Επιρροή μικροπαραμέτρων στην προσομοίωση της τριαξονικής δοκιμής με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων

Transcript

1 Επιρροή μικροπαραμέτρων στην προσομοίωση της τριαξονικής δοκιμής με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων Influence of micro-parameters on numerical simulation of Triaxial Apparatus Test using the Distinct Element Method Κωνσταντίνος Ν. Θωμάς Γεώργιος Ε. Μυλωνάκης Πολιτικός Μηχανικός ΜΔΕ, Υπ. Διδάκτορας Π.Π. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής Π.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται αριθμητική διερεύνηση της επιρροής μίκρο-παραμέτρων στην τριαξονική συμπεριφορά ξηρών μη συνεκτικών δοκιμίων, όπως αυτή εκφράζεται μέσω της γωνίας τριβής, κορυφαίας και κρίσιμης κατάστασης, στο πλαίσιο αριθμητικής ανάλυσης σύμφωνα με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων (ΜΔΣ). Υπέρπυκνες διατάξεις υποβλήθηκαν σε προσομοιώσεις της εργαστηριακής δοκιμής συμπίεσης σε δύο διαστάσεις στην πλατφόρμα PFC-2D. Μέσω αδιάστατων γραφημάτων εξετάζεται η επιρροή παραμέτρων όπως οι αξονικές και διατμητικές στιφρότητες των ελατηρίων που συνδέουν ακτινικά τους κόκκους, ο συντελεστής τριβής και η ισοτροπική τάση. ABSTRACT: Numerical studies using the Distinct Element Method (DEM) are conducted to investigate the influence of micro-parameters on the triaxial behavior of dry cohesionless soil samples as described through the peak and critical state friction angle. To this end, highly dense granular assemblies are subjected to Triaxial compression in two dimensions, using the commercial platform of PFC-2D. The influence of parameters such as the axial and tangential stiffness of the springs connecting particles, the interparticle friction coefficient and the isotropic confining stress are investigated using dimensionless graphs and charts. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Λόγω της κοκκώδους φύσης του, το έδαφος παρουσιάζει περίπλοκη συμπεριφορά σε επιβαλλόμενες εξωτερικές φορτίσεις, η οποία παραδοσιακά προσομοιώνεται με αριθμητικές μεθόδους βάσει της θεωρίας του συνεχούς μέσου και κατάλληλων καταστατικών προσομοιωμάτων. Με λίγες εξαιρέσεις, τα συμβατικά προσομοιώματα δεν λαμβάνουν υπόψη τους μηχανισμούς που διέπουν την εδαφική συμπεριφορά σε επίπεδο κόκκου. Με αφετηρία την κλασσική δημοσίευση των Cundall και Strack (1979) και με την ραγδαία αύξηση της ισχύος των υπολογιστών, όλο και περισσότεροι ερευνητές χρησιμοποιούν αριθμητικές μεθόδους που στηρίζονται στη μίκρο-μηχανική συμπεριφορά του εδάφους, για εφαρμογή σε θεωρητικά και πρακτικά προβλήματα, Tang et al. (2006), Yuu et al. (2008), Jiang et al. (2011), Widulinski et al. (2011). Στην παρούσα έρευνα χρησιμοποιείται η Μέθοδος των Διακριτών Στοιχείων, προσομοιώνοντας την αλληλεπίδραση μεταξύ εδαφικών κόκκων μέσω δυνάμεων τριβής και συνοχής, οι οποίες παράγονται από ελατήρια, ή και αποσβεστήρες για δυναμικά προβλήματα, που συνδέουν τους κόκκους στην ακτινική και εφαπτομενική διεύθυνση, Σχήμα 1. Για τον σκοπό αυτό απαιτείται ο καθορισμός παραμέτρων όπως οι στιφρότητες των ελατηρίων,k n, και k s αντίστοιχα, ο συντελεστής τριβής και η συνοχή μεταξύ αυτών f μ, και c αντίστοιχα, o δείκτης κενών, e, και η ισοτροπική τάση, σ 3.

2 Σχήμα 1. Σχηματική απεικόνιση της αλληλεπίδρασης κόκκων με βάση την ΜΔΣ. Figure 1. Graphical implementation of interparticle mechanics based on DEM. Η επιλογή κατάλληλων τιμών για τις παραπάνω παράμετρους δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί βάσει τετριμμένων υπολογισμών. Οι αντίστοιχες παράμετροι για τα μοντέλα συνεχούς μέσου, (μέτρο ελαστικότητας, αντοχή), προκύπτουν κατά κανόνα απευθείας μέσω εργαστηριακών δοκιμών. Για τις μεθόδους διακριτού μέσου οι τιμές δεν είναι γνωστές εκ προοιμίου και προκύπτουν μέσω επαναληπτικής βαθμονόμησης του προσομοιώματος μέχρι να επιτευχθεί μια δεδομένη μακροσκοπική συμπεριφορά για το υπό εξέταση φυσικό υλικό. Αρκετές εργασίες έχουν εκπονηθεί για την επιρροή των διάφορων μίκρο-παραμέτρων, εκ των οποίων θα εξεταστούν αυτές των Thornton (2000), Powrie et al. (2005), Sazzad and Islam (2008). Η βασική παράμετρος που διέπει τη συμπεριφορά των δοκιμίων όπως αυτή εκφράζεται μέσω της κορυφαίας φ peak και κρίσιμης φ cs γωνίας τριβής (Roscoe et al., 1958), είναι ο συντελεστής τριβής f μ μεταξύ των κόκκων ή αλλιώς η γωνία τριβής φ μ μεταξύ αυτών με f μ =tan(φ μ ). Με πυρήνα το πρόβλημα της δοκιμής σε θλίψη υπό πλευρική τάση, η παρούσα εργασία διερευνά την σχέση (φ peak -φ cs,φ μ ) σε ξηρά μη συνεκτικά δοκίμια υπό διαφορετικές συνθήκες οι οποίες εκφράζονται μέσω των αδιάστατων λόγων k s /k n και k n /(B*σ 3 ), όπου Β το πλάτος του εκάστοτε δοκιμίου και σ 3 η πλευρική τάση. Για τον σκοπό αυτό αναπτύχθηκε ειδικός κώδικας σε γλώσσα FISH, Itasca (2004) και C++ στην πλατφόρμα PFC-2D για την αριθμητική προσομοίωση της εργαστηριακής δοκιμής σε δύο διαστάσεις. O κώδικας περιλαμβάνει προσομοίωση της μεμβράνης μέσω της οποίας επιβάλλεται η ισοτροπική τάση. 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΜΕΜΒΡΑΝΗΣ-ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΛΕΥΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΔΟΚΙΜΙΟ Η προσομοίωση της μεμβράνης που περικλείει τα δοκίμια κατά τη δοκιμή της τριαξονικής φόρτισης γίνεται μέσω μιας σειράς από στοιχεία, Σχήμα 2(α), που συνδέονται μεταξύ τους μέσω ελαστικών δεσμών πολύ μεγάλης αντοχής. Η εφαρμογή της πλευρικής τάσης σ 3 επιτυγχάνεται μέσω υπολογιστικού αλγόριθμου ο οποίος επιβάλλει κατάλληλες δυνάμεις σε κάθε διακριτό στοιχείο που προσομοιώνει την μεμβράνη και περιγράφεται παρακάτω. Η στιφρότητα των ελατηρίων που συνδέουν τα στοιχεία μεμβράνης, λαμβάνεται ίση με k n =2 l Ε r, (Θωμάς, 2008), όπου E r το μέτρο ελαστικότητας της φυσικής μεμβράνης και l η εκτός του επιπέδου διάσταση των στοιχείων, συνήθως ίση με μονάδα. Με βάση τον αλγόριθμο, σε ένα στοιχείο i ασκείται συγκεντρωμένη δύναμη F i της οποίας οι συνιστώσες F i,x και F i,y υπολογίζονται ως εξής: Δεδομένων των συντεταγμένων των κέντρων του στοιχείου i και του αμέσως προηγούμενού στοιχείου i-1, η γεωμετρία του Σχήμα 2(γ) είναι γνωστή, όπου s 1 η απόσταση των κέντρων τους και s x1, s y1 οι αποστάσεις των κέντρων κατά τους δύο άξονες, αντίστοιχα. Θεωρώντας την πλευρική τάση σ 3 να εφαρμόζεται κατά μήκος του τμήματος που ενώνει τα κέντρα των στοιχείων, Σχήμα 2(β), η προκύπτουσα δύναμη στο κέντρο του στοιχείου i έχει διεύθυνση κάθετη στο τμήμα αυτό με μέτρο και συνιστώσες ίσα με: F i i-1 =(σ 3 s 1 l)/2 f xi i-1 = F i i-1 cosφ 1 f yi i-1 = F i i-1 sinφ 1 (1α,β,γ) Αντίστοιχα η δύναμη με βάση το επόμενο στοιχείο i+1, Σχήμα 2(δ) προκύπτει: F i i+1 =(σ 3 s 2 l)/2 f xi i+1 = F i i+1 cosφ 2 f yi i+1 = F i i+1 sinφ 2 (2α,β,γ)

3 Σχήμα 2. Γεωμετρία στοιχείων μεμβράνης Figure 2. Geometry of membrane particles Οι ζητούμενες συνιστώσες της δύναμης στο κέντρο του στοιχείου μεμβράνης i είναι τελικά: F x,i = f xi i-1 + f xi i+1 =σ 3 l (s 1 cosφ 1 +s 2 cosφ 2 )/2 (3) F y,i = f1 y +f2 y =σ 3 l (s 1 sinφ 1 +s 2 sinφ 2 )/2 (4) Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλα τα στοιχεία μεμβράνης σε κάθε υπολογιστικό βήμα. Στο Σχήμα 3 αναπαριστάται με την χρήση ενός επίπεδου δικτυώματος δυνάμεων επαφής για ένα στιγμιότυπο δοκιμής, η κατανομή των δυνάμεων στους εδαφικούς κόκκους λόγω των στοιχείων μεμβράνης. Με μαύρο χρώμα συμβολίζονται οι θλιπτικές δυνάμεις, ενώ με κόκκινο οι εφελκυστικές που αναπτύσσονται μόνο στα στοιχεία της μεμβράνης. Το πάχος των γραμμών είναι ανάλογο του μέτρου της εκάστοτε δύναμης. Σχήμα 3. Δικτύωμα δυνάμεων στους κόκκους Figure 3. Chains of force contacts 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Για τις αριθμητικές αναλύσεις επιλέχθηκε μια ορθογωνική πυκνή, μη συνεκτική διάταξη, με εξαγωνική δομή των κόκκων η οποία έχει δείκτη κενών σε δύο διαστάσεις e 2D =0.1, (Thomas et al., 2008) και σχετική πυκνότητα D r =100%, Σχήμα 4(α). Όλοι οι κόκκοι έχουν ίδια διάμετρο με λόγο B/d=25 (πλάτος δοκιμίου/διάμετρος κόκκων). Η διάταξη υποβάλλεται σε συνεχή αξονική παραμόρφωση μέχρι την κατάσταση αστοχίας μέσω οριζόντιων απαραμόρφωτων

4 λείων πλακών στα άνω και κάτω όρια τα οποία κινούνται κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα. Πλευρικά ασκείται τάση σ3 μέσω του αλγόριθμου της παραγράφου 2. Κατά την διάρκεια της δοκιμής καταγράφονται 65 διαφορετικές μεταβλητές συμπεριλαμβανομένων της αξονικής παραμόρφωσης, της ορθής τάσης, των στροφών των κόκκων (spin), του ποσοστού των διεπαφών που βρίσκονται σε κατάσταση ολίσθησης, της μεταβολής του πορώδους κ.α. Για τον σκοπό αυτό, ορίζονται κυκλικές επιφάνειες αναφοράς (measurement circles) των οποίων η διάταξη φαίνεται στο Σχήμα 4(α). Στο ίδιο σχήμα, (β, γ, δ), επισημαίνονται ενδεικτικά, για μία δοκιμή, σε διαφορετικές θέσεις αξονικής παραμόρφωσης ε, οι κόκκοι των οποίων η περιστροφή είναι μεγαλύτερη από τον μέσο όρο όλων των κόκκων. Με κόκκινο χρώμα καταδεικνύονται αυτοί με ωρολογιακή φορά ενώ με πράσινο αντιωρολογιακή. Η τιμή της εf αντιστοιχεί στην αξονική παραμόρφωση τη στιγμή της μέγιστης ορθής τάσης. Σχήμα 4. Γενική διάταξη προσομοίωσης και περιστροφές κόκκων σε διάφορες φάσεις. Figure 4. Configuration of numerical test and particle rotations on different stages. Η ζητούμενη κορυφαία γωνία τριβής υπολογίζεται ως φpeak=sin-1[(σ1-σ3)/(σ1+σ3)], όπου σ1 η μέγιστη ορθή τάση. Η γωνία κρίσιμης κατάστασης φcs υπολογίζεται με αφαίρεση της γωνίας διαστολικότητας ψ από την φpeak. Αναφορικά με τη γωνία διαστολικότητας, αυτή προκύπτει εκτελώντας την προσομοίωση με μηδενικό συντελεστή τριβής μεταξύ των κόκκων. Εξαλείφεται δηλαδή ο μηχανισμός της τριβής στο δοκίμιο, αφήνοντας έτσι τον μηχανισμό της γεωμετρίας και μόνο να συμβάλει στην δυστμησία της διάταξης. Η τιμή δε, προκύπτει ίση με 30ο, ανεξάρτητα των συνδυασμών των υπό εξέταση παραμέτρων, Πίνακας 1. Η μεγάλη τιμή της γωνίας διαστολικότητας είναι αναμενόμενη λόγω της πυκνής διάταξης των κόκκων. Στον Πίνακα 1 παρατίθεται το σύνολο των παραμετρικών αναλύσεων που διεξήχθηκαν για όλους τους συνδυασμούς των παραμέτρων. Συνολικά εκτελέστηκαν 9x5x5=225 αναλύσεις. Πίνακας 1: Οι υπό εξέταση περιπτώσεις Table 1: Cases under consideration kn/(bσ3) (10 ) ks/kn fμ=tan(φμ) 4 fμ: Συντελεστής τριβής μεταξύ των κόκκων, φ μ: γωνία τριβής μεταξύ κόκκων σ3: ισοτροπική τάση, kn,ks: αξονική και εφαπτομενική στιφρότητα ελατηρίων 0.4

5 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η επιρροή των υπό εξέταση παραμέτρων στην απόκριση των δοκιμίων εξετάζεται στα Σχήματα 5-7. Στα Σχήματα 5,6 φαίνεται η συσχέτιση μεταξύ φ μ φ peak, φ cs (όπου φ μ =tan -1 f μ ) για διάφορους συνδυασμούς παραμέτρων, ενώ στο Σχήμα 7 φαίνεται η επιρροή του λόγου αντοχής k n /(Bσ 3 ) στις γωνίες φ peak και φ cs. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αντίστοιχα προηγούμενων εργασιών, των Horne (1969), Thorton (2000), Powrie et al. (2005), Shazad & Islam (2008). Σημειώνεται ότι αναφορικά με την γωνία κρίσιμης κατάστασης φ cs, μόνο οι Thorton (2000) Horne (1969) και Powrie et al (2005) παρέχουν στοιχεία, εκ των οποίων ο Horne περιορίζεται σε θεωρητική λύση. Σχήμα 5. Συσχέτιση μεταξύ φ μ φ peak για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ) Figure 5. Relation between φ μ φ peak for different ratios k s /k n and k n /(Bσ 3 )

6 Σχήμα 6. Συσχέτιση μεταξύ φ μ φ cs για διάφορους λόγους k s /k n και k n /(Bσ 3 ) Figure 6. Relation between φ μ φ cs for different ratios k s /k n and k n /(Bσ 3 ) Παρατηρείται συμφωνία των αποτελεσμάτων με τους Powrie et al. (2005), και ειδικά για φ μ >30 o, ενώ υπάρχει απόκλιση από τους Sazzad & Islam (2008) και Thorton (2000). Η εξήγησή για τις διαφορές έγκειται στο ότι στις εργασίες αυτές οι διατάξεις αποτελούνται από κυκλικούς κόκκους και δεν έχουν πυκνή δομή εν αντιθέσει με τους Powrie et al. των οποίων τα δοκίμια αποτελούνται από σύνθετα μη κυκλικά σωματίδια διατεταγμένα σε πολύ πυκνές δομές, (D r =90-100%), με αποτέλεσμα η δυνατότητα περιστροφής των κόκκων να είναι περιορισμένη. Στην παρούσα εργασία παρότι οι κόκκοι είναι κυκλικοί, η υπέρπυκνη διάταξη, (D r =100%), μειώνει την δυνατότητα περιστροφής τους. Για τον λόγο αυτό, τα αποτελέσματα της εργασίας συγκλίνουν προς την θεωρητική λύση του Horne (1969) (Σχήμα 6), ο οποίος θεωρεί απλοποιητικά ότι οι κόκκοι δεν έχουν καθόλου ελευθερία περιστροφής, σε αντίθεση με τον Thorton (2000).

7 Ως δεσπόζουσα παράμετρος επιρροής της δυστμησίας των δοκιμίων για υπέρπυκνα δοκίμια (D r >90%) προκύπτει η γωνία τριβής μεταξύ των κόκκων, με επιρροή του λόγου k n /(Bσ 3 ) να συμβάλλει σημαντικά ειδικά όταν η γωνία είναι μεγαλύτερη από 20 ο, Σχήμα 7. Από το ίδιο σχήμα προκύπτει επίσης ότι ο λόγος μεταξύ εφαπτομενικής και ακτινικής στιφρότητας των ελατηρίων, δεν επηρεάζει για μικρές τιμές της γωνίας την μακροσκοπική απόκριση. Σχήμα 7. Συσχέτιση μεταξύ φ peak,cs k n /(Bσ 3 ) για διάφορους λόγους k s /k n και τιμές φ μ Figure 7. Relation between φ peak,cs k n /(Bσ 3 ) for different ratios k s /k n and values of φ μ

8 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα κύρια συμπεράσματα από την παρούσα εργασία είναι τα παρακάτω: (1) Η βασική παράμετρος που διέπει την συμπεριφορά υπέρπυκνων δοκιμίων, D r >90%, όπως αυτή εκφράζεται μέσω της γωνίας τριβής, κορυφαίας φ peak και κρίσιμης κατάστασης φ cs, είναι ο συντελεστής τριβής f μ μεταξύ των κόκκων. (2) Ο συνδυασμός μεγάλων τιμών των λόγων k n /(Bσ 3 ) και k s /k n (μεγάλη δυστμησία) δεν επηρεάζει σημαντικά την σχέση μεταξύ f μ - φ peak,cs, καθώς και τιμές του λόγου k s /k n μεγαλύτερες του 0.8. (3) Ο συνδυασμός μικρών τιμών για τον συντελεστή τριβής f μ με μεγάλες τιμές του λόγου k n /(Bσ 3 ) δεν επηρεάζουν τη σχέση μεταξύ f μ και φ peak,cs. 6. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ H παρούσα έρευνα έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο - ΕΚΤ) και από εθνικούς πόρους μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) Ερευνητικό Χρηματοδοτούμενο Έργο: Ηράκλειτος ΙΙ. Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου 7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Cundall, P.A. and Strack O.D.L, (1979), A discrete numerical model for granular assemblies, Geotechnique 29, Horne, M.R., (1969), The behavior of an assembly of rotund, rigid, cohesionless particles III, Proc. R. Soc. A310, Θωμάς, Κ. Ν., (2008), Διασπορά διαμήκων κυμάτων σε κοκκώδη υλικά με τη Μέθοδο των Διακριτών Στοιχείων, Διατριβή Μ.Δ.Ε., Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Ιtasca Consulting Group, Inc. (2004), PFC2D (Particle Flow Code in 2 Dimensions), Version 3.1 Fish in PFC2D, Minneapolis Jiang, M.J., Yan H.B., Zhu H.H., Utili S., (2011), Modeling shear behavior and strain localization in cemented sands by two-dimensional distinct element method analyses, Comput. Geotech., 38 (1), Powrie, W., Ni, Q., Harkness, R. & Zhang, X. (2005). Numerical modeling of plane strain tests on sands using particulate approach, Geotechnique 55, No. 4, Roscoe, K. H., Schofield, A. N., Wroth, C. P., (1958). "On the Yielding of Soils", Geotechnique 8, Sazzad, Μ., & Islam, S. (2008). Macro and micro mechanical responses of granular material under varying interparticle friction, J. Civ. Engng. (IEB), 36, No. 2, Tang, C., Hu J., Lin M., (2006), Using distinct element method (DEM) to investigate Tsaoling landslide induced by Chi-Chi earthquake, Taiwan, Am. Geophys. Un, Fall Meet., T41F-01 Thomas, C.N., Papargyri-Beskou S, Mylonakis G., (2009), Wave dispersion in dry granular materials by the distinct element method, Soil Dyn. Erthq. Eng., 29 (5), Thornton, C. (2000), Numerical simulation of deviatoric shear deformation of granular media Geotechnique 50, (1), Widulinski, T., Tejchman J., Kozicki J., Lesniewska D., (2011), Discrete simulations of shear zone patterning in sand in earth pressure problems of a retaining wall, Int. J. Solids Struct., 48 (7-8), Yuu, S., Umekage T., Mitsuiki Y., Koga F., (2008), Constitutive relations based on distinct element method results for granular materials and simulation of granular collapse and heap by smoothed particle hydrodynamics, and experimental verification, Adv. Powder Technol., 19 (2),