Οπτικές Επικοινωνίες και Οπτικά ίκτυα

Transcript

1 Οπτικές Επικοινωνίες και Οπτικά ίκτυα Οπτικές Ίνες ιοξειδίου Πυριτίου Καθηγητής Συβρίδης ηµήτριος

2 Τµήµατα και διατάξεις Οπτικών Επικοινωνιών Πηγές Ίνες διοξειδίου πυριτίου σα µέσο µετάδοσης για µεγάλες αποστάσεις Επιπλέον διατάξεις Ενισχυτές Φίλτρα Συζεύκτες, Αποµονωτές, ιαµορφωτές κ.α. έκτες Συστήµατα 2

3 Τµήµατα και διατάξεις Οπτικών Επικοινωνιών Πηγές Ίνες διοξειδίου πυριτίου σα µέσο µετάδοσης για µεγάλες αποστάσεις Επιπλέον διατάξεις Ενισχυτές Φίλτρα Συζεύκτες, Αποµονωτές, ιαµορφωτές κ.α. έκτες Συστήµατα 3

4 Οπτικές Ίνες ιοξειδίου Πυριτίου -Περιεχόµενα Λίγα εισαγωγικά, πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα οπτικών ινών, δοµή και τύποι οπτικών ινών Κύριες πηγές εξασθένισης στις οπτικές ίνες διοξειδίου πυριτίου και χρήσιµες έννοιες στις οπτικές επικοινωνίες ιάδοση φωτός σε διηλεκτρικά µέσα Θεωρία ακτίνων Κυµατική οπτική Χρωµατική διασπορά σε µονότροπες ίνες διοξειδίου πυριτίου ιασπορά των τρόπων Ολική διασπορά, Σενάρια Μονότροπες ίνες και έλεγχος της χρωµατικής διασποράς σε αυτές Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων σε µονότροπες ίνες διοξειδίου πυριτίου Έλεγχος της κλίσης της χρωµατικής διασποράς ιασπορά τρόπων πόλωσης σε µονότροπες ίνες Αντιµετώπιση 4

5 Ζεύξη Οπτικών Επικοινωνιών Γενικά Οπτικές Ίνες Μονότροπες Πολύτροπες ιοξειδίου του πυριτίου Πολυµερών Οπτικό Φίλτρο εδοµένα Εισόδου Οπτικός Ποµπός Οπτική Ίνα Οπτικός Ενισχυτής Οπτική Ίνα Οπτικός έκτης εδοµένα στην Έξοδο 5

6 Ζεύξη Οπτικών Επικοινωνιών Γενικά Οπτικές Ίνες Μονότροπες Πολύτροπες ιοξειδίου του πυριτίου Πολυµερών Οπτική ίνα Tension release (kevlar) Ακτίνα φωτός θ, γωνία πρόσπτωσης θ µανδύας πυρήνας Πρωταρχικό στρώµα Άξονας της ίνας κάλυµµατου καλωδίου ευτερεύον στρώµα Μία τέτοια δοµή από καλύµµατα που περιβάλλουν τις ίνες αφορά κυρίως οπτικές ίνες που καλύπτουν σχετικά µεγάλες αποστάσεις 6

7 Λίγα εισαγωγικά Μήκος κύµατος, λ Τα µήκη κύµατος που µας ενδιαφέρουν είναι τα 850 nm, τα 1310 nm και 1550 nm Εγγύς υπέρυθρο λόγω µειωµένων απωλειών Συχνότητα, f Ταχύτητα του φωτός στο κενό, c ( m/s) Η ταχύτητα του φωτός µέσα σε ένα µέσο, όπως η ίνα, είναι µικρότερη c = λf f = c ιαφορίζοντας την προηγούµενη σχέση γύρω από ένα µήκος κύµατος λ προκύπτει η σχέση που συνδέει το οπτικό εύρος ζώνης στην περιοχή της συχνότητας και του µήκους κύµατος λ f = Για µήκος κύµατος στα 1550 nm, η συχνότητα είναι f = c/λ = m/s / 1550 nm THz c λ 2 λ λ= = λ c 2 c λ 2 f λ Το οπτικό εύρος ζώνης εξαρτάται από το ρυθµό µετάδοσης (R, σε bits/sec) και το σχήµα διαµόρφωσης που εφαρµόζεται (π.χ. M- ASK, M-PSK) f = 2 R log M 2 ( ) 7

8 Λίγα εισαγωγικά Στις οπτικές επικοινωνίες δε µεταδίδεται µόνο ένα σήµα µέσα από µία ίνα, αλλά χρησιµοποιούνται µπάντες µέσα στην ίνα Τα µήκη κύµατος και οι συχνότητες που χρησιµοποιούνται έχουν προτυποποιηθεί από την ITU H ITU έχει προτυποποιήσει σταθερή απόσταση καναλιών στο πεδίο της συχνότητας (και όχι στο πεδίο του µήκους κύµατος) Ωστόσο θεωρείται εφαρµογή συστήµατος Wavelength Division Multiplexing (WDM) Εύρος ζώνης σήµατος 100 GHz 100 GHz Συχνότητα (THz) Μήκος Κύµατος (nm) 8

9 Λίγα εισαγωγικά Τύποι WDM στις οπτικές επικοινωνίες Αραιό (Coarse) WDM CWDM Ονοµαστικές τιµές κεντρικών µηκών κύµατος 1270nm, 1290nm, 1310nm,, 1570nm, 1590nm, 1610nm Καλό για εφαρµογές µικρού κόστους, χαµηλών ρυθµών, µικρών αποστάσεων χωρίς ενίσχυση Πυκνό (Dense) DWDM DWDM Ονοµαστικές κεντρικές συχνότητες (σε THz) για απόσταση µεταξύ διαδοχικών καναλιών 100GHz: 193.1THz + n 0.1, µε n θετικό ή αρνητικό ακέραιο συµπεριλαµβανοµένου του 0 Ονοµαστικές κεντρικές συχνότητες (σε THz) για απόσταση µεταξύ διαδοχικών καναλιών 50GHz: 193.1THz + n 0.05, µε n θετικό ή αρνητικό ακέραιο συµπεριλαµβανοµένου του 0 Χρησιµοποιείται ανάλογα µε τις απαιτήσεις σε πραγµατικά συστήµατα 9

10 Λίγα εισαγωγικά Για τις µεταδόσεις στις οπτικές επικοινωνίες έχουν οριστεί µπάντες µετάδοσης µηκών κύµατος από την ITU 1260 O-Band E-Band S-Band C-Band L-Band Original Band nm Μονού καναλιού (Single Channel) και Coarse WDM λ (nm) Extended Band nm Coarse WDM Short Band nm Μελλοντικό παράθυρο για Dense WDM Με την αύξηση των απαιτήσεων έχει αρχίσει η εµφάνιση της µπάντας U (U-Band)στην περιοχή των nm Long Band nm Ανερχόµενο παράθυρο για Dense WDM Conventional Band nm Dense/Coarse WDM 10

11 Πλεονεκτήµατα Οπτικών Ινών Υψηλή συχνότητα φέροντος, µήκος κύµατος ιαµόρφωση µεγαλύτερου εύρους ζώνης: > 10 GHz Χαµηλές απώλειες/εξασθένηση (< 0.3 db/km, συνάρτηση του µήκους κύµατος) Κάλυψη µεγάλων αποστάσεων χωρίς επαναλήπτη (> 50km) Μικρή διάµετρος (125 µm) Λιγότερο υλικό / λιγότερο βάρος Ελαφρύ και (σχετικά) εύκαµπτο καλώδιο Υψηλή αντοχή ενάντια σε παρεµβολές από ηλεκτροµαγνητικά κύµατα εν είναι αναγκαία η θωράκιση εν υπάρχουν παρεµβολές προς το εξωτερικό περιβάλλον Ηλεκτρική µόνωση εν υπάρχει πρόβληµα µε γειώσεις / διαφορές δυναµικού ίκτυα Τηλεπικοινωνιών Θαλάσσια Καλώδια Συστήµατα υπολογιστών / Μετάδοση δεδοµένων Συστήµατα σε πλοία και κυρίως αεροπλάνα 11

12 Μειονεκτήµατα Συστηµάτων Οπτικών Ινών Ίνα Μικρή διάµετρος: δυσκολίες µε τις συνδέσεις Έχει λυθεί µε τις πλαστικές οπτικές ίνες (από πολυµερή), αλλά όχι ικανοποιητικά επειδή εισάγουν µεγάλες απώλειες Επιπρόσθετη γραµµή για παροχή ηλεκτρικής ισχύος σε αποµακρυσµένα σηµεία όπου υπάρχουν διατάξεις, όπως ενισχυτές Ευαισθησία της ίνας στο υδρογόνο, το νερό, την ακτινοβολία ιονισµού (αύξηση απωλειών) Συστήµατα Φτωχή αποδοτικότητα των πηγών Είναι ο περιοριστικός παράγοντας που δεν εκτοξεύονται οι ρυθµοί µετάδοσης Οι µη γραµµικότητες των πηγών περιορίζουν τη χρήση των ινών για µετάδοση αναλογικών σηµάτων Υψηλότερος θόρυβος στο δέκτη 12

13 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (1/6) Ο πυρήνας και ο µανδύας είναι σηµαντικοί για τη διάδοση του φωτός Υψηλότερος δείκτης διάθλασης (δ. δ.) για τον πυρήνα ιάµετροι των ινών: µm, εξαρτάται από την εφαρµογή Μία συνηθισµένη διάµετρος µανδύα 125 µm ιαφορά δεικτών διάθλασης Πυρήνα από Μανδύα 1% ή λίγο παραπάνω Κύµα φωτός διαδίδεται στον πυρήνα της ίνας Μπορεί να έχει διαφορετικές κατανοµές ηλεκτρο- µαγνητικού πεδίου στη διατοµή της ίνας Κάθε κατανοµή πεδίου που ικανοποιεί τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες στα όρια πυρήνα-µανδύα καλείται εγκάρσιος τρόπος ιαφορετικοί τρόποι διαδίδονται µε διαφορετικές ταχύτητες κατά µήκος της ίνας 1. Ίνες που επιτρέπουν διάδοση ενός µόνο εγκάρσιου τρόπου λέγονται καλούνται µονότροπες (Single Mode Fibers SMFs) 2. Ίνες που επιτρέπουν διάδοση πολλαπλών εγκάρσιων τρόπων λέγονται καλούνται πολύτροπες (Multi-Mode Fibers MMFs) 13

14 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (2/6) Near-field προφίλ (φωτεινής έντασης) των τρόπων χαµηλότερης τάξης µ: αριθµός ακτινικού τρόπου (r) LP νµ LP: Linear Polarized ν: αριθµός αζιµούθιου τρόπου (φ) 14

15 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (3/6) Αριθµοί τρόπων: µ (ακτινικός) = 7 ν (αζιµούθιος) = 47 15

16 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (4/6) Οι ίνες µπορεί να διαφέρουν και στην κατανοµή του δείκτη διάθλασης στον πυρήνα και στο µανδύα Βασικοί τύποι προφίλ δείκτη διάθλασης Βηµατικού είκτη (Step-Index SI fiber) Κατασκευή µονότροπων και πολύτροπων ινών ιαβαθµισµένου είκτη (Graded-Index GI fiber) Κατασκευή πολύτροπων ινών Ακτινική µείωση του δείκτη διάθλασης Εξοµάλυνση των διαφορετικών ταχυτήτων διάδοσης των τρόπων 16

17 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (5/6) SI Fiber n(r) GI Fiber n(r) n co n 0 n cl n cl a n ( r) = Ακτίνα n = n co cl,, r r < > a a a g: εκθέτης του προφίλ του δείκτη διάθλασης ( n ) ( ) co ncl ncl nco ncl nco n ( r) a = n n cl Ακτίνα r a g,, a r r < a a 17

18 οµή και Τύποι Οπτικών Ινών (6/6) Σηµείο-κλειδί για τη µονότροπη µετάδοση είναι η µικρή διάµετρος πυρήνα Μήκος κύµατος αποκοπής (λ c ): Το µήκος κύµατος πάνω απότο οποίο µπορεί να υπάρξει µέσα στον πυρήνα µόνο ένας εγκάρσιος τρόπος λ c 2 = πα V ( 2 2 n n ) co cl α η ακτίνα του πυρήνα, V = για τυπική Step- Index ίνα διοξειδίου πυριτίου, n cο ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα, n cl ο δείκτης διάθλασης του µανδύα 18

20 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (1/6) 1. Απώλειες λόγω απορρόφησης του υλικού Ενδογενείς απώλειες Συντονισµός (resonance) των ατόµων του υλικού της ίνας Συµβαίνει στην υπέρυθρη και στην υπεριώδη περιοχή db/km Υπέρυθρη Απορρόφηση µm 20

21 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (2/6) 1. Απώλειες λόγω απορρόφησης του υλικού Εξωγενείς απώλειες Συντονισµός (resonance) των ατόµων εξωτερικών σωµατιδίων µέσα στην ίνα Απορρόφηση φωτός από δεσµούς υδροξυλίου (Ο Η) Θεµελιώδης συχνότητα συντονισµού Hz 2.72µm Κορυφές απορρόφησης στις αρµονικές µήκη κύµατος 2.72/(k+1) µm db/km Αλληλεπίδραση µεταξύ των δεσµών O H και της ίνας SiO 2 εύτερη Αρµονική Τρίτη Αρµονική Πρώτη Αρµονική µm 21

22 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (3/6) 2. Απώλειες λόγω σκεδάσεων Σκέδαση Rayleigh Γραµµική Σκέδαση a R = c R (1/λ 4 ) (db/km) c R, συντελεστής σκέδασης Rayleigh ( (db/km) µm 4 ) db/km Υπέρυθρη Απορρόφηση µm 22

23 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (4/6) 2. Απώλειες λόγω σκεδάσεων Σκέδαση Rayleigh c R, συντελεστής σκέδασης Rayleigh ( (db/km) µm 4 ) (db/km) µm 4 Συνάρτηση της διαφοράς µεταξύ των δεικτών διάθλασης µεταξύ του πυρήνα και του µανδύα, της διαµέτρου του πυρήνα και των υλικών ντοπαρίσµατος Συντελεστής σκέδασης Rayleigh ( (db/km) µm 4 ) λ = 1550 nm λ c = 1.1µm λ c = 1.3 µm λ c = 1.5 µm Σχετική ιαφορά εικτών ιάθλασης (%) Ίνα ντοπαρισµένη µε GeO 2 Ίνα µε πυρήνα από καθαρό διοξείδιο του πυριτίου 23

24 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (5/6) 2. Απώλειες λόγω σκεδάσεων Σκέδαση Mie Γραµµική Σκέδαση Τµήµα της ισχύος ενός µεταδιδόµενου τρόπου µεταφέρεται σε κάποιο άλλο τρόπο που ακτινοβολείται εξαιτίας της ανοµοιογένειας του µέσου είτε του δείκτη διάθλασης (Rayleigh) είτε της επιφάνειας του κυµατοδηγού (Mie) Σκέδαση Brillouin, Raman Μη γραµµικές σκεδάσεις Τµήµα της ισχύς ενός µεταδιδόµενου τρόπου µεταφέρεται σε κάποιο άλλο τρόπο διαφορετικής συχνότητας Σκέδαση Brillouin: λόγω θερµικών µοριακών δονήσεων Απαιτούν υψηλό επίπεδο ισχύος: 100 mw Brillouin, 1 W Raman Έχουν χρησιµοποιηθεί για οπτική ενίσχυση 24

25 4 Κύριες Πηγές Εξασθένισης στις Ίνες (6/6) 3. Απώλειες λόγω λυγισµάτων και εξωτερικών πιέσεων Απώλειες λόγω ακτινοβόλησης Ασήµαντες αν οι καµπυλώσεις είναι της τάξης του 1 mm 1 ή µεγαλύτερες 4. Απώλειες σύζευξης (coupling loss) και συγκολλήσεων (splicing loss) Εξωγενείς απώλειες Κακή ευθυγράµµιση των ινών Κλίση κάποιας από τις δύο ίνες Ποιότητα της επιφάνειας της διατοµής των ινών Ενδογενείς απώλειες Ελλειπτικότητα των πυρήνων Κακό ταίριασµα των δεικτών διάθλασης των ινών Απώλειες σύζευξης και συγκόλλησης της τάξης των 0.2 db και 0.05 db, αντίστοιχα 25

26 Συνολική εξασθένιση Ίνας Η εξωγενής απορρόφηση εξαιτίας των δεσµών O H ποικίλλουν µε τη διαδικασία κατασκευής της ίνας Φαίνεται καθαρά ότι τα δυνατά παράθυρα που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για µεταδόσεις είναι λίγο πιο πάνω από τα 850 nm, στα 1310 nm και 1550 nm db/km Υπέρυθρη Απορρόφηση µm 26

27 Χρήσιµες Έννοιες (1/3) Το φως εξασθενεί καθώς διαδίδεται στην ίνα Η εξασθένηση θέτει ένα άνω όριο στην απόσταση διάδοσης στο ρυθµό Ευαισθησία έκτη Σε κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστηµα, µία συγκεκριµένη ελάχιστη λαµβανόµενη (µέση) οπτική ισχύς απαιτείται για να επιτευχθεί µία συγκεκριµένη επίδοση. Αυτή η ελάχιστη ισχύς ονοµάζεται ευαισθησία του δέκτη (receiver sensitivity) Στις ψηφιακές µεταδόσεις, η επίδοση βασίζεται στο ρυθµό σφαλµάτων bit (Bit Error Rate BER). Τυπικές απαιτούµενες τιµές BER είναι 10 9 ή Αν η λαµβανόµενη ισχύς είναι µικρότερη από την ελάχιστη απαιτούµενη, το σύστηµα έχει µη ικανοποιητικές επιδόσεις (µεγαλύτερο από το BER που έχει τεθεί ως στόχος) ή δε λειτουργεί καθόλου 27

28 Χρήσιµες Έννοιες (2/3) Η ισχύς εκποµπής περιορίζεται σε λίγα το πολύ mw για αποφυγή υπερθερµάνσεων για την αποφυγή µη γραµµικοτήτων για τη µείωση της κατανάλωσης Ισοζύγιο Ισχύος εδοµένης της απαιτούµενης λαµβανόµενης ισχύος και της διαθέσιµης ισχύος εκποµπής, το άνω όριο των επιτρεπόµενων απωλειών ισχύος κατά τη µετάδοση καλείται ισοζύγιο ισχύος (power budget) Εκπεµπόµενη ισχύς P tx, ελάχιστη απαιτούµενη λαµβανόµενη ισχύς (ευαισθησία) P min Power Budget = P P tx min ή Power Budget [ db] = P [ dbm] P [ dbm] tx min Οι συνολικές απώλειες σε µία οπτική ζεύξη πρέπει να είναι µικρότερες από το Ισοζύγιο Ισχύος. Βελτίωση του Ισοζυγίου Ισχύος µε τους οπτικούς ενισχυτές 28

29 Χρήσιµες Έννοιες (3/3) Για ίνα µε συντελεστή απωλειών a fiber (σε db/km), η µέγιστη απόσταση κάλυψης είναι L max 1 Ptx Pmin = 10 log10 10log10 άλλεςαπώλειες db a fiber 1mW 1mW Με την αύξηση του ρυθµού, αυξάνεται και η ευαισθησία του δέκτη (γραµµικά) P min, 1 R 1 = P min, 2 R 2 Ή P min, 1 Αύξηση του ρυθµού µετάδοσης (σε bits/sec) απαιτεί αύξηση της ελάχιστης απαιτούµενης οπτικής ισχύος στη λήψη Αυξάνεται το εύρος ζώνης του σήµατος, αυξάνεται και το απαιτούµενο εύρος ζώνης του δέκτη, αυξάνεται, όµως, και η ισχύς του θορύβου και για διατήρηση του ίδιου λαµβανόµενου SNR θα πρέπει να αυξηθεί και η ισχύς του σήµατος Όταν µειώνεται η διάρκεια του bit, µειώνεται ο χρόνος µέτρησης φωτονίων ανά bit, οπότε πρέπει να αυξηθεί ο ρυθµός των εισερχόµενων φωτονίων (εισερχόµενη οπτική ισχύς) για διατήρηση της ίδιας επίδοσης στη φώραση [ ] [ ] 1 dbm = P + min, 2 dbm 10log10 R2 R [ ] 29

31 ιάδοση φωτός σε διηλεκτρικά υλικά Θεωρία ακτίνων Τέλεια προσέγγιση, αν η περίθλαση είναι αµελητέα (λ << σε σχέση µε τη διάµετρο του πυρήνα) Ανάκλαση, ιάθλαση Ολική ανάκλαση Πιο βολική η εφαρµογή σε πολύτροπες ίνες Κυµατική οπτική Προκύπτει ακριβέστερη εικόνα σε σχέση µε τη θεωρία ακτινών Εξίσωση του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου του Maxwell Βασική λύση: ηµιτονοειδές κύµα Οµοιόµορφο επίπεδο κύµα: Ε = Α cos(ωt kz) Πιο βολική η εφαρµογή σε µονότροπες ίνες 31

32 Θεωρία Ακτίνων (1/8) Από οπτικάαραιότερο σε οπτικά πυκνότερο µέσο a a Από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο µέσο a n 1 b n 2 > n 1 α α β c β b a b n 2 < n 1 θ θ c b a n 1 α α c β ολική ανάκλαση a b Νόµος του Snell (για τη διάθλαση): n sin( ) = n ( β) 1 α 2 sin 32

33 Θεωρία Ακτίνων (2/8) - Βάθος εισχώρησης µέσα στο µανδύα -Ολίσθηση Goos Haenchen οπτικά αραιότερο µέσο (n 2 ) οπτικά πυκνότερο µέσο (n 1 ) Ειδική περίπτωση διάθλασης µε ιδανικά υλικά (χωρίς εξασθένηση): µηδενική απώλεια στην ενέργεια ή στην ισχύ 100 % ανάκλαση Ωστόσο: εξασθένηση και απώλειες εξαιτίας του ίδιου του υλικού 33

34 Θεωρία Ακτίνων (3/8) Τύπος Ίνα βηµατικού δείκτη (Step- Index SI fiber) Προφίλ δ. δ. r n ιάδοση ακτίνων Ίνα διαβαθµισµένου δείκτη (Graded-Index GI fiber) Μονότροπη ίνα (Single mode SM fiber) r r n n 34

35 Θεωρία Ακτίνων (4/8) Ολική ανάκλαση σε SIίνες θ c θ θ - βάθος εισχώρησης µέσα στο µανδύα -ολίσθηση Goos Haenchen µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) θ Κρίσιµη γωνία ολικής ανάκλασης: θ c = arc cos (n cl /n co ) = acos(n cl /n co ) Ακτίνες που σε κάθε χρονική στιγµή περιορίζονται σε ένα επίπεδο που περιλαµβάνει τον οπτικό άξονα (meridional rays): θ < θ c οδήγηση (µικρές απώλειες) Γωνίες θ < θ c θα έχουν διαφορετικούς χρόνους διάδοσης για µήκος ίνας L, t θ = L/(cos(θ) (c/n co )). ιαφορετικές καθυστερήσεις διάδοσης ιασπορά 35

36 Θεωρία Ακτίνων (5/8) Αριθµητικό Άνοιγµα d NA = sin ( ) 2 2 a = n n = ( n + n )( n n ) max ( 2 2n )( n n ) n = n 2 cl co co cl cl cl cl co cl co cl θ c µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) sin = n = n ( a ) = n sin( θ ) co co max 1 1 co ( cos( θ )) ( n n ) cl c co 2 2 c = = = α max : γωνία αποδοχής (acceptance angle) ή κρίσιµη γωνία των meridional ακτίνων κώνος υποδοχής (acceptance cone) = n 2 co n 2 cl = NA 36

37 Θεωρία Ακτίνων (6/8) Στερεά Γωνία d Ω = cone area d π 2 = 2π ( ( )) 2 sin a, a << 1 max max ( 1 cos( a )) = 4π( sin( a 2) ) max max 2 θ c µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) Άρα Ω = π ΝΑ 2 α max : γωνία αποδοχής (acceptance angle) ή κρίσιµη γωνία των meridional ακτίνων κώνος υποδοχής (acceptance cone) 37

38 Θεωρία Ακτίνων (7/8) GI ίνα: a max (r) µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co (r)) a max (0) NA = sin ( ( )) ( ) 2 2 a r = n r n max cl Ακτίνες µε µικρότερη γωνία διάδοσης θ (< θ c ) «διασχίζουν» µικρότερη απόσταση «ταξιδεύουν» µέσα από µία περιοχή υψηλότερου δείκτη διάθλασης Οι GI Ίνες µπορούν να «εξισώσουν» τις καθυστερήσεις διάδοσης διαφορετικών ακτίνων µειώσουν τη διασπορά µέσα στην ίνα 38

39 Θεωρία Ακτίνων (8/8) Meridional Rays: Η διάδοση γίνεται πάντα στον άξονα της ίνας ή «διασχίζοντάς» τον Παρατήρηση: για τον (θεωρητικό) καθορισµό του αριθµητικού ανοίγµατος µόνο οι meridional ακτίνες θα θεωρηθούν Skew Rays: εν διασχίζεται ο οπτικός άξονας ούτε οι ακτίνες διαδίδονται παράλληλα προς αυτόν Helical Rays: Ελικοειδής διάδοση γύρω από τον άξονα της ίνας σαν ειδική περίπτωση skew ακτίνων (µόνο σε GI Ίνες) 39

40 Κυµατική Οπτική (1/4) Εξαιτίας των οριακών συνθηκών στη διεπαφή πυρήνα-µανδύα, µόνο ένα πεπερασµένο σύνολο κυµατο-συναρτήσεων µπορούν να µεταδοθούν µέσα σε µία ίνα και οι οποίες ικανοποιούν τις εξισώσεις Maxwell Κάθε µία τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται τρόπος διάδοσης Μία κυµατο-συνάρτηση είναι είτε ένα ηλεκτρικό πεδίο είτε ένα µαγνητικό πεδίο Για κυλινδρικούς κυµατοδηγούς, η κυµατο-συνάρτηση ενός τρόπου διάδοσης µπορεί να εκφραστεί ως Ψ r, φ,z = A r, φ e i ( ) ( ) i ( ω β ) j t z όπου, i είναι ο δείκτης του τρόπου διάδοσης ψ i, A i (r,φ) είναι η εγκάρσια κατανοµή πεδίου και β zi είναι σταθερά διάδοσης στον z-άξονα z i 40

41 Κυµατική Οπτική (2/4) β όπου β 1 είναι η σταθερά διάδοσης ενός κύµατος σε συχνότητα ω και σε οµογενές διηλεκτρικό (κυλινδρικό) µέσο µε δείκτη διάθλασης n 1 Σε µία οπτική ίνα, ο δείκτης n 1 θα είναι ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα (n co ) κ i είναι η ιδιοτιµή ή η σταθερά διάδοσης στην εγκάρσια κατεύθυνση του τρόπου i Κάθε τρόπος διάδοσης έχει πραγµατικά κ i, β zi Συνθήκη διάδοσης κυµάτων στον πυρήνα Απαιτείται n1ω n1 2π = = = β z + κ i c λ β β = κ > 0 µε β = 2 co Συνθήκη διάδοσης κυµάτων στο µανδύα β β > 0 µε β = 2 2 z cl cl i 2 z i 2 i co n cl c n co ω ω c i ncl z i 1 n < β β < co co Όσο µικρότερο το ΝΑ, τόσο λιγότεροι οι τρόποι διάδοσης 41

42 Κυµατική Οπτική (3/4) Ταχύτητα οµάδας (u g,i ) ενός τρόπου iεκφράζει πόσο γρήγορα διαδίδεται η ισχύς ενός φωτεινού σήµατος Η ταχύτητα φάσης (u p,i ) εκφράζει πόσο γρήγορα αλλάζει η φάση ενός φωτεινού σήµατος Για µικρό κ i β β z i co β β co z i u u g,i p,i ω = β = ω β z z i i β 1 ( n ) co coω 1 n n co co,g 1 = = nco + ω = = ω c ω c ω c u g Με co,g n = n + co n co ω ω το δείκτη διάθλασης οµάδας 42

43 u Κυµατική Οπτική (4/4) g,i z i ω β z β i z β i co = = = β ω β ω co β n c β β β i β β z zi ug z c nco,g co co co co,g i = = Επειδή κάθε τρόπος έχει το δικό του β zi, έχει και διαφορετική καθυστέρηση διάδοσης Για ένα παλµό που αποτελείται από πολλές φασµατικές συνιστώσες εµφανίζει διαφορετικούς τρόπους διάδοσης κατά τη διάδοση του διαφορετικές καθυστερήσεις διάδοσης αυτών των συνιστωσών θα έχουν σαν αποτέλεσµα ένα ευρύτερο παλµό στο τέλος της ίνας 43

45 ιασπορά Χρονική ιεύρυνση Παλµών Τέσσερα είδη διασποράς σε ίνες: ιασπορά Υλικού (Material Dispersion) Ο δείκτης διάθλασης του SiO 2 είναι συνάρτηση του µήκους κύµατος. ιαφορετικές φασµατικές συνιστώσες ταξιδεύουν µε διαφορετικές ταχύτητες ιασπορά Κυµατοδηγού (Waveguide Dispersion) Ένα µέρος της ενέργειας ενός τρόπου διαδίδεται στον πυρήνα και ένας µέρος στο µανδύα. Η κατανοµή της ισχύος ενός τρόπου στον πυρήνα και στο µανδύα της ίνας είναι επίσης συνάρτηση του µήκους κύµατος. Καθώς λ, περισσότερη ισχύς διαδίδεται στο µανδύα. Ταυτόχρονα, το υλικό του µανδύα είναι διαφορετικό από αυτό του πυρήνα, άρα έχει διαφορετικό δείκτη διάθλασης και το φως θα ταξιδεύει µε διαφορετική ταχύτητα στον πυρήνα από ότι στο µανδύα ιασπορά των Τρόπων (Modal Dispersion) Εκδηλώνεται εξαιτίας των διαφορετικών ταχυτήτων/καθυστερήσεων των διαφορετικών τρόπων Η ιασπορά τρόπων πόλωσης σε µονότροπες ίνες - Αντιµετώπιση (Polarization Mode Dispersion PMD) θα εξεταστεί στη συνέχεια Ενδοτροπική ιασπορά 45

46 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (1/7) Για ένα τρόπο διάδοσης i Εξάρτηση της ταχύτητας οµάδας από τη συχνότητα Μοναδιαία Καθυστέρηση ιάδοσης (καθυστέρηση ανά µονάδα µήκους) Ανάπτυγµα Taylor για κάποιο µήκος κύµατος λ t Αντίστροφη της ταχύτητας οµάδας t ( λ) Χρόνος ιάδοσης Οµάδας t ( λ) 2 ( ) ( ) ( ) g,i 1 t ( ) 2 g,i g,i λ = g,i λs + λ λs + λ λs + 2 t g,i (λ s ) είναι η µοναδιαία καθυστέρηση διάδοσης στο κεντρικό µήκος κύµατος λ s Χρωµατική Ενδοτροπική ιασπορά Ρυθµός µεταβολής του ιασπορά ιασπορά Ταχύτητας Οµάδας χρόνου διάδοσης οµάδας ως προς το µήκος κύµατος D int ra λ t ( λ) 1 β z i λ λ u g,i λ ω g,i = = = 2 λ 46...

47 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (2/7) H Μοναδιαία Καθυστέρηση ιάδοσης θα γίνει t g,i ( λ) t ( λ ) + ( λ λ ) D + ( λ λ ) g,i s s int ra 1 2 s 2 Dint λ ra ιατηρώντας µόνο τους δύο πρώτους όρους ( λ) t ( ) ( ) g,i λs = λ λs Dint ra tg,i = λ Dint ra t g,i λ είναι το εύρος ζώνης του σήµατος t g,i είναι η αύξηση του εύρους του παλµού ανά µονάδα µήκους εξαιτίας της ενδοτροπικής διασποράς Με β ω co = n co, g c D int ra = λ β z i ω = λ β β z i co β ω co = 1 c λ n co,g β β z i co 47

48 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (3/7) D int ra 1 β z 1 n β i co,g z n i co,g β z i = nco,g = + c λ βco c λ βco c λ βco D υλικού + D κυµατοδηγού D υλικού = 1 c n co,g λ β β z i co 1 c λ n co + ω n ω co β β co z i = = 1 c n λ co + λ ω n ω co β β co z i D κυµατοδηγού n β co,g = c λ βco z i Με ω = 2πc λ dω 2πc = 2 λ dλ 48

49 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (4/7) D υλικού 1 nco 2π c nco βco = + = c λ λ λ 2π c β zi λ 2 λ 2 1 nco nco βco 1 nco nco n co βco = + λ = λ 2 = c λ λ λ β z c λ λ λ β z 1 n β 1 = λ c 2 2 co co co λ 2 2 λ β z c λ i i n λ = c λ 2 n co 2 i και n co nco,g = nco λ λ ο δείκτης διάθλασης οµάδας 49

50 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (5/7) Η D υλικού είναι ανεξάρτητη του εκάστοτε τρόπου, υπάρχει µόνο η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από τη συχνότητα (ή όµοια το µήκος κύµατος) Η D κυµατοδηγού εξαρτάται από τον τρόπο i που καθορίζεται από τη δοµή του κυµατοδηγού 2 2 co co,g z i int ra = υλικού + κυµατοδηγού = + 2 c λ c λ βco D D D λ n n β 50

51 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (6/7) n co,g (λ ) n co (λ) λ (µm) 7.9 Mol % GeO 2 0 Mol % GeO 2 (Pure SiO 2 ) n co nco,g = nco λ λ 7.9 Mol % GeO 2 0 Mol % GeO 2 (Pure SiO 2 ) 51

52 Ενδοτροπική ιασπορά (Intra-Modal Dispersion) (7/7) είκτης διάθλασης Οµάδας n co,g (λ) Ίνα διοξειδίου πυριτίου λ (µm) λ 1276 nm D D υλικού = 0 υλικού 1 n β co,g z i 1 = c λ β c Ο δείκτης διάθλασης οµάδας φθίνει, «γρήγορα» µέχρι τα 1000 nm «αργά»από τα 1000 nm και µετά Η D υλικού είναι αρνητική αλλά αύξουσα Ο δείκτης διάθλασης αυξάνει Η D υλικού είναι θετική και αύξουσα co n co,g λ 52

53 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (1/6) Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) D κυµατοδηγού 1310 nm D υλικού Ολική ιασπορά (D) Εξαιτίας της διασποράς κυµατοδηγού, το µήκος κύµατος µηδενικής ολικής διασποράς ολισθαίνει κατά περίπου nm σε σχέση µε την D υλικού D = D υλικού + D κυµατοδηγού Για τυπικές µονότροπες ίνες, στην περιοχή ων 1550 nm, τυπικές τιµές για την D είναι ps/(nm km) κλίση της D λ (µm) ps/(nm 2 km) 53

54 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (2/6) Για µία µονότροπη ίνα i = 1, ορίζουµε τον παράγοντα β 2 = 2 β zi / ω 2, που καλείται παράγοντας διασποράς ταχύτητας οµάδας (group velocity dispersion parameter) Γιαβ 2 = 0, µήκος κύµατος µηδενικής διασποράς Γιαβ 2 < 0, η χρωµατική διασπορά καλείται ανώµαλη Γιαβ 2 > 0, η χρωµατική διασπορά καλείται οµαλή D int ra tg,i β z 1 β i z i = = = 2 λ λ ω λ ω ω 2π c 2 2π c β z 2π c i = = β 2 λ ω λ 2π c ω = λ 2π c dω = dλ 2 λ 2 λ dλ = dω 2π c 54

55 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (3/6) Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) Οµαλή ιασπορά, β 2 > 0 Ολική ιασπορά (D) Ανώµαλη ιασπορά, β 2 < nm Για µήκη κύµατος µικρότερα από 1310 nm, η χρωµατική διασπορά (D = D intra = t g / λ, αγνοείται ο δείκτης i =1) είναι αρνητική και αύξουσα Άρα η Μοναδιαία Καθυστέρηση ιάδοσης είναι φθίνουσασυνάρτηση ως προς το µήκος κύµατος Αν λ 1 < λ 2 < 1310 nm, το µήκος λ 2 θα διανύσει κάποιο µήκος ίνας µε µικρότερη καθυστέρησηαπό το λ 1, δηλαδή το λ 2 θα φθάσει γρηγορότερα στο άλλο άκρο λ (µm) 55

56 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (4/6) Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) Οµαλή ιασπορά, β 2 > 0 Ολική ιασπορά (D) Ανώµαλη ιασπορά, β 2 < nm Για µήκη κύµατος µεγαλύτερα από 1310 nm, η χρωµατική διασπορά (D = D intra = t g / λ, αγνοείται ο δείκτης i =1) είναι θετική και αύξουσα Άρα η Μοναδιαία Καθυστέρηση ιάδοσης είναι αύξουσασυνάρτηση ως προς το µήκος κύµατος Αν 1310 nm < λ 1 < λ 2, το µήκος λ 1 θα διανύσει κάποιο µήκος ίνας µε µικρότερη καθυστέρησηαπό το λ 2, δηλαδή το λ 1 θα φθάσει γρηγορότερα στο άλλο άκρο λ (µm) 56

57 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (5/6) Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) Οµαλή ιασπορά, β 2 > 0 Ανώµαλη ιασπορά, β 2 < 0 Ολική ιασπορά (D) λ 1 λ 2 λ 1 λ nm λ 1 λ λ = λ 2 λ 1 t g = t g (λ 2 ) t g (λ 1 ) τ g = L t g λ (µm) λ 1 < λ 2 < 1310 nm λ 1, λ 2 t t λ 1 < λ nm λ 2 λ 1, λ 2 t λ 2 λ 1 t 1310 nm < λ 1 < λ 2 t g < 0 λ 1 t g 0 t g > 0 λ 1, λ 2 t λ 1 λ 2 t 57

58 Χρωµατική ιασπορά σε ΜονότροπηΊνα SiO 2 (6/6) Μοναδιαία Καθυστέρηση ιάδοσης (t g ) (Ποιοτική Απεικόνιση) Οµαλή ιασπορά, β 2 > 0 Ανώµαλη ιασπορά, β 2 < 0 λ 1 λ 2 λ 1 λ nm λ 1 λ λ = λ 2 λ 1 t g = t g (λ 2 ) t g (λ 1 ) τ g = L t g λ 1 < λ 2 < 1310 nm λ 1, λ 2 t t λ 1 < λ nm λ 2 λ 1, λ 2 t λ 2 λ 1 t 1310 nm < λ 1 < λ 2 t g < 0 λ 1 t g 0 t g > 0 λ 1, λ 2 t λ 1 λ 2 t 1.7 λ (µm) 58

60 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (1/7) Προκαλείται από τις διαφορετικές καθυστερήσεις διάδοσης των διαφορετικών τρόπων που µεταδίδονται µέσα στην ίνα Έχει ήδη τονισθεί ότι επειδή κάθε τρόπος έχει το δικό του β zi, έχει διαφορετική καθυστέρηση οµάδας (u g,i ) διαφορετική καθυστέρηση διάδοσης Η διασπορά των τρόπων µπορεί να ορισθεί ως 1 1 D = = τ τ u u mod al g,max g,min g,min g,max µε τ g,max και τ g,min είναι η µέγιστη και η ελάχιστη µοναδιαία καθυστέρηση οµάδας, αντίστοιχα Η διασπορά των τρόπων εκφράζεται σε ps/km 60

61 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (2/7) SI ίνες κάποια στιγµή t* z 3 < z 2 < z 1 θ c t µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) ίδια ταχύτητα για όλες τις γωνίες πηγή φωτός (ισότροπη) z = 0m z 3 z 2 z 1 z L 61

62 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (3/7) SI ίνες θ c t L 3 > L 2 > L 1 (γεωµετρικά µονοπάτια) L 1 = L min = L Fiber L 3 = L max = L Fiber / cos(θ c ) = L Fiber / (n cl /n co ) µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) πηγή φωτός (ισότροπη) z = 0m z L 62

63 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (4/7) SI ίνες t ιεύρυνση παλµού σε µήκος z = L t 1 t 2 t 3 t θ c µανδύας (n cl ) πυρήνας (n co ) πηγή φωτός (ισότροπη) z = 0m z L 63

64 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (5/7) SI ίνες Από το προηγούµενο σχήµα προκύπτουν τα παρακάτω t 3 max t = t t = L L n c mod al = t > t > t = t 2 1 ( ) n tmod al = LFiber 1 n 1 ( ) co c LFiber cos θ = c ncl nco c nco n cl nco nco t = L = L = D L nc l c c mod al Fiber Fiber mod al Fiber min co co 64

65 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (6/7) GI ίνες ιαφορετικά γεωµετρικά µονοπάτια : L 1 < L 2 < L 3 ιαφορετικές ταχύτητες κατά µήκος των µονοπατιών 2 και 3: ταχύτερα κοντά στο όριο: n(r) < n(0) Σχεδόν ίδια οπτικά µονοπάτια: t κάποια στιγµή t* z 3 z 2 z 1 n(0) L 1 n mean,2 L 2 n mean,3 L 3 ιεύρυνση παλµού σε µήκος z = L t 1 t 2 t 3 t πηγή φωτός (ισότροπη) 65

66 ιασπορά των Τρόπων (Inter-modal Dispersion) (7/7) GI ίνες n(0) L 1 n mean,2 L 2 n mean,3 L 3 t modal = t max t min (εξάρτηση από τον εκθέτη του προφίλ του δείκτη διάθλασης) t modal = L τ modal = L 2 /2 τ g (εκθέτης = 2) µετ g = n(0)/c: κανονικοποιηµένη χρονική καθυστέρηση : (σχετική)διαφορά δεικτών διάθλασης Επιλεκτική διέγερση ακτίνων µε διαφορετικές γωνίες διάδοσης (µόνο για χαρακτηρισµό)

68 Ολική ιασπορά (Total Dispersion) Από την ενδοτροπική διασπορά και από τη διασπορά των τρόπων µπορεί να αποκτηθεί η ολική διασπορά Σε πολύτροπες ίνες η διασπορά των τρόπων υπερτερεί έντονα της ενδοτροπικής διασποράς Στη σχέση αθροίσµατος τετραγώνων που ακολουθεί λ είναι το οπτικό εύρος ζώνης σε nm Η ολική διασπορά εκφράζεται σε ps/km D = D λ + D total int ra mod al Για µήκος L, η ολική καθυστέρηση διάδοσης είναι ανάλογη της D total L, και το εύρος ζώνης της ίνας θα είναι B fiber = D 1 total L 68

69 Όριο ιασποράς (1/2) Η διασπορά θέτει ένα άνω όριο για τη µέγιστη απόσταση διάδοσης σε ένα δεδοµένο ρυθµό που ονοµάζεται όριο διασποράς Έστω ότι κάθε µεταδιδόµενος παλµός έχει διάρκεια T 0 (όση η διάρκεια του bit R είναι ο ρυθµός των bits) Στη λήψη προκύπτει διεύρυνση λόγω διασποράς Έστω ότι ο λαµβανόµενος παλµός έχει έχει εύρος T (> T 0 ) Οι παλµοί επικαλύπτονται και τα µηδενικά παρεµβάλλονται από γειτονικούς παλµούς Προκύπτει αλληλοπαρεµβολή συµβόλων (Inter-Symbol Interference ISI) µε αποτέλεσµα την αύξηση του BER Μεταδιδόµενο σήµα T 0 Λαµβανόµενο σήµα T 69

70 Όριο ιασποράς (2/2) Ένας πρακτικός κανόνας ότι το BER δε θα αυξάνεται σηµαντικά είναι ο εξής T T0 = T' T0 = Dtotal L = 4 Η διεύρυνση των παλµών δεν προκαλείται µόνο από τη διασπορά Οι χρόνοι ανόδου του ποµπού και του δέκτη «συνεισφέρουν» στη διεύρυνση των παλµών Λαµβάνοντας υπόψιν και τους χρόνους ανόδου του ποµπού (τ t ) και του δέκτη (τ r ), η ολική διεύρυνση των παλµών θα είναι T 2 = τ τ 2 2 t + r + ( D L) 2 total 1 4 Οπότε θα προκύψει η εξής σχέση 1 R τ 2 2 ( ) t + τ r + D total L 4 R 2 Η D total έχει διαστάσεις psec/km 70

71 Σενάριο 1: Χρονική διασπορά ανεξάρτητη του ρυθµού Η χρονική διασπορά Τ µπορεί να είναι ανεξάρτητη του ρυθµού όταν είτε η διασπορά των τρόπων υπερισχύει Σε SI πολύτροπες ίνες, η διασπορά των τρόπων είναι πολύ µεγαλύτερη από τη χρωµατική διασπορά κάθε τρόπου είτε όταν το εύρος λ δεν εξαρτάται από το ρυθµό Σε µονότροπες ίνες, ή GI πολύτροπες ίνες, αν χρησιµοποιηθεί LED ή πολύτροπο FP laser, µε εύρος γραµµής πολύ µεγαλύτερο του ρυθµού των bits T = t + τr + total total τ t + 4 R 4 R ( ) D L D L τ τ 2 r Ορίζοντας Rmax ( ) τ + τ = ως τον υψηλότερο δυνατό ρυθµό bit 1 t r 1 4D 1 R Τότε L< 2 2 Με τ t = τ r = 0 1 total R max L < 1 4D total 1 R 71

72 Σενάριο 2: Χρονική διασπορά ανάλογη του ρυθµού Όταν χρησιµοποιούνται µονότροπες ίνες δεν υπάρχει διασπορά των τρόπων αν χρησιµοποιηθούν µονότροπη πηγή και εξωτερικός διαµορφωτής, το εύρος ζώνης λθα είναι της τάξης του R Με βάση το σχήµα διαµόρφωσης, το οπτικό εύρος ζώνης του διαµορφωµένου σήµατος έχει µορφή f = 2 R/log 2 (M) Μ = 2 υπό AM εξωτερική διαµόρφωση Επειδή 2 λ c f λ= θα έχουµε 2 λ Dtotal = Dint ra λ= Dint ra 2 R log2 M c ( ( )) ( ( )) c 1 1 Dint ral λ< L< 4 R R 4D λ 2 log M R R R max int ra 2 max Με τ t = τ r = c Dint ral λ< L< 4 R 4D λ 2 log M R int ra ( ( ))

73 Σενάριο 3: Χρονική διασπορά ανάλογη του τετραγώνου του ρυθµού (1/2) Όταν χρησιµοποιούνται µονότροπες ίνες, µονότροπες πηγές φωτός, εξωτερική διαµόρφωση Όταν γίνονται µεταδόσεις είτε στα 1310 nm είτε στα 1550 nm χρησιµοποιώντας ίνες µετατοπισµένης διασποράς Επειδή D intra = 0, θα ληφθεί υπόψη ο όρος δεύτερης τάξης της µοναδιαίας καθυστέρησης διάδοσης t g,i 1 2 ( λ) ( λ λ ) s 2 Dint λ όπου λ s είναι το µήκος κύµατος για το οποίο D intra / λ = 0.Αν είναι επίσης το κέντρο του εύρους ζώνης του σήµατος, τότε η µέγιστη απόκλιση για λ λ s θα είναι 2 2 λ λ λ max λ λ ( 2 ( )) s = = f = log2 M R 2 2c 2c ra Οπότε, η σχετική καθυστέρηση θα γίνει D λ ( ) 2 int ra ( ) ( ) tg,i λ 2 log M R 2 λ 2c 73

74 Σενάριο 3: Χρονική διασπορά ανάλογη του τετραγώνου του ρυθµού (2/2) Άρα τελικά, t g,i λ L λ ( ) < 4 R R 2 2 max D int ra λ ( 2 log ( )) 2 M R L λ λ 2c 4 R Rmax < L< 1 2c D λ R R R ( ( M) ) 2 2 int ra λ 2 log max Με τ t = τ r = 0 L 1 2c 1 < D λ R ( ( M) ) 2 2 int ra λ 2 log

75 Συνθήκες εισόδου και µετατροπή ακτίνων σε πολύτροπες ίνες (ray conversion) Προβλήµατα Επιλεκτική διέγερση Εξασθένιση εξαρτώµενη από τον τρόπο (Mode Dependent Attenuation) Καθυστέρηση και διεύρυνση παλµών εξαρτώµενες από τον τρόπο Μετατροπή ακτίνας (τρόπου) κατά µήκος της ίνας εξαιτίας της σκέδασης Παρατηρήσεις Υψηλότερη εξασθένηση των ακτίνων µε µεγαλύτερη γωνία διάδοσης Μία σταθερή κατάσταση (steady state) θα επιβληθεί µετά από κάποια απόσταση Αλλά αλλαγές στις διασυνδέσεις µανδύας πυρήνας ακτίνα µετά ακτίνα µετά µετατροπή ακτίνας και µεταφορά ισχύος σε άλλους τρόπους 75

76 ιασπορά των τρόπωνσε µεγάλες αποστάσεις Σε πολύτροπες ίνες και για κάποιο µήκος µεγαλύτερο από ένα κρίσιµο µήκος, η ολική διασπορά (ή πιο σωστά η χρονική διεύρυνση των παλµών λόγω της επίδρασης της διασποράς) δεν είναι ανάλογη του µήκους αλλά της τετραγωνική ρίζας αυτού Αυτό συµβαίνει λόγω του φαινοµένου της σύζευξης των τρόπων (mode coupling)που είναι το φαινόµενο της µεταφοράς ισχύος µεταξύ διαδιδόµενων τρόπων Το φαινόµενο γίνεται ιδιαίτερα έντονο όταν η απόσταση γίνεται µεγαλύτερη από κάποιο κρίσιµο µήκος L c που ονοµάζεται µήκος σύζευξης (coupling length) ιαισθητικά, µε βάση τον διαδιδόµενο τρόπο που έχει ενεργοποιηθεί λόγω της µεταφοράς ισχύος, κάποια φωτόνια θα ταξιδεύουν µερικές φορές γρηγορότερα µεγάλη ταχύτητα οµάδας και µερικές φορές πιο αργά µικρή ταχύτητα οµάδας Αυτή η διακύµανση στην ταχύτητα κάνει τη διασπορά των τρόπων και κατ επέκταση την ολική διασπορά ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του ολικού µήκους, αρκεί αυτό να είναι µεγαλύτερο του µήκους σύζευξης Για µήκη µικρότερα του µήκους σύζευξης, υπάρχει γραµµική σχέση της διασποράς µε την απόσταση Το φαινόµενο της σύζευξης των τρόπων εµφανίζεται σε έντονο βαθµό στις πλαστικές οπτικές ίνες οι οποίες κατασκευάζονται από υλικό PMMA (PolyMethyl-Methacrylate) 76

78 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ (1/2) ιάµετροι πυρήνα ~ 8 µm (πυρήνα) 125 µm (µανδύας) Προφίλ δείκτη διάθλασης Τύπος 1: MC (Matched Clad) ίνα µε πυρήνα ντοπαρισµένο µε Ge Τύπος 2: DC (Depressed Clad) ίνα µε πυρήνα ντοπαρισµένο µε Ge Τύπος 3: Z ίνα µε µη ντοπαρισµένο πυρήνα ιαφορά δεικτών διάθλασης µεταξύ πυρήνα µανδύα ~ 0.3% είκτης διάθλασης στα 632 nm Ακτίνα (µm) Ge doped SiO 2 undoped SiO 2 F doped SiO 2 78

79 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ (2/2) Προφίλ δεικτών διάθλασης n co n(r) r = 0 ~ 50 µm ~ 120 µm SI πολύτροπη ίνα n cl r = 0 ~ 50 µm ~ 120 µm GI πολύτροπη ίνα n cl r = 0 n co ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα n cl 79

80 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (1/12) Για µία τυπική µονότροπη ίνα, η επίδραση της διασποράς σχεδόν µηδενίζεται στην περιοχή των 1310 nm Θα βόλευε η µεταφορά του µήκους κύµατος µηδενικής διασποράς στα 1550 nm, όπου είναι και το παράθυρο των χαµηλών απωλειών Σ αυτή την περίπτωση, αν γίνουν µεταδόσεις µε Πολυπλεξία µε ιαίρεση Μήκους Κύµατος (Wavelength Division Multiplexing WDM) στην περιοχή µηδενικής διασποράς µπορεί να εισαχθούν σοβαροί περιορισµοί λόγω του µη γραµµικού φαινοµένου της µίξης τεσσάρων κυµάτων (Four Wave mixing) εν είναι εύκολος ο έλεγχος της διασποράς του υλικού Μπορεί να µεταβληθεί ελαφρώς ντοπάροντας µε κατάλληλες προσµίξεις τον πυρήνα και το µανδύα της ίνας Μπορεί να µεταβληθεί σηµαντικά η διασπορά του κυµατοδηγού ίνεται η δυνατότητα ολίσθησης του µήκους κύµατος µηδενικής διασποράς στην µπάντα των 1550 nm Ίνες µε µήκος κύµατος µηδενικής διασποράς στη µπάντα των 1550 nm καλούνται ίνες µετατοπισµένης διασποράς (Dispersion Shifted Fiber DSF) Χρωµατική διασπορά στη µπάντα των 1550 nm το πολύ ίση µε 6 ps/(nm km) Τυπικά µηδενική διασπορά στα 1550 nm Μεγάλο τµήµα εγκαταστηµένων ινών στη Ιαπωνία είναι DSFs 80

81 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (2/12) Η διασπορά του κυµατοδηγού µπορεί να µεταβληθεί τροποποιώντας κατάλληλα το προφίλ του δείκτη διάθλασης της ίνας r = 0 r = 0 n co ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα n cl ~ 6 µm ~ 120 µm Ίνα µετατοπισµένης διασποράς Τραπεζοειδής ή τριγωνική µεταβολή του δείκτη διάθλασης στον πυρήνα + Βηµατική µεταβολή του δείκτη διάθλασης στο µανδύα Μονότροπη ίνα µε µηδενική διασπορά στη µπάντα των 1550 nm 81

82 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (3/12) Η διασπορά του κυµατοδηγού µπορεί να µεταβληθεί τροποποιώντας κατάλληλα το προφίλ του δείκτη διάθλασης της ίνας ή αλλάζοντας τη διάµετρο του πυρήνα r = 0 r = 0 n co ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα n cl ~ 6 µm ~ 120 µm Ίνα µετατοπισµένης διασποράς n co ~ 6 µm ~ 120 µm Ίνα µετατοπισµένης διασποράς ~ 5 µm ~ 120 µm Ίνα µετατοπισµένης διασποράς n cl 82

83 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (4/12) Η διασπορά του κυµατοδηγού είναι συνάρτηση της παραµέτρου V που είναι γνωστή ως κανονικοποιηµένη συχνότητα (normalized frequency) V 2π = a λ 2 2 n co n cl όπου α η ακτίνα του πυρήνα D κυµατοδηγού ( Vb) 2 n co ncl V 2 cλ V όπου b είναι η κανονικοποιηµένη σταθερά διάδοσης (normalized propagation constant) b ( β λ) ( 2π) z n co n cl n cl και β z η σταθερά διάδοσης του (µοναδικού) διαδιδόµενου τρόπου Η διασπορά του κυµατοδηγού µπορεί να µειωθεί µειώνοντας την ποσότητα V Άµεση µείωση της ποσότητας V µπορεί να επέλθει µε µείωση της ακτίνας του πυρήνα 83

84 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (5/12) Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) nm D υλικού 1550 nm Τυπική µονότροπη ίνα Ίνα µετατοπισµένης διασποράς α = 2.5 µm α = 4.0µm α = 2.5 µm α = 2.0 µm λ (µm) D κυµατοδηγού 84

85 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (6/12) Ίνες µετατοπισµένης διασποράς µε µη µηδενική διασπορά στα 1550 nm (Non- Zero Dispersion Shifted Fibers NZ DSF) Πιο συγκεκριµένα, η διασπορά είναι µικρή και µη µηδενική στην C µπάντα Η χρωµατική διασπορά µπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική στη C µπάντα Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) C µπάντα L µπάντα λ (µm) 85

86 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (7/12) Ίνες πολλαπλών µανδυών ή πεπλατυσµένης διασποράς (Multi-cladding or Dispersion Flattened Fibers) Μικρός πυρήνας (~ 6 µm) r = 0 Επίπεδη διασπορά σε µεγάλο εύρος µηκών κύµατος ιπλού µανδύα r = 0 n co ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα n cl ~ 6 µm ~ 120 µm Ίνα πεπλατυσµένης διασποράς Τετραπλού µανδύα ~ 6 µm ~ 120 µm Ίνα πεπλατυσµένης διασποράς 86

87 Χρωµατική ιασπορά D (ps/(nm km)) ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (8/12) nm Ολική ιασπορά (D) Ίνες πεπλατυσµένης διασποράς Ίνες πολλαπλών µανδυών ή πεπλατυσµένης διασποράς (Multicladding or Dispersion Flattened Fibers) λ (µm) 87

88 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (9/12) Ίνες µε µεγάλη χρωµατική διασπορά αντίθετου προσήµου (αρνητικό στην περίπτωση που αρχικά προηγείται µία τυπική µονότροπη ίνα) χρησιµοποιούνται για να αντισταθµίσουν τη σωρευµένη χρωµατική διασπορά µία ζεύξης µεγάλου µήκους Ίνες αντιστάθµισης της διασποράς (Dispersion Compensating Fibers DCFs) Η ακτίνα του πυρήνα της DCF είναι σηµαντικά µικρότερη από την ακτίνα µίας τυπικής µονότροπης ίνας, αλλά έχει µεγαλύτερο δείκτη διάθλασης r = 0 n co Μεγάλη αρνητική χρωµατική διασπορά r = 0 n cl ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα ~ 5 µm ~ 120 µm DCF 88

89 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (10/12) Οι DCFs είναι γνωστές και ως ίνες πεπιεσµένου µανδύα (depressed cladding fibers) Ο πυρήνας περιβάλλεται από ένα «δακτύλιο» χαµηλότερου δείκτη διάθλασης που µε τη σειρά του περιβάλλεται από ένα «δακτύλιο» υλικού υψηλότερου δείκτη διάθλασης r = 0 n co Αρνητική κλίση χρωµατικής διασποράς, σηµαντικό χαρακτηριστικό στην αντιστάθµιση χρωµατικής διασποράς r = 0 n cl ~ 10 µm ~ 120 µm Τυπική µονότροπη ίνα ~ 5 µm ~ 120 µm DCF 89

90 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (11/12) Γενικά, µείωση της επίδρασης της χρωµατικής διασποράς µπορεί να επιτευχθεί µε χρήση εξωτερικής διαµόρφωσης σε συνδυασµό µε DFB lasers για συστήµατα υψηλών ταχυτήτων ίνες µε µικρή χρωµατική διασπορά Non-Zero Dispersion Shifted Fibers (NZ DSF) µε µικρή χρωµατική διασπορά στη C µπάντα εφαρµογή αντιστάθµισης διασποράς όταν η εξωτερική διαµόρφωση δεν είναι επαρκής Συντελεστής χρωµατικής διασποράς της DCF: 100 ~ 300 ps/(nm km) Μία DCF µπορεί να αντισταθµίσει ταυτόχρονα µεγάλο εύρος µηκών κύµατος Το πρόβληµα είναι ότι η DCF εισάγει επιπλέον απώλειες Οι DCFs είναι σχετικά πιο ευάλωτες στα µη γραµµικά φαινόµενα Θετική χρωµατική διασπορά χρησιµοποιείται για χερσαία συστήµατα και αρνητική χρωµατική διασπορά χρησιµοποιείται για υποθαλάσσια συστήµατα Ακριβώς αντίθετο καθεστώς εφαρµόζεται για την αντιστάθµιση της χρωµατικής διασποράς Chirped Fiber Bragg Grating (ειδικής κατασκευής φίλτρα Bragg gratings) Η περίοδος του grating µεταβάλλεται γραµµικά µε τη θέση Ένα grating είναι κατάλληλο για αντιστάθµιση ενός µεµονωµένου µήκους κύµατος και όχι για πολλαπλά µήκη κύµατος 90

91 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Έλεγχος της διασποράς (12/12) Χάρτης χρωµατικής διασποράς (chromatic dispersion map) Περιγράφει τη µεταβολή της σωρευµένης χρωµατικής διασποράς µε την απόσταση Περιλαµβάνει τα διαγράµµατα των συντελεστών χρωµατικής διασποράς (ps/(nm km)) των τµηµάτων ίνας που χρησιµοποιούνται συναρτήσει της απόστασης της σωρευµένης διασποράς (ps/nm) (accumulated dispersion) συναρτήσει του µήκους T Τοπική Χρωµατική διασπορά (ps/(nm km)) Τυπική SMF DCF Τυπική SMF DCF Σωρευµένη διασπορά (ps/nm) Είναι οι συντελεστές χρωµατικής διασποράς κάθε τµήµατος ίνας Για το συγκεκριµένο µήκος κύµατος που γίνονται µεταδόσεις, η DCF αντισταθµίζει πλήρως τη διασπορά µήκος µήκος 91

93 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων (1/9) Σε συστήµατα όπου έχουν εγκατασταθεί NZ DSFs, η χρωµατική διασπορά συσσωρεύεται πολύ πιο αργά από την περίπτωση των τυπικών µονότροπων ινών Οι NZ DSFs έχουν συντελεστή χρωµατικής διασποράς 1~6 ps/(nm km) Αυτές οι ίνες απαιτούν πολύ µικρότερο µήκος DCF Σε υποθαλάσσια συστήµατα έχουν εγκατασταθεί NZ DSFs µε µικρό αλλά αρνητικό συντελεστήχρωµατικής διασποράς ( 1 ~ 6 ps/(nm km)), ώστε να επιτρέπονται υψηλότερα επίπεδα ισχύος εκποµπής χωρίς να επηρεάζει σηµαντικά το µη γραµµικό φαινόµενο Self Phase Modulation (SPM) µέσω της αστάθειας διαµόρφωσης (modulation instability) Η σωρευµένη χρωµατική διασπορά είναι αρνητική και µπορεί να αντισταθµιστεί µε µία τυπική µονότροπη ίνα η οποία ως γνωστόν έχει θετική χρωµατική διασπορά (ισχύει για τη µπάντα που µας ενδιαφέρουν οι µεταδόσεις C µπάντα) Εναλλαγή ίνας µε αρνητική χρωµατική διασπορά και τυπικής µονότροπης ίνας διοξειδίου πυριτίου µπορεί να κρατήσει σε χαµηλά επίπεδα τη σωρευµένη χρωµατική διασπορά Στις υποθαλάσσιες ζεύξεις, τα υψηλά επίπεδα ισχύος εκποµπής είναι απαραίτητα εξαιτίας της ανάγκης κάλυψης πολύ µεγάλων αποστάσεων 93

94 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων (2/9) Το φαινόµενο SPM είναι εντονότερο όταν χρησιµοποιούνται υψηλά επίπεδα ισχύος εκποµπής και ίνες θετικής χρωµατικής διασποράς,προκαλώντας σ αυτή την περίπτωση «διάλυση» ενός παλµού σε ροή στενών παλµών χρονικά αυτή είναι η αστάθεια διαµόρφωσης και οδηγεί σε σηµαντική αύξηση του BER Το φαινόµενο SPM εµφανίζεται επειδή ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από τη φωτεινή ένταση ενός σήµατος µέσα στην ίνα. Χρειάζεται έλεγχος της ισχύος Ο µη γραµµικός δείκτης διάθλασης προκαλεί ολίσθηση φάσης µέσα στο ίδιο (γι αυτό και το Self ) το σήµα που είναι ανάλογη της φωτεινής έντασης του παλµού, οπότε διαφορετικά τµήµατα ενός παλµού υφίστανται διαφορετικές ολισθήσεις φάσεις. Η επίδραση του φαινοµένου SPM γίνεται δριµύτερη µε την αύξηση της ισχύος εκποµπής και του ρυθµού µετάδοσης ιακυµάνσεις της οπτικής ισχύος του σήµατος προκαλούν αλλαγές στη φάση του ίδιου του σήµατος 94

95 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων (3/9) Στα χερσαία συστήµατα δεν χρησιµοποιείται η λογική της NZ DSFµε αρνητική διασποράακολουθούµενη από µία τυπική µονότροπη ίνα για αντιστάθµιση της διασποράς, αφού η χρήση ίνας µε αρνητική χρωµατική διασπορά εµποδίζει την αναβάθµιση του συστήµατος στην κάλυψη και της L µπάντας ( nm) Η NZ DSF έχει θετική κλίση χρωµατικής διασποράς Ίνες (NZ DSF) µε αρνητικό συντελεστή χρωµατικής διασποράς στη C µπάντα ( nm)θα έχουν µηδενικό συντελεστή χρωµατικής διασποράς στην L µπάντα, όπου θα γίνεται έντονη η επίδραση του φαινοµένου στης µίξης τεσσάρων κυµάτων (για το τµήµα που αφορά τη µετάδοση στην NZ-DSF) αν ταυτόχρονα εφαρµοστούν WDM µεταδόσεις Επίσης, δε θα γίνεται αντιστάθµιση διασποράς επειδή και η τυπική µονότροπη ίνα που θα ακολουθεί θα έχει ακόµα µεγαλύτερο συντελεστή χρωµατικής διασποράς, επειδή και αυτή έχει θετική κλίση χρωµατικής διασποράς Αυτά δεν είναι προβλήµατα για υποθαλάσσια συστήµατα, καθώς συνήθως δεν είναι αναβαθµίσιµα αφού εγκατασταθούν, αφού βρίσκονται στον πυθµένα των ωκεανών 95

96 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων (4/9) WDM συστήµατα (και ειδικά πυκνά (Dense) WDM - DWDM) δε µπορούν να λειτουργήσουν γύρω από την περιοχή µηδενικής χρωµατικής διασποράς εξαιτίας της δριµύτατης επίδρασης της µίξης τεσσάρων κυµάτων Αν WDM συστήµατα αποτελούνται από τις συχνότητες f 1, f 2,, f N, τότε λόγω της µίξης τεσσάρων κυµάτων θα παραχθούν νέα σήµατα στις συχνότητες 2f i f j και f i + f j f k (i k, j k). Αυτά τα σήµατα θα εµφανίζονται σα διαφωνία (crosstalk) στα σήµατα που ήδη υπάρχουν στο σύστηµα Η εµφάνιση των νέων σηµάτων οφείλεται στο ότι υπάρχει εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από τη φωτεινή ένταση, και αυτή προκαλεί όχι µόνο ολισθήσεις φάσεις µέσα σε ένα κανάλι, αλλά και τη γέννηση των νέων συχνοτήτων κι αν ταυτόχρονα είναι µειωµένη η διασπορά, πολλά σήµατα θα διαδίδονται µε σταθερή διαφορά φάσης µεταξύ τους, οπότε θα είναι και πιο εύκολη η παραγωγή των νέων συνιστωσών 96

97 ΜΟΝΟΤΡΟΠΕΣ ΊΝΕΣ Συνύπαρξη χρωµατικής διασποράς και µη γραµµικών φαινοµένων (5/9) WDM συστήµατα (και ειδικά πυκνά (Dense) WDM - DWDM) δε µπορούν να λειτουργήσουν γύρω από την περιοχή µηδενικής χρωµατικής διασποράς εξαιτίας της δριµύτατης επίδρασης της µίξης τεσσάρων κυµάτων (συνέχεια) Τρία κύµατα σε συχνότητες (f i, f j, f k ) συνδυάζονται για να γεννήσουν ένα τέταρτο κύµα σε συχνότητα f i ± f j ± f k Η µεγαλύτερη επιβάρυνση προέρχεται από το σήµα που παράγεται στη συχνότητα f i + f j f k (i k, j k) και µπορεί να συµπίπτει ή να είναι πολύ κοντά σε κάποιο ωφέλιµο σήµα Για ίση απόσταση διαδοχικών καναλιών και για συγκεκριµένη απόσταση των καναλιών i, j, k, το τέταρτο κύµα θα «µολύνει» το κύµα σε κάποια από τις συχνότητες f i, f j, f k. Π.χ. για απόσταση µεταξύ διαδοχικών καναλιών f, µε f 1, f 2 = f 1 + f, f 3 = f f, προκύπτει f 1 f 2 + f 3 = f 1 + f = f 2 και 2f 2 f 1 = f 3 Για σύστηµα µε W κανάλια, θα προκύψουν W (W 1) 2 σήµατα ωςαποτέλεσµα της µίξης τεσσάρων κυµάτων που θα είναι κοντά ή θα συµπίπτουν µε κάποιο ωφέλιµο σήµα Από τη σχέση f ijk = f i + f j f k (i k, j k) f f f 113 = f 1 + f 1 f 3 f 123 = f 1 + f 2 f 3 f 213 = f 2 + f 1 f 3 f 223 = f 2 + f 2 f 3 f 112 = f 1 + f 1 f 2 f 132 = f 1 + f 3 f 2 f 312 = f 3 + f 1 f 2 f 332 = f 3 + f 3 f 2 f 221 = f 2 + f 2 f 1 f 231 = f 2 + f 3 f 1 f 321 = f 3 + f 2 f 1 f 331 = f 3 + f 3 f 1 f 113 f123 f 1 f 2 f 3 f 112 f 223 f 132 f 221 f 231 f 312 f 213 f 321 f 332 f

Δείτε περισσότερα