Skripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. 1: Algjebra Elementare Edicioni i 3 të

Transcript

1 Skripta e Kursit: Algjebra Elementare, Kalkulusi dhe Matematika Financiare, dhe Statistika Përshkruese Vëll. : Algjebra Elementare Edicioni i të nga Prof. Dr. Dietrich Ohse përkthyer nga. Mas. sc. Armend Sh. Shabani ProCredit Academy GmbH Hammelbacher Strasse 6658 Fürth-Weschnitz Phone ProCredit Academy GmbH

2

3 P a r a t h ë n i e F a q e III Parathënie Matematika luan rol qendror në banka sepse të gjitha veprimtaritë bankare varen nga kalkulimet e sakta dhe nga metodat e definuara në mënyrë të qartë. Kështu që nuk është as për së afërmi e mjaftueshme që të mbështetemi në kalkulatorin, kompjuterin ose serverët e rrjetës sonë. Ne duhet të kuptojmë proceset dhe operacionet që janë fundamentale për të gjitha lëmitë e bizneseve të bankave tona. Për këtë arsye, është marrë vendimi që në të gjitha bankat dhe akademitë që operojnë nga ProCredit Holding, të organizohet Programi i Trajnimit në Matematikë. Kjo përmbledhje formon bazën për të tri kurset. Materiali i kursit është i ndarë në tre vëllime: Vëll. përmban elementet kyçe të algjebrës. Besimi në aplikimin e këtyre parimeve është esencial. Numrat, variablat, njehsimet, shprehjet, ekuacionet dhe funksionet elementare janë komponentet kryesore të matematikës dhe aplikimit të saj. Një bankë nuk mund të lejoj të tregojë dobësi në ndonjërën nga këto lëmi. Materia që shtjellohet në këtë vëllim, përfshinë materialet e testit të Matematikës, i cili do të organizohet në baza të rregullta që nga Janari i vitit 00. Vëll. adreson disa tema më të avansuara me theks të veçant në aplikimin në banka. Në veçanti, ky vëllim përmbledh funksionet që përdoren në sektorin financiar, si edhe temat kryesore të matematikës financiare. Në veçanti, janë diskutuar format e ndryshme të interesit, si dhe njehsimet që kanë të bëjnë me qarkullimin e të hollave kesh. Përmbajtja e këtij vëllimi duhet të kuptohet për të përfunduar testin e Matematikës. Vëll. është përmbledhje e kursit që do të mbahet në Akademinë e Procreditit në Fürth. Qëllimi i tij është të ofrojë një prezentim të shkurt të Kalkulusit, me synimin që të kuptohet aplikimi i tij në analizën margjinale. Pjesa e dytë e këtij vëllimi përmban disa tema të zgjedhura nga Statistika përshkruese e shpërndarjeve një dhe dy dimensionale.

4 IV F a q e P a r a t h ë n i e Në bazë të ndarjes në tre vëllime, edhe materiali prezentohet në tre përmbledhje, të cilat mund të përdoren në mënyrë të pavarur. Sigurisht, bazat e algjebrës janë aq të rëndësishme sa që të kuptuarit e përdorimit të ekuacioneve dhe funksioneve, janë kërkesa të domosdoshme për të kuptuar temat e Matematikës dhe të kursit në Fürth. Përmbledhja ka për synim të definojë përmbajtjen e kursit që do të përfshihet gjatë trajnimit. Kështu, formohet platformë të përbashkët edhe për mësimdhënësin e edhe për pjesëmarrësit e kursit. Për vet trajnimin, instruktorët duhet të krijojnë një pamje të përgjithshme për seksionet dhe faqet që do t i përfshijnë në secilin seksion. Skema, që duhet t u jepet pjesëmarrësve mund të duket si në vijim: Blloku # Strukura dhe Temat Faqet Hyrje dhe qëllimet e mësimit 0 Algjebra elementare - Numrat dhe veprimet Thyesat dhe numrat dhjetor Etj. I mbetet trajnerit të përzgjedh seksionet që ai/ajo do të mbulojë, varësisht nga njohuritë paraprake të pjesëmarrsve dhe nga ajo se sa shpejt do të mësojnë ata. Kështu që nuk do të ishte fare e arsyeshme që të japim ndonjë rekomandim të përgjithshëm. Përvoja ka treguar se është më mirë të përfshihen kuptimet elementare më ngadalë por plotësisht, se sa të synohet të paketohet sa më shumë që të jetë e mundur në një kurs të vetëm dhe me të gjitha çmimet. Qëllimi kryesor i përfshirjes së referencave në disa faqe specifike në tekst është që t u mundësohet pjesëmarrësve të shfrytëzojnë Përmbledhjen për studimin e tyre të pavarur. Materia është përgatitur në mënyrë shumë të kujdesshme dhe gjithpërfshirëse, dhe mund të leohet pa ndihmën e trajnerit. Në çdo seksion janë përfshirë shembuj të shumtë për të ilustruar hapat që janë përshkruar. Të gjithë shembujtë e tillë janë shënjuar me viza të dyfishta në të dy anët.

5 P a r a t h ë n i e F a q e V Në fund të çdo seksioni, kemi paraqitur disa ushtrime. Ushtrimet e tilla paraqesin pjesë të domosdoshme të çfarëdo trajnimi në matematikë. Në fakt, kryerja e ushtrimeve është e vetmja mënyrë për të mësuar matematikën. Studentët do të jenë në gjendje që çdoherë të përcjellin instruktorin i cili është i gatshëm për t i motivuar dhe për t i sqaruar pjesëmarrësve. Por kjo është shumë larg nga të deklaruarit se ata do të jenë automatikisht në gjendje që të aplikojnë në mënyrë të pavarur atë që kanë mësuar. Përkundrazi, kjo aftësi vie vetëm përmes ushtrimeve të pavarura. Në libër, pas ushtrimeve paraqitet seksioni i rezultateve, duke u mundësuar studentëve vet-kontrollimin e punës së tyre. Ky seksion përmban vetëm rezultatet përfundimtare, pa ndonjë sqarim se si është arritur deri te ato rezultate. Ne qëllimisht jemi përcaktuar që të mos tregojmë metodën e rekomanduar të zgjidhjes, sepse dëshirojmë të ju inkurajojmë që të shqyrtoni metodat alternative, nëse keni marrë rezultate të pasakta. Çdo kapitull përfundon me Testin e Progresit i dizajnuar për t iu mundësuar studentëve të monitorojnë progresin e tyre. Studentët duhet të krahasojnë rezultatet e tyre me rezultatet e dhëna në seksionin përkatës rezultateve, në fund të kapitullit tjetër. Përmbledhja nuk përmban sqarime të detalizuara për zgjidhjet për Testin e Progresit. Studimi nënkupton leimin e tekstit. Kështu që ne dëshirojmë të ju bindim që ta studioni sërish atë seksion në mënyrë që vet të gjeni rezultatin e saktë. Që të tre përmbledhjet janë përgatitur në një proces diskutimesh dhe përmirësimesh konstante me kolegët Alois Knobloch dhe Mario Kluge, të cilët propozuan shumë përmirësime dhe zgjerime. Përveç kësaj, shumë studentë të mëparshëm, të cilët gjenin gabime në tekst dhe në ushtrime, ndihmuan që teksti të përmirësohet në masë të konsiderueshme. Ne dëshirojmë të ju falemnderojmë të gjithëve, dhe ju inkurajojmë që të ndani përvojat tuaja me ne, duke na shkruar komentet tuaja në adresën: ohse@procredit.com. Ne shpresojmë se ju do të gjeni kënaqësi që të punoni suksesshëm me këtë Përmbledhje.

6 VI F a q e P a r a t h ë n i e

7 P ë r m b a j t j a F a q e VII Përmbajtja. Hyrje.... Gjuha e Matematikës.... Si të aplikojmë Matematikën.... Qëllimet e mësimit Algjebra Elementare.... Numrat..... Numrat dhe veprimet... Ushtrimi..: Numrat dhe veprimet... Rezultatet..: Numrat dhe veprimet..... Thyesat dhe numrat dhjetor... Ushtrimi..: Thyesat dhe numrat dhjetor... 6 Rezultatet..: Thyesat dhe numrat dhjetor Përqindjet... Ushtrimi..: Përqindjet Rezultatet..: Përqindjet Testi i Progresit për Numrat Eksponentët Eksponentët e plotë Ushtrimi..: Eksponentët e plotë Rezultatet..: Eksponentët e plotë Eksponentët Thyesorë Ushtrimi..: Eksponentët thyesorë Rezultatet..: Eksponentët thyesorë... 78

8 VIII F a q e P ë r m b a j t j a.. Rrënjët Rezultatet..: Rrënjët Testi i progresit për Eksponentët Shprehjet Shprehjet e plota... 9 Ushtrimi..: Shprehjet e plota... 0 Rezultatet..: Shprehjet e plota Shprehjet thyesore Ushtrimi..: Shprehjet thyesore... 0 Rezultatet..: Shprehjet thyesore..... Testi i Progresit për Shprehjet.... Rezultatet për Testet e Progresit Rezultatet për Testin e Progresit për Numrat Rezultatet për Testit e Progresit për Eksponentët Rezultatet për Testin e Progresit për Shprehjet Ekuacionet Zbatimi i Barazimeve..... Modelimi me ekuacione..... Zgjidhja... 8 Ushtrimi.: Zbatimi i ekuacioneve... 8 Rezultatet.: Zbatimi i ekuacioneve Testi i Progresit për Zbatimin e ekuacioneve.... Ekuacionet lineare..... Forma normale e ekuacionit linear..... Zgjidhja... 5 Ushtrimi.: Ekuacionet lineare... 9

9 P ë r m b a j t j a F a q e IX Rezultatet.: Ekuacionet lineare Testi i Progresit për Ekuacionet Lineare Ekuacionet Kuadratike Format e ekuacioneve kuadratike Zgjidhja Ushtrimi.: Ekuacionet kuadratike... 6 Rezultatet.: Ekuacionet kuadratike Testi i Progresit për Ekuacionet Kuadratike Rezultatet për Testin e Progresit (TP) Rezultatet për TP Zbatimi i ekuacioneve Rezultatet për TP Ekuacionet lineare Rezultatet për TP Ekuacionet kuadratike Funksionet Elementare Vetitë e funksioneve Karakteristikat e grafikut Funksionet inverse... 8 Ushtrimi.: Vetitë e funksioneve Rezultatet.: Vetitë e funksioneve Testi i Progresit për Vetitë e funksioneve Funksionet lineare Grafiku i funksionit linear Vetitë e funksioneve lineare... 0 Ushtrimi.: Funksionet lineare Rezultatet.: Funksionet lineare Testi i Progresit për "Funksionet Lineare"... 09

10 X F a q e P ë r m b a j t j a. Funksionet kuadratike..... Kompletimi i katrorit..... Grafiku i funksionit kuadratik Vetitë e funksionit kuadratik... Ushtrimi.: Funksionet kuadratike... 6 Rezultatet.: Funksionet kuadratike Testi i Progresit për "Funksionet kuadratike" Rezultatet për Testin e Progresit..... Rezultatet për Testin e Progresit për "Vetitë"..... Rezultatet për TP për "Funksionet lineare " Rezultatet për TP. për "Funksionet kuadratike"... 9 Indeksi...

11 P ë r m b a j t j a F a q e XI Figurat Figura -: Modelimi matematikë... 5 Figura -: Zbatimi i modelimit matematikë... 5 Figura -: Vargu i numrave realë... 5 Figura -: Grafiku i funksionit Figura -: Pikëprerjet e një funksioni Figura -: y = f() nuk është bijektiv, y = g() është bijektiv Figura -: Dy funksione të pasqyruara në drejtëzën Figura -5: Grafikët e drejtëzave Figura -6: Vetitë e funksioneve lineare... 0 Figura -7: Vizatimi i drejtëzës me formën e pikëprerjeve... 0 Figura -8: Grafiku i funksionit kuadratik... 5 Figura -9: Parabola normale... 6 Figura -0: Parabola normale negative... 6 Figura -: Parabola me kulm të transformuar... 7 Figura -: Hapja e parabolës... 8 Figura -: Grafiku i tre parabolave... Figura -: Grafiku për ilustrimin e diskutimit... 5

12 XII F a q e P ë r m b a j t j a Tabelat Tabela.: Përdorimi i kllapave në shprehje... 9 Tabela.: Përqindjet... Tabela.: Njehsimi i shprehjeve... 6 Tabela.: Veprimet me kllapa... 6 Tabela.: Tabela e vlerave të një funksionit Tabela.: Tabela e vlerave të një parabole...

13 P ë r m b a j t j a F a q e XIII

14

15 . G j u h a e M a t e m a t i k ë s F a q e. Hyrje Në këtë kapitull të shkurt prezentues paraqiten disa informata të përgjithshme për matematikën dhe zbatimin e saj. Është e qartë se nuk dëshirojmë ta mësojmë matematikën për ta zotëruar. Ne dëshirojmë të mësojmë të aplikojmë matematikën në problemet reale, me të cilat ballafaqohemi në jetën tonë të përditshme në bankat tona.. Hyrje. Gjuha e matematikës. Si ta aplikojmë matematikën. Qëllimet e mësimit Në mënyrë që të përdorim matematikën si mjet, duhet që problemet tona të përditshme t i bëjmë të kuptueshme për matematikanët. Kjo nënkupton se duhet të mësojmë gjuhën e tyre, për të komunikuar problemet tona. Mbase mund të duket e çuditshme ta klasifikojmë matematikën si gjuhë, por posa të pajtohemi se matematika e ka fjalorin dhe gramatikën e vet dhe të shqyrtojmë përvojën praktike të të mësuarit dhe zbatuarit të matematikës, ngjashmëritë bëhen shumë evidente.

16 F a q e. H y r j e Në seksionin e dytë dëshirojmë të tregojmë aplikimin e matematikës. Përkthimi dhe përdorimi i veglave të qëlluara nga veglëria e matematikës varet shumë nga përvoja. E vetmja mënyrë për t u përmirësuar është që këta hapa të praktikohen sa më shpesh që të jetë e mundur. Përfundimisht, dëshirojmë të theksojmë qëllimet e kësaj përmbledhje dhe kurseve në algjebrën elementare dhe funksionet. Ne jemi të bindur se çdo person që punon në ndonjë bankë ose në përgjithësi në sektorin financiar duhet të ketë bazë solide në disa lëmi fundamentale të matematikës. Kjo përmbledhje i grupon këto lëmi dhe qëllimet përkatëse të mësimit në pesë kapituj: Algjebra Elementare, Ekuacionet, Funksionet, Vlera Kohore e Parasë, dhe Statistika.. Gjuha e Matematikës Secili që ka mësuar ndonjë gjuhë të huaj e di se të mësuarit është proces me faza të ndryshme dhe vështirësi. Në fillim, duhet të mësojmë fjalorin, që do të thotë se duhet të familjarizohemi me fjalët dhe kuptimet e tyre. Pastaj, kur të mësojmë fjalë të mjaftueshme, ne fillojmë t i lidhim ato për të formuar fjali, që në fakt nënkupton se ne mësojmë të zbatojmë disa rregulla të caktuara. Këto rregulla kanë evoluar me kohë, në bazë të strukturës së përgjithshme. Karakteri i tyre normativ siguron se konstruktimi i fjalëve = fjalive kuptohet nga të gjithë. Kështu, këto rregulla duhet të pranohen nga të gjithë. Dhe përfundimisht kemi mësuar se si ta përdorim gjuhën në mënyrë aktive. Çdokush që ka mësuar një gjuhë si lëndë teorike në shkollë, ku fjalori dhe gramatika janë mësuar deri në detelet më to vogla, nga përvoja e di se kjo nuk është as për së afërmi e mjaftueshme për të qenë në gjendje për të komunikuar në mënyrë adekuate. Kështu pra, duhet të mësojmë se si të aplikojmë gjuhën në mënyrë aktive. Në gjuhësi, termat që përdoren për të përshkruar tre fazat janë: Semantika = studimi i kuptimit të fjalëve Semantika si nëndegë e gjuhësisë (semantika gjuhësore) studion kuptimin e shenjave gjuhësore. Gramatika = studimi se si fjalët lidhen për të formuar fjalitë Në kuptimin më të ngushtë, gramatika ose morfosintaksa është të studiuarit e strukturës së fjalëve (morfologjia) dhe të fjalive (sintaksa).

17 . G j u h a e M a t e m a t i k ë s F a q e Pragmatika = studimi se si kuptohet gjuha Në gjuhësi, kjo paraqet studimin dhe përdorimin e gjuhës në situata të ndyshme. Matematika gjithashtu është një gjuhë, dhe në fakt në shoqërinë moderne është një gjuhë që po bëhet gjithnjë e më tepër e rëndësishme. Unë nuk mund ta përdorë atë për të shkruar poezi ose prozë, për të mbajtur fjalime, ose për të komentuar ndonjë ngjarje sportive, por mund ta përdorë atë për të përshkruar disa marrëdhënie, për të karakterizuar strukturat ose për të krijuar modele të fenomeneve reale. Nëse përdorimi i matematikës është i mundshëm e madje edhe i domosdoshëm, atëherë rrjedhë se matematika jo vetëm që është një gjuhë ndërkombëtare që kuptohet në gjitha vendet e botës, por është në të njëjtën kohë një mjet i fuqishëm për të na mundësuar përshkrimin e marrëdhënieve të shkallës më të lartë të kompleksitetit. Në fakt, matematika është e strukturuar në të njëjtën mënyrë si edhe ndonjë gjuhë që flitet. Ajo përbëhet nga: Numrat, simbolet dhe operatorët Këto shenja formojnë fjalorin e matematikës. Duhet të dijmë kuptimin e tyre në mënyrë që të kuptojmë substancën e asaj çka ato shprehin. Shprehjet, veprimet, rregulalt dhe algoritmet Këto formohen duke kombinuar elementet themelore dhe paraqesin fjalitë e matematikës. Gramatika është bashkësi normative e rregullave të cilat sigurojnë se të gjithë e kuptojnë matematikën në të njëjtën mënyrë. Aplikimi në formë të kalkulimeve, grafikëve, modeleve, teoremave Këto forma përdoren për të komunikuar dhe për të apikuar matematikën. Pikërisht përmes tyre, praktikanti do të matë frytshmërinë e gjuhës së matematikës. Kur ne mësojmë një gjuhë, në përgjithësi ne kemi qëllimet për të. Për shembull, ne mësojmë gjuhën Angleze për të qenë në gjendje të komunikojmë me sa më shumë njerëz në botë, ose për shkak se është gjuhë zyrtare për kompanin në të cilën punojmë, ose sepse dëshirojmë të leojmë literaturën Angleze në origjinal. Por çka do të ishte qëllimi i të mësuarit të matematikës? Pse matematika është e vetmja lëndë që mësohet në sistemet shkollore në çdo vend të botës? Cilat janë përparësitë e matematikës si gjuhë, le të themi ndaj gjuhës Latine, ose ndonjë gjuhe aktive moderne? Le të përpiqemi të përgjigjemi në pyetjet e mësipërme.

18 F a q e. H y r j e. Si të aplikojmë Matematikën Aplikimi i matematikës në përgjithësi nënkupton: përdorimin e instrumenteve matematike që posedojmë për të përshkruar, sqaruar dhe zgjidhur problemet reale. Para se të përshkruajmë procedurën elementare për aplikimin e matematikës, le të shqyrtojmë dy shembuj të thjeshtë. Shembulli : Shishja dhe kapaku i saj së bashku peshojnë 0g. Pesha e shishes është për 00g më e madhe se e kapakut. Sa peshon shishja? Shembulli : Vitin tjetër Ana do të jetë tre herë më e moshuar se sa ishte Lusi para dy vitesh; pas katër vitesh, Lusi do të jetë gjysmë herë më e moshuar se sa ishte Ana para tre vitesh. Sa vite kanë tani Ana dhe Lusi? Së pari përpiquni të përgjigjeni në dy pyetjet e mësimërme. Ju mund të jeni në gjendje të mendoni për përgjigjen në mënyrë spontane; mbase ju mund të provoni të gjeni zgjidhjen përmes provave dhe gabimeve. Mbase mund të arrini shpejt tek përgjigja e pyetjes së parë, thjeshtë duke menduar për të, apo edhe duke provuar përgjigjet në mënyrë sistematike, por shembulli i dytë është mjaft kompleks sa që virtualisht është e pamundur të zgjidhet përmes provave dhe gabimeve. Kjo është situata kur matematika mund të na ndihmojë. Në mënyrë që të përdoret si metodë e zgjidhjes së problemit, nuk mjafton të dijmë metodat e kalkulimit, veprimet, algoritmet dhe teoremat ose në fakt vërtetimet. Kështu, së pari duhet të jemi në gjendje të përshkruajmë situatën ekonomike, fizike, sociologjike ose politike në atë mënyrë që të mund të qaset nga matematikanët, si një mjet analitik ose metodë për zgjidhjen e problemit. Për këtë arsye, është esenciale që të jemi në gjendje të përkthejmë problemin e përshkruar verbal në gjuhën e matematikës, të konvertohet ajo në atë formë që lejon të zbatojmë analizën matematike. Rezultati i këtij transformimi mund të përshkruhet si një model i gjendjes aktuale. Nëse e përdorim vargun e veglave matematike në dispozicion, ne arrijmë tek modeli matematikor i problemit real.

19 . S i t ë a p l i k o j m ë M a t e m a t i k ë n F a q e 5 Problemi nga Modeli matematik, p.sh. bota reale Modelimi y= f ( ) n j= 0 + = 0 n j q q = q Figura -: Modelimi matematikë Në modelin matematikë, relacionet që lidhen me problemin real janë përshkruar përmes funksioneve, ekuacioneve dhe formulave. Problemi nga bota reale përkthehet në gjuhën e matematikës në mënyrë që të jemi në gjendje të përdorim metodat matematike të analizimit dhe zgjidhjes së problemit. Nëse modeli matematikë përshkruan në mënyrë korrekte karakteristikat esenciale të problemit të botës reale, zgjidhja e problemit matematikë duhet të ofrojë një opcion për t u marrë me problemet reale. Nëse ky nuk është rasti, atëherë disa cilësi të modelit matematikë duhet të hiqen dhe/ose modeli duhet të rishqyrtohet. Problemi nga Modeli matematik, p.sh. bota reale Modelimi y= f ( ) n j= 0 + = 0 n j q q = q Po A paraqet zgjidhja e Modelit Matematik zgjidhje të Problemit nga Bota Reale? Jo Zgjidheni Modelin Matematik Zgjidhja e Modelit Matematik Figura -: Zbatimi i modelit matematikë

20 6 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e Bazuar në dy shembujtë e përshkruar në fillim të këtij seksioni, ne tani do të demonstrojmë pse modeli matematikë paraqet qasje të arsyeshme për të zgjidhur problemin. Shembulli : Madhësitë që problemi kërkon të shqyrtojmë - zakonisht në formë të pyetjeve tani definohen si të panjohura (= variabla). Për shembull, le të themi se b = pesha e shishes c = pesha e kapakut. Duke përdorur këto variabla tekstin e problemit mund ta përkthejmë në ekuacione matematike: Shishja + kapaku së bashku peshojnë 0g: b + c = 0 Shishja peshon 00g më tepër se kapaku: b = c + 00 Kështu, modeli matematikë që përshkruan plotësisht faktet e dhëna në problem përbëhet nga dy ekuacione me dy të panjohura. Pas disa kalklumimeve, vijmë tek zgjidhja: b = 0 dhe c = Kjo zgjidhje plotëson të dy kushtet e dhëna në shembull. A e keni edhe ju të njëjtën zgjidhje? Shumë persona morën rezultat të gabuar kur menduan për një kohë të shkurtë për shembullin; dhe vetëm pasi menduan më gjatë për të, arritën tek rezultati i saktë. Gjersa pyetja e parë mund të merr përgjigje për një kohë relativisht të shkurtë të të menduarit, kjo qasje nuk mund të zbatohet në pyetjen e dytë.

21 . S i t ë a p l i k o j m ë M a t e m a t i k ë n F a q e 7 Shembulli : Çka kërkohet në problem? Çka dëshirojmë të caktojmë? Duhet të caktojmë moshën e Anës dhe Lusit të shprehur në vite. Kështu kemi vendosur që a = mosha e Anës në vite l = mosha e Lusit në vite Tani le ta përkthejmë problemin: Vitin tjetër Ana do të jetë tre herë më e moshuar se sa ishte Lusi para dy vitesh: ( + ) = ( ) a l Pas katër vitesh, Lusi do të jetë për gjysmë e moshuar sa ishte Ana para tre vitesh: l ( + ) = ( ) a Kështu, ne sërish kemi modelin matematikë që përbëhet nga sistemi i ekuacioneve me dy ekuacione dhe dy të panjohura. Përgjigja është: l = 8 dhe a= 7 Nëse kontrollojmë përgjigjen do të shohim se të dy kushtet plotësohen. Shembulli i problemit të dytë në veçanti tregon se sa efektiv mund të jetë modelimi matematikë. Posa të kemi formuluar modelin që përshkruan në mënyrë adekuate situatën, ne mund të aplikojmë metodën kuantitative për ta analizuar atë dhe pastaj do të jetë e lehtë për caktuar zgjidhjen e problemit të dhënë. Megjithatë, duhet të pranohet se formulimi i modelit që përshkruan saktësisht gjendjen reale të problemit është zakonisht pjesa më e vështirë e detyrës.

22 8 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e. Qëllimet e mësimit ProCredit është bankë. Ne synojmë të këshillojmë klientët tanë, dhe mbi të gjitha ne dëshirojmë që atyre t u japim këshilla korrekte dhe transparente. Për të bërë këtë, është e domosdoshme të dijmë kuptimet elementare nga algjebra dhe disa kuptime nga funksionet. Shumë nga ju do të thoni: Por ne kemi kompjuterët dhe kalkulatorët. Kjo është e saktë, dhe tani softueri mund të kryej të gjitha njehsimet deri në centin e fundit. Megjithatë, ekzistojnë disa lloje të gabimeve: për shembull, ju mund të shënoni shifrën e gabuar. Në këtë rast, ju duhet të jeni në gjendje të gjykoni nëse rezultati është i pranueshëm apo jo. Ju mund të gjendeni në situatë të tillë që duhet të këshilloni dikë dhe të mos keni me vete kalkulatorin apo laptopin. Çka do t i thonit shokut tuaj, për shembull, nëse ai ju ndal në rrugë dhe ju pyet se sa do të kushtojë kredia e tij, ose sa do të jetë shkalla efektive e interesit për një depozitë kursimi? Në punën tonë të përditshme, me ose pa klientë, me ose pa kolegë, me ose pa anëtarë të stafit: detalet esenciale të biznesit bankar bazohen në trajtimin e variablave kuantitative, figurave dhe veprimeve. Kështu që është esenciale të dijmë: elementet e algjebrës, disa funksione dhe vetitë e tyre që janë të rëndësishme për bankat, disa aspekte të statistikës, dhe njohuri mbi biznesin për huazimin dhe deponimin. Kjo është arsyeja që në këtë kurs ne do të fillojmë të mësojmë pjesë të mjaftueshme të fjalorit. Ne do të familjarizohemi me konceptet fundamentale të algjebrës, siç janë numrat dhe operatorët, dhe në veçanti gjithashtu thyesat dhe eksponentët (apo treguesit), si edhe se si të kombinohen ato për të formuar shprehje algjebrike. Në jetën tonë të përditshme dhe në punën tonë, sasitë shpesh krahasohen mes vete. Në matematikë, kjo në përgjithësi sjell tek ekuacionet të cilat duhen zgjidhur. Forma më e rëndësishme e një ekuacioni në matematikë është funksioni, përmes të cilit marrëdhënia në jetën reale mund të përshkruhet në

23 . Q ë l l i m e t e t ë m ë s u a r i t F a q e 9 modelin matematikë. Në këtë Vëllim, ne fillojmë me diskutimin e rëndësisë së funksioneve, vetive të tyre si dhe do të studiojmë disa funksione elementare. Në Vëllimin, që merret me disa tema më të avansuara, do të paraqesim funksionet eksponenciale dhe logaritmike. Ato njihen si funksione transcendente, që mbase mund të tingëlloj si diçka teorike. Megjithatë, ato mbase janë funksionet më të rëndësishme në ekonomi e madje edhe më esenciale në veprimtaritë bankare. Në bankë, shkalla e interesit luan rol shumë të rëndësishëm: njehsimi i kthimit mbi kapitalin kërkon që gjatë punës sonë me shprehje algjebrike të përqëndrohemi veçanërisht tek eksponentët. Proceset e rritjes që rezultojnë nga interesi i përbërë përshkruhen përmes të ashtuquajturave funksione eksponenciale, të cilat në mënyrë të natyrshme luajnë rol të rëndësishëm në përshkrimin e problemeve në lëmin e matematikës financiare. Për shkak të kthimit mbi kapitalin, vlera e kapitalit varet nga koha, dhe për shkak të aplikimeve financiaro-matematike shpesh iu referohemi si vlera kohore e parasë. Në këtë kurs, do të përshkruhen temat të cilat në mënyrë të drejtpërdrejtë kanë të bëjnë me aplikimin në bankë, si dhe parimet fundamentale të interesit, depozitave dhe kredive. Përfundimisht, Vëllimi, që mund të karakterizohet si aplikim i matematikës në banka dhe financa, i dedikohet kalkulusit dhe fundamenteve të statistikës përshkruese. Është një hyrje elementare në metodat statistike të përshkrimit, prezentimin dhe llogaritjet me bashkësi të mëdha të të dhënash. Meqë bankat çdoherë kanë të bëjnë me shumë të dhëna që kanë të bëjnë me klientët, llogaritë dhe portofolet, është e qartë se kemi nevojë të kuptojmë konceptet relevante. Grafiku në faqen tjetër tregon temat që do të përfshihen në këtë përmbledhje. Ato janë të dizajnuar të mësohen në dy kurse, i pari merret me kuptimet themelore të algjebrës dhe funksioneve. Në Vëllimin e dytë, këto instrumente aplikohen në probleme specifike financiare në banka. Çdo seksion përmban disa ushtrime. Për të ju mundësuar të kontrolloni rezultatet tuaja, rezultatet përfundimtare janë dhënë në fund të çdo kapitulli. Në shumicën e rasteve, jepen vetëm rezultatet, dhe jo edhe metoda e njehsimit. Ne qëllimisht jemi përcaktuar të mos tregojmë metodën që rekomandohet për zgjidhje, sepse në rast se keni marrë rezultat të gabuar dëshirojmë të ju inkurajojmë që të shqyrtoni metoda alternative.

24 0 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e Algjebra Elementare, Matematika Financiare, Kalkulusi dhe Statistika Vëll.: Algjebra Elementare. Hyrje. Algjebra Elementare. Ekuacionet. Funksionet Elementare Vëll.: Matematika Financiare. Funksionet Speciale. Hyrje. Vlera kohore e parasë Vëll.: Kalkulusi dhe Statistika. Elementet e Statistikës. Hyrje. Kalkulusi. Shpërndarjet dy dimensionale Megjithatë, në shtojcë ju do të gjeni zgjidhjet komplete. Përdore këtë informatë me kujdes, sepse e vetmja mënyrë për të perfeksionuar gjuhën e Matematikës është aplikimi i saj dhe të fituarit e përvojës së plotë për modelimin dhe zgjidhjen e problemeve.

25 . N u m r a t F a q e. Algjebra Elementare Algjebra Elementare, Matematika Financiare, Kalkulusi dhe Statistika Vëll.: Algjebra Elementare. Hyrje. Algjebra Elementare. Ekuacionet. Funksionet Elementare Parakushtet: Nuk nevojitet kurrfarë njohurie paraprake nga matematika, kërkohet vetëm gatishmëria juaj për të kuptuar bazat e matematikës bankare. Në përgjithësi, juve mbase do të ju kujtohet matematika që keni ushtruar në shkollë. Megjithatë, nga ju presim pjesëmarrje intensive në trajnim. Kjo përmbledhje është e strukturuar në atë mënyrë që lënda mund të përcillet individualisht duke kryer ushtrimet dhe pyetjet e testeve. Gjithashtu, në fund të përmbledhjes janë dhënë zgjidhjet e detalizuara për të ju mundësuar të kontrolloni progresin tuaj. Qëllimet e mësimit: Që të jeni të gatshëm të aplikoni matematikën duhet që problemet të përkthehen në gjuhën e matematikës, kështu që ato të mund të trajtohen matematikisht. Në këtë aspekt, pritet që ju të arrini besueshmëri në kalkulimet ose veprimet me numra dhe simbole pa ndihmën e kompjuterëve dhe kalkulatorëve. Po ashtu është shumë me rëndësi të jeni relativisht të sigurtë

26 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e të dini nëse rezultati i fituar është apo nuk zgjidhje e problemit. Kështu që ju duhet të gjykoni vet në mes të zgjidhjes bindëse dhe asaj jobindëse. Algjebrës shpesh i referohemi si aritmetika e përgjithësuar. Ajo është degë e matematikës e cila në kuptimin më të gjerë merret me veprimet aritmetike si mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi, të kryera me numra specifik. Emri algjebër është derivuar nga Latinizimi i emrit të matematikanit Persian Al-Chwarizmi, i cili jetoi rreth vitit 800 të erës sonë dhe i cili ka përshkruar disa principe fundamentale. Gjersa aritmetika merret me njehsimet me numra (,, 6, etj.), algjebra i zgjeron këto aktivitete për t u marrë me simbole të cilat shërbejnë si variabla dhe parametra. Ndonëse ka vetëm dallime të vogla në mes veprimeve me numra dhe atyre me simbole, edhe më tëj është për t u habitur se si shumë studentë nuk kanë fare problem për të kryer njehsime të shprehjeve si kjo në vijim: ( ) + = + + por që ngatërrohen kur numri zëvendësohet me simbolin : ( ) + = + + Simboli në shprehjen e dytë është zëvendësim për ndonjë numër të panjohur. Meqë ai mund të ndryshojë, ky simbol quhet variabël (ndryshore). Ndonëse të gjitha veprimet dhe rregullat janë të njëjta, pavarsisht nëse kryhen njehsime me numra ose me simbole, përdorimi i këtyre të fundit shpesh perceptohet si i vështirë, sepse simbolet janë më abstrakte. Në anën tjetër, duhet të kemi në mendje se një karakteristikë përbërëse e matematikës është abstraksioni nga rasti specifik në atë të përgjithshëm ose nga rasti i veçantë në atë të përgjithshëm. Kështu, përmes këtij kapitulli kemi për qëllim të mësohemi me përdorimin e simboleve në shprehjet matematike dhe të përdorim ato për të gjetur zgjidhjet e problemeve reale. Do të shyqrtojmë disa nga veprimet e rëndësishme algjebrike që mësohen në shkollë. Materiali mund të studiohet në mënyrë sistematike para fillimit të pjesës tjetër të këtij manuali ose ai mund të përdoret sipas nevojës.

27 . N u m r a t F a q e. Numrat. Algjebra Elementare. Numrat. Eksponentët. Shprehjet Numrat & veprimet Thyesat & numrat dhjetor Eksponentët e plotë Eponentët thyesorë Shprehjet e plota Shprehjet thyesore Përqindjet Rrënjët Parakushtet: Nuk nevojitet ndonë paranjohuri e veçantë. Qëllimet e mësimit: Gjuha e matematikës përdorë numrat dhe simbolet. Numrat janë zhvilluar dhe përdorur nga Babilonasit. Numrat janë të lidhur mes vete përmes veprimeve. Kjo sjell deri tek paraqitja e shprehjeve, të cilat për shkak të rregullave të algjebrës mund të jenë të arbitrarisht të komplikuara. Është një parakusht i qartë se për aplikimin e matematikës duhet që këto rregulla fundamentale të aplikohen në mënyrë korrekte. Koncepti i rregullave të aritmetikës dhe algjebrës do të zgjerohet përmes simboleve, variablave dhe parametrave. Shikuar në tërësi, rregullat matematike

28 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e janë bazat e gramatikës matematike. Nëse ato aplikohen si duhet, çdo deklaratë mund të kuptohet nga secili person anë e kënd botës në Kinë, Rusi, Gjeorgji ose Tajlandë edhe pse këto vende përdorin karaktere të ndryshme alfabetike... Numrat dhe veprimet Fjala bashkësi në matematikë përdoret me të njëjtin kuptim si edhe në ndonjë gjuhë të folur. Bashkësia është grumbull objektesh ose elementesh me veti të përbashkta. Në këtë kontekst, është e zakonshme që të përdorim simbole për bashkësi të ndryshme numerike: N Z bashkësia e numrave natyrorë; numrat për numërim:,,, bashkësia e numrave të plotë; numrat natyrorë, numrat e kundërtë me ta dhe zero:,-, -, 0,, Q I bashkësia e numrave racional, të cilët mund të paraqiten si a b, ku a, b janë numra të plotë dhe b 0. Një karakterizim tjetër i numrave racional është se paraqitja decimale e tyre ose është periodike ose ndërpritet: 7 ; 0.5; bashkësia e numrave iracional, të cilët mund të paraqiten vetëm përmes numrave decimal jo përsëritës dhe jo përfundimtar: R ; π= ; e= bashkësia e numrave realë përbëhet nga numrat racional dhe iracional. Marrëdhënia ndërmjet bashkësive të ndryshme të numrave mund të paraqitet si në vijim: Numrat natyroré. + zero + Numrat negativ = Numrat e ploté + Thyesat = Numrat racionalé + Numrat iracionalé = Numrat realé

29 . N u m r a t F a q e 5 Nëse vizatojmë drejtëzën si më poshtë, kuptojmë se çdo numri real i korrespondon saktësisht një pikë në drejtëz dhe anasjelltas. Kjo drejtëz quhet drejtëza numerike. Zero zakonisht asociohet me origjinën. - -9/ - 0 π Figura -:Vargu i numrave realë Numrat realë Tani do të shqyrtojmë disa nga vetitë elementare të sistemit të numrave realë, që na mundësojnë të konvertojmë shprehjet algjebrike të llojit që pamë në fillim të këtij kapitulli, në shprehje ekuivalente. Këto veti elementare quhen aksioma dhe duhet që të merren parasysh gjatë transformimit të shprehjeve algjebrike. VETITË ELEMENTARE TË NUMRAVE REALË Le të jenë, y, z numra të çfarëdoshëm realë. Shënojmë:, y, z R dhe leojmë, y, z janë elemente të bashkësisë së numrave realë. VETITË E MBLEDHJES Mbyllja: + y është element i vetëm në R. Vetia asociative: ( + y) + z = + ( y+ z) Vetia komutative: + y= y+ Identiteti: 0 është identiteti në lidhje me mbledhjen: 0+ = + 0= Inversi: Për çdo R, është inversi i tij i vetëm i tillë që + ( ) = ( ) + = 0

30 6 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e VETITË E SHUMËZIMIT Mbyllja: y është element i vetëm në R Vetia asociative: ( y) z= ( y z) Vetia Komutative: y= y Identiteti: është identiteti në lidhje me shumëzimin: = = Inversi: Për çdo R të tillë që 0, vetëm i tillë që ( ) = ( ) = është inversi i tij i VETIA E KOMBINUAR Vetia distributive: ( + y) z= z+ y z dhe ( y+ z) = y+ z Nga aksiomat e mësipërme konkludojmë se: Le të jenë dhe y numra të çfarëdoshëm realë. ( ) = ( y) = ( y) = ( ) y ( ) ( y) = y = = për y 0 y y y = y y për y 0

31 . N u m r a t F a q e 7 KUJDES: Le të jenë dhe y numra të çfarëdoshëm realë: 0 = 0= y = për y 0 y= 0 implikon që ose = 0 ose y= 0 ose të dya = y = 0 Pjesëtimi me 0 nuk lejohet kurrë. VEPRIMET ME NUMRA Nëse veprimet janë të përziera në shprehjet algjebrike, ndonjëherë nuk është e lehtë të ruhet rendi i vargut të veprimeve. Gjatë njehsimit të shprehjeve komplekse që përmbajnë disa veprime të ndryshme, është vështirë të vendoset se cili veprim duhet të kryhet së pari. Me fjalë të tjera, vargu ose prioriteti i veprimeve duhet të jetë i qartë dhe jo dykuptimshëm. Rregullat e njehsimeve duhet të jenë të qarta; nuk duhet të ketë asnjë dyshim se si të interpretohet shprehja. Me fjalë të tjera, studentët në Ganë dhe ata në Mozambik duhet të jenë në gjendje të njehsojnë detyrën në të njëjtën mënyrë dhe të arrijnë tek i njëjti rezultat. Në mënyrë që të përpilojmë një shprehje algjebrike shpesh është e domosdoshme të përdoren kllapat. Çdo dyshe e kllapave duhet të përmbaj shprehje që duhet të trajtohet si e vetme. Kjo nënkupton se çdo dyshe e kllapave në një shprehje reduktohet në ndonjë lloj simboli të krahasueshëm me ndonjë numër ose ndonjë variabël. Çdo veprim i aplikuar në kllapa duhet të interpretohet si një veprim në tërë përmbajtjen. SHEMBUJ. + = + = por: (+ ) = 6 = 8 + = + = por: ( ) (+ 5) = 9= 7

32 8 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e Që të dy shprehjet në dy shembujt paraprak mund të njehsohen në mënyrë të qartë, duke dhënë kështu rezultate të ndryshme. Kështu është shumë me rëndësi që të dizajnojmë shprehje të tilla që Procedura e njehsimit të sjell tek rezultati i dëshiruar, dhe Të mos ketë mundësi për interpretime dykuptimëshe. Nëse në ndonjë shprehje ka shumë pjesë të cilat duhet të ndahen me kllapa, ka kuptim që të përdorim disa lloje të kllapave për të bërë të qartë se cila kllapë mbyllëse i takon cilës kllapë hyrëse. Kllapat e vogla: ( ) Kllapat e mesme: [ ] Kllapat e mëdha: { } Gjatë përdorimit të tyre duhet të sigurohemi se të gjitha kllapat paraqiten në dyshe. Kjo siguron që vlera e çdo shprehje në kllapa është e qartë. Përveç kësaj ekzistojnë rregullat se si të njehsohet shprehja që përmban kllapa: NJEHSIMI I SHPREHJEVE Nëse e njehsoni një shprehje algjebrike me disa lloje të veprimeve duhet të jeni shumë të kujdesshëm për të kryer veprimet sipas renditjes korrekte: Ekzistojnë dy rregulla kryesore:. Shprehjet që përmbajnë kllapa duhet të njehsohen nga brenda jashtë. Kjo nënkupton se të gjitha veprimet brenda kllapave duhet të kryhen para se të vazhdohet me kryerjen e veprimeve jashtë kllapave.. Veprimet si shumëzimi dhe pjesëtimi kanë përparësi para veprimeve mbledhje dhe zbritje. Kjo nënkupton se në të njëjtin nivel të veprimeve së pari duhet të njehsohet prodhimi dhe herësi e pastaj shuma. Sugjerohet që të përdorim sa më shumë kllapa që të jetë e mundur. Është më mirë që ato të përdoren më shpesh sesa më rrallë. Harresa e ndonjë

33 . N u m r a t F a q e 9 kllape shpesh krijon shprehje të ndryshme, kështu që rezultati në të shumtën e rasteve është gabim! Thyesa ose simboli / zëvendëson kllapat në shprehje. Shprehja vijuese është shembull se si kombinimi i disa veprimeve algjebrike në një shprehje mund të shkaktojë konfuzion: + ( ) Tabela e mëposhtme tregon vargun e hapave të llogaritjes dhe jep sqarime në raport me rregullat e mësipërme: Hapat + 5 ( ) + 5 Komentet = Së pari lirohemi nga kllapat. = ( ) = 8 5 = 0 = 8 Shumëzimi para mbledhjes +=0 0 8= Shumat në numërues 0 5 = 5 ( ) + = 8 = = Thyesa konsiderohet si kllapë: së pari duhet të njehsohen thyesat Tabela.: Përdorimi i kllapave në shprehje Ky është rezultati.

34 0 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e KUJDES GABIMET E ZAKONSHME Largimi i kllapave (+ ) + 6 ( ) 6 6 Kryerja jo korrekte e veprimit të shumëzimit dhe mbledhjes + 5 9

35 . N u m r a t F a q e USHTRIMI..: NUMRAT DHE VEPRIMET Rezultatet gjenden menjëherë pas detyrave. Aty keni vetëm rezultatet përfundimtare, duke ju lejuar ju që të krahasoni rezultatet tuaja me ato që kemi dhënë ne. Ne qëllimisht jemi përcaktuar të mos e paraqesim metodën që rekomandojmë sepse dëshirojmë të ju inkurajojmë në shqyrtimin e metodave alternative, në rast se keni marrë rezultat të gabuar.. Të kompletohen ekuacionet vijuese në raport me rregullën e dhënë: a) Vetia Komutative: y = b) Vetia Asociative: ( + y) + z= c) Vetia Distributive: y+ z y= d) Vetia Asociative: ( y z) = e) Vetia Komutative: + y= f) Vetia Komutative: y =. Të caktohen elementet inverse në raport me vetinë e dhënë: a) Mbledhja: {,,, 8, 6}? b) Shumëzimi: {,, }?. Njehsoni: a) ( ) = b) d) [ ( ) ( ) ] = e) = c) ( ) = = 5 f) 9 =

36 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e. Njehsoni: a) 0 ( ) = b) d) 0 = e) 0 (0) 0 = 0 = c) 0 = 5. Njehsoni: a) ( ) 6 ( ) 6+ = {[( ) 5+ ] + } + 0 b) + 8 = 7 { } c) [ ] [ ] ( [ ]) 5 ( ) + 6 ( ) ( ) = d) (7 ) = 6

37 . N u m r a t F a q e REZULTATET..: NUMRAT DHE VEPRIMET. Rregullat e veprimeve a) Vetia komutative: y b) Vetia Asociative: + ( y+ z) c) Vetia distributive: y ( + z) d) Vetia asociative: y( z) e) Vetia komutative: y+ f) Vetia komutative: y+. a) {,,, 8, 6} b),,,. a) b) d) e) c) 8 5 f). a) 0 b) 0 c) d) e pacaktuar e) 0 5. a) 0 b) 0 c) 66 d)

38 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e.. Thyesat dhe numrat dhjetor Tashmë numrin racional e kemi përkufizuar si thyesë të dy numrave të plotë. Po ashtu, në seksionin paraprak, në shembuj dhe ushtrime të ndryshme i kemi përdorur thyesat. Në këtë seksion do të mësojmë se si të kryejmë veprimet me thyesa. THYESAT Ekzistojnë disa rregulla elementare të cilat duhet të zbatohen në rastet kur në shprehjen algjebrike paraqitet së paku një thyesë. THYESA Thyesë quhet herësi a b ku a dhe b janë numra të plotë dhe b 0. a quhet numëruesi dhe b quhet emëruesi. Shumica prej nesh kemi mjaft njohuri me thyesat, megjithatë, me qëllim që të shmangen gabimet, duhet të jemi të kujdesshëm gjatë zbatimit të rregullave për veprimet me thyesa. Me qëllim që të arrihet niveli i nevojshëm i besimit dhe i shkathtësive në përdorimin e thyesave, duhet të praktikojmë aplikimin e këtyre rregullave. Shpresoj që ju asnjëherë nuk do të argumentoni si personi të cilit shefi i ofroi ngritje të pagës për një të pestën e i cili u përgjigj: më fal, por kjo nuk mjafton, duhet të jetë së paku një e gjashta. Ne në fillim do të paraqesim rregullat, pastaj do të japim komente të shkurta për to, dhe në fund do të prezentojmë disa shembuj, përmes të cilëve do të tregojmë se si t i aplikojmë ato. RREGULLAT E VEPRIMEVE ME THYESA Le të jenë a, b, c, d, dhe f numra realë; nëse ata paraqesin emëruesin e thyesës duhet të jenë të ndryshëm nga 0.

39 . N u m r a t F a q e 5 SHUMËZIMI ME NJË NUMËR a f a f = Thyesa shumëzohet me një numër f duke e shumëzuar b b numëruesin me numrin f. SHEMBUJ. Nëse një tortë e ndani në katër pjesë, do të ketë katër çerek, pra katër të tortës. Nëse keni dy çerekë, ju keni dy herë çereku, pra. = = e tortës = ( ) = = 0 0 = = 0 PJESËTIMI ME NUMËR TË NDRYSHËM NGA ZERO a a f = Thyesa pjesëtohet me numrin f duke shumëzuar b b f emëruesin me f 0. Shumëzimi dhe pjesëtimi janë veprime inverse që thjeshtojnë njëri tjetrin nëse zbatohen që të dya. SHEMBUJ. Nëse e ndan një gjysmë torte në dy pjesë të barabarta, do të merrni dy pjesë, secila prej të cilave është çereku i tortës, pra = =.

40 6 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e... = = 7 7 ( ) = ( ) = = = = 6 EKUIVALENCA E THYESAVE a b c = Dy thyesa janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë kur d a = c dhe b = d. SHEMBUJ. dhe y y = = =.. a 8 a 8 a ; b 5 b 5 b 7 y y : y ; 5 5 : 5 THJESHTIMI f a a = f b b Në thyesën në anën e majtë faktori i përbashkët f është thjeshtuar duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin faktor f. SHEMBUJ 6 6. = = 7 7

41 . N u m r a t F a q e 7.. = = = ( ) 5 5 = = 7 ( ) 8 ZGJERIMI a f a = b f b Thyesa në anën e majtë është zgjeruar për faktorin f duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin faktor f. SHEMBUJ... = = (0.5) = =.5 (.5).7 0 (.7) 7 = =. 0 (.) Dy shembujt e fundit tregojnë pse zgjerimi është i rëndësishëm. Nëse dëshirojmë të shmangim decimalet nga numëruesi dhe emëruesi (kujtojmë se ne nuk jemi kufizuar vetëm tek veprimet me numra të plotë) ata i shumëzojmë me një faktor të përshtatshëm për t i shndërruar në numra të plotë. Sikur shumëzimi me pjesëtimin, edhe thjeshtimi dhe zgjerimi janë veprime inverse të cilat e thjeshtojnë njëri tjetrin nëse aplikojnë që të dya. SHUMËZIMI I DY THYESAVE a c a c = Dy thyesa shumëzohen duke shumëzuar numëruesit b d b d dhe emëruesit e tyre.

42 8 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e SHEMBUJ = = ( ). = = = ( 5) = = PJESËTIMI I DY THYESAVE a a c b a d = = Dy thyesa pjesëtohen duke shumëzuar thyesat b d c b c d inverse. SHEMBUJ = = = = = = = = = Dy veprimet e fundit sërish janë inverse ndaj njëri tjetrit. Ndonëse mbledhja dhe zbritja janë veprimet më elementare algjebrike, shumë gabime paraqiten gjatë mbledhjes dhe zbritjes së thyesave. Ju lutem u kushtoni kujdes të veçantë seksioneve të veçanta: Kujdes gabimet e zakonshme.

43 . N u m r a t F a q e 9 MBLEDHJA (ZBRITJA) E THYESAVE ME EMËRUES TË NJËJTË a c a± c ± = Dy thyesa me emërues të njëjtë mblidhen (zbriten) b b b duke mbledhur (zbritur) numëruesit. SHEMBUJ. Gjysmë torte dhe një e katërta e tortës së bashku bëjnë tre të katërtat, pra + = + = = = = 8 ( 8) = = = = Në mënyrë që të mblidhen dhe zbriten thyesat me emërues të ndryshëm, së pari duhet që thyesat të zgjerohen që të kenë emëruesin e njëjtë, i cili në këtë rast quhet emëruesi i përbashkët. EMËRUESI I PËRBASHKËT Emëruesi i përbashkët i dy thyesave a b dhe c d është prodhimi i dy emëruesve: b d Duke zgjeruar të dy thyesat me d dhe b, përkatësisht, merren dy thyesa me të njëjtin emërues: a d b d dhe c b d b

44 0 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e Emëruesi i përbashkët më së lehti caktohet duke shumëzuar dy (ose më tepër) thyesa dhe duke zgjeruar thyesat me të gjithë faktorët që nuk janë pjesë e emëruesit të përbashkët. SHEMBUJ Të caktohet emëruesi i përbashkët (EP) për thyesat dhe të bëhet zgjerimi i tyre: ; CD= 7 ; ; ; CD= 6 7 ; ; ; ; CD= 5 7 ; ; ; ; Caktimi i emëruesit të përbashkët dhe zgjerimi i thyesave është parakusht për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm. MBLEDHJA (ZBRITJA) E THYESAVE ME EMËRUES TË NDRYSHËM a c a d± c b ± = b d b d Dy thyesa me emërues të ndryshëm mund të mblidhen (zbriten) pas zgjerimit i cili i sjell ato në thyesa me emërues të njëjtë. SHEMBUJ = + = + = = = = 7 7 7

45 . N u m r a t F a q e = + = + = Thyesat shpesh paraqiten në ekuacione të formës: = y 7 5 Në rastet e tilla preferohet që të shmangen thyesat. Si një mënyrë për të realizuar atë është që të shumëzojmë tërë ekuacionin me një faktor dhe poashtu mund të kryejmë pothuajse të gjitha veprimet (me përjashtim të shumëzimit ose pjesëtimit me zero) në të dy anët e ekuacionit pa e ndryshuar atë. Kështu, pas shumëzimit të ekuacionit me faktorin e përbashkët do të merret: = 7 5 y Pas redukimit të faktorëve të përbashkët në numërues dhe në emërues merret: 5 = 7 y Shpesh këtij veprimi i referohemi si shumëzimi i tërthortë, i cili merret pas zgjerimit dhe reduktimit. BARAZIA E THYESAVE IMPLIKON SHUMËZIMIN E TËRTHORTË a b c = Dy thyesa janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë d kur a d = c b. Ky veprim shpesh njihet si shumëzimi i tërthortë me emëruesit. SHEMBUJ.. = y = 7 y 8= 7 y 7 = 5 = 5y = y 5y 5

46 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e. = ( 5) z = 8y 5z = y 8y 5z Ne edhe më tej nuk kemi kufizuar numrat në numërues dhe emërus në raport me madhësinë e tyre. Të gjithë termat vijues janë në përputhje me përkufizimin e thyesës: ; ; ; ; ; ; ; Në fakt, dallimet mes thyesave të mësipërme janë shumë të vogla. Termat 5 7 ; ; 8 0 i përshtaten plotësisht përkufizimit. Termat..8 ;.7 Mund të zgjerohen me 0 dhe të shndërrohen në: 8 ; = Në tre termat vijues numëruesit janë më të mëdhenjë se emëruesit:.5 ; ; Pas zgjerimit të dy termave të fundti me 0 merret:: ; = ; = Në krahasim me thyesat tjera tani vërejmë se numëruesi është më i madh se emëruesi. Thyesat e tilla quhen thyesa të përziera.

47 . N u m r a t F a q e THYESAT E RREGULLTA DHE THYESAT E PËRZIERA Thyesa quhet e rregulltë nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi. Në kuptimin formal kjo do të thotë: a b është thyesë e rregulltë nëse a < b Nëse a b thyesa quhet e përzier. Ndonjëherë është e domosdoshme ose e preferueshme që të ndahet pjesa e plotë dhe herësi i cili pastaj është thyesë e rregulltë. NDARJA E THYESËS SË PËRZIER Thyesa e përzier, përmes pjesëtimit, mund të ndahet në një numër të plotë dhe një thyesë të rregulltë: a c = i+ ku a > b dhe c < b b b Thyesat e përziera në përgjithësi shënohen pa shenjat +,- në mes: + = 7 7 SHEMBUJ Pas pjesëtimit të numëruesit dhe emëruesit merret:. = + = 5. = + = 0 6. = =

48 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e NUMRAT DHJETOR Sistemi ynë i numrave bazohet në ashtuquajturin sistem dhjetor, pra me numrin 0 si bazë. Kjo mbase mund të jetë arsyeja pse paraardhësit tanë kanë përdorur 0 gishtat si mjet numërimi, dhe kështu edhe filluan të bëjnë llogaritjet në bazë të shumëfishëve të 0-it dhe fuqive të tij: 7= Pozita e fundit në një numër është çdoherë shumëfish i = 0, që nga e ardhmja pozitë e deri tek e fundit është shumëfish i 0= 0, pastaj 00= 0, etj. Fuqitë e 0 dhe shumëfishët e tij ngriten nga njëra pozitë tek tjetra për. Nëse lëvizim në drejtimin tjetër duke filluar nga = 0, zvogëlohet fuqia për një, duke rezultuar në shumëfish të 0, pastaj të 0, e kështu me radhë. Shumëfishët e faktorëve të 0 me tregues (eksponentë) negativ ndahen nga ata jo-negativ përmes presjes dhjetore: = + + = + + = Numrat e tillë quhen numra dhjetorë (decimal). Në shënimet Anglo- Saksone ata shënohen me pikë dhjetore, gjersa në Gjermani përdoret presja. Shënimi dhjetor ndonjëherë është kuptimplotë sepse përmes tij shmanget përdorimi i thyesave. Në aspektin formal, çdo thyesë mund të shndërrohet në numër dhjetor duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin sipas rregullave të zakonshme të pjesëtimit: 0.5 = ose = Në të dy rastet e mësipërme pjesëtimi mbaron pa mbetje. Kështu që vargu i shifrave pas presjes dhjetore është i fundëm. Nga përvoja e dijmë se kështu nuk ndodh çdoherë. Për shembull kemi pjesëtimet: 0. = ose = ose = 0

49 . N u m r a t F a q e 5 Në dy shembujtë e parë pas disa hapash vërejmë se vargu i decimaleve përsëritet. Është praktike që të mbivijëzojmë decimalet të cilat përsëriten. Decimalen që përsëritet e quajmë periodike. Megjithatë, numri i tretë tregon se perioda jo doemos fillon pas presjes dhjetore dhe që ajo mund të jetë relativisht e gjatë, madje edhe më e gjatë se sa në shembujtë e mësipërmë. Numrat në të cilët decimalet ose përfundojnë ose përsëriten në mënyrë periodike quhen numra racional. Ata çdoherë mund të paraqiten përmes thyesave të rregullta. Megjithatë, ka disa numra decimal tek të cilët vargu i i numrave as nuk mbarone as nuk përsëritet. Ata quhen numra iracional (shih gjithashtu seksionin..; faqe ), e një ndër më të njohurit është konstanta numerike π: π= Si shembuj të numrave të tjerë iracional kemi: = e= Këta numra nuk mund të paraqiten as përmes thyesave e as përmes decimaleve periodike. KUJDES GABIMET E ZAKONSHME Mbledhja dhe zbritja e thyesave + dhe 5 + dhe Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave 5 5 dhe

50 6 F a q e. A l g j e b r a e l e m e n t a r e USHTRIMI..: THYESAT DHE NUMRAT DHJETOR Rezultatet gjenden menjëherë pas detyrave. Aty keni vetëm rezultatet përfundimtare, duke ju lejuar ju që të krahasoni rezultatet tuaja me ato që kemi dhënë ne. Ne qëllimisht jemi përcaktuar të mos e paraqesim metodën që rekomandojmë sepse dëshirojmë të ju inkurajojmë në shqyrtimin e metodave alternative, në rast se keni marrë rezultat të gabuar.. Të zgjerohen thyesat me faktorët e dhënë: a) d) me b) 5 7 me c) me 9 6 me 0.5. Të zgjerohen thyesat ashtu që numëruesi ose emëruesi, përkatësisht të jenë të barabartë me vlerën e dhënë: a) emëruesi 6 b) 7 c) 7 numëruesi d) emëruesi emëruesi 7 e) 7 8 numëruesi 56. Të thjeshtohen thyesat sa më tepër që të jetë e mundur: a) e) i) b) f) j) c) g) d) h)

51 . N u m r a t F a q e 7. Të zëvendësohet? me numrin e duhur: a) d)? = b) 6 = e) 7?? = c) = f)? 5 05 = 7?? = Njehsoni: a) e) i) 7 b) 7 c) 6 5 d) 8 9 f) g) j) h) 5 6. Pjesëtoni: a) b) 7 c) 6 d) e) h) 7 f) g) 5 i) 7 7 j) Të gjendet emëruesi më i vogël i përbashkët për thyesat vijuese: a) 0 dhe 5 d) 6 dhe 5 0 g) 7 dhe 5 5 b) dhe c) 5 dhe 7 e) 8 dhe f) dhe h), dhe 5 i), dhe 6 j) 7, dhe 7 6 0