Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη"

Transcript

1 Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

2 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα υποσυ νολο M των ακμω ν ενο ς γραφη ματος G ονομα ζεται ταίριασμα στο G εα ν οι ακμε ς του M δεν ε χουν κοινε ς κορυφε ς Οι δυ ο κορυφε ς στα α κρα κα θε ακμη ς του M λε με ο τι ε χουν ταιριαστει στο M Κορεσμένη Κορυφή (Saturated): Έστω ε να ται ριασμα M σε ε να γρα φημα G. Μι α κορυφη u ονομα ζεται M-κορεσμένη εα ν μια ακμη του M προσπι πτει στην u. Διαφορετικα ονομα ζεται M-ακόρεστη Μέγιστο Ταίριασμα: Ένα ται ριασμα M του γραφη ματος G ονομα - ζεται μέγιστο ταίριασμα εα ν δεν υπα ρχει ται ριασμα M του G τε τοιο ω στε M > M Τέλειο Ταίριασμα: Εα ν ο λες οι κορυφε ς ενο ς γραφη ματος G ει ναι M-κορεσμε νες, το τε το M ονομα ζεται τέλειο ταίριασμα τε λειο ται ριασμα με γιστο ται ριασμα με γιστο ται ριασμα ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

3 µ(g): Το πλη θος ακμω ν κα ποιου με γιστου ταιρια σματος M του γραφη ματος G. Λήμμα 9.1: Έστω γρα φημα G. Ισχυ ει ο τι χ(g) V(G) µ(g) Απόδειξη : Έστω M ε να με γιστο ται ριασμα του G (με µ(g) ακμε ς) Τα α κρα κα θε ακμη ς του M χρωματι ζονται με το ι διο χρω μα. Στο G δεν ενω νονται με ακμη µ(g) χρω ματα Οι υπο λοιπες V(G) 2µ(G) χρωματι ζονται με διαφορετικα χρω ματα V(G) 2µ(G) Συνολικα : V(G) 2µ(G) + µ(g) = V(G) µ(g) χρω ματα χ(g V(G) µ(g) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

4 Λήμμα 9.2: Έστω γρα φημα G ο που V(G) = n και E(G) = m. Ισχυ ει ο τι µ(g) Απόδειξη : 2mn n+2m Γνωρι ζουμε ο τι για κα θε γρα φημα G ισχυ ει χ(g) n2 n 2 2m Για το G, συνεπω ς, ισχυ ει n 2 χ(g) n 2 2( n(n 1) 2 m) Απο Λη μμα 9.1 ισχυ ει: χ(g) n µ(g) µ(g) (1) n χ(g) (1) n = n 2 n 2 2( n(n 1) m) 2 n = n 2 n 2 n(n 1)+2m = n n 2 n 2 n 2 +n+2m = n n2 n+2m = n(n+2m) n2 n+2m = 2mn n+2m Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

5 M-εναλλασσόμενο μονοπάτι (alternating path): Έστω M ε να ται ριασμα στο γρα φημα G. Ένα μονοπα τι P στο G ονομα ζεται M-εναλλασσόμενο μονοπάτι εα ν οι ακμε ς του εναλλα σσονται μεταξυ των ακμω ν του E(G) M και του M M-επαυξανόμενο μονοπάτι (augmenting path): Ένα M-εναλλασσο μενο μονοπα τι του οποι ου τα τερματικα σημει α ει ναι ακο ρεστα u 1 v 1 u 2 v 2 v 1 u 1 v 2 u 3 v 3 : u 2 v 2 u 1 v 1 : εναλλασσο μενο μονοπα τι επαυξανο μενο μονοπα τι u 3 v 3 Θεώρημα 9.3[Berge,1957]: Έστω γρα φημα G και ται ριασμα M του G. Το M ει ναι ε να με γιστο ται ριασμα στο G ανν το G δεν περιε χει κανε να M-επαυξανο μενο μονοπα τι Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

6 Απόδειξη : [Με α τοπο] Έστω το M ει ναι με γιστο ται ριασμα και το G περιε χει ε να M-επαυξανο μενο μονοπα τι P με 2λ + 1 ακμε ς λ 1 P : v 0 v 1 v 2... v 2λ v 2λ+1 και (v 1, v 2 ), (v 3, v 4 ),..., (v 2λ 1, v 2λ ) M Έστω το ται ριασμα M =M {(v i, v i+1 ), i περιττο και 1 i 2λ 1} {(v i, v i+1 ), i α ρτιο και 0 i 2λ} M = M + 1 άτοπο γιατι το M ει ναι με γιστο [Με α τοπο] Έστω ο τι το G δεν περιε χει M-επαυξανο μενο μονοπα τι Έστω ο τι το M δεν ει ναι με γιστο και ε στω M ε να με γιστο ται ριασμα M > M Έστω H = G [M M ] ο που M M η συμμετρικη διαφορα των M και M M M M M M, M M M Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

7 Κα θε κορυφη του H ε χει βαθμο 1 η 2 [ει ναι το α κρο το πολυ μιας ακμη ς του M και το πολυ μιας ακμη ς του M ] Κα θε συνιστω σα του H ει ναι: Ει τε α ρτιος κυ κλος με ακμε ς να εναλλα σσονται μεταξυ των M και M η Μονοπα τι με ακμε ς να εναλλα σσονται μεταξυ των M και M Λο γω του ο τι M > M, το M περιε χει πιο πολλε ς ακμε ς απο το M Υπα ρχει ε να μονοπα τι-συνιστω σα P στο M M που περιε χει πιο πολλε ς ακμε ς του M Το μονοπα τι P ξεκινα ει και τελειω νει με ακμη του M Στο H το μονοπα τι P ε χει α κρα τα οποι α ει ναι M -κορεσμε να Στο G τα α κρα του μονοπατιου P ει ναι M-ακο ρεστα Υπα ρχει M-επαυξανο μενο μονοπατι στο G άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι το G δεν περιε χει M-επαυξανο μενο μονοπα τι Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

8 Ταιρια σματα σε Διμερη Γραφη ματα Θεώρημα 9.4[Hall, 1935]: Έστω G = (A, B, E) ε να διμερε ς γρα φημα. Το G περιε χει ε να ται ριασμα M τε τοιο ω στε κα θε κορυφη του A να ει ναι M-κορεσμε νη ανν N(S) > S για κα θε S A (1) Απόδειξη : Έστω ο τι το G περιε χει ε να ται ριασμα M τε τοιο ω στε κα θε κορυφη του A ει ναι M-κορεσμε νη Οι κορυφε ς του συνο λου S, S A, ταιρια ζονται στο M σε κορυφε ς του N(S) Συνεπω ς, N(S) S, S A Έστω ο τι το G ικανοποιει την (1) αλλα δεν υπα ρχει ται ριασμα M με ο λες τις κορυφε ς του A να ει ναι M-κορεσμε νες Έστω M ε να με γιστο ται ριασμα του G Οι κορυφε ς του A δεν ει ναι ο λες M -κορεσμε νες Έστω u μια M -ακο ρεστη κορυφη του A Έστω D οι κορυφε ς του G που ενω νονται με την u με σω M -εναλλασσο μενων μονοπατιω ν Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

9 Η u ει ναι η μο νη M -ακο ρεστη κορυφη του D [Απο Θ. 9.3 και επειδη το M ει ναι με γιστο ται ριασμα] Ορι ζουμε το S = D A και το T = D B D u S T A B Οι κορυφε ς του S {u} ταιρια ζονται με τις κορυφε ς του T. Άρα T = S 1 (2) Λο γω του ο τι κα θε κορυφη του N(S) ενω νεται με την u με σω ενο ς M -εναλλασσο μενου μονοπατιου ισχυ ει ο τι N(S) = T (3) (2),(3) N(S) = S 1 < S άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι N(S) S, S A Λήμμα 9.5: Έστω διμερε ς r-κανονικο γρα φημα G = (A, B, E). Το τε ισχυ ει ο τι A = B Απόδειξη : E = r A και E = r B Άρα, r A = r B A = B Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

10 Θεώρημα 9.6(marriage theorem): Έστω G = (A, B, E) ε να r-κανονικο διμερε ς γρα φημα, r 1. Ισχυ ει ο τι το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα Απόδειξη : Ισχυ ει ο τι A = B [απο Λη μμα 9.5] Έστω S A Ορι ζουμε ως E 1 :ακμε ς που προσπι πτουν στο S E 2 :ακμε ς που προσπι πτουν στο N(S) Εξ ορισμου του N(G) S E 1 E 2 A E r N(S) = E 2 E 1 = r S 1 N(S) S E 2 B N(S) Άρα απο το Θεω ρημα του Hall Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

11 Τε λεια Ταιρια σματα Λήμμα 9.7: Έστω ε να μεγιστοτικο γρα φημα G με α ρτιο βαθμο n το οποι ο δεν ε χει τε λειο ται ριασμα και ε στω U το συ νολο κορυφω ν του με βαθμο n 1. Το τε ισχυ ει ο τι το G U ει ναι η ε νωση ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των Απόδειξη [Με άτοπο]: Έστω ο τι υπα ρχει μια συνιστω σα του G U η οποι α δεν ει ναι πλη ρης Στην συνιστω σα υπα ρχουν κορυφε ς x, y, z: y (x, y) E(G), (y, z) E(G), (x, z) / E(G) Το ο τι y / U σημαι νει ο τι d(y) n 2 και α ρα υπα ρχει κορυφη w G U : (y, w) / E(G) x z Το G + e ε χει τε λειο ται ριασμα για κα θε e / E(G) [γιατι το G ει ναι μεγιστοτικο ] Έστω M 1 ε να τε λειο ται ριασμα στο G + (x, z) Έστω M 2 ε να τε λειο ται ριασμα στο G + (y, w) Έστω H το υπογρα φημα του G {(x, z), (y, w)} που παρα γεται απο τις ακμε ς του M 1 M 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

12 Κα θε κορυφη του H ε χει βαθμο 2 [προσπι πτουν σε κα θε κορυφη μια ακμη του M 1 και μια του M 2 ] Το H ει ναι ε νωση ξε νων μεταξυ τους κυ κλων α ρτιου πλη θους κορυφω ν, με ακμε ς εναλλασσο μενες μεταξυ των M 1 και M 2 Περίπτωση 1: Οι (x, z) και (y, w) ανη κουν σε διαφορετικε ς συνιστω σες του H Έστω η (y, w) ανη κει στον κυ κλο C του H Οι ακμε ς του M 1 που ανη κουν στο C και οι ακμε ς του M 2 που δεν ανη κουν στο C ει ναι ε να τε λειο ται ριασμα του G άτοπο x y z M 1 M 2 Περίπτωση 2: Οι (x, z) και (y, w) ανη κουν στην ι δια συνιστω σα (κυ κλο) του H Έστω ο τι στον C οι κορυφε ς εμφανι ζονται με την σειρα : x,..., y, w,..., z x y z M 1 M 2 Οι ακμε ς του M 1 στο τμη μα y, w,..., z του C μαζι με την ακμη (y, z) και τις ακμε ς του M 2 στο τμη μα z, x,..., y του C και ο λες τις α λλες ακμε ς του M 2 στο H C σχηματι ζουν ε να τε λειο ται ριασμα στο G άτοπο Άρα, το G U αποτελει ται απο την ε νωση ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

13 Θεώρημα 9.8[Tutte,1947]: Έστω γρα φημα G. Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα ανν o(g S) S για κα θε S V(G), ο που με c( ) συμβολι ζουμε τον αριθμο των συνιστωσω ν περιττου βαθμου ενο ς γραφη ματος Απόδειξη [Από τον Lovász-1973]: Έστω ο τι το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα M Έστω S ε να γνη σιο υπολυ νολο του V(G) Έστω G 1, G 2..., G k οι περιττε ς συνιστω σες του G S Επειδη η συνιστω σα G i, 1 i k ε χει περιττο βαθμο, κα ποια κορυφη της u i ταιρια ζεται στο M με κα ποια κορυφη του S περιττές συνιστώσες του G S άρτιες συνιστώσες του G S G 1 u 1 G i u i G k u k v 1 v i v k S o(g S) = k = {v 1, v 2,..., v k } S λο γω του ο τι {v 1, v 2,..., v k } S Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

14 (Με α τοπο) Έστω ο τι o(g S) S για κα θε S V(G) αλλα το G δεν ε χει τε λειο ται ριασμα Έστω ε να μεγιστοτικο γρα φημα G το οποι ο δεν ε χει τε λειο ται ριασμα του οποι ου παραγο μενο υπογρα φημα ει ναι το G [V(G ) = V(G)] o(g S) o(g S) Άρα o(g S) S, S V(G ) (1) Για S = o(g S) 0 Το G ε χει α ρτιο πλη θος κορυφω ν Έστω U το συ νολο κορυφω ν του G που ε χουν βαθμο n 1 [V(G) = n] στο G Το γρα φημα G U αποτελει ται απο ε να συ νολο ξε νων μεταξυ τους πλη ρων γραφημα των [Λη μμα 9.7] Απο την (1) o(g U) U, δηλαδη το πολυ U απο τις συνιστω σες του G U ει ναι περιττου βαθμου Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα! Ταιρια ζουμε μια κορυφη απο κα θε περιττη συνιστω σα με μια κορυφη του U. Ει ναι δυνατο γιατι o(g U) U Όλες οι υπο λοιπες κορυφε ς ταιρια ζονται αυθαι ρετα σε κα θε πλη ρη συνιστω σα περιττές συνιστώσες του G U U άρτιες συνιστώσες του G U άρτιο πλήθος κορυφών [γιατί;] άτοπο γιατι υποθε σαμε ο τι το G μεγιστοτικο χωρι ς τε λειο ται ριασμα Άρα το G ε χει τε λειο ται ριασμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

15 Πόρισμα 9.9: Κα θε 3-κανονικο γρα φημα δι χως γε φυρες ε χει ε να τε λειο ται ριασμα [Petersen,1891] Απόδειξη : Έστω G ε να γρα φημα χωρι ς γε φυρες Έστω συ νολο κορυφω ν S V(G) Έστω G!, G 2,..., G k οι περιττε ς συνιστω σες του G S Έστω m i, 1 i k ο αριθμο ς των ακμω ν με το ε να α κρο στο G i και το α λλο στο S Το γρα φημα G ει ναι 3-κανονικο περιττές συνιστώσες του G S d(v) = 3V(G i ), i = 1... k (1) G 1 G i G k v V(G i ) m 1 m i m k d(v) = 3 S (2) S v S m i = d(v) 2E(G i ) v V(G i ) Το m i ει ναι περιττο [κα θε συνιστω σα G i ει ναι περιττου βαθμου ] m i 1 λο γω του ο τι το G δεν ε χει γε φυρες m i 3 λο γω του ο τι m i 1 και περιττο άρτιες συνιστώσες του G S Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

16 k o(g S) = k 1 3 m i i=1 1 d(v) (2) = S 3 v S Το G ε χει ε να τε λειο ται ριασμα [Θεω ρημα 9.8(Tutte)] Σημείωση: Υπα ρχουν 3-κανονικα γραφη ματα με γε φυρες τα οποι α δεν ε χουν τε λειο ται ριασμα. Απόδειξη : G: v Το γρα φημα G ει ναι 3-κανονικο με γε φυρες o(g {v} = 2 > {v} = 1 το οποι ο παραβια ζει την συνθη κη στο θεω ρημα του Tutte [Θ. 9.8] Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος / 198

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

2ο Μάθημα Πιθανότητες

2ο Μάθημα Πιθανότητες 2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ

ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ ΠΛΑΙ ΣΙΟ ΧΡΗ ΜΑ ΤΟ ΔΟ ΤΗ ΣΗΣ ΣΤΟ ΧΟΣ- Ε ΠΙ ΔΙΩ ΞΗ Στό χος του Ο λο κλη ρω μέ νου Προ γράμ μα τος για τη βιώ σι μη α νά πτυ ξη της Πίν δου εί ναι η δια μόρ φω ση συν θη κών α ει φό ρου α νά πτυ ξης της ο ρει νής πε ριο χής, με τη δη

Διαβάστε περισσότερα

6ο Μάθημα Πιθανότητες

6ο Μάθημα Πιθανότητες 6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Οι τα α α α α α α α Κ. ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε. ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι. ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο ΧΕΡΟΥΒΙΟ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΟΙΝΩΝΙΟ Λ. Β Χερουβικόν σε ἦχο πλ. β. Ἐπιλογές Ἦχος Μ Α µη η η η ην Οι τ Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Χε ε ε ε ε ε ε ε ε ρου ου βι ι ι ι ι ι ι ιµ µυ στι κω ω ω ω ω ως ει κο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ Γιάννης Θεοδωράκης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΑΣΚΗΣΗ, ΨΥΧΙΚΗ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΖΩΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...6 1. Ά σκη ση και ψυ χική υ γεί α Ει σα γω γή...9 Η ψυ χο λο γί α της ά σκη σης...11

Διαβάστε περισσότερα

Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη.

Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον. Ἕτερον. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Τάξις Ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου, Ὀ Ν Ψαλµός. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Κυ ρι ε ε λε η σον Ἦχος Πα Α µην Π α σα πνο η αι νε σα τω τον Κυ ρι ον Ἕτερον. Π α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ υ ρι ι ον 1 ΙΩΑΝΝΟΥ Α. ΝΕΓΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων

Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Βασικά Χαρακτηριστικά Αριθμητικών εδομένων Α ντι κείμε νο του κε φα λαί ου εί ναι: Να κα τα νο ή σου με τα βα σι κά χαρα κτη ρι στι κά των α ριθ μη τι κών δεδο μέ νων (τά ση, δια σπο ρά, α συμ

Διαβάστε περισσότερα

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37

1.2.3 ιαρ θρω τι κές πο λι τι κές...35 1.2.4 Σύ στη μα έ λεγ χου της κοι νής α λιευ τι κής πο λι τι κής...37 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ ΤΟ ΙΚΑΙΟ ΤΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ... 21 ΚΕ Φ Α Λ ΑΙΟ 1 o Η ΑΛΙΕΥΤΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ 1.1 Η Α λιεί α ως Οι κο νο μι κή ρα στη ριό τη τα...25 1.2 Η Κοι νο τι κή Α λιευ τι κή Πο λι τι κή...28

Διαβάστε περισσότερα

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων

Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Σημειω σεις Μεταπτυχιακη ς Θεωρι ας Ομα δων Β. Μεταφτση ς 15 Δεκεμβρι ου 2016 1 Παραστάσεις Ομάδων Έστω a, b, c,... ε να συ νολο απο διακριτα συ μβολα και a 1, b 1, c 1,... νε α συ μβολα. Μια λέξη W στα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ

Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ. λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν. τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ ΤΥΙΚΑ & ΜΑΚΑΡΙΣΜΟΙ Ἦχος Νη Μ Α Ν µην Ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον ευ λο γη τος ει Κυ ρι ε ευ λο γει η ψυ χη µου τον Κυ ρι ον και πα αν τα τα εν τος µου το ο νο µα το α γι ον αυ του Ευ λο γει η ψυ

Διαβάστε περισσότερα

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ

Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΙΔΑ: «ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ, ΜΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΖΩΗΣ» ΣΤΡΑΤΗ ΣΤΑΜΑΤΙΑ Επιβλέπων Καθηγητής: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Φορέας υλοποίησης: Φ.Μ.Ε. ΑΛΦΑ ΚΑΡΛΟΒΑΣΙ, ΜΑΪΟΣ 2012 ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο

ο Θε ος η η µων κα τα φυ γη η και δυ υ υ να α α α µις βο η θο ος ε εν θλι ψε ε ε σι ταις ευ ρου ου ου ου ου σαις η η µα α α ας σφο ο ο ο Ἐκλογή ἀργοσύντοµος εἰς τὴν Ἁγίν Κυρικήν, κὶ εἰς ἑτέρς Γυνίκς Μάρτυρς. Μέλος Ἰωάννου Ἀ. Νέγρη. Ἦχος Νη ε Κ ι δυ υ υ υ ν µι ις Α λ λη λου ου ου ι ι ι ι ο Θε ος η η µων κ τ φυ γη η κι δυ υ υ ν µις βο η θο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέμα Α Στις ερωτη σεις Α1 Α4 να γρα ψετε στο τετρα διο σας τον αριθμο της ερω τησης και

Διαβάστε περισσότερα

Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες

Η εταιρεία Kiefer. ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις. μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων. Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Η εταιρεία Kiefer ιδρυ θηκε το 2014 και θεωρει ται μι α απο τις μεγαλυ τερες εταιρει ες Κατασκευη ς Μονα δων Ηλεκτροπαραγωγη ς απο Ανανεω σιμες Πηγε ς Ενε ργειας στην Ελλα δα. Αναλαμβα νει ε ργα ως EPC

Διαβάστε περισσότερα

Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας**

Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας** ÅðéóôçìïíéêÞ Åðåôçñßäá Ðáéäáãùãéêïý ÔìÞìáôïò Ä.Å. Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 20 (2007), 41-55 Ευγενία Κατσιγιάννη* & Σπύρος Κρίβας** Αντιλήψεις γονέων και δασκάλων απέναντι στην κοινωνική ένταξη των ατόμων

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 8: Random Walks

Lecture 8: Random Walks Randomized Algorithms Lecture 8: Random Walks Sotiris Nikoletseas Associate Professor CEID - ETY Course 2016-2017 Sotiris Nikoletseas, Associate Professor Randomized Algorithms - Lecture 8 1 / 33 Overview

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικός Προπονητής

Αποτελεσματικός Προπονητής ÐÝñêïò Ι. ÓôÝ öá íïò & Χριστόπουλος Β. Γιάννης Αποτελεσματικός Προπονητής Ένας οδηγός για προπονητές όλων των ομαδικών αθλημάτων Θεσσαλονίκη 2011 Ðå ñéå ü ìå íá Ðñü ëï ãïò...6 Åé óá ãù ãþ...11 Êå öü ëáéï

Διαβάστε περισσότερα

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια

ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ε πι λο γές & σχέ σεις στην οι κο γέ νεια ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α Άρης Διαμαντόπουλος, Διδάκτορας Φιλοσοφίας - Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Α ξί α Οι κο γέ νειας Ό,τι εί ναι το κύτ τα ρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Πρό λο γος...13 ΜΕ ΡΟΣ Ι: Υ ΠΑΙ ΘΡΙΑ Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ Ει σα γω γή 1 ου Μέ ρους...16 1 ο Κε φά λαιο: Ε ΛΕΥ ΘΕ ΡΟΣ ΧΡΟ ΝΟΣ & Α ΝΑ ΨΥ ΧΗ 1.1 Οι έν νοιες του ε λεύ θε ρου χρό νου και της ανα ψυ χής...17

Διαβάστε περισσότερα

Α ΡΙΘ ΜΟΣ ΟΙ ΚΗ ΜΑ- ΤΩΝ ΚΑΙ Υ ΝΑ ΜΕΝΟ ΝΑ Ε ΞΥ ΠΗ ΡΕ ΤΗ ΘΕΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. 3 ξε νώ νες Α ΣΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. Ξε νώ νες Α ΣΣ Κοζάνη. Κ.

Α ΡΙΘ ΜΟΣ ΟΙ ΚΗ ΜΑ- ΤΩΝ ΚΑΙ Υ ΝΑ ΜΕΝΟ ΝΑ Ε ΞΥ ΠΗ ΡΕ ΤΗ ΘΕΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. 3 ξε νώ νες Α ΣΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ. Ξε νώ νες Α ΣΣ Κοζάνη. Κ. ΞΕ ΝΩ ΝΕΣ Οι ξε νώ νες λει τουρ γούν µε σκο πό την προ σω ρι νή διαµονή, κυ ρί ως των νε ο το ποθε τη µέ νων Μον. Αξ κών - Αν θστών και των µε λών των οικο γε νειών τους που τυ χόν τους συ νο δεύ ουν µέ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πρός τούς ἀδελφούς μου

Πρός τούς ἀδελφούς μου Πρός τούς ἀδελφούς μου Συμεων μητροπολιτου νεασ ΣμυρνηΣ Πρός τούς ἀδελφούς μου EOρτια ΠοιμαντικA μηνyματα Ἐπιμέλεια ἔκδοσης: Βασίλης Ἀργυριάδης Ἐκδόσεις κολοκοτρώνη 49, Ἀθήνα 105 60 τηλ.: 210 3226343

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να

Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να . Αρ χές Ηγε σί ας κα τά Πλά τω να ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Ψυχο λό γος, Δι δά κτω ρ Φι λο σο φί ας χή, στο σώ μα και στο πνεύ μα, 84 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ.

Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει μέ νου. Friedrich Schelling. σελ. 13. σελ. 17. σελ. σελ. 13 σελ. 17 σελ. 21 σελ. 49 σελ. 79 σελ. 185 σελ. 263 σελ. 323 σελ. 393 σελ. 453 σελ. 483 σελ. 509 σελ. 517 Ό λοι οι κα νό νες πε ρί με λέ της συ νο ψί ζο νται στον ε ξής έ να: Μά θε, μό νο προκει

Διαβάστε περισσότερα

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά

Πρώϊος Μιλτιάδης. Αθαναηλίδης Γιάννης. Ηθική στα Σπορ. Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά Πρώϊος Μιλτιάδης Αθαναηλίδης Γιάννης Ηθική στα Σπορ Θεωρία και οδηγίες για ηθική συμπεριφορά ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 1 ΗΘΙΚΗ ΣΤΑ ΣΠΟΡ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΗΘΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π.

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 8: Markov Chains The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 8: Markov Chains Sotiris Nikoletseas Chistoforos Raptopoulos Computer Engineering and Informatics Department 205-206 Chistoforos Raptopoulos

Διαβάστε περισσότερα

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11

Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 Πρα κτι κών µη χα νι κών Δ ηµοσίου, ΝΠΔ Δ & OΤΑ O36R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ, Ν.Π.Δ.Δ. ΚΑΙ O.Τ.Α. Α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ Ε ΛΗ ΦΘΗ ΣΑΝ Υ ΠO ΨΗ 1. H 15/1981

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Νη υ υ υ υ ρι ι ι ι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ε ει σα κου ου ου σο ο ον μου ου ει σα κου σον μου Κυ υ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ι ε ε κε κρα α ξα α προ ο ος σε ε ε ει

Διαβάστε περισσότερα

των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03

των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03 των Κοι νω νι κών λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στις Νευ ρο ψυ χι α τρι κές κλι νι κές Α θη νών & περιχώρων Ot02R03 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες

ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΩΝ ΜΕ ΣΩΝ ΜΑ ΖΙ ΚΗΣ Ε ΝΗ ΜΕ ΡΩ ΣΗΣ (Μ.Μ.Ε.) ΣΤΗΝ ΟΥ ΣΙΟ Ε ΞΑΡ ΤΗ ΣΗ ΤΩΝ Α ΝΗ ΛΙ ΚΩΝ όπως προ κύ πτει α πό τις έ ρευ νες ΚΕΙΜΕΝΟ: Α να στά σιος Γ. Ρούσ σης Κοι νω νιο λό γος - Ε γκλη μα το λό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ

ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΗ ΣΤΙΣ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΕΙΣ CIMIC CIMIC CIMIC ΚΕΙΜΕΝΟ: Υπλγος (ΜΧ) Ευ ρι πί δης Κ. Χα νιάς ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση CIMIC εί ναι τα αρ χι κά των λέ ξε ων Civil Military Co-operation

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11

ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... 11 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική Βιομηχανία...15 1.1 Εισαγωγή...15 1.2 Ορισμός του Όρου Βιομηχανία...16 1.3 Ένα Μοντέλο Περιγραφής της Αθλητικής Βιομηχανίας...17 1.3.1 Τμήμα Παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα

Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Αυτοοργανωμε να οικοσυστη ματα επιχειρηματικο τητας: Πα θος, δημιουργι α και αισιοδοξι α στην Ελλα δα του ση μερα Ιο νιο Πανεπιστη μιο, Κε ρκυρα 17-5-2012 Παύλος Σταμπουλι δης, Με λος ΔΣ Hellenic Startup

Διαβάστε περισσότερα

VAGONETTO. Ωρες: 09:00 17:00. t: (+30) e: w: Kρατήσεις: Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας

VAGONETTO. Ωρες: 09:00 17:00. t: (+30) e: w:  Kρατήσεις: Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας VAGONETTO Fokis Mining Park Μεταλλευτικό Πάρκο Φωκίδας Ωρες: 09:00 17:00 Kρατήσεις: t: (+30) 2265 078819 e: info@vagonetto.gr w: www.vagonetto.gr 5 1 o χ λ μ Ε. Ο. Λ α μ ί α ς Ά μ φ ι σ σ α ς Τ. Κ. 3 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ

ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ ΠΕΤΡΟΥ ΛΑΜΠΑΔΑΡΙΟΥ Η ΑΓΙΑ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗ ΕΒΔΟΜΑΣ ΤΗ ΑΓΙΑ ΚΑΙ ªΕΓΑΛΗ ΔΕΥΤΕΡΑ. Eις τους Αίνους. Ε ρ χο με νος ο Κυ ρι ος προς το ε κου ου σι ο ον πα α α θος τοις Α πο στο λοις ε λε γε εν εν τη η η η ο ο ο ο

Διαβάστε περισσότερα

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση

Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Κόστος Λειτουργίας AdvanTex: Ανάλυση και Συγκριτική Αξιολόγηση Εισαγωγή Η επι λο γή ενό ς co m p a ct συ στή µ α το ς β ι ολο γι κο ύ κα θ α ρι σµ ο ύ θ α πρέπει να πραγµ α τοπο ι είτα ι β ά σει τη ς α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ

H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ H ΕΝ ΝΟΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗ ΣΚΕΙΑΣ ΚΑ ΤΑ ΤΟΥΣ ΑΡ ΧΑΙΟΥΣ ΕΛ ΛΗ ΝΕΣ Ο Ό μη ρος και ο Η σί ο δος έ χουν δη μιουρ γή σει κα τά τον Η ρό δο το 1, τους ελ λη νι κούς θε ούς. Ο Ό μη ρος στη θε ο γο νί α του έ χει ιε ραρ

Διαβάστε περισσότερα

Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των

Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των Υ ΠΟ ΣΤΗ ΡΙ ΞΗ ΤΩΝ ΨΕ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΟ Ε ΠΙ ΧΕΙ ΡΗ ΣΙΑ ΚΟ ΠΕ ΡΙ ΒΑΛ ΛΟΝ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Αν χης (ΠΖ) Ιω άν νης Ιω άν νου Στις α ντιπα λό τη τες με τα ξύ των αν θρώπων,

Διαβάστε περισσότερα

των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11

των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11 των Καθηγητών Φροντιστηρίων Ξένων γλωσσών όλης της χώρας O18R11 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚΑ ΘΗ ΓΗ ΤΩΩΝ ΦΡO ΝΤΙ ΣΤΗ ΡΙ ΩΩΝ ΞΕ ΝΩΩΝ ΓΛΩΩΣ ΣΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09

των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 των ερ γα το τε χνι τών εργοστασίων Τσιµεντολίθων, ό λης της χώρας O41R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΕΡ ΓΑ ΤO ΤΕ ΧΝΙ ΤΩΩΝ ΕΡ ΓO ΣΤΑ ΣΙ ΩΩΝ ΤΣΙ ΜΕ ΝΤO ΛΙ ΘΩΩΝ, ΤΣΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ

ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ. του, εί ναι ση μα ντι κό να ει πω θούν εν συ ντομί α με ρι κά στοι χεί α για το πο λι τι σμι κό πε ριβάλ ΘΑ ΛΗΣ Ο ΜΙ ΛΗ ΣΙΟΣ ΟΙ ΒΑ ΣΙ ΚΕΣ ΑΡ ΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙ ΛΟ ΣΟ ΦΙΑΣ ΤΟΥ, Ο ΡΟ ΛΟΣ ΤΟΥ Α ΡΙ ΣΤΟ- ΤΕ ΛΗ ΣΤΗ ΔΙΑ ΔΟ ΣΗ ΤΩΝ ΘΕ ΣΕ ΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ Η Υ ΠΟ ΔΟ ΧΗ ΤΩΝ ΦΙ- ΛΟ ΣΟ ΦΙ ΚΩΝ ΤΟΥ ΘΕ ΣΕ- ΩΝ ΣΤΗΝ Ε ΠΟ ΧΗ ΤΟΥ ΚΙΚΕ ΡΩ ΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29

1 ο Κεφά λαιο. Πώς λειτουργεί η σπονδυλική στήλη;...29 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Οδηγός χρησιμοποίησης του βιβλίου και των τριών ψηφιακών δίσκων (DVD)...11 Σκο πός του βι βλί ου και των 3 ψηφιακών δί σκων...15 Λί γα λό για α πό το Σχο λι κό Σύμ βου λο Φυ σι κής Α γω γής...17

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ

Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ Η ΤΑ ΚΤΙ ΚΗ ΤΕ ΧΝΗ ΤΩΝ ΑΡ ΧΑΙΩΝ ΕΛ ΛΗ ΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ: Ευ γέ νιος Αρ. Για ρέ νης, Α ντει σαγ γε λέ ας Στρα το δι κεί ου Ιω αν νί νων, Δι δά κτο ρας στο Πά ντειο Πα νε πι στή μιο Α πό την κλα σι κή φά λαγ γα

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής

Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής Κωνσταντίνος Αλεξανδρής, PhD Αρχές Μάνατζμεντ και Μάρκετινγκ Οργανισμών και Επιχειρήσεων Αθλητισμού και Αναψυχής β βελτιωμένη έκδοση ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2011 ΠΕΡΙEΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή... 11 ΠΡΩΤΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.0 Η Αθλητική

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ

Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ Η ΛΕ ΚΤΡΟ ΝΙ ΚΟ Ε ΠΙΧΕΙ ΡΕΙΝ KEΙΜΕΝΟ: Λγος (ΠΒ) Νι κό λα ος Ι. Πέ ντσας (MS.c, MBA), Λγος (ΠΖ) Δη μή τριος Λ. Πισ σα νί δης (MBA) ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση Eισαγωγή Κα τά τη διάρ κεια της τε

Διαβάστε περισσότερα

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς

Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κ Ε ΦΑ ΛΑΙΟ 1 Μάνατζμεντ και Μάνατζερς Κά θε μέ ρα ε πι σκε πτό μα στε διά φο ρους ορ γα νισμούς με γά λους ή μι κρούς και ερ χό μα στε σε επα φή με τους υ παλ λή λους και τους μά να τζερ ς. Α νά λο γα

Διαβάστε περισσότερα

των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10

των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10 των ερ γα ζο µέ νων σε ε πι χει ρή σεις Έ ρευ νας - Ε ξό ρυ ξης, Με λε τών και Δ ιΰ λι σης Αρ γού Πε τρε λαί ου ό λης της χώ ρας K65R10 2 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΕΡ ΓΑΖO ΜΕ ΝΩΩΝ ΣΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ

ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ ΚΛΙ ΜΑ ΚΩ ΣΗ ΤΩΝ ΒΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΙΑ Ε ΠΙ ΤΥ ΧΙΑ ΣΤΟ ΠΟΔΟΣΦΑΙΡΟ 12 Το γε γο νός ό τι δια βά ζεις αυ τό το βι βλί ο ση μαί νει ό τι έ χεις μολυν θεί α πό έ να μι κρόβιο το μι κρό βιο του πο δο σφαί ρου και σίγου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΤ-ΟΡΙΑ-ΤΝΕΧΕΙΑ (ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ Ε.Μ.Ε) ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεήσ ςυνάρτηςη :RR, με (0)=2 η οποία ικανοποιεί τη ςέςη ( ) 4 = 6 ια κά ε R α) Να βρείτε τισ τιμέσ (2) και (-2) β) Να απο είξετε τι υπάρει

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ

ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ. 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΜΝΗΜΕΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ ΝΟΕΜ ΒΡΙΟΣ 333 π.χ. Η ΜΑΧΗ ΤΗΣ ΙΣ ΣΟΥ Στην πε διά δα της Ισ σού, τον Νο έμ βριο του έτους 333 π.χ., έ λα βε χώ ρα μία από τις ση μα ντι κό τε ρες μά χες του έν δο ξου Έλληνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΒΑΜΒΑΚΙ - ΚΛΩΣΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΜΒΑΚΙ Ε ΞΑ ΠΛΩ ΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΗ ΣΗ ΜΑ ΣΙΑ Γε νι κά

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΒΑΜΒΑΚΙ - ΚΛΩΣΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΜΒΑΚΙ Ε ΞΑ ΠΛΩ ΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΗ ΣΗ ΜΑ ΣΙΑ Γε νι κά Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΒΑΜΒΑΚΙ - ΚΛΩΣΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΜΒΑΚΙ... 19 1. Ε ΞΑ ΠΛΩ ΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΚΟ ΝΟ ΜΙ ΚΗ ΣΗ ΜΑ ΣΙΑ... 19 1.1. Γε νι κά... 19 1.2. Η καλ λιέρ γεια του βαμ βα κιού στην Ελ λά

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA

ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA ΚΩΔΙΚΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΙΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΠΟΝΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ ΚΑΙ ΛΟΙΠΩΝ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ (ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΕΛΑΤΩΝ) ΤΗΣ VOLTERRA Α. Γενικά Η VOLTERRA, ως Προμηθευτη ς Ηλεκτρικη ς Ενε ργειας και ε χοντας ως αντικειμενικο στο

Διαβάστε περισσότερα

Χαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας

Χαιρετισμοί. Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμοί Περιεχόμενα Ενότητας Χαιρετισμός του Διευθυντή Μέσης Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης, κ. Ηλία Μαρκάτζιη Χαιρετισμός από τον Πρόεδρο του Συνδέσμου Γονέων και Κηδεμόνων της Σχολής, κ.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον

K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ Α Τ Α Ν Υ Κ Τ Ι Κ Α ΚΥΡΙΕ ΕΛΕΗΣΟΝ Ἦχος νη 1. 2.. 4. 5. K υ ρι ε ε λε η σον Κ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Κ υ υ ρι ε ε λε ε η σον Κ υ ρι ε ε λε η σον Ε ις πολ λα ε τη Δεσ πο τα Υ περ Α γι

Διαβάστε περισσότερα

των Oι κο δό µων συ νερ γεί ων O32R09

των Oι κο δό µων συ νερ γεί ων O32R09 των Oι κο δό µων µο νί µων συ νερ γεί ων O32R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ OΙ ΚO Δ O ΜΩΩΝ ΜO ΝΙ ΜΩΩΝ ΣY ΝΕΡ ΓΕΙ ΩΩΝ ΒΙ O ΜΗ ΧΑ ΝΙ ΩΩΝ - ΒΙ O ΤΕ ΧΝΙ ΩΩΝ O ΛΗΣ ΤΗΣ ΧΩΩ ΡΑΣ Α. ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix

Πρόλογος στην ελληνικ κδοση... xvii. Πρόλογος... xix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στην ελληνικ κδοση................................. xvii Πρόλογος................................................... xix M ρος Πρ το Π Σ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΖΟΥΜΕ ΤΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Π

Διαβάστε περισσότερα

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε

24 Πλημμυρισμένα. 41 Γίνε Anderson s Ltd Εφαρμογές Υψηλής Τεχνολογίας - Εκδόσεις : Γ Σεπτεμβρίου 103 Αθήνα 10434 Τ: 210-88 21 109 F: 210-88 21 718 W: www.odp.gr E: web@odp.gr 42 Γρήγορο Εγχειρίδιο για τον Διαχειριστή 24 Πλημμυρισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ

Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Θ Ρ Η Σ Κ Ε Ι Α- Π Ο Λ Ι Τ Ι Σ Μ Ο Σ & Α Ξ Ι Ε Σ Στον πο λι τι σμό των μη χα νών έ χει δι α φα νεί ο ρι στι κά ό τι δεν προβλέ πε ται θέ ση γι α τη λει τουρ γί α της ψυ χής. Τους δύ ο τε λευ ταίους αι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής

Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ. της ζω ής Η Ο ΜΑ ΔΙ ΚΗ ΨΥ ΧΗ η αν θο δέ σµη της ζω ής ΚΕΙΜΕΝΟ: Υ πτγος ε.α. Ά ρης Δια μα ντό που λος, Διδάκτωρ Φιλοσοφίας-Ψυχολόγος ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Στρατιωτική Επιθεώρηση ΕΙ ΣΑ ΓΩ ΓΙ ΚΕΣ ΕΝ ΝΟΙΕΣ Ό πως υ πάρ χει

Διαβάστε περισσότερα

των Ξε να γών Ρόδου Ot04R14

των Ξε να γών Ρόδου Ot04R14 των Ξε να γών Ρόδου Ot04R14 να γούς που εργάζονται στη Ρόδο, οι οποίοι πα ρέ χουν τις υπηρεσίες τους στους εργοδότες τους τουριστικούς πράκτορες πραγµατικά µε σχέση εξηρτηµένης εργασίας Δ. ΚΑ ΘO ΡΙ ΣΜOΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗ 2015

ΕΛΕΓΚΤΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗ 2015 1.5 ΔΗΜΟΣ ΠΑΦΟΥ 1. Διαγωνισμο ς για την Ανα πλαση του Παραδοσιακου Εμπορικου Κε ντρου και της Πλατειάς Κε ννεντυ στην Πα φο. - Αρ. Διαγωνισμου 23/2015. Τον Σεπτε μβριο 2015, με επιστολη μας προς τον Δη

Διαβάστε περισσότερα

των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09

των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09 των Κοι νω νι κών Λει τουρ γών που α πα σχο λού νται στους ι δι ω τι κούς παι δι κούς σταθ µούς όλης της χώρας O21R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΚOΙ ΝΩΩ ΝΙ ΚΩΩΝ ΛΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 7ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ταιριάσματα(matchings) Ορισμός(Ταίριασμα) Εστωγράφημα G = (V,E).Ταίριασμακαλείταιένασύνολο M E,τέτοιοώστεκάθεκόμβοςτου

Διαβάστε περισσότερα

Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09

Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09 Λο γι στών & Βοη θών Λο γι στών βι ο µη χα νι κών και λοι πών ε πι χει ρή σε ων όλης της χώρας O23R09 ΚΩΩ Δ Ι ΚO ΠOΙ Η ΣΗ ΣYΛ ΛO ΓΙ ΚΩΩΝ ΡYΘ ΜΙ ΣΕ ΩΩΝ (ΣΣΕ & Δ Α) ΤΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ ΚΑΙ ΒOΗ ΘΩΩΝ ΛO ΓΙ ΣΤΩΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO

BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO BOYΛH TΩΝ EΛ ΛH NΩN ΔIEY ΘYN ΣH NO MO ΘE TI KOY EP ΓOY E BΔO MA ΔIAIO ΔEΛ TIO Tων νο µο σχε δί ων και των προ τά σε ων νό µων, που εκ κρε µούν στη Bου λή για συζήτηση και ψή φι ση και κα τα τέ θη καν µέ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΕΣ ΨΕ & ΔΙΑ ΔΙ ΚΤΥΟ

ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΕΣ ΨΕ & ΔΙΑ ΔΙ ΚΤΥΟ ΣΥΓ ΧΡΟ ΝΕΣ ΨΕ & ΔΙΑ ΔΙ ΚΤΥΟ Killing the enemy s courage is as vital as killing his troops «Η κάμ ψη του η θι κού του ε χθρού, εί ναι τό σο ζω τι κής ση μα σί ας όσο να σκο τώ νεις τα στρα τεύ μα τά του»

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ

ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΔΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚΔΟΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΠΙΤΕΛΕΙΟΥ ΣΤΡΑΤΟΥ ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΕΩΣ 1883 ΤΕΥΧΟΣ 2/2011 (ΜΑΡ.-ΑΠΡ.) ΕΤΗΣΙΑ ΣYΝΔΡΟΜΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ Αξιωματικοί Στρατού Ξηράς ε.α. 2,94 Ιδιώτες, Σύλλογοι κ.λπ. 5,87 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ (ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα

Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ο ος σε ε ει σα ΤΗ Ζ ΤΟΥ ΜΗΝΟΣ ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΤΟΥ ΟΣΙΟΥ ΚΑΙ ΘΕΟΦΟΡΟΥ ΠΑΤΡΟΣ ΗΜΩΝ ΝΙΚΑΝΟΡΟΣ ΤΟΥ ΘΑΥΜΑΤΟΥΡΓΟΥ Ἡ µουσική καταγραφή τῶν µελῶν ἔγινε ἀπό τὰ χειρόγραφα µουσικά κείµενα τοῦ π. Χρίστου Κυριακοπούλου Μετὰ

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα