If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4.

Transcript

1 ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ

2

3 Note This book is compiled to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The Greek text is borrowed from Perseus Digital Library 1 and as for the drawings I have reproduced with a geometrical drawing language named, fittingly to the purpose, EΥKΛEIHΣ (EUK- LEIDES) 2. The drawings are based on the Java TM script drawings on David Joyce s Euclid s Elements Web Page 3. At the Perseus Digital Library each word is linked to morphological analysis tools. But the text there lacks the diagrams that are critical in understanding the text. So I have prepared my own edition with the diagrams, which was what I had been eagerly looking for myself for years on the internet. The Greek text of Euclid s Elements is in the public domain. But the digitalized version, and especially the morphological tools serviced on Perseus Digital Library are protected by copyright laws. I have made a brief contact with Perseus personel and got an answer that Perseus Digital Library is not putting stress on the mere (Greek) text on it s home page. But the various learning tools are just what it is for and are strictly protected by law. If you get prompted by this document and decide to read the book you are advised to visit Perseus Digital Library and get the full linguistic assistance from the philological tools there. This document can be freely distributed (as long as there s no copyright infringement to Perseus Digital Library s part) and I claim no copyright of any kind except in case you use this document for any commercial interest. Thank you. ;) Nov Myungsunn Ryu. If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. Recently I found a wonderful Greek site 5 that presents Euclid s Elements in Ancient Greek with all the diagrams in HTML. Now there are Heiberg s Greek texts of Euclidis Opera Omnia(All Works of Euclid, in 9 volumes) available online 6, so the need for this edition is greatly diminished. However, you might still want to have this wonderful work of the ancient genius on your bookshelf in a neatly printed form. 1 mirrors at and at i

4 ii

5 ΠEPIEXOMENA BIBΛION A BIBΛION B BIBΛION BIBΛION BIBΛION E BIBΛION F BIBΛION Z BIBΛION H BIBΛION Θ BIBΛION I BIBΛION IA BIBΛION IB BIBΛION I iii

6 BIBΛION A ΟΡΟΙ α. Σηµε ν στιν, ο µέρος ο θέν. β. ραµµ δ µ κος πλατές. γ. ραµµ ς δ πέρατα σηµε α. δ. θε α γραµµή στιν, τις ξ σου το ς φ αυτ ς σηµείοις κε ται. ε. πιφάνεια δέ στιν, µ κος κα πλάτος µ νον χει. Ϝ. πιφανείας δ πέρατα γραµµαί. ζ. πίπεδος πιφάνειά στιν, τις ξ σου τα ς φ αυτ ς ε θείαις κε ται. η. πίπεδος δ γωνία στ ν ν πιπέδω δ ο γραµµ ν πτοµένων λλήλων κα µ π ε θείας κειµένων πρ ς λλήλας τ ν γραµµ ν κλίσις. θ. Οταν δ α περιέχουσαι τ ν γωνίαν γραµµα ε θε αι σιν, ε θ γραµµος καλε ται γωνία. ί. Οταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ ς φεξ ς γωνίας σας λλήλαις ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στι, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετος καλε ται, φ ν φέστηκεν. ια. µβλε α γωνία στ ν µείζων ρθ ς. ιβ. Οξε α δ λάσσων ρθ ς. ιγ. Ορος στίν, τιν ς στι πέρας. ιδ. Σχ µά στι τ π τινος τινων ρων περιεχ µενον. ιε. Κ κλος στ σχ µα πίπεδον π µι ς γραµµ ς περιεχ µενον [ καλε ται περιφέρεια], πρ ς ν φ ν ς σηµείου τ ν ντ ς το σχήµατος κειµένων π σαι α προσπίπτουσαι ε θε αι [πρ ς τ ν το κ κλου περιφέρειαν] σαι λλήλαις ε σίν. 1

7 2 BIBΛION. A ιϝ. Κέντρον δ το κ κλου τ σηµε ον καλε ται. ιζ. ιάµετρος δ το κ κλου στ ν ε θε ά τις δι το κέντρου γµένη κα περατουµένη φ κάτερα τ µέρη π τ ς το κ κλου περιφερείας, τις κα δίχα τέµνει τ ν κ κλον. ιη. µικ κλιον δέ στι τ περιεχ µενον σχ µα π τε τ ς διαµέτρου κα τ ς πολαµβανο- µένης π α τ ς περιφερείας. κέντρον δ το µικυκλίου τ α τ, κα το κ κλου στίν. ιθ. Σχήµατα ε θ γραµµά στι τ π ε θει ν περιεχ µενα, τρίπλευρα µ ν τ π τρι ν, τετράπλευρα δ τ π τεσσάρων, πολ πλευρα δ τ π πλει νων τεσσάρων ε θει ν περιεχ µενα. κ. Τ ν δ τριπλε ρων σχηµάτων σ πλευρον µ ν τρίγων ν στι τ τ ς τρε ς σας χον πλευράς, σοσκελ ς δ τ τ ς δ ο µ νας σας χον πλευράς, σκαλην ν δ τ τ ς τρε ς νίσους χον πλευράς. κα. τι δ τ ν τριπλε ρων σχηµάτων ρθογώνιον µ ν τρίγων ν στι τ χον ρθ ν γωνίαν, µβλυγώνιον δ τ χον µβλε αν γωνίαν, ξυγώνιον δ τ τ ς τρε ς ξείας χον γωνίας. κβ. Τ ν δ τετραπλε ρων σχηµάτων τετράγωνον µέν στιν, σ πλευρ ν τέ στι κα ρθογώνιον, τερ µηκες δέ, ρθογώνιον µέν, ο κ σ πλευρον δέ, µβος δέ, σ πλευρον µέν, ο κ ρθογώνιον δέ, οµβοειδ ς δ τ τ ς πεναντίον πλευράς τε κα γωνίας σας λλήλαις χον, ο τε σ πλευρ ν στιν ο τε ρθογώνιον τ δ παρ τα τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. κγ. Παράλληλοί ε σιν ε θε αι, α τινες ν τ α τ πιπέδω ο σαι κα κβαλλ µεναι ε ς πειρον φ κάτερα τ µέρη π µηδέτερα συµπίπτουσιν λλήλαις. ΙΤΜΤ α. ιτήσθω π παντ ς σηµείου π π ν σηµε ον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. β. Κα πεπερασµένην ε θε αν κατ τ συνεχ ς π ε θείας κβαλε ν. γ. Κα παντ κέντρω κα διαστήµατι κ κλον γράφεσθαι. δ. Κα πάσας τ ς ρθ ς γωνίας σας λλήλαις ε ναι. ε. Κα ν ε ς δ ο ε θείας ε θε α µπίπτουσα τ ς ντ ς κα π τ α τ µέρη γωνίας δ ο ρθ ν λάσσονας ποι, κβαλλοµένας τ ς δ ο ε θείας π πειρον συµπίπτειν, φ µέρη ε σ ν α τ ν δ ο ρθ ν λάσσονες. ΚΟΙΝΙ ΝΝΟΙΙ α. Τ τ α τ σα κα λλήλοις στ ν σα. β. Κα ν σοις σα προστεθ, τ λα στ ν σα. γ. Κα ν π σων σα φαιρεθ, τ καταλειπ µενά στιν σα.

8 προτάσεις 3 δ. [Κα ν νίσοις σα προστεθ, τ λα στ ν νισα. ε. Κα τ το α το διπλάσια σα λλήλοις στίν. Ϝ. Κα τ το α το µίση σα λλήλοις στίν.] ζ. Κα τ φαρµ ζοντα π λληλα σα λλήλοις στίν. η. Κα τ λον το µέρους µε ζον [ στιν]. θ. Κα δ ο ε θε αι χωρίον ο περιέχουσιν. ΠΡΟΤΣΙΣ.α π τ ς δοθείσης ε θείας πεπερασµένης τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη. ε δ π τ ς ε θείας τρίγωνον σ πλευρον συστήσασθαι. Κέντρω µ ν τ διαστήµατιδ τ κ κλος γεγράφθω, κα πάλιν κέντρω µ ν τ διαστήµατιδ τ κ κλος γεγράφθω, κα π το σηµείου, καθ τέµνουσιν λλήλους ο κ κλοι, π τ, σηµε α πεζε χθωσαν ε θε αι α,. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ. δείχθη δ κα τ ση κατέρα ρα τ ν, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοις στ ν σα κα ρα τ στ ν ση α τρε ς ρα α,, σαι λλήλαις ε σίν. Ισ πλευρον ρα στ τ τρίγωνον, κα συνέσταται π τ ς δοθείσης ε θείας πεπερασµένης τ ς. [ π τ ς δοθείσης ρα ε θείας πεπερασµένης τρίγωνον σ πλευρον συνέσταται] περ δει ποι σαι..β Πρ ς τ δοθέντι σηµείω τ δοθείση ε θεία σην ε θε αν θέσθαι.

9 4 BIBΛION. A στω τ µ ν δοθ ν σηµε ον τ, δ δοθε σα ε θε α δε δ πρ ς τ σηµείω τ δοθείση ε θεία τ σην ε θε αν θέσθαι. πεζε χθω γ ρ π το σηµείου π τ σηµε ον ε θε α, κα συνεστάτω π α τ ς τρίγωνον σ πλευρον τ, κα κβεβλήσθωσαν π ε θείας τα ς, ε θε αι α,, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατιδ τ κ κλος γεγράφθω Θ, κα πάλιν κέντρω τ κα διαστήµατι τ κ κλος γεγράφθω ΚΛ. Κ Θ Λ πε ο ν τ σηµε ον κέντρον στ το Θ κ κλου, ση στ ν τ.πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν Λ τ, ν τ ση στίν. λοιπ ρα Λ λοιπ τ στ ν ση. δείχθη δ κα τ ση κατέρα ρα τ ν Λ, τ στ ν ση. τ δ τ α τ σα κα λλήλοις στ ν σα κα Λ ρα τ στ ν ση. Πρ ς ρα τ δοθέντι σηµείω τ τ δοθείση ε θεία τ ση ε θε α κε ται Λ περ δει ποι σαι..γ ο δοθεισ ν ε θει ν νίσων π τ ς µείζονος τ λάσσονι σην ε θε αν φελε ν.

10 προτάσεις 5 στωσαν α δοθε σαι δ ο ε θε αι νισοι α,, ν µείζων στω δε δ π τ ς µείζονος τ ς τ λάσσονι τ σην ε θε αν φελε ν. Κείσθω πρ ς τ σηµείω τ ε θεία ση κα κέντρω µ ν τ διαστήµατιδ τ κ κλος γεγράφθω. Κα πε τ σηµε ον κέντρον στ το κ κλου, ση στ ν τ λλ κα τ στιν ση. κατέρα ρα τ ν, τ στιν ση στε κα τ στιν ση. ο ρα δοθεισ ν ε θει ν νίσων τ ν, π τ ς µείζονος τ ς τ λάσσονι τ ση φή ρηται περ δει ποι σαι..δ ν δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς [τα ς] δυσ πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται κατέρα κατέρα, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν.

11 6 BIBΛION. A στω δ ο τρίγωνα τ, τ ς δ ο πλευρ ς τ ς, τα ς δυσ πλευρα ς τα ς, σας χοντα κατέραν κατέρα τ ν µ ν τ τ ν δ τ κα γωνίαν τ ν π γωνία τ π σην. λέγω, τι κα βάσις βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται κατέρα κατέρα, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ ς δ ε θείας π τ ν, φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ φαρµοσάσης δ τ ς π τ ν φαρµ σει κα ε θε α π τ ν δι τ σην ε ναι τ ν π γωνίαν τ π στε κα τ σηµε ον π τ σηµε ον φαρµ σει δι τ σην πάλιν ε ναι τ ν τ. λλ µ ν κα τ π τ φηρµ κει στε βάσις π βάσιν τ ν φαρµ σει. ε γ ρ το µ ν π τ φαρµ σαντος το δ π τ βάσις π τ ν ο κ φαρµ σει, δ ο ε θε αι χωρίον περιέξουσιν περ στ ν δ νατον. φαρµ σει ρα βάσις π τ ν κα ση α τ σται στε κα λον τ τρίγωνον π λον τ τρίγωνον φαρµ σει κα σον α τ σται,κα α λοιπα γωνίαι π τ ςλοιπ ςγωνίας φαρµ σουσικα σαια τα ς σονται, µ ν π τ π δ π τ π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς [τα ς] δ ο πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ βάσει σην ξει, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται,κα α λοιπα γωνίαιτα ςλοιπα ς γωνίαις σαι σονται κατέρα κατέρα, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν περ δει δε ξαι..ε Τ ν σοσκελ ν τριγώνων α πρ ς τ βάσει γωνίαι σαι λλήλαις ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαις σονται. στω τρίγωνον σοσκελ ς τ σην χον τ ν πλευρ ν τ πλευρ, κα προσεκβεβλήσθωσαν π ε θείας τα ς, ε θε αι α, λέγω, τι µ ν π γωνία τ π ση στίν, δ π τ π.

12 προτάσεις 7 λήφθω γ ρ π τ ς τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ ς µείζονος τ ς τ λάσσονι τ ση, κα πεζε χθωσαν α, ε θε αι. πε ο ν ση στ ν µ ντ δ τ, δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνίαν κοιν ν περιέχουσι τ ν π βάσις ρα βάσειτ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται κατέρα κατέρα, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν, µ ν π τ π, δ π τ π. κα πε λη λη τ στιν ση, ν τ στιν ση, λοιπ ρα λοιπ τ στιν ση. δείχθηδ κα τ ση δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π ση, κα βάσις α τ ν κοιν κα τ ρα τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται κατέρα κατέρα, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν ση ρα στ ν µ ν π τ π δ π τ π. πε ο ν λη π γωνία λη τ π γωνία δείχθη ση, ν π τ π ση, λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση καί ε σι πρ ς τ βάσει το τριγώνου. δείχθη δ κα π τ π ση καί ε σιν π τ ν βάσιν. Τ ν ρα σοσκελ ντριγώνωνα πρ ςτ βάσει γωνίαι σαι λλήλαις ε σίν, κα προσεκβληθεισ ν τ ν σων ε θει ν α π τ ν βάσιν γωνίαι σαι λλήλαις σονται περ δει δε ξαι..ϝ ν τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαις σιν, κα α π τ ς σας γωνίαις ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαις σονται. στωτρίγωνοντ σην χοντ ν π γωνίαντ π γωνία λέγω, τι κα πλευρ πλευρ τ στιν ση. γ ρ νισ ς στιν τ, τέρα α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα φη ρήσθω π τ ς µείζονος τ ς τ λάττονι τ ση,κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα γωνία π γωνία τ π στιν ση βάσις ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον σται, τ λασσον τ µείζονι περ τοπον ο κ ρα νισ ς στιν τ ση ρα.

13 8 BIBΛION. A ν ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι σαι λλήλαις σιν, κα α π τ ς σας γωνίας ποτείνουσαι πλευρα σαι λλήλαις σονται περ δει δε ξαι..ζ π τ ς α τ ς ε θείας δ ο τα ς α τα ς ε θείαις λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα ο συσταθήσονται πρ ς λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρητ α τ πέρατα χουσαιτα ς ξ ρχ ς ε θείαις. γ ρ δυνατ ν, π τ ς α τ ς ε θείας τ ς δ ο τα ς α τα ς ε θείαις τα ς, λλαι δ ο ε θε αι α, σαι κατέρα κατέρα συνεστάτωσαν πρ ς λλω κα λλω σηµείω τ τε κα π τ α τ µέρη τ α τ πέρατα χουσαι, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ τ α τ πέρας χουσαν α τ τ, τ ν δ τ τ α τ πέρας χουσαν α τ τ, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π µείζων ρα π τ ς π πολλ ρα π µείζων στ τ ς π. πάλιν πε ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π γωνία τ π. δείχθη δ α τ ς κα πολλ µείζων περ στ ν δ νατον. Ο κ ρα π τ ς α τ ς ε θείας δ ο τα ς α τα ς ε θείαις λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα συσταθήσονται πρ ς λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρητ α τ πέρατα χουσαι τα ς ξ ρχ ς ε θείαις περ δει δε ξαι..η ν δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς [τα ς] δ ο πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα, χη δ κα τ ν βάσιν τ βάσει σην, κα τ ν γωνίαν τ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην.

14 προτάσεις 9 στω δ ο τρίγωνα τ, τ ς δ ο πλευρ ς τ ς, τα ς δ ο πλευρα ς τα ς, σας χοντα κατέραν κατέρα, τ νµ ντ τ ν δ τ χέτω δ κα βάσιν τ ν βάσει τ σην λέγω, τι κα γωνία π γωνία τ π στιν ση. φαρµοζοµένου γ ρ το τριγώνου π τ τρίγωνον κα τιθεµένου το µ ν σηµείου π τ σηµε ον τ ς δ ε θείας π τ ν φαρµ σει κα τ σηµε ον π τ δι τ σην ε ναι τ ν τ φαρµοσάσης δ τ ς π τ ν φαρµ σουσι κα α, π τ ς,.ε γ ρβάσιςµ ν π βάσιντ ν φαρµ σει,α δ, πλευρα π τ ς, ο κ φαρµ σουσιν λλ παραλλάξουσιν ς α,, συσταθήσονται π τ ς α τ ς ε θείας δ ο τα ς α τα ς ε θείαις λλαι δ ο ε θε αι σαι κατέρα κατέρα πρ ς λλω κα λλω σηµείω π τ α τ µέρητ α τ πέρατα χουσαι.ο συνίστανται δέ ο κ ρα φαρµοζοµένης τ ς βάσεως π τ ν βάσιν ο κ φαρµ σουσι κα α,πλευρα π τ ς,. φαρµ σουσιν ρα στεκα γωνία π π γωνίαν τ ν π φαρµ σει κα ση α τ σται. ν ρα δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς [τα ς] δ ο πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα κα τ ν βάσιν τ βάσει σην χη, κα τ νγωνίαντ γωνία σην ξει τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην περ δει δε ξαι..θ Τ ν δοθε σαν γωνίαν ε θ γραµµον δίχα τεµε ν. στω δοθε σα γωνία ε θ γραµµος π. δε δ α τ ν δίχα τεµε ν. λήφθω π τ ς τυχ ν σηµε ον τ, κα φη ρήσθω π τ ς τ ση,κα πεζε χθω, κα συνεστάτω π τ ς τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω λέγω, τι π γωνία δίχα τέτµηται π τ ς ε θείας.

15 10 BIBΛION. A πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα. κα βάσις βάσει τ ση στίν γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν. ρα δοθε σα γωνία ε θ γραµµος π δίχα τέτµηται π τ ς ε θείας περ δει ποι σαι..ι Τ ν δοθε σαν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν. στω δοθε σα ε θε α πεπερασµένη δε δ τ ν ε θε αν πεπερασµένην δίχα τεµε ν. Συνεστάτω π α τ ς τρίγωνον σ πλευρον τ, κα τετµήσθω π γωνία δίχα τ ε θεία λέγω, τι ε θε α δίχα τέτµηται κατ τ σηµε ον. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δ ο τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π ση στίν βάσις ρα βάσει τ ση στίν. ρα δοθε σα ε θε α πεπερασµένη δίχα τέτµηται κατ τ περ δει ποι σαι.

16 προτάσεις 11.ια Τ δοθείση ε θεία π το πρ ς α τ δοθέντος σηµείου πρ ς ρθ ς γωνίας ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. στω µ ν δοθε σα ε θε α τ δ δοθ ν σηµε ον π α τ ς τ δε δ π το σηµείου τ ε θεία πρ ς ρθ ς γωνίας ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. λήφθω π τ ς τυχ ν σηµε ον τ, κα κείσθω τ ση, κα συνεστάτω π τ ς τρίγωνον σ πλευρον τ, κα πεζε χθω λέγω, τι τ δοθείση ε θεία τ π το πρ ς α τ δοθέντος σηµείου το πρ ς ρθ ς γωνίας ε θε α γραµµ κται. πε γ ρ ση στ ν τ, κοιν δ, δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα βάσις βάσει τ ση στίν γωνία ρα π γωνία τ π ση στίν καί ε σιν φεξ ς. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ ς φεξ ς γωνίας σας λλήλαις ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν ρθ ρα στ ν κατέρα τ ν π,. Τ ρα δοθείση ε θεία τ π το πρ ς α τ δοθέντος σηµείου το πρ ς ρθ ς γωνίας ε θε α γραµµ κται περ δει ποι σαι..ιβ π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον π το δοθέντος σηµείου, µή στιν π α τ ς, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν. στω µ ν δοθε σα ε θε α πειρος τ δ δοθ ν σηµε ον, µή στιν π α τ ς, τ δε δ π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντος σηµείου το, µή στιν π α τ ς, κάθετον ε θε αν γραµµ ν γαγε ν.

17 12 BIBΛION. A Θ λήφθω γ ρ π τ τερα µέρη τ ς ε θείας τυχ ν σηµε ον τ, κα κέντρω µ ν τ διαστήµατιδ τ κ κλος γεγράφθω, κα τετµήσθω ε θε α δίχα κατ τ Θ, κα πεζε χθωσαν α, Θ, ε θε αι λέγω, τι π τ ν δοθε σαν ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντος σηµείου το, µή στιν π α τ ς, κάθετος κται Θ. πε γ ρ ση στ ν Θ τ Θ, κοιν δ Θ, δ ο δ α Θ, Θ δ ο τα ς Θ, Θ σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα βάσις βάσει τ στιν ση γωνία ρα π Θγωνία τ π Θ στιν ση. καί ε σιν φεξ ς. ταν δ ε θε α π ε θε αν σταθε σα τ ς φεξ ς γωνίας σας λλήλαις ποι, ρθ κατέρα τ ν σων γωνι ν στιν, κα φεστηκυ α ε θε α κάθετος καλε ται φ ν φέστηκεν. π τ ν δοθε σαν ρα ε θε αν πειρον τ ν π το δοθέντος σηµείου το, µή στιν π α τ ς, κάθετος κται Θ περ δει ποι σαι..ιγ ν ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνίας ποι, τοι δ ο ρθ ς δυσ ν ρθα ς σας ποιήσει. θε α γάρ τις π ε θε αν τ ν σταθε σα γωνίας ποιείτω τ ς π, λέγω, τια π,γωνίαι τοιδ ο ρθαίε σιν δυσ ν ρθα ς σαι.

18 προτάσεις 13 µ νο ν ση στ ν π τ π, δ ο ρθαί ε σιν. ε δ ο, χθω π το σηµείου τ [ε θεία ] πρ ς ρθ ς α ρα π, δ ο ρθαί ε σιν κα πε π δυσ τα ς π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π α ρα π, τρισ τα ς π,, σαι ε σίν. πάλιν, πε π δυσ τα ς π, ση στίν, κοιν προσκείσθω π α ρα π, τρισ τα ς π,, σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, τρισ τα ς α τα ς σαι τ δ τ α τ σα κα λλήλοις στ ν σα κα α π, ρα τα ς π, σαι ε σίν λλ α π, δ ο ρθαί ε σιν κα α π, ρα δυσ ν ρθα ς σαι ε σίν. ν ρα ε θε α π ε θε αν σταθε σα γωνίας ποι, τοι δ ο ρθ ς δυσ ν ρθα ς σας ποιήσει περ δει δε ξαι..ιδ ν πρ ς τινι ε θεία κα τ πρ ς α τ σηµείω δ ο ε θε αι µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ ς φεξ ς γωνίας δυσ ν ρθα ς σας ποι σιν, π ε θείας σονται λλήλαις α ε θε αι. Πρ ς γάρ τινι ε θεία τ κα τ πρ ς α τ σηµείω τ δ οε θε αια,µ π τ α τ µέρη κείµεναι τ ς φεξ ς γωνίας τ ς π, δ ο ρθα ς σας ποιείτωσαν λέγω, τι π ε θείας στ τ. γ ρ µή στι τ π ε θείας, στω τ π ε θείας. πε ο ν ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκεν, α ρα π, γωνίαι δ ο ρθα ς σαι ε σίν ε σ δ κα α π, δ ο ρθα ς σαι α ρα π, τα ς π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π λοιπ ρα π λοιπ τ π στιν ση, λάσσων τ µείζονι περ στ ν δ νατον. ο κ ρα π ε θείας στ ν τ. µοίως δ δείξοµεν, τι ο δ λλη τις πλ ν τ ς π ε θείας ρα στ ν τ. ν ρα πρ ς τινι ε θεία κα τ πρ ς α τ σηµείω δ οε θε αιµ π τ α τ µέρη κείµεναι τ ς φεξ ς γωνίας δυσ ν ρθα ς σας ποι σιν, π ε θείας σονται λλήλαις α ε θε αι περ δει δε ξαι..ιε ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλας, τ ς κατ κορυφ ν γωνίας σας λλήλαις ποιο σιν.

19 14 BIBΛION. A ο γ ρ ε θε αι α, τεµνέτωσαν λλήλας κατ τ σηµε ον λέγω, τι ση στ ν µ ν π γωνίατ π, δ π τ π. πε γ ρ ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνίας ποιο σα τ ς π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα ς σαι ε σίν. πάλιν, πε ε θε α π ε θε αν τ ν φέστηκε γωνίας ποιο σα τ ς π,, α ρα π, γωνίαι δυσ ν ρθα ς σαι ε σίν. δείχθησαν δ κα α π, δυσ ν ρθα ς σαι α ρα π, τα ς π, σαι ε σίν. κοιν φη ρήσθω π λοιπ ρα π λοιπ τ π ση στίν µοίως δ δειχθήσεται, τι κα α π, σαι ε σίν. ν ρα δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλας, τ ς κατ κορυφ ν γωνίας σας λλήλαις ποιο σιν περ δει δε ξαι. Π ρισµα κ δ το του φανερ ν τι, ν δ ο ε θε αι τέµνωσιν λλήλας, τ ς πρ ς τ τοµ γωνίας τέτρασιν ρθα ς σας ποιήσουσιν..ιϝ Παντ ς τριγώνου µι ς τ ν πλευρ ν προσεκβληθείσης κτ ς γωνία κατέρας τ ν ντ ς κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν.

20 προτάσεις 15 στω τρίγωνον τ, κα προσεκβεβλήσθω α το µία πλευρ π τ λέγω, τι κτ ς γωνία π µείζων στ ν κατέρας τ ν ντ ς κα πεναντίον τ ν π, γωνι ν. Τετµήσθω δίχα κατ τ, κα πιζευχθε σα κβεβλήσθω π ε θείας π τ, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω, κα διήχθω π τ. πε ο ν ση στ ν µ ντ, δ τ,δ οδ α,δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π ση στίν κατ κορυφ ν γάρ βάσις ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω στ ν σον, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, φ ςα σαι πλευρα ποτείνουσιν ση ρα στ ν π τ π. µείζων δέ στιν π τ ς π µείζων ρα π τ ς π. µοίως δ τ ς τετµηµένης δίχα δειχθήσεται κα π, τουτέστιν π, µείζων κα τ ς π. Παντ ς ρα τριγώνου µι ς τ ν πλευρ ν προσεκβληθείσης κτ ς γωνία κατέρας τ ν ντ ς κα πεναντίον γωνι ν µείζων στίν περ δει δε ξαι..ιζ Παντ ς τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι.

21 16 BIBΛION. A στω τρίγωνον τ λέγω, τι το τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάττονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. κβεβλήσθω γ ρ π τ. Κα πε τριγώνου το κτ ς στι γωνία π, µείζων στ τ ς ντ ς κα πεναντίον τ ς π. κοιν προσκείσθω π α ρα π, τ ν π, µείζονές ε σιν. λλ α π, δ ο ρθα ς σαι ε σίν α ρα π, δ ο ρθ ν λάσσονές ε σιν. µοίως δ δείξοµεν, τι κα α π, δ ο ρθ ν λάσσονέςε σικα τια π,. Παντ ς ρα τριγώνου α δ ο γωνίαι δ ο ρθ ν λάσσονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι περ δει δε ξαι..ιη Παντ ς τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει. στω γ ρ τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν πλευρ ν τ ς λέγω, τι κα γωνία π µείζων στ τ ς π. πε γ ρ µείζων στ ν τ ς, κείσθω τ ση,κα πεζε χθω.

22 προτάσεις 17 Κα πε τριγώνου το κτ ς στι γωνία π, µείζων στ τ ς ντ ς κα πεναντίον τ ς π ση δ π τ π, πε κα πλευρ τ στιν ση µείζων ρα κα π τ ς π πολλ ρα π µείζων στ τ ς π. Παντ ς ρα τριγώνου µείζων πλευρ τ ν µείζονα γωνίαν ποτείνει περ δει δε ξαι..ιθ Παντ ς τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει. στω τρίγωνον τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ ς π λέγω, τι κα πλευρ πλευρ ς τ ς µείζων στίν. γ ρ µή, τοι ση στ ν τ λάσσων σηµ νο νο κ στιν τ ση γ ρ ν ν κα γωνία π τ π ο κ στι δέ ο κ ρα ση στ ν τ. ο δ µ ν λάσσων στ ν τ ς λάσσων γ ρ ν ν κα γωνία π τ ς

23 18 BIBΛION. A π ο κ στι δέ ο κ ρα λάσσων στ ν τ ς. δείχθη δέ, τι ο δ ση στίν. µείζων ρα στ ν τ ς. Παντ ς ρα τριγώνου π τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει περ δει δε ξαι..κ Παντ ς τριγώνου α δ ο πλευρα τ ς λοιπ ς µείζονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι. στω γ ρ τρίγωνον τ λέγω, τι το τριγώνου α δ ο πλευρα τ ς λοιπ ς µείζονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ ς, α δ, τ ς, α δ, τ ς. ιήχθω γ ρ π τ σηµε ον, κα κείσθω τ ση,κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν τ, ση στ κα γωνία π τ π µείζων ρα π τ ς π κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ ς π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, ρα τ ς στι µείζων. ση δ τ µείζονες ρα α, τ ς µοίως δ δείξοµεν, τι κα α µ ν, τ ς µείζονές ε σιν, α δ, τ ς. Παντ ς ρα τριγώνου α δ ο πλευρα τ ς λοιπ ς µείζονές ε σι πάντη µεταλαµβαν µεναι περ δει δε ξαι..κα ν τριγώνου π µι ς τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ ς συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονες µ ν σονται, µείζονα δ γωνίαν περιέξουσιν. Τριγώνου γ ρ το π µι ς τ ν πλευρ ν τ ς π τ ν περάτων τ ν, δ ο ε θε αι ντ ς συνεστάτωσαν α, λέγω, τι α, τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν τ ν, λάσσονες µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσι τ ν π τ ς π.

24 προτάσεις 19 ιήχθω γ ρ π τ. κα πε παντ ς τριγώνου α δ ο πλευρα τ ς λοιπ ς µείζονές ε σιν, το ρα τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ ς µείζονές ε σιν κοιν προσκείσθω α ρα, τ ν, µείζονές ε σιν. πάλιν, πε το τριγώνου α δ ο πλευρα α, τ ς µείζονές ε σιν, κοιν προσκείσθω α, ρα τ ν, µείζονές ε σιν. λλ τ ν, µείζονες δείχθησαν α, πολλ ρα α, τ ν, µείζονές ε σιν. Πάλιν, πε παντ ς τριγώνου κτ ς γωνία τ ς ντ ς κα πεναντίον µείζων στίν, το ρα τριγώνου κτ ς γωνία π µείζων στ τ ς π. δι τα τ τοίνυν κα το τριγώνου κτ ς γωνία π µείζων στ τ ς π. λλ τ ς π µείζων δείχθη π πολλ ρα π µείζων στ τ ς π. ν ρα τριγώνου π µι ς τ ν πλευρ ν π τ ν περάτων δ ο ε θε αι ντ ς συσταθ σιν, α συσταθε σαι τ ν λοιπ ν το τριγώνου δ ο πλευρ ν λάττονες µέν ε σιν, µείζονα δ γωνίαν περιέχουσιν περ δει δε ξαι..κβ κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα ς δοθείσαις [ε θείαις], τρίγωνον συστήσασθαι δε δ τ ς δ ο τ ς λοιπ ς µείζονας ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένας [δι τ κα παντ ς τριγώνου τ ς δ ο πλευρ ς τ ς λοιπ ς µείζονας ε ναι πάντη µεταλαµβανοµένας]. στωσαν α δοθε σαι τρε ς ε θε αι α,,, ν α δ ο τ ς λοιπ ς µείζονες στωσαν πάντη µεταλαµβαν µεναι, α µ ν, τ ς, α δ, τ ς, κα τι α, τ ς δε δ κ τ ν σων τα ς,, τρίγωνον συστήσασθαι.

25 20 BIBΛION. A Κ Θ κκείσθω τις ε θε α πεπερασµένη µ ν κατ τ πειρος δ κατ τ, κα κείσθω τ µ ν ση,τ δ ση, τ δ ση Θ κα κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ κ κλος γεγράφθω ΚΛ πάλιν κέντρω µ ν τ, διαστήµατι δ τ Θ κ κλος γεγράφθω ΚΛΘ, κα πεζε χθωσαν α Κ, Κ λέγω, τι κ τρι ν ε θει ν τ ν σων τα ς,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ. πε γ ρ τ σηµε ον κέντρον στ το ΚΛ κ κλου, ση στ ν τ Κ λλ τ στιν ση. κα Κ ρατ στιν ση. πάλιν, πε τ σηµε ον κέντρον στ το ΛΚΘ κ κλου, ση στ ν Θ τ Κ λλ Θ τ στιν ση κα Κ ρατ στιν ση. στ δ κα τ ση α τρε ς ρα ε θε αι α Κ,, Κ τρισ τα ς,, σαι ε σίν. κ τρι ν ρα ε θει ν τ ν Κ,, Κ, α ε σιν σαι τρισ τα ς δοθείσαις ε θείαις τα ς,,, τρίγωνον συνέσταται τ Κ περ δει ποι σαι..κγ Πρ ς τ δοθείση ε θεία κα τ πρ ς α τ σηµείω τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι.

26 προτάσεις 21 στω µ ν δοθε σα ε θε α, τ δ πρ ς α τ σηµε ον τ, δ δοθε σα γωνία ε θ γραµµος π δε δ πρ ς τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ ς α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π σην γωνίαν ε θ γραµµον συστήσασθαι. λήφθω φ κατέρας τ ν, τυχ ντα σηµε α τ,, κα πεζε χθω κα κ τρι ν ε θει ν, α ε σιν σαι τρισ τα ς,,, τρίγωνον συνεστάτω τ, στε σην ε ναι τ ν µ ν τ, τ ν δ τ, κα τι τ ν τ. πε ο ν δ ο α, δ ο τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα, κα βάσις βάσει τ ση, γωνία ρα π γωνία τ π στιν ση. Πρ ς ρα τ δοθείση ε θεία τ κα τ πρ ς α τ σηµείω τ τ δοθείση γωνία ε θυγράµµω τ π ση γωνία ε θ γραµµος συνέσταται π περ δει ποι σαι..κδ ν δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς [τα ς] δ ο πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα, τ νδ γωνίαν τ ς γωνίας µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ ς βάσεως µείζονα ξει. στω δ ο τρίγωνα τ, τ ς δ ο πλευρ ς τ ς, τα ς δ ο πλευρα ς τα ς, σας χοντα κατέραν κατέρα, τ νµ ντ τ ν δ τ, δ πρ ς τ γωνίατ ςπρ ςτ γωνίας µείζων στω λέγω, τι κα βάσις βάσεως τ ς µείζων στίν. πε γ ρ µείζων π γωνία τ ς π γωνίας, συνεστάτω πρ ς τ ε θεία κα τ πρ ς α τ σηµείω τ τ π γωνία ση π, κα κείσθω ποτέρα τ ν, ση, κα πεζε χθωσαν α,.

27 22 BIBΛION. A πε ο ν ση στ ν µ ν τ, δ τ,δ οδ α,δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π ση βάσις ρα βάσειτ στιν ση. πάλιν, πε ση στ ν τ, ση στ κα π γωνία τ π µείζων ρα π τ ς π πολλ ρα µείζων στ ν π τ ς π. κα πε τρίγων ν στι τ µείζονα χον τ ν π γωνίαν τ ς π, π δ τ ν µείζονα γωνίαν µείζων πλευρ ποτείνει, µείζων ρα κα πλευρ τ ς. ση δ τ µείζων ρα κα τ ς. ν ρα δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς δυσ πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα, τ νδ γωνίαν τ ς γωνίας µείζονα χη τ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην, κα τ ν βάσιν τ ς βάσεως µείζονα ξει περ δει δε ξαι..κε ν δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς δυσ πλευρα ς σας χη κατέραν κατέρα, τ ν δ βάσιν τ ςβάσεωςµείζονα χη, κα τ νγωνίαντ ςγωνίαςµείζονα ξειτ ν π τ ν σωνε θει ν περιεχοµένην.

28 προτάσεις 23 στω δ ο τρίγωνα τ, τ ς δ ο πλευρ ς τ ς, τα ς δ ο πλευρα ς τα ς, σας χοντα κατέραν κατέρα, τ νµ ντ, τ ν δ τ βάσις δ βάσεως τ ς µείζων στω λέγω, τι κα γωνία π γωνίας τ ς π µείζων στίν γ ρ µή, τοι ση στ ν α τ λάσσων ση µ ν ο ν ο κ στιν π τ π ση γ ρ ν ν κα βάσις βάσει τ ο κ στι δέ. ο κ ρα ση στ γωνία π τ π ο δ µ ν λάσσων στ ν π τ ς π λάσσων γ ρ ν ν κα βάσις βάσεως τ ς ο κ στι δέ ο κ ρα λάσσων στ ν π γωνία τ ς π. δείχθη δ τι ο δ ση µείζων ρα στ ν π τ ς π. ν ρα δ ο τρίγωνα τ ς δ ο πλευρ ς δυσ πλευρα ς σας χη κατέραν κάτερα, τ νδ βάσιν τ ς βάσεως µείζονα χη, κα τ νγωνίαντ ςγωνίαςµείζονα ξειτ ν π τ ν σων ε θει ν περιεχοµένην περ δει δε ξαι..κϝ ν δ ο τρίγωνα τ ς δ ο γωνίας δυσ γωνίαις σας χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ ς τα ς σαις γωνίαις τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ ς λοιπ ς πλευρ ς τα ς λοιπα ς πλευρα ς σας ξει [ κατέραν κατέρα ] κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία. στω δ ο τρίγωνα τ, τ ς δ ο γωνίας τ ς π, δυσ τα ς π, σας χοντα κατέραν κατέρα, τ νµ ν π τ π, τ ν δ π τ π χέτω δ κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην, πρ τερον τ ν πρ ς τα ς σαις γωνίαις τ ν τ λέγω, τι κα τ ς λοιπ ς πλευρ ς τα ς λοιπα ς πλευρα ς σας ξει κατέραν κατέρα, τ νµ ντ τ ν δ τ,κα τ νλοιπ νγωνίαντ λοιπ γωνία, τ ν π τ π. γ ρ νισ ς στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, κα κείσθω τ ση, κα πεζε χθω. πε ο ν ση στ ν µ ντ, δ τ, δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π ση στίν βάσις ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν,κα α λοιπα

29 24 BIBΛION. A γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν ση ρα π γωνία τ π. λλ π τ π π κειται ση κα π ρα τ π ση στίν, λάσσων τ µείζονι περ δ νατον. ο κ ρα νισ ς στιν τ. ση ρα. στι δ κα τ ση δ ο δ α, δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνία π γωνία τ π στιν ση βάσις ρα βάσει τ ση στίν, κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. λλ δ πάλιν στωσαν α π τ ς σας γωνίας πλευρα ποτείνουσαι σαι, ς τ λέγω πάλιν, τι κα α λοιπα πλευρα τα ς λοιπα ς πλευρα ς σαι σονται, µ ν τ, δ τ κα τι λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση στίν. γ ρ νισ ς στιν τ, µία α τ ν µείζων στίν. στω µείζων, ε δυνατ ν,, κα κείσθω τ ση Θ, κα πεζε χθω Θ. κα πε ση στ ν µ ν Θ τ δ τ, δ ο δ α, Θ δυσ τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνίας σας περιέχουσιν βάσις ρα Θ βάσει τ ση στίν, κα τ Θ τρίγωνον τ τριγώνω σον στίν, κα α λοιπα γωνίαι τα ς λοιπα ς γωνίαις σαι σονται, φ ς α σαι πλευρα ποτείνουσιν ση ρα στ ν π Θ γωνία τ π. λλ π τ π στιν ση τριγώνου δ το Θ κτ ς γωνία π Θ ση στ τ ντ ς κα πεναντίον τ π περ δ νατον. ο κ ρα νισ ς στιν τ ση ρα. στ δ κα τ ση. δ ο δ α, δ ο τα ς, σαι ε σ ν κατέρα κατέρα κα γωνίας σας περιέχουσι βάσις ρα βάσει τ ση στίν, κα τ τρίγωνον τ τριγώνω σον κα λοιπ γωνία π τ λοιπ γωνία τ π ση. ν ρα δ ο τρίγωνα τ ς δ ο γωνίας δυσ γωνίαις σας χη κατέραν κατέρα κα µίαν πλευρ ν µι πλευρ σην τοι τ ν πρ ς τα ς σαις γωνίαις, τ ν ποτείνουσαν π µίαν τ ν σων γωνι ν, κα τ ς λοιπ ς πλευρ ς τα ς λοιπα ς πλευρα ς σας ξει κα τ ν λοιπ ν γωνίαν τ λοιπ γωνία περ δει δε ξαι..κζ ν ε ς δ ο ε θείας ε θε α µπίπτουσα τ ς ναλλ ξ γωνίας σας λλήλαις ποι, παράλληλοι σονται λλήλαις α ε θε αι. ς γ ρ δ ο ε θείας τ ς, ε θε α µπίπτουσα τ ς ναλλ ξ γωνίας τ ς π, σας λλήλαις ποιείτω λέγω, τι παράλληλ ς στιν τ.

30 προτάσεις 25 γ ρ µή, κβαλλ µεναι α, συµπεσο νται τοι π τ, µέρη π τ,. κβεβλήσθωσαν κα συµπιπτέτωσαν π τ, µέρη κατ τ. τριγώνου δ το κτ ς γωνία π ση στ τ ντ ς κα πεναντίον τ π περ στ ν δ νατον ο κ ρα α, κβαλλ µεναι συµπεσο νται π τ, µέρη. µοίως δ δειχθήσεται, τι ο δ π τ, α δ π µηδέτερα τ µέρη συµπίπτουσαι παράλληλοί ε σιν παράλληλος ρα στ ν τ. ν ρα ε ς δ ο ε θείας ε θε α µπίπτουσα τ ς ναλλ ξ γωνίας σας λλήλαις ποι, παράλληλοι σονται α ε θε αι περ δει δε ξαι..κη ν ε ς δ ο ε θείας ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ ς γωνίαν τ ντ ς κα πεναντίον κα π τ α τ µέρη σην ποι τ ς ντ ς κα π τ α τ µέρη δυσ ν ρθα ς σας, παράλληλοι σονται λλήλαις α ε θε αι. ς γ ρ δ ο ε θείας τ ς, ε θε α µπίπτουσα τ ν κτ ς γωνίαν τ ν π τ ντ ς κα πεναντίον γωνία τ π Θ σην ποιείτω τ ς ντ ς κα π τ α τ µέρη τ ς π Θ, Θ δυσ ν ρθα ς σας λέγω, τι παράλληλ ς στιν τ. πε γ ρ ση στ ν π τ π Θ, λλ π τ π Θ στιν ση, κα π Θ ρα τ π Θ στιν ση καί ε σιν ναλλάξ παράλληλος ρα στ ν τ.