Κώστας Βελέντζας, Ρωξάνη Καραγιάννη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Transcript

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ AIDS ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΤΗΣ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, Κώστας Βελέντζας, Ρωξάνη Καραγιάννη Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Μακεδονίας ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται κατά πόσον η αποδοχή ή μη στις διάφορες εμπειρικές μελέτες των θεωρητικών ιδιοτήτων (δηλαδή της ομογένειας και της συμμετρίας), που πρέπει να ικανοποιεί το υπόδειγμα AIDS (Almos Ideal Demad Sysem), εξαρτάται από τον τρόπο διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης. Συγκεκριμένα, το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης στο γραμμικό υπόδειγμα AIDS διορθώνεται με τρεις διαφορετικούς τρόπους και τα σχετικά οικονομετρικά αποτελέσματα, τα οποία αφορούν τη ζήτηση τροφίμων στην Ελλάδα κατά την περίοδο , συγκρίνονται μεταξύ τους. Οι ιδιότητες της ομογένειας και συμμετρίας φαίνεται να μην ικανοποιούνται, ανεξάρτητα από τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για τη διόρθωση της αυτοσυσχέτισης.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το υπόδειγμα που έχει χρησιμοποιηθεί κατά τα τελευταία χρόνια περισσότερο από κάθε άλλο για τη μελέτη των προσδιοριστικών παραγόντων της ζήτησης διαφόρων αγαθών είναι αυτό του Σχεδόν Ιδανικού Συστήματος Ζήτησης (AIDS). Η μεγάλη προτίμηση στο συγκεκριμένο υπόδειγμα οφείλεται κυρίως σε δυο λόγους. Πρώτον, στις θεωρητικές του ιδιότητες, οι οποίες είναι συνεπείς με την οικονομική θεωρία και δεύτερον, στο ότι δεν παρουσιάζονται δυσκολίες κατά την οικονομετρική του εκτίμηση, τουλάχιστον όταν χρησιμοποιείται στη γραμμική του μορφή. Στην πλειοψηφία όμως των εμπειρικών μελετών που βασίζονται στο

2 γραμμικό υπόδειγμα του AIDS, οι ιδιότητες της ομογένειας και της συμμετρίας απορρίπτονται. Σύμφωνα με τους Deao και Muellbauer (980), η απόρριψη αυτή μπορεί να οφείλεται στο πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων ή στην παράβλεψη των προσδοκιών που έχουν οι καταναλωτές σχετικά με τις τιμές των αγαθών. Αντίστοιχα, οι Keuzekamp και Bare (995) υποστηρίζουν ότι η απόρριψη των δύο αυτών ιδιοτήτων οφείλεται είτε στις οικονομετρικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση των συστημάτων ζήτησης, είτε στην παράλειψη κάποιων άλλων (ποιοτικών) μεταβλητών που επηρεάζουν τη ζήτηση των αγαθών ή ακόμη στη χαμηλή ποιότητα των διαθέσιμων στατιστικών στοιχείων. Η εργασία αυτή ασχολείται με τις μεθόδους διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης σε γραμμικώς εξαρτημένα συστήματα, όπως είναι το AIDS, οι οποίες εμφανίζουν κάποιες ιδιαιτερότητες συγκριτικά με αυτές που χρησιμοποιούνται στις απλές εξισώσεις παλινδρόμησης. Για παράδειγμα, η διόρθωση της αυτοσυσχέτισης πρώτου βαθμού καθιστά την εκτίμηση του γραμμικού υποδείγματος του AIDS μη γραμμική. Συγκεκριμένα, στην εργασία χρησιμοποιούνται τρεις διαφορετικές μέθοδοι διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης στο γραμμικό υπόδειγμα του AIDS, που είναι: α) με έναν κοινό συντελεστή αυτοσυσχέτισης για όλες τις εξισώσεις (oeparameer) των Berd και Sav (975), β) με έναν πλήρες πίνακα συντελεστών αυτοσυσχέτισης (geeral) των Aderso και Bludell (983) και γ) με έναν συμμετρικό πίνακα αυτοσυσχέτισης (symmerc) των Mosch και Moro (994). 2. ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ AIDS Το γραμμικό υπόδειγμα του AIDS παρουσιάζεται ως εξής (Deao και Muellbauer, 980): w = a + j= γ log p + β log( X / P) () j όπου w είναι το σχετικό μερίδιο δαπάνης του αγαθού, p j είναι η τιμή του αγαθού j, X είναι οι συνολικές δαπάνες και P είναι ένας δείκτης τιμών, ο οποίος στην περίπτωση των ελληνικών στοιχείων, που προέρχονται από τους Εθνικούς Λογαριασμούς, αντιστοιχεί στον διορθωμένο δείκτη του Soe (Mosch, 995): 2

3 p log ( P) = w log (2) p = j Το υπόδειγμα του AIDS για να είναι συνεπές με τις αρχές της θεωρίας της ζήτησης πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: a = - Προσθετικότητα: - Ομογένεια: γ = 0 j= - Συμμετρία: γ = γ j =, γ = = 0, = β = 0 Η διόρθωση του προβλήματος της αυτοσυσχέτισης σε συστήματα που είναι γραμμικώς εξαρτημένα, όπως για παράδειγμα είναι το AIDS, παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες. Εξαιτίας αυτών των δυσκολιών πολύ λίγοι μελετητές (π.χ. Ye και Cher, 992) προχωρούν στη διόρθωση του συγκεκριμένου προβλήματος σε τέτοιου είδους συστήματα ζήτησης. Στην περίπτωση μάλιστα που οι μέθοδοι διόρθωσης για τις απλές εξισώσεις παλινδρόμησης εφαρμοστούν σε γραμμικώς εξαρτημένα συστήματα ζήτησης, όπως για παράδειγμα έγινε από τους Xepapadeas και Habb (995), παραβιάζεται η ιδιότητα της προσθετικότητας. Στη γενική της μορφή, η μέθοδος διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης σε συστήματα εξισώσεων που είναι γραμμικώς εξαρτημένα βασίζεται στην εξής σχέση (Berd και Sav, 975): y = f (θ, z ) + u (3) όπου =, 2,, T είναι οι χρονικές παρατηρήσεις, y είναι ένα (x) διάνυσμα των εξαρτημένων μεταβλητών, δηλαδή των σχετικών μεριδίων δαπάνης, f ( ) το δεύτερο μέλος της σχέσης (), με το διάνυσμα των εξωγενών μεταβλητών z να αντιστοιχεί στις τιμές των αγαθών και στις πραγματικές δαπάνες και u είναι το (x) διάνυσμα καταλοίπων. Η γραμμική εξάρτηση των εξισώσεων του συστήματος (3) απαιτεί: ι y = και ι u = 0, όπου ι είναι ένα (x) διάνυσμα με στοιχεία τη μονάδα. Υποθέτοντας ότι τα κατάλοιπα παρουσιάζουν πρώτου βαθμού αυτοσυσχέτιση, ισχύει: u = R + ε, όπου R είναι ο (x) πίνακας των συντελεστών αυτοσυσχέτισης. u Η γραμμική εξάρτηση των εξισώσεων του συστήματος απαιτεί: 3

4 ι ε = 0 και ι R = k ι (4) όπου k είναι ένας σταθερός αριθμός (scalar cosa). Λαμβάνοντας υπόψη ότι μια εξίσωση παραλείπεται από το υπό εκτίμηση σύστημα, ορίζουμε έναν [x(-)] πίνακα R με στοιχεία: R = R R. Στην περίπτωση αυτή: u = R u + ε (5) όπου ο εκθέτης σημαίνει πως η τελευταία εξίσωση του συστήματος έχει παραληφθεί. Χρησιμοποιώντας τώρα τη σχέση (5) μπορούμε να γράψουμε τη σχέση (3) ως εξής: y [ y f ( θ, z ] ε = f (, z ) + R ) θ + (6) Το σύστημα των εξισώσεων (6) είναι μη γραμμικό ως προς τις υπό εκτίμηση παραμέτρους, παρότι η σχέση (3) αντιστοιχεί στη γραμμική μορφή του AIDS. Οι Berd και Sav (975) υποστήριξαν πως αν ο πίνακας αυτοσυσχέτισης θεωρηθεί διαγώνιος, τότε η γραμμική εξάρτηση του συστήματος απαιτεί τα διαγώνια στοιχεία να είναι ίδια για όλες τις εξισώσεις, δηλαδή υπάρχει ένας κοινός συντελεστής αυτοσυσχέτισης για όλο το σύστημα. Με άλλα λόγια, οι Berd και Sav (975) εισάγουν μια μέθοδο διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης με έναν κοινό συντελεστή αυτοσυσχέτισης (oe parameer), στην οποία οι εκτιμημένες τιμές των παραμέτρων είναι ανεξάρτητες από το ποια εξίσωση του συστήματος παραλείπεται. Η μέθοδος αυτή βρήκε μεγάλη ανταπόκριση σε σχέση με τον πλήρη πίνακα αυτοσυσχέτισης (geeral), που προτάθηκε από τους Aderso και Bludell (983), κυρίως λόγω της έλλειψης βαθμών ελευθερίας καθώς αυξάνεται ο αριθμός των αγαθών που περιλαμβάνονται στην ανάλυση. Από την άλλη μεριά, οι Mosch και Moro (994) υποστήριξαν ότι ένας κοινός συντελεστής αυτοσυσχέτισης για όλες τις εξισώσεις του συστήματος είναι μια πολύ περιοριστική υπόθεση εργασίας και επιπλέον έδειξαν ότι υπάρχουν εφικτές λύσεις ανάμεσα στον κοινό συντελεστή αυτοσυσχέτισης και στον πλήρη πίνακα αυτοσυσχέτισης. Δεδομένου ότι η παράμετρος k στη σχέση (4) μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, εφόσον δεν είναι ταυτοποιήσιμη, η υπόθεση k = 0 μας επιτρέπει τον προσδιορισμό ενός συμμετρικού πίνακα αυτοσυσχέτισης. Έτσι, αντί 4

5 να υπολογίσουμε τα στοιχεία R του R, μπορούμε να προσδιορίσουμε τα στοιχεία R του πίνακα: θέτοντας τους περιορισμούς Iι R = ρ I (7) R = R και = 0. Με τον τρόπο αυτό, ο αριθμός j j R των παραμέτρων αυτοσυσχέτισης μειώνεται από ( ) 2 σε ( ). 2 Οι Mosch και Moro (994) πρότειναν ακόμη μια εναλλακτική λύση, στην οποία ο πίνακας R ορίζεται ως εξής: λλ R = Λ λ = όπου Λ είναι ένας (x) πίνακας και λ ένα (x) διάνυσμα που ορίζονται ως εξής: λ 0 Λ = 0 0 λ λ και λ λ = λ Ο πίνακας R είναι γραμμικά εξαρτημένος, συμμετρικός, εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων λ και ικανοποιεί τη σχέση: ι R = k ι. Εάν όλοι οι παράμετροι λ είναι ίδιοι, τότε λ ρ και η σχέση (8) εξειδικεύεται στη σχέση (7). `Ετσι, R = ρ I. Επομένως, η μέθοδος των Berd και Sav (975) αποτελεί ειδική περίπτωση του συμμετρικού προσδιορισμού. 3. ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας χρησιμοποιήθηκαν εναλλακτικά τόσο η μέθοδος του κοινού συντελεστή αυτοσυσχέτισης των Berd και Sav (975), όσο και οι μέθοδοι του πλήρη πίνακα αυτοσυσχέτισης των Aderso και Bludell (983) και του συμμετρικού πίνακα αυτοσυσχέτισης των Mosch και Moro (994). Συγκεκριμένα, οι μέθοδοι αυτοί εφαρμόστηκαν στο γραμμικό υπόδειγμα του AIDS. Επίσης, έγινε προσπάθεια για την εφαρμογή της εναλλακτικής μεθόδου (8) 5

6 των Mosch και Moro (994) (βλέπε σχέση 8), αλλά δεν επιτεύχθηκε σύγκλιση των εκτιμημένων τιμών των παραμέτρων του συστήματος. Για την οικονομετρική εκτίμηση του συστήματος των εξισώσεων (), με βάση τις σχέσεις (2) και (6), χρησιμοποιήθηκαν στοιχεία χρονολογικών σειρών από το 960 έως το 995 για τις εξής εφτά κατηγορίες τροφίμων στην Ελλάδα: ψωμί και δημητριακά, κρέας, ψάρια, γαλακτοκομικά προϊόντα και αυγά, λάδι και λίπη, φρούτα και λαχανικά και λοιπά τρόφιμα. Οι δαπάνες για κάθε κατηγορία τροφίμων, σε τρέχουσες και σταθερές (970) τιμές, προέρχονται από τους Εθνικούς Λογαριασμούς της Ελλάδος. Για τον υπολογισμό των σχετικών μεριδίων δαπάνης χρησιμοποιήθηκαν οι δαπάνες σε τρέχουσες τιμές, ενώ οι δείκτες τιμών υπολογίστηκαν με βάση τον λόγο τρέχουσες προς σταθερές δαπάνες. Η οικονομετρική εκτίμηση του συστήματος των εξισώσεων () έγινε με τη μη γραμμική επαναληπτική μέθοδο των Φαινομενικά μη Συσχετιζόμενων Παλινδρομήσεων (SUR) λόγω της σχέσης (6), η οποία καθιστά τη σχέση () μη γραμμική ως προς τις εκτιμημένες παραμέτρους εξαιτίας της ταυτόχρονης εκτίμησης των στοιχείων του πίνακα αυτοσυσχέτισης R. Η μέθοδος SUR, η οποία λαμβάνει υπόψη της το γεγονός πως το σύστημα των εξισώσεων αυτών προκύπτει από ένα πρόβλημα αριστοποίησης και επομένως οι διαταρακτικοί όροι των εξισώσεων συσχετίζονται μεταξύ τους, εγγυάται τη συνέπεια και την ασυμπτωτική αποτελεσματικότητα των εκτιμημένων παραμέτρων. Εξαιτίας της γραμμικής εξάρτησης των εξισώσεων (), το σχετικό μερίδιο των λοιπών τροφίμων δεν συμπεριλήφθηκε στο σύστημα των εκτιμημένων εξισώσεων. Σε πρώτη φάση, το σύστημα των εξισώσεων (), για κάθε έναν από τους προαναφερθέντες τρόπους διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης, εκτιμήθηκε χωρίς τους περιορισμούς της ομογένειας και της συμμετρίας. Στη συνέχεια, ελέγξαμε ξεχωριστά τους περιορισμούς της ομογένειας και της συμμετρίας καθώς και την ταυτόχρονη αποδοχή και των δύο ιδιοτήτων. Ο σχετικός έλεγχος έγινε με τη βοήθεια του ελέγχου Wald, που ως γνωστόν ακολουθεί την κατανομή. Εάν 2 2 χ > χ cv, τότε η μηδενική υπόθεση (Ho) ότι η ομογένεια / συμμετρία / ομογένεια 2 χ 6

7 και συμμετρία ισχύουν, απορρίπτεται. Αντίθετα, αν 2 2 χ < χ cv, τότε η μηδενική υπόθεση γίνεται αποδεκτή. ΠΙΝΑΚΑΣ Αποτελέσματα στατιστικών ελέγχων Ομογένεια Συμμετρία Ομογένεια & συμμετρία Βαθμοί ελευθερίας Θεωρητικές τιμές χ 2 Επίπεδο σημαντικότητας 5% 2,59 24,00 32,67 Επίπεδο σημαντικότητας % 6,8 30,58 38,93 Wald es No Auocorrelao 55,90 69,86 47,9 Oe-Parameer 53,7 7,54 40,00 Geeral 7,65 00,58 72,7 Symmerc 28,97 09,4 234,48 Τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων για το αν ικανοποιούνται ή όχι οι ιδιότητες της ομογένειας και της συμμετρίας παρουσιάζονται στον Πίνακα. Σύμφωνα με αυτά, οι παραπάνω ιδιότητες δεν γίνονται αποδεκτές σε κανένα από τα υπό εξέταση υποδείγματα, για επίπεδα σημαντικότητας % και 5%. Η απόρριψη των ιδιοτήτων αυτών γίνεται με σχετική ευκολία, εκτός από την περίπτωση της ομογένειας στο γενικό υπόδειγμα διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης, όπου η υπολογιζόμενη τιμή της στατιστικής Wald είναι πολύ κοντά στη θεωρητική τιμή για επίπεδο σημαντικότητας %. Σε γενικές όμως γραμμές, είναι φανερό πως η διόρθωση της αυτοσυσχέτισης δεν συνετέλεσε στην αποδοχή των ιδιοτήτων της ομογένειας και της συμμετρίας. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την ανάλυση που ακολουθήθηκε στην εργασία αυτή προέκυψε πως το γραμμικό υπόδειγμα του AIDS δεν δίνει για την εξεταζόμενη περίοδο ικανοποιητικά αποτελέσματα από θεωρητικής άποψης, μια και δεν ικανοποιούνται οι ιδιότητες της ομογένειας και της συμμετρίας. Μπορούμε επομένως να υποστηρίξουμε ότι, 7

8 παρά την προσπάθεια διόρθωσης της αυτοσυσχέτισης, το γραμμικό υπόδειγμα του AIDS δεν είναι κατάλληλο για τη μελέτη της συμπεριφοράς των ελληνικών νοικοκυριών όσον αφορά την κατανάλωση τροφίμων κατά την περίοδο Τα μη ικανοποιητικά αποτελέσματα που προκύπτουν μπορεί να οφείλονται στην παράλειψη των καταναλωτικών προτύπων από το υπόδειγμα ή στη μη χρησιμοποίηση του μη γραμμικού υποδείγματος του AIDS (Che και Veema, 99). ABSTRACT The heorecal properes of homogeey ad symmery are esed for he AIDS ad hree alerave mehods for correcg auocorrelao. The ecoomerc resuls cocer food cosumpo Greece durg he perod Irrespecvely of he mehod used o correc for auocorrelao, he heorecal properes of homogeey ad symmery are rejeced. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Aderso, G. & Bludell, R. (983): Tesg resrcos a flexble dyamc demad sysem: A applcao o cosumers expedure Caada. Revew of Ecoomc Sudes, 50, Berd, E.R. & Sav, N.E. (975): Esmao ad hypohess esg sgular equao sysems wh auoregressve dsurbaces. Ecoomerca, 43, Che, P.Y. & Veema, M.M. (99): A almos deal demad sysem aalyss for meas wh hab formao ad srucural chage. Caada Joural of Agrculural Ecoomcs, 39, Deao, A. & Muellbauer, J. (980): A almos deal demad sysem. Amerca Ecoomc Revew, 70(3), Keuzekamp A.H. & Bare, A.P. (995): Rejeco whou falsfcao. O he hsory of esg he homogeey codo he heory of cosumer demad. Joural of Ecoomercs, 67, Mosch, G. & Moro, D. (994): Auocorrelao specfcao sgular equao sysems. Ecoomcs Leers, 46, Mosch, G. (995): Us of measureme ad he Soe dex demad sysem esmao. Amerca Joural of Agrculural Ecoomcs, 77(), Xepapadeas, A. & Habb, H. (995): A almos deal demad sysem wh auoregressve dsurbaces for dary producs Greece. Appled Ecoomc Leers, 2(6), Ye, T.S. & Cher, W.S. (992): Flexble demad sysems wh serally correlaed errors: Fa ad ol cosumpo he Ued Saes. Amerca Joural of Agrculural Ecoomcs, 8,