ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΣ

Transcript

1 ΣΥΜΠΛΕΚΤΙΚΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΕΣ Τα αυτόνομα Χαμιλτονιανά συστήματα περιγράφονται από τις κανονικές εξισώσεις του Hamilton q= H p, ṗ= H q (1) όπου H(q,p) η συνάρτηση του Hamilton. Στα επόμενα, για λόγους απλότητας, θα μελετήσουμε κυρίως συστήματα για τα οποία ισχύει H (q, p) = T ( p) + V (q) (2) Yπενθυμίζεται ότι η Τ(p) όπως και η V(q), από μόνες τους είναι ολοκληρώσιμες χαμιλτονιανές, αφού εξαρτώνται μόνο από τις μισές μεταβλητές η καθεμιά! Κάθε Χαμιλτονιανή ροή στο χώρο των φάσεων υπακούει στη συμπλεκτική ιδιότητα, η οποία εκφράζεται από τη σχέση dp 0 dq 0 = dp' dq' όπου ^ η το αντισυμμετρικό γινόμενο (γενίκευση του εξωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων) και τα τονούμενα στοιχεία δηλώνουν τιμές των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t=τ', ενώ τα στοιχεία με δείκτη '0' αναφέρονται στις αρχικές συνθήκες. Με απλά λόγια, η παραπάνω σχέση εκφράζει τη διατήρηση των εμβαδών στο χώρο των φάσεων, κατά την εξέλιξη ενός συνόλου τροχιών (Θεώρημα Liouville). Επιπλέον, για αυτόνομα συστήματα, ισχύει και η διατήρηση της ενέργειας (πιο σωστά, του ολοκληρώματος του Jacobi), η οποία εκφράζεται από τη σχέση H (q, p)=h (q ', p ')=σταθ Όπως γνωρίζουμε, κάθε μέθοδος αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων (1) είναι προσεγγιστική. Ανάλογα με τη μέθοδο ολοκλήρωσης που επιλέγουμε, τα σφάλματα στον υπολογισμό των τιμών των μεταβλητών εν γένει μεγεθύνονται από βήμα σε βήμα. Αυτό σημαίνει ότι οι παραπάνω συνθήκες διατήρησης παραβιάζονται όλο και πιο πολύ με την πάροδο του χρόνου. Μάλιστα, σε προβλήματα όπου απαιτείται ολοκλήρωση για μεγάλα χρονικά διαστήματα, είναι δυνατό η αριθμητική λύση (τροχιά), μετά από πολύ χρόνο, να είναι πολύ διαφορετική από αυτή που πραγματικά θα ακολουθούσε το σύστημα, αν όντως π.χ. η ενέργεια διατηρούνταν σταθερή κατά την ολοκλήρωση των εξισώσεων. Υπάρχει κάποια μέθοδος ολοκλήρωσης, ειδική για Χαμιλτονιανά συστήματα, που να σέβεται ταυτόχρονα και τις δύο συνθήκες διατήρησης; Η απάντηση είναι ότι, όπως έχει αποδειχτεί, δεν είναι δυνατό να υπάρξει μια τέτοια μέθοδος για γενικά μη γραμμικά συστήματα. Παρόλα αυτά, υπάρχουν μέθοδοι που σέβονται επακριβώς τη μία εκ των δύο συνθηκών, τη συμπλεκτική συνθήκη. Μάλιστα, αποδεικνύεται ότι, για κατάλληλη επιλογή του χρονικού βήματος, οι λεγόμενοι συμπλεκτικοί ολοκληρωτές οδηγούν σε φραγμένες μεταβολές της ενέργειας, ώστε το σφάλμα στην ενέργεια να μην αθροίζεται σε κάθε βήμα αλλά η τιμή της να ταλαντώνεται εντός συγκεκριμμένων ορίων. Στα επόμενα θα περιγράψουμε δύο βασικές μεθόδους ανάπτυξης συμπλεκτικών ολοκληρωτών.

2 Έμμεση (implicit) μέθοδος Γνωρίζουμε από τη μηχανική του Hamilton ότι ένας μετασχηματισμός (q, p) (q', p' ) είναι κανονικός (συμπλεκτικός) εάν διατηρεί τη μορφή των εξισώσεων του Hamilton. Ένας τρόπος κατασκευής ενός κανονικού μετασχηματισμού είναι με τη χρήση μιας κατάλληλα επιλεγμένης γενέτειρας συνάρτησης (generating function). Έτσι, αν W(q,p') η γενέτειρα συνάρτηση, ο μετασχηματισμός είναι κανονικός αν q' = W p ', p= W q Έστω τώρα ότι επιχειρώ να φτιάξω μια μέθοδο ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης με τη χρήση της παραπάνω θεωρίας: να βρω, δηλαδή, έναν κανονικό μετασχηματισμό ανάμεσα στις αρχικές τιμές των κανονικών μεταβλητών (q, p) και τις τελικές τιμές τους (q', p' ) μετά από χρόνο t=τ. Σύμφωνα με τη θεωρία, ο μετασχηματισμός αυτός μπορεί να κατασκευαστεί με τη χρήση της ακόλουθης γενέτειρας συνάρτησης W (q, p' )=qp'+τ H (q, p' ) της οποίας ο 1ος όρος δίνει τον ταυτοτικό μετασχηματισμό (q=q', p=p') και ο 2ος όρος προχωρά τις μεταβλητές κατά χρόνο τ, σύμφωνα με την H, αφού q' =q+τ H p', p'= p τ H q Οι παραπάνω σχέσεις θυμίζουν την απλή μέθοδο Euler, που έχει επίσης ακρίβεια 1ης τάξης. Αντίστοιχα, επιλέγοντας κατάλληλα την έκφραση της W(q,p'), μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν ολοκληρωτή με ακρίβεια Ο(τ 2 ) ή και καλύτερη. Παρατηρήστε ότι η έμμεση μέθοδος χρησιμοποιεί παραγώγους ως προς τις νέες (άγνωστες) μεταβλητές, οι τιμές των οποίων μπορούν να υπολογιστούν επακριβώς μόνο αν οι εξισώσεις είναι αντιστρέψιμες (όπως π.χ. η 2η από τις παραπάνω εξισώσεις, η οποία πρέπει να επιλυθεί πρώτη ώστε η τιμή της p' να μπορεί να χρησιμοποιηθεί μετά για τον υπολογισμό της παραγώγου στην 1η σχέση). Ας πάρουμε για παράδειγμα το σύστημα του απλού αρμονικού ταλαντωτή με εξισώσεις κίνησης H (q, p)= p2 2 + q2 2 = E q= p, ṗ= q Η μέθοδος του Euler, δίνει τις προσεγγιστικές σχέσεις (1ης τάξης) q' =q+τ H H =q+τ p, p' = p τ p q = p τ q ενώ η έμμεση συμπλεκτική μέθοδος (1ης τάξης) δίνει τη σχέση

3 p' = p τ H H = p τ q, q'=q+τ =q+τ p' q p ' διαφέρουν δηλαδή μόνο (φαινομενικά) κατά τη χρήση του p' (αντί του p) στο 2ο μέλος της 2ης εξίσωσης. Σε μορφή πινάκων, η γραμμική (στο συγκεκριμμένο παράδειγμα) απεικόνιση (q, p) (q', p' ) εκφράζεται αντίστοιχα από τις σχέσεις: Εuler: Symplectic: ( q' p') ( = 1 τ τ 1)( q p) με την ορίζουσα του πίνακα να έχει τιμή det ( A)=1+τ 2 και ( q' p') ( = 1 τ2 τ τ 1)( q p) με det ( A)=1. Η τελευταία σχέση, που αποτελεί και κριτήριο κανονικότητας του μετασχηματισμού, εκφράζει τη συμπλεκτική συνθήκη, δηλαδή τη διατήρηση των εμβαδών στο χώρο των φάσεων. Έτσι, η συμπλεκτική μέθοδος συνεπάγεται εκ κατασκευής τη διατήρηση της συμπλεκτικότητας του συστήματος, όσο μακρυά στο χρόνο κι αν ολοκληρώσουμε! Σε ότι αφορά την ενέργεια του συστήματος, από την μέθοδο του Euler προκύπτει ότι Ε ' = (1+τ 2 ) Ε δηλαδή, έχουμε αύξηση της ενέργειας σε κάθε βήμα. Για τη συμπλεκτική μέθοδο έχουμε Ε ' = (1+τ 2 ) Ε (2τ 2 τ 4 )q 2 2τ 3 qp δηλαδή και πάλι η ενέργεια δε διατηρείται ακριβώς. Αποδεικνύεται όμως (βλ. E E ' παρακάτω) ότι το σφάλμα ΔE= υπόκειται σε φραγμένες ταλαντώσεις, ως E συνέπεια της ύπαρξης ενός άλλου ολοκληρώματος της συμπλεκτικής απεικόνισης, που δίνεται από τη σχέση J (q, p)= 1 2 ( p2 +q 2 ) + τ 2 p q = C η οποία δείχνει ότι το ολοκλήρωμα αυτό έχει τιμή αρκετά κοντά (για αρκετά μικρό βήμα) στην τιμή της αρχικής Χαμιλτονιανής. Σημειώνουμε ότι μέθοδοι ανώτερης τάξης που επίσης είναι έμμεσες, όπως οι μέθοδοι Runge-Kutta, μπορεί να προσαρμοστούν ώστε να γίνουν συμπλεκτικές. Άμμεση (explicit) μέθοδος Η άμεση μέθοδος στηρίζεται στο γεγονός ότι η συνάρτηση Hamilton (2) αποτελείται από δύο ολοκληρώσιμα τμήματα. Έτσι, αν αγνοήσουμε την Η=T(p), η λύση θα ήταν απλά ṗ = 0 p' = p, q dt = ( H dt q' = q + τ T p )p'= p p Η λύση είναι ακριβής και βέβαια η απεικόνιση, S T (τ), είναι συμπλεκτική. Αντίστοιχα, αν Η=V(q), η απεικόνιση S V (τ) θα έδινε επίσης την ακριβή και συμπλεκτική λύση

4 q=0 q'=q, ṗ dt = ( H dt q )q'=q p' = p τ V q Το ερώτημα είναι λοιπόν το εξής: αν συνθέταμε αυτές τις δύο απεικονίσεις (η σύνθεση θα δώσει κατ' ανάγκην επίσης συμπλεκτική απεικόνιση) δηλαδή, λύναμε πρώτα την 1η εξίσωση και μετά τη 2η (ή ανάποδα) αλλά χρησιμοποιώντας στη 2η τις τιμές που προκύπτουν από την επίλυση της 1ης θα παίρναμε την πραγματική λύση; Η απάντηση είναι δυστυχώς όχι, αλλά η σύνθεση των δύο στοιχειωδών απεικονίσεων θα μας έδινε μια λύση κοντά στην πραγματική, με ακρίβεια O(τ). Ο λόγος για τον οποίο η σύνθεση S T (τ ) S V (τ) S H (τ ) δε δίνει την S H (τ) μπορεί να γίνει κατανοητός με βάση τη γλώσσα της άλγεβρας Lie. Οι εξισώσεις κίνησης (1) μπορούν να γραφούν συνοπτικά στη μορφή dz dt = {z, H } z(τ ) = [exp(τ D H )] z(0), D H ={, H } όπου z οποιαδήποτε εκ των μεταβλητών του συστήματος {F,G }= F G q p F G p q η αγκύλη Poisson των συναρτήσεων F(q,p) και G(q,p) και D H ={, H } ο αντίστοιχος γραμμικός διαφορικός τελεστής του Lie, για την εν λόγω Χαμιλτονιανή. Το δεξί μέλος της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί τη γενική (φορμαλιστική) λύση της διαφορικής εξίσωσης. Στη γενική περίπτωση λοιπόν ενός μη ολοκληρώσιμου συστήματος, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη λύση, [exp(τ D H )] z (0) = [exp τ ( D Τ +D V )] z(0), αλλά γνωρίζουμε τη λύση των δύο επί μέρους τελεστών, που αντιστοιχούν στις Η 1 =T(p) και Η 2 =V(p), δηλάδη τις [exp(τ D T )] z(0) και [exp(τ D V )] z(0). Δυστυχώς, παρότι D H = D T + D V δεν ισχύει το ίδιο για τα εκθετικά των τελεστών! Ο λόγος είναι ότι ο τελεστής του Lie είναι αντισυμμετρικός (βλ. τον ορισμό των αγκύλων Poisson) και επομένως οι τελεστές D T και D V δεν μετατίθενται. Έτσι, ο τύπος που δίνει το εκθετικό ενός τελεστή Lie, Ζ, ως γινόμενο των εκθετικών δύο άλλων τελεστών Lie exp(τz )=exp(τχ ) exp(τy ), δε συνεπάγεται Ζ = Χ +Υ αλλά τζ = τ ( Χ +Υ ) + τ 2 2 [ Χ,Υ ] + τ 3 4 τ ([ X,[ X,Y ]] + [Y,[Y, X ]]) + [ X,[Y,[Y, X ]]] όπου [ X,Y ]= XY YX ο μεταθέτης των δύο τελεστών. Η παραπάνω σχέση (για τ=1) είναι γνωστή ως τύπος των Baker-Campbell-Hausdorff (BCH). Από τη σχέση αυτή είναι φανερό ότι η αναπαράσταση της λύσης του συστήματος (1) ως απλή σύνθεση (δηλαδή, γινόμενο μόνο δύο εκθετικών) των δύο στοιχειωδών συμπλεκτικών απεικονίσεων δίνει S T (τ ) S V (τ) S H (τ ) + O (τ 2 ) ή αλλιώς, η σύνθεση των δύο στοιχειωδών απεικονίσεων δε δίνει ακριβώς τη λύση του συγκεκριμένου Χαμιλτονιανού συστήματος, αλλά ενός άλλου, το οποίο απέχει από το πρώτο κατά όρους τάξης O(τ 2 ). Με βάση τα παραπάνω, ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα της εύρεσης ενός συμπλεκτικού ολοκληρωτή τάξης O(τ n ), που να βασίζεται όμως στο γεγονός ότι

5 γνωρίζουμε επακριβώς τη λύση των δύο στοιχειωδών απεικονίσεων S T (τ ), S V (τ). Είδαμε ότι η απλή σύνθεση των στοιχειωδών συμπλεκτικών απεικονίσεων δίνει τον τελεστή exp(τ D H ) με ακρίβεια O(τ 2 ). Αποδεικνύεται ότι η προσέγγιση του exp(τ D H ) με καλύτερη ακρίβεια δηλαδή, περισσότερους όρους της σειράς BCH βρίσκεται μέσω της σύνθεσης περισσότερων στοιχειωδών απεικονίσεων, κατά το σχήμα z(τ ) = exp[τ ( D T +D V )] z(0) =( i=1 k exp(c i τ D T ) exp(d i τ D V )) z(0) + O(τ n+1 ) δηλαδή, τη διαδοχική εφαρμογή k στοιχειωδών απεικονίσεων, κάθε φορά με κατάλληλη υποδιαίρεση του βήματος (μέσω των συντελεστών c i και d i ), ώστε τα δύο αναπτύγματα να συμφωνούν μέχρι O(τ n ). Έτσι, μια λύση για n=2 (2ης τάξης συμπλεκτικός ολοκληρωτής) που δεν είναι μοναδική είναι το γνωστό σχήμα leap frog: exp(τ D H ) = exp[τ ( D T +D V )] = exp(τ / 2 D T ) exp(τ D V ) exp(τ / 2 D T ) + O (τ 3 )=S 2 + O(τ 3 ) που προκύπτει για k=2, c i =1/2 και d 1 =1, d 2 =0. Κατά τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι ένας ολοκληρωτής 4ης τάξης, S 4, βρίσκεται από τη σύνθεση 3 τελεστών 2ης τάξης, με κατάλληλους συντελεστές υποδιαίρεσης του βήματος. Είναι βασικό να κατανοήσει κανείς τη χρησιμότητα του τύπου BCH. Όταν προσπαθούμε να αναπτύξουμε έναν ολοκληρωτή ανώτερης τάξης, ουσιαστικά παίρνουμε γινόμενα περισσοτέρων τελεστών, περιπλέκοντας έτσι τους μεταθέτες στον τύπο BCH. Κάθε φορά προσπαθούμε να πολλαπλασιάσουμε το τ με τον κατάλληλο συντελεστή, ώστε ο αντίστοιχος όρος τάξης O(τ n ) του τύπου BCH να εξαφανίζεται! Διατήρηση της ενέργειας Αποδεικνύεται ότι ο συμπλεκτικός ολοκληρωτής 1ης τάξης της H(q,p) δίνει την ακριβή λύση του συστήματος κανονικών εξισώσεων που προκύπτει από τη συνάρτηση Hamilton H (q, p)=h + τ Η 1 + τ 2 H 2 + όπου H 1 =H q H p, H 2 = 1 12 ( H pp H q 2 +H qq H p 2 ), H 3 = και οι δείκτες δηλώνουν παραγώγιση ως προς την αντίστοιχη μεταβλητή. Με άλλα λόγια, ο ολοκληρωτής ολοκληρώνει επακριβώς ένα λίγο διαφορετικό σύστημα από το αρχικό, επίσης Χαμιλτονιανό. Επομένως, διατηρεί επακριβώς την τιμή της νέας συνάρτησης Hamilton και όχι της αρχικής. Αυτό σημαίνει ότι το σφάλμα στην ενέργεια (σε σχέση με την αρχική τιμή της Η) παραμένει πάντοτε φραγμένο σε όρους τάξης O( τ ). Σημειώνεται ότι η σύγκλιση της παραπάνω σειράς δεν είναι εξασφαλισμένη για κάθε τιμή του τ, και η οριακά επιτρεπτή τιμή εξαρτάται από το υπό μελέτη σύστημα (που σημαίνει ότι δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων...). Στην πράξη, αυτό που κάνει κανείς είναι να χρησιμοποιεί μια τέτοια τιμή του βήματος ώστε το σφάλμα στην ενέργεια ΔΕ / Ε = {( H (t) H (0))/ H (0)} να είναι μικρότερο μιας προκαθορισμένης ανεκτής τιμής (π.χ. ε=10-12 ). Η παραπάνω σχέση γενικεύεται για έναν ολοκηρωτή τάξης n, ώστε H (q, p)=h + τ n H n +. Ας σημειωθεί επίσης ότι η απόδειξη της έκφρασης των

6 H 1, H 2 κ.λ.π. στα παραπάνω, βασίζεται στον τύπο BCH. Εφαρμόζοντας τον τύπο για την περίπτωση του ολοκληρωτή 1ης τάξης, παίρνουμε exp(τ D )=exp(τ D Η T ) exp(τ D V ) D = D H T+ D V [ D T, D V ] +... απ' όπου προκύπτει H = T + V + τ 2 τ {V, Τ } = H + τ 2 H q H p + τ 2 ({{T, V }, V }+ {{V,T },T }) (H pp H q 2 +H qq H p 2 ) + τ Χωρισμός της συνάρτησης Hamilton με Μεικτές Μεταβλητές Μέχρι στιγμής ασχοληθήκαμε με συναρτήσεις Hamilton της μορφής (2). Η ίδια μεθοδολογία εφαρμόζεται επίσης σε κάθε συνάρτηση Hamilton (αυτόνομη) που μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, π.χ. H (q, p)=h 0 (q, p) + ε H 1 (q, p) (3) όπου ε μια μικρή παράμετρος. Στην περίπτωση αυτή οι δυο στοιχειώδεις συμπλεκτικές απεικονίσεις που χρησιμοποιούνται αντιστοιχούν στους τελεστές D H 0 ={, H 0 } και D H 1 ={, H 1 }. Είναι απαραίτητο οι δύο επιμέρους Χαμιλτονιανές να είναι ολοκληρώσιμες; Η απάντηση είναι όχι αλλά, στην περίπτωση που δεν είναι ολοκληρώσιμες, τότε δεν γνωρίζουμε την ακριβή τους λύση και η σύνθεση των απεικονίσεων μπορεί να μην είναι καν συμπλεκτική! Έστω ότι όντως οι δύο συναρτήσεις Η 0 και Η 1 είναι ολοκληρώσιμες. Τότε, η (3) αναπαριστά ένα σχεδόν ολοκληρώσιμο σύστημα, που αποτελεί και συνηθισμένο αντικείμενο μελέτης στη μη γραμμική δυναμική και ιδιαίτερα στην αστροδυναμική (π.χ. το περίφημο πρόβλημα των τριών σωμάτων). Ποια η διαφορά σε σχέση με τα προηγούμενα; Αν δηλαδή μια συνάρτηση Hamilton μπορεί να χωριστεί είτε σαν 'Τ+V' (T-V decomposition) ή σαν 'Η 0 +εη 1 ' (mixed variable decomposition, MVD), που είναι και η συνήθης περίπτωση, ποιος τρόπος είναι ο ενδεδειγμένος; Αν παρατηρήσετε τον τύπο BCH, είναι φανερό ότι, στην περίπτωση της MVD, μπροστά από κάθε απλό μεταθέτη των δύο τελεστών θα εμφανίζεται το ε ως παράγοντας. Επομένως, ο ολοκληρωτής 1ης τάξης θα διατηρεί επακριβώς την H = Η 0 + ε Η 1 + ε τ 2 {Η 1, Η 0 }+ ε 2 τ 2 12 ( {{Η 0, Η 1 }, Η 1 }+ {{Η 1, Η 0 },Η 0 }) + ε 3 τ 3... δηλαδή, το σφάλμα θα είναι τάξης O(ε τ ) (και όχι O(τ ) ) - πολύ μικρότερο απ' ό,τι προηγουμένως! Αν ε=0.001 (π.χ. στο πρόβλημα Ήλιος-Δίας-αστεροειδής, ο λόγος μαζών του Δία προς του Ήλιου είναι το ε και έχει τιμή περίπου ) τότε το σφάλμα του ολοκληρωτή σε μεικτές μεταβλητές, για ίδιο βήμα, θα είναι χίλιες φορές μικρότερο από το σφάλμα του ολοκληρωτή 'Τ+V'. Από την άλλη, η λύση του συστήματος είναι πολύ πιο απλή με τη μέθοδο 'Τ+V' απ' ό,τι

7 με τη μέθοδο MVD. Παράδειγμα, η συνάρτηση Hamilton Η = 1 2 (ẋ 2 + ẏ 2 )+ 1 2 x2 +2 y 2 ε xy 2 που προέρχεται από το ανάπτυγμα Taylor (τρίτου βαθμού) ενός επίπεδου, αξονικά συμμετρικού, γαλαξιακού δυναμικού, στη γειτονιά του συντονισμού 1:2. Ο χωρισμός 'Τ+V' δίνει T (v x,v y )= 1 2 (v 2 x+v 2 y ) και V ( x, y)= 1 2 x2 + 2 y 2 εxy 2. Ο ολοκληρωτής πρώτης τάξης προκύπτει από τη σύνθεση των απλών συμπλεκτικών απεικονίσεων S T : x' = x + τ v x, y ' = y + τ v y S V : v x ' = v x τ (x ' ε y' 2 ), v y ' = v y τ (4y' 2ε x ' y' ) ενώ, για τη μέθοδο MVD, οι συναρτήσεις Η 0 και Η 1 έχουν τη μορφή Η 0 = 1 2 (ẋ 2 + ẏ 2 )+ 1 2 x2 +2 y 2 και ε Η 1 = ε xy 2 και οι αντίστοιχες απεικονίσεις παίρνουν τη μορφή: S Η 0 : ( x' v ' x) ( = cos τ sin τ sin τ cos τ)( x v x), ( y' v' y) ( = S Η 1 : v ' ' x = v ' x + τ ε y' 2, v' ' y = v' y + 2 τ ε x ' y' cos 2τ sin 2τ sin cos 2τ)( y v y) Έτσι, απαιτούνται λιγότερες πράξεις για την επίλυση του 1ου συστήματος, απ' ό,τι του 2ου. Τελικά, η επιλογή της μεθόδου γίνεται με βάση τις εκτιμήσεις μας για την επιθυμητή ακρίβεια, σε σχέση με την πολυπλοκότητα των υπολογισμών, που επιδρά στην ταχύτητα εκτέλεσης. Πάντως, στις περιπτώσεις που η μέθοδος MVD είναι δυνατή και το ε αρκετά μικρό, η μέθοδος MVD είναι ασύγκριτα καλύτερη. Προβλήματα Τα μη γραμμικά συστήματα εν γένει συμπεριφέρονται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιοχές του χώρου των φάσεων. Κλασικό παράδειγμα αποτελεί το περιορισμένο πρόβλημα των τριών σωμάτων, όπου ένα δοκιμαστικό σωματίδιο (π.χ. αστεροειδές) κινείται στο βαρυτικό δυναμικό δύο μεγάλων σωμάτων (π.χ. Ήλιος και Δίας) που κινούνται σε κυκλική (ή ελλειπτική) τροχιά γύρω απ' το κέντρο μάζας. Ακόμη κι ένας ολοκληρωτής 2ης τάξης (μέθοδος MVD) δίνει, εν γένει, πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα η μεγαλύτερη τιμή του ε στο ηλιακό σύστημα είναι της τάξης του 0.01! Όμως, στο πρόβλημα αυτό, η Η 1 είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης του δοκιμαστικού σωματιδίου από το 2ο σώμα (π.χ. Δίας). Έτσι, αν το δοκιμαστικό σώμα πλησιάσει κοντά στο 2ο σώμα, η Η 1 παύει να είναι μικρή διαταραχή της Η 0! Τότε, η σειρά της H αποκλίνει και η συμπλεκτική ολοκλήρωση παύει να αποτελεί καλή προσέγγιση της πραγματικής τροχιάς. Η κλασική μέθοδος αντιμετώπισης παρόμοιων φαινομένων κατά την αριθμητική ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων είναι η χρήση μεταβλητού βήματος (δηλαδή, ο έλεγχος της ακρίβειας σε κάθε βήμα και η ελάττωση ή μεγέθυνση του βήματος ολοκλήρωσης, αναλόγως) Δυστυχώς, στην περίπτωση της συμπλεκτικής ολοκλήρωσης αυτό είναι απαγορευμένο! Ο λόγος είναι ότι, αλλάζοντας το βήμα, αλλάζουμε τη Χαμιλτονιανή H που επιλύει επακριβώς ο ολοκληρωτής. Έτσι, καταστρέφεται η συμπλεκτική ιδιότητα της σύνθετης απεικόνισης. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να

8 αντιμετωπιστεί με τον κατάλληλο συνδυασμό μεταβολής τόσο του βήματος όσο και των τελεστών-στοιχειωδών απεικονίσεων που χρησιμοποιούμε, ώστε η μεταβολή του βήματος να γίνεται με συμπλεκτικό τρόπο (κάτι που γενικά δεν είναι εύκολη υπόθεση...) Εκτός των μεθόδων που αναπτύξαμε σε αυτό το κεφάλαιο, υπάρχουν πολλές ακόμη μέθοδοι κατασκευής συμπλεκτικών ολοκληρωτών, που μπορεί να φανούν χρήσιμες σε έναν ερευνητή, ανάλογα πάντοτε με το πρόβλημα που έχει να επιλύσει. Μια καλή περιγραφή διαφόρων μεθόδων δίνεται στις παρακάτω δημοσιεύσεις: H. Yoshida, 1993, Cel. Mech. Dyn. Astron. 56, p. 27 Duncan M., Levison H.F., Lee M.-H., 1998, Astron. J., 116, p Chambers J, Murison M., 2000, Astron. J., 119, p. 425 Laskar J., Robutel Ph., 2001, Cel. Mech. Dyn. Astron. 80, p. 39