασία του διαστηµοπλοίου αν η ταχύτητά του προς αυτή την κατεύθυνση είναι v o = e 8 m / sec,; Γνωρίζοντας ότι το µέταλλο του τοιχώµατος του διαστηµοπλοίου θα εµφανίσει ρωγµές όταν ο ρυθµός ψύξης του είναι µεγαλύτερος από 14e 2 βαθµούς το δευτερόλεπτο, ποιες είναι οι κατευθύνσεις προς τις οποίες θα πρέπει να κινηθεί ώστε να αποφευχθεί η ρήξη του τοιχώµατος; ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 2

3 ΙΙ. ΤΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΚΑΙ Η ΑΜΦΙΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΡΕΨΙΜΟΤΗΤΑ 1. Θεωρούµε µια πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σε όλη την πραγµατική ευθεία: f :. Αν η συνάρτηση αυτή είναι αντιστρέψιµη και συνεχής, πιστεύετε ότι είναι αµφισυνεχής και ότι αποτελεί οµοιοµορφισµό της πραγµατικής ευθείας; Αν η συνάρτηση αυτή είναι αντιστρέψιµη και παντού διαφορίσιµη, πιστεύετε ότι είναι αµφιδιαφορίσιµη και ότι αποτελεί αµφιδιαφοροµορφισµό της πραγµατικής ευθείας; Αν η συνάρτηση αυτή είναι παντού διαφορίσιµη µε µη µηδενική παράγωγο, πιστεύετε ότι αποτελεί οµοιοµορφισµό και αµφιδιαφοροµορφισµό της πραγµατικής ευθείας; Εξετάστε την παραγωγίσιµότητα και την τοπική αντιστρεψιµότητα στο σηµείο 0 στην περίπτωση: f (x) = x + x 2 sin(π / x), x 0, f (0) = Διαπιστώστε ότι η ακόλουθη απεικόνιση είναι τοπικός αµφιδιαφοροµορφισµός σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου επιπέδου, αλλά δεν είναι ολικός οµοιοµορφισµός, άρα ούτε ολικός αµφιδιαφοροµορφισµός του ευκλείδειου επιπέδου στην εικόνα του: f : 2 2, f(x,y) = ( e x cosx, e x sinx ). 3. Προσδιορίστε το µέγιστο συνεκτικό χωρίο του ευκλείδειου επιπέδου το οποίο απεικονίζεται αµφιδιαφοροµορφικά στην εικόνα του διαµέσου του ακόλουθου µετασχηµατισµού: f : 2 2, f(x,y) = ( x + y, xy). 4. Διαπιστώστετε ότι ο ακόλουθος µετασχηµατισµός απεικονίζει αµφιδιαφοροµορφικά το ευκλείδειο επιπέδο στον εαυτό του: f : 2 2, f(x,y) = ( sin(y /2) x, sin(x /2) y). 5. Διαπιστώστε ότι ο ιακωβιανός πίνακας του ακόλουθου µετασχηµατισµού συµπίπτει µε τον αντίστροφό του και δώστε το συµπέρασµά σας: x f : 3 {0} 3, f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z, y 2 x 2 + y 2 + z, z 2 x 2 + y 2 + z 2. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 3

4 ΙΙΙ. ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΜΦΙΔΙΑΦΟΡΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΊΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ 1. Προσδιορίστε την εικόνα που αποδίδει ο ακόλουθος µετασχηµατισµός σε µια οριζόντια και µια κατακόρυφη ζώνη του ευκλείδειου επιπέδου και δώστε το συµπέρασµά σας για την εικόνα που αποδίδει σε ένα τετραγωνικό χωρίο και ένα καρτεσιανό πλέγµα του ευκλείδειου επιπέδου: f : 2 2, f(x,y) = ( sinx + y,cosy + x ). Προσδορίστε τα µέγιστα συνεκτικά χωρία του ευκλείδειου επιπέδου στα οποία διασφαλίζεται η αµφιδιαφορισιµότητα αυτού του µετασχηµατισµού. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 4

5 2. Προσδιορίστε την εικόνα που αποδίδει ο ακόλουθος µετασχηµατισµός σε µια οριζόντια και µια κατακόρυφη ζώνη του ευκλείδειου επιπέδου και δώστε το συµπέρασµά σας για την εικόνα που αποδίδει σε ένα τετραγωνικό χωρίο και ένα καρτεσιανό πλέγµα του ευκλείδειου επιπέδου: f : 2 2, f(x,y) = ( x 2 y 2, 2xy ). Προσδορίστε τα µέγιστα συνεκτικά χωρία του ευκλείδειου επιπέδου στα οποία διασφαλίζεται η αµφιδιαφορισιµότητα αυτού του µετασχηµατισµού. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 5

6 3. Προσδιορίστε την εικόνα που αποδίδει ο ακόλουθος µετασχηµατισµός σε µια οριζόντια και µια κατακόρυφη ευθεία και κατόπιν στο περίγραµµα ενός τετραγώνου και ενός τετραγωνικού χωρίου του ευκλείδειου επιπέδου. Επίσης, προσδιορίστε την εικόνα που αποδίσεται σε µια οριζόντια και µια κατακόρυφη ζώνη και δώστε το συµπέρασµά σας για την εικόνα που αποδίδει σε ένα τετραγωνικό χωρίο και ένα καρτεσιανό πλέγµα του ευκλείδειου επιπέδου: f : 2 2, (, ) ( x x f x y e cos y, e sin y) =. Προσδορίστε τα µέγιστα συνεκτικά χωρία του ευκλείδειου επιπέδου στα οποία διασφαλίζεται η αµφιδιαφορισιµότητα αυτού του µετασχηµατισµού. Οι οριζόντιες ευθείες μετασχηματίζονται σε ακτινικές ημιευθείες και οι κατακόρυφες σε κυκλικά τόξα. Τα ορθογώνια περιγράμμτα και χωρία μετασχηματίζονται αντίστοιχα σε περιγράμματα και χωρία δακτυλίων. Η εικόνα μιας οριζόντιας ζώνης εύρους 2π καλύπτει το ευκλείδειο επίπεδο εκτός μιας ημιευθείας και προκύπτει ένας αμφιμονοσήμαντος μετασχηματισμός. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 6

7 4. Προσδιορίστε την εικόνα που αποδίδει ο ακόλουθος µετασχηµατισµός στο ευκλείδειο επίπεδο από το οποίο έχει εξαιρεθεί µια ηµιευθεία και εξετάστε τι θα συµβεί αν δεν εξαιρεθεί η ηµιευθεία αλλά µόνο η αρχή του ευκλείδειου επιπέδου: ( ) f (x, y) = ln(x 2 + y 2 )1/2, Arc tan( y / x). Αν από το ευκλείδειο επίπεδο εξαιρεθεί μια ημιευθεία τότε η εικόνα του καλύπτει μια οριζόντια ζώνη εύρους 2π. 5. Σχεδιάστε στο ευκλείδειο επίπεδο τις καµπύλες που ορίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των πραγµατικών σταθερών ϕ o, ψ o : ln(x 2 + y 2 )1/2 = ϕ o και i) Arc tan( y / x) = ψ ο., x + y =e 2 2 2ϕο και y = (tan ψ ο ) x ii) e x cos y = ϕ o και e x sin y = ψ o. e cos y = ϕ o x e sin y = ψ o x και 6. Σχεδιάστε στο ευκλείδειο επίπεδο τις καµπύλες που ορίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των πραγµατικών σταθερών ϕ o, ψ o : i) x 2 y 2 = ϕ o και 2xy = ψ ο, ii) y 2 = 4ϕ 2o (ϕ 2o 1)x και y 2 = 4ψ 2o (ψ 2o + 1)x. ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι, ΜΑΘΗΜΑ 2, ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 7

8 7. Σχεδιάστε στο ευκλείδειο επίπεδο τις καµπύλες που ορίζονται από τις ακόλουθες εξισώσεις για τις διάφορες τιµές των πραγµατικών σταθερών ϕ o, ψ o : x x 2 + y 2 = ϕ o και y x 2 + y 2 = ψ o. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν αντίστοιχα από το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του µιγαδικού µετασχηµατισµού αντιστροφής που ορίζεται στο µιγαδικό επίπεδο εκτός της αρχής του: f () z = 1/ z. Διαπιστώστε ότι ο µιγαδικός µετασχηµατισµός αντιστροφής επιβάλλει στα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου µια οµοθεσία και µια συµµετρία ως προς τον πραγµατικό άξονα: z = ρe iθ 1/ z = (1/ ρ)e iθ. Αντιστροφή στο µιγαδικό επίπεδο: Aν στο ευκλείδειο επίπεδο µια ευθεία και ένας κύκλος ορίζονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις: ax + by + c = 0 και x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 τότε στο µιγαδικό επίπεδο οι εξισώσεις αυτές διατυπώνονται αντίστοιχα ως εξής: (a ib)z + (a + ib)z + 2c = 0 και z z + (a ib)z + (a + ib)z + c = 0. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 8

9 Αποδείξτε ότι κάθε ευθεία µη διερχόµενη από την αρχή του µιγαδικού επιπέδου µετασχηµατίζεται σε κύκλο διερχόµενο από την αρχή του και κάθε κύκλος µη διερχόµενος από την αρχή του µιγαδικού επιπέδου µετασχηµατίζεται σε κύκλο µη διερχόµενο από την αρχή του. Επίσης, κάθε ευθεία διερχόµενη από την αρχή του µιγαδικού επιπέδου µετασχηµατίζεται στη συµµετρική της ευθεία ως προς τον πραγµατικό άξονα και κάθε κύκλος διερχόµενος από την αρχή του µιγαδικού επιπέδου µετασχηµατίζεται σε ευθεία µη διερχόµενη από την αρχή του. Φαινόµενα αντιστροφής στο µιγαδικό επίπεδο. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 9

10 8. Θεωρούµε το µιγαδικό οµογραφικό µετασχηµατισµό: 1 όπου f : U U, f (z) = a z + b, a,b,c,d, c z + d U = { z / z d / c} και U = { z / z a / c}. Ο µετασχηµατισµός αυτός µπορεί να εκφραστεί ως εξής: όπου f (z) = α + β z γ 2 α = a/ c, β = ( bc ad)/ c, γ = d / c. Άρα, ο µιγαδικός οµογραφικός µετασχηµατισµός επιβάλλει σε κάθε σηµείο του µιγαδικού επιπέδου διαδοχικά µεταφορά, αντιστροφή, στροφή, οµοθεσία και µεταφορά: Z = f (z) : z z γ 1 z γ β z γ α + β z γ = Z. Αποσύνθεση του οµογραφικού µετασχηµατισµού στο µιγαδικό επίπεδο. Διαπιστώστε ότι οι οµογραφικοί µιγαδικοί µετασχηµατισµοί διαθέτουν ένα ή δυο σταθερά σηµεία στο µιγαδικό επίπεδο που είναι οι ρίζες της µιγαδικής εξίσωσης: 2 cz d a z b + ( ) = 0. Διαπιστώστε ότι οι οµογραφικοί µιγαδικοί µετασχηµατισµοί µετασχηµατίζουν τις ευθείες και τους κύκλους σε ευθείες ή κύκλους. Αποδείξτε ότι οι οµογραφικοί µιγαδικοί µετασχηµατισµοί διατηρούν αναλλοίωτο τον αναρµονικό λόγο κάθε τετράδας σηµείων του µιγαδικού επιπέδου: z z 1 : z z z z z z o 1 2 o 2 1 Θα εξαιρέσουμε τις απλουστευμένες περιπτώσεις θέτοντας c 0 και ad bc 0. Η περίπτωση a= 0, b= 1, c= 1, d = 0 δίνει τη μιγαδική αντιστροφή f( z) = 1/ z. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 10

11 Διαπιστώστε ότι όταν ο αρµονικός λόγος είναι -1 τότε στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία z 1 και z 2 διαιρούνται αρµονικά από τα σηµεία z και z o. Διαπιστώστε ότι στην περίπτωση όπου ο µιγαδικός οµογραφικός µετασχηµατισµός διαθέτει δυο σταθερά σηµεία f( z1) = z1 και f( z ) = z, θέτοντας Z= f() z και Z = f( z ), προκύπτει: 2 2 o o άρα z z 1 z z 2 : z o z 1 z o z 2 = Z z 1 Z z 2 : Z o z 1 Z o z 2 Z z 1 Z z 2 = k z z 1 z z 2. Διαπιστώστε ότι στην περίπτωση όπου ο µιγαδικός οµογραφικός µετασχηµατισµός διαθέτει µόνο ένα σταθερό σηµείο f( z1) = z1 τότε, θεωρώντας µε µεταφορά των αξόνων ότι πρόκειται για την αρχή του µιγαδικού επιπέδου, οπότε b = 0 και d = a, προκύπτει: άρα 1 1 c = + και Z z a az Z = cz + a 1 1 h Z z = z z Προσδιορίστε τους συντελεστές του οµογραφικού µετασχηµατισµού έτσι ώστε: z < 1 f (z) < 1, z = 1 f (z) = 1, z > 1 f (z) > 1. Προσδιορίστε τους συντελεστές του οµογραφικού µετασχηµατισµού έτσι ώστε ένας ανοιχτός δίσκος να µετασχηµατίζεται αµφιδιαφορικά και σύµµορφα σε ανοιχτό ηµιεπίπεδο. 9. Μελετήστε το µιγαδικό µετασχηµατισµό: f (z) = 1 2 (z + 1 z ). 10. Οι κύκλοι του Clifford. Στο ευκλείδειο επίπεδο θεωρούµε µια ακολουθία κύκλων C 1,C 2,...,C n,... ίδιας ακτίνας R που όλοι διέρχονται από ένα δεδοµένο κοινό σηµείο Ο, αλλά ανά δυο δεν εφάπτονται ούτε ταυτίζονται. Για κάθε ζεύγος κύκλων C, C, i j, σηµειώνουµε ij το σηµείο τοµής τους, εκτός του Ο, και συµβολίζουµε ijk τον κύκλο που ορίζεται από τα σηµεία ij, jk, ki όπου i, j, k είναι διαφορετικοί δείκτες. Αποδείξτε ότι οι κύκλοι 123, 124, 134, 234 διέρχονται από ένα κοινό σηµείο που σηµειώνουµε 1234 και ότι τα σηµεία 1234, 1235, 1245, 1345, 2345 ανήκουν σε ένα i j κύκλο ακτίνας R που συµβολίζουµε Αποδείξτε ότι οι C 6 5 κύκλοι 12345, 12346,,23456 διέρχονται από ένα κοινό σηµείο που σηµειώνουµε και συνεχίστε το συλλογισµό για να ανακαλύψετε τον αλγόριθµο που υπέδειξε ο Clifford. Αν τοποθετήσετε το πρόβληµα στο µιγαδικό επίπεδο η απόδειξη είναι εξαιρετικά απλή. Τι άραγε ισχύει για την ακολουθία f (C 1 ), f (C 2 ),..., f (C n ),... όπου f (z) = 1/ z ; ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 11

12 Οι κύκλοι του Clifford. 2 2 Roger Penrose, A la decouverte des lois de l univers, Science, Marcel Berger, Problèmes de Géométrie, Ed, Cedic, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 12

13 ΙΙΙ. ΔΙΑΣΦΑΛΙΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΑΜΦΙΔΙΑΦΟΡΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 13

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 01-1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Μάθημα 4 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΘΕΣΕΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ο Διαφορικός

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:

n xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.

Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε

Διαβάστε περισσότερα

και αναζητούμε τις λύσεις του:

και αναζητούμε τις λύσεις του: ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με

Διαβάστε περισσότερα

{ } M =: T a. a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. )} i I. ,φ i. A(M) = {(U i = M. U i i I

{ } M =: T a. a M ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ 3. )} i I. ,φ i. A(M) = {(U i = M. U i i I 4. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΧΩΡΟΥ Ο Διαφορικός Λογισμός σε ομαλές επιφάνειες του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου αποτελεί προπομπό ει- σαγωγής στη θεωρία των Διαφορικών Πολλαπλοτήτων,

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x)

, ( x) = ( f ( x),..., f ( x) ΜΑΘΗΜΑ : ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΗ ΡΟΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις προσφέρουν τη δυνατότητα μαθηματικής μοντελοποίησης ενός πλήθους φυσικών, χημικών, βιολογικών, οικολογικών, οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μεταπτυχιακό Μάθημα: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευματικός Ακαδημαϊκό έτος 11-1 ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΩΝ LOKA-VOLERRA

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 3 Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2.

ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 011) 1 Από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του αριθμητικού χωρο-χρόνου εντοπίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.

14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ορισμός. Αν τα και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα η συνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση όπου (συνιστώσες) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ SECTIN 1 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5.1 Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την

Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ΜΑΘΗΜΑ ο : ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές έχει την ακόλουθη έκφραση στις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα 2 ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜÖBIUS ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

f : U n. a U όταν υπάρχει γραμμική συνάρτηση : d a f : n f (u) + o( u ).

f : U n. a U όταν υπάρχει γραμμική συνάρτηση : d a f : n f (u) + o( u ). 3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Θεωρούμε μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου : f : U. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι διαφορίσιμη στο σημείο a U όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ

Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

x 2 + y 2 x y

x 2 + y 2 x y ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 014-15 Τμήμα Μαθηματικών και Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Εφαρμοσμένων Μαθηματικών ΜΕΜ0 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Φυλλάδιο Προβλημάτων Κύκλος, Ελλειψη, Υπερβολή, Παραβολή

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι -

1. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο x 0 την ευθεία y = αx + β, µε α 0, όταν. είναι + είναι - Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει εφαπτοµένη στο την ευθεία = α + β, µε α, όταν Α. ( Β. η f είναι συνεχής στο = α R Γ. η f δεν είναι συνεχής στο. το όριο Ε. το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό,

Διαβάστε περισσότερα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Χρήστος Θ. Αναστασίου Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα