Μόνιμη Μονοδιάστατη Αγωγή Θερμότητας Χωρίς Παραγωγή Θερμικής Ενέργειας

Transcript

1 Μόνιμη Μονοδιάστατη Αγωγή Θερμότητας Χωρίς Παραγωγή Θερμικής Ενέργειας ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 Μεθοδολογία για Ανάλυση Προβλημάτων Αγωγής Για την ανάλυση προβλημάτων αγωγής έχουμε τρία κύρια στάδια: Ορίστε την σωστή μορφή της εξίσωσης θερμότητας. Λύστε την εξίσωση για την κατανομή θερμοκρασίας. Εφαρμόστε τον νόμο του Foue για να βρείτε το ρυθμό μεταφοράς θερμότητας. Η πιο απλή περίπτωση είναι η μόνιμη μονοδιάστατη αγωγή χωρίς την παραγωγή θερμικής ενέργειας (one-dmenonal teady-tate conducton wth no themal enegy geneaton). Συνήθεις γεωμετρίες Επίπεδος τοίχος (plane wall): Περιγράφεται με την ορθογώνια συντεταγμένη x. Το εμβαδόν κάθετα προς την διεύθυνση ροής της θερμότητας είναι σταθερό (ανεξάρτητο του x). Κύλινδρος (tube ή tube wall): Ακτινοειδής αγωγή διαμέσου του τοιχώματος του κυλίνδρου. Σφαιρικό κέλυφος (phecal hell): Ακτινοειδής αγωγή διαμέσου του τοιχώματος του κελύφους. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3

2 Επίπεδος Τοίχος (plane wall) Θεωρείστε ότι έχουμε ένα επίπεδο τοίχο στο ενδιάμεσο δύο ρευστών με διαφορετική θερμοκρασία: d d k dx dx Εξίσωση θερμότητας: 0 Η ροή θερμότητας, q x, είναι ανεξάρτητη του x. Ορυθμόςροήςθερμότητας, q x, είναι ανεξάρτητος του x. ( ) ( ) Οριακές συνθήκες: 0,, L, Κατανομή θερμοκρασίας για σταθερή θερμική αγωγιμότητα, k: x ( x) ( ) L ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 3,,, Επίπεδος Τοίχος (plane wall) d k x dx L, d k qx ka A dx L Ροή θερμότητας και ρυθμός ροή θερμότητας: q k ( ) Θερμικά κυκλώματα και αντιστάσεις. Θερμική αντίσταση: Αγωγή σε επίπεδο τοίχο: Δ t q Συναγωγή: t, conv t, cond ha L ka Θερμικό κύκλωμα για επίπεδο τοίχο μεταξύ δύο ρευστών: Ηλεκτρική αντίσταση: ( ) ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 4, total,, ΔV el h A, qx tot L ka, h A

3 Επίπεδος Τοίχος (plane wall) Θερμική αντίσταση (λόγω αγωγής και συναγωγής) για μοναδιαίο εμβαδό επιφανείας: Οι μονάδες είναι: h cond conv ad εσ L t, k h t K/W t m K / W Θερμική αντίσταση, λόγω ακτινοβολίας, για μοναδιαίο εμβαδό επιφανείας είναι: h A ad h ( )( ) u u ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 5 Θερμική Αντίσταση Επαφής (themal contact etance ) Μία βασική θεώρηση που έχουμε κάνει μέχρι τώρα είναι ότι η θερμότητα ρέει χωρίς δυσκολία μεταξύ τωνδιαφόρωνυλικών(με άλλα λόγια έχουμε πλήρη επαφή των επιφανειών). Στην πράξη όταν δύο στερεά είναι σε επαφή η κατάσταση της επιφάνειας τους (πόσο λείες ή τραχείς είναι) προκαλεί την ύπαρξη κενών μεταξύ των δύο υλικών. Το πόσο εύκολα η θερμότητα θα μεταφερθεί από ένα υλικό σε ένα άλλο εξαρτάται από την άμεση επαφή μεταξύ τους και το ρευστό το οποίο γεμίζει τα κενά μεταξύ τους. Η πτώση στην θερμότητα λόγω της μη τέλειας επαφής των δύο υλικών οφείλεται στην θερμική αντίσταση επαφής c. Η θερμική αντίσταση επηρεάζεται από: Την τραχύτητα των δύο επιφανειών (αγωγή) Την πίεση στην επιφάνεια επαφής (αγωγή). Στοείδοςτουυλικούμεταξύτωνδύο επιφανειών (αγωγή/συναγωγή). A B c c qx c A c ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 6

4 Επίπεδος Τοίχος (plane wall) Θεωρήστε ότι έχουμε σύνθετο τοίχο (compote wall) με αμελητέα αντίσταση επαφής. Δεν έχουμε αποθήκευση ενέργειας εντός του τοίχου οπότε: q A qb qc qx,,4 qx t tot t L A h k A A L k B B L k C C tot h4 A Ολικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας, U (oveall heat tanfe coeffcent): Χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε την επίδραση πολλαπλών αντιστάσεων σε σύνθετους τοίχους. U q UAΔ x oveall A tot ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 7 Επίπεδος Τοίχος (plane wall) Σειριακοί και παράλληλοι σύνθετοι τοίχοι (ee-paallel compote wall) Η ηλεκτρική αναλογία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πιο πολύπλοκους σύνθετους τοίχους όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Τα διαγράμματα βασίζονται στην παραδοχή της ύπαρξης ισοθερμικών επιφανειών κάθετα προς την κατεύθυνση x ή αδιαβατικών επιφανειών παράλληλα προς την κατεύθυνση x και μας δίνουν μία προσέγγιση για το q x. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 8

5 Κύλινδρος (tube wall) d Εξίσωση θερμότητας: d k 0 d d Κατανομή θερμοκρασίας για σταθερό k: () ln,, ln ( ), Τι μας λένε αυτά τα αποτελέσματα; Η θερμοκρασία δεν μεταβάλλεται γραμμικά αλλά βάση του φυσικού λογάριθμου του. Η θερμότητα είναι σταθερή αλλά η ροή της όχι (μεταβάλλεται βάση του /). ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 9 Κύλινδρος (tube wall) Ροή θερμότητας και ρυθμός ροής θερμότητας: d k q k, d ln ' q πq q πlq ( ) ( ), ( ) ( ),, πk ln ( ) ( ),, πlk ln Θερμική αντίσταση αγωγής cond ' cond ( / ) ln πlk ln πlk ( / ) [ K / W ] [ m K/W] ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 0

6 Κύλινδρος (tube wall) Σύνθετος κύλινδρος με αμελητέα αντίσταση επαφής., q Σημειώστε ότι το UA tot tot είναι σταθερό ανεξάρτητο της ακτίνας αλλά το U είναι συνδεδεμένο με την διεπιφάνεια. U, ( A ) tot ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 Σφαιρικό Κέλυφος (phecal hell) Εξίσωση θερμότητας: d d d d Κατανομή θερμοκρασίας για σταθερή k. 0 () ( ),,, ( / ) ( / ) ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3

7 Σφαιρικό Κέλυφος (phecal hell) Ροή θερμότητας, ρυθμός ροής και θερμικής αντίσταση: d k q k, d q 4π cond Για σύνθετο κέλυφος έχουμε: Δ q ( A ) tot [( ) ( )] ( ), q ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ) tot oveall 4πk Όπου το UA tot σταθερό 4πk UAΔ oveall Και το U Εξαρτάται από το A. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 3 Παράδειγμα: Θερμική επίστρωση φραγμού (themal bae coatng) Άσκηση 3.3: Αξιολόγηση θερμικής επίστρωσης φραγμού (BC) για προστασία πτερυγίων στροβίλου. Υπολογίστε την μέγιστη θερμοκρασία των πτερυγίων με και χωρίς BC. Διάγραμμα: Παραδοχές: () μονοδιάστατη μόνιμη αγωγή θερμότητας σε επίπεδο σύνθετο τοίχο, () σταθερές ιδιότητες, (3) αμελητέα ακτινοβολία. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 4

8 Παράδειγμα: Θερμική επίστρωση φραγμού (themal bae coatng) Ανάλυση: Για μοναδιαίο εμβαδό, η ολική θερμική αντίσταση με το BC είναι, 3 ( L k) ( L k) h m K W tot w ho t c / Με ροή θερμότητας ίση με, Z, In q, o, 5 w W m to w οι εσωτερικές και εξωτερικές θερμοκρασίες του Inconel είναι:, ( w), ( qw h ) 04K [ h L k ] q 74K, ( w), ( ) ( ) Χωρίς BC η ολική θερμική αντίσταση και ροή θερμότητας είναι, In w 3 ( L k) h m K W tot, wo ho t, c In /, o, 5 qwo W m to wo ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 5 Παράδειγμα: Θερμική επίστρωση φραγμού (themal bae coatng) Οπότε οι εσωτερικές και εξωτερικές θερμοκρασίες του Inconel είναι,, ( wo), ( qwo h ) K [ h L k ] q 93K, ( wo), ( ) ( ) Χρήση του BC βοηθά χρήση του Inconel σε θερμοκρασίες κάτω από max 50 K. In wo ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 6

9 Μελέτη Βιβλίο Incopea: 3. ως 3.4. ΜΜΚ 3 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 3 7