ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθ. ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΝΙΚΗΦΟΡΙ ΗΣ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΙΑΤΡΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΙΚΤΥΩΝ ΠΕΠΟΙΘΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΚΡΑΝΙΟΕΓΚΕΦΑΛΙΚΕΣ ΚΑΚΩΣΕΙΣ» ΓΕΩΡΓΙΟΣ Χ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΤΡΑ 000

2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθ. ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΝΙΚΗΦΟΡΙ ΗΣ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΙΑΤΡΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΙΚΤΥΩΝ ΠΕΠΟΙΘΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΚΡΑΝΙΟΕΓΚΕΦΑΛΙΚΕΣ ΚΑΚΩΣΕΙΣ» ΓΕΩΡΓΙΟΣ Χ. ΣΑΚΕΛΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΠΑΤΡΑ 000

4 ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ. Γεώργιος Νικηφορίδης, Καθηγητής () (Επιβλέπων Καθηγητής). Γεώργιος άσιος, Καθηγητής () (Μέλος Τριµελούς Επιτροπής) 3. Νικόλαος Παπαδάκης, Καθηγητής () (Μέλος Τριµελούς Επιτροπής) ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ. Γεώργιος Νικηφορίδης, Καθηγητής () (Επιβλέπων Καθηγητής). Γεώργιος άσιος, Καθηγητής () (Μέλος Τριµελούς Επιτροπής) 3. Νικόλαος Παπαδάκης, Καθηγητής () (Μέλος Τριµελούς Επιτροπής) 4. Παναγιώτης Πιντέλας, Καθηγητής (3) (Μέλος Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής) 5. Αθανάσιος Τσακαλίδης, Καθηγητής (4) (Μέλος Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής) 6. Αθανάσιος Σκόδρας, Αναπλ. Καθηγητής (5) (Μέλος Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής) 7. Βασίλειος Αναστασόπουλος, Επικ. Καθηγητής (5) (Μέλος Επταµελούς Εξεταστικής Επιτροπής) () () (3) (4) (5) : Τµήµα Ιατρικής : Τµήµα Χηµικών Μηχανικών : Τµήµα Μαθηµατικών : Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών : Τµήµα Φυσικής

5 Στη µητέρα µου και στη µνήµη του πατέρα µου

6

7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3 ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ...7. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ...7. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ ΓΡΑΦΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΑ-ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΙΚΤΥΑ ΚΑTΑ BAYES...07 ΕΙ ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΕΜΠΕΙΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΙΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΑΣΘΕΝΩΝ ΜΕ ΚΕΚ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ SUMMARY ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΜΑΘΗΣΗ ΟΜΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΝΑΦΟΡΕΣ...85

8

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η καλή ιατρική πράξη στηρίζεται στη σωστή ιατρική απόφαση, και αυτή µε την σειρά της στηρίζεται στην εκµετάλλευση όλων των πληροφοριών που έχει ο γιατρός στη διάθεσή του. Στο παρελθόν, οι διαθέσιµες πληροφορίες ήσαν περιορισµένες και είχαν σχέση κυρίως µε τα στοιχεία της φυσικής εξέτασης (συµπτώµατα, σηµεία κ.λ.π.). και µε κάποια απλά εργαστηριακά ευρήµατα. Σήµερα τα πράγµατα έχουν αλλάξει, υπάρχει ένα µεγάλο πλήθος εργαστηριακών µεταβλητών, σηµάτων, εικόνων κ.λ.π. που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη από το γιατρό συνδυαστικά. Η κατάσταση αυτή δηµιουργεί την αναγκαιότητα ενός νέου τύπου διαχείρισης της πληροφορίας καθώς επίσης πιο σύνθετες προσεγγίσεις στη λήψη της ιατρικής απόφασης που χρησιµοποιούν την µοντέρνα µεθοδολογία και τεχνολογία της πληροφορικής. Η ώθηση που έχει δώσει η πληροφορική στην κλινική έρευνα, µε τη σχεδίαση σχεσιακών βάσεων δεδοµένων και µε τα συστήµατα στατιστικής ανάλυσης, είναι καθοριστική. Εξελιγµένα εργαλεία στήριξης αποφάσεων άρχισαν να αναπτύσσονται στα ερευνητικά εργαστήρια και είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα έχουν βαθιά επίδραση στον τρόπο εξάσκησης της Ιατρικής, στο µέλλον. Η παρούσα διατριβή ασχολείται µε την ανάπτυξη ενός έµπειρου συστήµατος, βασιζόµενου σε ίκτυο Πεποίθησης, στο χώρο της Ιατρικής και συγκεκριµένα στην πρόγνωση των ασθενών µε κρανιοεγκεφαλικές κακώσεις. Το σύστηµα αυτό βασίζεται τόσο σε κλινικά όσο και εργαστηριακά ευρήµατα και κάνει εκτίµηση της πορείας του ασθενή, σύµφωνα µε την Κλίµακα Έκβασης της Γλασκώβης. Με γνώµονα τις επιδόσεις ενός συστήµατος που επιτελεί κατηγοριοποίηση (classification) υπό καθεστώς αβεβαιότητας, θα µπορούσε κανείς να επιλέξει από τεχνικές που είναι γνωστό ότι είναι ιδιαίτερα επιτυχείς. Τα Νευρωνικά ίκτυα, για παράδειγµα, που θεωρητικά προσοµοιώνουν λειτουργίες του ανθρώπινου εγκεφάλου, θα ήταν προτιµητέα, µια που έχουν ως πλεονέκτηµα τη δυνατότητα της µάθησης από την εµπειρία που αποκτούν. Τα Νευρωνικά ίκτυα εκπαιδεύονται µε ένα ποσό πληροφορίας και την αξιοποιούν για να βελτιώσουν την επίδοσή τους στην πρόβλεψη νέων περιστατικών. Η υλοποίησή τους είναι σχετικά εύκολη ενώ τα ποσοστά επιτυχών προβλέψεών τους είναι υψηλά. Το µοντέλο όµως που ακολουθούν για την οικοδόµηση και λειτουργία τους, είναι ξένο προς την ιατρική σκέψη. Τα Νευρωνικά ίκτυα αντιµετωπίζονται από το χρήστη ως «µαύρα κουτιά». Επιτυγχάνουν µεν σωστές κατηγοριοποιήσεις, αλλά ο τρόπος είναι αδιαφανής ή πάντως όχι αντιληπτός από τον χρήστη. Ως αποτέλεσµα, δεν τυγχάνουν της εµπιστοσύνης του ιατρού-χρήστη και τελικώς δεν καταφέρνουν να γίνουν εργαλείο στην καθηµερινή κλινικί πρακτική του Μια άλλη διαδεδοµένη µεθοδολογία για αντίστοιχους στόχους κατηγοριοποίησης είναι τα συστήµατα που βασίζονται σε κανόνες (rule-based systems). Είναι συστήµατα (βλ. Κεφ. ) µε µεγάλη ιστορία στο χώρο της Τεχνητής Νοηµοσύνης και ευρεία χρήση σε συστήµατα διάγνωσης µηχανικών και ηλεκτρονικών σφαλµάτων. Σε αντίθεση µε τα Νευρωνικά ίκτυα, ο τρόπος διαχείρισης της πληροφορίας και η διαδικασία κατηγοριοποίησης είναι διαφανής στο χρήστη. Με την εφαρµογή µιας σειράς κανόνων, οι οποίοι εισάγονται από ειδικούς του πεδίου εφαρµογής του συτήµατος, καταφέρνουν και αυτά να έχουν υψηλές επιδόσεις. 3

10 Έχει όµως αποδειχθεί ότι η φύση της ιατρικής πληροφορίας έχει ιδιαιτερότητες και η διαχείριση της µε µια σειρά από κανόνες είναι µε την εξαίρεση κάποιων περιπτώσεων αδύνατη. Πέρα από τη γενικά παραδεκτή πολυπλοκότητα των µηχανισµών οι οποίοι εµπλέκονται σε κάθε ιατρικό πρόβληµα, το καθεστώς αβεβαιότητας κάτω από το οποίο συλλέγεται η ιατρική πληροφορία, καθιστά τέτοιου είδους συστήµατα είτε µη αποτελεσµατικά, είτε ανελαστικά στις παραδοχές που υιοθετούν. Η επιλογή της συγκεκριµένης µεθοδολογίας, των ικτύων Πεποίθησης ή Bayesian Networks, δε βασίστηκε τόσο σε επιχειρήµατα επίδοσης σε όρους επιτυχών προβλέψεων όσο στο ότι είναι απόλυτα συµβατή µε τον τρόπο σκέψης του τελικού αποδέκτη και χρήστη ενός τέτοιου συστήµατος, δηλαδή του ιατρού. Κατά την διαδικασία της διάγνωσης, τα βήµατα της ιατρικής σκέψης, είναι τα ακόλουθα: Αρχικά, η εµπειρία του ιατρού, του δίνει µια έστω και ποιοτική εκτίµηση της σπανιότητας κάθε νόσου από την οποία ίσως πάσχει ο υπό εξέταση ασθενής. Με τα πρώτα δεδοµένα που λαµβάνει, ως κλινικά σηµεία και συµπτώµατα, διατυπώνει µια υπόθεση εργασίας, αναφορικά µε την πιθανή νόσο. Στη συνέχεια, τα υπόλοιπα δεδοµένα αξιοποιούνται από τον ιατρό, προκειµένου είτε να επιβεβαιώσει/απόρρίψει την υπόθεση εργασίας, είτε να διατυπώσει νέες υποθέσεις. Μέσα από τα δεδοµένα που λαµβάνει, η πεποίθηση που έχει για τη νόσο, τροποποιείται συνεχώς και αναζητά νέες εξετάσεις, κατά προτίµηση εκείνες που έχουν την µεγαλύτερη αξία πληροφορίας, που θα τον βοηθήσουν πιο εύκολα να φτάσει σε µια υψηλή πεποίθηση για την αληθεια ή το ψεύδος της υπόθεσής του. Στην καθηµερινή του κλινική πράξη, ο ιατρός κάνει χρήση εννοιών όπως «ευαισθησία», «ειδικότητα» και «προβλεπτική αξία» ενός τεστ. Ουσιαστικά, µεταχειρίζεται έναν µηχανισµό µε τον οποίο τα αποτελέσµατα των εξετάσεων που διατάσσει, συνδυάζονται µε τον καλύτερο τρόπο ώστε να τροποποιήσουν την πεποίθησή του. Αυτός ο µηχανισµός, ο κανόνας του Bayes, που ο ιατρός είναι εκπαιδευµένος να εφαρµόζει, αποτελεί το βασικό στοιχείο της µεθοδολογίας των ικτύων Πεποίθησης. Σε αντίθεση µε τις άλλες τεχνικές που αναφέρθηκαν παραπάνω, τα δίκτυα πεποίθησης διαχειρίζονται την αβεβαιότητα µε έναν σαφή και ρητό τρόπο. Λαµβάνουν υπ όψιν τους την εξάρτηση µεταξύ των µεταβλητών του προβλήµατος, και όχι µόνο προσφέρουν µια κατανοµή πιθανότητας στις διάφορες κατηγορίες αλλά και επιτρέπουν την εισαγωγή υποκειµενικής (αβέβαιας) πληροφορίας την οποία και συνυπολογίζουν. Είναι λοιπόν σαφές ότι ένα σύστηµα που εφαρµόζει την ίδια µε τον ιατρό µεθοδολογική προσέγγιση στο πρόβληµα, κερδίζει την εµπιστοσύνη του και µπορεί στα χέρια του όχι µόνο να αποτελέσει εργαλείο υποστηρικτικό του λειτουργήµατός του, αλλά και αφορµή για κωδικοποίηση της σκέψης του. Αν επιπλέον ένα τέτοιο σύστηµα µπορεί να αξιοποιήσει τη συσσωρευµένη πληροφορία που υπάρχει σε βάσεις δεδοµένων και να εκπαιδευτεί από αυτή, τότε θα µπορεί να λειτουργήσει και ως ένα σύστηµα µεταφοράς της εµπειρίας αυτής σε αποµακρυσµένα κλινικά περιβάλλοντα. Στο Γενικό Μέρος περιγράφεται η φύση της Ιατρικής πληροφορίας, δίνονται οι βασικές έννοιες της πιθανοκρατικής συλλογιστικής και αναπτύσσονται οι τεχνικές ανάλυσης αποφασεων στην Ιατρική. Το υπόλοιπο του Γενικού Μέρους έχει σαν 4

11 αντικείµενο την µοντελοποίηση της Ιατρικής πληροφορίας µε επικέντρωση στα γραφικά µοντέλα αναπαράστασης της πληροφορίας και ιδιαίτερα στα γραφικά λογαριθµικά-γραµµικά µοντέλα. Γίνεται µια προσπάθεια διαφορετικής προσέγγισης των πολυπαραγοντικών προβληµάτων που συναντώνται στην Ιατρική πράξη και που συνήθως αντιµετωπίζονται µε τις κλασσικές στατιστικές τεχνικές της Multivariate Analysis. Τα ίκτυα Πεποίθησης εισάγονται στο Γενικό Μέρος και αναλύονται στο Ειδικό Μέρος µέσω της µελέτης του συγκεκριµένου προβλήµατος,δηλαδή της πρόγνωσης ασθενών µε ΚΕΚ. Ξεχωριστά συστήµατα αναπτύχθηκαν αναφορικά µε τους ασθενείς των Εξωτερικων Ιατρείων και της Μονάδας Εντατικής Θεραπείας. Οι επιδόσεις τους, συγκρινόµενες τόσο µε αυτές έµπειρων ιατρών αλλά και άλλων τεχνικών αναφέρονται αναλυτικά. Η πρώτη µου επαφή µε το χώρο των ικτύων Πεποίθησης έγινε το Καλοκαίρι του 994, στο πλαίσιο της διπλωµατικής µου εργασίας για το Μεταπτυχιακό ίπλωµα Ειδίκευσης στην Ιατρική Φυσική. Σε αυτή µου την εξαετή (συνολικά) προσπάθεια, είχα τη βοήθεια πολλών, τόσο σε επιστηµονικό αλλά και ψυχολογικό επίπεδο. Οι καθηµερινές επαφές µε τον Επιβλέποντα Καθηγητή µου κ. Γεώργιο Νικηφορίδη αποτέλεσαν πηγή έµπνευσης, ιδίως τις δύσκολες εκείνες µέρες που όλοι οι υποψηφίοι διδάκτορες κάποτε περνούν, τότε που νοµίζουν ότι φτάνουν σε αδιέξοδο. Από το χώρο της Νευροχειρουργικής, έτυχα της αµέριστης συµπαράστασης όλων ανεξαίρετα των Ιατρών, και ιδίως του κου Κωνσταντίνου Κωνσταντογιάννη, του οποίου η συνδροµή στη διαδικασία συλλογής των δεδοµένων υπήρξε αποφασιστική. Ο Καθηγητής κ. Νικόλαος Παπαδάκης συνέβαλε καταλυτικά στην κατανόηση από µέρους µου εκείνων των εννοιών της Νευροχειρουργικής που ήταν απαραίτητες για την έρευνα αυτή. Η συνεισφορά του Καθηγητή κου Γεώργιου άσιου ήταν ιδιαίτερα σηµαντική, καθώς οι µαθηµατικές απαιτήσεις της έρευνας στα ίκτυα Πεποίθησης είναι υψηλές. Η έρευνα που διεξήχθη στο πλαίσιο αυτής της διδακτορικής διατριβής οδήγησε στη δηµοσίευση τριών πλήρων εργασιών σε διεθνή επιστηµονικά περιοδικά µε κριτές και µια πλήρη δηµοσίευση σε διεθνές Συνέδριο:. Sakellaropoulos G, Nikiforidis G, Comparison of prognostic performance of two expert systems based on Bayesian belief networks, Decision Support Systems, 7(4):43-44 (000).. Sakellaropoulos G, Nikiforidis G, Development of a Bayesian Network in te prognosis of ead injuries using grapical model selection tecniques, Metods of Information in Medicine, 38: 37-4 (999). 3. Nikiforidis G, Sakellaropoulos G, Expert system support using Bayesian Belief Networks in te prognosis of ead-injured patients of te ICU, Medical Informatics, 3(): -8 (998). 4. Sakellaropoulos G, Antonopoulos P, Papadakis N, Nikiforidis G, Belief networks in ead injury prognosis, Healt Telematics 95 Proceedings, pp (995). 5

12 6

13 ΓΕΝΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ. Φύση της Ιατρικής πληροφορίας Η κλινική πληροφορία έχει ένα χαρακτήρα σαφώς διαφορετικό από αυτόν της πληροφορίας που χρησιµοποιείται στην Φυσική, την Χηµεία ή την Μηχανολογία. Αυτή η διαφορετικότητα είναι προϊόν πολλών λόγων και έχει να κάνει αφενός µε τα αντικείµενα της Ιατρικής επιστήµης και αφετέρου µε την τελείως διαφορετική δοµή της. Αυτό έχει µεγάλες συνέπειες στο τρόπο προσέγγισης και διαχείρισης της κλινικής πληροφορίας και είναι εν µέρει ο λόγος για τον οποίο αρκετοί ερευνητές θεωρούν την Ιατρική Πληροφορική κάτι το ξεχωριστό από την συµβατική Πληροφορική. Για να γίνουν πιο συγκεκριµένα τα παραπάνω ας εξετάσουµε αυτές που θεωρούνται επιστήµες βασικού επιπέδου, οι οποίες έχουν δοµηθεί µε αυστηρό τρόπο που αντανακλάται και στον µαθηµατικό φορµαλισµό που έχουν αναπτύξει. Στην ιεραρχική σχέση µεταξύ των επιστηµών η Φυσική βρίσκεται στη βάση. Η Φυσική χαρακτηρίζεται από ένα είδος απλότητας αλλά και γενίκευσης. Οι έννοιες και οι περιγραφές των αντικειµένων και των µηχανισµών της φυσικής, χρησιµοποιούνται απαραίτητα σε όλες τις εφαρµοσµένες επιστήµες συµπεριλαµβανοµένης και της Ιατρικής. Οι φυσικοί νόµοι και οι περιγραφές ορισµένων φυσικών διαδικασιών είναι ουσιαστικοί παράγοντες στην ανάλυση και εξήγηση των ιατρικών λειτουργιών. Είναι για παράδειγµα, απαραίτητο να γνωρίζουµε ορισµένες βασικές έννοιες της Μοριακής Φυσικής για να κατανοήσουµε γιατί το νερό είναι τόσο καλός διαλύτης ή πως µεταβολίζονται τα θρεπτικά µόρια. Η εφαρµογή των υπολογιστών για την λύση κάποιου προβλήµατος φυσικής µέσα στα ιατρικά πλαίσια δεν παρουσιάζει διαφορές σε σχέση µε τις υπολογιστικές εφαρµογές που συναντώνται στα εργαστήρια φυσικής και µηχανολογίας. Η χρήση των υπολογιστών στις διάφορες διαδικασίες βασικού επιπέδου (όπως είναι αυτές της Φυσικής ή Χηµείας) είναι παρόµοια και ανεξάρτητη της συγκεκριµένης εφαρµογής. Εάν εξετάζουµε τις διαλυτικές ιδιότητες του νερού δεν έχει σηµασία αν αυτές έχουν να κάνουν µε εφαρµογές στη Γεωλογία, στην Χηµεία ή στην Ιατρική. Οι διαδικασίες βασικού επιπέδου της φυσικής είναι ιδιαίτερα προσιτές στη µαθηµατική κωδικοποίηση, έτσι η χρήση των υπολογιστών σε αυτές τις εφαρµογές απαιτεί µόνο συµβατικό αριθµητικό προγραµµατισµό. Στην Ιατρική, όµως, υπάρχουν και άλλες διαδικασίες υψηλού επιπέδου, οι οποίες αναφέρονται σε σύνθετα αντικείµενα όπως οι οργανισµοί (φυσιολογικοί ή παθολογικοί). Όταν αναλύονται, περιγράφονται ή καταγράφονται ιδιότητες ή συµπεριφορές ανθρώπων χρησιµοποιούνται περιγραφές αντικειµένων πολύ υψηλού επιπέδου η συµπεριφορά των οποίων δεν έχει αντίστοιχο στο χώρο της φυσικής ή της µηχανολογίας. Αυτές οι περιγραφές είναι πολύ δύσκολο να κωδικοποιηθούν χρησιµοποιώντας µαθηµατικούς αλγορίθµους και λογισµικά πακέτα, τα οποία εφαρµόζονται τόσο καλά στα βασικά επίπεδα. Μέσα σε αυτά τα πλαίσια αναπτύσσεται µία νέα επιστηµονική κατεύθυνση που έχει το όνοµα Τεχνητή Νοηµοσύνη (Artificial Intelligence) και που έχει σαν βασικό στόχο την επίλυση 7

14 προβληµάτων υψηλού επιπέδου µε εφαρµογή µεθόδων και τεχνικών της πληροφορικής. Από τα προηγούµενα συνάγεται ότι η Ιατρική Πληροφορική περιέχει εφαρµογές που κινούνται µεταξύ της ανάλυσης µηχανισµών χαµηλού επιπέδου και της επεξεργασίας φαινοµένων εξαιρετικά υψηλού επιπέδου. Όταν µελετώνται ολιστικά ανθρώπινοι οργανισµοί (συµπεριλαµ-βανοµένων των στοιχείων της αντίληψης, της αυτοσυνείδησης και της συµπεριφοράς) αναδεικνύονται πολλά και σύνθετα προβλήµατα για τα οποία η συµβατική λογική και τα συµβατικά µαθηµατικά είναι δύσκολο να εφαρµοσθούν. Γενικά, τα χαρακτηριστικά των αντικειµένων βασικού επιπέδου είναι καθαρά ορισµένα και σαφώς διακριτά (για παράδειγµα η µάζα, το µήκος κ.λ.π.), ενώ εκείνα των αντικειµένων υψηλού επιπέδου είναι ασαφώς ορισµένα και όχι µε ακρίβεια διακριτά (για παράδειγµα δυσάρεστη γεύση, καλή κατάσταση κ.λ.π.). Όπως η περιγραφή των αντικειµένων υψηλού επιπέδου απαιτεί την ανάπτυξη νέων µεθόδων, έτσι και οι µέθοδοι στατιστικής συµπερασµατολογίας αυτών αντικειµένων είναι διαφορετικοί. Η φορµαλιστική λογική, ξεκινά µε την παραδοχή ότι σε µια δεδοµένη πρόταση πρέπει να είναι ή αληθής ή ψευδής. Αυτό το ουσιαστικότατο χαρακτηριστικό της συµβατικής λογικής είναι δύσκολο να διατηρηθεί στην ανάλυση αντικειµένων υψηλού επιπέδου όπου η απάντηση στα διάφορα ερωτήµατα δεν µπορεί να είναι µόνο να ή όχι. 8

15 . Σχέση µεταξύ δεδοµένων και υποθέσεων Μία παρατήρηση ενός συµβάντος προκαλεί µία υπόθεση εργασίας όταν φυσικά έχει κάποια άµεση σχέση µε την υπόθεση. Ποια είναι όµως τα χαρακτηριστικά αυτής της σχέσης; Ένα παράδειγµα µπορεί να δείξει ότι µια τόσο απλή σχέση δεν είναι αρκετή για να εξηγήσει το ξεκίνηµα αυτής της διαδικασίας. Εξετάζουµε την υπόθεση ότι ένας ασθενής είναι έγκυος που βασίζεται στην παρατήρηση ότι ο ασθενής είναι γυναίκα. Προφανώς όλοι οι ασθενείς σε κατάσταση εγκυµοσύνης είναι γυναίκες, αλλά εάν εµφανισθεί ένας ασθενής ο οποίος είναι γυναίκα δεν ενεργοποιείται άµεσα η υπόθεση ότι αυτή είναι έγκυος. Κατά συνέπεια το θηλυκό γένος είναι ένας πολύ ευαίσθητος δείκτης εγκυµοσύνης (η πιθανότητα ένας ασθενής σε κατάσταση εγκυµοσύνης να είναι γυναίκα ισούται µε 00%) αλλά δεν έχει µεγάλη προβλεπτική αξία (οι περισσότερες γυναίκες δεν είναι σε κατάσταση εγκυµοσύνης). Η έννοια της ευαισθησίας ως η πιθανότητα παρατήρησης ενός δεδοµένου όταν ο εξεταζόµενος έχει µία συγκεκριµένη ασθένεια είναι πολύ σηµαντική, αλλά δεν εξηγεί από µόνη της την δηµιουργία µιας υπόθεσης κατά την διαδικασία της ιατρικής διάγνωσης. Εναλλακτικά, η σχέση µεταξύ παρατήρησης ενός συµβάντος και µιας υπόθεσης εργασίας µπορεί να στηρίζεται στο ότι η παρατήρηση του συµβάντος γίνεται σπάνια εάν δεν επαληθεύεται η υπόθεση. Έστω ότι ένα συγκεκριµένο αποτέλεσµα δεν επαληθεύεται ποτέ, αν ο ασθενής δεν έχει µία συγκεκριµένη ασθένεια. Σ αυτές τις περιπτώσεις τα tests ονοµάζονται παθογνωµονικά. Όχι µόνο υποδεικνύουν µία διαγνωστική υπόθεση, αλλά ταυτόχρονα αποδεικνύουν ότι αυτή είναι ορθή. υστυχώς τα παθογνωµονικά tests είναι σπάνια στην ιατρική. Εκείνο που συµβαίνει συνήθως είναι να γίνεται µία παρατήρηση πολύ συχνά όταν υπάρχει µία ασθένεια ή µία κατηγορία ασθενειών, αλλά η αντιστοίχηση ασθένειας και παρατήρησης δεν είναι απόλυτη. Για παράδειγµα, µόνο ένας µικρός αριθµός νοσηµάτων, που δεν ανήκουν στις λοιµώξεις, αυξάνει τον αριθµό των λευκών αιµοσφαιρίων. Βεβαίως η λευχαιµία όπως και η επίδραση ορισµένων φαρµάκων µπορεί να αυξήσει τον αριθµό των λευκών αιµοσφαιρίων, αλλά οι περισσότεροι ασθενείς που δεν έχουν λοίµωξη θα έχουν κανονικό αριθµό λευκών αιµοσφαιρίων. Κατά συνέπεια η αύξηση των λευκών δεν αποδεικνύει την ύπαρξη λοίµωξης αλλά στηρίζει την υπόθεση για την ύπαρξή της. Η έννοια που περιγράφει αυτή την σχέση, µεταξύ υπόθεσης και παρατήρησης, λέγεται ειδικότητα. Μία παρατήρηση είναι πολύ υψηλής ειδικότητας για µια ασθένεια εάν απουσιάζει σε ασθενείς που δεν έχουν αυτή την ασθένεια, ενώ η παθογνωµονική παρατήρηση έχει ειδικότητα 00%. Οι έννοιες της ευαισθησίας και της ειδικότητας ξεκαθαρίζουν αρκετά την υποθετικοσυµπερασµατική προσέγγιση. Παρόλα αυτά,ακόµη και έµπειροι γιατροί, ορισµένες φορές αποτυγχάνουν να τις χρησιµοποιήσουν σωστά. Έτσι ακόµα και αν έχει γίνει µια πολύ ειδική για την ασθένεια παρατήρηση, µπορεί ο ασθενής να πάσχει από άλλη ασθένεια. Ακριβώς σε τέτοιες περιπτώσεις γίνονται συχνά σφάλµατα που απορρέουν από την λεγόµενη κοινή αντίληψη. Για να εξηγηθούν αυτές οι συχνές παρεξηγήσεις, πρέπει να εισαχθούν δύο επιπρόσθετες έννοιες : ο επιπολασµός και η προβλεπτική τιµή Ο επιπολασµός µιας ασθένειας είναι η συχνότητα ή καλύτερα η πιθανότητα της ασθένειας στον εξεταζόµενο πληθυσµό. Έστω ότι µία ασθένεια έχει επιπολασµό 5% στο γενικό πληθυσµό, υπάρχει περίπτωση σε ένα επιλεγµένο υποπληθυσµό της ο επιπολασµός να είναι πολύ υψηλότερος. Για παράδειγµα, ο καρκίνος του µαστού στο 9

16 γενικό στο γενικό πληθυσµό είναι 0.3%, αλλά ο επιπολασµός της ίδιας ασθένειας στον γυναικείο υποπληθυσµό που έχει ηλικία µεταξύ 40 και 50 ετών είναι περίπου 5 φορές µεγαλύτερος και φθάνει το 4.5%. Προφανώς ο στόχος της διάγνωσης είναι, ξεκινώντας από τον επιπολασµό που έχει ο ασθενής, για µια συγκεκριµένη ασθένεια, στο πληθυσµό (κατηγορία, οµάδα) κατατάχθηκε αρχικά, να γίνει κάποια εξέταση και ανάλογα µε το αποτέλεσµά της (θετικό ή αρνητικό) να καταταχθεί σε ένα νέο υποπληθυσµό στον οποίο ο επιπολασµός θα είναι σαφώς διαφορετικός. Έτσι η πιθανότητα ένα οποιοδήποτε άτοµο του πληθυσµού των Ηνωµένων Πολιτειών να έχει καρκίνο του πνεύµονος είναι µικρή (γιατί ο επιπολασµός αυτής της ασθένειας είναι µικρός), αλλά γίνεται πολύ υψηλότερη αν η ακτινογραφία θώρακος δείξει µία σκιά που µοιάζει µε όγκο. Αν το ίδιο άτοµο ανήκει στον υποπληθυσµό των καπνιστών, τότε ο επιπολασµός του καρκίνου του πνεύµονος θα είναι µεγαλύτερος. Σ αυτή την περίπτωση η ίδια ακτινογραφία θώρακος, θα ανεβάσει ακόµα υψηλότερα την πιθανότητα να έχει το εξεταζόµενο άτοµο καρκίνο του πνεύµονος. Προβλεπτική τιµή ενός test καλείται, απλώς, η πιθανότητα της ασθένειας (posttest probability) µετά την γνωστοποίηση του αποτελέσµατος του test. Όπως προαναφέρθηκε αν το αποτέλεσµα του test είναι θετικό η προβλεπτική τιµή θα είναι µεγαλύτερη του επιπολασµού. Εάν το test είναι αρνητικό η εµφάνιση της ασθένειας έχει µία πιθανότητα µικρότερη του επιπολασµού. Για κάθε test και κάθε ασθένεια υπάρχει µία προβλεπτική τιµή εάν το test είναι θετικό και άλλη εάν το test είναι αρνητικό. Οι συµβολισµοί που χρησιµοποιούνται είναι αντίστοιχα PV + για προβλεπτική τιµή µε θετικό test και PV- για αρνητικό test. Η προβλεπτική αξία ενός θετικού test εξαρτάται από την ευαισθησία και την ειδικότητά του όπως επίσης και από τον επιπολασµό της αναζητούµενης ασθένειας. Ο τύπος που περιγράφει αυτή την εξάρτηση είναι : PV + = ( ευαισθησια) ( επιπολασµος) ( ευαισθησια) ( επιπολασµος) + ( ευαισθησια)( - επιπολασµος) Υπάρχει ένας παρόµοιος τύπος για τον ορισµό της PV-, σαν συνάρτηση της ευαισθησίας, της ειδικότητας και του επιπολασµού. Και οι δύο αυτοί τύποι συνάγονται από τα βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Να σηµειωθεί ότι ένα θετικό test µε πολλή υψηλή ευαισθησία και ειδικότητα µπορεί να οδηγήσει σε µία σχετικά χαµηλή πιθανότητα για την ασθένεια (χαµηλή PV + ), εάν ο επιπολασµός της ασθένειας είναι χαµηλός. Είναι ακριβώς αυτή η σχέση της προβλεπτικής τιµής µε την ευαισθησία, την ειδικότητα και τον επιπολασµό που δεν είναι εύκολα κατανοητή από τους γιατρούς οι οποίοι σε ορισµένες θεωρούν τα συµπεράσµατά της παράδοξα (πράγµα που αποδεικνύει ότι συχνά η κοινή αντίληψη οδηγεί σε εσφαλµένα συµπεράσµατα, όταν δεν στηρίζεται σε σταθερές αρχές και κανόνες). Η ευαισθησία του test και ο επιπολασµός της ασθένειας µπορούν να αγνοηθούν µόνο όταν το test είναι παθογνωµονικό ( δηλαδή όταν έχει ειδικότητα 00% που σηµαίνει PV + ίσο µε 00%). Ο τύπος προσδιορισµού του PV + είναι ένας από τους πολλούς τύπους που προέρχονται από το θεώρηµα του Bayes το οποίο στηρίζει ένα µεγάλο αριθµό προσεγγίσεων στη λήψη ιατρικών αποφάσεων. 0

17 .. Κατάταξη των αποτελεσµάτων ενός test ως µη φυσιολογικά Πολλές βιολογικές µετρητέες που αναφέρονται σε ένα πληθυσµό υγιών ατόµων εκφράζονται σαν συνεχείς µεταβλητές και παίρνουν διαφορετικές τιµές για τα διάφορα υγιή άτοµα. Τις πιο πολλές φορές η κατανοµή των τιµών τους είναι κατά προσέγγιση κανονική (Gaussian). Έτσι το 95% του πληθυσµού παίρνει τιµές που ανήκουν στο διάστηµα που έχει κέντρο τη µέση τιµή µ της µετρητέας και άκρα αντίστοιχα µ-σ και µ+σ (όπου σ είναι η τυπική απόκλιση της κατανοµής). Περίπου το.5% του υγιούς πληθυσµού θα έχει τιµές που είναι µικρότερες από το κάτω άκρο του προαναφερόµενου διαστήµατος ενώ ένα άλλο.5% θα έχει τιµές υψηλότερες από το άνω άκρο. Από την άλλη πλευρά, και ο πληθυσµός των ατόµων που έχουν µία συγκεκριµένη ασθένεια εµφανίζει συνήθως µία κανονική κατανοµή για τις τιµές της ίδιας µετρητέας. Εάν η βιολογική µετρητέα δεν σχετίζεται µε την ασθένεια οι δύο κατανοµές θα είναι περίπου οι ίδιες. Στην αντίθετη περίπτωση (δηλαδή η µετρητέα επηρεάζεται από την ασθένεια) θα είναι διαφορετικές (δηλαδή θα έχουν διαφορετική µέση τιµή και διαφορετική τυπική απόκλιση) αλλά θα έχουν µερική επικάλυψη (Σχήµα.). Ψευδώς θετικά Ψευδώς αρνητικά φυσιολογικοί µη φυσιολογικοί Αριθµός ατόµων Φυσιολογικός πληθυσµός Όριο διαχωρισµού Πληθυσµός ασθενών Αποτέλεσµα τον test Σχήµα. Το ερώτηµα που τίθεται, είναι πότε το αποτέλεσµα ενός test, που αναφέρεται σε µία µετρητέα, θα θεωρείται και θα κατατάσσεται σαν µη-φυσιολογικό; Στις περισσότερες εργαστηριακές εξετάσεις, µαζί µε την εκτίµηση της εργαστηριακής µετρητέας δίνεται και το διάστηµα των φυσιολογικών της τιµών. το οποίο ορίζεται σαν µ± σ (δηλαδή οι φυσιολογικές τιµές απέχουν από την µέση τιµή της µετρητέας το πολύ δύο τυπικές αποκλίσεις). Έτσι αν το αποτέλεσµα του test είναι έξω από το διάστηµα φυσιολογικών τιµών θεωρείται µη-φυσιολογικό και το test θετικό. Εάν το αποτέλεσµα περιέχεται στο διάστηµα των φυσιολογικών τιµών, το test θεωρείται αρνητικό. Για παράδειγµα, η µέση συγκέντρωση χοληστερίνης στο αίµα είναι

18 00mg/dl, εάν η τυπική απόκλιση ης χοληστερίνης στον υγιή πληθυσµό είναι 5mg/dl τότε το διάστηµα φυσιολογικών τιµών για την χοληστερίνη θα είναι 00 ± 50, δηλαδή 50 έως 50. Είναι προφανές από όσα ειπώθηκαν ότι τα άκρα του διαστήµατος των φυσιολογικών τιµών ορίζονται µε στατιστικά κριτήρια που δεν έχουν βιολογική σηµασία. Ένα ιδανικό test θα έδινε µία κατανοµή αποτελεσµάτων (της µετρητέας) για τους ασθενείς, η οποία δεν θα είχε καµία επικάλυψη µε την αντίστοιχη κατανοµή αποτελεσµάτων των υγιών ατόµων. Έτσι εάν επελέγετο ένα κατάλληλο όριο (cut off) για τις φυσιολογικές τιµές, το test θα ήταν αρνητικό για όλους τους φυσιολογικούς και θετικό για όλους τους ασθενείς. Πολύ λίγα tests ανήκουν σ αυτή την κατηγορία. Συνήθως για τον χαρακτηρισµό ενός test σαν µη-φυσιολογικό χρησιµοποιείται το κριτήριο των τυπικών αποκλίσεων από την µέση τιµή του υγιούς πληθυσµού και έτσι ένα.5% των υγιών ατόµων θα δώσει θετικό test (αυτό χαρακτηρίζεται σαν σφάλµα τύπου α του test ). Από την άλλη πλευρά, επειδή συνήθως η κατανοµή των αποτελεσµάτων του test των ασθενών έχει µία επικάλυψη µε αυτή των υγιών, και µάλιστα περιέχει τιµές οι οποίες ανήκουν στο διάστηµα των φυσιολογικών τιµών, είναι προφανές ότι ορισµένοι ασθενείς θα δώσουν αρνητικό test (σφάλµα τύπου β). Συµπερασµατικά, όπως φαίνεται και από το σχήµα (.), θα υπάρχει ένα ποσοστό φυσιολογικών ατόµων που θα δώσει θετικό test και ένα ποσοστό ασθενών που θα δώσει αρνητικό test. Προφανώς όσο µικρότερα είναι αυτά τα ποσοστά τόσο καλύτερο είναι το test. Ο γιατρός πρέπει να είναι γνώστης ορισµένων όρων που εκφράζουν αυτή την κατάσταση: Αληθώς θετικά (Α.Θ) είναι τα θετικά tests που προέρχονται από τον πληθυσµό των εχόντων την ασθένεια (δηλαδή τα tests που σωστά ταξινοµούν τον εξεταζόµενο στην κατηγορία των εχόντων την συγκεκριµένη ασθένεια) Αληθώς Αρνητικά (Α.Α) είναι τα αρνητικά tests που προέρχονται από τον πληθυσµό των µη εχόντων την ασθένεια (δηλαδή τα tests που σωστά ταξινοµούν τον εξεταζόµενο στην κατηγορία των µη εχόντων την συγκεκριµένη ασθένεια. Ψευδώς θετικά (Ψ.Θ) είναι τα θετικά tests που προέρχονται από τον πληθυσµό των µη εχόντων ασθένεια (δηλαδή τα tests που εσφαλµένα ταξινοµούν τον εξεταζόµενο στην κατηγορία των εχόντων την συγκεκριµένη ασθένεια) Ψευδώς Αρνητικά (Ψ.Α) είναι τα αρνητικά tests που προέρχονται από τον πληθυσµό εκείνων που έχουν την ασθένεια (δηλαδή εσφαλµένα ταξινοµούν τον ασθενή στην κατηγορία των µη εχόντων την συγκεκριµένη ασθένεια). Στο σχήµα. φαίνεται ότι µεταβάλλοντας το άνω άκρο του διαστήµατος των φυσιολογικών τιµών θα αλλάξουν ουσιαστικά τα προαναφερόµενα ποσοστά. Καθώς το άνω όριο των φυσιολογικών τιµών µετακινείται προς υψηλότερες τιµές, αυξάνεται ο αριθµός των ψευδώς αρνητικών (Ψ.Α) και µειώνεται ο αριθµός των ψευδώς θετικών.

19 Όταν καθοριστεί το ανώτατο φυσιολογικό όριο αυτόµατα προσδιορίζεται και η επίδοση (performance) του test, δηλαδή η ικανότητά του να διακρίνει µεταξύ ασθενούς και µη ασθενούς. Η ποσοτικοποίηση της επίδοσης δίνεται µε ένα πίνακα συνάφειας σαν αυτό του Πίνακα..Στον πίνακα δίνονται συνοπτικά οι αριθµοί που αντιστοιχούν στις προηγούµενες 4 οµάδες αποτελεσµάτων (Α.Θ, Α.Α, Ψ.Θ, Ψ.Α). Παρατηρείται ότι το άθροισµα της πρώτης στήλης δίνει το συνολικό αριθµό των µη ασθενών, (Ψ.Θ+Α.Α) Το άθροισµα της πρώτης σειράς, (Α.Θ + Ψ.Θ), είναι ο συνολικός αριθµός των εξετασθέντων που έδωσαν θετικό test. Παροµοίως, (Ψ.Α+Α.Α), είναι ο αριθµός των εξετασθέντων που έδωσαν αρνητικό test. Αποτέλεσµα του test Ασθενείς Όχι Ασθενείς Σύνολο Θετικό test Αρνητικό test Α.Θ Ψ.Α Ψ.Θ Α.Α Α.Θ+Ψ.Θ Ψ.Α+Α.Α (Α.Θ)+(Ψ.Α) (Ψ.Θ)+(Α.Α) ΠΙΝΑΚΑΣ.: Πίνακας συνάφειας x που εκφράζει την επίδοση ενός test. Το ιδανικό test δεν έχει ούτε Ψευδώς Αρνητικά (Ψ.Α) ούτε Ψευδώς Θετικά (Ψ.Θ) αποτελέσµατα. Στην πραγµατικότητα αυτό δεν επαληθεύεται σχεδόν ποτέ και έτσι ο έλεγχος µιας διαγνωστικής υπόθεσης, που αναφέρεται σε µία συγκεκριµένη ασθένεια, γίνεται µε test, που περιέχουν σφάλµατα. Η συνοπτική εικόνα της επίδοσης των εναλλακτικών tests δίνεται µε τους προαναφερόµενους πίνακες συνάφειας x. Έτσι ο γιατρός διευκολύνεται στην επιλογή του, η οποία βεβαίως λαµβάνει υπ όψη και άλλους παράγοντες όπως το κόστος και ο χρόνος του test, τον επιπολασµό της υποτιθέµενης ασθένειας (όπως θα αναλυθεί αργότερα) κ.λ.π... Παράµετροι της επίδοσης ενός ιατρικού test Οι παράµετροι της επίδοσης ενός test, όπως διαφαίνεται από την προηγούµενη ενότητα, είναι δύο ειδών : παράµετροι συµφωνίας και παράµετροι ασυµφωνίας µε την πραγµατικότητα. Στην ουσία οι παράµετροι συµφωνίας ταυτίζονται µε την έννοια της ευαισθησίας και της ειδικότητας οι οποίες µπορούν να ορισθούν τώρα χρησιµοποιώντας τον όρο της δεσµευµένης πιθανότητας και τους προηγούµενους πίνακες συνάφειας x. Η ευαισθησία που καλείται και ποσοστό των αληθώς θετικών (Π.Α.Θ) είναι η πιθανότητα ένας που έχει την ασθένεια να δώσει θετικό test. Χρησιµοποιώντας την συµβολογία της δεσµευµένης πιθανότητας, η ευαισθησία εκφράζεται σαν την πιθανότητα το test να βγει θετικό, δεδοµένου ότι ο εξεταζόµενος είναι ασθενής. P T + A = P θετικο Test ο εξεταζοµενος ειναι ασθενης Ένας εναλλακτικός τρόπος έκφρασης της ίδιας ιδιότητας του test, είναι να δοθεί το (Π.Α.Θ) σαν το κλάσµα των ασθενών µε θετικό test δια του συνόλου των ασθενών: αριθµος των ασθενων µε θετικο test Π.Α.Θ = συνολοκος αριθµος ασθενων 3

20 ηλαδή χρησιµοποιώντας τον πίνακα. έχουµε ότι : A.Θ Π.Α.Θ = Α.Θ + Ψ.Α Με ανάλογο τρόπο η ειδικότητα που καλείται και ποσοστό αληθώς αρνητικών (Π.Α.Α), ορίζεται σαν η πιθανότητα ένας που δεν έχει την ασθένεια να δώσει αρνητικό test. Με την συµβολογία της δεσµευµένης πιθανότητας, η ειδικότητα εκφράζεται σαν την πιθανότητα το test να είναι αρνητικό δεδοµένόυ ότι ο εξεταζόµενος δεν είναι ασθενής. ( ) P T = P A Αρνητικο Test ο εξεταζοµενος δεν ειναι ασθενης Εναλλακτικά το ποσοστό των αληθώς αρνητικών δίνεται µε το κλάσµα: ( AA. ) Π.Α.Α = ( AA. ) + ( Ψ. A)..3 Συνεκτίµηση της ευαισθησίας και της ειδικότητας στην επιλογή του κατάλληλου test. Ανακεφαλαιώνοντας είναι σαφές ότι οι τιµές της ευαισθησίας και της ειδικότητας, ενός test συνεχούς µεταβλητής, εξαρτάται από το εκάστοτε καθοριζόµενο όριο διαχωρισµού µεταξύ φυσιολογικού και µη φυσιολογικού. Η αύξηση της τιµής αυτού που καθορίζουµε σαν ανώτατο φυσιολογικό όριο, θα µειώσει τον αριθµό των ψευδώς θετικών και ταυτόχρονα θα αυξήσει τον αριθµό των ψευδώς αρνητικών tests. Με αυτό τον τρόπο το test γίνεται περισσότερο ειδικό και λιγότερο ευαίσθητο. Παροµοίως η µείωση της τιµής του ανωτάτου φυσιολογικού ορίου αυξάνει τον αριθµό των ψευδώς θετικών και µειώνει τον αριθµό των ψευδώς αρνητικών, δηλαδή αυξάνει αυξάνει την ευαισθησία και µειώνει την ειδικότητα. Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι η ευαισθησία και η ειδικότητα δεν είναι αποκλειστικά χαρακτηριστικά του test, αλλά εξαρτώνται και από το κριτήριο που τίθεται για την διάκριση του τι θεωρείται µη φυσιολογικό αποτέλεσµα (θετικό test). Κατά συνέπεια ο καλύτερος τρόπος για να χαρακτηρισθεί, αποκλειστικά και µόνο, η επίδοση ενός test είναι να δοθούν οι τιµές της ευαισθησίας και ειδικότητας του σαν συνάρτηση των τιµών που µπορεί να πάρει το ανώτατο φυσιολογικό όριο (cut off). Η τυπική γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης δίνεται χρησιµοποιώντας το καρτεσιανό σύστηµα αξόνων και βάζοντας στον κάθετο άξονα την ευαισθησία και στον οριζόντιο την µεταβλητή x = (-ειδικότητα). Η x ισούται µε το ποσοστό των αληθώς θετικών δια του ποσοστού των ψευδώς θετικών και η τιµή της µεταβάλλεται άµεσα µε την µεταβολή της τιµής του ανώτατου φυσιολογικού ορίου. Η προκύπτουσα καµπύλη είναι γνωστή ως καµπύλη ROC (Receiver Operating Caracteristic). Κάθε σηµείο επί της καµπύλης ROC δίνει την ευαισθησία και την ειδικότητα του test για ένα συγκεκριµένο ανώτατο φυσιολογικό όριο. Εάν ένας γιατρός θέλει να επιλέξει µεταξύ διαφόρων tests για τον έλεγχο µιας διαγνωστικής υπόθεσης που αφορά µία συγκεκριµένη ασθένεια ή κατηγορία ασθενειών, θα µπορούσε να συγκρίνει τις ROC καµπύλες που αντιστοιχούν στα υποψήφια tests. 4

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων

Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Βασικές αρχές της θεωρίας των πιθανοτήτων και η εφαρµογή τους στην εκτίµηση των ασφαλιστικών κινδύνων Αθηνά Λινού Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρική Σχολή, Πανεπιστήµιο Αθηνών Βασικές αρχές της θεωρίας των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS)

Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) Γεωγραφικά Πληροφοριακά Συστήµατα (Geographical Information Systems GIS) ρ. ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ xalkias@hua.gr Χ. Χαλκιάς - Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΓΠΣ Ένα γεωγραφικό πληροφοριακό σύστηµα Geographic Information

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα

Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα DEPARTMENT OF HYGIENE AND EPIDEMIOLOGY Εισαγωγή στη διαγνωστική έρευνα Κώστας Τσιλίδης, ktsilidi@cc.uoi.gr http://users.uoi.gr/ktsilidi/teaching Ιωαννίδης: κεφάλαιο 3 Ahlbom: κεφάλαιο 3, 4 Guyatt: κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι Ροµ οτικοί Πράκτορες Αβεβαιότητα Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Πράκτορες χαρακτηριστικά στοιχεία είδη πρακτόρων αυτόνοµοι

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης

Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Η οικολογία μάθησης για τους υπολογιστές ΙII: Η δική σας οικολογία μάθησης Παλαιγεωργίου Γιώργος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ιανουάριος 2011 Ψυχομετρία Η κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS)

Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών. (Geographical Information Systems GIS) Τι είναι τα Συστήµατα Γεωγραφικών Πληροφοριών (Geographical Information Systems GIS) ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ, ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΛΚΙΑΣ ΧΡΙΣΤΟΣ Εισαγωγή στα GIS 1 Ορισµοί ΣΓΠ Ένα σύστηµα γεωγραφικών πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πρόβλημα: Με τον όρο αυτό εννοείται μια κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. Δομή προβλήματος: Με τον όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτριος Κουτσούρης, Καθηγητής ΕΜΠ Ηλιοπούλου Δήμητρα, Δρ. Βιοϊατρικής Τεχνολογίας, Ηλεκτρολόγος Μηχ. και Μηχ. Υπολογιστών, ΕΜΠ

Δημήτριος Κουτσούρης, Καθηγητής ΕΜΠ Ηλιοπούλου Δήμητρα, Δρ. Βιοϊατρικής Τεχνολογίας, Ηλεκτρολόγος Μηχ. και Μηχ. Υπολογιστών, ΕΜΠ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΞΑΤΟΜΙΚΕΥΜΕΝΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΜΕ ΠΑΘΟΛΟΓΙΚΟ ΤΕΣΤ ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Δημήτριος Κουτσούρης, Καθηγητής ΕΜΠ Ηλιοπούλου Δήμητρα, Δρ. Βιοϊατρικής Τεχνολογίας, Ηλεκτρολόγος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Π.Ε.ΣΥ.Π. ΒΑΣΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ

ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Π.Ε.ΣΥ.Π. ΒΑΣΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ 1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟ (Π.Ε.ΣΥ.Π.) Ακαδηµαϊκό Έτος 2014-15 ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Π.Ε.ΣΥ.Π. ΒΑΣΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Σύµφωνα µε τον Κανονισµό Σπουδών του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

«Συντονισμός του Σχεδιασμού και της Εφαρμογής Δημόσιων Πολιτικών»

«Συντονισμός του Σχεδιασμού και της Εφαρμογής Δημόσιων Πολιτικών» Πέμπτη 4 Δεκεμβρίου 2014 «Συντονισμός του Σχεδιασμού και της Εφαρμογής Δημόσιων Πολιτικών» Αποτελεσματική Παρακολούθηση και Αξιολόγηση της Εφαρμογής Δημόσιων Πολιτικών Νίκος Παπαδάτος, Μέλος & τ. Πρόεδρος

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

(REASONING WITH UNCERTAINTY)

(REASONING WITH UNCERTAINTY) ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ REASONING WITH UNCERTAINTY Ακριβής και πλήρης γνώση δεν είναι πάντα δυνατή Οι εµπειρογνώµονες πολλές φορές παίρνουν αποφάσεις από αβέβαια, ηµιτελή ή και αλληλοσυγκρουόµενα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων.

Ορισµένοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι χρειαζόµαστε µίνιµουµ 30 περιπτώσεις για να προβούµε σε κάποιας µορφής ανάλυσης των δεδοµένων. ειγµατοληψία Καθώς δεν είναι εφικτό να παίρνουµε δεδοµένα από ολόκληρο τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει, διαλέγουµε µια µικρότερη οµάδα που θεωρούµε ότι είναι αντιπροσωπευτική ολόκληρου του πληθυσµού. Τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes:

1.α ιαγνωστικοί Έλεγχοι. 2.α Ευαισθησία και Ειδικότητα (εισαγωγικές έννοιες) ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα του Bayes: ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 6 ΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ 1.β ιαγνωστικοί Έλεγχοι Πολύ σηµαντικό το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Διλήμματα underwriting: σχεδιάζοντας λύσεις

Διλήμματα underwriting: σχεδιάζοντας λύσεις Διλήμματα underwriting: σχεδιάζοντας λύσεις Γιάννης Βασαλάκης Chief Uwr Ζωής & Υγείας Interamerican Τάσος Γαρυφαλλάκης Uwr Ζωής & Υγείας Αξίωμα Συνήθη ερωτήματα- προβληματισμοί Είναι παθολογικό το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη και αποδεκτή θεωρία είναι η τριµερής θεωρία της γνώσης που ορίζει τη γνώση ως δικαιολογηµένη αληθή πεποίθηση (justified true belief). Ανάλυση της τριµερούς

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Βιοµηχανικά Ατυχήµατα

Βιοµηχανικά Ατυχήµατα Βιοµηχανικά Ατυχήµατα Κωνσταντινίδου Αργυρή-Μυρτώ Επιβλέπων Ερευνητής: ρ. Ζ. Νιβολιανίτου Τριµελής Επιτροπή: Ν. Μαρκάτος Α. Λυγερός Χ. Κυρανούδης Μονάδα Υπολογιστικής Ρευστοµηχανικής ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. Σκοπός της έρευνας

1. Σκοπός της έρευνας Στατιστική ανάλυση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων των εξετάσεων πιστοποίησης ελληνομάθειας 1. Σκοπός της έρευνας Ο σκοπός αυτής της έρευνας είναι κυριότατα πρακτικός. Η εξέταση των δεκτικών/αντιληπτικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

προετοιμασίας και του σχεδιασμού) αρχικά στάδια (της αντιμετώπισή τους. προβλήματος της ΔΕ Ειρήνη Γεωργιάδη Καθηγήτρια Σύμβουλος της ΕΚΠ65 του ΕΑΠ

προετοιμασίας και του σχεδιασμού) αρχικά στάδια (της αντιμετώπισή τους. προβλήματος της ΔΕ Ειρήνη Γεωργιάδη Καθηγήτρια Σύμβουλος της ΕΚΠ65 του ΕΑΠ Δυσκολίες και προβλήματα που έχουν εντοπιστεί στα αρχικά στάδια (της προετοιμασίας και του σχεδιασμού) της ΔΕ στη ΘΕ ΕΚΠ 65 και προτάσεις για την αντιμετώπισή τους. Τα προβλήματα αφορούν κυρίως την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ

ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Χ. ΑΠ. ΛΑΔΙΑΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Τα μέτρα διασποράς χρησιμεύουν για τη μέτρηση των περιφερειακών ανισοτήτων. Τα περιφερειακά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ

ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ ΠΡΟΓΝΩΣΤΙΚA ΣΥΣTHΜΑΤΑ Ιωάννα Τζουλάκη Κώστας Τσιλίδης Ιωαννίδης: κεφάλαιο 2 Guyatt: κεφάλαιο 18 ΕΠΙςΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ Επιστήμη (θεωρία) Πράξη (φροντίδα υγείας) Γνωστικό μέρος Αιτιό-γνωση Διά-γνωση Πρό-γνωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Πιθανοτική Συλλογιστική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Αβεβαιότητα πεποιθήσεων πράκτορας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες Αξιοποίησης Δεδομένων

Μεθοδολογίες Αξιοποίησης Δεδομένων Μεθοδολογίες Αξιοποίησης Δεδομένων Βλάχος Σ. Ιωάννης Λέκτορας 407/80, Ιατρικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών Εργαστήριο Πειραματικής Χειρουργικής και Χειρουργικής Ερεύνης «Ν.Σ. Σ Χρηστέας» Στάδια Αξιοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη Αναφορά στην ηλικία του θεραπευόµενου. Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής:

Περίληψη Αναφορά στην ηλικία του θεραπευόµενου. Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής: Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής: Έντυπο Συµµόρφωσης προς το Υπόδειγµα Συγγραφής Μελέτης Περίπτωσης µε Κύρια ιάγνωση ιαταραχή Προσωπικότητας Σηµειώστε: Τίτλος Έναρξη µε "Περιγραφή ατοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας

ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας ΕΠΙΣΗΜΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σι είναι επιστήμη 2. Η γέννηση της επιστημονικής γνώσης 3. Οριοθέτηση θεωριών αστικότητας 1. Μια διαδεδομένη αντίληψη περί επιστήμης Γνώση / Κατανόηση των φαινομένων του φυσικού κόσμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές προϋποθέσεις απόκτησης μεταπτυχιακού τίτλου εξειδίκευσης

Τυπικές προϋποθέσεις απόκτησης μεταπτυχιακού τίτλου εξειδίκευσης Εκπονώ διπλωματική ερευνητική εργασία στην εξ αποστάσεως εκπαίδευση: αυτό είναι εκπαιδευτική έρευνα; κι αν ναι, τι έρευνα είναι; Αντώνης Λιοναράκης 7-8 Ιουνίου 2008 Τυπικές προϋποθέσεις απόκτησης μεταπτυχιακού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη (150 λέξεις) Ελληνικά (και Αγγλικά αν ζητείται) Αναφορά στην ηλικία του θεραπευόµενου. Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής:

Περίληψη (150 λέξεις) Ελληνικά (και Αγγλικά αν ζητείται) Αναφορά στην ηλικία του θεραπευόµενου. Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής: Θεραπευτής/τρια: Επόπτης/τρια: Εξωτερικός κριτής: Έντυπο Συµµόρφωσης προς το Υπόδειγµα Συγγραφής Μελέτης Περίπτωσης µε Κύρια ιάγνωση στον Άξονα Ι Σηµειώστε: Τίτλος Έναρξη µε "Περιγραφή ατοµικής περίπτωσης..."

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 8. Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 8 Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αναπαράσταση Γνώσης Σύνολο συντακτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΑ Λ. Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα

ΟΜΑΔΑ Λ. Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα ΟΜΑΔΑ Λ Αναστασίου Κωνσταντίνος Δεληγιάννη Ισαβέλλα Ζωγοπούλου Άννα Κουκάκης Γιώργος Σταθάκη Αρετιάννα ΒΙΟΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Τι είναι η βιοπληροφορική; Αποκαλείται ο επιστημονικός κλάδος ο οποίος προέκυψε από

Διαβάστε περισσότερα

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Αναλογία Λόγος Πηλίκο Αναλογία Proportion Αναλογία (Proportion) Ο αριθµητής ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ στον παρανοµαστή

Διαβάστε περισσότερα