Εισαγωγή στη Βιοστατιστική
|
|
- Έρασμος Λαμπρόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέμβριος 2017 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3
2 Περιεχόμενα Ορισμός της Στατιστικής Περιγραφική στατιστική t-test Δοκιμασία X 2 Μη-παραμετρικές δοκιμασίες Συντελεστές συσχέτισης Απλή γραμμική παλινδρόμηση, ANOVA Πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση Λογαριθμιστική εξάρτηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 2
3 Συσχέτιση και Εξάρτηση Συσχέτιση: Μέτρο του βαθμού (της έντασης) της γραμμικής σχέσης μεταξύ 2 μεταβλητών Εξάρτηση ή Παλινδρόμηση: Μέθοδος για την διερεύνηση των μεταβολών των τιμών της μιας μεταβλητής (εξαρτημένης) συναρτήσει των μεταβολών των τιμών της άλλης (ανεξάρτητης) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3
4 Προϋποθέσεις Συσχέτιση (συντελεστής του Pearson): Τα δύο ποσοτικά μεγέθη να κατανέμονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία Εξάρτηση: Το εξαρτημένο μέγεθος να κατανέμεται κανονικά (για κάθε συγκεκριμένη τιμή του ανεξάρτητου) και να έχει επιλεγεί τυχαία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 4
5 Παράδειγμα Σε μελέτη για τη διερεύνηση της επίδρασης του μολύβδου στην σωματομετρική ανάπτυξη των παιδιών, μελετήθηκαν παιδιά σχολικής ηλικίας (μεταξύ 6 και 9 ετών), από τρείς περιοχές: Λαύριο, Ελευσίνα και Λουτράκι. Το συνολικό δείγμα αποτελείται από 522 παιδιά, 274 αγόρια και 248 κορίτσια ηλικίας 6-9 χρονών. Μέρος των δεδομένων παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί (Kafourou et al, Archives of Environmental health, 1997; 52: ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 5
6 Πίνακας Κωδικός Πόλη Ηλικία Ανάστημα Μόλυβδος Ανάστημα (έτη) πατέρα (cm) ( g/ml) παιδιού (cm) Για την πόλη 1 σημαίνει Λουτράκι, 2 Λαύριο και 3 Ελευσίνα. = Eλλείπουσες τιμές (missing values) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 6
7 Στικτόγραμμα του αναστήματος του πατέρα με το ανάστημα του παιδιού Father's height Children's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 7
8 Κατανομή συχνοτήτων του αναστήματος του πατέρα 141 Frequency Father's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 8
9 Κατανομή συχνοτήτων του αναστήματος των παιδιών 125 Frequency Children's height Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 9
10 Άρα: και οι δύο μεταβλητές επιλέγησαν τυχαία οι κατανομές και των δύο μεγεθών είναι κατά προσέγγιση κανονικές Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή συσχέτισης του Pearson. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 10
11 Στικτόγραμμα της ηλικίας με το ύψος του παιδιού Children's height age Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 11
12 Αντιθέτως ο συντελεστής συσχέτισης που αντιστοιχεί στο προηγούμενο σχήμα δεν μπορεί να υπολογιστεί γιατί η ηλικία δεν έχει επιλεγεί τυχαία. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 12
13 Παραδείγματα 1. Συλλέγονται τυχαία διάφορα παντρεμένα ζευγάρια για να διερευνηθεί η σχέση ανάμεσα στα ύψη των ζευγαριών 2. Επιλέγονται διάφορα άτομα (έτσι ώστε στο δείγμα να περιλαμβάνονται άτομα κάθε ηλικίας) για να διερευνηθεί η σχέση ανάμεσα ηλικίας και συστολικής αρτηριακής πίεσης καθενός από αυτά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 13
14 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση «Η διερεύνηση γραμμικής σχέσης εξάρτησης μεταξύ 2 μεταβλητών, εκ των οποίων η μια καλείται εξαρτημένη και η άλλη ανεξάρτητη». Δηλαδή, η Υ (εξαρτημένη) συνδέεται με την Χ (ανεξάρτητη), με τη σχέση: Υ = β0 + β1 Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 14
15 (συν.) Η μέθοδος παλινδρόμησης (regression analysis) στοχεύει στον υπολογισμό μιας ευθείας γραμμής που εφαρμόζει καλύτερα από κάθε άλλη στα δεδομένα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 15
16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 16
17 Παραδείγματα: Σχέση: Βάρους σώματος και αρτηριακής πίεσης. Ηλικίας κύησης και βάρους. Προσλαμβανόμενες θερμίδες και σωματική δραστηριότητα. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 17
18 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Στην απλή εξάρτηση διερευνάται η σχέση μιας εξαρτημένης μεταβλητής με μία μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή. Γενικά η μέθοδος της εξάρτησης αποσκοπεί στην εύρεση μίας γραμμής που εφαρμόζει όσο το δυνατόν καλύτερα στα δεδομένα. Η σχέση μεταξύ εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής εκφράζεται μέσω μαθηματικής συνάρτησης. Η γραμμή της συνάρτησης μπορεί να έχει οποιαδήποτε μορφή. Στην απλή γραμμική εξάρτηση μελετάται μόνο η ευθεία. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 18
19 (συν.) Στα μοντέλα απλής γραμμικής εξάρτησης υποθέτουμε ότι η πραγματική μέση τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Y i στον υποκείμενο πληθυσμό (underlying population) από τον οποίο προέρχεται το δείγμα, μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό όταν μεταβάλλονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής X i. Η συνάρτηση που συνδέει τη μέση τιμή των Y i με την X i είναι η εξίσωση της ευθείας γραμμής: Ŷ i E(Y X ) i i = X 0 1 i όπου β 0 είναι η σταθερά της εξίσωσης και β 1 η κλίση της ευθείας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 19
20 (συν.) Ο συμβολισμός Ε(Υ i Χ i ) στη Στατιστική δηλώνει τη μέση τιμή της μεταβλητής Υ i όταν η μεταβλητή Χ παίρνει τη συγκεκριμένη τιμή Χ i. Έτσι, το Ε(Υ i Χ i =80) σημαίνει τη μέση τιμή της μεταβλητής Υ, σε όλα τα άτομα στο δείγμα μας που η μεταβλητή Χ είναι ίση με 80. Αντίστοιχα, το Ε(Υ) ή Ε(Υ i ) συμβολίζει τη μέση τιμή της Υ γενικά στο δείγμα μας, χωρίς να λάβουμε υπόψη καμία άλλη μεταβλητή Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 20
21 (συν.) Έτσι φανταστείτε ότι μιλάμε για μια συγκεκριμένη τάξη με μαθητές, όπου: Υ είναι η ηλικία τους και Χ το φύλο τους (0: γυναίκα, 1: άνδρας) Ε(Υ)= η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών και μαθητριών Ε(Υ i Χ i =0) η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητριών Ε(Υ i Χ i =1) η μέση τιμή της ηλικίας όλων των μαθητών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 21
22 (συν.) Στο παράδειγμα της μελέτης για τη διερεύνηση της επίδρασης του μολύβδου στην σωματομετρική ανάπτυξη των παιδιών, ας θεωρήσουμε Υ το ύψος του παιδιού και Χ το ύψος του πατέρα Ε(Υ)= η μέση τιμή του ύψους όλων των παιδιών Ε(Υ i Χ i =175cm) η μέση τιμή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους ήταν 175 cm Ε(Υ i Χ i =190cm) η μέση τιμή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους ήταν 190 cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 22
23 (συν.) Προσέξτε ότι στη σχέση αναφερόμαστε στη μέση τιμή του Υ, για οποιαδήποτε τιμή του Χ Ŷ i E(Y X ) = X i i 0 1 i Αυτό δε σημαίνει ότι οι παρατηρήσεις μας «πέφτουν» ακριβώς πάνω στην ευθεία Βρίσκονται συνήθως πάνω ή κάτω από την ευθεία Οπότε υπάρχουν αποκλίσεις μεταξύ της μέσης τιμής Ε(Υ i X i ) και των παρατηρήσεων (Χ i,υ i ) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 23
24 (συν.) Η απόκλιση κάθε παρατήρησης Υ i από την αντίστοιχη μέση τιμή δίνεται από το τυχαίο σφάλμα (random error) ε i. Έτσι το προηγούμενο μοντέλο: Ŷ i = E(Y i ½X i )=b 0 + b 1 X i μπορεί ισοδύναμα να γραφτεί ως: Y i =β 0 +β 1 Χ i +ε i ή Υ i =E(Y i X i )+ε i Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 24
25 (συν.) Ŷ i Οπότε το αναφέρεται στη μέση τιμή, και το Υ i σε μια παρατήρηση στο δείγμα μας Ŷ i = E(Y i ½X i =180)=130 Π.χ., δηλαδή η μέση τιμή του ύψους των παιδιών που ο πατέρας τους έχει ύψος 180cm είναι 130cm Ενώ π.χ. αν υποθέσουμε ότι Υ 25 και Υ 31 είναι 2 από τα παιδιά που ο πατέρας τους έχει ύψος 180 cm, μπορεί να έχουμε ότι: Υ 25 =137cm και Υ 31 =128cm Άρα ε 25 = =7cm και ε 31 = = -2cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 25
26 Παράδειγμα: (Χ 25,Y 25 )=(180, 137) ε 25 E(Y i X i =180) = 130 Ε(Υ i Χ i ) = β0 + β1 Χ i ή Υ i = β0 + β1 Χ i + ε i Ύψος πατέρα (Χ) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 26
27 (συν.) Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμα το 25 ο παιδί στο αρχείο μας έχει ύψος Υ=137cm και ο πατέρας του έχει ύψος Χ=180cm. Το μοντέλο μας έδωσε Ε(Υ i X i =180)=130cm. Άρα, ε 25 =Υ 25 -Ε(Υ i X i =180)=7cm. Τόση είναι η απόκλιση του ύψους του συγκεκριμένου παιδιού από την εκτίμηση που κάνει το μοντέλο για αυτό Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 27
28 (συν.) Υποθέτουμε ότι η κατανομή συχνοτήτων των τιμών Υ i για κάθε δεδομένη τιμή Χ i ακολουθεί την κανονική κατανομή Αυτό σημαίνει, ότι π.χ. στο παράδειγμα που συζητάμε αν κάνουμε το ιστόγραμμα του ύψους όλων των παιδιών για μια συγκεκριμένη τιμή ύψους πατέρα (π.χ. 175cm) θα προκύψει η κανονική κατανομή. Αυτό θα ισχύει για κάθε τιμή ύψους πατέρα. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 28
29 (συν.) Αυτό, φαίνεται σχηματικά στο γράφημα: Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 29
30 (συν.) Ο σκοπός της απλής γραμμικής εξάρτησης είναι να εκτιμηθούν οι παράμετροι β 0 και β 1 του μοντέλου από το δείγμα Οι εκτιμημένες παράμετροι συμβολίζονται με «καπελάκια»: ( ˆ, ˆ 0 1) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 30
31 Εκτίμηση των παραμέτρων Η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου (δηλαδή των β 0 και β 1 ) γίνεται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (least squares method) Θα μιλήσουμε στη συνέχεια για τη συγκεκριμένη μέθοδο Προς το παρόν, ας δούμε ένα παράδειγμα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 31
32 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Σαν παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε μια βάση δεδομένων με πληροφορίες για 454 νεογέννητα μωρά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 32
33 Παράδειγμα Συγκεκριμένα, ενδιαφερόμαστε να μελετήσουμε διάφορα χαρακτηριστικά των μωρών και της εγκυμοσύνης σε σχέση με την περιφέρεια του κεφαλιού τους (σε mm). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 33
34 Στικτόγραμμα Περιφέρεια κεφαλιού (ΠΚ) σε σχέση με το χρόνο κυοφορίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 34
35 Παράδειγμα Οπτικά φαίνεται ότι η ΠΚ αυξάνεται όσο αυξάνεται ο χρόνος κυοφορίας Αυτό φαίνεται πιο έντονα όταν δούμε τη μέση τιμή της ΠΚ για κάθε διαφορετικό χρόνο κυοφορίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 35
36 (συνέχεια) Επίσης, η αύξηση αυτή φαίνεται να είναι γραμμική Δηλαδή μπορούμε να φανταστούμε μια ευθεία γραμμή να περνάει από αυτά τα σημεία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 36
37 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Μπορούμε να προτείνουμε ένα μοντέλο για τη μέση τιμή του Υ (ΠΚ) ως συνάρτηση του Χ (χρόνος κυοφορίας) Στο προηγούμενο στικτόγραμμα είδαμε ότι η μέση τιμή του Υ αυξάνεται γραμμικά σε σχέση με το Χ Άρα, η σχέση αυτών των 2 μεταβλητών φαίνεται να ακολουθεί μια ευθεία γραμμή Υ περιφέρεια κεφαλιού, Χ χρόνος κυοφορίας, Ε(Υ Χ) μέση τιμή του Υ για μια συγκεκριμένη τιμή του Χ Εξίσωση της ευθείας γραμμής: E 0 1 ( Y X ) X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 37
38 Ερμηνεία Ο συντελεστής εξάρτησης β 1 (slope) μπορεί να είναι αρνητικός (αρνητική εξάρτηση) ή θετικός αριθμός (θετική εξάρτηση) ή να ισούται με το 0 (απουσία εξάρτησης). Εκφράζει το μέσο όρο της μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ανεξάρτητη μεταβληθεί κατά μία μονάδα. Ο συντελεστής εξάρτησης β 0 (intercept) εκφράζει τη μέση τιμή του Υ όταν το Χ είναι ίσο με 0 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 38
39 Ερμηνεία Ο συντελεστής που μας αφορά κυρίως είναι ο β 1 Σε πολλές περιπτώσεις η ερμηνεία του συντελεστή β 0 δεν έχει νόημα Γενικά δεν μας απασχολεί πολύ ο β 0, αλλά μόνο ο β 1 Παρ όλα αυτά, σχεδόν πάντα έχουμε τον συντελεστή β 0 στο μοντέλο μας, ακόμα και αν η ερμηνεία του δεν έχει νόημα Έτσι, στο παράδειγμά μας ερμηνεύεται σαν τη μέση περιφέρεια κεφαλιού του μωρού όταν είναι 0 εβδομάδων! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 39
40 Ερμηνεία Εξίσωση της ευθείας γραμμής: E 0 1 ( Y X ) X Y β0 - intercept Η τιμή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 1 0 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 μονάδα 1 μονάδα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 40
41 Ερμηνεία Εξίσωση της ευθείας γραμμής: E 0 1 ( Y X ) X Y Αν όταν αυξάνεται το Χ, αυξάνεται το Υ 1 θετικό β0 - intercept Η τιμή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 0 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 μονάδα 1 μονάδα 1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 41
42 Ερμηνεία Εξίσωση της ευθείας γραμμής: E 0 1 ( Y X ) X Y Αν όταν αυξάνεται το Χ, μειώνεται το Υ 1 αρνητικό β0 - intercept Η τιμή της Ε(Υ Χ) για Χ=0 0 1 β1 - slope Μεταβολή στη Ε(Υ Χ) για αύξηση της Χ κατά 1 μονάδα 1 μονάδα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 42
43 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 43
44 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Στο SPSS: E ( Y X ) * X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 44
45 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Άλλη απεικόνιση του γραμμικού μοντέλου είναι η: Y 0 1 ε σφάλμα β0 - intercept β1 - slope X Y E(Y X) (Χ,Υ): Παρατηρηθείσα τιμή στο δείγμα X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 45
46 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Άλλη απεικόνιση του γραμμικού μοντέλου είναι η: Y 0 1 X (Χ,Υ): Παρατηρηθείσα τιμή στο δείγμα Για ένα συγκεκριμένο X, το μοντέλο προβλέπει: E(Y X) = b 0 + b 1 X Έτσι, e =Y - E(Y X) Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 46
47 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Πώς βρίσκουμε την ευθεία εξάρτησης που εφαρμόζει καλύτερα στα δεδομένα μας; Με άλλα λόγια, πώς υπολογίζουμε τα β0 και β1; Η γενική ιδέα είναι ότι ψάχνουμε την ευθεία γραμμή που ελαχιστοποιεί τα σφάλματα (ε)! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 47
48 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων e = U - E(U C) Ορίσαμε: Για κάθε παρατήρηση i έχουμε: e i = U i - E(U i C i ) = U i - b 0 - b 1 C i Αυτή αντιπροσωπεύει την τιμή της Χ για το άτομο i Θέλουμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους β0 και β1 που ελαχιστοποιούν το άθροισμα των τετραγώνων: Άθροισμα τετραγώνων = å 2 e i = i å i ( U i - b 0 - b 1 C ) 2 i Οπότε ψάχνουμε τα β 0 και β 1 που ελαχιστοποιούν το παραπάνω άθροισμα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 48
49 (συνέχεια) Η μέθοδος αυτή δίνει: ˆ 1 n i=1 {(Y n i i=1 - (X Y)(X i - i X) - X)} 2 n i=1 Y X n i=1 i X i 2 i - - n i=1 ( n i=1 Y i n n n i=1 X ) i 2 X i r SD SD Y X ˆ 0 Y -b 1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 49
50 Προϋποθέσεις Η σχέση μεταξύ του Χ και Υ είναι γραμμική Οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες Για κάθε Χ, το Υ κατανέμεται κανονικά Αυτό σημαίνει ότι τα σφάλματα ε κατανέμονται κανονικά Η τυπική απόκλιση του Υ παραμένει σταθερή για όλα τα Χ (Ομοσκεδαστικότητα) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 50
51 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Οι εκτιμώμενες παράμετροι είναι: Οι παράμετροι 0 ˆ και ˆ 1 είναι εκτιμήσεις των πραγματικών παραμέτρων β0 και β1 (παράμετροι του πληθυσμού), από το δείγμα μας Θέλουμε να εξάγουμε συμπεράσματα για το β1 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 51
52 Απλή γραμμική παλινδρόμηση Το βασικό ερώτημα, αφού εκτιμήσουμε το μοντέλο, είναι αν υπάρχει στατιστικά σημαντική «επίδραση» της μεταβλητής Χ στην Υ. Η «επίδραση» της Χ στην Υ δίνεται από την β1 Έτσι ελέγχουμε τη μηδενική υπόθεση H 0 : β1=0 Η p-value για την υπόθεση H 0 : β1=0 είναι <0.001 Συμπεραίνουμε ότι η πραγματική β1 είναι διαφορετική από το 0, δηλαδή υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ του χρόνου κυοφορίας και της περιφέρειας κεφαλιού ( περισσότερος χρόνος, μεγαλύτερο κεφάλι ) Ο έλεγχος για την β0 συνήθως δεν έχει ιδιαίτερη σημασία Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 52
53 Διάστημα εμπιστοσύνης Μπορούμε να κατασκευάσουμε 95% Δ.Ε. για τις β0 και β1 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 53
54 (συν.) Έτσι, είμαστε 95% σίγουροι ότι στον πληθυσμό αναφοράς το β 1 παίρνει τιμές μεταξύ (2,538, 4,246) Δηλαδή, είμαστε 95% σίγουροι ότι στον πληθυσμό αναφοράς μας κάθε αύξηση του χρόνου κυοφορίας κατά μια εβδομάδα έχει σαν αποτέλεσμα μέση αύξηση της περιφέρειας κεφαλιού μεταξύ 2,538 και 4,246mm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 54
55 Προβλέψεις Η πρόβλεψη της Υ (για μια δεδομένη τιμή της Χ) βασίζεται και αυτή στις εκτιμημένες παραμέτρους του μοντέλου! Οπότε είναι και αυτή μια εκτίμηση της «πραγματικής» E(Y X) E(Y X) = b 0 + b 1 X Έτσι, μπορούμε να κατασκευάσουμε Δ.Ε. και για την E(Y X) Εδώ πρέπει να είμαστε πολύ συγκεκριμένοι στο τι ακριβώς ζητάμε, γιατί υπάρχουν 2 διαφορετικά Δ.Ε.!! Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 55
56 Δ.Ε. για τις προβλέψεις Υπάρχει η πρόβλεψη για ένα συγκεκριμένο άτομο που έχει μια δοθείσα τιμή Χ Υπάρχει και η μέση πρόβλεψη για όλα τα άτομα που έχουν την ίδια δοθείσα τιμή Χ Οι προβλέψεις είναι ακριβώς οι ίδιες και για τις 2 παραπάνω περιπτώσεις: Ê(Y X) = ˆb 0 + ˆb 1 X Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 56
57 Δ.Ε. για τις προβλέψεις Τα τυπικά σφάλματα, που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση, διαφέρουν Το πρώτο είδος πρόβλεψης (για ένα συγκεκριμένο άτομο) έχει μεγαλύτερο τυπικό σφάλμα από το δεύτερο (τη μέση πρόβλεψη για όλα τα άτομα) Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα και τα 95% διαστήματα εμπιστοσύνης να διαφέρουν. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 57
58 Παράδειγμα Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται το διάγραμμα εξάρτησης της τιμής των τριγλυκεριδίων του ορού από την ηλικία (από μία παλαιότερη έρευνα), καθώς και η διακύμανση της γραμμής εξάρτησης Αυτή κατασκευάζεται με το να κατασκευάσουμε το 95% Δ.Ε. για κάθε τιμή Χ της ανεξάρτητης μεταβλητής Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 58
59 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 59
60 (συν.) Έτσι, είναι φανερό ότι η διακύμανση της γραμμής παλινδρόμησης εξαρτάται από τις τιμές της μεταβλητής Χ Όταν η Χ προσεγγίζει τη μέση τιμή της, τότε τα τυπικά σφάλματα πρόβλεψης ελαττώνονται Όταν η Χ απομακρύνεται από τη μέση τιμή της, τότε τα τυπικά σφάλματα πρόβλεψης αυξάνονται Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 60
61 Προεκτάσεις (extrapolations); Οι προβλέψεις για τιμές της Χ εκτός του εύρους των τιμών της Χ που είχαμε στο δείγμα μας θα πρέπει να αποφεύγεται Αυτό, διότι η μορφή της συνάρτησης εκτός του εύρους των τιμών της Χ είναι στην πραγματικότητα άγνωστη. Έτσι, στο επόμενο παράδειγμα δεν συνιστάται να κάνουμε προβλέψεις για ηλικίες κάτω των 10 ή άνω των 70 ετών Δεν ξέρουμε καν αν η σχέση είναι γραμμική σε αυτές τις τιμές Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 61
62 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 62
63 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Όταν κατασκευάσουμε την ευθεία παλινδρόμησης, ελέγχουμε: Πόσο καλό είναι το μοντέλο μας (goodness of fit) και αν πληρούνται οι προϋποθέσεις: Η σχέση μεταξύ του Χ και Υ είναι γραμμική Τα σφάλματα (ε) ακολουθούν την κανονική κατανομή Ομοσκεδαστικότητα Η τυπική απόκλιση του Υ παραμένει σταθερή για όλα τα Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 63
64 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Goodness of fit Πόσο καλά το μοντέλο μας ακολουθεί τα δεδομένα, ή Πόσο καλά η Χ προβλέπει την Υ, ή Πόση από τη διασπορά στην Υ ερμηνεύεται από τη Χ, ή Πόσο καλή είναι η γραμμική σχέση μεταξύ Υ και Χ Καλύτερο Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 64
65 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Γνωρίζουμε ότι ένα μέτρο της γραμμικής σχέσης μεταξύ της Χ και της Υ αποτελεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearson (r) To r 2 μας δίνει το ποσοστό της μεταβλητότητας της Υ που εξηγείται από την Χ Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 65
66 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Πόση από τη διασπορά στην Υ ερμηνεύεται από τη Χ; Συντελεστής συσχέτισης του Pearson Έτσι, το r 2 εκτιμά την ερμηνευτική ικανότητα του μοντέλου (πόσο καλό είναι το μοντέλο) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 66
67 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Στο προηγούμενο παράδειγμα προκύπτει ότι: r 2 = 0,12 Άρα ο χρόνος κυοφορίας ερμηνεύει το 12% της μεταβλητότητας της περιφέρειας του κεφαλιού Είναι καλό αυτό; Μήπως είναι λίγο; Είναι στατιστικά σημαντικό; Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 67
68 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Μια σημαντική ερώτηση είναι: Είναι το ποσοστό της μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από το μοντέλο στατιστικά διαφορετικό από το 0; Εδώ p-value<0.001, οπότε συμπεραίνουμε ότι το ποσοστό της μεταβλητότητας που ερμηνεύεται από το μοντέλο είναι στατιστικά διαφορετικό από το 0 Άρα, το 12% είναι στατιστικά σημαντικό Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 68
69 Έλεγχος και εκτίμηση του μοντέλου Αυτή η ερώτηση μπορεί να μας φαίνεται παρόμοια με την ερώτηση για το αν η μεταβλητή Χ έχει στατιστικά σημαντική «επίδραση» στην Υ: H 0 : β1=0 Στην περίπτωση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης αυτές οι δύο ερωτήσεις είναι ισοδύναμες Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 69
70 Διαγνωστικοί έλεγχοι Ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να ελέγξουμε τις προϋποθέσεις, είναι να μελετήσουμε τα σφάλματα (ε) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 70
71 Διαγνωστικοί έλεγχοι Έτσι λοιπόν ελέγχουμε τα υπόλοιπα: Οι κουκίδες πρέπει να βρίσκονται γύρω από το 0 χωρίς κάποια συγκεκριμένη μορφή και με παρόμοια διασπορά Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 71
72 Παραβίαση της ομοσκεδαστικότητας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 72
73 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 73
74 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 74
75 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 75
76 Διάγραμμα υπολοίπων εξάρτησης προς αναμενόμενες τιμές Το 1 ο σχήμα αποτελεί τυπική μορφή διαγραμμάτων όταν όλες οι προϋποθέσεις ισχύουν. Τα υπόλοιπα ε i κατανέμονται τυχαία πάνω και κάτω από τη γραμμή ε I =0. Αντίθετα, στο 2 ο σχήμα παρατηρείται αύξηση της διακύμανσης σε μεγαλύτερες προβλεπόμενες τιμές. Άρα, τουλάχιστον η προϋπόθεση σταθερής διακύμανσης (ομοσκεδαστικότητα) δεν ισχύει. Τέλος στο 3 ο σχήμα τα υπόλοιπα δεν κατανέμονται τυχαία. Αντίθετα παρουσιάζουν συστηματικότητα, υποδεικνύοντας ότι μία σημαντική ανεξάρτητη μεταβλητή (πιθανόν ένα δευτεροβάθμιος όρος) λείπει. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 76
77 Υπόθεση γραμμικότητας Πριν δεχθούμε ότι η σχέση εξαρτημένηςανεξάρτητης μεταβλητής είναι γραμμική, θα πρέπει να ελεγχθεί και γραφικά. Γραφικά μπορεί να ελεγχθεί με το στικτόγραμμα εξαρτημένης-ανεξάρτητης μεταβλητής. Το παράδειγμα ημερήσιας θνησιμότητας και ημερήσιας θερμοκρασίας είναι ένα κλασικό παράδειγμα μη γραμμικής σχέσης. Το αντίστοιχο διάγραμμα δείχνει ότι η σχέση είναι μάλλον παραβολοειδής. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 77
78 Σχέση μεταξύ μέσης ημερήσιας θνησιμότητας και μέσης ημερήσιας θερμοκρασίας Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 78
79 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 79
80 Παράδειγμα, απλή γραμμική παλινδρόμηση N Mean Median Std. Deviation Percentiles Statistics Age of Body Mass Subjects Index (kg/m2) Valid Mis sing ,27 26, ,00 25, ,837 4, ,00 23, ,00 25, ,00 28,9811 Περιγραφικά στοιχεία για την ηλικία και το Δείκτη Μάζας Σώματος (BMI) σε δείγμα ενηλίκων ανδρών και γυναικών. Correlations Age of Subjects Body Mass Index (kg/m2) Age of Subjects Pears on Correlation Sig. (2-tailed) 1,294**,000 N Body Mass Index (kg/m2) Pears on Correlation,294** 1 Sig. (2-tailed) N, **. Correlation is s ignificant at the 0.01 level (2-tailed). Υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ Δείκτη Μάζας Σώματος (BMI) και ηλικίας, ενηλίκων ανδρών και γυναικών. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 80
81 Παράδειγμα, απλή γραμμική παλινδρόμηση Model 1 (Cons tant) Age of Subjects Uns tandardized Coefficients a. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Coefficients a Standardized Coefficients 95% Confidence Interval for B B Std. Error Beta t Sig. Lower Bound Upper Bound 22,003,269 81,646,000 21,474 22,531,096,006,294 16,811,000,085,107 Το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι Υ(ΒΜΙ) = 22, ,096 * Ηλικία Η συσχέτιση της ηλικίας με τον ΒΜΙ είναι στατιστικά σημαντική (p-value < 0,001) στον πληθυσμό της μελέτης. Για κάθε έτος αύξηση στην ηλικία (Χ) ο δείκτης μάζας σώματος (Υ) αυξάνει κατά 0,096 kg/m 2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 81
82 ANOVA και R 2 Model 1 Regress ion Res idual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 5263, , ,595,000 a 55722, , , a. Predictors: (Constant), Age of Subjects b. Dependent Variable: Body Mass Index (kg/m2) Model 1 Model Summary b Adjus ted Std. Error of Durbi n- R R Square R Square the Estimate Watson,294 a,086,086 4,31555,878 a. Predictors: (Cons tant), Age of Subjects b. Dependent Variabl e: Body Mass Index (kg/m 2) Η ηλικία έχει μικρή ερμηνευτική ικανότητα για το ΒΜΙ: R 2 = 0,086 = 8,6%, αλλά στατιστικά σημαντική (p-value<0,001) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 82
83 Έλεγχοι καταλληλότητας του μοντέλου Ένδειξη για κανονική κατανομή των σφαλμάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 83
84 Έλεγχοι καταλληλότητας του μοντέλου Ένδειξη για ομοσκεδαστικότητα των σφαλμάτων Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 84
85 Συντελεστής συσχέτισης ή απλή γραμμική παλινδρόμηση; Σχέση μεταξύ δύο ποσοτικών μεταβλητών Η διάκριση μεταξύ συσχέτισης και παλινδρόμησης (εξάρτησης) είναι περισσότερο εννοιολογική και λιγότερο στατιστική Εάν μας ενδιαφέρει η ένταση της σχέσης των δύο μεταβλητών, αρκεί ο συντελεστής συσχέτισης Εάν μας ενδιαφέρει η μελέτη της εξάρτησης της μιας μεταβλητής από την άλλη (εξαρτημένη μεταβλητή-ανεξάρτητη μεταβλητή) τότε επιλέγουμε την απλή γραμμική παλινδρόμηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 85
86 Συντελεστής συσχέτισης ή απλή γραμμική παλινδρόμηση; ˆ 1 n i=1 {(Y n i i=1 - Y)(X (X i - i X) - 2 X)} r SD SD Y X Στην πράξη ο συντελεστής συσχέτισης r και ο συντελεστής β 1 της απλής γραμμικής παλινδρόμησης απαντούν στο ίδιο ερευνητικό ερώτημα Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 86
87 Παράδειγμα Έστω ότι διερευνάται η εξάρτηση της θνησιμότητας από τροχαία ατυχήματα (Υ) σε διάφορες χώρες από 2 μεταβλητές: Χ 1 : αριθμός αυτοκινήτων ανά κάτοικο του γενικού πληθυσμού Χ 2 : πυκνότητα πληθυσμού ανά τετραγωνικό χλμ Μπορούμε να εφαρμόσουμε διαδοχικά δύο απλές γραμμικές εξαρτήσεις Στην πρώτη η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η Χ 1 Στην δεύτερη η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι η Χ 2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 87
88 (συν.) Αν οι δύο ανεξάρτητες μεταβλητές είναι συσχετισμένες; Π.χ. η Υ μπορεί να εξαρτάται μόνο από τη Χ 1 και όχι από τη Χ 2, αλλά η Χ 1 και η Χ 2 συσχετίζονται μεταξύ τους Θα προκύψει (έμμεση) εξάρτηση της Υ από τη Χ 2 (συγχυτικός παράγοντας) Στο παράδειγμά μας η θνησιμότητα από τροχαία ατυχήματα εξαρτάται από τον αναλογικό αριθμό αυτοκινήτων, ο οποίος συσχετίζεται θετικά με την πυκνότητα πληθυσμού Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 88
89 (συν.) Ερώτηση: Υπάρχει τρόπος να διερευνήσουμε την εξάρτηση της εξαρτημένης μεταβλητής με μία ανεξάρτητη μεταβλητή, χωρίς να επηρεάζεται η σχέση αυτή από άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές; Απάντηση: Η πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 89
90 Πολλαπλή γραμμική εξάρτηση (Multiple linear regression) Στην πολλαπλή γραμμική εξάρτηση διερευνάται η γραμμική σχέση μιας εξαρτημένης μεταβλητής με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές. Συγκεκριμένα, μελετάται η γραμμική σχέση μιας εξαρτημένης μεταβλητής με καθεμία ανεξάρτητη μεταβλητή, χωρίς να επηρεάζεται από τις σχέσεις αυτών με τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές. Για αυτό λέμε ότι «ελέγχονται» οι επιδράσεις των υπόλοιπων μεταβλητών Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 90
91 Πολλαπλή γραμμική εξάρτηση (Multiple linear regression) Έτσι, στο προηγούμενο παράδειγμά μας, μπορούμε να διερευνήσουμε τη γραμμική σχέση μεταξύ της θνησιμότητας από τροχαία ατυχήματα με τον αναλογικό αριθμό αυτοκινήτων, ελέγχοντας γιά την πυκνότητα του πληθυσμού Και το αντίστροφο, δηλαδή να μελετήσουμε τη γραμμική σχέση μεταξύ της θνησιμότητας από τροχαία ατυχήματα με την πυκνότητα του πληθυσμού, ελέγχοντας για τον αναλογικό αριθμό αυτοκινήτων Αυτό γίνεται πραγματοποιώντας μια πολλαπλή γραμμική εξάρτηση, που περιέχει και τη Χ1 και τη Χ2 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 91
92 Παράδειγμα Σε μελέτη για τη διερεύνηση της επίδρασης του μολύβδου στην σωματομετρική ανάπτυξη των παιδιών, μελετήθηκαν παιδιά σχολικής ηλικίας (μεταξύ 6 και 10 ετών), από τρείς περιοχές: Λαύριο, Ελευσίνα και Λουτράκι. Το συνολικό δείγμα αποτελείται από 522 παιδιά, 274 αγόρια και 248 κορίτσια ηλικίας 6-9 χρονών. Μέρος των δεδομένων παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί (Kafourou et al, Archives of Environmental health, 1997; 52: ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 92
93 Πίνακας Κωδικός Πόλη Ηλικία Ανάστημα Μόλυβδος Ανάστημα (έτη) πατέρα (cm) ( g/ml) παιδιού (cm) Για την πόλη 1 σημαίνει Λουτράκι, 2 Λαύριο και 3 Ελευσίνα. = Eλλείπουσες τιμές (missing values) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 93
94 Πολλαπλή γραμμική εξάρτηση (Multiple linear regression) Έστω Υ η εξαρτημένη μεταβλητή που μας ενδιαφέρει. Έστω Χ 1, Χ 2,, Χ p αντιπροσωπεύουν p ανεξάρτητες μεταβλητές. Για παράδειγμα στα δεδομένα του μολύβδου: Εξαρτημένη μεταβλητή το ύψος του παιδιού (Υ) Ανεξάρτητες μεταβλητές: 1. οι τιμές του μολύβδου (Χ 1 ), 2. το ύψος του πατέρα (Χ 2 ), 3. το επίπεδο μόρφωσης του πατέρα (Χ 3 ) και 4. η ηλικία του παιδιού (Χ 4 ). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 94
95 (συν.) Τότε, κατά αντιστοιχία με την απλή γραμμική εξάρτηση, το μοντέλο θα μπορούσε να γραφεί ως: Yˆi =E(Y i Χ 1i,Χ 2i,, Χ pi )=β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i + +β p X pi ή ισοδύναμα Υ i = β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i + +β p X pi +ε i = όπου ε i συμβολίζουν πάλι τα υπόλοιπα (σφάλματα). Yˆi +ε i Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 95
96 (συν.) Όπως και στην απλή γραμμική εξάρτηση ο σκοπός είναι να εκτιμηθούν οι παράμετροι β i του μοντέλου από το δείγμα: Ŷ i = ˆ ˆ X 0 1 1i ˆ X Τα παρατηρηθέντα υπόλοιπα υπολογίζονται αντίστοιχα ως: 2 2i... ˆ X p pi ˆ + ˆ X + ˆ X...+ ˆ i (Yi - Ŷ i) = [Yi - ( o 1 1i 2 2i pxpi)] Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 96
97 Προϋποθέσεις Οι προϋποθέσεις της πολλαπλής γραμμικής εξάρτησης είναι αντίστοιχες της απλής γραμμικής εξάρτησης. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 97
98 Ανεξάρτητες μεταβλητές Στην πολλαπλή γραμμική εξάρτηση οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν είναι απαραίτητο να είναι ποσοτικές μεταβλητές. Ποιοτικές μεταβλητές, όπως το φύλο ή το επάγγελμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν ανεξάρτητες μεταβλητές. Όταν μια ποιοτική μεταβλητή έχει μόνο δύο επίπεδα εισάγεται στο μοντέλο ως έχει. Π.χ. το φύλο: άνδρας (κωδικοποιημένο ως 1) και γυναίκα (κωδικοποιημένο ως 2) Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 98
99 Ψευδομεταβλητές Όταν μια ποιοτική μεταβλητή έχει περισσότερα των δύο επιπέδων απαιτείται η δημιουργία ψευδομεταβλητών (dummy variables or indicator variables). Π.χ. επάγγελμα πατέρα, στα δεδομένα του μολύβδου, κωδικοποιημένο ως: ανειδίκευτος:1, ειδικευμένος:2, πανεπιστημιακής εκπαίδευσης:3 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 99
100 (συν.) Στο παράδειγμα του επαγγέλματος θα μπορούσαν να δημιουργηθούν 3 ψευδομεταβλητές: μία για τους ανειδίκευτους (job1), μία για τους ειδικευμένους (job2) και μια για τους έχοντες πανεπιστημιακή μόρφωση (job3). Η καθεμία από αυτές παίρνει την τιμή 1 όταν το άτομο ανήκει στη συγκεκριμένη κατηγορία (επάγγελμα) και 0 στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 100
101 (συν.) Η ψευδομεταβλητή job1, για παράδειγμα, που αναφέρεται στους ανειδίκευτους, θα έχει: την τιμή 1 για όλους τους ανειδίκευτους και την τιμή 0 για όλους τους υπόλοιπους. Στο μοντέλο της γραμμικής εξάρτησης εισάγονται τόσες ψευδομεταβλητές όσος και ο αριθμός των επιπέδων της αρχικής ποιοτικής μεταβλητής μείον 1. Άρα, στο παράδειγμα του επαγγέλματος του πατέρα θα εισαχθούν στο μοντέλο 2 ψευδομεταβλητές (όποιες κρίνεται σκόπιμο). Η ψευδομεταβλητή πού δεν εισάγεται στο μοντέλο αποτελεί το επίπεδο αναφοράς (reference level/category). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 101
102 Επάγ/μα πατ. job1 job2 job Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 102
103 Επάγ/μα πατ. job1 job2 Job Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 103
104 Ερμηνεία των μερικών συντελεστών εξάρτησης Οι συντελεστές πολλαπλής εξάρτησης ονομάζονται μερικοί συντελεστές εξάρτησης (partial regression coefficients). Ο συντελεστής μερικής εξάρτησης εκφράζει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής όταν η αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή μεταβληθεί κατά μία μονάδα, διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 104
105 (συν.) Όταν πρόκειται για ποιοτικές μεταβλητές με περισσότερα των δύο επιπέδων αυτό μεταφράζεται ως η μέση διαφορά στην εξαρτημένη μεταβλητή για άτομα της κατηγορίας στην οποία αναφέρεται η αντίστοιχη ψευδομεταβλητή από τα άτομα που ανήκουν στην κατηγορία αναφοράς. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 105
106 Εφαρμογή Στον πίνακα δίνονται τα αποτελέσματα πολλαπλής γραμμικής εξάρτησης με εξαρτημένη μεταβλητή το ανάστημα του παιδιού και ανεξάρτητες την ηλικία του, το επάγγελμα του πατέρα, εισάγοντας στο μοντέλο τις ψευδομεταβλητές job2 (ειδικευμένοι) και job3 (πανεπιστημιακής μόρφωσης), τα επίπεδα μολύβδου (μετά από λογαριθμικό μετασχηματισμό) και το φύλο (άνδρες:1, γυναίκες:2). Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 106
107 (συν.) Model Coeffs. SE t Sig. Constant 88,383 2,264 39,034 0,000 AGE 4,645 0,284 16,351 0,000 JOB2 2,469 0,493 5,004 0,000 JOB3 2,437 0,980 2,488 0,013 LLEAD -0,737 0,314-2,348 0,019 SEX -0,669 0,442-1,513 0,131 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 107
108 (συν.) Οπότε, με βάση τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον προηγούμενο πίνακα, το γραμμικό μοντέλο εξάρτησης μπορεί να γραφεί ως: Ŷ i 88, ,645*AGE + 2,469*JOB ,437*JOB3-0,737*LLEAD 0,669*SEX Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 108
109 (συν.) Ο μερικός συντελεστής εξάρτησης για την ηλικία είναι 4,645. Αυτό μπορεί να ερμηνευτεί ως: αύξηση της ηλικίας κατά ένα έτος σχετίζεται με μέση αύξηση του ύψους των παιδιών κατά 4,645 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Οπότε, αύξηση της ηλικίας κατά τρία έτη τι αποτέλεσμα θα έχει; μέση αύξηση του ύψους των παιδιών κατά 3 * 4,645 13,9 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 109
110 (συν.) Ο μερικός συντελεστής εξάρτησης για το φύλο είναι και ερμηνεύεται ως εξής: Τα κορίτσια (κωδικός: 2) έχουν κατά μέσο cm χαμηλότερο ανάστημα από τα αγόρια (κωδικός: 1), διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 110
111 (συν.) Ο μερικός συντελεστής εξάρτησης για τη ψευδομεταβλητή job2 είναι 2,469. Αυτό θα μπορούσε να ερμηνευτεί ως: τα παιδιά των ειδικευμένων έχουν κατά μέσο όρο υψηλότερο ανάστημα από τα παιδιά των ανειδίκευτων (κατηγορία αναφοράς) κατά 2,469 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 111
112 (συν.) Αντίστοιχα, τα παιδιά των γονιών με πανεπιστημιακή μόρφωση έχουν κατά μέσο όρο υψηλότερο ανάστημα από τα παιδιά των ανειδίκευτων (κατηγορία αναφοράς) κατά 2,437 cm, διατηρώντας τις υπόλοιπες μεταβλητές του μοντέλου σταθερές. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 112
113 (συν.) Στο παραπάνω παράδειγμα, οι συντελεστές μερικής εξάρτησης τόσο της ψευδομεταβλητής job2 όσο και της job3 είναι στατιστικά σημαντικοί. Αν όμως παρατηρήσουμε προσεκτικότερα, θα δούμε ότι οι δύο συντελεστές δεν φαίνεται να διαφέρουν μεταξύ τους, υποδεικνύοντας ότι το ύψος των παιδιών των ειδικευμένων δεν φαίνεται να διαφέρει από το ύψος των παιδιών των γονέων με πανεπιστημιακή μόρφωση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 113
114 Έλεγχος υποθέσεων Ο έλεγχος για την σημαντικότητα των μερικών συντελεστών εξάρτησης γίνεται, παρόμοια με τον αντίστοιχο έλεγχο στην απλή γραμμική εξάρτηση, με το t τεστ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, όλοι οι συντελεστές μερικής εξάρτησης είναι στατιστικά σημαντικοί (p-value<0.05), εκτός του φύλου. Τα 95% Δ.Ε. κάθε συντελεστή υπολογίζονται παρόμοια με την απλή γραμμική εξάρτηση. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 114
115 Προβλέψεις Στο προηγούμενο παράδειγμα να υπολογιστεί το ανάστημα ενός 7-χρονου αγοριού, με πατέρα απόφοιτο Γυμνασίου, εκτεθειμένο σε επίπεδα μολύβδου 2,3 μg/m 3. Ύψος= 88,383+4,645*AGE+2,469*JOB2+ 2,437*JOB3-0,737*LLEAD-0,669*SEX Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 115
116 (συν.) Άρα: Ύψος = 88,383+4,645*7+2,469*0+ 2,437*0-0,737*0,833-0,669*1= = 119,6 cm Έτσι, ένα μέσο αγόρι με τα χαρακτηριστικά που μας ζητήθηκε θα έχει προβλεπόμενο μέσο ύψος 119,6 cm. Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 116
117 (συν.) Πόσο θα διαφέρει το ύψος του αγοριού που μόλις υπολογίσαμε από αυτό ενός κοριτσιού 6 ετών, με πατέρα απόφοιτο ΑΕΙ, εκτεθειμένο σε επίπεδα μολύβδου 1,4 μg/m 3 ; Ύψος = 88,383+4,645*6+2,469*0+ 2,437*1-0,737*0,336-0,669*2= = 117,1 cm Έτσι το αγόρι θα είναι ψηλότερο κατά μέσο όρο κατά 119,6-117,1=2,5 cm Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 117
Εισαγωγή στη Βιοστατιστική
Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Οκτώβριος Νοέµβριος 2013 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 3 Περιεχόµενα o Ορισµός της Στατιστικής o Περιγραφική στατιστική
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 6: Συσχέτιση και παλινδρόμηση εμπειρική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 11. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις:
Άσκηση. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις: X X X X Y 7 50 6 7 6 6 96 7 0 5 55 9 5 59 6 8 8 5 0 59 7 7 8 8 5 5 0 7 69 9 6 6 7 6 9 5 7 6 8 5 6 69 8 0 50 66 0 0 50 8 59 76 8 7 60 7 87 6 5 7 88 9 8 50 0 5
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Βιοστατιστική
Εισαγωγή στη Βιοστατιστική Π.Μ.Σ.: Έρευνα στη Γυναικεία Αναπαραγωγή Επαναληπτικό μάθημα: Νοέμβριος 2017 Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD Αλέξανδρος Γρυπάρης, PhD 1 Βασικές έννοιες Πληθυσμός - δείγμα Κεντρική ιδέα
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών
Διαβάστε περισσότεραΜενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 6 ο
Παράδειγμα 1 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πωλήσεις (ζήτηση) ενός προϊόντος Υ (σε κιλά) από το delicatessen μιας περιοχής και τις αντίστοιχες τιμές Χ του προϊόντος (σε ευρώ ανά κιλό) για μια ορισμένη χρονική
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;
Διαβάστε περισσότεραΤο στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να. μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών. Η σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές που μελετώνται
Κεφάλαιο 10 Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Το στατιστικό κριτήριο που μας επιτρέπει να προβλέψουμε τις τιμές μιας μεταβλητής από τις τιμές μιας ή πολλών άλλων γνωστών μεταβλητών Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΑναλυτική Στατιστική
Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων
Διαβάστε περισσότεραΠροϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.
. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης
Διαβάστε περισσότεραΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές
Διαβάστε περισσότερα2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος
ΤΜΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΜΑΤΩΝ Μάθηµα εύτερο-τρίτο- Βασικά Ζητήµατα στο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Ακαδηµαϊκό Έτος - Στο παρόν µάθηµα δίνεται µε κάποια απλά παραδείγµατα-ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΜονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων
Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης
Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)
ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή
Απλή Ευθύγραµµη Συµµεταβολή Επιστηµονική Επιµέλεια ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας, Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Εισαγωγή Ανάλυση Παλινδρόµησης και Συσχέτιση Απλή
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2
013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότερα5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο
5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)
Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση II
. Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ
Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΛογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS
Λογαριθμικά Γραμμικά Μοντέλα Poisson Παλινδρόμηση Παράδειγμα στο SPSS Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει θανάτους από καρδιακή ανεπάρκεια ανάμεσα σε άνδρες γιατρούς οι οποίοι έχουν κατηγοριοποιηθεί κατά ηλικία
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΛυμένες Ασκήσεις για το μάθημα:
Λυμένες Ασκήσεις για το μάθημα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ Τμήμα: ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠροσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού
Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος
Διαβάστε περισσότεραΑ. Μπατσίδης Πρόχειρες βοηθητικές διδακτικές σημειώσεις
Α. Μπατσίδης Πρόχειρες βοηθητικές διδακτικές σημειώσεις Οι παρούσες σημειώσεις επιχειρούν να αποτελέσουν μια βοήθεια τόσο στην παρακολούθηση της διάλεξης όσο και στη μελέτη κάποιων εκ των θεμάτων της Γραμμικής
Διαβάστε περισσότερα10. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
0. ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 0. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Συχνά στην πράξη το μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι ανεπαρκές για την περιγραφή της μεταβλητότητας που υπάρχει στην εξαρτημένη
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)
Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ
Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras
Διαβάστε περισσότεραΕλένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων
Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολλαπλή Παλινδρόμηση Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Ανάλυση Δεδομένων (Εργαστήριο) Διαφάνεια
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 7. Παλινδρόµηση
ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 7. Παλινδρόµηση Γενικά Επέκταση της έννοιας της συσχέτισης: Πώς µπορούµε να προβλέπουµε τη µια µεταβλητή από την άλλη; Απλή παλινδρόµηση (simple regression): Κατασκευή µοντέλου πρόβλεψης
Διαβάστε περισσότερα+ ε βελτιώνει ουσιαστικά το προηγούμενο (β 3 = 0;) 2. Εξετάστε ποιο από τα παρακάτω τρία μοντέλα:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ, 6-5-0 Άσκηση 8. Δίνονται οι παρακάτω 0 παρατηρήσεις (πίνακας Α) με βάση τις οποίες θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό μοντέλο για την πρόβλεψη της Υ μέσω των ανεξάρτητων μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΙΑTΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΠΕΡΜΑΤΟΣ Έλενα Κριτσέλη, MPH PhD Επιστημονικός Συνεργάτης Επιδημιολόγος Χρόνιων Παθήσεων, Α Πανεπιστημιακή Παιδιατρική
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο
Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X
Διαβάστε περισσότεραΗ βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή
Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΕΜ264: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε μελέτη της επίδρασης γεωργικών χημικών στην προσρόφηση ιζημάτων και εδάφους, δίνονται στον πιο κάτω πίνακα 13 δεδομένα για το δείκτη
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε
Διαβάστε περισσότεραΓ. Πειραματισμός Βιομετρία
Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.
Διαβάστε περισσότεραΕρμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα
Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία των επιστημών του Ανθρώπου : Στατιστική Εργαστήριο 6 :
Μεθοδολογία των επιστημών του Ανθρώπου : Στατιστική Εργαστήριο 6 : 1. Να χρησιμοποιηθεί το αρχείο gssft.sav για να γίνει έλεγχος της υπόθεσης ότι στους εργαζόμενους με πλήρη απασχόληση η τιμή του μέσου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης
Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια
Διαβάστε περισσότερα1. Θα χρησιμοποιηθεί το αρχείο Ο γονικός έλεγχος στην εφηβική ηλικία. Στο. i. Με ποιες μεταβλητές που αφορούν σε σχέσεις εφήβων με τους γονείς τους
Μεθοδολογία των επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ι Εργαστήριο 10 1. Θα χρησιμοποιηθεί το αρχείο Ο γονικός έλεγχος στην εφηβική ηλικία. Στο πλαίσιο μιας έρευνας για τις σχέσεις μεταξύ των εφήβων και των
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Εξετάσεων. Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη. Διοίκηση των Επιχειρήσεων
Ασκήσεις Εξετάσεων Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Διοίκηση των Επιχειρήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1: Έλεγχος για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Η αντικαπνιστική νομοθεσία υποχρεώνει τους καπνιστές που εργάζονται σε
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989
Διαβάστε περισσότεραΑ Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο
Α Ν Ω Τ Α Τ Ο Σ Υ Μ Β Ο Υ Λ Ι Ο Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Π Ρ Ο Σ Ω Π Ι Κ Ο Υ Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Ο Λ Ο Γ Ι Ο «Περιγραφική & Επαγωγική Στατιστική» 1. Πάνω από το 3 ο τεταρτημόριο ενός δείγματος βρίσκεται το: α) 15%
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Επίλυση: Oneway Anova Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.
Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης
Μοντέλα Πολλαπλής Παλινδρόμησης Πέτρος Ρούσσος Πρόγραμμα Ψυχολογίας, ΦΠΨ, ΕΚΠΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1 Ορολογία Προβλεπτικές μεταβλητές ή παράγοντες (predictors) Μεταβλητή κριτήριο (criterion) Απλή και πολλαπλή παλινδρόμηση
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία της Έρευνας και Εφαρμοσμένη Στατιστική
Μεθοδολογία της Έρευνας και Εφαρμοσμένη Στατιστική Μη παραμετρικοί στατιστικοί έλεγχοι Καθηγητής ΔΠΘ Κων/νος Τσαγκαράκης Δευτέρα 6 Μαρτίου 13:00-16:00 Ώρα για εξ αποστάσεως συνεργασία Τρίτη 7 Μαρτίου 12:00-14:00
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ΤΡΟΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΥ Γραφική παράσταση των υπολοίπων (ή των μαθητικοποιημένων υπολοίπων) ως προς την
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)
ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση συνεχών μεταβλητών. Γεωργία Σαλαντή. Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας
Συσχέτιση Παλινδρόμηση Ανάλυση συνεχών μεταβλητών Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας Εργαστήριο υγιεινής και Επιδημιολογίας Περιεχόμενα Συσχέτιση μεταξύ δύο συνεχών μεταβλητών Παλινδρόμηση μεταξύ Μίας συνεχούς μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που ακολουθούν την κανονική κατανομή (t-test για εξαρτημένα δείγματα)
Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που ακολουθούν την κανονική κατανομή (t-test για εξαρτημένα δείγματα) Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο σε ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)
4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών.
Διαβάστε περισσότερασ = και σ = 4 αντιστοίχως. Τότε θα ισχύει
Θέματα ομάδας A 1. Σε κάποιο πείραμα τύχης μία τυχαία μεταβλητή λαμβάνει τις τιμές = 10 και = 10. Τότε η μέση τιμή x της θα είναι α. 10 β. 10 γ.,5 10 δ. 19,5 10 1= 10, = 10,. Δυο τυχαίες μεταβλητές, ακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )
Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.
Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει δύο ανεξάρτητων παραγόντων (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς περισσότερους
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ- ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Σηµειώσεις: Θωµόπουλος Γιώργος Ρογκάκος Γιώργος Καθηγητής: Κουνετάς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικές Υποθέσεις
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Στατιστικές Υποθέσεις Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Εισαγωγή Ίσως το σπουδαιότερο μέρος της Στατιστικής επιστήμης. Εξαγωγή συμπερασμάτων για τις τιμές των παραμέτρων
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α.-Δ.Π.Θ.
Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο εξαρτημένων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός επαναλαμβανόμενου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για εξαρτημένα δείγματα ως
Διαβάστε περισσότεραΣυσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων
Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100
Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα
Διαβάστε περισσότεραΣ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν
Διαβάστε περισσότεραΣτόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)
ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. Πληθυσμός (Χ i1 )
Άσκηση Μία αντιπροσωπεία πωλήσεως αυτοκινήτων διαθέτει καταστήματα σε 5 διαφορετικές πόλεις. Ο επόμενος πίνακας δίνει τις πωλήσεις Υ i του τελευταίου μήνα καθώς επίσης και τον πληθυσμό Χ i και το οικογενειακό
Διαβάστε περισσότεραΜέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)
Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΔιάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής
Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών
(ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Διαβάστε περισσότερα----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------
----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω
Διαβάστε περισσότερα