1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών"

Transcript

1 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. Μια ακολουθία ϑα είναι ορισµένη αν γνωρίζουµε ποιός πραγµατικός αριθµός αντιστοιχεί σε κάθε ϕυσικό αριθµό. Συµβολικοί τρόποι που µας εξασφαλίζουν αυτό είναι οι εξής : α) Να δίνεται ο νιοστός όρος της ακολουθίας συναρτήσει του, έτσι ώστε για κάθε N να έχουµε την τιµή του αντίστοιχου όρου π.χ. να λέµε : ίνεται η ακολουθία Τότε µπορούµε να πάρουµε a =, =, 2, 3,... + a = + 2 = 3, a 2 = = 2 4, a 3 = = 3 5,... a = + 2,... Αν δεν πρόκειται για µια συγκεκριµένη ακολουθία, αλλά για µια τυχαία, ϑέλοντας να δηλώσουµε ότι γνωρίζουµε το νόµο ϐάσει του οποίου κάθε N αντιστοιχεί σ έναν και µόνο πραγµατικό αριθµό γράφουµε : δίνεται η ακολουθία {a }, =, 2, 3,... δίνεται η ακολουθία {a } N, =, 2, 3,... δίνεται η ακολουθία a N, =, 2, 3,... ή πιο απλά δίνεται η ακολουθία (a ), N. Επιπλέον, αφού η ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το N και τιµές στο R, µπορούµε να γράψουµε δίνεται η ακολουθία, a : N R ή δίνεται η ακολουθία, N a R ϐ) Ενας άλλος τρόπος µε τον οποίο µπορεί να ορισθεί µια ακολουθία είναι µε τον αναδροµικό τύπο, δηλαδή να µας δίνουν τον πρώτο όρο της ακολουθίας και ένα νόµο µέσου του οποίου µπορεί να υπολογισθεί ο τυχαίος όρος της ακολουθίας από τον προηγούµενό του. Τότε από την γνωστή επαγωγική µέθοδο µπορούµε να υπολογίσουµε τον κάθε όρο της ακολουθίας, γιατί ο πρώτος είναι γνωστός και µε την υπόθεση ότι γνωρίζουµε τον όρο τάξης k µπορούµε να υπολογίσουµε τον όρο τάξης k +. Π.χ. δίνεται η ακολουθία µε πρώτο όρο τον a = /2 και a + = 2a + 3, N. Τότε λέµε ότι η ακολουθία ορίζεται από αναδροµικό τύπο πρώτης τάξης. Αν γνωρίζουµε τους δυο πρώτους όρους κι έναν νόµο µε το οποίο µπορεί να υπολογιστεί ο τυχαίος όρος της ακολουθίας από τους δύο προηγούµενούς του, π.χ. αν έχουµε a =, a 2 = /2 και a +2 = a + 2a + 3, N, τότε λέµε ότι η ακολουθία (a ) ορίζεται από αναδροµικό τύπο δεύτερης τάξης, και µε όµοιο τρόπο µπορεί να γενικευθεί σε αναδροµικό τύπο τρίτης, τέταρτης τάξης κ.ο.κ.

2 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 2 Μονοτονία και ϕράγµα ακολουθίας 2. Μονοτονία Ορισµός 2.. Μια ακολουθία (a ) λέγεται γνήσια αύξουσα αν και µόνο αν a + > a για κάθε N. Συµβολικά έχουµε (a ) ορ a + > a N. Αν µια ακολουθία (a ) είναι γνήσια αύξουσα τότε ο τυχαίος όρος της ακολουθίας είναι µεγαλύτερος από κάθε προηγούµενό του, οπότε ένας ισοδύναµος ορισµός είναι (a ) ορ, m N µε m > a m > a. Ορισµός 2.2. Μια ακολουθία (a ) λέγεται γνήσια ϕθίνουσα αν και µόνο αν a + < a για κάθε N. Συµβολικά έχουµε (a ) ορ a + < a N. Σε µια γνήσια ϕθίνουσα ακολουθία ο τυχαίος όρος αυτής είναι µικρότερος από κάθε προηγούµενό του, οπότε έχουµε τον ισοδύναµο ορισµό (a ) ορ, m N µε m > a m < a. Αν στους προηγούµενους ορισµούς ισχύει η ισότητα a + = a για τουλάχιστον µια τιµή του τότε ϑα έχουµε a + a ( ή a + a ), N, οπότε η ακολουθία ϑα λέγεται αύξουσα (ή ϕθίνουσα), αντίστοιχα, και σηµειώνουµε (a ), ή (a ) αναλόγως. Αν µια ακολουθία ικανοποιεί έναν από τους παραπάνω ορισµούς λέγεται µονότονη. Για να διαπιστώσουµε την µονοτονία µιας δοσµένης ακολουθίας (a ), εργαζόµαστε µε έναν από τους παρακάτω τρόπους : Σχηµατίζουµε την διαφορά a a. Αν a a > 0 ( < 0 ), N, η (a ) είναι γνήσια αύξουσα ( γνήσια ϕθίνουσα ), αντίστοιχα. Αν για τουλάχιστο ενα στις παραπάνω ανισότητες έχουµε ισότητα τότε η (a ) είναι αύξουσα ( ϕθίνουσα ), αντίστοιχα. Αν οι όροι της ακολουθίας διατηρούν πρόσηµο µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον λόγο a + a µονοτονία. και να τον συγκρίνουµε µε την µονάδα, οπότε ϐγάζουµε συµπέρασµα για την Αν ϑέλουµε να δείξουµε ένα συγκεκριµένο είδος µονοτονίας τότε ξεκινάµε από αυτό που ϑέλουµε να δείξουµε και µε ισοδυναµίες καταλήγουµε σε σχέση που ισχύει. Αν η ακολουθία µας δίνεται από αναδροµικό τύπο, τότε συνήθως διαπιστώνουµε την µονοτονία χρησιµοποιώντας την επαγωγική µέθοδο. 2

3 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 2.2 Φράγµα Ορισµός 2.3. Μια ακολουθία (a ) λέγεται άνω ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός B τέτοιος ώστε a B, N. Ο B λέγεται ένα άνω ϕράγµα της (a ). Προφανώς το άνω ϕράγµα B της (a ) δεν καθορίζεται µονοσήµαντα αφού κάθε B > B ϑα είναι κι αυτός ένα άνω ϕράγµα. Αν η (a ) είναι (γνήσια) ϕθίνουσα τότε (a ) a, N οπότε ένα άνω ϕράγµα είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας. Κατ αναλογία έχουµε Ορισµός 2.4. Μια ακολουθία (a ) λέγεται κάτω ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός b τέτοιος ώστε b a, N. Το b λέγεται ένα κάτω ϕράγµα της (a ). Ορισµός 2.5. Μια ακολουθία (a ) λέγεται ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί B, b τέτοιοι ώστε b a B, N. Ορισµός 2.6. Μια ακολουθία (a ) λέγεται απόλυτα ϕραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει ϑετικός πραγµατικός αριθµός A τέτοιος ώστε a A, N. Η παρακάτω πρόταση αποδεικνύει ότι οι ορισµοί (2.5) (2.6) είναι ισοδύναµοι. Πρόταση 2.7. Η ακολουθία (a ) είναι ϕραγµένη αν και µόνο αν είναι απόλυτα ϕραγµένη. Απόδειξη : ( ) Εστω ότι η (a ) είναι ϕραγµένη. Τότε b a B, N. Θέτουµε A = max{ b, B } κι έχουµε B A b A b a B N A B A A b A b a B N A b a B A N a A, δηλαδή η (a ) απόλυτα ϕραγµένη. ( ) Το αντίστροφο είναι ϕανερό αφού αν η (a ) είναι απόλυτα ϕραγµένη τότε A a A N και συνεπώς η (a ) είναι και ϕραγµένη. Αν ϑέλουµε να δείξουµε ότι µια ακολουθία είναι ϕραγµένη αρκεί να δείξουµε ότι είναι απόλυτα ϕραγµένη. 3

4 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 3 Υπακολουθίες πραγµατικών αριθµών Ορισµός 3.. Ονοµάζουµε υπακολουθία, µιας ακολουθίας (a ), κάθε ακολουθία (b ) µε b = a k, N, όπου (k ) είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών. Παράδειγµα 3.2. Αν από την ακολουθία (a ) λάβουµε τους όρους που έχουν άρτιους δείκτες 2, 4, δηλαδή τους όρους a 2, a 4, a 6... a 2... σχηµατίζεται η ακολουθία b = a 2. Η b είναι υπακολουθία της a. Με όµοιο τρόπο για k = 2 µπορούµε να σχηµατίσουµε την υπακολουθία b = a 2 µε τους περιττούς δείκτες, δηλαδή την υπακολουθία a, a 3, a 5... a 2... Παράδειγµα 3.3. Αν k = 3 τότε, η (k ) είναι γνήσια αύξουσα και σχηµατίζεται η υπακολουθία (a 3 ) δηλαδή η a 3, a 6, a 9... a Οµοια, µπορούµε να σχηµατίσουµε τις υ- πακολουθίες (a 3 ) και (a 3 2 ) δηλαδή τις a 2, a 5, a 8... a 3... και a, a 4, a 7... a αντίστοιχα. Παράδειγµα 3.4. Αν k = 2, η (k ) είναι γνήσια αύξουσα και σχηµατίζεται η υπακολουθία (a 2 ), δηλαδή η a 2, a 4, a 8, a 6... a 2... Ας προσέξουµε ότι για να σχηµατισθούν τις υπακολουθίες (a 2 ) και (a 2 ) του παραδείγµατος (3.2), χρησιµοποιούµε όλους τους όρους την ακολουθίας (a ), γι αυτό λέµε ότι η ακολουθία (a ) διαµερίζεται στις ακολουθίες (a 2 ), (a 2 ). Οµοια, στο παράδειγµα (3.3) η (a ) διαµερίζεται στις υπακολουθίες (a 3 ), (a 3 2 ), (a 3 ). Γενικότερα, ένας τρόπος να διαµερίσουµε την ακολουθία (a ) είναι να ϑεωρήσουµε τις υπακολουθίες (a r ), (a r (r ) ),... (a r ), r N. Επιπλέον, για τις υπακολουθίες ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : Πρόταση 3.5. Αν η ακολουθία (a ) είναι ϕραγµένη τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι ϕραγµένη. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη τότε κάθε υπακολουθία της είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Η αντιθετοαντιστροφή της προηγούµενης πρότασης είναι Πρόταση 3.6. Αν τουλάχιστον µια υπακολουθία, έστω (a k ), της ακολουθίας (a ) δεν είναι ϕραγµένη τότε και η ακολουθία (a ) δεν είναι ϕραγµένη. Οµοια, αν τουλάχιστον µια υπακολουθία της (a ) δεν είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη τότε και η ακολουθία (a ) δεν είναι άνω (κάτω) ϕραγµένη. Πρόταση 3.7. Αν η ακολουθία (a ) είναι γνήσια αύξουσα τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι γνήσια αύξουσα. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι γνήσια ϕθίνουσα (αύξουσα ή ϕθίνουσα) τότε κάθε υπακολουθία αυτής (a k ) είναι γνήσια ϕθίνουσα (αύξουσα ή ϕθίνουσα). Πρόταση 3.8. Αν (k ) είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών τότε k κάθε N., για οι αποδείξεις παρουσιάσθηκαν στις διαλέξεις 4

5 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 4 Σύγκλιση ακολουθιών στο R 4. Η έννοια της περιοχής Ονοµάζουµε περιοχή ενός πραγµατικού αριθµού x 0, κάθε ανοικτό διάστηµα (a, b) που πε- ϱιέχει το x 0. Για την σύγκλιση ακολουθιών ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχουν οι περιοχές του x της µορφής (x 0 ε, x + ε) όπου ε ϑετικός πραγµατικός αριθµός. Σε µια περιοχή αυτής της µορφής το x 0 λέγεται κέντρο και ο ϑετικός ε η ακτίνα της περιοχής. Αν x (x 0 ε, x 0 + ε) τότε x 0 ε < x < x 0 + ε ε < x x 0 < ε x x 0 < ε. Πολλές ϕορές ϑα χρησιµοποιούµε την έκφραση τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0. Με αυτό εννοούµε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας, εκτός από πεπερασµένου πλήθους όροι, ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0. Ετσι αν τελικά όλοι οι όροι της (a ) ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του x 0, ϑα υπάρχει δείκτης 0 τέτοιος ώστε N µε 0, να έχουµε x 0 ε < a < x 0 + ε, για κάθε ε > 0, αφού ισχύει για την οποιαδήποτε περιοχή του x Μηδενικές ακολουθίες Περιγραφικά, µια ακολουθία a λέγεται µηδενική αν τελικά όλοι οι όροι αυτής ανήκουν στην οποιαδήποτε περιοχή του µηδενός. Κάθε ακολουθία µε αυτή την ιδιότητα ϑα λέγεται µηδενική ή ϑα λέµε ότι έχει όριο το µηδέν ή ότι τείνει στο µηδέν και ϑα σηµειώνουµε lim a = 0 ή a 0. Πιο αυστηρά Ορισµός 4.. Μια ακολουθία (a ) λέγεται µηδενική αν και µόνο αν για κάθε ε ϑετικό υπάρχει δείκτης 0, που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε a < ε για κάθε N µε 0 (ε). Συµβολικά γράφουµε lim a = 0 ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a < ε Παραδείγµατα µηδενικών ακολουθιών είναι οι a =, b = +, c =, k ϑετικός ϱητός k Θυµηθείτε από τις διαλέξεις ότι για να αποδείξουµε µε τον ορισµό (4.) ότι a 0, ξεκινάµε από την σχέση a < ε και µε ισοδυναµίες οδηγούµαστε σε σχέση της µορφής > f (ε). Σηµειώνουµε τον δείκτη 0 (ε) = [f (ε)] +, ο οποίος είναι ο ελάχιστος ϕυσικός αριθµός από τον οποίο και µετά ισχύει a < ε. Οπότε ϐγαίνει το συµπέρασµα ότι η (a ) είναι µηδενική ακολουθία. 5

6 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 4.3 Συγκλίνουσες ακολουθίες σε πραγµατικό αριθµό Αν µια ακολουθία a έχει την ιδιότητα τελικά όλοι οι όροι της να ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του πραγµατικού αριθµού α, λέµε ότι η ακολουθία a συγκλίνει στο α ή ότι έχει όριο το α και σηµειώνουµε lim a = α, ή a α. Ορισµός 4.2. Μια ακολουθία (a ) λέµε ότι συγκλίνει στο α R, ή ότι έχει όριο το α R, ή ότι τείνει στον πραγµατικό αριθµό α, αν και µόνο αν για κάθε ε ϑετικό υπάρχει δείκτης 0, που εξαρτάται από το ε, έτσι ώστε a α < ε για κάθε N µε 0 (ε). Συµβολικά γράφουµε lim a = α ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a α < ε Άν ϑέλουµε να αποδείξουµε µε τον ορισµό ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο τον πραγ- µατικό α, τότε εργαζόµαστε όπως µε τις µηδενικές ακολουθίες αφού είναι προφανές ότι lim a = α lim(a α) = Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών Στην παράγραφο αυτή αναφέρουµε συγκεντρωτικά τις ϐασικές ιδιότητες των συγκλινουσών ακολουθιών. Οι αποδείξεις τους παρουσιάσθηκαν αναλυτικά ή σκιαγραφήθηκαν στις διαλέξεις. Ιδιότητα η Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R έχει ένα και µόνο όριο. Ιδιότητα 2η Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στο R είναι ϕραγµένη. Από την ιδιότητα αυτή συνάγουµε ότι αν µια ακολουθία δεν είναι ϕραγµένη τότε η ακολουθία δεν συγκλίνει στο R. Ιδιότητα 3η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε a αυτής έχει όριο το α. α τότε και κάθε υπακολουθία Από την ιδιότητα αυτή συµπεραίνουµε ότι αν δυο υπακολουθίες της a δεν έχουν το ίδιο όριο τότε η a δεν συγκλίνει στο R. Επιπλέον, αν η µια ακολουθία διαµερίζεται σ ένα πλήθος υπακολουθιών που όλες έχουν κοινό όριο το α, τότε και η ακολουθία a έχει όριο το α. Ιδιότητα 4η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε a α, τότε a α. 6

7 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Αν α 0, το αντίστροφο δεν ισχύει, γενικά. Π.χ. για την a = ( ) έχουµε ότι a = N, οπότε lim a =, όµως η a δεν συγκλίνει αφού οι υπακολουθίες της a 2 και a 2 έχουν διαφορετικά όρια lim a 2 = = lim a 2. Αν α = 0 ισχύει και το αντίστροφο, αφού lim a 0 = 0 lim( a 0 ) = 0 lim a 0 = 0. Ιδιότητα 5η Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε a α, τότε a α. Ιδιότητα 6η Αν για τις ακολουθίες (a ), (b ) έχουµε a b ή µόνο a < b για κάθε > και b 0, τότε και a 0. Ιδιότητα 7η Αν για τις ακολουθίες (a ), (b ) έχουµε a b ή µόνο a < b για κάθε > και a a, b b, τότε a b. Ιδιότητα 8η Αν οι ακολουθίες (a ), (b ), (c ) ικανοποιούν την b a c για κάθε > ή µόνο την b < a < c, >, και lim b = lim c = a, τότε lim a = a. Ιδιότητα 9η Το γινόµενο µηδενικής ακολουθίας επί ϕραγµένη ακολουθία είναι µηδενική ακολουθία, δηλαδή αν a 0 και b ϕραγµένη τότε a b 0. Ιδιότητα 0η (όριο αθροίσµατος ακολουθιών). Αν οι ακολουθίες (a ), (b ) συγκλίνουν στο R, µε a a, b b, τότε και η (a + b ) συγκλίνει στο R και a + b a + b. Με άλλα λόγια lim(a + b ) = lim a + lim b. Ιδιότητα η (όριο γινοµένου ακολουθιών). Αν οι ακολουθίες (a ), (b ) συγκλίνουν στο R, µε a a, b b, τότε και η (a b ) συγκλίνει στο R και a b a b. Με άλλα λόγια lim(a b ) = lim a lim b. Ιδιότητα 2η Αν η ακολουθία ( ) (a ) µε a 0 N, συγκλίνει στο R, µε a a, a 0, τότε η ακολουθία συγκλίνει στο a. a Ιδιότητα 3η (όριο πηλίκου ακολουθιών) Αν η ακολουθία (a ) συγκλίνει ( ) στο R µε a a και η (b ) 0, N, συγκλίνει στο a R µε b b 0, τότε η συγκλίνει στο R και ισχύει b lim ( a b ) = lim a lim b = a b. 7

8 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ιδιότητα 4η (όριο τετραγωνικής ϱίζας ακολουθιών) Αν η ακολουθία (a ) συγκλίνει στο R µε a a, τότε η ακολουθία ( a ) συγκλίνει στο R και lim a = lim a = a 4.5 Βασικά όρια Τα παρακάτω όρια τα χαρακτηρίζουµε ως ϐασικά γιατί µπορούµε να τα ϑεωρούµε γνωστά όταν αντιµετωπίζουµε ϑέµατα σύγκλισης ακολουθιών.. Αν a = k, όπου k ϑετικός ϱητός αριθµός, τότε a Αν a = a, όπου a ϑετικός πραγµατικός αριθµός, τότε a. 3. Αν a = ω, µε ω <, ω R, τότε a (κριτήριο για µηδενικές ακολουθίες) Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε a 0, N, και lim lim a = 0. a + a = θ, µε θ <, τότε 8

9 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 5 Κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών στο R Σε διάφορα προβλήµατα που η µαθηµατική τους διατύπωση τους οδηγεί σε µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών, αυτό που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι να γνωρίζουµε αν η ακολου- ϑία συγκλίνει ή όχι. Κι αυτό γιατί αν γνωρίζουµε ότι η ακολουθία συγκλίνει τότε τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ϑα ϐρίσκονται πολύ κοντά στο όριό της. Οπότε για να ϐρούµε την τιµή του ορίου αρκεί να πάρουµε την τιµή ενός όρου της ακολουθίας, και µάλιστα αν η ακολουθία είναι µονότονη τόσο καλύτερη προσέγγιση του ορίου ϑα έχουµε όσο πιο µεγάλη είναι η τάξη του όρου που επιλέγουµε. Οπότε είναι αναγκαίο να γνωρίζουµε κάποια κριτήρια σύγκλισης ακολουθιών σε πραγ- µατικό αριθµό. 5. Ικανό κριτήριο σύγκλισης στο R Πρόταση 5.. Αν µια ακολουθία είναι µονότονη και ϕραγµένη τότε συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό, και µάλιστα αν είναι αύξουσα συγκλίνει στο ελάχιστο άνω ϕράγµα, ενώ αν είναι ϕθίνουσα στο µέγιστο κάτω ϕράγµα. Απόδειξη : Θα δώσουµε την απόδειξη για την περίπτωση που µια τυχαία ακολουθία (a ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη. Εστω ότι η ακολουθία πραγµατικών (a ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη. Τότε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών A = {a, N} είναι άνω ϕραγµένο υποσύνολο του R, και από το αξίωµα της πληρότητας των πραγµατικών αριθµών, υπάρχει το ελάχιστο άνω ϕράγµα,ας το πούµε a = sup A. Θα δείξουµε ότι a a. Πράγµατι. Επειδή a = sup A, τότε a a, N, a < a + ε a + ε ε > 0 ( ) Επιπλέον, a ε < a, ε > 0, κι επειδή το a είναι το ελάχιστο άνω ϕράγµα, τότε το a ε δεν µπορεί να είναι άνω ϕράγµα της (a ). Συνεπώς, υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας a 0 µε δείκτη 0 τέτοιος που a ε < a 0. Αλλά, αφού η (a ) είναι αύξουσα, 0 έχουµε a a 0. Οπότε έχουµε ε > 0, 0 N : 0 a ε < a 0 a ( ) Συνολικά, οι σχέσεις ( ) και ( ) δίνουν ε > 0, 0 N : 0 a ε < a < a + ε a a < ε. δηλαδή lim a = a. Παρόµοια αποδεικνύεται η περίπτωση που η (a ) είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη. 9

10 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Παράδειγµα 5.2. Η ακολουθία a µε τύπο ( a = + ) είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη 2 µε ένα άνω ϕράγµα το 3, δηλαδή a + a, και a < 3 N. Συνεπώς από το προηγούµενο κριτήριο η (a ) συγκλίνει σε κάποιον ϑετικό πραγµατικό αριθµό. Ο πραγµατικός αριθµός lim a είναι ο γνωστός µας e = Θέτοντας = 000 στην ακολουθία a παίρνουµε a 000 = , που ταυτίζεται µε τον e µέχρι τα δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία. Οσο µεταλύτερο πάρουµε τόσο καλύτερα προσεγγίζουµε τον e, που δεν είναι άλλο από το να λέµε lim a = e. 5.2 Ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης στο R Για λόγους πληρότητας της παρούσας διαπραγµάτευσης των ακολουθιών ϑα αναφέρουµε (χωρίς απόδειξη) ένα ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης σε πραγµατικό αριθµό. Το κριτήριο αυτό ϐασίζεται στην έννοια της ακολουθίας Cauchy η οποία ορίζεται ως εξής : Ορισµός 5.3. (Ακολουθίες Cauchy) Μια ακολουθία (a ) λέγεται ακολουθία Cauchy αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δείκτης 0 (ε) που εξαρτάται από το ε, τέτοιος ώστε 0 (ε) και m 0 (ε), να έχουµε a a m < ε. Αυτό που λέει ο παραπάνω ορισµός είναι ότι, σε µια ακολουθία Cauchy τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας ανήκουν ο καθένας στην οποιαδήποτε περιοχή του κάθε άλλου. Ουσιαστικά, η ιδιότητα αυτή είναι ισοδύναµη µε την ιδιότητα σύγκλισης στο R και διατυπώνεται στην παρακάτω Πρόταση 5.4. (Ικανό και αναγκαίο κριτήριο σύγκλισης στο R) Μια ακολουθία για να συγκλίνει στο R πρέπει και αρκεί να είναι ακολουθία Cauchy. 2 ες την παράγραφο ασκήσεις. 0

11 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 6 Αποκλίνουσες ακολουθίες Στα προηγούµενα ασχοληθήκαµε µε ακολουθίες που έχουν όριο πραγµατικό αριθµό a, δηλαδή µε µια τυχαία ακολουθία που έχει την ιδιότητα τελικά όλοι οι όροι της να ανήκουν σε µια οποιαδήποτε περιοχή του a. Στο παρόν εδάφιο ϑα ασχοληθούµε µε µια ακολουθία a που τελικά όλοι οι όροι της ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του +, οπότε και ϑα λέµε ότι η a αποκλίνει στο +, και ϑα σηµειώνουµε lim a = + ή a +. Οµοια, αν τελικά όλοι οι όροι της a ϐρίσκονται στην οποιαδήποτε περιοχή του, ϑα λέµε ότι η a αποκλίνει στο, και ϑα σηµειώνουµε lim a = ή a. Ορισµός 6.. Λέµε ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο το + αν και µόνο αν για κάθε M > 0 υπάρχει δείκτης 0 (M) τέτοιος ώστε για κάθε N µε 0 (M), να έχουµε a > M. Συµβολικά γράφουµε lim a = + M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a > M Ορισµός 6.2. Λέµε ότι µια ακολουθία (a ) έχει όριο το αν και µόνο αν για κάθε M > 0 υπάρχει δείκτης 0 (M) τέτοιος ώστε για κάθε N µε 0 (M), να έχουµε a < M. Συµβολικά γράφουµε lim a = M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a < M Είναι προφανές από τους προηγούµενους ορισµούς ότι έχουµε την ισοδυναµία lim a = + lim( a ) = 6. Ιδιότητες αποκλινουσών ακολουθιών Αναφέρουµε τώρα τις κύριες ιδιότητες αποκλινουσών ακολουθιών και ποιές πράξεις µεταξύ του ± και πραγµατικών αριθµών είναι επιτρεπτές µε την έννοια του ορίου. Ιδιότητα η Αν για µια ακολουθία (a ) έχουµε lim a = + (ή lim a = ), τότε και για κάθε υπακολουθία (a k ) ισχύει lim a k = + (ή lim a k = ). Ιδιότητα 2η Εστω ότι για τις ακολουθίες (a ), (b ) ισχύει a b ή µόνο a < b,, τότε (α) Αν lim a = + συνεπάγεται ότι lim b = + (ϐ) Αν lim b = συνεπάγεται ότι lim a =.

12 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ιδιότητα 3η Εστω ότι για τις ακολουθίες (a ), (b ), (c ) ισχύει b a c ή µόνο b < a < c, και lim b = lim c = + (ή ), τότε lim a = + (ή ). Ιδιότητα 4η Αν για την ακολουθία (a ) ισχύει lim a = +, τότε η (a ) δεν είναι άνω ϕραγµένη. Οµοια, αν για την ακολουθία (a ) ισχύει lim a =, τότε η (a ) δεν είναι κάτω ϕραγ- µένη. Ιδιότητα 5η Αν η ακολουθία (a ) είναι αύξουσα και δεν είναι άνω ϕραγµένη τότε η (a ) αποκλίνει στο +. Οµοια, αν η ακολουθία (a ) είναι ϕθίνουσα και δεν είναι κάτω ϕραγµένη τότε η (a ) αποκλίνει στο. Ιδιότητα 6η (όριο αθροίσµατος αποκλινουσών ακολουθιών) Αν lim a = a, όπου a πραγµατικός αριθµός ή ± και lim b = b, όπου b πραγµατικός αριθµός ή ±, τότε lim(a + b ) = lim a + lim b = a + b, εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = +, b = ) και (a =, b = + ). Ετσι µε την έννοια του ορίου είναι επιτρεπτές οι παρακάτω πράξεις : a + (+ ) = + (+ ) + a = + a + ( ) = a + ( ) = (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = a (+ ) = (+ ) a = + a ( ) = + ( ) a = (+ ) ( ) = + ( ) (+ ) = όπου a πραγµατικός αριθµός. Επιπλέον, µε την έννοια του ορίου δεν µπορούµε να ορίσουµε τις εξής πράξεις (+ ) + ( ) ( ) + (+ ) (+ ) (+ ) ( ) ( ) και λέµε ότι έχουµε όριο απροσδιόριστης µορφής του αντίστοιχου τύπου. Ιδιότητα 7η (όριο γινοµένου αποκλινουσών ακολουθιών) Αν lim a = a, όπου a πραγµατικός αριθµός ή ± και lim b = b, όπου b πραγµατικός αριθµός ή ±, τότε lim(a b ) = lim a lim b = a b, εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = 0, b = ± ) και (a = ±, b = 0). 2

13 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Με ϐάση την ιδιότητα αυτή µπορούµε να ορίσουµε τις εξής γενικευµένες πράξεις για τον πολλαπλασιασµό x (+ ) = +, (+ ) x = +, x ( ) =, ( ) x = αν x > 0, είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός, x (+ ) =, (+ ) x =, x ( ) = +, ( ) x = + αν x < 0, είναι αρνητικός πραγµατικός αριθµός, και (+ ) (+ ) = +, (+ ) ( ) =, ( ) (+ ) =, ( ) ( ) = + Αν κάποιος από τους a, b είναι µηδέν και ο άλλος ±, τότε το όριο lim a b, µπορεί να δώσει πραγµατικό αριθµό, ±, ή να µην υπάρχει. Για παράδειγµα : Αν a = 0, b = 2 +, τότε a b = +. Αν a = 0, b 2 = +, τότε a b = 0 Αν a = ( ) 0, b = +, τότε a b = ( ), που δεν υπάρχει το όριό της. Γι αυτό λέµε ότι οι πράξεις 0 (± ), (± ) 0 δεν είναι γενικά επιτρεπτές, ή ότι το όριο είναι της αντίστοιχης απροσδιόριστης µορφής. Ιδιότητα 8η Εστω η ακολουθία (a ) µε a 0 για κάθε N. Αν lim a = + ή lim a =, τότε lim a = 0. Ιδιότητα 9η Εστω η ακολουθία (a ) µε a 0 για κάθε N. Αν lim a = 0 και a > 0 για κάθε N τότε lim a = +. Αν lim a = 0 και a < 0 για κάθε N τότε lim a =. Πρέπει να επισηµάνουµε το εξής σχετικά µε την παραπάνω ιδιότητα. Αν lim a = 0 και οι όροι της (a ) δεν διατηρούν πρόσηµο τότε δεν υπάρχει το όριο lim a. Για παράδειγµα η ακολουθία a = ( ) συγκλίνει στο 0, a 0, αλλά οι όροι της δεν διατηρούν πρόσηµο αφού οι άρτιοι όροι a 2 είναι ϑετικοί ενώ οι περιττοί όροι a 2 είναι αρνητικοί. Συνεπώς, η ακολουθία = δεν έχει όριο, αφού οι υπακολουθίες a ( ) έχουν διαφορετικό όριο. a 2 = 2 + και a 2 = 2 + 3

14 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι η πράξη, γενικά, δεν ορίζεται ή δεν είναι ε- 0 πιτρεπτή. Επειδή οι γενικεύσεις των πράξεων στο R µαζί µε το ± γίνονται µε την ϐοήθεια ορίων ή αλλιώς όπως λέµε είναι οριακές πράξεις, για το µπορούµε να γνωρίζουµε ότι στην 0 περίπτωση που ο παρονοµαστής γίνεται µηδέν ως όριο ακολουθίας ϑετικών όρων δίνει +, ενώ στην περίπτωση που ο παρανοµαστής γίνεται µηδέν ως όριο αρνητικών όρων δίνει. Γενικά όµως, δεν είναι επιτρεπτή η πράξη 0. Ιδιότητα 0η (όριο πηλίκου αποκλινουσών ακολουθιών) Εστω οι ακολουθίες (a ) και (b ) µε b 0, για κάθε N. Αν lim a = a, όπου a = {πραγµατικός, ή ± } και lim b = b, όπου b = {πραγµατικός, ή ± }, τότε ( ) a lim = lim a = a b lim b b εκτός από τις περιπτώσεις όπου (a = ±, b = ± ), (a = ±, b = 0) και (a = πραγµατικός, b = 0) Οπότε, για την διαίρεση δεν είναι επιτρεπτές οι εξής πράξεις ± ±, ± 0, 0 0, 0 Σηµειώνουµε και πάλι ότι η πράξη είναι επιτρεπτή στις δυο περιπτώσεις που αναφέραµε 0 στην 9η ιδιότητα των αποκλινουσών ακολουθιών. Συνοψίζοντας, µπορούµε να πούµε ότι δεν είναι επιτρεπτές οι εξής πράξεις : (+ ) + ( ), ( ) + ( ), για την πρόσθεση (+ ) (+ ), ( ) ( ), για την αφαίρεση 6.2 Εφαρµογή 0 (± ), (± ) 0, για τον πολλαπλασιασµό ± ±, ± 0, 0 0,, για την διαίρεση 0 ίνεται η ακολουθία a = ω, N και ω R. Να δειχθεί ότι () Αν ω <, τότε lim a = 0 (2) Αν ω =, τότε lim a = (3) Αν ω >, τότε lim a = + (4) Αν ω, τότε το lim a δεν υπάρχει. 4

15 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι 7 Ασκήσεις Ασκηση 7.. Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι οι ακολουθίες µε γενικούς τύπους είναι µηδενικές ακολουθίες. Λύση : i) a =, ii) b = 2, iii) c = i) Θα πρέπει να δείξουµε µε τον ορισµό ότι lim a = 0, δηλαδή ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a < ε. Εχουµε a < ε < ε > /ε οπότε αν πάρουµε 0(ε) = [/ε] + τότε > 0 (ε) < ε άρα lim a = 0 ii) Αποδείξτε πρώτα επαγωγικά ότι 2 >, N. Για κάθε ε > 0 b = 2 < < ε οπότε αν πάρουµε 0(ε) = [/ε] + τότε > 0 (ε) 2 < < ε συνεπώς b 0. iii) Με όµοιο τρόπο όπως στο i) αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε 2 ] + έχουµε το Ϲητούµενο. Ασκηση 7.2. Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι οι ακολουθίες µε γενικούς τύπους i) a = συγκλίνουν στο µηδέν , ii) b = , iii) c = si! 2 + Λύση : i) Εχουµε a = = < 3 + = < < ε 2 οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ ε] + τότε > 0 (ε) a < 2 < ε. Συνεπώς lim a = 0. ii) Εχουµε b = = ( ) ( ) = ( 2 + 2) ( 2 + ) = = = < 2 + < = 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) b < < ε. Συνεπώς lim b = 0. ii) Γνωρίζουµε ότι six, x R, οπότε έχουµε c = si! si! 2 + = = 2 + < = 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) c < < ε. Συνεπώς lim c = 0. 5

16 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.3. Αποδείξτε µε τον ορισµό ότι i) 2 2 +, ii) Λύση : i) Εχουµε = = 2 ( + ) = 2 + = 2 + < 2 < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [2/ε] +, τότε > 0 (ε) < 2 < ε. Συνεπώς lim 2 = 2 +. ii) Γνωρίζουµε ότι = (+). Οπότε έχουµε = ( + ) 2( + 2) = + 2 = + 2 < < ε οπότε αν πάρουµε 0 (ε) = [/ε] +, τότε > 0 (ε) < < ε. Συνεπώς lim( ) = 2. Ασκηση 7.4. Να ϐρεθούν τα όρια των ακολουθιών Λύση : i) Εχουµε i) a = , N ii) b = , N. a = = 2 (2 + ) 2 2 ( ) = οπότε lim a = lim(2 + ) 2 lim( ) = = ii) Εχουµε b = = (3 + 2 ) 2 ( ) = οπότε lim a = lim lim(3 + 2 ) lim( ) = 0 3 = 0. Ασκηση 7.5. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας Λύση : Παρατηρούµε ότι 2 = 2 a = ( + ), N. ( + ) = +, οπότε 2 3 = 2 (+) 3 a = + οπότε lim a = lim + = 0 =. ( + ) = + 6

17 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.6. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας Λύση : Παρατηρούµε ότι a = ( ) 2 +, N οπότε από τους προσθετέους της a ο µεγαλύτερος είναι ο και ο µικρότερος είναι ο. Αρα, N έχουµε 2 + a a ( + ) a 2 2 ( + 2 ) + a +. 2 Για τις ακολουθίες b = +, και c = + έχουµε ότι lim b = lim c =, οπότε από την 8η ιδιότητα 2 συγκλινουσών ακολουθιών έχουµε ότι και lim a =. Ασκηση 7.7. Αν a = 2! + 2 3! + + να ϐρεθούν πραγµατικοί αριθµοί A, B τέτοιοι ώστε συνέχεια να υπολογισθεί το lim a. ( + )!, N. ( + )! = A! + B, N και στη ( + )! Λύση : Αν ( + )! = A! + B ( + )!, N! ( + ) = A! + B! ( + ) ( + ) = A + B ( + ) A( + ) + B = = A + A + B 0 = (A ) + A + B. Για να ισχύει η τελευταία σχέση N ( + ) ( + ) ϑα πρέπει (A =, B = A) (A =, B = ). Ετσι έχουµε δηλαδή 2! =! 2! 2 3! = 2! 3!. ( + )! =! ( + )! ( + )! =! ( + )! (+) a = ( + )! οπότε N lim a = lim ( + )! = 0 = Ασκηση 7.8. είξτε ότι η ακολουθία a = +! + 2! + +!, N. 7

18 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι συγκλίνει. Λύση : Αρκεί να δείξουµε ότι η a είναι µονότονη και ϕραγµένη. Εχουµε a + a = +! + 2! + +! + ( + )! ( +! + 2! + +! ) = ( + )! > 0 οπότε η a είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία. Επιπλέον, 2 ισχύει! 2 (επαγωγικά). Οπότε! 2! 2 (+) a = } 2 {{ 2 } 3! < γεωµετρική πρόοδος 2 2.! < 2 = = + 2( 2 ) < 3, οπότε η a είναι άνω ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3. Η a είναι γνήσια αύξουσα και άνω ϕραγµένη, άρα συγκλίνει. ( Ασκηση 7.9. Αποδείξτε ότι η ακολουθία a = + ), συγκλίνει. Λύση : Αρκεί να δείξουµε ότι η ακολουθία a είναι µονότονη και ϕραγµένη. Επειδή οι όροι είναι όλοι ϑετικοί ϑα ελέγξουµε το λόγο a + ή ισοδύναµα τον a. Εχουµε a a a = ( + ) a ( = ( + ) ) ( ) = ( ) + = ( 2 2 ) ( = ) 2 Από την ανισότητα του Beroulli ξέρουµε ότι αν + a > 0, τότε ( + a) + a, για κάθε N, µε ισότητα για =, οπότε ( 2 ) > + ( 2 ) = = για = 2, 3,.... Συνεπώς οι σχέσεις ( ), ( ) δίνουν ( a = ) a 2 > = για = 2, 3,... Αρα a > a και η a είναι γνήσια αύξουσα. Θα δείξουµε τώρα ότι είναι και άνω ϕραγµένη. Από το διωνυµικό ανάπτυγµα της a, παίρνουµε ( + ) = + ( ) ( ) ( k + ) + + +! 2! 2 k! + + k Οµως ( ) ( k + ) = k, και άρα ( ) ( k+) k!. Χρησιµοποιώντας την k τελευταία σχέση στην σχέση ( ) παίρνουµε a +! + 2! + k! +!, το οποίο ϐάσει της προηγούµενης άσκησης είναι < 3, οπότε η a είναι ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3 (και κάτω ϕραγµένη µε ένα κάτω ϕράγµα τον a = 2). Αρα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ο οποίος προσδιορίζεται σαν όριο ακολουθιών, όπως η a, και συµβολίζεται διεθνώς µε το γράµµα e, δηλαδή lim a = e = ( ) ( ) ( ) 8

19 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.0. είξτε ότι. Λύση : Για κάθε έχουµε 2 2 =. Οπότε υπάρχει ακολουθία ϑετικών όρων b > 0, τέτοια ώστε 2 = + b = ( + b ) 2. Αρκεί να δείξουµε ότι b 0. Πράγµατι, 2 = + b = ( + b ) + b > b > b > 0 0 < b < Οµως, lim 0 = 0 και lim = 0, και από το ϑεώρηµα ισοσυγκλινουσών ακολουθιών (ιδιότητα 8η συγκλινουσών ακολουθιών) έχουµε ότι και lim b = 0. Οπότε lim = lim( + b ) 2 = ( + 0) 2 =. Γενικά, µε αυτόν τον τρόπο αποδεικνύουµε ότι η νιοστή ϱίζα οποιοδήποτε πολυωνύµου του έχει όριο την µονάδα. Για παράδειγµα, αν είχαµε την ακολουθία µε γενικό τύπο 2 +, τότε παίρνουµε k ϱίζα όπου k ϕυσικός ένα ϐαθµό παραπάνω από το ϐαθµό του πολυωνύµου που είναι στην υπόριζο ποσότητα, δηλαδή k = 3 για το 2 +, και ϑέτουµε = + b 2 + = ( + b ) 3 κι αποδεικνύουµε ότι b = + b = ( + b ) + b > b > b > 0 0 < b < < b < < b < κι αφού lim = lim 0 = 0, τότε lim b = 0. Συνεπώς, lim 2 + = lim( + b ) 3 = ( + 0) 3 =. Ασκηση 7.. είξτε ότι a =! 0. Λύση : Α τρόπος : Για κάθε k =, 2,... έχουµε ότι k < < k + k +. Ετσι, στην τελευταία ανισότητα, καθώς το k διατρέχει τους ϕυσικούς από µέχρι, παίρνουµε 2. 2 ( ) (!)! 0 <!! Αφού lim = 0, από την ιδιότητα των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών έχουµε ότι 0 Β τρόπος : Από το κριτήριο του λόγου για µηδενικές ακολουθίες αρκεί να δείξουµε ότι lim a+ a = l <. Αφού a > 0 για κάθε N, έχουµε a + a = Αρα a 0. = ( + )!! ( + ) +! = ( + ) = ( + lim ) (+)! (+) + a + a = lim ( + = e < ) Ασκηση 7.2. Αν για την ακολουθία (a ) έχουµε ότι a a R, να δειχθεί ότι A a, όπου A = a + a a 9, =, 2, 3...

20 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Η (A ) λέγεται η ακολουθία του µέσου αριθµητικού των όρων της (a ). Λύση : Αφού a a σηµαίνει ε > 0 0 (ε) : N, 0 (ε) a a < ε.. Αρα a 0 a < ε, a 0+ a < ε,... a a < ε για κάθε 0. Από την άλλη ϑέλουµε να δείξουµε A a < ε για κάθε 0. Εχουµε A a = a + a a a = a + a a a = = (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + (a 0 a) + + (a a) (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + a 0 a + + a a < (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a) + ε + + ε = K + ( 0 + )ε ( ) όπου ϑέσαµε K = (a ) + (a 2 a) + + (a 0 a). Επειδή K 0 και K > 0 ϑα έχουµε K < ε για κάθε. Επιπλέον ( 0+)ε < ε = ε κι έτσι το δεξί µέλος της σχέσης ( ) γίνεται K + ( 0+)ε < ε + ε = ε. Συνεπώς για κάθε 0 = max{ 0, } A a < ε για κάθε ε > 0. Αρα lim A = 0. Ασκηση 7.3. Αν (a ) ακολουθία ϑετικών όρων µε a a 0, να δειχθεί ότι B a, όπου b =, =, 2, 3... a + a a Η (B ) λέγεται η ακολουθία του µέσου αρµονικού των όρων της (a ). Λύση : Αφού a a 0, τότε a a και από την προηγούµενη άσκηση έχουµε ότι a + a a a a + a a B a. a Ασκηση 7.4. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας a = Λύση : Από τα ϐασικά όρια γνωρίζουµε ότι αν lim a + = θ <, τότε lim a = 0. Για την a της άσκησης έχουµε ότι a > 0 για κάθε N και a a + a = = 3 ( + 3) 3 + ( + 2) = = lim a + = lim + 3 a = lim = 3 < οπότε lim a = 0. Ασκηση 7.5. ίνεται η (a ) µε a = a, όπου a > 0 N. Να δειχθεί ότι lim a = 0. 20

21 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Λύση : Εχουµε a + a = a + ( + )! a! = a + = a + lim a + a = lim a + = 0 < συνεπώς, lim a = 0. Ασκηση 7.6. Να ϐρεθεί το όριο της ακολουθίας a = , N Λύση : Μπορούµε να δείξουµε χρησιµοποιώντας την Αρχιµήδεια ιδιότητα των ϕυσικών ότι οι ακολουθίες 2, 3, 5 δεν είναι ϕραγµένες, άρα δεν συγκλίνουν. Συνεπώς, δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ιδιότητα του ορίου πηλίκου. Οµως αν διαιρέσουµε αριθµητή παρανοµαστή µε την δύναµη του όρου µε την µεγαλύτερη ϐάση, δηλαδή τον 5, έχουµε a = + ( 2 5 ) 2 + ( 3 5 ) ( ) Οπότε από τα ϐασικά όρια γνωρίζουµε ότι a 0 µε a <. Αρα, ( 2 5 ) 0 και ( 3 5 ) 0, και τελικά από την ( ) έχουµε ότι lim a = = 2. Ασκηση 7.7. ίνεται η ακολουθία (a ) µε a για κάθε N. Να δειχθεί ότι lim a + a = 0 αν και µόνο άν a. Λύση ( ) Θα δείξουµε πρώτα ότι αν lim a + a = 0, τότε a. Θέτουµε b = a + a κι έχουµε b ( + a ) = a b + b a = a ( + b )a = b a = b + b ( ) επειδή lim b = 0, τελικά όλοι οι όροι b και από την ( ), έχουµε ( ) Εστω τώρα ότι a, τότε lim a = lim b + b = lim( b ) lim( + b ) = =. lim b = lim a + a = lim( a ) lim( + a ) = + = 0 2 = 0 Ασκηση 7.8. ίνεται η ακολουθία a = Να δειχθεί ότι lim a =. Λύση : Εχουµε ϕορές < {}}{ < = < < < a < Εχουµε lim = και lim =. Οπότε από το ϑεώρηµα ισοσυγκλινουσών ακολουθιών (ιδιότητα 8η συγκλινουσών ακολουθιών) έχουµε ότι και lim a = 2

22 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ασκηση 7.9. Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση η ακολουθία a + = 2 a +, a =, =, 2,... Λύση : Παρατηρούµε ότι a 2 = 2 + > = a. Θα δείξουµε επαγωγικά ότι η a είναι γνήσια αύξουσα. Πράγµατι Ισχύει για = αφού a 2 > a. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k+ > a k. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+2 > a k+. a k+ > a k 2 a k+ > 2 a k 2 a k+ + > 2 a k + a k+2 > a k+ Οπότε η a είναι γνήσια αύξουσα ακολουθία. Αν είναι και ϕραγµένη τότε από το κριτήριο σύγκλισης, η a ϑα συγκλίνει. Ενα κάτω ϕράγµα είναι προφανώς ο πρώτος όρος της ακολουθίας a = οπότε αρκεί να ϐρούµε ένα άνω ϕράγµα της a. Ας υποθέσουµε προς στιγµή ότι η a είναι όντως ϕραγµένη. Οπότε ϑα συνέκλινε και µάλιστα στο ελάχιστο άνω ϕράγµα του συνόλου A = {a, =, 2,...}, ας το πούµε a, lim a = a = sup A. Οπότε lima = lima + = a. Αρα lim a + = lim 2 a + a = a + a = 2. Θα δείξουµε (επαγωγικά) ότι το 2 2 είναι άνω ϕράγµα της a, δηλ. a 2, για κάθε N. Ισχύει για =, αφού a = 2. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k 2. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+ 2 a k 2 2 a k 2 a k + 2 a k+ 2 Οπότε πραγµατικά η a είναι άνω ϕραγµένη από το 2. Αφού είναι µονότονη και ϕραγµένη άρα συγκλίνει και όπως είδαµε lim a = 2. Ασκηση ίνεται η ακολουθία (a ), µε a = a > 0 και a + = =, 2,... Να δειχθεί ότι η (a ) συγκλίνει στο R. a b + a, b >, Λύση : Αφού ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι ϑετικός και b > > 0, τότε όλοι οι όροι είναι ϑετικοί a > 0 για κάθε N. Οπότε a > 0 a + b > a + b < a a + b < a a + < a N άρα η a είναι γνήσια ϕθίνουσα ακολουθία. Επιπλέον είναι κάτω ϕραγµένη από το 0, αφού 0 < a για κάθε N. Συνεπώς συγκλίνει. Επειδή λοιπόν lim a + = lim a = x, τότε ϑα πρέπει { lim a + = lim a x = x x = 0 x(b + x ) = 0 b + a b + x x = b < 0 Επειδή όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί και η ακολουθία συγκλίνει δεν είναι δυνατόν να συγκλίνει σε αρνητικό αριθµό. Αρα συγκλίνει στο 0, δηλ. lim a = 0. Ασκηση 7.2. ίνεται η ακολουθία (a ), µε a = 2 και a + = 6 + a, =, 2,... Να δειχθεί ότι η (a ) συγκλίνει µε lim a = 3. 22

23 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Λύση : Θα δείξουµε επαγωγικά ότι η ακολουθία (a ) είναι άνω ϕραγµένη µε ένα άνω ϕράγµα το 3, δηλ. a < 3 για κάθε N. Ισχύει για = αφού a = 2 < 3. Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k < 3. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+ < 3. a k < 3 a k + 6 < 9 a k + 6 < 3 a k+ < 3 Αρα a < 3 για κάθε N. Επιπλέον η (a ) είναι γνήσια αύξουσα (επαγωγικά) Ισχύει για = αφού a 2 = 8 = 2 2 > 2 = a Υποθέτουµε ότι ισχύει = k, δηλ. a k+ > a k. Με ϐάση τα προηγούµενα ϑα δείξουµε ότι ισχύει για = k +, δηλ. a k+2 > a k+. a k+ > a k 6 + a k+ > 6 + a k 6 + a k+ > 6 + a k a k+2 > a k+ Αφού η a µονότονη (γνήσια αύξουσα) και ϕραγµένη (a = 2 < a < 3), για κάθε N, τότε συγκλίνει. Και µάλιστα συγκλίνει στο ελάχιστο άνω ϕράγµα του συνόλου A = {a, =, 2...}, lim a = sup A = x. Αλλά ϑα πρέπει x = { 6 + x x 2 = x + 6 x 2 x = 2 x 6 = 0 x = 3 Επειδή το 2 δεν είναι άνω ϕράγµα της (a ) (µάλιστα όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ϑετικοί µεγαλύτεροι του 2), τότε sup A = 3 και lim a = 3 Ασκηση Να δειχθεί µε τον ορισµό ότι η ακολουθία a = έχει όριο το +. Λύση : Θα πρέπει να δείξουµε ότι M > 0 0 (M) : N, 0 (M) a > M. Εχουµε a = Αρα να πάρουµε 0 (M) = [2M] + έχουµε το Ϲητούµενο. > 2 2 = 2 > M > 2M Ασκηση Αν µια ακολουθία a είναι αύξουσα να δειχθεί ότι ϑα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ή ϑα αποκλίνει στο +. Με ϐάση αυτή την πρόταση να δειχθεί ότι η ακολουθία a = έχει lim a = +. 3 Λύση : Εστω ακολουθία (a ) αύξουσα. Η (a ) ϑα είναι ϕραγµένη ή δεν ϑα είναι ϕραγµένη. Αν είναι ϕραγµένη, τότε ϑα συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό, αν δεν είναι ϕραγµένη, τότε ϑα αποκλίνει στο +. Η a = είναι γιατί a + a = ( ) = + > 0, N, 3 Η ακολουθία a είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της αρµονικής σειράς στις σειρές πραγµατικών αριθµών, η άσκηση αυτή δείχνει ότι η αρµονική σειρά αποκλίνει.. Οπως ϑα δούµε = 23

24 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι όµως δεν είναι ϕραγµένη. Πράγµατι, λαµβάνουµε την υπακολοθία a 2 = a 2 = , κι έχουµε 2 + > > + = > = > + + = 2 = (+) a 2 > }{{ 2 } ϕορές οπότε a 2 > 2, N. Ας υποθέσουµε τώρα ότι η a 2 είναι άνω ϕραγµένη. Τότε υπάρχει πραγµατικός ϕ, τέτοιος που a 2 ϕ, N. Οµως από την (*) ϑα πρέπει 2 < a 2 ϕ < 2ϕ, N. Ατοπο, γιατί το N δεν είναι = 2 (*) ϕραγµένο υποσύνολο του R (Αρχιµήδεια ιδιότητα των ϕυσικών). Συνεπώς, η a 2 ούτε η a είναι άνω ϕραγµένη. Οπότε lim a = +. δεν είναι άνω ϕραγµένη κι έτσι Ασκηση Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει το όριο (πραγµατικός αριθµός ή ± ), για την ακολουθία a = ( ) Λύση : ιαµερίζουµε την ακολουθία a στις υπακολουθίες a 2 και a 2, κι έχουµε a 2 = ( )2 (2) = = 2 ( 2 4) 2( + ) = οπότε Από την άλλη lim a = lim 2 lim 4 2 = + ( 4) = + a 2 = ( )2 (2 ) = = 2 ( ) (2 + ) = οπότε lim a 2 = lim lim Αφού lim a 2 lim a 2, το όριο της a δεν υπάρχει = = + Ασκηση είξτε ότι! +. Λύση : k =, 2,... έχουµε ότι (k )( k) 0 k 2 k 2 + k 0 ( k + ) k. Ετσι, στην τελευταία ανισότητα, καθώς το k διατρέχει τους ϕυσικούς από µέχρι, παίρνουµε ( ) 2 ( 2) 3. 2 ( ) ( ) (!) 2 (!) /2! /2 = 24

25 ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Εποµένως,! και γνωρίζουµε ότι +. Συνεπώς, από την 2.α. ιδιότητα των αποκλινουσών ακολουθιών, συµπεραίνουµε ότι! + Ασκηση ίνεται η ακολουθία (a ) µε a = για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του x. 2 x x + x 2 + N. Να ϐρεθεί το lim a Λύση : Εχουµε Αν x 0, τότε Αν x = 0, τότε 2 x x + x 2 + = 2 (x 2 + ) 2 (x + x2 +) = x 2 + x + x lim a = lim x2 + = lim(x 2 + ) x + x2 + lim(x + x2 +) = x x 2 2 lim a = lim = + 2 = x Ασκηση ίνεται η ακολουθία (a ) µε a = ( + )( + 2) N. Να µελετηθεί η a ως προς την σύγκλιση (απόκλιση) για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού x. x Λύση : ) Αν x <, τότε x 0 κι έτσι lim a = lim x lim 2) Αν x =, τότε a = (+)(+2) lim a = 0. ( + )( + 2) = 0 0 = 0. 3) Αν x =, τότε a = ( ) (+)(+2) lim a = 0. 4) Αν x >, τότε η b = a = (+)(+2) x του λόγου έχουµε έχει όλους τους όρους ϑετικούς και χρησιµοποιώντας το κριτήριο b + b = ( + 2)( + 3) x + ( + )( + 2) x = x ( + )( + 2) x + ( + 2)( + 3) = x lim b + = b x lim = x < συνεπώς b 0 ή αλλιώς a 0, οπότε a +. 5) Αν x <, ϑεωρούµε τις υπακολουθίες a, a 2. Τότε x 2 = ( x) 2 κι αφού x <, τότε x > και από την προηγούµενη περίπτωση 4) έχουµε ότι a 2 +. Από την άλλη x 2 a 2 = 2(2 + ) = x 2 x 2(2 + ) lim a 2 = x lim ( x)2 2(2 + ) = (+ ) = x αφού x < < 0 και x >. Συνεπώς, lim a 2 = + = lim a 2, και το lim a δεν υπάρχει. 25

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ακολουθίες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των α- κολουθιών. Το ϕυλλάδιο διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,1, 1, 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα