2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
|
|
- Ίακχος ÍΑἰνείας Γεωργίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων αυτών είναι = και + 5cos=. Αρκετές από τις τεχνικές που θα παρουσιασθούν είναι πλέον κατάλληλες για την εύρεση ριζών πολυωνύμων αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθούν και για την εύρεση ριζών μη-γραμμικών εξισώσεων (trascedetal equatios όπως + e cos =. Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές απαιτείται μόνο η εύρεση των πραγματικών ριζών ενώ συχνά και η εύρεση των μιγαδικών ριζών είναι αναγκαία. Το γενικό πρόβλημα της αριθμητικής επίλυσης εξισώσεων διαπραγματεύεται την εύρεση όλων των ριζών μίας εξίσωσης οποιαδήποτε μορφής χωρίς να υπάρχει πληροφορία σχετικά με την θέση τους ή την μορφή τους (πραγματικές ή μιγαδικές. Το πρόβλημα της αριθμητικής εύρεσης των ριζών μίας εξίσωσης είναι πιο απλό όταν αναζητούμε μία ρίζα για την οποία γνωρίζουμε εκ των πρότερων ότι βρίσκεται σε κάποιο προκαθορισμένο διάστημα. Έστω ότι η εξίσωση της οποίας επιθυμούμε να βρούμε την λύση αριθμητικά (να υπολογίσουμε τις ρίζες με αριθμητικές μεθόδους είναι f( = (. Στην γενική περίπτωση f = ( f, f,..., f T και = (,,..., T είναι διανύσματα της ίδιας διάστασης και οι συναρτήσεις f μπορεί να είναι πολυώνυμα ή μη γραμμικές συναρτήσεις (δηλαδή σύστημα γραμμικών ή μη εξισώσεων βαθμού δεύτερου ή μεγαλύτερου. Όταν = έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους π.χ. για = έχουμε το σύστημα y + y =, y + y =. Όταν = έχουμε μόνο μία εξίσωση π.χ. e si = της οποίας οι ρίζες μπορεί να βρεθούν με την μέθοδο της διχοτόμησης που είναι απλή στην κατανόηση και την εφαρμογή της αλλά σχετικά αργή στην σύγκλισή της. Η μέθοδος της διχοτόμησης (bisectio ethod περιγράφεται παρακάτω.. Μέθοδος της διχοτόμησης Η μέθοδος της διχοτόμησης μπορεί να εφαρμοσθεί μόνον όταν η μεταβλητή είναι πραγματική και η συνάρτηση f ( είναι συνεχής και έχει πραγματικές ρίζες. Η εφαρμογή της μεθόδου είναι απλή. Αρχικά επιλέγονται δύο σημεία δοκιμής A και τέτοια ώστε οι τιμές f ( και f ( δηλαδή f( f( <, τότε η συνεχής B A B συνάρτηση f ( πρέπει να έχει μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (,. Η διαδικασία συνεχίζεται εκλέγοντας ένα νέο σημείο δοκιμής, C, που είναι το μέσο του διαστήματος (,, με συντεταγμένη = ( + / και υπολογίζεται η τιμή A B C A B f ( C. Εάν f( C = ± ε, όπου ε είναι προκαθορισμένο αποδεκτό σφάλμα, η μέθοδος συνέκλινε στην ρίζα. Εάν f( C τότε εξετάζεται εάν f( A f( C < ή f( f( <, επιλέγεται το διάστημα για το οποίο οι τιμές αλλάζουν πρόσημο και B C A B A B
2 επαναλαμβάνεται η διαδικασία βρίσκοντας ένα νέο σημείο D που είναι το μέσο του τμήματος που επιλέχθηκε. Η διαδικασία εύρεσης ρίζας με την μέθοδο της διχοτόμησης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα. Βήματα της μεθόδου διχοτόμησης για την εύρεση ριζών εξισώσεων. Το μήκος του διαστήματος το οποίο περιέχει την ρίζα μειώνεται κατά 5% σε κάθε βήμα εφαρμογής της μεθόδου. Η μέθοδος διχοτόμησης συγκλίνει γραμμικά και η σύγκλιση της μεθόδου είναι εξασφαλισμένη εάν τηρούνται οι προϋποθέσεις συνέχειας και πραγματικής συνάρτησης. Το απόλυτο σφάλμα της μεθόδου διχοτόμησης μετά από βήματα είναι / + και το μέγιστο απόλυτο σφάλμα είναι A B / δηλαδή ο αριθμός των διχοτομήσεων (επαναλήψεων που απαιτούνται για την εύρεση της ρίζας με προκαθορισμένο σφάλμα ε είναι > log / ε. Δηλαδή ο αριθμός των επαναλήψεων που απαιτούνται για να A B μειωθεί η αβεβαιότητα εύρεσης της ρίζας από την διχοτόμηση του πρώτου διαστήματος Δ = στην διχοτόμηση του ου διαστήματος Δ = B A A B B A είναι = log( Δ / Δ / log. Η μέθοδος της διχοτόμησης για την εύρεση των ριζών έχει επαναληπτικό χαρακτήρα αλλά αργή σύγκλιση παρακάτω θα διαπραγματευτούμε επαναληπτικές μεθόδους με ταχεία σύγκλιση..3 Επαναληπτικές μέθοδοι Πολλές από τις μεθόδους εύρεσης των ριζών της Εξ. (. είναι επαναληπτικές και έχουν την μορφή = g + ( (. όπου g είναι μία κατάλληλα επιλεγμένη συνάρτηση και είναι κάποια αρχική πρόβλεψη για την λύση της εξίσωσης. Η σύγκλιση των επαναλήψεων της Εξ. (. είναι εξασφαλισμένη όταν η απεικόνιση g ( έχει την ιδιότητα g ( g ( M y για κάποιο μέτρο του συναρτησιακού χώρου i και μία σταθερά Μ< για κάθε και y στο πεδίο
3 ορισμού. Τότε η επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει διότι (όπως μπορεί να αποδειχθεί η απεικόνιση έχει ένα σταθερό σημείο p στο πεδίο ορισμού της που ικανοποιεί την σχέση: p= g( p (.3 Οι επαναληπτικές μέθοδοι είναι κατάλληλες για την εύρεση πραγματικών και μιγαδικών ριζών, όταν αναζητούνται μιγαδικές ρίζες οι μέθοδοι επίλυσης πρέπει να προγραμματισθούν με δηλώσεις μιγαδικών μεταβλητών. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι επαναληπτικές μέθοδοι απαιτούν μια αρχική πρόβλεψη ή εκτίμηση της τιμής της ρίζας ή των ριζών. Το πρόβλημα εύρεσης μίας καλής αρχικής εκτίμησης, ιδιαίτερα για συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων παραμένει ανοικτό. Στην απλή περίπτωση μίας εξίσωσης f( =, π.χ. + 5cos=, η χρήση της γραφικής παράστασης από την οποία μπορούμε να εκτιμήσουμε την θέση της ρίζας με ικανοποιητική ακρίβεια είναι επαρκής. Οι μέθοδοι εύρεσης ριζών με μεγάλη τάξη ακρίβειας απαιτούν συνήθως καλές αρχικές εκτιμήσεις και πολλές φορές καθίσταται αναγκαίο να χρησιμοποιήσουμε αρχικά μία απλή μέθοδο και κατόπιν, όταν προσεγγίσουμε την πραγματική λύση (ρίζα να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο υψηλής τάξης ακρίβειας, η οποία έχει και μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος, μόνο για λίγες επαναλήψεις..3. Επαναληπτική διαδικασία Το γενικό πρόβλημα των επαναληπτικών μεθόδων συνίσταται στην εύρεση των ριζών της εξίσωσης f ( =, [ a, b] (.4 στο διάστημα a b. Κάθε εξίσωση f( = μπορεί να γραφεί στην παρακάτω ισοδύναμη μορφή g( = ή = g( (.5 Μέθοδοι εύρεσης της ρίζας με την επαναληπτική διαδικασία = + g ( θα παρουσιασθούν στο επόμενο κεφάλαιο. Θεωρούμε την συνάρτηση φ( τέτοια ώστε τότε η εξίσωση < φ( <, a b (.6 g ( = φ( f( (.7 έχει τις ίδιες ρίζες με την εξίσωση f( = στο διάστημα a b. Θα δούμε παρακάτω ότι οι περισσότερες επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιούν ειδικές μορφές της συνάρτησης φ(. Ένας άλλος τρόπος ορισμού της συνάρτησης g( είναι ( g ( = F f( (.8 3
4 όπου ης συνάρτηση F( y ορίζεται με τέτοιον τρόπο ώστε να ικανοποιεί τις συνθήκες F( = και F( y, y (.9.3. Επαναληπτική μέθοδος χορδής Η επαναληπτική μέθοδος χορδής χρησιμοποιεί την απλούστερη μορφή της συνάρτησης φ( = και όταν η συνάρτηση f ( είναι παραγωγίσιμη τότε g ( = f ( (. Μπορεί δε να αποδειχθεί ότι η επαναληπτική διαδικασία = + g(, =,,... συγκλίνει για κάποιο διάστημα γειτονικό της ρίζας, ρ,(f(ρ = όταν η τιμή της σταθεράς βρίσκεται στο διάστημα < f ( ρ <. Τότε η επαναληπτική διαδικασία για την εύρεση της ρίζας για την επιλογή φ=, < f ( ρ < είναι = + f(, =,,... (. και έχει τη απλή γεωμετρική ερμηνεία του παρακάτω σχήματος όπου φαίνεται ότι η τιμή + είναι η τομή του οριζόντιου άξονα με την ευθεία που έχει κλίση / και, f(. άγεται από το σημείο ( Σχήμα. Γεωμετρική ερμηνεία της επαναληπτικής μεθόδου χορδής..3.3 Μέθοδος διαδοχικών αντικαταστάσεων Η μέθοδος διαδοχικών αντικαταστάσεων είναι μία επαναληπτική μέθοδος πιο γενική των προηγουμένων διότι δεν έχει τον περιορισμό σχετικά με την μορφή της συνάρτησης f ( να είναι πολυώνυμο. Η εξίσωση, f( =, της οποίας αναζητούμε την λύση, ρ, γράφεται και πάλι στην μορφή = g (. Τότε όταν f( ρ =, ρ = g( ρ. Αρχίζοντας από μία αρχική προσέγγιση,, της ρίζας υπολογίζουμε και πάλι με την 4
5 τεχνική των διαδοχικών επαναλήψεων τις προσεγγίσεις επαναληπτική σχέση, 3,... από την = + g ( (. Η πορεία της επαναληπτικής διαδικασίας απεικονίζεται στο Σχ. 3 για δύο περιπτώσεις. Στο Σχ. 3.a έχουμε σύγκλιση ενώ στο Σχ. 3.b παρουσιάζεται απόκλιση της μεθόδου. (α Σχήμα 3. (b Γεωμετρική αναπαράσταση της μεθόδου διαδοχικών αντικαταστάσεων. Σύγκλιση επιτυγχάνεται όταν για κάποια μικρή τιμή της σταθεράς ε, τέτοια ώστε < ε < ισχύει η ανισότητα g ( g( ρ ε ρ, ρ ρ (.3 Διότι όταν η παραπάνω ανισότητα ισχύει τότε ρ = g( ρ = g( g( ρ ε ρ Δηλαδή ρ = g( ρ = g( g( ρ ε ρ ρ ρ ρ = ρ = ρ ε ρ ρ ρ g( g( g( (.4 ρ < ρ ρ και ρ = li (.5 Η συνθήκη της ανισότητας Εξ. (.3 πληρούται όταν η συνάρτηση g( παράγωγο g ( η οποία είναι τέτοια ώστε να πληρεί την παρακάτω ανισότητα έχει g ( ρ <, ρ < ρ (.6 Η επαναληπτική διαδικασία του σχήματος 4.b αποκλίνει διότι f ( >. Όταν η τιμή είναι κοντά στην ρίζα ρ τότε ισχύει η προσεγγιστική σχέση + ρ g ( ρ( ρ (.7 Και η παράγωγος g ( ρ ονομάζεται παράγοντας ασυμπτοτικής σύγκλισης. 5
6 .3.4 Μέθοδος Newto Η μέθοδος Newto αντιστοιχεί σε μεταβαλλόμενη κατά την διαδικασία επανάληψης εκλογή της κλίσης η οποία επιλέγεται έτσι ώστε (.8 g ( = f ( = ή = f ( η παραπάνω επιλογή της κλίσης συνεπάγεται ότι φ( = / f ( ή g ( = f( / f ( και η επαναληπτική διαδικασία της μεθόδου Newto είναι f ( = + f ( μέθοδος Newto (.9 Η μέθοδος Newto είναι ειδική περίπτωση της μεθόδου διαδοχικών αντικαταστάσεων. Η συγκεκριμένη εκλογή της συνάρτησης g( καθιστά την μέθοδο Newto δεύτερης τάξης ακρίβειας, δεδομένου ότι f ( ρ και ότι η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, f (, στην ρίζα f ( ρ = υπάρχει f ( ρ διότι g ( ρ = f ( ρ f ( ρ / [ f ( ρ] =. Η γεωμετρική αναπαράσταση της επαναληπτικής διαδικασίας της μεθόδου Newto φαίνεται στο παρακάτω σχήματα. Σχήμα 4.a Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Newto για κοίλη συνάρτηση. 6
7 Σχήμα 4.b Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου Newto για κυρτή συνάρτηση. Είναι προφανές ότι η μέθοδος Newto αντικαθιστά την χορδή με την εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης σε κάθε βήμα της επανάληψης. Όταν η συνάρτηση f ( είναι πολυώνυμο βαθμού ή τότε f ( = + a a + a. ( f r a r a r r ( = ( a + +. = f ( = ( r b + b, b = b r+ a. Η τιμή της παραγώγου στο σημείο r δίνεται από ( =.3 = f b και όταν r = ρ είναι μία ρίζα του πολυωνύμου τότε li + ( ρ ρ f ( ρ = f ( ρ.4 που σημαίνει ότι η σύγκλιση της μεθόδου Newto είναι και πάλι τετραγωνική. 7
8 Απόδειξη τετραγωνικής σύγκλισης της μεθόδου Newto Θεωρούμε το δεύτερης τάξης ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης γύρω από την ρίζα. = ρ + ρ ρ + ρ ρ + ρ ξ < ξ < ρ.5! 3! 3 f( f( ( f ( ( f ( ( f (, Τότε η μέθοδος Newto είναι f( f( ρ + ρ = ( ρ f ( 3 ( ρ ( ρ = ( ρ ( ρ f ( ρ + f ( ρ + f ( ξκ f ( 6 = ρ ρ ρ ( f ( f ( f ( ( ρ f ( ξκ f ( ρ 6.6 αλλά στο όριο της επανάληψης βρίσκουμε την ρίζα li = ρ, δηλαδή ( li ρ f f f ( ( + ρ ρ = ρ = ρ f ( ρ f ( ρ Η μέθοδος Newto για μιγαδικές συναρτήσεις Η μέθοδος Newto έχει ευρύτατη εφαρμογή και χρησιμοποιείται για την εύρεση ριζών συναρτήσεων (γραμμικών και μη-γραμμικών καθώς και πολυωνύμων. Η μέθοδος Newto μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην γενική περίπτωση που η συνάρτηση f ( z είναι μιγαδική z = + iy, f( z = u(, y + iυ(, y, τότε οι μιγαδικές ρίζες βρίσκονται από την παρακάτω επαναληπτική διαδικασία. f ( z z = z +.8 f ( z που ισοδυναμεί με την επαναληπτική διαδικασία για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ξεχωριστά u u υ u y + = u u + y (, y.9 u u υ u y y+ = y u u + y (, y 8
9 Η παραπάνω επαναληπτική διαδικασία εύρεσης των ριζών μιγαδικής συνάρτησης είναι ειδική περίπτωση της μεθόδου Newto Raphso, η οποία χρησιμοποιείται για την εύρεση ριζών συστημάτων γραμμικών ή μη-γραμμικών εξισώσεων και την οποία θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Η δε ρίζα της μιγαδικής συνάρτησης f ( z είναι το σημείο στο μιγαδικό επίπεδο για το οποίο uy (, = υ( y, =. Η απόδειξη της σύγκλισης της μεθόδου Newto για μιγαδικές συναρτήσεις επιτυγχάνεται με την εφαρμογή των συνθηκών Cauchy-Riea ( u/ = υ / y, u/ y = υ / στην μέθοδο Newto Raphso..3.6 Η μέθοδος Newto Raphso Η μέθοδος Newto Raphso αποτελεί γενίκευση της μεθόδου Newto και χρησιμοποιείται για την εύρεση της λύσης (ριζών συστήματος γραμμικων ή μηγραμμικών εξισώσεων της μορφής f (,,..., = f (,,..., =... f (,,..., =.3 για πραγματικές συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών,,..., που T συμβολίζονται ως f ( = f ( και με τον συμβολισμό = [,,..., ] για το T διάνυσμα των αγνώστων και ρ = [ ρ, ρ,..., ρ ] για το διάνυσμα των ριζών του συστήματος f ( ρ =. Οι ρίζες του συστήματος βρίσκονται με την παρακάτω επαναληπτική διαδικασία όπου = + + Φ f ( ( ( f, f,..., f (,,..., fi ( Φ ( = fi ( = =.3 Είναι το Ιακοβιανό μητρώο (Jacobia atri του συστήματος των εξισώσεων το οποίο σε αναλυτική μορφή είναι f f f... f f f f (... i ( fi ( Φ = = = f f f... 9
10 Αρχίζοντας την επανάληψη με το διάνυσμα της αρχικής προσέγγισης της λύσης (το οποίο δεν είναι γνωστό αλλά για το οποίο πρέπει να έχουμε μία καλή αρχική τιμή iitial guess Τ =,,...,.33 Η επαναληπτική διαδικασία που ορίζεται από την μέθοδο Newto Raphso συγκλίνει όταν οι συνιστώσες του Ιακωβιανού μητρώου Φ( είναι συνεχείς στην Τ γειτονία της ρίζας ρ= ρ, ρ,..., ρ, f ( ρ = και όταν η ορίζουσα του Ιακωβιανού μητρώου στην γειτονία της ρίζας είναι διαφορετική του μηδενός det Φ( ρ. Δηλαδή όταν το διάνυσμα είναι κοντά στην ρίζα και οι παραπάνω συνθήκες πληρούνται τότε li = ρ. Η απόδειξη της παραπάνω πρότασης είναι ως ακολούθως: Απόδειξη Εξ υποθέσεως f ( ρ = και συμβολίζοντας με δ την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων, δ = +, τότε δ είναι λύση του συστήματος Φ ( δ = f (, δηλαδή δ = Φ( f( ρ f(.34 [ ] ( Από το θεώρημα της μέσης τιμής έχουμε f ( f ( ρ = f ρ+ ξ ( ρ ( ρ, ξ < ( i i i i i = =Ψ [ ] ( ρ.35 όπου η i th γραμμή του μητρώου [ Ψ ] είναι f ρ ξ ρ f ρ ξ ρ f ρ ξ ρ ( + (, ( + (,..., ( + ( i i i i i i.36 τότε ρ = ρ + δ = [ Φ ( + ] ( Φ ( Ψ ( ρ.37 Όπου τα στοιχεία του μητρώου ( Φ( Ψ είναι της μορφής f ( f ρ + ξ ( ρ ( i i i.38 τα στοιχεία του μητρώου μπορεί όμως να είναι αυθαίρετα μικρά όταν η αρχική μας πρόβλεψη,, για την επαναληπτική διαδικασία Newto Raphso, η οποία
11 βρίσκεται στην περιοχή ρ h, i i < <. Τότε δεδομένου ότι [ Φ ] i det ( ισχύει < μ <, ρ hμ, < i< που σημαίνει ότι η ακολουθία συγκλίνει στην λύση i ρ. i { } Παράδειγμα Εύρεση της λύσης του συστήματος si( f(, y = = 4π e f(, y = ( e e e+ = 4π π Οι παράγωγοι των συναρτήσεων που εμφανίζονται στο Ιακωβιανό μητρώο είναι ( f, f f f cos( cos( + + 4π Φ ( = = = (, f f e αλλά Φ ( = f ( e+ e π π δ, δηλαδή f f f Δ + Δ = f (, f Δ + Δ = f (, οπότε f f Δ f f D = det [ Φ( ] δ = = f f f f = Δ, D f f f f Και η επαναληπτική διαδικασία είναι = +Δ + [ ( ] ( = Φ f Εκλέγουμε την αρχική τιμή = [ ].4,.3 T και η λύση βρίσκεται με την επαναληπτική διαδικασία που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα
12 f f f f f f D Δ Δ Παράδειγμα Εύρεση ριζών της μιγαδικής συνάρτησης f z z 4 z 3 ( z z ( = /4= που ( ( 3/( / ( 3/ 3 / δηλαδή γράφεται και ως f z = z z+ z + i z ( i έχει ρίζες z = 3/, z = /, και z3,4 = (± i 3 / Για να βρούμε τις ρίζες αριθμητικά ξεχωρίζουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης f( z = u(, y + iυ( y,. Το πραγματικό, uy (,, και το φανταστικό, υ( y,, μέρος είναι u y y y y y (, = (5 5 3/4 υ y y y y y y y (, = ( /4 και οι παράγωγοι αυτών που απαιτούνται για την επαναληπτική διαδικασία υu uu υu uu = + y = y + + ( u ( u + y ( u (, u + y y +, y είναι u y y y 3 (, = ( /4 u y y y y y 3 y (, = 4 + / 4 Η επαναληπτική διαδικασία φαίνεται στον παρακάτω πίνακα ( ( u υ u u y ( + (
13 Οι ρίζες της μιγαδικής συνάρτησης f( z = μπορεί να βρεθούν και με τη απ ευθείας εφαρμογή της μεθόδου Newto Rphsoa αναζητώντας την λύση του μη γραμμικού συστήματος uy (, = υ( y, = u u (, y u υ Φ ( y, = = ( y, υ υ y Λόγω των συνθηκών Cauchy Riea έχουμε u/ = υ / y και οπότε η ορίζουσα του μητρώου είναι det Φ = ( u/ + ( u/ y u/ y = υ / δ u υ u u υ u υ u Δ y y y Φ Φ u u u υ u υ y = = = Δ det υ u det και η επαναληπτική διαδικασία είναι + = + δ Η οποία είναι η ίδια με την διαδικασία που ακολουθείται με την εφαρμογή τηε μεθόδου Newto υπό μορφή συνιστωσών..3.7 Η μέθοδος Regula Falsi είναι Η μέθοδος Newto για την εύρεση ριζών πραγματικής συνάρτησης f ( = + + f ( f( =.39 Και έχει την γεωμετρική ερμηνεία που απεικονίζεται στο Σχ. 3. Είναι προφανές ότι η επανάληψη συγκλίνει στην ρίζα μόνον όταν ης συνάρτηση είναι κοίλη προς τα άνω, όπως στο Σχ. 3, ή όταν είναι κοίλη προς τα κάτω στην περιοχή μεταξύ της ρίζας, ( ρ,, και του σημείου επανάληψης (, f(. Συναρτήσεις οι οποίες έχουν σημείο καμπής (δηλ. συναρτήσεις οι οποίες από κοίλες για κάποιο διάστημα γίνονται κυρτές μπορεί να παρουσιάσουν απόκλιση. Η απόκλιση από την λύση κατά την διάρκεια της επανάληψης απεικονίζεται στο Σχ. 4 για μία συνάρτηση με σημεία καμπής. 3
14 Σχήμα 4. Γεωμετρική ερμηνεία της απόκλισης επανάληψης για μια συνάρτηση που δεν είναι μόνο κοίλη ή μόνο κυρτή. Σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασία μπορεί να επιτευχθεί με την παρακάτω τροποποίηση που συνιστά την μέθοδο εύρεσης ριζών η οποία είναι γνωστή και ως μέθοδος λανθασμένης θέσης (false positio. Η γραφική ερμηνεία της μεθόδου λανθασμένης θέσης απεικονίζεται στο Σχ. 5. Σχήμα 5. Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου false positio. Θεωρούμε ένα σταθερό σημείο C ( c, f( c σταθερό σημείο και το σημείο X (, f(, την χορδή η οποία ορίζεται από το (, και το σημείο X στο, + + οποίο η χορδή ( CX + τέμνει τον άξονα. Η παραπάνω γεωμετρική κατασκευή έχει την αλγεβρική αναπαράσταση: + cf ( f ( c = f ( f( c.4 Το δε σημείο + δίδει μία καλύτερη προσέγγιση της ρίζας και η επανάληψη για το επόμενο σημείο + είναι + cf ( + f ( c = f ( f( c +.4 4
15 και φαίνεται ότι προσεγγίζει την ρίζα αντί να αποκλίνει όπως στην κλασσική μέθοδο Newto. Η επανάληψη σταθερού σημείου των Εξ. (.4-(.4 έχει την παρακάτω ερμηνεία η οποία βασίζεται στην μέθοδο διαδοχικών αντικαταστάσεων των προηγουμένων κεφαλαίων. Έστω ότι το δεξί μέλος της Εξ. (.4 είναι F( cf( f( c F( = f ( f( c.4 όπου f( c επειδή το σταθερό σημείο, c, εξ υποθέσεως δεν είναι ρίζα. Όταν το σημείο,, κατά την διάρκεια της επανάληψης της Εξ. (.4 είναι η ρίζα τότε, = ρ, f ( ρ =, συνεπώς F( ρ = ρ. Η παράγωγος της συνάρτησης F( της Εξ. (.4 είναι ( c f ( + f( c f( F ( = f( c [ f( f( c ].43 και όταν = ρ (δηλ.,, είναι η ρίζα της συνάρτησης f ( η παράγωγος της F( (δες Εξ. (.43 έχει την τιμή f ( ρ F ( ρ = + ( ρ c.44 f ( c Δηλαδή η σύγκλιση της επαναληπτικής μεθόδου της Εξ. (.4 μπορεί να είναι πολύ καλή όταν το σταθερό σημείο, C (, c f( c, έχει επιλεχθεί κατάλληλα. Επιπλέον η επαναληπτική διαδικασία σταθερού σημείου της Εξ. (.4 έχει μικρότερο υπολογιστικό κόστος από την κλασσική μέθοδο Newto επειδή δεν απαιτεί τον υπολογισμό παραγώγου της συνάρτησης. Μία άλλη τεχνική (Regula-Falsi ethod για την αριθμητική εύρεση ριζών συναρτήσεων απεικονίζεται στο Σχ. 6. Η μέθοδος Regula-Falsi συνδυάζει τα χαρακτηριστικά των μεθόδων διχοτόμησης και της επαναληπτικής μεθόδου σταθερού σημείου η οποία παρουσιάστηκε προηγουμένως. Έστω ότι για την εκλογή δύο αρχικών τιμών, τιμές της συνάρτησης f ( L και ότι η τομή της χορδής, (,, και, L R, οι αντίστοιχες f ( R έχουν διαφορετικό πρόσημο. Έστω ακόμη ( f L L (, ( R R f με τον άξονα είναι το σημείο,, η συντεταγμένη του οποίου δίδεται από την σχέση = f( f( L R R L f ( f( R L.45 5
16 Σχήμα 6. Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδουregula Falsi. Όταν f( = (δηλαδή και f ( έχει το ίδιο πρόσημο με την τιμή της συνάρτησης σημεία = και το σημείο L L = ρ η διαδικασία τερματίζεται. Όταν όμως R πρόσημο με την τιμή της συνάρτησης σημείο R R. Αντίστοιχα όταν f ( εκλέγουμε το σημεία L f( f ( R εκλέγουμε το f ( έχει το ίδιο L και το. Η διαδικασία εκλογής νέου σημείου επαναλαμβάνεται με την χρήση της Εξ. (.45 και την δημιουργία σειράς σημείων. + = f( f( L R R L f ( f( R L.45 τα οποία διαδοχικά προσεγγίζουν την ρίζα της συνάρτησης..4 Αριθμητικές μέθοδοι εύρεσης ριζών πολυωνύμων Οι μέθοδος Newtο πρέπει να επαναληφθεί πολλές φορές για την εύρεση ριζών πολυωνύμων και η χρήση άλλων ταχύτερων μεθόδων είναι πιο ενδεδειγμένη. f είναι πολυώνυμο βαθμού της μορφής Θεωρούμε ότι συνάρτηση ( f ( = + a a + a = = = a, a = = ( ρ ( ρ... ( ρ = = ( ρ (.46 με συντελεστές a και ρίζες ρ που υποτίθεται ότι ρ ρ... ρ 6
17 .4. Η μέθοδος Beroulli Η μέθοδος Beroulli χρησιμοποιείται για την εύρεση των ριζών πολυωνύμων της μορφής f ( = a και εφαρμόζεται με τον ορισμό της σειράς πραγματικών = αριθμών u, για, και των βοηθητικών σειρών υ και t για u = a u = υ = u u u + t = u u u u + (.47 όταν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες τότε μπορεί να απoδειχθεί ότι: u = c ρ + c ρ +... c ρ και όταν u ρ > ρ li = ρ u (.48 ενώ όταν υ li = ρ ρ υ = > 3 t + li = ρ + ρ υ ρ ρ ρ (.49 Αρχίζοντας με την εκλογή την u = για < και u υπολογίζουμε τις σειρές της Εξ. (.6. ή της Εξ. (.6. και βρίσκουμε διαδοχικά τις ρίζες του πολυωνύμου επαναλαμβάνοντας την διαδικασία μέχρι να βρεθούν όλες οι ρίζες. Παράδειγμα 4 3 Θεωρούμε το πολυώνυμο p ( = + (5 3/4. Η σειρά u για αυτό το πολυώνυμο είναι: u = u.5u +.5u +.75u 3 4 Με αρχική επιλογή u = u = u =, < και u 3 = καταλήγουμε σε μία επαναληπτική διαδικασία η οποία όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα συγκλίνει σε 5 κύκλους στην πρώτη ρίζα του πολυωνύμου. 7
18 Σύγκλιση της μεθόδου Beroulli u u / u ρ Η πρώτη ρίζα του πολυωνύμου είναι ρ =.5 και παρατηρούμε ότι η μέθοδος Beroulli προσεγγίζει την τιμή της ρίζας σε λίγες σχετικά επαναλήψεις δηλαδή η διαδικασία συγκλίνει γρήγορα. Η διαδικασία εύρεση ριζών με την μέθοδο Beroulli πρέπει να επαναληφθεί για κάθε μία ρίζα ξεχωριστά μέχρι να βρεθούν όλες οι ρίζες. Όταν υπάρχει διπλή ρίζα τότε απαιτείται η χρήση της σειράς που ορίζεται από την Εξ. (.6.. Η μέθοδος Beroulli είναι εύκολο να προγραμματισθεί αλλά απαιτεί διαίρεση του αρχικού πολυωνύμου με το μονώνυμο ( ρ ή του διωνύμου ( ρ+ ρ + ρρ σε περίπτωση διπλής ρίζας και δεν συνίσταται για την εύρεση ριζών πολυωνύμων μεγάλου βαθμού..4. Διαδοχική παραγοντοποιήση πολυωνύμου Η μέθοδος Beroulli είναι χρήσιμη για την εύρεση των ριζών πολυωνύμου διαδοχικά (μετά από την εκτέλεση της διαίρεσης με το μονώνυμο και έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και όταν υπάρχουν διπλές ρίζες. Όταν δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες συνίστατο η μέθοδος Newto για την οποία είναι και πάλι προτιμότερο να εκτελέσουμε την διαίρεση του αρχικού πολυωνύμου p ( με το μονώνυμο ( ρ και να επαναλάβουμε την διαδικασία εύρεσης ρίζας για το πολυώνυμο p ( μέθοδο Newto για το πολυώνυμο που προκύπτει από την διαίρεση και να επαναλάβουμε την p ( κ.ο.κ. Θεωρούμε την διαίρεση πολυωνύμου p ( βαθμού με πολυώνυμο p ( βαθμού <. 8
19 p ( = a, a = = = p ( = b, b = (.5 Ορίζουμε σειρά αριθμών, r, για τέτοιους ώστε br = a, r = < (.5 = το πολυώνυμο h ( βαθμού και την σειρά συντελεστών q = h ( = r q = b r l l l= (.5 τότε ( = ( ( + (.53 = p p h q = εάν το πολυώνυμο p ( βαθμού έχει ένα παράγοντα c, c = τότε όπου β = και r ( β l l = = p c = (.54 ( β ( ( ( (, β,..., β li,,..., = r r r ( ενώ οι αριθμοί ( σχετίζονται με τους αριθμούς με την σχέση l b l (.55 ( ( ( bl r = a, bs =, s< (.56 l= ( Οι αριθμοί b + ( υπολογίζονται από τους αριθμούς b, ( l λύνοντας πρώτα το γραμμικό σύστημα ( ( ( ( bl ψ l = r, ψs =, s< (.57 l= και κατόπιν το γραμμικό σύστημα ( + ( ( ( bl ψ l = r ψ, + (.58 l= l 9
20 της Εξ. (.7 πληρούται όταν η συνάρτηση g( έχει παράγωγο g ( η οποία είναι τέτοια ώστε να πληρεί την παρακάτω ανισότητα g ( ρ <, ρ < ρ (.59 Η επαναληπτική διαδικασία του σχήματος 4.b αποκλίνει διότι f ( >. Όταν η τιμή είναι κοντά στην ρίζα ρ τότε ισχύει η προσεγγιστική σχέση ρ g ( ρ( ρ (.6 + Και η παράγωγος g ( ρ ονομάζεται παράγοντας ασυμπτοτικής σύγκλισης..4.3 Η μέθοδος Ward Η μέθοδος του Ward χρησιμοποιείται για την εύρεση ριζών συναρτήσεων και πολυωνύμων μιγαδικών μεταβλητών. Θεωρούμε το πολυώνυμο f ( z της μιγαδικής μεταβλητής z = + iy f ( z = u(, y + iυ(, y.6 το οποίο έχει ρίζες r = β + iγ όταν u( β, γ = υ( β, γ =. Η μέθοδος του Ward βρίσκει τις ρίζες του μιγαδικού πολυωνύμου f ( z ελαχιστοποιώντας το μέτρο του μιγαδικού πολυωνύμου wz ( = uy (, + υ( y,.6 Σε κάθε περιοχή του σημείου z = (, y του μιγαδικού επιπέδου για το οποίο το μιγαδικό πολυώνυμο, wy (,, υπάρχει ένα σημείο z' = ( ', y' τέτοιο ώστε w ( ', y' < wy (,. Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί όταν υποθέσουμε ότι υπάρχουν οι παράγωγοι της μιγαδικής συνάρτησης f ( z. Όταν δε η συνάρτηση είναι ένα μιγαδικό πολυώνυμο τότε η τάξη των παραγώγων οι οποίες υπάρχουν καθορίζει και τον βαθμό του πολυωνύμου. Συνεπώς η μέθοδος Ward ισχύει και για μιγαδικά πολυώνυμα. Η υλοποίηση της μεθόδου Ward υλοποιείται με την παρακάτω επαναληπτική διαδικασία. Σε κάθε βήμα της επανάληψης η τιμή wy (, συγκρίνεται με τις γειτονικές τιμές w ( + hy,, w ( hy,, wy (, + h, wy (, h και εντοπίζεται η μικρότερη τιμή. Οι τιμή των συντεταγμένων για τις οποίες το μέτρο του μιγαδικού πολυωνύμου w ελαχιστοποιείται αντικαθιστά την αρχική τιμή z = (, y για το επόμενο βήμα επανάληψης. Στην περίπτωση κατά την οποία δεν είναι δυνατόν να βρούμε νέα ελάχιστη τιμή wz ( = uy (, + υ( y, τότε η τιμή του βήματος, h, αντικαθίσταται με την τιμή h / και η διαδικασία επαναλαμβάνεται εκ νέου. Η επαναληπτική διαδικασία για την εύρεση των ριζών μιγαδικής συνάρτησης ή πολυωνύμου η οποία περιγράφηκε παραπάνω δεν είναι κατ ανάγκη συγκλίνουσα. Παραδείγματος χάριν για το πολυώνυμο
21 4 cz K, c, K = + >.63 Δεν είναι δυνατόν να βρούμε ρίζες όταν αρχίσουμε από την αρχική τιμή z =. Πρόταση : Όταν wy (,, υπάρχει ένα σημείο z' = ( ', y' τέτοιο ώστε w ( ', y' < wy (,. Απόδειξη Θεωρούμε το ανάπτυγμα Taylor του πολυωνύμου ( z z' ( z z' f ( z' = f( z + f '( z + f ''( z R( z'!! ( z z' ( = f( z + f ( z + R( z' =!.64 ( όπου f ( z/! είναι ο μη-μηδενικός συντελεστής του αναπτύγματος σε δυνάμεις (z z' και το υπόλοιπο R( z ' μηδενίζεται για το σημείο ανάπτυξης z ' όταν ( + R( z' = ( z' z f ( z + g( z' /!. ( Έστω ότι ib iτ f (/ z! = Ae και z' z = re. Επιλέγουμε μία μικρή τιμή του μέτρου r έστω r τέτοια ώστε R ( z ' = < A /3 για r< r τότε iτ ib ic f ( z' = u+ iυ + r e Ae + e.65 Και έστω ότι φ = b+ τ και ψ = c+ τ τότε w( ', y' = u+ r Acosφ + r cos ψ + υ+ r Asiφ+ r si ψ.66 Ι. Εάν u και υ εκλέγουμε r < r τέτοιο ώστε r ( A+ < υ Ι. Όταν u > εκλέγουμε φ = π και r < r τότε u+ r Acosφ+ r cos ψ = u r Acosφ+ r cosψ u r A+ r < u r A+ r A/3 < u /3Ar παρόμοια υ+ r Acosφ+ r cos ψ < υ+ Ar /3. Δηλαδή όταν u > τότε πάντοτε ικανοποιείται η σχέση w ( ', y' < uy (, + υ( y, Ar /3 < wy (, Ι. Όταν u < εκλέγουμε φ = και r < r τότε u+ r Acosφ + r cos ψ = u r Acosφ+ r cos ψ u r ( A+ cos ψ < u r A+ r A/3 < u /3Ar
22 και υ+ r Acosφ+ r cos ψ < υ+ Ar /3 δηλαδή και πάλι w ( ', y' < wy (, ΙΙ. Εάν u = και υ (διότι (, y δεν είναι ρίζα τότε και πάλι εκλέγουμε τέτοιο ώστε r ( 3 A+ < υ ΙΙ. Όταν υ > εκλέγουμε φ = π / ΙΙ. Όταν υ < εκλέγουμε φ = + π / και για r < r 3 βρίσκουμε και πάλι ότι w ( ', y' < wy (, r < r 3
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές μέθοδοι
Επαναληπτικές μέθοδοι Η μέθοδος της διχοτόμησης και η μέθοδος Regula Fals που αναφέραμε αξιοποιούσαν το κριτήριο του Bolzano, πραγματοποιώντας διαδοχικές υποδιαιρέσεις του διαστήματος [α, b] στο οποίο,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραNon Linear Equations (2)
Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο
Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΓια την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Αριθμητική Επίλυση Εξισώσεων Εισαγωγή Ορισμός 5.1 Γενικά, το πρόβλημα της αριθμητικής
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραf x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R
ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης
Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()
Διαβάστε περισσότεραΓ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες
Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ
Διαβάστε περισσότερατριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις
Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ
Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 19/05/2010 ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης -
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
Διαβάστε περισσότεραΓια να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Διαβάστε περισσότερα7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z
7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠαντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
Διαβάστε περισσότεραx + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos
http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)
Διαβάστε περισσότεραdy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1
I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα
Διαβάστε περισσότεραOΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραI.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...
Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 03, 12 Φεβρουαρίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι - Γενική θεωρία 2. Η μέθοδος του Newton
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότερα9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές
9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
Διαβάστε περισσότεραz 2 2z z 1 Θ Ε Μ Α Β Α 1 : Θεώρημα ςελ. 304 (Σχολικό βιβλίο) Α 2 : Οριςμόσ ςελ. 279 (Σχολικό βιβλίο) Α 3 : Οριςμόσ ςελ. 273 (Σχολικό βιβλίο)
ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΣΕΣΑΡΣΗ 9 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ & ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Σ Ι Κ Ε Α Π Α Ν Σ Η Ε Ι Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν Θ Ε Μ Α Α Α : Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΓ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι
Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις
Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραA. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Διαβάστε περισσότερα