ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov Myungsunn Ryu.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu."

Transcript

1 ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ

2

3 ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the purpose, EΥKΛEIHΣ (EUKLEIDES) 2. The drawings are based on the Java TM script drawings on David Joyce s Euclid s Elements Web Page 3. This documents is created to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The text is availible at the Perseus Digital Library and each word is linked to morphological analysis tools. But the text there lacks the diagrams that are critical in understanding the text. So I have prepared a version with the diagrams, which was what I had been eagerly looking for myself for years on the internet. The Greek text of Euclid s Elements is in the public domain. But the digitalized version, and especially the morphological tools serviced on Perseus Digital Library are protected by copyright laws. I have made a brief contact with Perseus personel and got an answer that Perseus Digital Library is not putting stress on the mere (Greek) text on it s home page. But the various learning tools are just what it is for and is strictly protected by law. If you get stimulated by this document and decide to read the book you are strongly recommended to visit Perseus Digital Library and get the full linguistic assistance from the philological tools there. This document can be freely distributed (as long as there s no copyright infringement to Perseus Digital Library s part) and I claim no copyright of any kind except in case you use this document for any commercial interest. Thank you. ;) Nov Myungsunn Ryu. If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. Recently I found a wonderful Greek site 5 that presents Euclid s Elements in Ancient Greek with all the diagrams in HTML. 1 mirrors at and at i

4 ii ΠEPIEXOMENA ΠEPIEXOMENA BIBΛION I BIBΛION II BIBΛION III BIBΛION IV BIBΛION V BIBΛION VI BIBΛION VII BIBΛION VIII BIBΛION IX BIBΛION X BIBΛION XI BIBΛION XII BIBΛION XIII

5 BIBΛION I ΟΡΟΙ 1. Σηµε ν στιν, ο µέρο ο θέν. 2. ραµµ δ µ κο πλατέ. 3. ραµµ δ πέρατα σηµε α. 4. θε α γραµµή στιν, τι ξ σου το φ αυτ σηµείοι κε ται. 5. πιφάνεια δέ στιν, µ κο κα πλάτο µ νον χει. 6. πιφανεία δ πέρατα γραµµαί. 7. πίπεδο πιφάνειά στιν, τι ξ σου τα φ αυτ ε θείαι κε ται. 8. πίπεδο δ γωνία στ ν ν πιπέδω δ ο γραµµ ν πτοµένων λλήλων κα µ π ε θεία κειµένων πρ λλήλα τ ν γραµµ ν κλίσι. 9. Οταν δ α περιέχουσαι τ ν γωνίαν γραµµα ε θε αι σιν, ε θ γραµµο καλε ται γωνία. 10. Οταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στι, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετο καλε ται, φ ν φέστηκεν. 11. µβλε α γωνία στ ν µείζων ρθ. 12. Οξε α δ λάσσων ρθ. 13. Ορο στίν, τιν στι πέρα. 14. Σχ µά στι τ π τινο τινων ρων περιεχ µενον. 15. Κ κλο στ σχ µα πίπεδον π µι γραµµ περιεχ µενον [ καλε ται περιφέρεια], πρ ν φ ν σηµείου τ ν ντ το σχήµατο κειµένων π σαι α προσπίπτουσαι ε θε αι [πρ τ ν το κ κλου περιφέρειαν] σαι λλήλαι ε σίν. 16. Κέντρον δ το κ κλου τ σηµε ον καλε ται. 17. ιάµετρο δ το κ κλου στ ν ε θε ά τι δι το κέντρου γµένη κα περατουµένη φ κάτερα τ µέρη π τ το κ κλου περιφερεία, τι κα δίχα τέµνει τ ν κ κλον. 18. µικ κλιον δέ στι τ περιεχ µενον σχ µα π τε τ διαµέτρου κα τ πολαµβανοµένη π α τ περιφερεία. κέντρον δ το µικυκλίου τ α τ, κα το κ κλου στίν. 1

6 2 BIBΛION I. 19. Σχήµατα ε θ γραµµά στι τ π ε θει ν περιεχ µενα, τρίπλευρα µ ν τ π τρι ν, τετράπλευρα δ τ π τεσσάρων, πολ πλευρα δ τ π πλει νων τεσσάρων ε θει ν περιεχ µενα. 20. Τ ν δ τριπλε ρων σχηµάτων σ πλευρον µ ν τρίγων ν στι τ τ τρε σα χον πλευρά, σοσκελ δ τ τ δ ο µ να σα χον πλευρά, σκαλην ν δ τ τ τρε νίσου χον πλευρά. 21. τι δ τ ν τριπλε ρων σχηµάτων ρθογώνιον µ ν τρίγων ν στι τ χον ρθ ν γωνίαν, µβλυγώνιον δ τ χον µβλε αν γωνίαν, ξυγώνιον δ τ τ τρε ξεία χον γωνία. 22. Τ ν δ τετραπλε ρων σχηµάτων τετράγωνον µέν στιν, σ πλευρ ν τέ στι κα ρθογώνιον, τερ µηκε δέ, ρθογώνιον µέν, ο κ σ πλευρον δέ, µβο δέ, σ πλευρον µέν, ο κ ρθογώνιον δέ, οµβοειδ δ τ τ πεναντίον πλευρά τε κα γωνία σα λλήλαι χον, ο τε σ πλευρ ν στιν ο τε ρθογώνιον: τ δ παρ τα τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. 23. Παράλληλοί ε σιν ε θε αι, α τινε ν τ α τ πιπέδω ο σαι κα κβαλλ µεναι ε πειρον φ κάτερα τ µέρη π µηδέτερα συµπίπτουσιν λλήλαι. ΙΤΜΤ 1. ιτήσθω π παντ σηµείου π π ν σηµε ον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. 2. Κα πεπερασµένην ε θε αν κατ τ συνεχ π ε θεία κβαλε ν. 3. Κα παντ κέντρω κα διαστήµατι κ κλον γράφεσθαι. 4. Κα πάσα τ ρθ γωνία σα λλήλαι ε ναι. 5. Κα ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ντ κα π τ α τ µέρη γωνία δ ο ρθ ν λάσσονα ποι, κβαλλοµένα τ δ ο ε θεία π πειρον συµπίπτειν, φ µέρη ε σ ν α τ ν δ ο ρθ ν λάσσονε. ΚΟΙΝΙ ΝΝΟΙΙ 1. Τ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα. 2. Κα ν σοι σα προστεθ, τ λα στ ν σα. 3. Κα ν π σων σα φαιρεθ, τ καταλειπ µενά στιν σα. 4. [Κα ν νίσοι σα προστεθ, τ λα στ ν νισα. 5. Κα τ το α το διπλάσια σα λλήλοι στίν. 6. Κα τ το α το µίση σα λλήλοι στίν.] 7. Κα τ φαρµ ζοντα π λληλα σα λλήλοι στίν. 8. Κα τ λον το µέρου µε ζον [ στιν]. 9. Κα δ ο ε θε αι χωρίον ο περιέχουσιν.

7 ΠΡΟΤΣΙΣ 3 ΠΡΟΤΣΙΣ I.1 π τ δοθείση ε θεία πεπερασµένη τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη. ε δ π τ ε θεία τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. Κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα πάλιν κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα π το σηµείου, καθ τέµνουσιν λλήλου ο κ κλοι, π τ, σηµε α πεζε χθωσαν ε θε αι α,. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ : πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ. δείχθη δ κα τ ση: κατέρα ρα τ ν, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα ρα τ στ ν ση: α τρε ρα α,, σαι λλήλαι ε σίν. Ισ πλευρον ρα στ τ τρίγωνον, κα συνέσταται π τ δοθείση ε θεία πεπερασµένη τ. [ π τ δοθείση ρα ε θεία πεπερασµένη τρίγωνον σ πλευρον συνέσταται]: περ δει ποι σαι. I.2 Πρ τ δοθέντι σηµείω τ δοθείση ε θεία σην ε θε αν θέσθαι. στω τ µ ν δοθ ν σηµε ον τ, δ δοθε σα ε θε α : δε δ πρ τ σηµείω τ δοθείση ε θεία τ σην ε θε αν θέσθαι. πεζε χθω γ ρ π το σηµείου π τ σηµε ον ε θε α, κα συνεστάτω π α τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα κβεβλήσθωσαν π ε θεία τα, ε θε αι α,, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω Θ, κα πάλιν κέντρω τ κα διαστήµατι τ κ κλο γεγράφθω ΚΛ.

8 4 BIBΛION I. Κ Θ Λ πε ο ν τ σηµε ον κέντρον στ το Θ κ κλου, ση στ ν τ. πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν Λ τ, ν τ ση στίν. λοιπ ρα Λ λοιπ τ στ ν ση. δείχθη δ κα τ ση: κατέρα ρα τ ν Λ, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα Λ ρα τ στ ν ση. Πρ ρα τ δοθέντι σηµείω τ τ δοθείση ε θεία τ ση ε θε α κε ται Λ: περ δει ποι σαι. I.3 ο δοθεισ ν ε θει ν νίσων π τ µείζονο τ λάσσονι σην ε θε αν φελε ν. στωσαν α δοθε σαι δ ο ε θε αι νισοι α,, ν µείζων στω : δε δ π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ σην ε θε αν φελε ν. Κείσθω πρ τ σηµείω τ ε θεία ση : κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ : λλ κα τ στιν ση. κατέρα ρα τ ν, τ στιν ση: στε κα τ στιν ση.

9 ΠΡΟΤΣΙΣ 5 ο ρα δοθεισ ν ε θει ν νίσων τ ν, π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ ση φή ρηται : περ δει ποι σαι. I.4 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δυσ πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα τ ν µ ν τ τ ν δ τ κα γωνίαν τ ν π γωνία τ π σην. λέγω, τι κα βάσι βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ δ ε θεία π τ ν, φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ : φαρµοσάση δ τ π τ ν φαρµ σει κα ε θε α π τ ν δι τ σην ε ναι τ ν π γωνίαν τ π : στε κα τ σηµε ον π τ σηµε ον φαρµ σει δι τ σην πάλιν ε ναι τ ν τ. λλ µ ν κα τ π τ φηρµ κει: στε βάσι π βάσιν τ ν φαρµ σει. ε γ ρ το µ ν π τ φαρµ σαντο το δ π τ βάσι π τ ν ο κ φαρµ σει, δ ο ε θε αι χωρίον περιέξουσιν: περ στ ν δ νατον. φαρµ σει ρα βάσι π τ ν κα ση α τ σται: στε κα λον τ τρίγωνον π λον τ τρίγωνον φαρµ σει κα σον α τ σται, κα α λοιπα γωνίαι π τ λοιπ γωνία φαρµ σουσι κα σαι α τα σονται, µ ν π τ π δ π τ π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην,

10 6 BIBΛION I. κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: περ δει δε ξαι. I.5 Τ ν σοσκελ ν τριγώνων α πρ τ βάσει γωνίαι σαι λλήλαι ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαι σονται. στω τρίγωνον σοσκελ τ σην χον τ ν πλευρ ν τ πλευρ, κα προσεκβεβλήσθωσαν π ε θεία τα, ε θε αι α, : λέγω, τι µ ν π γωνία τ π ση στίν, δ π τ π. λήφθω γ ρ π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ µείζονο τ τ λάσσονι τ ση, κα πεζε χθωσαν α, ε θε αι. πε ο ν ση στ ν µ ν τ δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνίαν κοιν ν περιέχουσι τ ν π : βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. κα πε λη λη τ στιν ση, ν τ στιν ση, λοιπ ρα λοιπ τ στιν ση. δείχθη δ κα τ ση: δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση, κα βάσι α τ ν κοιν : κα τ ρα τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν µ ν π τ π δ π τ π. πε ο ν λη π γωνία λη τ π γωνία δείχθη ση, ν π τ π ση, λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση: καί ε σι πρ τ βάσει το τριγώνου. δείχθη δ κα π τ π ση: καί ε σιν π τ ν βάσιν. Τ ν ρα σοσκελ ν τριγώνων α πρ τ βάσει γωνίαι σαι λλήλαι ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαι σονται: περ δει δε ξαι.

11 ΠΡΟΤΣΙΣ 7 I.6 ν τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαι σιν, κα α π τ σα γωνίαι ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαι σονται. στω τρίγωνον τ σην χον τ ν π γωνίαν τ π γωνία : λέγω, τι κα πλευρ πλευρ τ στιν ση. γ ρ νισ στιν τ, τέρα α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα φη ρήσθω π τ µείζονο τ τ λάττονι τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα γωνία π γωνία τ π στιν ση: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, τ λασσον τ µείζονι: περ τοπον: ο κ ρα νισ στιν τ : ση ρα. ν ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαι σιν, κα α π τ σα γωνία ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαι σονται: περ δει δε ξαι. I.7 π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα ο συσταθήσονται πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι τα ξ ρχ ε θείαι.

12 8 BIBΛION I. γ ρ δυνατ ν, π τ α τ ε θεία τ δ ο τα α τα ε θείαι τα, λλαι δ ο ε θε αι α, σαι κατέρα κατέρα συνεστάτωσαν πρ λλω κα λλω σηµείω τ τε κα π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ τ α τ πέρα χουσαν α τ τ, τ ν δ τ τ α τ πέρα χουσαν α τ τ, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π : µείζων ρα π τ π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. πάλιν πε ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π γωνία τ π. δείχθη δ α τ κα πολλ µείζων: περ στ ν δ νατον. Ο κ ρα π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα συσταθήσονται πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι τα ξ ρχ ε θείαι : περ δει δε ξαι. I.8 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, χη δ κα τ ν βάσιν τ βάσει σην, κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ : χέτω δ κα βάσιν τ ν βάσει τ σην: λέγω, τι κα γωνία π γωνία τ π στιν ση. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ δ ε θεία π τ ν φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ : φαρµοσάση δ τ π τ ν φαρµ σουσι κα α, π τ,. ε γ ρ βάσι µ ν π βάσιν τ ν φαρµ σει, α δ, πλευρα π τ, ο κ φαρµ σουσιν λλ παραλλάξουσιν α,, συσταθήσονται π τ α τ ε θεία δ ο τα α τα ε θείαι λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα πρ λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι. ο συνίστανται δέ: ο κ ρα φαρµοζοµένη τ βάσεω π τ ν βάσιν ο κ φαρµ σουσι κα α, πλευρα π τ,. φαρµ σουσιν ρα: στε κα γωνία π π γωνίαν τ ν π φαρµ σει κα ση α τ σται.

13 ΠΡΟΤΣΙΣ 9 ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα κα τ ν βάσιν τ βάσει σην χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην: περ δει δε ξαι. I.9 Τ ν δοθε σαν γωνίαν ε θ γραµµον δίχα τεµε ν. στω δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π. δε δ α τ ν δίχα τεµε ν. λήφθω π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ τ ση, κα πεζε χθω, κα συνεστάτω π τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω : λέγω, τι π γωνία δίχα τέτµηται π τ ε θεία. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα. κα βάσι βάσει τ ση στίν: γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν. ρα δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π δίχα τέτµηται π τ ε θεία : περ δει ποι σαι. I.10 Τ ν δοθε σαν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη : δε δ τ ν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν.

14 10 BIBΛION I. Συνεστάτω π α τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα τετµήσθω π γωνία δίχα τ ε θεία : λέγω, τι ε θε α δίχα τέτµηται κατ τ σηµε ον. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: βάσι ρα βάσει τ ση στίν. ρα δοθε σα ε θε α πεπερασµένη δίχα τέτµηται κατ τ : περ δει ποι σαι. I.11 Τ δοθείση ε θεία π το πρ α τ δοθέντο σηµείου πρ ρθ γωνία ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. στω µ ν δοθε σα ε θε α τ δ δοθ ν σηµε ον π α τ τ : δε δ π το σηµείου τ ε θεία πρ ρθ γωνία ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. λήφθω π τ τυχ ν σηµε ον τ, κα κείσθω τ ση, κα συνεστάτω π τ τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω : λέγω, τι τ δοθείση ε θεία τ π το πρ α τ δοθέντο σηµείου το πρ ρθ γωνία ε θε α γραµµ κται. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα βάσι βάσει τ ση στίν: γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν: καί ε σιν φεξ. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν: ρθ ρα στ ν κατέρα τ ν π,. Τ ρα δοθείση ε θεία τ π το πρ α τ δοθέντο σηµείου το πρ ρθ γωνία ε θε α γραµµ κται : περ δει ποι σαι. I.12 π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον π το δοθέντο σηµείου, µή στιν π α τ, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν.

15 ΠΡΟΤΣΙΣ 11 στω µ ν δοθε σα ε θε α πειρο τ δ δοθ ν σηµε ον, µή στιν π α τ, τ : δε δ π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. Θ λήφθω γ ρ π τ τερα µέρη τ ε θεία τυχ ν σηµε ον τ, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω, κα τετµήσθω ε θε α δίχα κατ τ Θ, κα πεζε χθωσαν α, Θ, ε θε αι: λέγω, τι π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετο κται Θ. πε γ ρ ση στ ν Θ τ Θ, κοιν δ Θ, δ ο δ α Θ, Θ δ ο τα Θ, Θ σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα βάσι βάσει τ στιν ση: γωνία ρα π Θ γωνία τ π Θ στιν ση. καί ε σιν φεξ. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ φεξ γωνία σα λλήλαι ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετο καλε ται φ ν φέστηκεν. π τ ν δοθε σαν ρα ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντο σηµείου το, µή στιν π α τ, κάθετο κται Θ: περ δει ποι σαι. I.13 ν ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνία ποι, τοι δ ο ρθ δυσ ν ρθα σα ποιήσει.

16 12 BIBΛION I. θε α γάρ τι π ε θε αν τ ν σταθε σα γωνία ποιείτω τ π, : λέγω, τι α π, γωνίαι τοι δ ο ρθαί ε σιν δυσ ν ρθα σαι. µ ν ο ν ση στ ν π τ π, δ ο ρθαί ε σιν. ε δ ο, χθω π το σηµείου τ [ε θεία ] πρ ρθ : α ρα π, δ ο ρθαί ε σιν: κα πε π δυσ τα π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τρισ τα π,, σαι ε σίν. πάλιν, πε π δυσ τα π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τρισ τα π,, σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, τρισ τα α τα σαι: τ δ τ α τ σα κα λλήλοι στ ν σα: κα α π, ρα τα π, σαι ε σίν: λλ α π, δ ο ρθαί ε σιν: κα α π, ρα δυσ ν ρθα σαι ε σίν. ν ρα ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνία ποι, τοι δ ο ρθ δυσ ν ρθα σα ποιήσει: περ δει δε ξαι. I.14 ν πρ τινι ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω δ ο ε θε αι µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία δυσ ν ρθα σα ποι σιν, π ε θεία σονται λλήλαι α ε θε αι. Πρ γάρ τινι ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ δ ο ε θε αι α, µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία τ π, δ ο ρθα σα ποιείτωσαν: λέγω, τι π ε θεία στ τ.

17 ΠΡΟΤΣΙΣ 13 γ ρ µή στι τ π ε θεία, στω τ π ε θεία. πε ο ν ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκεν, α ρα π, γωνίαι δ ο ρθα σαι ε σίν: ε σ δ κα α π, δ ο ρθα σαι: α ρα π, τα π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π : λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση, λάσσων τ µείζονι: περ στ ν δ νατον. ο κ ρα π ε θεία στ ν τ. µοίω δ δείξοµεν, τι ο δ λλη τι πλ ν τ : π ε θεία ρα στ ν τ. ν ρα πρ τινι ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω δ ο ε θε αι µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ φεξ γωνία δυσ ν ρθα σα ποι σιν, π ε θεία σονται λλήλαι α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.15 ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ κατ κορυφ ν γωνία σα λλήλαι ποιο σιν. ο γ ρ ε θε αι α, τεµνέτωσαν λλήλα κατ τ σηµε ον: λέγω, τι ση στ ν µ ν π γωνία τ π, δ π τ π. πε γ ρ ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνία ποιο σα τ π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα σαι ε σίν. πάλιν, πε ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνία ποιο σα τ π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, δυσ ν ρθα σαι: α ρα π, τα π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π : λοιπ ρα π λοιπ τ π ση στίν: µοίω δ δειχθήσεται, τι κα α π, σαι ε σίν. ν ρα δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ κατ κορυφ ν γωνία σα λλήλαι ποιο σιν: περ δει δε ξαι.

18 14 BIBΛION I. Π ρισµα κ δ το του φανερ ν τι, ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλα, τ πρ τ τοµ γωνία τέτρασιν ρθα σα ποιήσουσιν. I.16 Παντ τριγώνου µι τ ν πλευρ ν προσεκβληθείση κτ γωνία κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν. στω τρίγωνον τ, κα προσεκβεβλήσθω α το µία πλευρ π τ : λέγω, τι κτ γωνία π µείζων στ ν κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον τ ν π, γωνι ν. Τετµήσθω δίχα κατ τ, κα πιζευχθε σα κβεβλήσθω π ε θεία π τ, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω, κα διήχθω π τ. πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: κατ κορυφ ν γάρ: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω στ ν σον, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν π τ π. µείζων δέ στιν π τ π : µείζων ρα π τ π. µοίω δ τ τετµηµένη δίχα δειχθήσεται κα π, τουτέστιν π, µείζων κα τ π. Παντ ρα τριγώνου µι τ ν πλευρ ν προσεκβληθείση κτ γωνία κατέρα τ ν ντ κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν: περ δει δε ξαι. I.17 Παντ τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι.

19 ΠΡΟΤΣΙΣ 15 στω τρίγωνον τ : λέγω, τι το τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάττονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. κβεβλήσθω γ ρ π τ. Κα πε τριγώνου το κτ στι γωνία π, µείζων στ τ ντ κα πεναντίον τ π. κοιν προσκείσθω π : α ρα π, τ ν π, µείζονέ ε σιν. λλ α π, δ ο ρθα σαι ε σίν: α ρα π, δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σιν. µοίω δ δείξοµεν, τι κα α π, δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι κα τι α π,. Παντ ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι: περ δει δε ξαι. I.18 Παντ τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει. στω γ ρ τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν πλευρ ν τ : λέγω, τι κα γωνία π µείζων στ τ π. πε γ ρ µείζων στ ν τ, κείσθω τ ση, κα πεζε χθω.

20 16 BIBΛION I. Κα πε τριγώνου το κτ στι γωνία π, µείζων στ τ ντ κα πεναντίον τ π : ση δ π τ π, πε κα πλευρ τ στιν ση: µείζων ρα κα π τ π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. Παντ ρα τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει: περ δει δε ξαι. I.19 Παντ τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει. στω τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π : λέγω, τι κα πλευρ πλευρ τ µείζων στίν. γ ρ µή, τοι ση στ ν τ λάσσων: ση µ ν ο ν ο κ στιν τ : ση γ ρ ν ν κα γωνία π τ π : ο κ στι δέ: ο κ ρα ση στ ν τ. ο δ µ ν λάσσων στ ν τ : λάσσων γ ρ ν ν κα γωνία π τ π : ο κ στι δέ: ο κ ρα λάσσων στ ν τ. δείχθη δέ, τι ο δ ση στίν. µείζων ρα στ ν τ.

21 ΠΡΟΤΣΙΣ 17 Παντ ρα τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει: περ δει δε ξαι. I.20 Παντ τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. στω γ ρ τρίγωνον τ : λέγω, τι το τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ, α δ, τ, α δ, τ. ιήχθω γ ρ π τ σηµε ον, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π : µείζων ρα π τ π : κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, ρα τ στι µείζων. ση δ τ : µείζονε ρα α, τ : µοίω δ δείξοµεν, τι κα α µ ν, τ µείζονέ ε σιν, α δ, τ. Παντ ρα τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι: περ δει δε ξαι. I.21 ν τριγώνου π µι τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονε µ ν σονται, µείζονα δ γωνίαν περιέξουσιν. Τριγώνου γ ρ το π µι τ ν πλευρ ν τ π τ ν περάτων τ ν, δ ο ε θε αι ντ συνεστάτωσαν α, : λέγω, τι α, τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν τ ν, λάσσονε µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσι τ ν π τ π.

22 18 BIBΛION I. ιήχθω γ ρ π τ. κα πε παντ τριγώνου α δ ο πλευρα τ λοιπ µείζονέ ε σιν, το ρα τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ µείζονέ ε σιν: κοιν προσκείσθω : α ρα, τ ν, µείζονέ ε σιν. πάλιν, πε το τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ µείζονέ ε σιν, κοιν προσκείσθω : α, ρα τ ν, µείζονέ ε σιν. λλ τ ν, µείζονε δείχθησαν α, : πολλ ρα α, τ ν, µείζονέ ε σιν. Πάλιν, πε παντ τριγώνου κτ γωνία τ ντ κα πεναντίον µείζων στίν, το ρα τριγώνου κτ γωνία π µείζων στ τ π. δι τα τ τοίνυν κα το τριγώνου κτ γωνία π µείζων στ τ π. λλ τ π µείζων δείχθη π : πολλ ρα π µείζων στ τ π. ν ρα τριγώνου π µι τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονε µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσιν: περ δει δε ξαι. I.22 κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα δοθείσαι [ε θείαι ], τρίγωνον συστήσασθαι: δε δ τ δ ο τ λοιπ µείζονα ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένα [δι τ κα παντ τριγώνου τ δ ο πλευρ τ λοιπ µείζονα ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένα ]. στωσαν α δοθε σαι τρε ε θε αι α,,, ν α δ ο τ λοιπ µείζονε στωσαν πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ, α δ, τ, κα τι α, τ : δε δ κ τ ν σων τα,, τρίγωνον συστήσασθαι.

23 ΠΡΟΤΣΙΣ 19 Κ Θ κκείσθω τι ε θε α πεπερασµένη µ ν κατ τ πειρο δ κατ τ, κα κείσθω τ µ ν ση, τ δ ση, τ δ ση Θ: κα κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ κ κλο γεγράφθω ΚΛ: πάλιν κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ Θ κ κλο γεγράφθω ΚΛΘ, κα πεζε χθωσαν α Κ, Κ: λέγω, τι κ τρι ν ε θει ν τ ν σων τα,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ. πε γ ρ τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν τ Κ: λλ τ στιν ση. κα Κ ρα τ στιν ση. πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΛΚΘ κ κλου, ση στ ν Θ τ Κ: λλ Θ τ στιν ση: κα Κ ρα τ στιν ση. στ δ κα τ ση: α τρε ρα ε θε αι α Κ,, Κ τρισ τα,, σαι ε σίν. κ τρι ν ρα ε θει ν τ ν Κ,, Κ, α ε σιν σαι τρισ τα δοθείσαι ε θείαι τα,,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ: περ δει ποι σαι. I.23 Πρ τ δοθείση ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι.

24 20 BIBΛION I. στω µ ν δοθε σα ε θε α, τ δ πρ α τ σηµε ον τ, δ δοθε σα γωνία ε θ γραµµο π : δε δ πρ τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι. λήφθω φ κατέρα τ ν, τυχ ντα σηµε α τ,, κα πεζε χθω : κα κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα,,, τρίγωνον συνεστάτω τ, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ, τ ν δ τ, κα τι τ ν τ. πε ο ν δ ο α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα βάσι βάσει τ ση, γωνία ρα π γωνία τ π στιν ση. Πρ ρα τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π ση γωνία ε θ γραµµο συνέσταται π : περ δει ποι σαι. I.24 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ [τα ] δ ο πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ γωνίαν τ γωνία µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσεω µείζονα ξει. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ, δ πρ τ γωνία τ πρ τ γωνία µείζων στω: λέγω, τι κα βάσι βάσεω τ µείζων στίν. πε γ ρ µείζων π γωνία τ π γωνία, συνεστάτω πρ τ ε θεία κα τ πρ α τ σηµείω τ τ π γωνία ση π, κα κείσθω ποτέρα τ ν, ση, κα πεζε χθωσαν α,.

25 ΠΡΟΤΣΙΣ 21 πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση: βάσι ρα βάσει τ στιν ση. πάλιν, πε ση στ ν τ, ση στ κα π γωνία τ π : µείζων ρα π τ π : πολλ ρα µείζων στ ν π τ π. κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, µείζων ρα κα πλευρ τ. ση δ τ : µείζων ρα κα τ. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ γωνίαν τ γωνία µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσεω µείζονα ξει: περ δει δε ξαι. I.25 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κατέρα, τ ν δ βάσιν τ βάσεω µείζονα χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία µείζονα ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην.

26 22 BIBΛION I. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο πλευρ τ, τα δ ο πλευρα τα, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ, τ ν δ τ : βάσι δ βάσεω τ µείζων στω: λέγω, τι κα γωνία π γωνία τ π µείζων στίν: γ ρ µή, τοι ση στ ν α τ λάσσων: ση µ ν ο ν ο κ στιν π τ π : ση γ ρ ν ν κα βάσι βάσει τ : ο κ στι δέ. ο κ ρα ση στ γωνία π τ π : ο δ µ ν λάσσων στ ν π τ π : λάσσων γ ρ ν ν κα βάσι βάσεω τ : ο κ στι δέ: ο κ ρα λάσσων στ ν π γωνία τ π. δείχθη δ τι ο δ ση: µείζων ρα στ ν π τ π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο πλευρ δυσ πλευρα σα χη κατέραν κάτερα, τ ν δ βάσιν τ βάσεω µείζονα χη, κα τ ν γωνίαν τ γωνία µείζονα ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην: περ δει δε ξαι. I.26 ν δ ο τρίγωνα τ δ ο γωνία δυσ γωνίαι σα χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ τα σαι γωνίαι τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει [ κατέραν κατέρα ] κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία. στω δ ο τρίγωνα τ, τ δ ο γωνία τ π, δυσ τα π, σα χοντα κατέραν κατέρα, τ ν µ ν π τ π, τ ν δ π τ π : χέτω δ κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην, πρ τερον τ ν πρ τα σαι γωνίαι τ ν τ : λέγω, τι κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει κατέραν κατέρα, τ ν µ ν τ τ ν δ τ, κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία, τ ν π τ π. γ ρ νισ στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π ση στίν: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται, φ α

27 ΠΡΟΤΣΙΣ 23 σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα π γωνία τ π. λλ π τ π π κειται ση: κα π ρα τ π ση στίν, λάσσων τ µείζονι: περ δ νατον. ο κ ρα νισ στιν τ. ση ρα. στι δ κα τ ση: δ ο δ α, δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία π γωνία τ π στιν ση: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. λλ δ πάλιν στωσαν α π τ σα γωνία πλευρα ποτείνουσαι σαι, τ : λέγω πάλιν, τι κα α λοιπα πλευρα τα λοιπα πλευρα σαι σονται, µ ν τ, δ τ κα τι λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. γ ρ νισ στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, ε δυνατ ν,, κα κείσθω τ ση Θ, κα πεζε χθω Θ. κα πε ση στ ν µ ν Θ τ δ τ, δ ο δ α, Θ δυσ τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία σα περιέχουσιν: βάσι ρα Θ βάσει τ ση στίν, κα τ Θ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν, κα α λοιπα γωνίαι τα λοιπα γωνίαι σαι σονται, φ α σαι πλευρα ποτείνουσιν: ση ρα στ ν π Θ γωνία τ π. λλ π τ π στιν ση: τριγώνου δ το Θ κτ γωνία π Θ ση στ τ ντ κα πεναντίον τ π : περ δ νατον. ο κ ρα νισ στιν τ : ση ρα. στ δ κα τ ση. δ ο δ α, δ ο τα, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα : κα γωνία σα περιέχουσι: βάσι ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση. ν ρα δ ο τρίγωνα τ δ ο γωνία δυσ γωνίαι σα χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ τα σαι γωνίαι, τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ λοιπ πλευρ τα λοιπα πλευρα σα ξει κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία : περ δει δε ξαι. I.27 ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποι, παράλληλοι σονται λλήλαι α ε θε αι. γ ρ δ ο ε θεία τ, ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία τ π, σα λλήλαι ποιείτω: λέγω, τι παράλληλ στιν τ.

28 24 BIBΛION I. γ ρ µή, κβαλλ µεναι α, συµπεσο νται τοι π τ, µέρη π τ,. κβεβλήσθωσαν κα συµπιπτέτωσαν π τ, µέρη κατ τ. τριγώνου δ το κτ γωνία π ση στ τ ντ κα πεναντίον τ π : περ στ ν δ νατον: ο κ ρα α, κβαλλ µεναι συµπεσο νται π τ, µέρη. µοίω δ δειχθήσεται, τι ο δ π τ, : α δ π µηδέτερα τ µέρη συµπίπτουσαι παράλληλοί ε σιν: παράλληλο ρα στ ν τ. ν ρα ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποι, παράλληλοι σονται α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.28 ν ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ντ κα πεναντίον κα π τ α τ µέρη σην ποι τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα, παράλληλοι σονται λλήλαι α ε θε αι. γ ρ δ ο ε θεία τ, ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ν π τ ντ κα πεναντίον γωνία τ π Θ σην ποιείτω τ ντ κα π τ α τ µέρη τ π Θ, Θ δυσ ν ρθα σα : λέγω, τι παράλληλ στιν τ. πε γ ρ ση στ ν π τ π Θ, λλ π τ π Θ στιν ση, κα π Θ ρα τ π Θ στιν ση: καί ε σιν ναλλάξ: παράλληλο ρα στ ν τ.

29 ΠΡΟΤΣΙΣ 25 Θ Πάλιν, πε α π Θ, Θ δ ο ρθα σαι ε σίν, ε σ δ κα α π Θ, Θ δυσ ν ρθα σαι, α ρα π Θ, Θ τα π Θ, Θ σαι ε σίν: κοιν φη ρήσθω π Θ: λοιπ ρα π Θ λοιπ τ π Θ στιν ση: καί ε σιν ναλλάξ: παράλληλο ρα στ ν τ. ν ρα ε δ ο ε θεία ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ γωνίαν τ ντ κα πεναντίον κα π τ α τ µέρη σην ποι τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα, παράλληλοι σονται α ε θε αι: περ δει δε ξαι. I.29 ε τ παραλλήλου ε θεία ε θε α µπίπτουσα τά τε ναλλ ξ γωνία σα λλήλαι ποιε κα τ ν κτ τ ντ κα πεναντίον σην κα τ ντ κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα σα. Θ γ ρ παραλλήλου ε θεία τ, ε θε α µπιπτέτω : λέγω, τι τ ναλλ ξ γωνία τ π Θ, Θ σα ποιε κα τ ν κτ γωνίαν τ ν π τ ντ κα πεναντίον τ π Θ σην κα τ ντ κα π τ α τ µέρη τ π Θ, Θ δυσ ν ρθα σα. γ ρ νισ στιν π Θ τ π Θ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων π Θ: κοιν προσκείσθω π Θ: α ρα π Θ, Θ τ ν π Θ, Θ µείζονέ ε σιν. λλ α π Θ, Θ δυσ ν ρθα σαι ε σίν. [κα ] α ρα π Θ, Θ δ ο ρθ ν λάσσονέ ε σιν. α δ π λασσ νων δ ο ρθ ν κβαλλ µεναι ε πειρον συµπίπτουσιν: α ρα, κβαλλ µεναι ε πειρον

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4.

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ Note This book is compiled to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The Greek text is borrowed from Perseus Digital

Διαβάστε περισσότερα

Οροι. ζ Επίπεδος πιφάνειά στιν, τις ξ σου τα ς φ αυτ ς ε θείαις κε ται.

Οροι. ζ Επίπεδος πιφάνειά στιν, τις ξ σου τα ς φ αυτ ς ε θείαις κε ται. ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ α Οροι α Σηµε όν στιν, ο µέρος ο θέν. β Γραµµ δ µ κος πλατές. γ Γραµµ ς δ πέρατα σηµε α. δ Ε θε α γραµµή στιν, τις ξ σου το ς φ αυτ ς σηµείοις κε ται. ε Επιφάνεια δέ στιν, µ κος κα πλάτος µόνον

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

EUCLID S ELEMENTS OF GEOMETRY

EUCLID S ELEMENTS OF GEOMETRY ULI S LMNTS OF GOMTRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883 1885) from uclidis lementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus.g. Teubneri, 1883 1885 edited, and provided with a modern

Διαβάστε περισσότερα

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A

οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A οξαστικὸν Ἀποστίχων Ὄρθρου Μ. Τετάρτης z 8 a A δ ` 3kς 3qz 3{9 ` ]l 3 # ~-?1 [ve 3 3*~ /[ [ ` ο `` ο ~ ο ```` ξα ~ ``` Πα```` α ` τρι ```ι ``` ι ` ι ~ και ``αι [D # ` 4K / [ [D`3k δδ 13` 4K[ \v~-?3[ve

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ

ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Διπλωματική Εργασία ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΚΛΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΙΣΗΓΜΕΝΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΓΟΡΑΣ Του ΚΩΣΤΟΥΛΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΤΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

2007 Classical Greek. Intermediate 2 Translation. Finalised Marking Instructions

2007 Classical Greek. Intermediate 2 Translation. Finalised Marking Instructions 2007 Classical Greek Intermediate 2 Translation Finalised Marking Instructions Scottish Qualifications Authority 2007 The information in this publication may be reproduced to support SQA qualifications

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ

ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ ΤΗ ΑΓΙΑ ΚΑΙ ªΕΓΑΛΗ ΔΕΥΤΕΡΑ. Eις τους Αίνους. Ε ρ χο με νος ο Κυ ρι ος προς το ε κου ου σι ο ον πα α α θος τοις Α πο στο λοις ε λε γε εν εν τη η η η ο ο ο ο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

EUCLID S ELEMENTS IN GREEK VOLUME II BOOKS 5 9

EUCLID S ELEMENTS IN GREEK VOLUME II BOOKS 5 9 EUCLID S ELEMENTS IN GREEK VOLUME II BOOKS 5 9 The Greek text of J.L. Heiberg (1884) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, Uol. II, Libros V-IX continens, Lipsiae, in

Διαβάστε περισσότερα

anjologion ellhnikwn grammatoseirwn

anjologion ellhnikwn grammatoseirwn anjologion ellhnikwn grammatoseirwn Απλ µονοτυπικ Λειψίας µονοτυπικ εκαεξάρια τ ς κάσας εκαεξάρια Λειψίας τ ς κάσας Πελασγικ µονοτυπικ Αττικ µονοτυπικ Εκδ σεων «Μπ λ Λ τρ» Μα ρα 486 µονοτυπικ Μπεκκεριάνα

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο

Διαβάστε περισσότερα

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ Α Τ Α Ν Υ Κ Τ Ι Κ Α ΚΥΡΙΕ ΕΛΕΗΣΟΝ Ἦχος νη 1. 2.. 4. 5. K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Ε ις πολ λα ε τη Δεσ πο τα Υ περ Α γι

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *2517291414* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2013 1 hour 30 minutes

Διαβάστε περισσότερα

VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT IMPERATIVE

VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT IMPERATIVE Verbs. thr.less9, p1 moods tenses INDICATIVE VERBS: memory aids through lesson 9 ACTIVE PRESENT AND IMPERFECT present present stem + / primary person endings present stem + / ending of infinitive I stop

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0

F h, h h 2. Lim. Lim. f h, h fyx a, b. Lim. h 2 y 2. Lim. Lim. Lim. x 2 k 2. h 0 ΜΑ 1 Μ.2 Ν ΟΙ ΠΑΡ ΓΩΓΟΙ fx ΚΑΙ fy ΥΠ ΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ε ΝΑΙ ΙΑφΟΡ ΣΙΜε Σε Κ ΠΟΙΑ ΠεΡΙΟΧ ΤΟΥ a, b Τ Τε ΝΑ ΑΠΟ ειχθε ΤΙ fxy fyx. Α εξετ ΣεΤε ΑΝ fxy fyx ΣΤΟ 0, 0 ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝ ΡΤΗΣΗ f x, y xy x2 y 2 ΓΙΑ x, y 0, 0

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Γα υ ρι ι ε ε κε ε κρα ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου σο ο ο ο ον μου ου ει σα κου σο ον μου Κυ ρι ε ε Κυ ρι ε ε κε κρα ξα προς σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ου προ

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your

Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your Πώς μπορεί κανείς να έχει έναν διερμηνέα κατά την επίσκεψή του στον Οικογενειακό του Γιατρό στο Ίσλινγκτον Getting an interpreter when you visit your GP practice in Islington Σε όλα τα Ιατρεία Οικογενειακού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑ.Λ. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Νη υ υ υ υ ρι ι ι ι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ου ει σα κου σον μου Κυ υ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ι ε ε κε κρα α ξα α προ ο ος σε ε ε ει

Διαβάστε περισσότερα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα

14 Ἰουνίου. Προφήτου Ἐλισσαίου. Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Τῇ ΙΔ τοῦ µηνὸς Ἰουνίου. Μνήµη τοῦ Ἁγίου Προφήτου Ἐλισσαίου Ἐν τῷ Ἑσπερινῷ. Δόξα. Ἦχος Πα Nε ε δο ο ο ξα Πα α τρι ι ι ι και Υι υι ω και Α γι ι ω Πνε ευ µα α α τι Προ φη τα κη η η ρυ υξ Χρι ι ι στου του

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *4358398658* GREEK 0543/04 Paper 4 Writing May/June 2015 1 hour Candidates answer on the Question

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 10 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ιδαγµένο κείµενο Πλάτωνος Πολιτεία 519Β - 520Α Τ δ τ δε ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΓΚΥΜΟΣΥΝΗΣ ΑΝΔΡΕΟΥ ΣΤΕΦΑΝΙΑ Λεμεσός 2012 i ii ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

*2354431106* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2009

*2354431106* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2009 UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *2354431106* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2009 1 hour 30 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *3148288373* GREEK 0543/04 Paper 4 Writing May/June 2016 1 hour Candidates answer on the Question

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Κατέθεσε την καινοτόμα ιδέα σου στον 1ο Διαγωνισμό BlueGrowth Patras Στο πλαι룱綟σιο της Παγκο룱綟 σμιας Εβδομα룱綟 δας Επιχειρηματικο룱綟 τητας*, o ΕΣΥΝΕΔΕ και η Ομοσπονδι룱綟α ΕΣΥΝΕ, σε συνεργασι룱綟α

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Εκφωνήσεις: ιδαγµένο κείµενο Πλάτωνας Πρωταγόρας 323 Α-Ε,

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΔΣΑΠΣΤΥΙΑΚΧΝ ΠΟΤΓΧΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΓΤΝΑΜΙΚΗ ΙΣΟΔΛΙΓΑ ΓΙΑ ΣΟ ΓΔΝΙΚΟ ΚΑΣΑΣΗΜΑ ΚΡΑΣΗΗ ΓΡΔΒΔΝΧΝ ΜΔ ΣΗ ΒΟΗΘΔΙΑ PHP MYSQL Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Υξήζηνπ

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30 April 2010

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education www.xtremepapers.com UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *6301456813* GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One 1 March 30

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας»

ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΘΕΜΑ: «ιερεύνηση της σχέσης µεταξύ φωνηµικής επίγνωσης και ορθογραφικής δεξιότητας σε παιδιά προσχολικής ηλικίας» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ «ΠΑΙ ΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΙ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΥΛΙΚΟ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που εκπονήθηκε για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ

Πρι τ αρακτηρ οτικ λαπλ ουοτηματα μικρ ετ εξεργατ δ π υ τ ι ε α τ Τ εγνα α α ετ κ λε τ υργικ ο τημα Η οτ ρ α τ υ αρ Γ ζε τ τη Φ λα δ α απ τ α φ ιτητ τ υ Πα ετ τημ υ τ υ λ νκ ξεκ νη ε αν μ α τ ρ τ Θε α να δημ υργηθε ακαλ τερ Ενα τ υ αμτ ρε ααντατ κρ ετα καλ τερα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΟΥ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Επιστήμη και Τεχνολογία Τροφίμων και Διατροφή του Ανθρώπου» Κατεύθυνση: «Διατροφή, Δημόσια

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ»

«ΑΓΡΟΤΟΥΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΤΩΝ ΓΥΝΑΙΚΕΙΩΝ ΣΥΝΕΤΑΙΡΙΣΜΩΝ» I ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΝΟΜΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS

ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS ΟΜΗΡΟΥ ΙΛΙΑΔΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΠΑΛΛΗΣ SCHOOLTIME E-BOOKS www.scooltime.gr [- 2 -] The Project Gutenberg EBook of Iliad, by Homer This ebook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. ΜΕΡΟΣ 1 ο

ΣΗΜΕΙΑΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ. ΜΕΡΟΣ 1 ο ΣΜΙΚΣ ΠΡΞΙΣ. ΜΡΟΣ 1 ο ΜΙ Ν ΜΘΟΟΣ ΠΟΙΞΣ ΩΜΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΣΩΝ Νίκος Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, έροια e-mail: iossifid@yahoo.gr ΠΡΙΛΨ ΣΚΟΠΟΣ Στην παρούσα εργασία εισάγεται µια νέα έννοια ΣΜΙΚ ΠΡΞ. Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Ανθρωπιστικών & Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΤΙΤΛΟΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΝΟΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΝΟΗΜΑΤΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΕΙΡΗΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Πτυχιακή Εργασία "Η ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΗΤΡΙΚΟΥ ΘΗΛΑΣΜΟΥ ΣΤΗ ΠΡΟΛΗΨΗ ΤΗΣ ΠΑΙΔΙΚΗΣ ΠΑΧΥΣΑΡΚΙΑΣ" Ειρήνη Σωτηρίου Λεμεσός 2014 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης ΠΡΟΗΓΙΑΣΜΕΝΗ Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ει σα α α κου

Διαβάστε περισσότερα

Croy Lesson 18. First Declension. THIRD Declension. Second Declension. SINGULAR PLURAL NOM -α / -η [-ης]* -αι. GEN -ας / -ης [-ου]* -ων

Croy Lesson 18. First Declension. THIRD Declension. Second Declension. SINGULAR PLURAL NOM -α / -η [-ης]* -αι. GEN -ας / -ης [-ου]* -ων Croy Lesson 18 First Declension SINGULAR PLURAL NOM -α / -η [-ης]* -αι GEN -ας / -ης [-ου]* -ων DAT -ᾳ / -ῃ -αις ACC -αν / -ην -ας VOC -α / -η -αι *Masculine Nouns of First Declension Second Declension

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education

Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education GREEK 0543/03 Paper 3 Speaking Role Play Card One For Examination from 2015 SPECIMEN ROLE PLAY Approx.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικός Προπονητής

Αποτελεσματικός Προπονητής ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

«Έντυπο και ψηφιακό βιβλίο στη σύγχρονη εποχή: τάσεις στην παγκόσμια βιομηχανία».

«Έντυπο και ψηφιακό βιβλίο στη σύγχρονη εποχή: τάσεις στην παγκόσμια βιομηχανία». ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Ταχ. Δ/νση : ΑΤΕΙ Ιονίων Νήσων- Λεωφόρος Αντώνη Τρίτση Αργοστόλι- Κεφαλληνίας, Ελλάδα 28100, +30

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Τῌ ΤΕΤΑΡΤῌ Β ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΝΗΣΤΕΙΩΝ Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης 1 Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ

Διαβάστε περισσότερα

«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE

«ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE «ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕΞΟΥΑΛΙΚΗ» ΠΑΝΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΗΣ GAMIAN- EUROPE We would like to invite you to participate in GAMIAN- Europe research project. You should only participate if you want to and choosing

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΑΓΙΟΥ ΒΑΠΤΙΣΜΑΤΟΣ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΑΓΙΟΥ ΒΑΠΤΙΣΜΑΤΟΣ ΑΟΛΟΥΘΙΑ ΤΟΥ ΑΓΙΟΥ ΒΑΠΤΙΣΜΑΤΟΣ Ἐπιμέλεια: Στέφανος Σουλδάτος αλλιτεχνικό Μελώδημα (Εργαστήρι Παραδοσιακής Μουσικής www.melodima.gr) Σάββατο 13 Οκτωβρίου 2007 Στέφανος Σουλδάτος αλλιτεχνικό Μελώδημα (www.melodima.gr)

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e

d u d dt u e u d dt e u d u 1 u dt e 0 2 e Ρ ΤΟ Θ ΜΑ Μ. Α ΑΠΟ ε ΞεΤε ΤΙ ΑΝΑΓΚΑ Α ΚΑΙ ΙΚΑΝ ΣΥΝΘ ΚΗ ΣΤε ΝΑ Ι ΝΥΣΜΑ u t 0 ΝΑ ΠΑΡΑΜ ΝεΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ΜΙΑ ε ΟΜ ΝΗ ευθε Α ε ΝΑΙ u t u 0 Π ειξη Α ΑΠΟ ε ΞΟΥΜε ΤΟ ΙΚΑΝ ΗΛΑ ΑΝ ε ΝΑΙ ΠΑΡ ΛΛΗΛΟ ΠΡΟ ε ΟΜ ΝΗ ευθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011 2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΒΑΘΜΟΣ ΤΑΞΗ : Β ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΣ : ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 2 ώρες ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 15.06.2012 ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ/ΤΡΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά.

Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Διαστημικό εστιατόριο του (Μ)ΑστροΈκτορα Στο εστιατόριο «ToDokimasesPrinToBgaleisStonKosmo?» έξω από τους δακτυλίους του Κρόνου, οι παραγγελίες γίνονται ηλεκτρονικά. Μόλις μια παρέα πελατών κάτσει σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα