Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.
|
|
|
- Χαράλαμπος Δράκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς στον κλάδο ανάδρασης όπως θα φανεί κατωτέρω: 1. Συστήµατα ΓΧΑ εν σειρά (σε αλληλουχία/cascaded) στον κατευθείαν κλάδο. X(s)... Y(s) Σχήµα 1.1 Έχουµε ήδη θεµελιώσει ότι οποιοσδήποτε πεπερασµένος αριθµός ΓΧΑ συστηµάτων σε σειρά είναι επίσης ένα ΓΧΑ σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς ίση µε το γινόµενο των επιµέρους συναρτήσεων µεταφοράς, δηλαδή στο προκείµενο = (1.1) οπότε και το ανωτέρω σύστηµα είναι ισοδύναµο µε το κάτωθι απλό σύστηµα κλειστού βρόχου. X(s) Y(s) _ Σχήµα Συστήµατα ΓΧΑ εν σειρά (σε αλληλουχία/cascaded) στον κλάδο ανάδρασης. Έστω ο κάτωθι σχηµατισµός:
2 X(s) Σχήµα 2.1 Σύµφωνα µε την προηγούµενη ανάλυση τα εν σειρά ΓΧΑ συστήµατα ισοδυναµούν µε ένα επίσης ΓΧΑ σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς το γινόµενο των συναρτήσεων µεταφοράς των επιµέρους συστηµάτων. Με άλλα λόγια ισχύει για τον κλάδο ανάδρασης = (2.1) και το σύστηµα του σχήµατος 2.1 ισοδυναµεί µε το κάτωθι X(s) Y(s) _ 3. Ισοδύναµες τοπολογίες ελέγχου Σχήµα 2.2 Έχουµε διαπιστώσει από την προηγούµενη ανάλυση ότι η ευστάθεια ενός συστήµατος αυτοµάτου ελέγχου εξαρτάται µόνο από τον παρονοµαστή της συνολικής συνάρτησης µεταφοράς. Επίσης, και η µεταβατική απόκριση του συστήµατος, ουσιαστικά και πρακτικά, επηρεάζεται καθοριστικά από τον ίδιο παρονοµαστή. Το γεγονός αυτό υποδεικνύει ότι διαγράµµατα βαθµίδων κλειστών βρόχων που τελικά οδηγούν σε συνολική συνάρτηση µεταφοράς µε τον ίδιο παρανοµαστή, είναι ισοδύναµα από πλευράς αυτοµάτου ελέγχου. Αυτή η ισοδυναµία θα καταδειχτεί µε συγκεκριµένα παραδείγµατα: α) είξαµε στα προηγούµενα ότι το Γ.Χ.Α. σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς = είναι ασταθές και µπορεί να ελεγχθεί ικανοποιητικά µε το κάτωθι Γ.Χ.Α. σύστηµα κλειστού βρόχου:
3 _ (1) Σχήµα 3.1 Το ανωτέρω σύστηµα κλειστού βρόχου έχει συνάρτηση µεταφοράς = 1 = = ( 1) ( 0.4)(4) και αντιστοιχεί σε ευσταθές σύστηµα δευτέρας τάξεως για k>0.4. Ας θεωρήσουµε τώρα την κάτωθι τοπολογίαδιάγραµµα βαθµίδων: _ (1) Σχήµα 3.2 Η συνάρτηση µεταφοράς του κατευθείαν κλάδου είναι =(1) και η συνολική συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι η = 1 = (1) ( ) ( 1) ( ) 1
4 1 = ( 0.4)(4). Παρατηρούµε ότι η και η έχουν διαφορετικό αριθµητή αλλά τον ίδιο παρονοµαστή, άρα τα δύο αντίστοιχα συστήµατα Γ.Χ.Α. έχουν την ίδια συµπεριφορά από πλευράς ΣΑΕ. Ας θεωρήσουµε τώρα την κάτωθι τοπολογίαδιάγραµµα βαθµίδων: _ (1) Σχήµα 3.3 Η συνάρτηση µεταφοράς του κατευθείαν κλάδου είναι =(1) και η συνολική συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι η = 1 = = (1) ( ) ( 1) ( ) 1 (1) ( 0.4)(4). Παρατηρούµε ότι η, η και η έχουν διαφορετικό αριθµητή αλλά τον ίδιο παρονοµαστή, άρα όλα τα αντίστοιχα Γ.Χ.Α. συστήµατα έχουν την ίδια συµπεριφορά από πλευράς ΣΑΕ, δηλαδή από πλευράς ευστάθειας και συµπεριφοράς στη µεταβατική απόκριση και στη µόνιµη κατάσταση. Παραδείγµατος χάριν, για είσοδο βηµατική συνάρτηση, η έξοδος για > 0.4 είναι, όπου σταθερά η οποία όµως ενδέχεται να αλλάζει από τοπολογία σε τοπολογία. (δηλαδή άλλο κατά κανόνα δίνει το άλλο το άλλο το ). Κάτι τέτοιο όµως, δεν αποτελεί ουσιώδη διαφοροποίηση από πλευράς ΣΑΕ. β) είξαµε στα προηγούµενα ότι το Γ.Χ.Α. σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς = 7 4 6
5 είναι ασταθές. Εξετάζουµε εάν µπορεί να ελεγχθεί µε τη βοήθεια ενός ΓΧΑ συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς βρόχου: =,µε χρήση του κάτωθι κλειστού _ Σχήµα 3.4 Πράγµατι, το σύστηµα αυτό έχει συνάρτηση µεταφοράς την = 1 = = (1)(7 6) Ελέγχουµε την ευστάθεια του µε το κριτήριο του RouthHurwitz. Ισχύει: (1) " Για να είναι το σύστηµα ευσταθές θα πρέπει να συναληθεύουν οι ανισώσεις Άρα πρέπει και αρκεί να ισχύει #($%)&'$&( # και 7 6>0 ( ' < < ". > 0 H διάταξη του σχήµατος 3.4 είναι ισοδύναµη, από πλευράς ΣΑΕ, µε το διάγραµµα βαθµίδων του σχήµατος 3.5.
6 _ Σχήµα 3.5 Όντως, η συνάρτηση µεταφοράς του κατευθείαν κλάδου είναι = και η συνολική συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι η = 1 = = (7) (1)(7 6). Παρατηρούµε ότι η και η έχουν διαφορετικό αριθµητή αλλά τον ίδιο παρονοµαστή, άρα τα δύο αντίστοιχα συστήµατα ΓΧΑ έχουν την ίδια συµπεριφορά από πλευράς ΣΑΕ. Επειδή όσο αριστερότερα είναι όλοι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου, τόσο γρηγορότερα τείνει στην επιθυµητή τιµή η έξοδος, για αυτό ας αναζητήσουµε ένα εύρος τιµών του όπου όλοι οι πόλοι της έχουν πραγµατικό µέρος < 3. Προκειµένου να γίνει αυτό γράφουµε το αρχικό πολυώνυµο ως ένα νέο πολυώνυµο ως προς (3). Προκύπτει συνεπώς η ακόλουθη ταυτότητα 4 (1)(7 6) (3) (3) (3) " (1) Θέτοντας στην (1) = 3 λαµβάνουµε " = 4 Επειδή απαιτούµε η (1)να είναι ταυτότητα µπορούµε να την παραγωγίσουµε οπότε λαµβάνουµε 3 8(1) 3 (3) 2 (3) (2) Θέτοντας στη (2) = 3 λαµβάνουµε =4
7 Παραγωγίζοντας την ταυτότητα (2) λαµβάνουµε 68 6 (3)2 (3) Θέτοντας στην (3) = 3 λαµβάνουµε = 5 Παραγωγίζοντας την ταυτότητα (3) λαµβάνουµε =1 Προφανώς οι συντελεστές του πολυωνύµου. 5. (4).4 όπου. = 3, υποδεικνύουν αµέσως ότι αυτό είναι ασταθές για κάθε και ότι, άρα, δεν υπάρχουν πραγµατικά τα οποία µπορούν να καταστήσουν όλους τους πόλους του αρχικού συστήµατος κλειστού βρόχου να έχουν πραγµατικό µέρος µικρότερο του 3. Ας δούµε αν υπάρχει που κάνει τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου να έχει όλους τους πόλους της µε πραγµατικό µέρος µικρότερο του 0.2. Προκειµένου να γίνει αυτό γράφουµε το αρχικό πολυώνυµο ως ένα νέο πολυώνυµο ως προς. =(0.2), oπότε προκύπτει η ακόλουθη ταυτότητα 4 (1)(7 6) / (0.2) / (0.2) / (0.2)/ " (4) Θέτοντας στην (4) = 0.2 λαµβάνουµε άµεσα / " = #$ '0( 0 0 Επειδή απαιτούµε η (4)να είναι ταυτότητα µπορούµε να την παραγωγίσουµε λαµβάνοντας 3 8(1) 3/ (0.2) 2/ (0.2)/ (5) Θέτοντας εκ νέου στην (5) = 0.2 λαµβάνουµε / = 0 Παραγωγίζοντας την ταυτότητα (5) λαµβάνουµε 68 6/ (0.2)2/ (6) Αντικαθιστώντας στην (6) το µε 0.2 λαµβάνουµε / =3.4 Παραγωγίζοντας την ταυτότητα (6) λαµβάνουµε προφανώς / =1 Για να βρούµε τα πιθανά που καθιστούν το αρχικό πολυώνυµο
8 4 (1)(7 6) να έχει ρίζες, όλες µε πραγµατικό µέρος µικρότερο του 0.2, πρέπει και αρκεί να απαιτήσουµε το πολυώνυµο να είναι ευσταθές. Γιατί;; Άρα εφαρµόζουµε το κριτήριο Routh στο τελευταίο πολυώνυµο " Απαιτώντας η πρώτη στήλη του Routh να είναι να περιέχει εξ ολοκλήρου θετικούς όρους λαµβάνουµε για το τον περιορισµό < < (7) 4. Συστήµατα ΓΧΑ κλειστού βρόχου µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων ανάδρασης συνδεδεµένων εν παραλλήλω. Η ανάλυση θα γίνει κατ αρχήν στο πεδίο του χρόνου
9 Σχήµα 4.1 Ισχύει: 6 = ; 7 =5 6,7 =5 6,,7 =5 6 Και 6 =6 4 Άρα, 6=4 = ;> (4.1) Και επειδή έχουµε αποδείξει ότι το άθροισµα πεπερασµένου πλήθους ΓΧΑ συστηµάτων είναι επίσης ένα ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική απόκριση το άθροισµα των επιµέρους κρουστικών αποκρίσεων, προκύπτει ότι όλος ο κλάδος ανάδρασης ισοδυναµεί µε ένα ΓΧΑ µε κρουστική απόκριση 5 =5 5 5 Μετασχηµατίζοντας τις προηγούµενες σχέσεις κατά LAPLACE λαµβάνουµε και συνολικά λαµβάνουµε για την έξοδο =?(@) A(@) = B(@) %C(@)B(@) (4.2) Εντελώς ανάλογα, εάν υπάρχουν παράλληλοι κατ ευθείαν κλάδοι µε συνάρτηση µεταφοράς,,, ο καθένας, τότε όλοι αυτοί ισοδυναµούν µε έναν συνολικό κατ ευθείαν κλάδο µε συνάρτηση µεταφοράς = (4.3)
10 5. ιάφοροι κλάδοι ανάδρασης µε κοινή αρχή. Θα δείξουµε τον τρόπο αντιµετώπισης αυτής της τοπολογίας µε το κάτωθι συγκεκριµένο παράδειγµα. Σχήµα 5.1 Εκκινώντας από δεξιά, διότι ο κοινός κόµβος είναι στην αρχή των κλάδων ανάδρασης που είναι δεξιά, µετασχηµατίζουµε κάθε κλειστό βρόχο µε ανάδραση, µε ένα απλό ΓΧΑ σύστηµα. Άρα, στο πρώτο βήµα λαµβάνουµε ένα ΓΧΑ µε συνάρτηση µεταφοράς = B D (@) %C D (@)B D (@) οπότε λαµβάνουµε την εξής ισοδύναµη τοπολογία. (5.1) Σχήµα 5.2 Με όµοιο τρόπο αντικαθιστούµε το δεξιά κλειστό βρόχο όπου στον κατ ευθείαν κλάδο υπάρχουν 2 ΓΧΑ συστήµατα εν σειρά µε συναρτήσεις µεταφοράς και
11 και κλάδο ανάδρασης τον, µε ένα ΓΧΑ σύστηµα µε συνολική συνάρτηση µεταφοράς E = 1 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την έκφραση της της σχέσης (5.1) λαµβάνουµε 1 E = 1 1 E = B F (@)B D (@) %C D (@)B D (@)%C F (@)B F (@)B D (@) (5.2) Οπότε λαµβάνουµε την ισοδύναµη τοπολογία του σχήµατος 5.3 Σχήµα 5.3 Στο επόµενο βήµα µε όµοιο τρόπο αντικαθιστούµε το δεξιά κλειστό βρόχο όπου στον κατ ευθείαν κλάδο υπάρχουν 2 ΓΧΑ συστήµατα εν σειρά µε συναρτήσεις µεταφοράς και και κλάδο ανάδρασης τον, µε το τελικό ΓΧΑ σύστηµα το οποίο έχει συνολική συνάρτηση µεταφοράς E= 1 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την έκφραση της της σχέσης (5.2) λαµβάνουµε E = B G (@)B F (@)B D (@) %C D (@)B D (@)%C F (@)B F (@)B D (@)%C G (@)B G (@)B F (@)B D (@) (5.3)
12 6. ιάφοροι κλάδοι ανάδρασης µε κοινό πέρας. Θα δείξουµε τον τρόπο αντιµετώπισης και αυτού του διαγράµµατος βαθµίδος µε το κάτωθι συγκεκριµένο παράδειγµα. Σχήµα 6.1 Εκκινώντας από τον πρώτο αριστερά κόµβο, επειδή το κοινό πέρας βρίσκεται στην αρχή, µετασχηµατίζουµε κάθε κλειστό βρόχο µε ανάδραση, µε ένα απλό ΓΧΑ σύστηµα. Άρα, στο πρώτο βήµα λαµβάνουµε ένα ΓΧΑ σύστηµα µε ευθύ κλάδο το και κλάδο ανάδρασης το και συνάρτηση µεταφοράς = B G (@) %C G (@)B G (@) (6.1) Κατά συνέπεια προκύπτει το ισοδύναµο σύστηµα. Σχήµα 6.2 Πάλι, στον αριστερά κλειστό βρόχο υπάρχουν ένας κατ ευθείαν κλάδος µε 2 ΓΧΑ συστήµατα εν σειρά µε συναρτήσεις µεταφοράς E και και ένας κλάδος
13 ανάδρασης µε συνάρτηση. Αντικαθιστούµε αυτόν τον κλειστό µε ένα ΓΧΑ σύστηµα η συνολική συνάρτηση µεταφοράς του οποίου είναι η ακόλουθη E = E 1 E Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την έκφραση της της σχέσης (6.1) λαµβάνουµε E = B G (@)B F (@) %C G (@)B G (@)%C F (@)B G (@)B F (@) (6.2) Κατά συνέπεια προκύπτει το ισοδύναµο σύστηµα. Σχήµα 6.3 Στο τελικό βήµα έχουµε ένα κλειστό βρόχο µε E και στον ευθύ κλάδο και στον κλάδο ανάδρασης µε συνολική συνάρτηση µεταφοράς = 1 (6.3) 7. Ένα µοντέλο εισαγωγής διαταραχών στο σύστηµα (Εδώ ας µελετηθεί το thetiki_anadrasi) Υπάρχει ένα µοντέλο που συµπεριλαµβάνει ενδεχόµενες διαταραχές στο σύστηµα, σύµφωνα µε το οποίο σε κατάλληλα σηµεία στο βρόχο, οι διαταραχές προστίθενται ως επιπλέον είσοδοι. Ο τρόπος χειρισµού αυτών των µοντέλων θα καταδειχθεί µέσα από συγκεκριµένα παραδείγµατα: α) Έστω η κάτωθι τοπολογία όπου η διαταραχή προστίθεται ως επιπλέον είσοδος στον κατ ευθείαν κλάδο µεταξύ των 2 ΓΧΑ συστηµάτων µε συνάρτηση µεταφοράς και.
14 I Σχήµα 7.1 Επειδή όλα τα επί µέρους συστήµατα είναι γραµµικά µπορούµε να εφαρµόσουµε την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή να θεωρήσουµε τη µία φορά την είσοδο 8 µε H =0 και τη δεύτερη φορά 8 =0 και είσοδο H. Εποµένως αναλύουµε πρώτα τα δύο κάτωθι ΓΧΑ συστήµατα στο πεδίο των. Α1 Σχήµα 7.2 = 1 A2 I Σχήµα 7.3
15 ΠΡΟΣΟΧΗ αν και 8 = 0, o αφαιρέτης παραµένει γεγονός που συνεπάγεται επιβολή αντίθετου προσήµου στην. Επιπλέον ο ευθύς κλάδος του κλειστού βρόχου έχει τώρα µόνο το, ενώ ο κλάδος ανάδρασης έχει εν σειρά τα = > και. ηλαδή το γεγονός ότι στο σηµείο που προστίθεται η H υπάρχει αθροιστής αντί για αφαιρέτη αντισταθµίζεται από την αντιστροφή του προσήµου της. Εποµένως, η συνάρτηση µεταφοράς του νέου κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση E = ενώ η έξοδος από τη σχέση 1 =E I Άρα λόγω της επαλληλίας, η συνολική απόκριση του συστήµατος όταν και η είσοδος 8 και οι διαταραχές ληφθούν υπόψη, θα είναι στο πεδίο των : = = 1 9 I; (7.1) Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως, η συνολική απόκριση δεν έχει Συνάρτηση Μεταφοράς, αφού η έξοδος δεν προκύπτει από συνέλιξη ούτε µε τη 8, ούτε µε 98H;. Όµως, η ευστάθεια του συστήµατος κατά BIBO, ως και η µεταβατική του απόκριση καθορίζονται από το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Μπορούµε δηλαδή να θεωρήσουµε µια «ψευδοείσοδο» της µορφής 9 I; και να εφαρµόσουµε όλες τις προηγούµενες µεθόδους, ως και αυτές που θα αναφερθούν στα επόµενα, στην ψευδο Συνάρτηση Μεταφοράς 1 (7.2) β) Έστω η κάτωθι τοπολογία όπου η διαταραχή προστίθεται ως επιπλέον είσοδος στον κλάδο ανάδρασης µεταξύ των 2 ΓΧΑ συστηµάτων µε συναρτήσεις µεταφοράς και. I
16 Σχήµα 7.4 Επειδή όλα τα επί µέρους συστήµατα είναι γραµµικά µπορούµε να εφαρµόσουµε την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή να θεωρήσουµε τη µία φορά την είσοδο 8 µε H =0 και τη δεύτερη φορά 8 =0 και είσοδο H. Εποµένως αναλύουµε πρώτα τα δύο κάτωθι ΓΧΑ συστήµατα στο πεδίο των. B1 Σχήµα 7.5 = 1 B2 I Σχήµα 7.6 ΠΡΟΣΟΧΗ αν και 8 = 0, o αφαιρέτης παραµένει γεγονός που συνεπάγεται επιβολή αντίθετου προσήµου στην. Επιπλέον ο ευθύς κλάδος του κλειστού βρόχου έχει τώρα εν σειρά τα = > και, ενώ ο κλάδος ανάδρασης έχει µόνο το. ηλαδή το γεγονός ότι στο σηµείο που προστίθεται η Hυπάρχει αθροιστής αντί για αφαιρέτη αντισταθµίζεται από την αντιστροφή του προσήµου της
17 . Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς του νέου κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση E = ενώ η έξοδος από τη σχέση 1 =E I Άρα λόγω της επαλληλίας, η συνολική απόκριση του συστήµατος όταν και η είσοδος 8 και οι διαταραχές ληφθούν υπόψη, θα είναι στο πεδίο των : = = 1 9 I; (7.3) Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως, πάλι η συνολική απόκριση δεν έχει Συνάρτηση Μεταφοράς, αφού η έξοδος δεν προκύπτει από συνέλιξη ούτε µε τη 8, ούτε µε 98H;. Όµως, η ευστάθεια του συστήµατος κατά BIBO, ως και η µεταβατική του απόκριση καθορίζονται από το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Μπορούµε δηλαδή να θεωρήσουµε µια «ψευδοείσοδο» της µορφής 9 I; και να εφαρµόσουµε όλες τις προηγούµενες µεθόδους στην ψευδο Συνάρτηση Μεταφοράς 1 (7.4)
Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης
Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το
Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)
Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω
(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.
Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου
Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =
. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.
Γεωµετρικός Τόπος Ριζών. Σχήµα 2
Γεωµετρικός Τόπος Ριζών Έχουµε ήδη θεµελιώσει ότι η συµπεριφορά ενός ΓΧΑ συστήµατος, από πλευράς ΣΑΕ, καθορίζεται από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, δηλαδή τις ρίζες του παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς-τους
Ευστάθεια συστημάτων
1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή
Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος
Μετασχηματισμοί Laplace
Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1
ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ.Ε. ΜΕ ΚΡΟΥΣΤΙΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Η συνάρτηση δ ( και η παράγωγός της Ορίζεται ως εξής: δ ( ανωµαλο
Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως
Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως Έστω σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς = (1) όπου ω 0 >0. (Το ω 0 συχνά λέγεται κυκλική (φυσική) ιδιοσυχνότητα του συστήµατος) Ισχύει = = + +. 1)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου Χειμερινού εξαμήνου 203 4 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Β Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας
ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος
εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.
εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC. 1. Πρώτη µέθοδος περιγραφής του συστήµατος, µέσω ολοκληρωτικοδιαφορικών εξισώσεων. Έστω ένα κύκλωµα L,C,R εν σειρά µε πηγή τάσης. Το κύκλωµα αυτό το θεωρούµε
Σ. Φωτόπουλος -1- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο 2 ο
Σ. Φωτόπουλος -- ΨΕΣ- AΣΚΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ- Κεφάλαιο ο Άσκηση. Περιγράψτε τα σήµατα που φαίνονται στο σχήµα. χρησιµοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση µοναδιαίας κρούσης δ[]. x[] + x[] + + + + + (a) (b) -.5 Σχήµα.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε
Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής:
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Άσκηση : Δίνεται το LTI σύστηµα y[ n ] T{ x[ n ] } που ορίζεται από την αναδροµική σχέση: y[n ]y[n - ] +x[n ]- x[ n -] +x[ n - ] ( ). Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος H(z ). 𝑦
Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα
Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς
Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα
1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό
Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και. (t 2) * x 2
Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 0: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 0-3 -- Εαρινό Εξάµηνο Σειρά Ασκήσεων αρ. 6 Παρασκευή 5 Απριλίου
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)
Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές
[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1
![[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1](/thumbs/62/47162790.jpg "[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία
Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις
Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.
3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών
Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.
3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση
Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα
1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+
Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση
Ο Βρόχος Ρύθµισης µε Ανατροφοδότηση Ο Βρόχος Ανατροφοδότησης Στοιχεία ιεργασίας και Όργανα Μέτρησης ιατάξεις ιαγραµµάτων Βαθµίδας Μέτρα Απόδοσης Ρύθµισης Επιλογή Μεταβλητών Ρύθµισης 1 Ο βρόχος ανατροφοδότησης!
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
x(t) = 4 cos(2π600t π/3) + 2 sin(2π900t + π/4) + sin(2π1200t) (1) w(t) = y(t)z(t) = 2δ(t + 1) (2) (2 sin(2π900t + π/4) t= 1 + sin(2π1200t) )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.0/10.0
lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1
Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική
Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 10 Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Α. Εισαγωγή Οποιοδήποτε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα διακριτού χρόνου χαρακτηρίζεται πλήρως από τη συνάρτηση µεταφοράς του η οποία έχει
Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)
Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : p(t) v(t) v(t) Πίεση στό γκάζι Σήµα εισόδου t ΣΥΣΤΗΜΑ Ταχύτης του αυτοκινήτου Σήµα εξόδου t
5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα
5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
e-mail@p-theodoropoulos.gr
Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή
ΣΑΕ 1. Σημειώσεις από τις παραδόσεις. Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes
ΣΑΕ Σημειώσεις από τις παραδόσεις Για τον κώδικα σε L A TEX, ενημερώσεις και προτάσεις: https://github.com/kongr45gpen/ece-notes Οκτώβριος-Ιανουάριος 207 Τελευταία ενημέρωση: 3 Οκτωβρίου 207 Συστήματα
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015
Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 205 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Ο ηλεκτρικός θερμοσίφωνας χρησιμοποιείται για τη θέρμανση νερού σε μια προκαθορισμένη επιθυμητή θερμοκρασία (θερμοκρασία
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.
ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων
ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις
Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:
1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές
Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΚΤΥΟΥ R-L σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ και ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΠΑΛΜΟ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΙΚΤΥΟΥ R- σε ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ και ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΠΑΛΜΟ ρ. Α. Μαγουλάς Μάρτιος 2017 1 1. Εισαγωγή Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα απλό δίκτυο R. ιέγερση (είσοδος)
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Μετασχηµατισµός Laplace. Εστω
Κεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
5 Παράγωγος συνάρτησης
5 Παράγωγος συνάρτησης Ας ϑεωρήσουµε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Για κάθε 0 [a, b] ορίζουµε µια νέα συνάρτηση µε τύπο µε πεδίο ορισµού D(Π 0 ) = D(f ) { 0 }. Την συνάρτηση Π 0 Π 0 () =
3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα
Εισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων
Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να
Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.
2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των
Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Άσκηση 1 (α) ============================================================== Έχουµε L = π, εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 2 a. cos. a n. b n.
http://elear.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 6ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση
που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης
1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις
11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες
Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info
e 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση
26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Μελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση 0. ) Γενικά για την Ηµιτονική Μόνιµη Κατάσταση ( Η.Μ.Κ.) Η µελέτη ενός ηλεκτρικού δικτύου γίνεται πρώτιστα στο στο πεδίο του χρόνου.
< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε
Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών
Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ:
Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου
ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται
Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Χρονική Απόκριση Συστηµάτων Τα περισσότερα συστήµατα είναι από την φύση τους δυναµικά και παρουσιάζουν κάποιας µορφής αδράνεια
Επαναληπτικές Ασκήσεις για το µάθηµα Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων
Άσκηση η α) Πώς θα µετρήσετε πρακτικά πόσο κοντά είναι ένα σήµα σε λευκό θόρυβο; Αναφέρατε 3 διαφορετικές µεθόδους (κριτήρια) για την απόφαση: "Ναι, πρόκειται για σήµα που είναι πολύ κοντά σε λευκό θόρυβο"
ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014
Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.
Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).