Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη
|
|
- Ευφροσύνη Κωνσταντόπουλος
- 10 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
2 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα υποσυ νολο M των ακμω ν ενο ς γραφη ματος G ονομα ζεται ταίριασμα στο G εα ν οι ακμε ς του M δεν ε χουν κοινε ς κορυφε ς Οι δυ ο κορυφε ς στα α κρα κα θε ακμη ς του M λε με ο τι ε χουν ταιριαστει στο M Κορεσμένη Κορυφή (Saturated): Έστω ε να ται ριασμα M σε ε να γρα φημα G. Μι α κορυφη u ονομα ζεται M-κορεσμένη εα ν μια ακμη του M προσπι πτει στην u. Διαφορετικα ονομα ζεται M-ακόρεστη Μέγιστο Ταίριασμα: Ένα ται ριασμα M του γραφη ματος G ονομα - ζεται μέγιστο ταίριασμα εα ν δεν υπα ρχει ται ριασμα M του G τε τοιο ω στε M > M Τέλειο Ταίριασμα: Εα ν ο λες οι κορυφε ς ενο ς γραφη ματος G ει ναι M-κορεσμε νες, το τε το M ονομα ζεται τέλειο ταίριασμα τε λειο ται ριασμα με γιστο ται ριασμα με γιστο ται ριασμα ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
3 µ(g): Το πλη θος ακμω ν κα ποιου με γιστου ταιρια σματος M του γραφη ματος G. Λήμμα 9.1: Έστω γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) V(G) µ(g) Απόδειξη : Έστω M ε να με γιστο ται ριασμα του G (με µ(g) ακμε ς) Τα α κρα κα θε ακμη ς του M χρωματι ζονται με το ι διο χρω μα. Στο G δεν ενω νονται με ακμη µ(g) χρω ματα Οι υπο λοιπες V(G) 2µ(G) χρωματι ζονται με διαφορετικα χρω ματα V(G) 2µ(G) Συνολικα : V(G) 2µ(G) + µ(g) = V(G) µ(g) χρω ματα χ(g V(G) µ(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
4 Λήμμα 9.2: Έστω γρα φημα G ο που V(G) = n και E(G) = m. Ισχυ ει ο τι µ(g) Απόδειξη : 2mn n+2m Γνωρι ζουμε ο τι για κα θε γρα φημα G ισχυ ει χ(g) n2 n 2 2m Για το G, συνεπω ς, ισχυ ει n 2 χ(g) n 2 2( n(n 1) 2 m) Απο Λη μμα 9.1 ισχυ ει: χ(g) n µ(g) µ(g) (1) n χ(g) (1) n = n 2 n 2 2( n(n 1) m) 2 n = n 2 n 2 n(n 1)+2m = n n 2 n 2 n 2 +n+2m = n n2 n+2m = n(n+2m) n2 n+2m = 2mn n+2m Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
5 M-εναλλασσόμενο μονοπάτι (alternating path): Έστω M ε να ται ριασμα στο γρα φημα G. Ένα μονοπα τι P στο G ονομα ζεται M-εναλλασσόμενο μονοπάτι εα ν οι ακμε ς του εναλλα σσονται μεταξυ των ακμω ν του E(G) M και του M M-επαυξανόμενο μονοπάτι (augmenting path): Ένα M-εναλλασσο μενο μονοπα τι του οποι ου τα τερματικα σημει α ει ναι ακο ρεστα u 1 v 1 u 2 v 2 v 1 u 1 v 2 u 3 v 3 : u 2 v 2 u 1 v 1 : εναλλασσο μενο μονοπα τι επαυξανο μενο μονοπα τι u 3 v 3 Θεώρημα 9.3[Berge,1957]: Έστω γρα φημα G και ται ριασμα M του G. Το M ει ναι ε να με γιστο ται ριασμα στο G ανν το G δεν περιε χει κανε να M-επαυξανο μενο μονοπα τι Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
6 Απόδειξη : [Με α τοπο] Έστω το M ει ναι με γιστο ται ριασμα και το G περιε χει ε να M-επαυξανο μενο μονοπα τι P με 2λ + 1 ακμε ς λ 1 P : v 0 v 1 v 2... v 2λ v 2λ+1 και (v 1, v 2 ), (v 3, v 4 ),..., (v 2λ 1, v 2λ ) M Έστω το ται ριασμα M =M {(v i, v i+1 ), i περιττο και 1 i 2λ 1} {(v i, v i+1 ), i α ρτιο και 0 i 2λ} M = M + 1 άτοπο γιατι το M ει ναι με γιστο [Με α τοπο] Έστω ο τι το G δεν περιε χει M-επαυξανο μενο μονοπα τι Έστω ο τι το M δεν ει ναι με γιστο και ε στω M ε να με γιστο ται ριασμα M > M Έστω H = G [M M ] ο που M M η συμμετρικη διαφορα των M και M M M M M M, M M M Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
7 Κα θε κορυφη του H ε χει βαθμο 1 η 2 [ει ναι το α κρο το πολυ μιας ακμη ς του M και το πολυ μιας ακμη ς του M ] Κα θε συνιστω σα του H ει ναι: Ει τε α ρτιος κυ κλος με ακμε ς να εναλλα σσονται μεταξυ των M και M η Μονοπα τι με ακμε ς να εναλλα σσονται μεταξυ των M και M Λο γω του ο τι M > M, το M περιε χει πιο πολλε ς ακμε ς απο το M Υπα ρχει ε να μονοπα τι-συνιστω σα P στο M M που περιε χει πιο πολλε ς ακμε ς του M Το μονοπα τι P ξεκινα ει και τελειω νει με ακμη του M Στο H το μονοπα τι P ε χει α κρα τα οποι α ει ναι M -κορεσμε να Στο G τα α κρα του μονοπατιου P ει ναι M-ακο ρεστα Υπα ρχει M-επαυξανο μενο μονοπατι στο G άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι το G δεν περιε χει M-επαυξανο μενο μονοπα τι Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
8 Ταιρια σματα σε Διμερη Γραφη ματα Θεώρημα 9.4[Hall, 1935]: Έστω G = (A, B, E) ε να διμερε ς γρα φημα. Το G περιε χει ε να ται ριασμα M τε τοιο ω στε κα θε κορυφη του A να ει ναι M-κορεσμε νη ανν N(S) > S για κα θε S A (1) Απόδειξη : Έστω ο τι το G περιε χει ε να ται ριασμα M τε τοιο ω στε κα θε κορυφη του A ει ναι M-κορεσμε νη Οι κορυφε ς του συνο λου S, S A, ταιρια ζονται στο M σε κορυφε ς του N(S) Συνεπω ς, N(S) S, S A Έστω ο τι το G ικανοποιει την (1) αλλα δεν υπα ρχει ται ριασμα M με ο λες τις κορυφε ς του A να ει ναι M-κορεσμε νες Έστω M ε να με γιστο ται ριασμα του G Οι κορυφε ς του A δεν ει ναι ο λες M -κορεσμε νες Έστω u μια M -ακο ρεστη κορυφη του A Έστω D οι κορυφε ς του G που ενω νονται με την u με σω M -εναλλασσο μενων μονοπατιω ν Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
9 Η u ει ναι η μο νη M -ακο ρεστη κορυφη του D [Απο Θ. 9.3 και επειδη το M ει ναι με γιστο ται ριασμα] Ορι ζουμε το S = D A και το T = D B D u S T A B Οι κορυφε ς του S {u} ταιρια ζονται με τις κορυφε ς του T. Άρα T = S 1 (2) Λο γω του ο τι κα θε κορυφη του N(S) ενω νεται με την u με σω ενο ς M -εναλλασσο μενου μονοπατιου ισχυ ει ο τι N(S) = T (3) (2),(3) N(S) = S 1 < S άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι N(S) S, S A Λήμμα 9.5: Έστω διμερε ς r-κανονικο γρα φημα G = (A, B, E). Το τε ισχυ ει ο τι A = B Απόδειξη : E = r A και E = r B Άρα, r A = r B A = B Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
10 Θεώρημα 9.6(marriage theorem): Έστω G = (A, B, E) ε να r-κανονικο διμερε ς γρα φημα, r 1. Ισχυ ει ο τι το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα Απόδειξη : Ισχυ ει ο τι A = B [απο Λη μμα 9.5] Έστω S A Ορι ζουμε ως E 1 :ακμε ς που προσπι πτουν στο S E 2 :ακμε ς που προσπι πτουν στο N(S) Εξ ορισμου του N(G) S E 1 E 2 A E r N(S) = E 2 E 1 = r S 1 N(S) S E 2 B N(S) Άρα απο το Θεω ρημα του Hall Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
11 Τε λεια Ταιρια σματα Λήμμα 9.7: Έστω ε να μεγιστοτικο γρα φημα G με α ρτιο βαθμο n το οποι ο δεν ε χει τε λειο ται ριασμα και ε στω U το συ νολο κορυφω ν του με βαθμο n 1. Το τε ισχυ ει ο τι το G U ει ναι η ε νωση ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω ο τι υπα ρχει μια συνιστω σα του G U η οποι α δεν ει ναι πλη ρης Στην συνιστω σα υπα ρχουν κορυφε ς x, y, z: y (x, y) E(G), (y, z) E(G), (x, z) / E(G) Το ο τι y / U σημαι νει ο τι d(y) n 2 και α ρα υπα ρχει κορυφη w G U : (y, w) / E(G) x z Το G + e ε χει τε λειο ται ριασμα για κα θε e / E(G) [γιατι το G ει ναι μεγιστοτικο ] Έστω M 1 ε να τε λειο ται ριασμα στο G + (x, z) Έστω M 2 ε να τε λειο ται ριασμα στο G + (y, w) Έστω H το υπογρα φημα του G {(x, z), (y, w)} που παρα γεται απο τις ακμε ς του M 1 M 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
12 Κα θε κορυφη του H ε χει βαθμο 2 [προσπι πτουν σε κα θε κορυφη μια ακμη του M 1 και μια του M 2 ] Το H ει ναι ε νωση ξε νων μεταξυ τους κυ κλων α ρτιου πλη θους κορυφω ν, με ακμε ς εναλλασσο μενες μεταξυ των M 1 και M 2 Περίπτωση 1: Οι (x, z) και (y, w) ανη κουν σε διαφορετικε ς συνιστω σες του H Έστω η (y, w) ανη κει στον κυ κλο C του H Οι ακμε ς του M 1 που ανη κουν στο C και οι ακμε ς του M 2 που δεν ανη κουν στο C ει ναι ε να τε λειο ται ριασμα του G άτοπο x y z M 1 M 2 Περίπτωση 2: Οι (x, z) και (y, w) ανη κουν στην ι δια συνιστω σα (κυ κλο) του H Έστω ο τι στον C οι κορυφε ς εμφανι ζονται με την σειρα : x,..., y, w,..., z x y z M 1 M 2 Οι ακμε ς του M 1 στο τμη μα y, w,..., z του C μαζι με την ακμη (y, z) και τις ακμε ς του M 2 στο τμη μα z, x,..., y του C και ο λες τις α λλες ακμε ς του M 2 στο H C σχηματι ζουν ε να τε λειο ται ριασμα στο G άτοπο Άρα, το G U αποτελει ται απο την ε νωση ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
13 Θεώρημα 9.8[Tutte,1947]: Έστω γρα φημα G. Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα ανν o(g S) S για κα θε S V(G), ο που με c( ) συμβολι ζουμε τον αριθμο των συνιστωσω ν περιττου βαθμου ενο ς γραφη ματος Απόδειξη [Από τον Lovász-1973]: Έστω ο τι το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα M Έστω S ε να γνη σιο υπολυ νολο του V(G) Έστω G 1, G 2..., G k οι περιττε ς συνιστω σες του G S Επειδη η συνιστω σα G i, 1 i k ε χει περιττο βαθμο, κα ποια κορυφη της u i ταιρια ζεται στο M με κα ποια κορυφη του S περιττές συνιστώσες του G S άρτιες συνιστώσες του G S G 1 u 1 G i u i G k u k v 1 v i v k S o(g S) = k = {v 1, v 2,..., v k } S λο γω του ο τι {v 1, v 2,..., v k } S Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
14 (Με α τοπο) Έστω ο τι o(g S) S για κα θε S V(G) αλλα το G δεν ε χει τε λειο ται ριασμα Έστω ε να μεγιστοτικο γρα φημα G το οποι ο δεν ε χει τε λειο ται ριασμα του οποι ου παραγο μενο υπογρα φημα ει ναι το G [V(G ) = V(G)] o(g S) o(g S) Άρα o(g S) S, S V(G ) (1) Για S = o(g S) 0 Το G ε χει α ρτιο πλη θος κορυφω ν Έστω U το συ νολο κορυφω ν του G που ε χουν βαθμο n 1 [V(G) = n] στο G Το γρα φημα G U αποτελει ται απο ε να συ νολο ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των [Λη μμα 9.7] Απο την (1) o(g U) U, δηλαδη το πολυ U απο τις συνιστω σες του G U ει ναι περιττου βαθμου Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα! Ταιρια ζουμε μια κορυφη απο κα θε περιττη συνιστω σα με μια κορυφη του U. Ει ναι δυνατο γιατι o(g U) U Όλες οι υπο λοιπες κορυφε ς ταιρια ζονται αυθαι ρετα σε κα θε πλη ρη συνιστω σα περιττές συνιστώσες του G U U άρτιες συνιστώσες του G U άρτιο πλήθος κορυφών [γιατί;] άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι το G μεγιστοτικο χωρι ς τε λειο ται ριασμα Άρα το G ε χει τε λειο ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
15 Πόρισμα 9.9: Κα θε 3-κανονικο γρα φημα δι χως γε φυρες ε χει ε να τε λειο ται ριασμα [Petersen,1891] Απόδειξη : Έστω G ε να γρα φημα χωρι ς γε φυρες Έστω συ νολο κορυφω ν S V(G) Έστω G!, G 2,..., G k οι περιττε ς συνιστω σες του G S Έστω m i, 1 i k ο αριθμο ς των ακμω ν με το ε να α κρο στο G i και το α λλο στο S Το γρα φημα G ει ναι 3-κανονικο περιττές συνιστώσες του G S d(v) = 3V(G i ), i = 1... k (1) G 1 G i G k v V(G i ) m 1 m i m k d(v) = 3 S (2) S v S m i = d(v) 2E(G i ) v V(G i ) Το m i ει ναι περιττο [κα θε συνιστω σα G i ει ναι περιττου βαθμου ] m i 1 λο γω του ο τι το G δεν ε χει γε φυρες m i 3 λο γω του ο τι m i 1 και περιττο άρτιες συνιστώσες του G S Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
16 k o(g S) = k 1 3 m i i=1 1 d(v) (2) = S 3 v S Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα [Θεω ρημα 9.8(Tutte)] Σημείωση: Υπα ρχουν 3-κανονικα γραφη ματα με γε φυρες τα οποι α δεν ε χουν τε λειο ται ριασμα. Απόδειξη : G: v Το γρα φημα G ει ναι 3-κανονικο με γε φυρες o(g {v} = 2 > {v} = 1 το οποι ο παραβια ζει την συνθη κη στο θεω ρημα του Tutte [Θ. 9.8] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198
Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα
Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο
Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):
Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =
Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε
Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι
Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου
18/05/2019 Τι μπορεί να δει κάποιος στο μουσείο της Ι.Μ. Μεγάλου Μετεώρου / Ιερές Μονές Η μο νή του Με γά λου Με τε ώ ρου δι α μόρ φω σε μί α σει ρά α πό πε ρι κα λείς μου σεια κούς χώ ρους, για την α
q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
2ο Μάθημα Πιθανότητες
2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα
d(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Διάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε
Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε
6ο Μάθημα Πιθανότητες
6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα
ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ
ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη
Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο
ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ
Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11
Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων
Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα
Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.
Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ
Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ
1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
ΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε
ÊËÁÄÉÊÅÓ ÓÕËËÏÃÉÊÅÓ ÓÕÌÂÁÓÅÉÓ ΧΑΙ ΡΕ ΤΙ ΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟ Ε ΔΡΟΥ ΤΗΣ Ο ΤΟ Ε σ. Σταύ ρου Κού κου. Κυ ρί ες και κύ ριοι, Συ να δέλ φισ σες και συ νά δελ φοι, Η σημερινή εκδήλωση του Ινστιτούτου Εργασίας της ΟΤΟΕ
Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέμα Α Στις ερωτη σεις Α1 Α4 να γρα ψετε στο τετρα διο σας τον αριθμο της ερω τησης και
Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ
ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ
ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο
Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο
ΠΡΑΣΙΝΟ ΤΑΜΕΙΟ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΟ ΓΡΑΦΕΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΑΠΕ ΣΕ ΝΗΣΙΩΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
POWERPOINT 2011 ΡΥΘΜΙΣΤΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΧΩΡΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΕΩΝ ΑΙΟΛΙΚΩΝ ΠΑΡΚΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΤΟΠΙΟΥ ΣΕ ΝΗΣΙΑ ΤΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ Για την υποστη ριξη του ε ργου
Lecture 8: Random Walks
Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
Αποτελεσματικός Προπονητής
ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï
Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες
Η εταιρεία Kiefer ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Πηγε ς Ενε ργειας στην Ελλα δα. Αναλαμβα νει ε ργα ως EPC
Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας**
ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 41-55 Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας** Αντιλήψεις γονέων και δασκάλων απέναντι στην κοινωνική ένταξη των ατόμων
ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια
ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17
Α ΡΙΘ ΜΟΣ ΟΙ ΚΗ ΜΑ- ΤΩΝ ΚΑΙ Υ ΝΑ ΜΕΝΟ ΝΑ Ε ΞΥ ΠΗ ΡΕ ΤΗ ΘΕΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. 3 ξε νώ νες Α ΣΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. Ξε νώ νες Α ΣΣ Κοζάνη. Κ.
ΞΕ ΝΩ ΝΕΣ Οι ξε νώ νες λει τουρ γούν µε σκο πό την προ σω ρι νή διαµονή, κυ ρί ως των νε ο το ποθε τη µέ νων Μον. Αξ κών - Αν θστών και των µε λών των οικο γε νειών τους που τυ χόν τους συ νο δεύ ουν µέ
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03
των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ
Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.
σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει
Πρός τούς ἀδελφούς μου
Πρός τούς ἀδελφούς μου Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Πρός τούς ἀδελφούς μου EOρτια ΠοιμαντικA μηνyματα Ἐπιμέλεια ἔκδοσης: Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343
Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να
. Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Νη υ υ υ υ ρι ι ι ι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ου ει σα κου σον μου Κυ υ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ι ε ε κε κρα α ξα α προ ο ος σε ε ε ει
Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά
Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Νη υ υ υ υ ρι ι ι ι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ου ει σα κου σον μου Κυ υ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ι ε ε κε κρα α ξα α προ ο ος σε ε ε ει
Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Πολυμεταβλητή Στατιστική Ανάλυση Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Στην πρα ξη τα δεδομένα ενο ς ερευνητη ει ναι απο τη φυ ση τους
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains
The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos
Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11
Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ, Ν.Π.Δ.Δ. ΚΑΙ O.Τ.Α. Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ Ε ΛΗ ΦΘΗ ΣΑΝ Υ ΠO ΨΗ 1. H 15/1981
ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες
Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό
VAGONETTO. Ωρες: 09:00 17:00. t: (+30) e: w: Kρατήσεις: Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας
VAGONETTO Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας Ωρες: 09:00 17:00 Kρατήσεις: t: (+30) 2265 078819 e: info@vagonetto.gr w: www.vagonetto.gr 5 1 o χ λ μ Ε. Ο. Λ α μ ί α ς Ά μ φ ι σ σ α ς Τ. Κ. 3 3
ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ
ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ ΤΗ ΑΓΙΑ ΚΑΙ ªΕΓΑΛΗ ΔΕΥΤΕΡΑ. Eις τους Αίνους. Ε ρ χο με νος ο Κυ ρι ος προς το ε κου ου σι ο ον πα α α θος τοις Α πο στο λοις ε λε γε εν εν τη η η η ο ο ο ο
ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ
Λάρισα, 5/9/2018 Αρ. πρωτ.: 2223 ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΣΙΟΥ ΜΕΙΟΔΟΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Η Διοικουb σα Επιτροπηb του ΤΕΕ Τμηb ματος Κεντρικής & Δυτικής Θεσσαλίας, εbχοντας υπ οb ψιν τις διαταb ξεις του Π.Δ. 715/1979
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των
Υ ΠΟ ΣΤΗ ΡΙ ΞΗ ΤΩΝ ΨΕ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΟ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΙΑ ΚΟ ΠΕ ΡΙ ΒΑΛ ΛΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν χης (ΠΖ) Ιω άν νης Ιω άν νου Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των αν θρώπων,
Π Ε Ρ Ι E Χ Ο Μ Ε Ν Α
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγικό μέρος Πρόλο γος της Ελ λη νι κής Έκ δο σης...11 Κλιμάκωση των Βημάτων για Επιτυχία στο Ποδόσφαιρο...12 Ôï Ü èëç ìá του Ποδοσφαίρου...13 Το Γήπε δο του Πο δο σφαίρου...15 Εξοπλισμός...16
ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ
ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ CIMIC CIMIC CIMIC ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπλγος (ΜΧ) Ευ ρι πί δης Κ. Χα νιάς ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση CIMIC εί ναι τα αρ χι κά των λέ ξε ων Civil Military Co-operation
Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση
Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Εισαγωγή Η επι λο γή ενό ς co m p a ct συ στή µ α το ς β ι ολο γι κο ύ κα θ α ρι σµ ο ύ θ α πρέπει να πραγµ α τοπο ι είτα ι β ά σει τη ς α
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική Βιομηχανία...15 1.1 Εισαγωγή...15 1.2 Ορισμός του Όρου Βιομηχανία...16 1.3 Ένα Μοντέλο Περιγραφής της Αθλητικής Βιομηχανίας...17 1.3.1 Τμήμα Παραγωγής
Κε φά λαιο. Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις. Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή
Κε φά λαιο 1 Έννοιες, Ο ρι σμοί και Βα σι κές Προ ϋ πο θέ σεις Αναπηρία και ειδική φυσική αγωγή Η έν νοια της α ναπη ρί ας εί ναι πολυ διά στα τη και α ντι κα το πτρί ζει την αλ λη λε πί δρα ση του ε κά
0a1qqW+1a1`qÁlw n εν σοί Κύ ρι ε τρο πού μαι τού τον.
n 00211000Aqq11j1w Εκ νε ό τη τός μου ο εχ θρό ός με πει ρά ζει, 00qaj-1`q`qq+0)q11l1 ταίς η δο ναίς φλέ γει με ε γώ δέ πε ποι θώς, 0a1qqW+1a1`qÁlw n εν σοί Κύ ρι ε τρο πού μαι τού τον. 211`w1l1+000 0wl1
Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα
Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ
(ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ Ε.Μ.Ε) ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεήσ ςυνάρτηςη :RR, με (0)=2 η οποία ικανοποιεί τη ςέςη ( ) 4 = 6 ια κά ε R α) Να βρείτε τισ τιμέσ (2) και (-2) β) Να απο είξετε τι υπάρει
H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ
H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ
των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11
των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ ΦΡO ΝΤΙ ΣΤΗ ΡΙ ΩΩΝ ΞΕ ΝΩΩΝ ΓΛΩΩΣ ΣΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.
Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής
Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική
των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09
των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ ΛΕΙ
των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09
των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ
ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΤΩΝ ΝΗΣΤΕΙΩΝ ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης
ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΤΩΝ ΝΗΣΤΕΙΩΝ ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα Ἰωάννου Πρωτοψάλτου υ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι
ΕΙΣ ΤΟΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΝ ΑΠΟΔΟΣΕΩΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΟΤΟΚΟΥ, ΜΕΤΑ Β ΣΤΑΣΕΩΣ ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΩΝ ΚΕΚΡΑΓΑΡΙΑ
ΕΙΣ ΤΟΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΝ ΑΠΟΔΟΣΕΩΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΘΕΟΤΟΚΟΥ, ΜΕΤΑ Β ΣΤΑΣΕΩΣ ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΩΝ ΚΕΚΡΑΓΑΡΙΑ Ἦχος Πα ε ε υ ρι ι ε ε κε κρα α ξα α προ ος σε ει σα α α κου ου σο ον μου ει σα κου σο ο ον μου Κυ υ ρι ι ι
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΣΤ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΤΩΝ ΝΗΣΤΕΙΩΝ. ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΣΤ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΤΩΝ ΝΗΣΤΕΙΩΝ ΠΡΟ ΤΩΝ ΒΑΪΩΝ ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ψάλλεται ἡ ἀκολουθία τοῦ Ἁγίου Λαζάρου ὡς ἐν τῷ Τριωδίῳ Ἦχος Νη Ἰωάννου Πρωτοψάλτου υ υ υ υ ρι ι ι ι ε ε κε κρα α ξα προ
ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ
ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Μάνατζμεντ και Μάνατζερς
Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης. Ἦχος Πα. υ ρι ι ε ε κε ε κρα α α ξα α προ ος. σε ει σα κου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ο ον
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ι ε ε κε ε κρα α α ξα α προ ος σε ει σα κου ου σο ο ον μου ει σα κου σο ο ον μου Κυ υ ρι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε ε ε κρα ξα α προ ο ος σε ει σα α α α κου σο ον
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA
ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο
των Oι κο δό µων συ νερ γεί ων O32R09
των Oι κο δό µων µο νί µων συ νερ γεί ων O32R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ OΙ ΚO Δ O ΜΩΩΝ ΜO ΝΙ ΜΩΩΝ ΣY ΝΕΡ ΓΕΙ ΩΩΝ ΒΙ O ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΩΩΝ - ΒΙ O ΤΕ ΧΝΙ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ
Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον
Κ Α Τ Α Ν Υ Κ Τ Ι Κ Α ΚΥΡΙΕ ΕΛΕΗΣΟΝ Ἦχος νη 1. 2.. 4. 5. K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Ε ις πολ λα ε τη Δεσ πο τα Υ περ Α γι
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΝΗΣΤΕΙΩΝ ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης. Ἦχος
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΕΒ ΟΜΑ ΟΣ ΝΗΣΤΕΙΩΝ ἐν τῷ Ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Γα Ἰωάννου Πρωτοψάλτου υ ρι ι ε ε κε ε κρα ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου σο ο ο ο ον μου ου ει σα κου σο ον μου Κυ ρι ε ε Κυ ρι ε ε κε
Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ
Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ KEΙΜΕΝΟ: Λγος (ΠΒ) Νι κό λα ος Ι. Πέ ντσας (MS.c, MBA), Λγος (ΠΖ) Δη μή τριος Λ. Πισ σα νί δης (MBA) ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Eισαγωγή Κα τά τη διάρ κεια της τε
1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29
ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17
Ποίημα Δρ. Χαραλάμπους Μπούσια, μεγάλου ὑμνογράφου τῆς τῶν Ἀλεξανδρέων Ἑκκλησίας. Μελοποίησις: Ἰωάννης Νέγρης. ΕΙΣ ΤΟΝ Μ.
Ποίημα Δρ. Χαραλάμπους Μπούσια, μεγάλου ὑμνογράφου τῆς τῶν Ἀλεξανδρέων Ἑκκλησίας. Μελοποίησις: Ἰωάννης Νέγρης. ΕΙΣ ΤΟΝ Μ. ΕΣΠΕΡΙΝΟΝ 1 2 3 Καὶ πάλιν 4 Κύριε ἐλέησον «ἑξαπλᾶ» Κατὰ τὴν Ἁγιορειτικὴν παράδοσιν.
Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στην ελληνικ κδοση................................. xvii Πρόλογος................................................... xix M ρος Πρ το Π Σ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΖΟΥΜΕ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Π
ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε
Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ
ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ
των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10
των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10 2 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΕΡ ΓΑΖO ΜΕ ΝΩΩΝ ΣΕ
Α λιευ τι κή πο λι τι κή
Α λιευ τι κή πο λι τι κή της Ε.Ε. και σύ να ψη α λιευ τι κών συμ φω νιών α πό το 1983 έ ως σή με ρα ΚΕΙΜΕΝΟ: Πλωτάρχης (ΛΣ) Τρύ φω νας Χαρ. Κο ρο ντζής, Υποψήφιος Διδάκτωρ τμ. Δημόσιας Διοίκησης Παντείου
Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής
Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ ΨΥ ΧΗ η αν θο δέ σµη της ζω ής ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας-Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΙ ΚΕΣ ΕΝ ΝΟΙΕΣ Ό πως υ πάρ χει
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης
Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου
ΑΠΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΠΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ. Παρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014. Ἦχος.
ΑΟΛΥΤΙΚΙΑ & ΘΕΟΤΟΚΙΑ ΕΣΕΡΑΣ 1-15 ΑΥΟΥΣΤΟΥ αρασκευή 1/08/2014 Ἑσπέρας Ψάλλοµεν τὸ Ἀπολυτίκιο τῆς 2/8/2014 δ Ταχὺ προκατάλαβε ι α σι λει ον δι α δη µα ε στε φθη ση κο ρυ φη εξ α θλων ων υ πε µει νας υ περ
Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα
ΤΗ Ζ ΤΟΥ ΜΗΝΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΤΟΥ ΟΣΙΟΥ ΚΑΙ ΘΕΟΦΟΡΟΥ ΠΑΤΡΟΣ ΗΜΩΝ ΝΙΚΑΝΟΡΟΣ ΤΟΥ ΘΑΥΜΑΤΟΥΡΓΟΥ Ἡ µουσική καταγραφή τῶν µελῶν ἔγινε ἀπό τὰ χειρόγραφα µουσικά κείµενα τοῦ π. Χρίστου Κυριακοπούλου Μετὰ