Δισδιάστατη Αγωγή Θερμότητας: Γραφικές Μέθοδοι Ανάλυσης

Transcript

1 Δισδιάστατη Αγωγή Θερμότητας: Γραφικές Μέθοδοι Ανάλυσης ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής Διάλεξη 6 ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 1 Εισαγωγή Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με την μεταφορά θερμότητας σε μία διάσταση. Σε πολλές όμως περιπτώσεις είναι αναγκαία η μελέτη της μεταφοράς θερμότητας (ή θερμοκρασιακών αλλαγών) σε δύο διαστάσεις. Δισδιάστατη αγωγή: Η κατανομή της θερμοκρασίας χαρακτηρίζεται από δύο συντεταγμένες χώρου, π.χ. T(x,y). " Το διάνυσμα ροής θερμότητας χαρακτηρίζεται από δύο μέρη, π.χ. q " x, q y Έχουμε μεταφορά θερμότητας σε ένα μακρύ στερεό με δύο ισοθερμικές επιφάνειες και δύο μονωμένες επιφάνειες: Προσέξτε τα σχήματα των γραμμών σταθερής θερμοκρασίας (ισοθερμικές γραμμές) και τις γραμμές ροής θερμότητας (αδιαβατικές γραμμές). ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 2

2 Η Εξίσωση Μεταφοράς Θερμότητας και Μέθοδοι Επίλυσης Θεωρείστε ότι έχουμε μόνιμη, δισδιάστατη αγωγή (σε ορθογώνιο χώρο) με σταθερή θερμική αγωγιμότητα και παραγωγή θερμότητας. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση μεταφοράς θερμότητας είναι: 2 2 Μέθοδοι επίλυσης: T T q + + = x y k Αναλυτικές μέθοδοι: Περιλαμβάνουν την χρήση μαθηματικών σειρών και συναρτήσεων. Περιορίζεται σε απλές γεωμετρίες και οριακές συνθήκες. Ακριβείς λύσεις για το Τ(x,y). Γραφικές μέθοδοι: Προσεγγιστικές μέθοδοι οι οποίες εκμεταλλεύονται την γεωμετρική «ομαλότητα». Σχετικά εύκολη χρήση αλλά είναι πιο πολύ τέχνη παρά επιστήμη. Αριθμητικές μέθοδοι: Καλύπτουν πολύπλοκες γεωμετρίες και οριακές συνθήκες. Παρέχουν λύσεις σε διακριτά σημεία. Η πιο χρήσιμη μέθοδος. ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 3 Διαγράμματα Ροής Θερμότητας (flux plots) Αυτή η μέθοδος είναι γνωστή ως η «γραφική μέθοδος για δισδιάστατη αγωγή» (graphical method for 2-D conduction). Σε αυτή την μέθοδο σχεδιάζουμε σχεδόν κάθετες ισοθερμικές και αδιαβατικές γραμμές βάσει απλών γεωμετρικών κανόνων και την επιθυμία να έχουμε «ομαλότητα». Η μέθοδος είναι προσεγγιστική αλλά αν ο «ζωγράφος» είναι πεπειραμένος μπορούμε να έχουμε καλά αποτελέσματα. Η μέθοδος είναι σχετικά γρήγορη το οποίο είναι πλεονέκτημα αν αυτό που θέλουμε είναι απλά κάποια αρχικά αποτελέσματα για την ροή θερμότητας (εφόσον, βέβαια, γνωρίζουμε τις θερμοκρασίες σε κάποια βασικά οριακά σημεία). ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 4

3 Διαγράμματα Ροής Θερμότητας (flux plots) Κανόνες: Αρχίσουμε την λύση ενός προβλήματος βρίσκοντας γραμμές συμμετρίας οι οποίες πρέπει να είναι και αδιαβατικές. Σχεδιάστε «ομαλές» ισοθερμικές γραμμές (με σχετικά ίση απόσταση η μία από την άλλη) οι οποίες πρέπει να είναι σχεδόν κάθετες με τις αδιαβατικές γραμμές στα σημεία τομής. Ο αριθμός των ισοθερμικών γραμμών έχει σχέση με την επιθυμητή ακρίβεια. Σχεδιάστε αδιαβατικές γραμμές κάθετες στις ισοθερμικές. Συνεχίστε αυτή την διαδικασία προσπαθώντας να αποκτήσετε καμπύλα τετράγωνα με ίση μήκη γραμμών σε πλευρές οι οποίες βρίσκονται απέναντι η μία από την άλλη. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μία γραφική παράσταση (ή, αν προτιμάτε, ιδέα) της μορφής της ροής θερμότητας. ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 5 Διαγράμματα Ροής Θερμότητας (flux plots) Παράδειγμα: Τετράγωνο κανάλι με ισοθερμικές εσωτερικές και εξωτερικές επιφάνειες. Προσέξτε τις απλοποιήσεις λόγω της χρήσης γραμμών συμμετρίας. Έχουμε: ορθογώνια τομή των ισοθερμικών και αδιαβατικών γραμμών. Τα μήκη απέναντι πλευρών είναι ίσα κατά προσέγγιση: ab + cd ac + bd Δx Δy 2 2 ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 6

4 Διαγράμματα Ροής Θερμότητας (flux plots) Εκτός από ποιοτικές μπορούμε να πάρουμε και ποσοτικές πληροφορίες από την γραφική μέθοδο. Εάν έχουμε σχεδιάσει σωστά όλες τις γραμμές (με άλλα λόγια Δx Δy) θα έχουμε ένα αριθμό Μ καναλιών ροής θερμότητας (ο χώρος μεταξύ των αδιαβατικών γραμμών) καθώς και ένα αριθμό Ν καναλιών θερμοκρασίας (ο χώρος μεταξύ των ισοθερμικών γραμμών). Τότε η ολική μεταφορά θερμότητας δίνεται από: q Mqi M k ΔT Δx Ml N M N i ( Δy l) kδt q k( T ) ΔT ΔT = N overall 1 2 ' 2 T1 Όπου l είναι το μήκος της τρίτης διάστασης. Το κλάσμα Μ/Ν ονομάζεται συντελεστής μορφής (conduction shape factor) και συμβολίζεται με το γράμμα S. Επίσης η διαφορά θερμοκρασία σε ένα στοιχείο δίνεται από: ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 7 Συντελεστής Μορφής (conduction shape factor) Η δισδιάστατη ή τρισδιάστατη μεταφορά θερμότητας σε ένα σώμα το οποίο περικλείεται από δύο ισοθερμικές επιφάνειες με θερμοκρασίες Τ1 και Τ 2 αντίστοιχα μπορεί να παρουσιαστεί χρησιμοποιώντας τον συντελεστή μορφής S. ( ) q = SkΔ T 1 T 2 Με βάση τον πιο πάνω ορισμό η δισδιάστατη θερμική αντίσταση ορίζεται ως: R cond ( 2 D) = ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο Sk Έχουμε ακριβή και προσεγγιστικά αποτελέσματα για δισ- και τρισδιάστατα συστήματα, π.χ. Μακρύς (L>>w) κύλινδρος κυκλικής διατομής τοποθετημένος στο κέντρο ενός τετράγωνου στερεού με ίσο μήκος: 2πL S = 1.08w ln D

5 Συντελεστής Μορφής (conduction shape factor) Παραδοχές Δεν έχουμε εσωτερική παραγωγή θερμότητας Έχουμε σταθερή θερμική αγωγιμότητα Οι επιφάνειες είναι ισοθερμικές Η χρήση του συντελεστή μορφής είναι πολύ απλή: Βρείτε την επιθυμητή γεωμετρία (π.χ. από κάποιο πίνακα) Υπολογίστε το S Βρείτε το q ήτοr ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 9 Συντελεστής Μορφής (conduction shape factor) ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 10

6 Ο Αδιάστατος Ρυθμός Μεταφοράς Θερμότητας Λόγω Αγωγής (the dimensionless conduction heat rate) Θεωρείστε ότι έχουμε ένα ισοθερμικό σώμα με εμβαδό επιφανείας Α s και θερμοκρασία Τ 1. Αυτό το σώμα βρίσκεται μέσα σε ένα άπειρο μέσο θερμοκρασίας Τ 2. Σε αυτή την περίπτωση η μεταφορά θερμότητας μπορούμε να υπολογίσουμε την μεταφορά θερμότητας κάνοντας χρήση * του «αδιάστατου ρυθμού μεταφοράς θερμότητας λόγω αγωγής», q ss. * ( T1 T2 ) q = qsska L s c Το L c είναιτοχαρακτηριστικόμήκος(characteristic length) του σώματος: L c As 4 π Έχουμε ακριβείς και προσεγγιστικές λύσεις για διάφορα συστήματα, π.χ. για ισοθερμική σφαίρα: * =1 q ss Για τα περισσότερα συστήματα έχουμε: q * ss ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 11 Ο Αδιάστατος Ρυθμός Μεταφοράς Θερμότητας Λόγω Αγωγής (the dimensionless conduction heat rate) ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 12

7 Παραδείγματα Άσκηση 4.9: Παραγωγή θερμότητας από ραδιενεργά απόβλητα σε θαμμένο δοχείο. Υπολογίστε την θερμοκρασία επιφανείας του δοχείου. Άσκηση 4.24: Έχουμε σύνδεση ενός πτερυγίου αλουμίνίου κυκλικής διατομής (pin fin) και μεγάλουμήκουςσεβάσηαπόαλουμίνιοήανοξείδωτοατσάλι. Υπολογίστε τον ρυθμό θέρμανσης του πτερυγίου και την θερμοκρασία του σημείου σύνδεσης (α) χωρίς και (β) με θερμική αντίσταση στο σημείο σύνδεσης. ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 13 Μελέτη Βιβλίο Incropera: Τμήματα 4.1 και 4.3 ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 14