Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Transcript

1 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli

2 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 5 DiSfano [995]: Chapr 3: Scion 3.5, Chapr : Scion. &. Twari [5]: Chapr 3 & 4 6 Nicola Tapaouli

3 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ορισµός Καταστάσεων και Χώρου Κατάστασης Οι εξισώσεις είναι µια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου ηοποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για µια µεγάλη γκάµα συστηµάτων όπως γραµµικά, µη γραµµικά, χρονικά αναλλοίωτα ή µη, µε ή χωρίς αρχικές συνθήκες Κατάσταση ονοµάζουµε ένα σύνολο εσωτερικών µεταβλητών του συστήµατος η παρακολούθηση των οποίων στον χρόνο µας περιγράφει το σύστηµα. Οι παραπάνω µεταβλητές ονοµάζονται µεταβλητές Χώρος ονοµάζεται ο Ευκλείδιος χώρος ο οποίος δηµιουργείται από τις µεταβλητές Ορισµός: Οι µεταβλητές,,, n ενός συστήµατος ορίζονται ως ένας ελάχιστος αριθµός µεταβλητών τέτοιων ώστε αν γνωρίζουµε τις τιµές τους για οποιαδήποτε χρονική στιγµή, τη συνάρτηση εισόδου που εφαρµόζεται στο σύστηµα για, και το µαθηµατικό νόµο που συνδέει την είσοδο, τις µεταβλητές και το σύστηµα, να καθίσταται δυνατός ο προσδιορισµός της του συστήµατος για οποιαδήποτε χρονική στιγµή. 6 Nicola Tapaouli

4 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Πλήθος και επιλογή µεταβλητών Ο ελάχιστος αριθµός των µεταβλητών είναι ίσος µε την τάξη του συστήµατος: Αυτό είναι απαραίτητο διότι για τον πλήρη προσδιορισµό της εξόδου ενός συστήµατος τάξης n χρειάζονται n αρχικές συνθήκες. Εφόσον οι µεταβλητές µπορούν να προδιαγράψουν πλήρως το σύστηµα για οποιαδήποτε χρονική στιγµή είναι φανερό ότι πρέπει να είναι ίσες σε πλήθος µε το πλήθος των αρχικών συνθηκών. Οι µεταβλητές για να µπορούν να περιγράψουν πλήρως το σύστηµα πρέπει να είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Για την περιγραφή ενός συστήµατος µπορούν να επιλεγούν διάφορα σύνολα µεταβλητών φτάνει να έχουν πλήθος n όσο η τάξη του συστήµατος και να είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Σε ηλεκτρικά και ηλεκτρονικά κυκλώµατα οι µεταβλητές είναι συνήθως γραµµικές συναρτήσεις των α φορτίων των πυκνωτών, β ρευµάτων στα πηνία. Τα στοιχεία αυτά µπορούν να έχουν αρχικές συνθήκες οι οποίες επηρεάζουν τον προσδιορισµό της εξόδου του συστήµατος. 6 Nicola Tapaouli

5 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Σ.Α.Ε στο χώρο Έστω το σύστηµα πολλών εισόδων πολλών εξόδων του σχήµατος. Μπορούµε να εκφράσουµε τις m εισόδους, p εξόδους και n µεταβλητές ως διανύσµατα: u y u Οι εξισώσεις ενός συστήµατος είναι ένα σύστηµα n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που συνδέει το διάνυσµα εισόδου u µε το διάνυσµα και έχει τη µορφή: u u m y y y p [, u ] & f n όπου f είναι µια στήλη µε n στοιχεία. Η συνάρτηση f είναι γενικά µια πεπλεγµένη µη γραµµική συνάρτηση των και u Το διάνυσµα εξόδου y συνδέεται µε τα διανύσµατα εισόδου u και µε την εξίσωση εξόδου: [, u ] y g 6 Nicola Tapaouli

6 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εξισώσεις Κατάστασης ΙΙΙ όπου g είναι µια στήλη µε p στοιχεία. Η συνάρτηση g είναι γενικά µια πεπλεγµένη µη γραµµική συνάρτηση των και u Οι αρχικές συνθήκες των εξισώσεων είναι οι τιµές του διανύσµατος για ισούται συνήθως µε και συµβολίζονται ως εξής: n Οι εξισώσεις, η εξίσωση εισόδου και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν την περιγραφή ενός δυναµικού συστήµατος στο χώρο : [, u ] [, u ] & f y g 6 Nicola Tapaouli

7 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εξισώσεις A Αν ένα γραµµικό µη χρονικά µεταβαλλόµενο σύστηµα µπορεί να περιγραφεί από ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις παίρνουν την ειδική µορφή: & A Bu y C Du Ο πίνακας Α έχει διαστάσεις nn και ονοµάζεται πίνακας του συστήµατος, ο πίνακας Β έχει διαστάσεις nm και ονοµάζεται πίνακας εισόδου, ο πίνακας C έχει διαστάσεις pn και ονοµάζεται πίνακας εξόδου, ο πίνακας D έχει διαστάσεις pm και ονοµάζεται απευθείας πίνακας. a a... a b b... b c c... cn d d... dm a : a n a n... a n a... a : : n nn b B : bn b n... b m b... b : : m nm c C : c p c c... c : : p... c n pn d D : d p d d... d : : p... d m pm 6 Nicola Tapaouli

8 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή γραµµικών χρονικά µεταβαλλόµενων συστηµάτων Αν ένα γραµµικό χρονικά µεταβαλλόµενο σύστηµα µπορεί να περιγραφεί από ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τότε οι εξισώσεις παίρνουν τη µορφή: & A B u y C D u 6 Nicola Tapaouli

9 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicola Tapaouli Παράδειγµα Το ηλεκτρικό κύκλωµα του σχήµατος περιγράφεται από την Ο..Ε έξοδος η τάση στα άκρα της αντίστασης: Θεωρώντας ως µεταβλητές το ρεύµα στο πηνίο, i L τo φορτίο του πυκνωτή τότε ισχύει v Ri d i C d di L τ τ i C d τ τ i i L C & v R C L & v L LC L R & & [ ] R y CV i CV i c L Ορισµός Κατάστασης Λύση εξισώσεων

10 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Λύση Εξισώσεων Κατάστασης Η λύση των εξισώσεων στοχεύει στον προσδιορισµό του διανύσµατος για κάθε χρονική στιγµή συνήθως το λαµβάνεται ίσο µε µηδέν. Η λύση των εξισώσεων & A Bu µε αρχικές συνθήκες: περιλαµβάνει την εύρεση της λύσης της οµογενούς εξίσωσης: & A η οποία ονοµάζεται ελεύθερη απόκριση του συστήµατος, καθώς και την εύρεση της απόκρισης του συστήµατος στη διέγερση u η οποία ονοµάζεται διεγερµένη απόκριση. Για την εύρεση της ελεύθερης απόκρισης µετασχηµατίζουµε κατά Laplac την οµογενή εξίσωση: & A X AX L { I A } > > 6 Nicola Tapaouli

11 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Μεταβατικός πίνακας Ο πίνακας Φ L { I A } ονοµάζεται µεταβατικός πίνακας διότι µας προσδιορίζει τη µετάβαση του διανύσµατος από την αρχική κατάσταση Ι είναι ο πίνακας µε µοναδικά µη µηδενικά στοιχεία αυτά της κύριας διαγωνίου σε οποιαδήποτε τελική κατάσταση. Φ L { I A Ο πίνακας µπορεί να προσδιοριστεί από το ανάπτυγµα Taylor: 3 Φ I A A A! 3! Φ για αυτό και συµβολίζεται µε } 3 A... Ιδιότητες µεταβατικού πίνακα : Φ I Φ Φ Φ Φ Φ,, k Φ Φ k 6 Nicola Tapaouli

12 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Υπολογισµός µεταβατικού πίνακα Υπάρχουν διάφορες µέθοδοι για τον υπολογισµό του µεταβατικού πίνακα : Μέθοδος : Απευθείας υπολογισµός από τη σχέση Φ L { I A Η µέθοδος αυτή είναι δύσκολή όταν ο πίνακας Α έχει διαστάσεις µεγαλύτερες από 33 εξαιτίας της δυσκολίας αντιστροφής του πίνακα: } I A Παράδειγµα: Να ευρεθεί ο µεταβατικός πίνακας για το σύστηµα & A Bu µε A 3 B και να υπολογίσετε το διάνυσµα 6 Nicola Tapaouli

13 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicola Tapaouli Παράδειγµα Σχηµατίζουµε τον πίνακα: οπότε ο µεταβατικός πίνακας θα είναι: και το διάνυσµα ισούται µε: Ορισµός Κατάστασης Λύση εξισώσεων A I 3 A I L L Φ in co in in in co Φ Φ in in co in co in in in co

14 Λύση εξισώσεων.5 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα συν. Sa pac vcor Η χρονική µορφή του διανύσµατος φαίνεται στο σχήµα. Είναι φανερό πως η ελεύθερη απόκριση του συστήµατος στις συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες προοδευτικά µηδενίζεται Για τον υπολογισµό του µεταβατικού πίνακα στη Malab χρειάζεται η χρήση του ymbolic mah oolbo: Εντολές: ym για ορισµό της ως συµβολικής µεταβλητής Phi pma*; όπου ο Α έχει οριστεί σύµφωνα µε τις τιµές που δόθηκαν στην εκφώνηση του παραδείγµατος 6 Nicola Tapaouli

15 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Υπολογισµός µεταβατικού πίνακα ΙΙ Μέθοδος : Υπολογισµός από τη σχέση µε τη βοήθεια του αλγορίθµου του Lvrrir o οποίος χρησιµοποιείται για την αντιστροφή του πίνακα: Φ L { Φ } όπου: Φ L { I A I A Φ και οι πίνακες F i και οι συντελεστές a i υπολογίζονται επαναληπτικά από τις σχέσεις: F I F AF I a a a ίχνος A F ίχνος A F } n F n a n n F... F... a n n a F n n F n n n AF a I a ίχνος A n n F n Ο αλγόριθµος Lvrrir αναπτύχθηκε για ευκολία υπολογισµού του αντίστροφου του πίνακα I A µέσω υπολογιστή. 6 Nicola Tapaouli

16 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Υπολογισµός µεταβατικού πίνακα ΙΙΙ Μέθοδος 3: Με διαγωνοποίηση του πίνακα A ισχύει εφόσον οι ιδιοτιµές του A είναι διακριτές, δηλαδή δεν έχουµε ιδιοτιµές µε πολλαπλότητα µεγαλύτερη από. Οι ιδιοτιµές λ i, i,,n, του πίνακα A δίνονται αποτελούν λύσεις της εξίσωσης: λi A λi A δηλαδή είναι τιµές του λ για τις οποίες µηδενίζεται η ορίζουσα Σηµειώνεται ότι η ορίζουσα I A µας δίνει το Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο του συστήµατος. Εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα A αποτελούν τους πόλους του πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς. TΛT Εφόσον ο πίνακας Α διαγωνοποιείται µπορεί να γραφεί ως: όπου T ο πίνακας µε στήλες τα ιδιοδιανύσµατα του Α και Λ ο πίνακας µε διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του Α. λ... λ... Λ λn... λ n A 6 Nicola Tapaouli

17 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Υπολογισµός µεταβατικού πίνακα ΙV Μέθοδος 3 συν: Με βάση τα προηγούµενα ο µεταβατικός πίνακας µπορεί να γραφεί: Φ TT T I Λ T Λ TΛT T A I A!! Λ! A 3 3 A... 3! TΛT I A3! TΛT 3! Λ T όπου Λ λ... λ λ n... λ n 6 Nicola Tapaouli

18 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα: Να ευρεθεί ο µεταβατικός πίνακας µε διαγωνοποίηση του πίνακα Α για το σύστηµα A Bu µε A B 3 & και να υπολογίσετε το διάνυσµα Λύση: λi A λ 3λ > λ -, λ -. Οι ιδιοτιµές είναι διακριτές άρα ο πίνακας Α µπορεί να διαγωνοποιηθεί. Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις παραπάνω ιδιοτιµές ικανοποιούν τη σχέση: Av i λ v και είναι βλέπε εντολή ig στη Malab v i i v οπότε ο πίνακας Τ είναι: T Nicola Tapaouli

19 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicola Tapaouli Παράδειγµα συν. Εποµένως ο µεταβατικός πίνακας θα είναι: τελικά και το διάνυσµα ισούται µε: Ορισµός Κατάστασης Λύση εξισώσεων T T Φ Λ Φ. Φ

20 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα συν. Sa pac vcor Η χρονική µορφή του διανύσµατος φαίνεται στο σχήµα..5 Είναι φανερό πως η ελεύθερη απόκριση του συστήµατος στις συγκεκριµένες αρχικές συνθήκες προοδευτικά µηδενίζεται Nicola Tapaouli

21 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Υπολογισµός µεταβατικού πίνακα V Μέθοδος 4: Η τελευταία µέθοδος για υπολογισµό του µεταβατικού πίνακα βασίζεται στη σχέση: 3 Φ I A A A! 3! 3... και είναι καθαρά προγραµµατιστική. Επειδή η παραπάνω σειρά έχει άπειρους όρους ο υπολογισµός του µεταβατικού πίνακα είναι προσεγγιστικός: Φ I A A! ˆ 3 3 A 3!... A k! k k 6 Nicola Tapaouli

22 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Γενική λύση εξισώσεων Η γενική λύση των εξισώσεων & A Bu στοχεύει υπολογίζει και τη διεγερµένη απόκριση η οποία βασίζεται και αυτή στον µεταβατικό πίνακα και δίνεται από το συνελικτικό ολοκλήρωµα: Φ Φ τ Βu τ dτ Ο υπολογισµός του παραπάνω συνελικτικού ολοκληρώµατος είναι δύσκολος για τις περισσότερες µορφές εισόδου εξαίρεση αποτελούν η κρουστική και η βηµατική συνάρτηση. Ο απλούστερος τρόπος για την εύρεση του διανύσµατος είναι η χρήση του µετασχηµατισµού Laplac: & > X AX BU A Bu Ι A X BU > X Ι A BU 6 Nicola Tapaouli

23 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicola Tapaouli Παράδειγµα Παράδειγµα: Να υπολογίσετε το διάνυσµα για το σύστηµα: όταν η είσοδος είναι η βηµατική συνάρτηση u Λύση: Ορισµός Κατάστασης Λύση εξισώσεων Bu A & 3 A B A I Φ BU Φ X

24 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα συν. Οπότε τελικά: co 9in co 8in Sa pac vcor Nicola Tapaouli

25 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ελέγξιµο διανύσµατος Ορισµός: Θεώρηµα: Η έννοια του ελέγξιµου αναφέρεται στη δυνατότητα ελέγχου του διανύσµατος από το διάνυσµα εισόδου. Η δυνατότητα προσδιορισµού της ελεγξιµότητας είναι ένα από τα βασικά πλεονεκτήµατα της περιγραφής συστηµάτων µέσω των εξισώσεων. & A Bu y C Du Το διάνυσµα είναι ελέγξιµο αν υπάρχει κάποια τµηµατικά συνεχής συνάρτηση εισόδου ελέγχου u που µπορεί να οδηγήσει το από την αρχική συνθήκη στη τελική του τιµή f σε ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα f -. Το διάνυσµα του συστήµατος που περιγράφεται από τις παραπάνω εξισώσεις είναι ελέγξιµο τότε και µόνο τότε η τάξη του πίνακα S διαστάσεων nnm είναι ίση µε n υπάρχουν δηλαδή n ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα S S n [ B AB A B... A B] 6 Nicola Tapaouli

26 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ελέγξιµο διανύσµατος εξόδου Η έννοια του ελέγξιµου της εξόδου αναφέρεται στη δυνατότητα ελέγχου του διανύσµατος εξόδου από το διάνυσµα εισόδου. Ορισµός: Το διάνυσµα εξόδου y είναι ελέγξιµο αν υπάρχει κάποια τµηµατικά συνεχής συνάρτηση εισόδου ελέγχου u που µπορεί να οδηγήσει το y από την αρχική συνθήκη y στη τελική του τιµή y f σε ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα f -. Θεώρηµα: & A Bu y C Du Το διάνυσµα εξόδου y του συστήµατος που περιγράφεται από τις παραπάνω εξισώσεις είναι ελέγξιµο τότε και µόνο τότε η τάξη του πίνακα Q διαστάσεων pmn είναι ίση µε p υπάρχουν δηλαδή p ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα Q Q n [ D CB CAB CA B... CA B] 6 Nicola Tapaouli

27 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Να ελεγχθεί το ελέγξιµο του διανύσµατος και του διανύσµατος εξόδου για το σύστηµα A Bu & y C Du µε A 3 5 B C D Λύση: Κατασκευάζουµε τους πίνακες S και Q έχουµε nmp: S [ B AB] 5 Q [ D CB CAB] η τάξη του S είναι, άρα το διάνυσµα είναι ελέγξιµο. Η τάξη του Q είναι άρα το διάνυσµα εξόδου είναι ελέγξιµο 5 6 Nicola Tapaouli

28 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙΙ Να ελεγχθεί το ελέγξιµο του διανύσµατος και του διανύσµατος εξόδου για το σύστηµα A Bu & y C Du µε A 3 5 B C [ ] D [ ] Λύση: Κατασκευάζουµε τους πίνακες S και Q έχουµε n,mp: S [ B AB] [ D CB ] [ ] Q CAB η τάξη του S είναι ορίζουσα S, άρα το διάνυσµα δεν είναι ελέγξιµο. Η τάξη του Q είναι άρα το διάνυσµα εξόδου είναι ελέγξιµο 6 Nicola Tapaouli

29 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παρατηρήσιµο διανύσµατος Η έννοια του παρατηρήσιµου αναφέρεται στη δυνατότητα προσδιορισµού των αρχικών συνθηκών αρχική κατάσταση συστήµατος µε βάση τα διανύσµατα εισόδου u και εξόδου y τα οποία µετράµε σε ένα πεπερασµένο χρονικό διάστηµα. Σε περίπτωση που έστω καιµια µεταβλητή δεν είναι παρατηρήσιµη τότε το σύστηµα συνολικά δεν είναι παρατηρήσιµο. Η δυνατότητα προσδιορισµού του παρατηρήσιµου ενός συστήµατος είναι ένα από τα βασικά πλεονεκτήµατα της περιγραφής συστηµάτων µέσω των εξισώσεων. & A Bu y C Du Ορισµός: Το διάνυσµα είναι παρατηρήσιµο στο διάστηµα [ f ] όταν γνωρίζοντας τα τα διανύσµατα εισόδου u και εξόδου y για є[ f ] µπορούµε να προσδιορίσουµε το διάνυσµα αρχικών συνθηκών 6 Nicola Tapaouli

30 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παρατηρήσιµο διανύσµατος ΙΙ Θεώρηµα: Το διάνυσµα του συστήµατος που περιγράφεται από τις παρακάτω εξισώσεις είναι παρατηρήσιµο τότε και µόνο τότε η τάξη του πίνακα R διαστάσεων nnp είναι ίση µε n υπάρχουν δηλαδή n ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα R R T C T A T C T T T T n T A C... A C Παράδειγµα: Να βρεθεί αν το διάνυσµα του συστήµατος µε C A B 3 είναι παρατηρήσιµο: [ ] Λύση T Ο πίνακας R είναι T T R C A C σύστηµα δεν είναι παρατηρήσιµο T T A T C 3 9 τάξης, άρα το 6 Nicola Tapaouli

31 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Πίνακας Συναρτήσεων Μεταφοράς Από τις εξισώσεις µπορούµε να µεταβούµε σε περιγραφή µε πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς H υπό την προϋπόθεση µηδενικών αρχικών συνθηκών µε χρήση το µετασχηµατισµού Laplac: Y H U & A Bu X Ι A BU X AX BU > > y C Du > Y CX DU οπότε άρα C I A B D U Y H C I A B D 6 Nicola Tapaouli

32 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συναρτήσεις Μεταφοράς και ελέγξιµο και παρατηρήσιµο Θεώρηµα : Αν ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H ενός συστήµατος παρουσιάζει απαλοιφή πόλων µηδενικών τότε το σύστηµα είναι είτε µη ελέγξιµο ή µη παρατηρήσιµο ή και τα δύο. Αν δεν έχουµε απαλοιφή πόλων µηδενικών τότε το σύστηµα µε πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς H µπορεί να περιγραφεί µε εξισώσεις ως ένα ελέγξιµο και παρατηρήσιµο σύστηµα. Θεώρηµα : Ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H περιέχει µόνο το ελέγξιµο και παρατηρήσιµο µέρος ενός συστήµατος εκτός ειδικών περιπτώσεων όπου το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες πολλαπλότητας µεγαλύτερης από. 6 Nicola Tapaouli

33 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Nicola Tapaouli Συναρτήσεις Μεταφοράς και ελέγξιµο και παρατηρήσιµο ΙΙ Παράδειγµα: Έστω το ηλεκτρονικό κύκλωµα του σχήµατος: Ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H έχει τη µορφή: Παρατηρούµε ότι αν C R f C R f η H παρουσιάζει απαλοιφή πόλου µηδενικού και γίνεται οπότε το σύστηµα εµφαίνεται ως τάξης ενώ είναι φανερό ότι είναι τάξης Ορισµός Κατάστασης Λύση εξισώσεων V V H H H H V V R C R R H f f H R C R C H f R C R C R C R R H f f f R C R R H f

34 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ευστάθειας στο χώρο Συστήµατα µε περιγραφή στο χώρο µπορούν να ελεγχθούν ως προς την ευστάθεια τους µε τη βοήθεια των πιο κάτω ορισµών: Ορισµός : Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα Θεωρούµε ότι το σύστηµα είναι µηδενικής διέγερσης u, εξετάζουµε δηλαδή την ελεύθερη απόκριση του συστήµατος. Το σύστηµα είναι ευσταθές αν για κάθε πεπερασµένη αρχική συνθήκη υπάρχει αριθµός Μ τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες: όπου... ελεύθερη είσοδο. είναι το µέτρο του διανύσµατος για Με δεδοµένο ότι η ελεύθερη απόκριση του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: ισοδυναµούν µε & A Bu < M, lim n Φ y C Du και ότι το είναι πεπερασµένο, οι παραπάνω σχέσεις lim Φ δηλαδή όλα τα στοιχεία του µεταβατικού πίνακα µηδενίζονται µε την πάροδο του χρόνου 6 Nicola Tapaouli

35 Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Έλεγχος ευστάθειας στο χώρο ΙΙ Ορισµός : Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα: & A Bu y C Du για το οποίο ισχύει εφόσον είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο: H C I A B D Το σύστηµα είναι ευσταθές αν οι ιδιοτιµές του πίνακα A ισοδύναµα οι πόλοι του Χ.Π. p I A µέρος αρνητικό. βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο έχουν πραγµατικό 6 Nicola Tapaouli

36 Λύση εξισώσεων Παράδειγµα: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Λύση Να ελεγχθεί η ευστάθεια του συστήµατος µε: [ ] C A B 3 D [ ] και να υπολογιστεί ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H C I A B D Οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι λ -3, λ -, λ 3 -. Όλες έχουν αρνητικό πραγµατικό µέρος άρα το σύστηµα είναι ευσταθές. 3 Ο µεταβατικός πίνακας είναι: Φ όλα τα στοιχεία του µηδενίζονται όταν ->, άρα και µε αυτό το κριτήριο προκύπτει ότι το σύστηµα είναι ευσταθές. Ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς είναι: H 3 Είναι φανερό ότι έχουµε απαλοιφή πόλων µηδενικών διότι σύµφωνα µε τον πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς το σύστηµα είναι πρώτης τάξης µε Χ.Π. p3 6 Nicola Tapaouli