«Αποκαλυπτικά διαγράμματα ταχύτητας χρόνου»

Transcript

1 Υλικό Φσικής-Χημείας «Αποκαλπτικά διαγράμματα ταχύτητας χρόνο» Οι πληροφορίες πο σνήθως αναζητούμε από ένα διάγραμμα ταχύτητας χρόνο για την λύση ενός προβλήματος ή μιας απάντησης σε ερώτηση κινηματικής είναι:. Ο πολογισμός της μετατόπισης χωρίς τη χρήση των αντίστοιχων τύπων για τα διάφορα είδη κίνησης, r r x όπο από τον ορισμό της ταχύτητας = προκύπτει ότι το μέτρο της μετατόπισης x το σώματος σε t χρονικό διάστημα Δt, x =Δt μπορεί να απεικονιστεί στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνο ως το εμβαδόν πο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης «t» και το άξονα των χρόνων και. Ο πολογισμός της επιτάχνσης α r r r από την κλίση της γραφικής παράστασης, αφού εξ ορισμού α=. t Όμως σε πολλές περιπτώσεις ερωτήσεων ή προβλημάτων η προσεκτική παρατήρηση το διαγράμματος «- t» μπορεί να «αποκαλύψει» πληροφορίες πο σμβάλλον αποφασιστικά στην απάντηση μιας ερώτησης ή τη λύση ενός θέματος, χωρίς ατό να περιορίζεται απαραίτητα στον εύκολο αριθμητικά πολογισμό (χωρίς χρήση των αντίστοιχων εξισώσεων κίνησης) των Δx και α. Ας δούμε τα επόμενα θέματα όπο η προσεκτική παρατήρηση το διαγράμματος «t» οδηγεί στη λύση ή την απλοποιεί. ο Θέμα Διαστημικό λεωφορείο πο αρχικά ηρεμεί ( 0 =0), απογειώνεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται εθύγραμμα χωρίς να αλλάξει κατεύθνση. Στη διάρκεια το ταξιδιού το καθώς καταναλώνει τα καύσιμά το γίνεται διαρκώς ελαφρύτερο με αποτέλεσμα η επιτάχνσή το να αξάνει διαρκώς όπως και η ταχύτητά το η οποία αποκτά μια τελική τιμή τ τη χρονική στιγμή t τ πο εξαντλεί τα καύσιμά το. Κατά τον απαραίτητο τεχνικό έλεγχο πριν την εκτόξεση και προκειμένο να ελεγχθούν οι α- ντοχές το λεωφορείο ατό επιταχύνεται εθύγραμμα, χωρίς να αλλάξει κατεύθνση με κατάλληλη σταθερή επιτάχνση, ώστε τη χρονική στιγμή t τ η ταχύτητά το να είναι ίση με την τελική ταχύτητα τ πο θα α- ποκτήσει κατά τη διάρκεια το ταξιδιού το. Στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνο φαίνεται η μεταβολή της ταχύτητας το διαστημικού λεωφορείο, όταν κινείται με σταθερή επιτάχνση και όταν κινείται με αξανόμενη επιτάχνση. Για τη μέση (αριθμητική) ταχύτητα μ το διαστημικού λεωφορείο, όταν ατό ταξιδεύει με αξανόμενη επιτάχνση, ισχύει ότι: < β. μ = τ α. μ τ > γ. μ τ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

2 Υλικό Φσικής-Χημείας ο Θέμα Ένα σώμα πο ηρεμεί στη θέση O (x 0 =0), αρχίζει να κινείται τη χρονική στιγμή t 0 =0. Η κίνησή το είναι εθύγραμμη και εξελίσσεται κατά μήκος της εθείας x Ox. Ως θετική κατεύθνση ορίζεται η Οx. Αν η ταχύτητά το μεταβάλλεται σε σνάρτηση με το χρόνο όπως στο διάγραμμα, να προσδιοριστεί η θέση πο αντιστοιχεί στη μέγιστη απομάκρνση το σώματος από τη θέση έναρξης της κίνησής το Ο. 3 ο Θέμα Η ταχύτητα ενός σώματος πο κινείται εθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως στο διάγραμμα. Το σώμα κινείται στη διεύθνση x Ox και τη χρονική στιγμή t 0 =0 πο αρχίζει την κίνησή το βρίσκεται αριστερά το Ο στη θέση x 0 =-8m.Το σνολικό διάστημα πο διανύει το σώμα μέχρι να ακινητοποιηθεί πάλι τη χρονική στιγμή t ολ =0 είναι ολ =80m. Αν το διάστημα πο διάνσε το σώμα κατά το τελεταίο δετερόλεπτο της κίνησής το είναι =4,5m, να πολογιστούν: α. Η μέγιστη τιμή της ταχύτητας το σώματος κατά τη διάρκεια της κίνησής το. β. Η χρονική στιγμή στην οποία μεγιστοποιείται η ταχύτητα το σώματος. γ. Οι τιμές της επιτάχνσης το σώματος σε όλη τη διάρκεια της κίνησής το. δ. Οι χρονικές στιγμές πο η ταχύτητα είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της.

3 Υλικό Φσικής-Χημείας ε. Η μέση ταχύτητα και η μετατόπισή το σώματος στο χρονικό διάστημα πο ορίζον οι χρονικές στιγμές το προηγούμενο ερωτήματος. στ. Να προσδιορίσετε τη θέση το σώματος τη χρονική στιγμή πο μεγιστοποιείται η ταχύτητά το. Απαντήσεις ο Θέμα Από το διάγραμμα «t» προκύπτον τα ακόλοθα σμπεράσματα:.το εμβαδόν το καμπλόγραμμο χωρίο (ΟΑΓ), είναι μικρότερο από το εμβαδόν το τριγώνο ΟΑΓ, Eμβ(καμ / μοοαγ) < Eμβ( ΟΑΓ ). Τα εμβαδά όμως ατά αντιστοιχούν στις μετατοπίσεις το διαστημικού λεωφορείο όταν κινείται με αξανόμενη και σταθερή επιτάχνση αντίστοιχα επομένως, x(α=αξανόμενη) < x(α=σταθερή), αλλά το λεωφορείο και στις δύο περιπτώσεις κινείται εθύγραμμα και προς την ίδια κατεύθνση, έτσι η προηγούμενη σχέση είναι και σχέση των διαστημάτων πο ατό διανύει σε κάθε περίπτωση κίνησης άρα, (α=αξανόμενη) < (α=σταθερή).. Σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t μετά την έναρξη της κίνησης, η στιγμιαία ταχύτητα της κίνησης με σταθερή επιτάχνση είναι μεγαλύτερη από ατήν της κίνησης με αξανόμενη επιτάχνση. Το καθένα από τα δύο σμπεράσματα μπορεί να οδηγήσει στη σύγκριση των μέσων ταχτήτων των δύο κινήσεων. Από τον ορισμό της μέσης ταχύτητας και με τη βοήθεια το πρώτο σμπεράσματος προκύπτει: (α=αξανόμενη) < (α=σταθερή) (α=αξανόμενη) t τ (α=σταθερή) < μ(α=αξανόμενη) < μ(α=σταθερή).() tτ Από το δεύτερο σμπέρασμα καταλήγομε στην ίδια σχέση για τις μέσες ταχύτητες στις δύο κινήσεις, αφού σε όλη τη διάρκειά τος ισχύει <.Επομένως η μέση ταχύτητα, όταν η επιτάχνση t t (α=αξανόμενη) (α=σταθερή) είναι σταθερή, θα είναι μεγαλύτερη από τη μέση επιτάχνση, όταν η επιτάχνση αξάνεται, αφού η πρώτη θα προκύπτει από διαρκώς μεγαλύτερες στιγμιαίες ταχύτητες απ ότι η δεύτερη. Η αναζήτηση της μέσης ταχύτητας σε μια κίνηση όπο δεν είναι γνωστές οι εξισώσεις της κίνησης και της ταχύτητας είναι ένα θέμα «εκτός διδακτέας ύλης».η απαίτηση όμως, να σγκριθεί η μέση ταχύτητα στη «άγνωστη κίνηση» με την τελική τιμή ταχύτητας, η οποία είναι ίδια και στην περίπτωση της «γνωστής κίνησης», μας αναγκάζει να θμηθούμε μια διαδικασία πο έρχεται από πολύ παλαιά και σύμφωνα με την οποία «προσπαθούμε να απαντήσομε σε κάτι πο μας είναι άγνωστο με βάση τις γνώσεις μας σε κάτι πο μας είναι ήδη γνωστό». 3

4 Υλικό Φσικής-Χημείας Πιο σγκεκριμένα, στην εθύγραμμη ομαλά επιταχνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα 0 και τελική ταχύτητα τ είναι γνωστό ότι η μέση ταχύτητα μ δίνεται από τη σχέση : περίπτωση πο μελετάμε, όπο 0 =0, έχομε Επιλέγομε το α. Σχόλιο () Από () μ(α=σταθερή) μ(α=αξανόμενη) < τ =.() τ μ < τ. Η χρησιμότητα της διαδικασίας όπο η απάντηση σ ένα ερώτημα πο αφορά μια «άγνωστη κίνηση» δίνεται με βάση τις γνώσεις μας για μια «γνωστή κίνηση» γίνεται πιο εμφανής αν το ερώτημα διατπωθεί ως εξής: Διαστημικό λεωφορείο πο αρχικά ηρεμεί ( 0 =0), απογειώνεται τη χρονική στιγμή t 0 =0 και κινείται εθύγραμμα. Στη διάρκεια το ταξιδιού το καθώς + τ 0 μ = από την οποία για την καταναλώνει τα καύσιμα το γίνεται διαρκώς ελαφρύτερο με αποτέλεσμα η επιτάχνσή το να αξάνει διαρκώς μέχρι τη χρονική στιγμή t τ πο εξαντλεί τα καύσιμά το και αποκτά την τελική ταχύτητά το τ. Η μεταβολή της ταχύτητας το λεωφορείο σε σνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Για τη μέση (αριθμητική) ταχύτητα μ το διαστημικού λεωφορείο, ισχύει ότι: < β. μ = τ α. μ τ > γ. μ τ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ο Θέμα 4

5 Υλικό Φσικής-Χημείας Η σκέψη να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης στα διάφορα χρονικά διαστήματα με βάση τα αριθμητικά δεδομένα πο δίνονται στο διάγραμμα και στη σνέχεια να προσδιοριστούν οι μετατοπίσεις και οι θέσεις το σώματος προκειμένο να προσδιοριστεί η πιο απομακρσμένη από την αρχή Ο θέση πο ατό θα βρεθεί είναι σωστή, αλλά μάλλον αποθαρρντική καθώς το διάγραμμα δείχνει 8 διαφορετικές κινήσεις και απαιτούνται πολλοί αριθμητικοί πολογισμοί. Είναι γνωστό ότι στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνο το εμβαδόν πο οριοθετείται από τη γραφική παράσταση και τον άξονα των χρόνων αντιστοιχεί στη μετατόπιση το σώματος, έτσι ο πολογισμός της μετατόπισης γίνεται εύκολα με πολογισμό το αντίστοιχο εμβαδού. στην περίπτωση μάλιστα πο μας απασχολεί εδώ, τα αριθμητικά δεδομένα πο πάρχον στο διάγραμμα, επαρκούν για τον πολογισμό των μετατοπίσεων. Η προσεκτική παρατήρηση το διαγράμματος δίνει τις επόμενες πληροφορίες:.το άθροισμα των «θετικών εμβαδών» πο αντιστοιχεί σε μετατοπίσεις προς τη θετική κατεύθνση είναι κατ απόλτη τιμή μεγαλύτερο από το άθροισμα των «αρνητικών εμβαδών» πο αντιστοιχεί σε μετατοπίσεις προς την αρνητική κατεύθνση. Επειδή δίνεται ότι η κίνηση το σώματος αρχίζει από τη θέση Ο (x=0), η προηγούμενη παρατήρηση οδηγεί στο σμπέρασμα ότι η κίνηση το σώματος εξελίσσεται μόνο σε θέσεις θετικής απομάκρνσης (x > 0). Άρα και η ζητούμενη θέση θα βρίσκεται δεξιά της θέσης Ο..Τα «θετικά εμβαδά» εναλλάσσονται με τα «αρνητικά», δηλαδή μετά από κάθε μετατόπιση προς τη θετική κατεύθνση ακολοθεί μια μετατόπιση προς την αρνητική κατεύθνση και μέχρι τη χρονική στιγμή t=0 κάθε «αρνητικό εμβαδόν» είναι κατ απόλτο τιμή μικρότερο από το «θετικό εμβαδόν» πο προηγήθηκε, στη σνέχεια η σχέση ατή αντιστρέφεται και τα «αρνητικά εμβαδά πο ακολοθούν» είναι κατ απόλτο τιμή μεγαλύτερα από το «θετικό εμβαδόν» πο παρεμβάλλεται. Επειδή κάθε «αρνητικό εμβαδόν» εκφράζει μετατόπιση προς την αρνητική κατεύθνση, δηλαδή δηλώνει επιστροφή το σώματος προς τη θέση Ο, σμπεραίνομε ότι ατό θα βρεθεί στη θέση μέγιστης απομάκρνσής το από τη θέση Ο τη χρονική στιγμή t=0. Άρα για τον πολογισμό της θέσης μέγιστης απομάκρνσης οι πολογισμοί των εμβαδών περιορίζονται μέχρι τη χρονική στιγμή t=0. Από το διάγραμμα «- t» έχομε : x t = 0 t = 0 = Εμβ( ΟΑΒ) + Εμβ( ΒΓ) + Εμβ( ΕΖ) + Εμβ( ΖΗΘ) + Εμβ( ΘΙΚ) x t= 0 t= 0 = (5 0) + (9 5) ( 4) + (4 9) (4) + (6 4) ( ) + (0 6) (4) x t = 0 t = 0 x = = = t 0 t 0 = +38m xmax 0= 38 xmax =+ 38m. Σχόλιο 5

6 Υλικό Φσικής-Χημείας Ένας διαφορετικός τρόπος προσέγγισης της λύσης θα ήταν να βρεθούν οι εξισώσεις της ταχύτητας στις διάφορες κινήσεις οι οποίες είναι: = 6t 0 t = 0-4t t 6 4 = - + t 3 6 t = 8- t t 5 = -3 + t 5 t 8 = 40 - t 8 t = -48+ t t 5 = 5 - t 5 t 8 και στη σνέχεια από τις εξισώσεις των μετατοπίσεων να πολογίζεται κάθε φορά η τελική θέση, ώστε τελικά να προσδιοριστεί η θέση πο αντιστοιχεί στη μέγιστη απομάκρνση από τη θέση Ο. Μάλλον η περιγραφή της διαδικασίας ατής λειτοργεί προπαγανδιστικά πέρ το προτεινόμενο τρόπο λύσης. 3 ο Θέμα Η προσεκτική παρατήρηση το διαγράμματος ταχύτητας χρόνο μας δίνει τις ακόλοθες πληροφορίες:. Η ταχύτητα το σώματος μεγιστοποιείται τη χρονική στιγμή t πο τελειώνει η ομαλά επιταχνόμενη κίνηση και αρχίζει μια ομαλά επιβραδνόμενη.. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης το σώματος οι αριθμητικές τιμές της ταχύτητας είναι θετικές, επομένως το σώμα κινείται διαρκώς προς τη θετική κατεύθνση, χωρίς να αλλάζει φορά κίνησης, έτσι το μέτρο της σνολικής μετατόπισής το ισούται με το ολικό διάστημα πο διάνσε κατά τη διάρκεια της κίνησης το και μπορεί να αντιστοιχιστεί με το εμβαδόν πο περικλείεται από τη γραφική παράσταση «- t» και τον άξονα των χρόνων. 3. Το σώμα κατά το τελεταίο δετερόλεπτο της κίνησής το (9 0) επιβραδύνεται ομαλά καθώς από το διάγραμμα προκύπτει ότι η ταχύτητα το σώματος ελαττώνεται ήδη από τη χρονική στιγμή t πο μεγιστοποιήθηκε. α. Το ολικό διάστημα ολ, όπως εξηγήσαμε, αντιστοιχεί στο εμβαδόν το τριγώνο OA Γ : 6

7 Υλικό Φσικής-Χημείας ολ = Εμβ(O A Γ ) = max tολ 80 = max 0 max = 36m / () β. Το διάστημα πο διανύθηκε από το σώμα στο τελεταίο δετερόλεπτο της κίνησής το είναι: = Εμβ(ΖΔΓ) = 9 (0 9) 4,5= 9 9 = 9m / () Από τον ορισμό της επιτάχνσης και για το χρονικό διάστημα t -0 πο το σώμα επιβραδύνεται έχομε: α = = = = t = 6 () max 9 max tολ t 9 t () 0- t 9 t 0- t 9 t (3) γ. Από τον ορισμό της επιτάχνσης για το χρονικό διάστημα 0 t, έχομε: 0 36 α = = α = = 6m / t 0 t 6 () max max (3) (4). Αντίστοιχα η επιβράδνση α (αρνητική επιτάχνση) είναι: 0- α = = α = 9m / () max max tολ t 0- t (3) (5) δ. Οι εξισώσεις της ταχύτητας σε σνάρτηση με το χρόνο είναι: = 6t (S.I) (6) με 0 t 6 και =α+βt με 6 t 0 με αριθμητική αντικατάσταση των τιμών : =36 m/ όταν t=6 και =0 m/ όταν t=0 παίρνομε =90 9t (7) με 6 t 0 Με αντικατάσταση της τιμής = είναι t=3 και t=8. max = 8m / στις (6) και (7) οι ζητούμενες χρονικές στιγμές αντίστοιχα Σχόλιο 3 Οι ζητούμενες χρονικές στιγμές μπορούν να προκύψον πάλι από το διάγραμμα «-t» γεωμετρικά με εφαρμογή κριτηρίο ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων ή εφαρμογή το θεωρήματος Θαλή. ε. Η μέση ταχύτητα το σώματος στο χρονικό διάστημα 3 8 είναι: μ 3 8 = (8) t Το διάστημα 3 8 πο διανύει το σώμα μεταξύ των χρονικών στιγμών 3 και 8 είναι: = oλ = 35m(9)

8 Υλικό Φσικής-Χημείας Από (8) 35 μ = = 7m /. (9) 8 3 Στο χρονικό διάστημα 3 8, όπως και σ όλη τη διάρκεια της κίνησης, η κατεύθνση της κίνησης δεν αλλάζει άρα, x3 8 = 3 8 = 35m /. στ. Η μετατόπιση το σώματος μέχρι τη χρονική στιγμή t =6 πο μεγιστοποιείται η ταχύτητά το είναι: x0 6 = Ε μβ(oia) = m = x6 x0 = 08m x 6 ( 8m) = 08m x6 = 00m. Επιμέλεια Ξ. Στεργιάδης 8