(Derivative) של פונקציה

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(Derivative) של פונקציה"

Παλλάς Παπανικολάου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 נגזרת Drivtiv של פונקציה t הנגזרת היא המושג החשוב בקורס, ולה חשיבות מעשית רבה היא מכמתת את קצב השינוי של תופעה כלשהי פיסיקלית, כלכלית, וויזואלית דוגמאות: מהירות של עצם היא קצב השינוי במקומו, ולכן המהירות היא הנגזרת של המקום התאוצה היא הנגזרת של המהירות או הנגזרת השניה של המקום הנגזרת של ערכה של מניה היא קצב השינוי במניה t נגזרת של תמונה היא מדד לחדות שלה תמונה מטושטשת משתנה לאט, לכן הנגזרות שלה קטנות קיימות מערכות למיקוד אוטומטי של מצלמות המבוססות על תכונה זו הנגזרת מאפשרת לגלות את הנקודה בה הפונקציה מקבלת ערך מינימלי מאחר וכמעט כל בעיה במדעי המחשב ניתן לתרגם לבעיה של מזעור של פונקציה למשל, זמן ריצה של תכנית, או שגיאה צפויה, ניתן לפתור בעיות רבות בעזרת נגזרות נניח שמקום של גוף בזמן ניתן ע"י למשל, שניות אחרי שהגוף מתחיל לנוע, הוא נמצא 9 מטר מנקודת המוצא נרצה לחשב את המהירות הרגעית בזמן t ניתן לחשב אותה כגבול של המהירות הממוצעת בקטע הזמן [, [ כאשר למשל, אם המהירות הממוצעת,, ובאופן כללי: היא 4 4 y y y 4 מהירות ממוצעת מהירות רגעית { y {

2 זה מוביל באופן טבעי להגדרת הנגזרת של בנקודה : למשל, הנגזרת של היא : למרות שהיא רציפה ב - : sin אין נגזרת בנקודה לפונקציה sin sin והגבול לא קיים משפט: תהי מוגדרת בסביבה מסוימת של אז גזירה ב - אם"ם יש קבוע A y, α α המקיימת ופונקציה A α α כזו, נחלק ב - את שני האגפים ונקבל: הוכחה: אם קיימת A α הנגזרת קיימת ושווה ל - A A כיוון שני: נניח שהנגזרת קיימת, נסמן A נגדיר : - ואז אם נכפול את שני האגפים ב α A α מסקנה מיידית: A α ונעביר את A אגף נקבל אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, היא גם רציפה שם

3 תורזגנ בושח :תואמגוד :טפשמ הדוקנב תוריזג םא :החכוה הלפכמ יבגל הארנ sin ב הריזג, ב הריזג הניא, : R

4 4 y כלל השרשרת משפט כלל השרשרת לגזירה של הרכבה של פונקציות: תהי גזירה בנקודה y y אזי הפונקציה המורכבת י ותהי zy גזירה בנקודה גזירה בנקודה ומתקיים z [ ] y, y הוכחה: נסמן לפי β β משפט קודם: z y y y y y α y y α y y y : נחלק ב z y[ β ] α y ולכן: y z y y[ כאשר אז β ] α y y y z,β,α y גבול הוא יחיד,, z [ ] sin os, 8 [sin ] 8sin os - גזירה ב - וכמו כן y y ו - - y y דוגמא: משפט: אם הפיכה ורציפה בסביבה של ו אז הפונקציה ההפוכה גזירה ב

5 5 sinα sinβ sin α - β α sin os sin sin הנגזרת של הנגזרת של דוגמאות של גזירה sin ולכן, אם,sin y נובע rsin sin y os y β sin n n n n n n R n n R n n R n n os : sin os הנגזרת של : rsin זוהי הפונקציה ההפוכה ל - מהמשפט על נגזרת של פונקציה הפוכה: n R : הנגזרת של ממשפט קודם : n R כאשר מכיל חזקות של מסדר ומעלה, ו מכיל חזקות של מסדר ומעלה

6 6 :תורזגנ תלבט,םדוקה דומעב תואצותהמ ןבשחל ןתינ הריזגה יקוחמו ] [ ] [ ] sin[ ] os[ ] os[ ] sin[ ] tn[ ] [ os ] ot[ ] sin [ ln ] ln[ ln ] rsin[ ] ros[ ] rtn[ ] ot[ r

7 7 הרוצהמ היצקנופ לש תרזגנ :םיפגאה ינשב םימתירגול הוושנו ןמסנ :םיפגאה ינש תא רוזגנ תעכ :רחא ןוויכ :, y ln ln y y y y y ln ln ln ln ]sin ot lnsin [ sin, sin }

8 8 y נגזרת של פונקציה סתומה: ניתן להגדיר פונקציות באופן סתום, כלומר לא ע"י אלא לא תמיד קל לחלץ את y y, למשל מעגל מוגדר ע"י y ע"י כפונקציה של, אולם גם אז ניתן לעיתים לחשב את הנגזרת לדוגמא: y sin y y sin y os y y y y sin y y os y, למשל, הנקודה מקיימת את המשוואה הסתומה, והנגזרת בה שווה ל נגזרות חד-צדדיות: מוגדרות בדיוק כמו לגבי גבולות נגזרת מימין נגזרת משמאל משפט: הפונקציה גזירה בנקודה אם"ם הנגזרות מימין ומשמאל קיימות ושוות - יש ב- נגזרת ימנית ונגזרת שמאלית -, ולכן היא לא גזירה ל למשל,

9 9 sin לכן, אם קיימת הנגזרת, האם היא חייבת להיות רציפה? נסתכל בפונקציה אם A, אזי עבור קטן, מכונה לעיתים קל לראות שפונקציה זו גזירה ב והנגזרת שם, הנגזרת היא : אם sin os sin כאשר אז ול- אין גבול, אינו קיים, ולכן הגבול ולכן הנגזרת אינה רציפה ב os α, α במשפט קודם הוכחנו ש הדיפרנציאל, ו - נקראת הקירוב הליניארי של בנקודה, לדוגמא: 9 6 ואכן, 777 6

10 המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי, משפט :Frmt תהי פונקציה מוגדרת בקטע הפתוח וגזירה בנקודה בקטע אם מקבלת ב - את ערכה הגדול ביותר או הקטן ביותר בקטע אז הוכחה: נסתכל בנגזרת מימין ששווה לנגזרת: נניח ש - מקבלת את ערכה הגדול ביותר ב- אז המונה בגבול חייב להיות אי-חיובי עבור קטן מספיק, ולכן הנגזרת חייבת להיות אי-חיובית משיקולים זהים עבור הנגזרת משמאל, הנגזרת הינה אי-שלילית, ולכן היא חייבת להיות, משפט :Roll תהי רציפה בקטע סגור וגזירה בקטע הפתוח כמו כן נתון, כך ש, אז יש נקודה mm m, M הוכחה: לפי משפט קודם מקבלת מקסימום ומינימום בקטע, נסמנם אם אז קבועה בקטע ואז הנגזרת שווה זהותית ל- אם >m M אז M או m חייב להתקבל בתוך הקטע כי הערכים בקצוות הקטע זהים, ואז ממשפט Frmt הנגזרת מתאפסת בתוך הקטע דוגמא: אם אז ולכן חייבת להיות נקודה בקטע שבה הנגזרת מתאפסת, ואכן היא נקודה כזו [, ] [,], ש- התנאי אינו "אם ורק אם" למשל, אם אז המכיל את כך ש - אבל אין אף קטע [, ]

11 LGrn לש עצוממה ךרעה טפשמ : עטקב הריזגו רוגס עטקב הפיצר יהת ש ךכ הדוקנ שי זא חותפה - ], [,,, :החכוה טפשמל היצקודר עצבנ Roll תיראנילה היצקנופה תתחפה י"ע רשי וק תא תרבחמה ב תספאתמה היצקנופ היהת האצותה תודוקנה - ליעפהל ןתינ זאו טפשמ תא Roll,,, ;, F F F < < F F,, L אוה וקה לש עופישה איה טפשמה לש תועמשמה עטקב הדוקנ שיש הווש הב לש עופישהש לש עופישל L L

12 < 7,,, 7 44 < < sin 7 דוגמא: 57 דוגמא: sin os sin sin os sin sin קיים δ, אזי לכל קטן מספיק כך משפט: תהי גזירה בסביבה מסוימת δ θ< <, כך ש -, קיים θ ממשי, δ, ש - δ θ [, הוכחה: נניח בלי הגבלת הכלליות ש - > אם נפעיל את משפט LGrn לקטע [ < θ <, θ כך ש - < <, נקבל שיש נקודה θ, [ וגזירות ] רציפות בקטע, משפט הערך הממוצע של :Cy יהיו, כך ש, אז קיימת,, כמו כן נתון ש - בקטע, הוכחה: דומה מאוד להוכחה של משפט הערך הממוצע שלLGrn

13 בסביבה זו, אזי אם, גזירות בסביבת הנקודה משפט: יהיו, < θ< קטן מספיק כך ש - שייכת לסביבה הנתונה, קיים θ ממשי, לכל כך ש θ הוכחה: דומה מאוד להוכחה של משפט קודם θ, פונקציות גזירות בסביבות הנקודה, פרט משפט כלל : L Hospitl יהיו לכל, ש- אולי לנקודה עצמה נניח גם ש- קיים ושווה ל קיים אז הגבול בסביבות הנקודה, ושהגבול הוכחה: נובעת מיד מהמשפט הקודם: כלל L Hospitl נכון גם למקרים של גבול חד-צדדי, כאשר ±, וכאשר 678 θ θ

14 4 דוגמאות לשמוש בכלל L Hospitl לכלל L Hospitl חשיבות רבה בחשוב גבולות מהצורה, כמו כן, ניתן לחשב גבולות מהצורה באופן הבא:,,,, ניתן לבצע זאת גם לגבולות מהצורה, כלומר, תרגמנו גבול מהצורה לצורה ע"י חשוב הלוגריתם של הגבול: [ ],, L [ ln[ ] ln L ] ln[ ] והגבול של ] ln[ הוא מהצורה כי L [os ] sin sin ln L L os ln[os ] sin 6 sin os 6 דוגמאות:

15 5 ln [ ln ] דוגמאות בהן כלל L Hospitl נכשל, מאחר ולפחות אחד התנאים אינו מתקיים: sin sin os התנאי שאינו מתמלא הוא? לא קיים קיום הגבול sin os אולם הגבול המקורי כן קיים לגבול הצורה ולכן ננסה ושווה ל, כי: L Hospitl להפעיל את כלל sin ע"י גזירת מונה ומכנה sin sin sin הגבול המקורי! כלל L Hospitl נכשל אולם הגבול קיים ושווה ל- כפי שקל לראות חלקו מונה ומכנה ב - לגבול הצורה ולכן ננסה להפעיל את כלל L Hospitl ע"י גזירת מונה ומכנה לגבול הצורה ולכן ננסה להפעיל את כלל L Hospitl ע"י גזירת מונה ומכנה

16 6 MLrin - משפטי Tylor ו פולינומים הינם הפונקציות "הטובות ביותר" לכן, כדאי לנסות לקרב פונקציות בעזרת פולינומים, לפחות בתחום מוגבל ברור, למשל, שלא ניתן לקרב את sin על כל הישר ע"י פולינום, אולם ניתן לעשות זאת בכל קטע חסום נדגים את משפט MLrin במקרה פרטי: תהי פונקציה גזירה פעמיים בסביבות הנקודה ותהי נקודה כלשהי בסביבה זו נניח נגדיר: > t t [ t] t [ ] [ ] [ ] Roll, כאן הוא קבוע; הפונקציה היא של t בה ומהפעלה נוספת של משפט נובע, ממשפט Roll נובע שיש נקודה בין ל - שיש נקודה כך ש - < <,

17 7 וזהו משפט MLrin במקרה זה באופן כללי, אם גזירה n פעמים בסביבות הנקודה, ו - נקודה כלשהי בסביבה זו, אזי קיימת נקודה בין ו - כך ש -!! n! n n Rn n n n! זהו משפט R n Tylor מכונה השארית לפי,LGrn והיא מאפשרת לחסום את ההפרש המשפט נקרא בין לפולינום המקרב, בתנאי שאפשר לחסום את n אם משפט MLrin עבור זהו בעצם משפט הערך הממוצע של LGrn!! n n! n! n n דוגמאות: sin! 5 5! 7 7! k k! k k os k! k

18 8 sin!! 5 5! דוגמאות לפיתוח MLrin של sin

19 9 טפשמ תרזעב תולובג בושח MLrin :אבה לובגה תא בשחל הסננ יפל בשחל ןתינ,L Hospitl לודגה תוריזגה רפסמ בקע השק תויהל לולע הז םלוא יפל :עבונ םדוקה דומעהמ םיחותיפה? sin sin רשאכ "" 9 מ לודג ךירעמ םע לש תוקזח למסמ ל הפיאשב תוספאתמ וליא תוקזח ;רזוע דימת אלMLrin טפשמ,לשמל האבה היצקנופל ב תורזגנה לכ, ל תווש :תועמשמ רסח חותיפה ןכל

20 שימוש בפיזיקה נחשב את האנרגיה הקינטית של עצם בעל מסה m הנע במהירות v מהירות האור : C E C m v C m mv mv 8C 4 כפי שקל לראות מפיתוח MLrin של v<< C כלומר, הנוסחה הקלאסית אינה נכונה, E אלא מהווה רק קירוב כאשר mv

Σχετικά έγγραφα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה