ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)"

Transcript

1 4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών. Η μέθοδος αυτή είναι παρόμοια με την μέθοδο της προοδευτικής προσθήκης μεταβλητών. Η διαφορά των δύο μεθόδων έγκειται στο γεγονός ότι για κάθε διαδοχικό βήμα η υπόθεση Η 0 : β j = 0 ελέγχεται για όλες τις δυνατές ανεξάρτητες μεταβλητές ώστε να αποκλείονται εκείνες για τις οποίες οι τιμές της στατιστικής συνάρτησης Τ j είναι μικρότερες από ένα προκαθορισμένο κρίσιμο επίπεδο. Η επόμενη μεταβλητή προστίθεται στο υποσύνολο με την ίδια διαδικασία χρησιμοποίησης του κριτηρίου του μεγίστου συντελεστή συσχέτισης όπως στη μέθοδο της προοδευτικής προσθήκης μεταβλητών. Αυτή η βηματική επιλογή συνεχίζεται μέχρις ότου φθάσουμε σε ένα υποσύνολο μεταβλητών για το οποίο καμμιά από τις μεταβλητές που περιέχει το υποσύνολο αυτό δεν έχουν τιμή για τη στατιστική συνάρτηση Τ j μικρότερη από κάποια συγκεκριμένη κρίσιμη τιμή της μεταβλητής t και δεν υπάρχουν άλλες μεταβλητές που θα πρέπει να αξιολογηθούν για να περιληφθούν στο μοντέλο. Οπως είναι φανερό η διαδικασία αυτή είναι πολύπλοκη, χρειάζεται πολλούς υπολογισμούς και για το λόγο αυτό γίνεται μόνο με στατιστικά πακέτα. Ολα σχεδόν τα στατιστικά πακέτα που κυκλοφορούν προβλέπουν τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου βηματικής παλινδρόμησης. Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης εξηγείται καλύτερα με το παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα: Το Υπουργείο Υγείας μιάς χώρας ενδιαφέρεται να πραγματοποιήσει μια επιδημιολογική μελέτη για να εξακριβώσει αν είναι δυνατό να προβλεφθούν οι ρυθμοί θνησιμότητας (morτality rates) σε διαφορετικές περιοχές της συγκεκριμένης χώρας. Μελέτες της μορφής αυτής δεν περιλαμβάνουν, συνήθως, καλά σχεδιασμένα ή ελεγχομένα πειράματα και τα δεδομένα συνήθως, αποτελούνται από

2 μετρήσεις σε διάφορες μεταβλητές που αναφέρονται στον καιρό σε κοινωνικοοικονομικούς παράγοντες και τη ρύπανση της ατμόσφαιρας. Ο πίνακας που ακολουθεί παραθέτει μετρήσεις για οκτώ μεταβλητές από ένα τυχαίο δείγμα 30 τοποθεσιών από ολόκληρη την υπό μελέτη χώρα. Οι μεταβλητές που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι εξής: Χ 1 : Μέση ετήσια βροχόπτωση (σε ίντσες). Χ 2 : Μέση θερμοκρασία Ιανουαρίου (σε βαθμούς Fahrenheit). Χ 3 : Μέση θερμοκρασία Ιουλίου (σε βαθμούς Fahrenheit). Χ 4 : Διάμεσος του αριθμού των πλήρων χρόνων εκπαίδευσης για άτομα ηλικίας άνω των 25 ετών. Χ 5 : Ποσοστό του αστικού πληθυσμού που δεν είναι λευκοί. Χ 6 : Σχετικές τιμές διοξειδίου του θείου. Υ : Συνολικός δείκτης θνησιμότητας για κάθε είδους αιτία (εκφρασμένη ως αριθμός θανάτων ανά κατοίκους). Είναι φανερό ότι ότι σε προβλήματα της μορφής αυτής ο αριθμός των δυνάμει σημαντικών ανεξαρτήτων μεταβλητών είναι πολύ εύκολο να γίνει ανεξέλεγκτος. Επομένως, το πρόβλημα συνίσταται στη συστηματική επεξεργασία ενός μεγάλου αριθμού μεταβλητών ώστε να καταλήξει κανείς σε ένα χρήσιμο και αξιόπιστο μοντέλο για την πρόβλεψη του ρυθμού θνησιμότητας.

3 Ρυθμοί θανάτων και 6 ενδεχόμενες ανεξάρτητες μεταβλητές σε 30 τυχαία επιλεγμένες τοποθεσίες Αρ.Παρατ. Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Υ μεταβλ Σημείωση: Υπάρχουν δύο, βασικοί, λόγοι για τους οποίους η μέθοδος αποκλεισμού μεταβλητών δεν είναι, ίσως, κατάλληλη όταν ο αριθμός των υπό εξέταση μεταβλητών είναι μεγάλος. Ο πρώτος είναι ότι όταν ο αριθμός των μεταβλητών ξεπερνά τον αριθμό των παρατηρήσεων η μέθοδος αποκλεισμού μεταβλητών καθίσταται μαθηματικά αδύνατη. Ο δεύτερος είναι ότι, όπως παρατηρήσαμε και προηγουμένως, τόσο με την μέθοδο αποκλεισμού μεταβλητών όσο και με αυτήν της

4 προοδευτικής προσθήκης μεταβλητών δεν υπάρχει η δυνατότητα επανάκρισης μιάς μεταβλητής που έχει αποκλεισθεί (στη μέθοδο του αποκλεισμού μεταβλητών) ή αποκλεισμού μεταβλητής που έχει ήδη προστεθεί (στη μέθοδο της προοδευτικής προσθήκης μεταβλητών). Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης που θα χρησιμοποιήσουμε ξεπερνά τα προβλήματα αυτά. 4.1 Βήμα 1o στη μέθοδο της βηματικής παλινδρόμησης Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης ξεκινά με ανίχνευση όλων των ανεξαρτήτων μεταβλητών και στόχο τον προσδιορισμό της μεταβλητής εκείνης που έχει τον μεγαλύτερο συντελεστή συσχέτισης με την εξαρτημένη μεταβλητή. Η λίστα αυτή δεν περιλαμβάνει μόνον τις ανεξάρτητες μεταβλητές που θεωρήθηκαν αρχικά αλλά και άλλες μεταβλητές που ενδεχομένως ενδιαφέρουν και οι οποίες προκύπτουν ως συναρτήσεις των αρχικών μεταβλητών (π.χ. X 2 i ή Χ i Χ j ). Ετσι, στο παράδειγμά μας, εκτός από τις μεταβλητές Χ 1,..., Χ 6 θεωρούμε και τους εξής όρους που αναφέρονται σε αλληλεπιδράσεις: Χ 1 Χ 2, Χ 1 Χ 3, Χ 1 Χ 6 και Χ 4 Χ 5. Οι δύο πρώτοι από τους όρους αυτούς αλληλεπιδράσεων αντιπροσωπεύουν την έλλειψη προσθετικότητας των επιρροών της βροχόπτωσης και της θερμοκρασίας ενώ οι άλλοι δύο άλλα ζευγάρια μεταβλητών που θεωρείται ότι επηρεάζουν τους ρυθμούς θνησιμότητας με μη προσθετικό τρόπο. Ετσι δημιουργήθηκαν δέκα συνολικά μεταβλητές από τις οποίες θα πρέπει να γίνει επιλογή στο πρώτο βήμα της βηματικής επιλογής. Οι απλοί συντελεστές συσχέτισης κάθε μιάς από τις δέκα αυτές μεταβλητές με την εξαρτημένη μεταβλητή Υ δίνονται στον πίνακα που δίνεται στη συνέχεια. Από τον πίνακα αυτό χρησιμοποιούνται οι απόλυτες τιμές των συντελεστών συσχέτισης ώστε να καθορισθεί η μεταβλητή εκείνη που έχει τον υψηλότερο συντελεστή συσχέτισης με την εξαρτημένη μεταβλητή Υ. Οπως προκύπτει από τον πίνακα η μεταβλητή Χ 5 είναι εκείνη που έχει την ιδιότητα αυτή με r X 5,Y = Επομένως το μοντέλο στο πρώτο βήμα της βηματικής επιλογής είναι το μˆ αˆ βˆ X Y x 5 5

5 Αριθμ Μεταβλ. Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 Χ 1 Χ 2 Χ 1 Χ 3 Χ 1 Χ 6 Χ 4 Χ 5 Συσχέτ Οπως προκύπτει από τον επόμενο πίνακα (που είναι εκτύπωση του υπολογιστή) Πρώτο βήμα στη Βηματική Παλινδρόμηση SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL ERROR TOTAL r SQUARE.4154 PARAMETER ESTIMATE T FOR H 0 PARAMETER=0 PR T STD ERROR OF ESTIMATE INTERCEPT X Η εκτιμούμενη εξίσωση παλινδρόμησης που προκύπτει με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι η. Y = X 5 Ο συντελεστής προσδιορισμού που αντιστοιχεί στην εξίσωση αυτή παλινδρόμησης είναι r 2 = (0.6445) 2 = Αυτό σημαίνει ότι το 41.54% της συνολικής διακύμανσης των ρυθμών θνησιμότητας στις διαφορετικές περιοχές μπορεί να εξηγηθεί από το ποσοστό του αστικού πληθυσμού που δεν είναι λευκοί. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι στο πρώτο βήμα της διαδικασίας βηματικής παλινδρόμησης έχουμε ένα μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης και επομένως, όπως γνωρίζουμε ήδη, το ποσοστό της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής που μπορεί να εξηγηθεί με τη χρησιμοποίηση της ανεξάρτητης μεταβλητής καθορίζεται ως το τετράγωνο του απλού συντελεστή συσχέτισης.

6 Από τον πίνακα επίσης παρατηρούμε ότι το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (P value) που αντιστοιχεί στην μεταβλητή Χ 5 είναι Προκειμένου να προχωρήσουμε στη διαδικασία θα πρέπει η τιμή του παρατηρούμενου επίπεδου σημαντικότητας να είναι μικρότερη από κάποιο καθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας για να προχωρήσουμε στο επόμενο βήμα. Στο παράδειγμα μας το επίπεδο σημαντικότητας είχε καθορισθεί στο Στην περίπτωση που το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας υπερβαίνει την προκαθορισθείσα τιμή καμμιά μεταβλητή δεν περιλαμβάνεται στο μοντέλο και επομένως η ανάλυση σταματά στο σημείο αυτό. (Η απόφαση στο σημείο αυτό για το αν δηλαδή θα προχωρήσουμε ή όχι μπορεί, φυσικά, να ληφθεί και μέ βάση την παρατηρούμενη τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ για τη συγκεκριμένη παράμετρο (στην περίπτωσή μας η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ που αναφέρεται στο βˆ 5 είναι 4.46) και σύγκριση αυτής με την τιμή της κατανομής t που προκύπτει από τους πίνακες για το προκαθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας). 4.2 Βήμα 20 στη μέθοδο της βηματικής παλινδρόμδησης Μετά τη συμπλήρωση ενός επιτυχούς πρώτου βήματος (με την έννοια ότι έχει ήδη επιλεγεί κάποια σημαντική μεταβλητή) εξετάζουμε το ενδεχόμενο να υπάρχει ένα μοντέλο κατάλληλο για το συγκεκριμένο πρόβλημα με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές. Αυτό επιτυγχάνεται με το να θεωρήσει κανείς όλα τα μοντέλα που περιέχουν τη μεταβλητή Χ 5, διαδοχικά, με καθεμιά από τις υπόλοιπες μεταβλητές. Στην περίπτωση μας υπάρχουν 9 τέτοια δυνατά μοντέλα με δύο μεταβλητές εκ των οποίων η μία είναι η Χ 5. Για κάθε ένα από τα μοντέλα αυτά (που περιέχει τη μεταβλητή που είχε επιλεγεί στο πρώτο βήμα και μιά από τις υπόλοιπες μεταβλητές) ελέγχεται η υπόθεση Η 0 : β i = 0 έναντι της Η 1 : β i 0

7 όπου β i ο συνελεστής της μεταβλητής Χ i η οποία, μαζί με την επιλεγείσα στο πρώτο βήμα μεταβλητή, αποτελούν τις δύο μεταβλητές του μοντέλου. Στη συνέχεια εξετάζουμε ποιά από τις μεταβλητές Χ i στο αντίστοιχο μοντέλο δύο μεταβλητών που περιλαμβάνει την αρχικώς επιλεγείσα μεταβλητή και την Χ i, έχει το μεγαλύτερο παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (P value). Εάν η τιμή του συγκεκριμένου αυτού παρατηρουμένου επιπέδου σημαντικότητας υπερβαίνει το προκαθορισθέν επίπεδο σημαντικότητας η ανάλυση σταματά στο σημείο αυτό με συμπέρασμα ότι το κατάλληλο μοντέλο είναι αυτό που έχει μιά μόνο μεταβλητή (αυτή που είχε επιλεγεί στο πρώτο βήμα). Αντίθετα, αν η τιμή του παρατηρούμενου επίπεδου σημαντικότητας για τη συγκεκριμένη μεταβλητή είναι μικρότερη από το προκαθορισθέν επίπεδο σημαντικότητας α θεωρούμε ότι και η μεταβλητή αυτή στην οποία αντιστοιχεί η συγκεκριμένη τιμή του παρατηρούμενου επίπεδου σημαντικότητας πρέπει να περιληφθεί στο μοντέλο, οπότε οδηγούμεθα σε μοντέλο με δύο μεταβλητές. Η εκτύπωση του προγράμματος για το δεύτερο βήμα στη διαδικασία αυτή για το πρόβλημά μας δίνεται από τον πίνακα που ακολουθεί. Δεύτερο βήμα στη βηματική παλινδρόμηση SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL ERROR TOTAL r SQUARE.6001 PARAMETER ESTIMATE T FOR H 0 PARAMETER=0 PR T STD ERROR OF ESTIMATE INTERCEPT X X Εχοντας οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι η μεταβλητή Χ 4, συνδυαζόμενη με τη μεταβλητή Χ 5, είναι εκείνη που έχει, σε ένα

8 μοντέλο δύο μεταβλητών, το μικρότερο παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας για το αντίστοιχο β (P value για την β 4 = ) καταλήγουμε στο εξής μοντέλο δύο μεταβλητών με τη μέθοδο της βηματικής παλινδρόμησης: μˆ Υ x α ˆ + βˆ 4 X 4 + βˆ Η αντίστοιχη εξίσωση για τα δεδομένα μας που βρίσκεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων είναι η μˆ Υ x X X5 όπως προκύπτει από τον προαναφερθέντα πίνακα. Ο συντελεστής προσδιορισμού για το μοντέλο αυτό, όπως επίσης προκύπτει από τον πίνακα, είναι r 2 = Από τον πίνακα επίσης παρατηρούμε ότι τα παρατηρούμενα επίπεδα σημαντικότητας (P values) για τις μεταβλητές Χ 4 και Χ 5 είναι και αντίστοιχα. Το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας για την μεταβλητή Χ 5 δεν φαίνεται να έχει αλλάξει στην περίπτωσή μας. Εν γένει όμως, το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας για την μεταβλητή η οποία παραμένει στη βηματική παλινδρόμηση είναι ενδεχόμενο να αλλάξει κάθε φορά που κάποια μεταβλητή προστίθεται, ή αφαιρείται, από το μοντέλο. Σημείωση: Πρέπει να τονίσουμε ότι στη διαδικασία της βηματικής παλινδρόμησης από το δεύτερο βήμα και μετά, προκειμένου να εξετάσουμε την επόμενη μεταβλητή που θα περιληφθεί ενδεχομένως στο μοντέλο, αντί για την υιοθεσία της μεθόδου του ελάχιστου παρατηρούμενου επίπεδου σημαντικότητας που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως, είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η διαδικασία των μερικών συντελεστών συσχέτισης. Να θεωρήσουμε, δηλαδή, από τις υπόλοιπες προς εξέταση μεταβλητές τη μεταβλητή εκείνη που έχει τον μεγαλύτερο μερικό συντελεστή συσχέτισης με την εξαρτημένη μεταβλητή. Το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι το ίδιο ανεξάρτητα από τη λογική που θα υιοθετηθεί. Διαφορετικά στατιστικά πακέτα χρησιμοποιούν ή την μία ή την άλλη μέθοδο στη διαδικασία της βηματικής παλινδρόμησης. 5 X 5

9 4.3 Βήμα 30 στη μέθοδο της βηματικής παλινδρόμησης Μετά την ολοκλήρωση ενός επιτυχούς δευτέρου βήματος στη διαδικασία της βηματικής παλινδρόμησης συνεχίζεται η διαδικασία έρευνας για το κατά πόσον μιά από τις υπόλοιπες μεταβλητές που δεν έχουν ακόμα συμπεριληφθεί στο μοντέλο παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά εκείνα που θα επιτρέψουν στον ερευνητή να τη συμπεριλάβει στο μοντέλο ώστε να κατασκευασθεί ένα μοντέλο με τρεις μεταβλητές. Το βήμα αυτό της ανάλυσης είναι ακριβώς το ίδιο με το βήμα 2o που έχουμε ήδη δει. Ελέγχουμε δηλαδή, ποιά είναι η μεταβλητή (αν υπάρχει τέτοια μεταβλητή) για την οποία η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ που αντιστοιχεί στον συντελεστή της β i και στον έλεγχο υποθέσεως Η 0 : β i = 0 έναντι της Η 1 : β i 0 έχει το μικρότερο παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας. (Εναλλακτικά, επιλέγεται η μεταβλητή από εκείνες που έχουν απομείνει η οποία έχει τον μεγαλύτερο μερικό συντελεστή συσχέτισης με την εξαρτημένη μεταβλητή). Το χαρακτηριστικό της διαδικασίας βηματικής παλινδρόμησης, που κάνει τη μέθοδο αυτή να διαφέρει από τις άλλες μεθόδους, είναι ότι καθε φορά που προστίθεται μία νέα μεταβλητή στο μοντέλο γίνονται έλεγχοι των υποθέσεων Η 0 : β j = 0 έναντι της Η 1 : β j 0 για όλες τις μεταβλητές που έχουν ήδη περιληφθεί στο μοντέλο με την ίδια διαδικασία που είδαμε στη μέθοδο αποκλεισμού μεταβλητών. Εάν σε οποιονδήποτε από τους ελέγχους αυτούς, διαπιστώσουμε ότι η αντίστοιχη μεταβλητή δεν είναι πλέον στατιστικά σημαντική διαγράφουμε τη μεταβλητή αυτή από το μοντέλο.

10 Επομένως, είναι απαραίτητο στη μεθοδολογία αυτή να καθορίσουμε δύο επίπεδα σημαντικότητας α 1 και α 2 ως απαραίτητα στοιχεία σε ένα πρόγραμμα υπολογιστή της βηματικής παλινδρόμησης. Η τιμή του α 1 χρησιμοποιείται για τη διαδικασία επιλογής μεταβλητών προκειμένου να περιληφθούν στο μοντέλο ενώ η τιμή του α 2 χρησιμοποιείται για τους ελέγχους που γίνονται για τις μεταβλητές που έχουν ήδη περιληφθεί στο μοντέλο. Προκειμένου η διαδικασία να γίνεται σωστά και το πρόγραμμα να προχωρά χωρίς άπειρες επαναλήψεις (loops) είναι απαραίτητο για τις δύο καθοριζόμενες τιμές α 1 και α 2 να ισχύει: α 2 α 1 Ετσι, αποφεύγεται ένας άπειρος κύκλος επαναλήψεων όποτε μια μεταβλητή προστίθεται στο μοντέλο και στη συνέχεια, σε κάποιο άλλο στάδιο διαγράφεται. Στο παράδειγμά μας ορίσαμε α 1 = 0.05 και α 2 = Η διαδικασία του 3oυ βήματος της βηματικής παλινδρόμησης στο πρόβλημά μας εμφανίζεται στην εκτύπωση που ακολουθεί. Τρίτο βήμα στη βηματική παλινδρόμηση SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL ERROR TOTAL r SQUARE.6631 PARAMETER ESTIMATE T FOR H 0 PARAMETER=0 PR T STD ERROR OF ESTIMATE INTERCEPT X X X Τα υπόλοιπα βήματα στη διαδικασία βηματικής παλινδρόμησης είναι παρόμοια με το βήμα 3. Οπως φαίνεται από τον τελευταίο

11 πίνακα από το βήμα 3 οδηγούμεθα στο συμπέρασμα ότι θα πρέπει να περιληφθούν στο μοντέλο οι μεταβλητές Χ 2, Χ 4 και Χ 5. Από τον Πίνακα αυτόν προκύπτει επίσης ότι η χρησιμοποίηση των τριών αυτών μεταβλητών οδηγεί στο να εξηγείται το 66.31% της διακύμανσης στους ρυθμούς θνησιμότητας (επειδή, όπως φαίνεται από τον Πίνακα, r 2 =0.6631). Αν συνεχίσουμε τη διαδικασία στη βηματική παλινδρόμηση για το παράδειγμά μας βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν άλλες σημαντικές μεταβλητές που να πρέπει να περιληφθούν στο μοντέλο μετά το βήμα 3. Για το λόγο αυτό το βήμα 3 είναι και το τελευταίο της μεθόδου για το συγκεκριμένο πρόβλημα με συμπέρασμα ότι οι στατιστικά σημαντικές μεταβλητές για το πρόβλημα αυτό είναι η Χ 2, η Χ 4 και η Χ 5. Σημείωση: Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : β i = 0 έναντι της Η 1 : β i 0 όπως εξηγήθηκε προηγουμένως για το βήμα 3 της βηματικής παλινδρόμησης γίνεται και για το βήμα 2. Ετσι, στο παράδειγμά μας δοθέντος ότι η μεταβλητή Χ 5 προστέθηκε στο μοντέλο στο βήμα 1 ο υπό συνθήκη έλεγχος Η 0 : β 5 = 0 έναντι της Η 1 : β 5 0 γίνεται στο βήμα 2 αφού ήδη έχει προστεθεί η μεταβλητή Χ 4 στο μοντέλο. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι είναι δυνατόν, μαθηματικά, να αφαιρεθεί μιά μεταβλητή στο βήμα 2 η οποία είχε αρχικά επιλεγεί στο βήμα 1 και έτσι το μοντέλο στο βήμα 2 να περιέχει μιά μόνο μεταβλητή. Εν γένει όμως η εμπειρία από τα πρακτικά προβλήματα έχει δείξει ότι δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο ποτέ στην πράξη και επομένως ο υπό συνθήκη έλεγχος της υπόθεσης Η 0 : β i = 0

12 έναντι της Η 1 : β i 0 γίνεται χρήσιμος και ουσιαστικός από το βήμα 3 της βηματικής παλινδρόμησης και μετά. 4.4 Σύγκριση της μεθόδου της βηματικής παλινδρόμησης με την μέθοδο αποκλεισμού μεταβλητών Τόσο η μέθοδος αποκλεισμού μεταβλητών όσο και η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης είναι διαδικασίες που χρησιμοποιούνται στη Στατιστική ώστε να καθορισθεί ένα υποσύνολο ανεξάρτητων μεταβλητών που είναι χρήσιμο στην πρόβλεψη της εξαρτημένης μεταβλητής. Με δεδομένο ότι οι δύο αυτές μέθοδοι είναι διαφορετικές (όπως επίσης είναι διαφορετικές από την μέθοδο της προοδευτικής προσθήκης μεταβλητών που επίσης εξετάσαμε) είναι φυσικό ότι δεν μπορεί να περιμένει κανείς να δώσουν τα ίδια ακριβώς υποσύνολα μεταβλητών. Παρ' όλα αυτά, εν γένει, τα δύο αυτά υποσύνολα δεν διαφέρουν σημαντικά. Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, το τελευταίο πρόβλημα που χρησιμοποιήσαμε ως παράδειγμα στη βηματική παλινδρόμηση με την μέθοδο του αποκλεισμού μεταβλητών. Ξεκινώντας με τις δέκα μεταβλητές και εφαρμόζοντας τη διαδικασία της μεθόδου αποκλεισμού μεταβλητών που έχουμε ήδη περιγράψει θα καταλήξουμε ότι το τελευταίο (έβδομο) στάδιο στη διαδικασία αυτή δίνει τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Γιά κάθε στάδιο της ανάλυσης έχει χρησιμοποιηθεί το 0.05 σαν επίπεδο σημαντικότητας. Οπως παρατηρούμε από τον πίνακα αυτό η μέθοδος του αποκλεισμού μεταβλητών δίνει ως στατιστικά σημαντικό υποσύνολο ανεξαρτήτων μεταβλητών αυτό που περιέχει τις μεταβλητές Χ 1, Χ 4, Χ 1 Χ 2 και Χ 4 Χ 5. (Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης, όπως είχαμε δει, είχε δώσει αντίστοιχα το υποσύνολο που περιείχε τις μεταβλητές Χ 2, Χ 4, και Χ 5 ). Επομένως, παρότι και οι δύο οι διαδικασίες επέλεξαν τις μεταβλητές Χ 2, Χ 4, και Χ 5 για να συμπεριληφθούν στο μοντέλο οι μεταβλητές αυτές χρησιμοποιούνται διαφορετικά σε κάθε ένα από τα

13 μοντέλα. Πέραν τούτου παρατηρούμε ότι η διαδικασία αποκλεισμού μεταβλητών έχει περιλάβει και τη μεταβλητή Χ 1 στο τελικό μοντέλο. Εχουμε επομένως εδώ, μια περίπτωση όπου η διαδικασία αποκλεισμού μεταβλητών και η διαδικασία βηματικής παλινδρόμησης οδήγησαν σε δύο διαφορετικά υποσύνολα μεταβλητών. Μέθοδος αποκλεισμού μεταβλητών SOURC DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F E MODEL ERROR TOTAL r SQUARE.6996 PARAMETER ESTIMATE T FOR H 0 PR T PARAMETER=0 STD ERROR OF ESTIMATE INTERCEPT X X X 1 *X Ε Ε-02 X 4 *X Ε Ε-02 Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι παρά το γεγονός πως όλες οι διαδικασίες που εξετάσαμε έχουν ως στόχο να επισημάνουν μόνο τις στατιστικά σημαντικές ανεξάρτητες μεταβλητές δεν υπάρχει καμμία ασφαλιστική δικλείδα που να εξασφαλίζει ότι αφενός όλες οι στατιστικά σημαντικές μεταβλητές έχουν προσδιορισθεί ή, από το άλλο μέρος, ότι το τελικό μοντέλο περιέχει μόνο στατιστικά σημαντικές μεταβλητές. Και οι τρεις διαδικασίες που εξετάσαμε χρησιμοποιούν δειγματικά δεδομένα και εξαρτώνται από πολλαπλά τεστ υποθέσεων τα οποία γίνονται στο ίδιο σύνολο δεδομένων. Είναι φυσικό ότι ένα διαφορετικό σύνολο στοιχείων για το ίδιο πρόβλημα ίσως καταλήξει σε διαφορετικά αποτελέσματα. Πέρα από αυτό τα αποτελέσματα είναι δυνατόν να επηρεασθούν από ακραίες τιμές (outliers) ή από την έλλειψη γραμμικότητας στα δεδομένα. Σε κάθε μιά από τις δύο περιπτώσεις, ένας μετασχηματισμός των δεδομένων, όπως π.χ. η θεώρηση λογαρίθμων των τιμών ή η θεώρηση των τάξεων μεγέθους των τιμών, πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση

14 παλινδρόμησης αποδεικνύεται συχνά χρήσιμη στον προσδιορισμό των σημαντικών μεταβλητών. 4.5 Μέθοδοι Ολων των Πιθανών Παλινδρομήσεων Είναι ενδεχόμενο, με την αυστηρή χρησιμοποίηση των μεθόδων που παρουσιάσαμε, να αγνοηθεί ένα καλό μικρό υποσύνολο μεταβλητών ή, να επιλεγεί ένα μικρό υποσύνολο ως το καλύτερο δυνατό ενώ υπάρχουν ενδεχομένως υποσύνολα με λίγες περισσότερες μεταβλητές μεταξύ αυτών που είναι υποψήφιες για να περιληφθούν στο μοντέλο με αρκετά υψηλότερη τιμή για το συντελεστή προσδιορισμού r 2. Μια λύση για το πρόβλημα αυτό είναι να εφαρμοσθούν όλα τα δυνατά μοντέλα παλινδρόμησης που είναι δυνατόν να κατασκευασθούν με υποσύνολα των ανεξαρτήτων μεταβλητών που είναι υποψήφιες να περιληφθούν στο μοντέλο. Αν υποθέσουμε, ότι υπάρχουν k ανεξάρτητες μεταβλητές που ενδεχομένως είναι κατάλληλες να περιληφθούν στο μοντέλο παλινδρόμησης τα δυνατά υποσύνολα των μεταβλητών αυτών (και επομένως τα αντίστοιχα μοντέλα που μπορούν να προκύψουν από αυτές) είναι k 1 + k k k 2 1 k Στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετοί αποτελεσματικοί αλγόριθμοι που έχουν τη δυνατότητα υπολογισμού των αναλύσεων παλινδρόμησης για όλα αυτά τα 2 κ - 1 δυνατά μοντέλα (π.χ. το SAS). Τέτοιοι αλγόριθμοι υπάρχουν στις εργασίες των Garside (1965), Schatgoff (1968), Furnival (1971), Furnival & Wilson (1974). O Frane έχει εξηγήσει και διατυπώσει τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος των Furnival & Wilson μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο στατιστικό πακέτο BMDP. 4.6 Διαστήματα εμπιστοσύνης και πρόβλεψης με τη μέθοδο του αποκλεισμού μεταβλητών και της βηματικής παλινδόμησης Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους αναλύσεων παλινδρόμησης που αναπτύξαμε τελευταία είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε διαστήματα

15 εμπιστοσύνης και πρόβλεψης για το μ και το Υ χρησιμοποιώντας τους υπολογιστές. Στο τελευταίο παράδειγμα που εξετάσαμε που αναφέρεται σε ρυθμούς θνησιμότητας έστω ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ρυθμό θνησιμότητας σε μιά περιοχή η οποία έχει τα εξής χαρακτηριστικά : Χ 1 =43.3, Χ 2 =30.2, Χ 3 =76.5, Χ 4 =11.0, Χ 5 =18.8 και Χ 6 = Για την ανάλυση της βηματικής παλινδρόμησης βλέπουμε, από το σχετικό πίνακα, ότι: μˆ Υ x = (1.732)(30.2) - (20.649)(11.0) + (3.195)(18.8) = Tο 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ρυθμό θνησιμότηταςδίνεται από το στατιστικό πρόγραμμα να έχει ακραία σημεία και Αντίστοιχα, η μέθοδος του αποκλεισμού μεταβλητών δίνει από τον αντίστοιχο πίνακα μˆ Υ x = (2.524)(43.3)+(20.554)(11.0)-( )(43.3)(30.2) + (0.2881)(11.0)(18.8) = Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ρυθμό θνησιμότητας στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται να είναι (962.19, ). Αντίστοιχα, με την βοήθεια του υπολογιστή μπορούν να κατασκευασθούν διαστήματα πρόβλεψης για το Υ.

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER

SOURCE DF SUM OF SQUARES MEAN SQUARE F VALUE PR F MODEL (a) 2.882 E04 (e) (g) (h) ERROR (b) (d) (f) TOTAL (c) 4.063 E04 R SQUARE (i) PARAMETER ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρήστε το παράδειγμα που αναφέρεται στη συσχέτιση του βαθμού ικανοποίησης των εργαζομένων σε ένα εργαστήριο σε σχέση με τις οκτώ μεταβλητές που ορίστηκαν εκεί. (Χ =ηλικία, Χ =φύλο, Χ =εβδομαδιαίος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την μελέτη των σχέσεων μεταξύ μετρήσιμων μεταβλητών. Γενικότερα, η γραμμική στατιστική συμπερασματολογία αποτελεί ένα ευρύ πεδίο της στατιστικής ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ

7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ 7.2.1 Εκτίμηση της Καμπύλης Παλινδρόμησης της Μεταβλητής Υ πάνω στην Μεταβλητή Χ Για να προσδιορισθεί η καμπύλη παλινδρόμησης, η οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη σημείων τα οποία μπορούν προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος

Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:

Άσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Προσθήκη άσχετης μεταβλητής και παράλειψη σχετικής Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού

Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος

Διαβάστε περισσότερα

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται

Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ICAP GROUP S.A. ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ

ICAP GROUP S.A. ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ ICAP GROUP S.A. ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ Φεβρουάριος 2015 1 Table of Contents ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 2. ΑΝΑΘΕΩΡΗΣΗ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ... 4 2.1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ... 4 2.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS

Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου και ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως προς δύο παράγοντες,

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ

1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1ο ΣΤΑΔΙΟ ΓΕΝΕΣΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΕΩΝ πόσες μετακινήσεις δημιουργούνται σε και για κάθε κυκλοφοριακή ζώνη; ΟΡΙΣΜΟΙ μετακίνηση μετακίνηση με βάση την κατοικία μετακίνηση με βάση άλλη πέρα της κατοικίας

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων

Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation Σταμάτης Πουλακιδάκος Μερικά εισαγωγικά λόγια Οι έλεγχοι των ερευνητικών υποθέσεων πραγματοποιούνται με διάφορους στατιστικούς ελέγχους,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α)

Εισαγωγή στην Στατιστική (ΔΕ200Α-210Α) Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Αγ. Νικόλαος), Τ.Ε.Ι. Κρήτης Σελίδα 1 από 13 5η Εργαστηριακή Άσκηση Σκοπός: Η παρούσα εργαστηριακή άσκηση στοχεύει στην εκμάθηση κατασκευής γραφημάτων που θα παρουσιάζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραφική παράσταση των υπολοίπων (ή των μαθητικοποιημένων υπολοίπων) ως προς την

Διαβάστε περισσότερα

τατιστική στην Εκπαίδευση II

τατιστική στην Εκπαίδευση II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ τατιστική στην Εκπαίδευση II Επαναληπτικζς ασκήσεις Διδάσκων: Μιχάλης Λιναρδάκης ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Συχνά στην πράξη το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι ανεπαρκές για την περιγραφή της μεταβλητότητας που υπάρχει στην εξαρτημένη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11

ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 2342 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: Οικονομετρικά. Εργαστήριο 15/05/11 ΤΣΑΛΤΑ ΜΑΡΙΑ Α.Μ: 1946 ΠΑΥΛΕΛΛΗ ΛΟΥΙΖΑ Α.Μ: 34 ΤΣΑΪΛΑΚΗ ΦΑΝΗ Α.Μ: 17 Οικονομετρικά Εργαστήριο 15/5/11 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σκοπός του παρόντος µαθήµατος είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΠΟΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑ ΙΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller

Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller ΜΑΘΗΜΑ 7ο Ογενικός(πλήρης) έλεγχος των Dickey Fuller Είδαμε προηγουμένως ότι οι τιμές της στατιστικής Τ 2δ0, Τ 3δ0 και Τ 3δ1 που χρησιμοποιήθηκαν στην παραπάνω παράγραφο εξαρτώνται από τη μορφή της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική

Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέμβριος 2017 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόμενα Ορισμός της Στατιστικής Περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα:

+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα: ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, 6-5-0 Άσκηση 8. Δίνονται οι παρακάτω 0 παρατηρήσεις (πίνακας Α) με βάση τις οποίες θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό μοντέλο για την πρόβλεψη της Υ μέσω των ανεξάρτητων μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων

Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Βραχυπρόθεσμη τοπική μετεωρολογική πρόγνωση με αναζήτηση ανάλογων καταστάσεων Γεώργιος Θεοδωρόπουλος Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΩΣ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΙΚΩΝ ΕΝΔΥΜΑΤΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΩΣ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΙΚΩΝ ΕΝΔΥΜΑΤΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΩΣ ΜΕΘΟΔΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΟΤΗΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΒΙΟΤΕΧΝΙΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΙΚΩΝ ΕΝΔΥΜΑΤΩΝ Του ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Κ. ΜΠΕΝΟΥ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιώς ΓΕΝΙΚΑ Πολλά πειράματα που λαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr TECHNOLOGICAL

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ =Ε(Χ )-µ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : Cov(X,Υ)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολλαπλή Παλινδρόμηση Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Monotone Regression)

7.2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Monotone Regression) 7. ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (Mooto Rgrsso) Συχνά, παρουσιάζονται περιπτώσεις όπου η παλινδρόμηση μίας μεταβλητής Y πάνω σε μία άλλη μεταβλητή Χ δεν είναι εύλογο να υποτεθεί ότι είναι γραμμική, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΤΟΞΙΚΟΕΞΆΡΤΗΣΗ Dr. Ρέμος Αρμάος

Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΤΟΞΙΚΟΕΞΆΡΤΗΣΗ Dr. Ρέμος Αρμάος Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΔΙΟΙΚΗΣΗ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΤΟΞΙΚΟΕΞΆΡΤΗΣΗ Dr. Ρέμος Αρμάος Εισαγωγή στη στατιστική Στατιστική: σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που χρησιμοποιούνται για:

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα