Γεωµετρικός Τόπος Ριζών. Σχήµα 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γεωµετρικός Τόπος Ριζών. Σχήµα 2"

Transcript

1 Γεωµετρικός Τόπος Ριζών Έχουµε ήδη θεµελιώσει ότι η συµπεριφορά ενός ΓΧΑ συστήµατος, από πλευράς ΣΑΕ, καθορίζεται από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, δηλαδή τις ρίζες του παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς-τους πόλους του συστήµατος. Ας υποτεθεί ότι µας δίνεται µία συνάρτηση µεταφοράς του ευθέως κλάδου, την οποία µας ζητείται να ελέγξουµε. Προς το σκοπό αυτό, χρησιµοποιούµε την κάτωθι τοπολογία, τουλάχιστον για τη συγκεκριµένη µελέτη: + _ Σχήµα όπου ενδέχεται το να είναι ο ελεγκτής και το το προς έλεγχο σύστηµα. Σε κάθε περίπτωση, η συνάρτηση µεταφοράς του ευθέως κλάδου είναι το, όπου εν προκειµένω, =. Η ισοδύναµη τοπολογία παρουσιάζεται στο σχήµα 2 + _ Σχήµα 2 Η συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού βρόχου είναι = + Είναι προφανές ότι διαφορετικές πραγµατικές τιµές του, δίνουν διαφορετικούς πόλους, άρα ουσιωδώς διαφορετική συµπεριφορά του συστήµατος ΓΧΑ. Είναι εποµένως απαραίτητο να γνωρίζουµε τους πόλους του σαν συνάρτηση του. Στο παρόν κεφάλαιο θα µελετήσουµε θεωρητικά τον γεωµετρικό τόπο των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (των πόλων) του συναρτήσει του, µε δεδοµένη την συνάρτηση µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου.

2 Προσοχή: η ανάλυση του γεωµετρικού τόπου θα γίνει µόνο για την τοπολογία κλειστού βρόχου του σχήµατος. Εν τούτοις, βασιζόµενοι στην ισοδυναµία διαγραµµάτων βαθµίδων από πλευράς ΣΑΕ που έχει παρουσιαστεί στο σχετικό κεφάλαιο, θα δείξουµε στα επόµενα ότι πρακτικά οποιαδήποτε τοπολογία µπορεί να αναχθεί σε αυτήν του σχήµατος 2, όσον αφορά τον γεωµετρικό τόπο ριζών µε µία µόνο παράµετρο κέρδους. Κατ αρχήν µία γενική παρατήρηση. Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών κάθε εξίσωσης της µορφής που µελετάται είναι συµµετρικός ως προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Εν συνεχεία παρατηρούµε ότι εάν το [0,+ ) και αν θεωρήσουµε ότι το µεταβαίνει από το 0 στο +, τότε κάθε κλάδος του γεωµετρικού τόπου των ριζών ξεκινά από τους πόλους του και περατούται στα µηδενικά του. Πράγµατι, δεδοµένου ότι στο παρόν στάδιο µελετούµε µόνο ρητές συναρτήσεις µεταφοράς, ας γράψουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ευθέως κλάδου ως = όπου και πολυώνυµα ως προς µε πραγµατικούς συντελεστές, µε τον βαθµό του µεγαλύτερο από το βαθµό του. Τότε η συνάρτηση µεταφοράς του σχήµατος 2 γίνεται = + + Παρατηρούµε τώρα ότι: όταν =0, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του είναι το ίδιο µε αυτό του και άρα οι πόλοι του ενός είναι και πόλοι του άλλου όταν +, βγάζοντας κοινό παράγοντα το από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του, τελικά παραµένει για τον υπολογισµό των ριζών µόνον ο αριθµητής του ευθέως κλάδου, καθώς 0. Θα δοθούν κατωτέρω αναλυτικά παραδείγµατα σχεδίασης του γεωµετρικού τόπου των ριζών διαφόρων συστηµάτων ΣΑΕ. Τα τρία πρώτα παραδείγµατα αφορούν συστήµατα δευτέρας τάξεως ο γεωµετρικός τόπος των οποίων επιδέχεται αναλυτική λύση. Η κυρίως µεθοδολογία για συστήµατα ανωτέρας τάξεως θα δοθεί απ το παράδειγµα 4 και κάτω. Σηµειώνεται ότι αυτή η µεθοδολογία είναι πολύ γενική και στην ουσία συνιστά έναν αλγόριθµο εύρεσης των ριζών της πολυωνυµικής εξίσωσης +=0 όπου πραγµατική παράµετρος, όταν τα πολυώνυµα και είναι γνωστά. Παράδειγµα Έστω, η συνάρτηση ευθέως κλάδου. Η συνάρτηση µεταφοράς είναι = (+2) 2

3 = +2+ α) Όταν =0, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (δηλαδή, του παρονοµαστή του ) είναι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς του ευθέως κλάδου, εν προκειµένω, οι = =0 και = = 2. β) Όταν <, οι ρίζες και του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι πραγµατικές µε τιµές = +, = Άρα, ο γεωµετρικός τόπος των ριζών παραµένει επί του άξονος των $, έχοντας δύο κλάδους: ο ένας κλάδος πηγαίνει από το 2 στο και ο άλλος από το στο 0. Η τιµή προκύπτει προφανώς όταν στα, θέσουµε =. γ) Όταν >, τότε οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι συζυγείς µιγαδικές µε τιµές = +&, = & Παρατηρούµε ότι το πραγµατικό µέρος είναι κοινό και σταθερό (δεν επηρεάζεται από το ), άρα και οι δύο κλάδοι του γεωµετρικού τόπου θα βρίσκονται επί της ευθείας $ =. Για τη ρίζα παρατηρούµε ότι η πρωτεύουσα φάση της θ (το πρωτεύον όρισµά της) θέτει τον πόλο στο δεύτερο τεταρτηµόριο, διότι = ( )* +, όπου = και,-. =, /0. = 230. = και άρα o κλάδος που αντιστοιχεί στο βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτηµόριο. Αντιστοίχως, για τη ρίζα παρατηρούµε ότι η πρωτεύουσα φάση της θ 2 (το πρωτεύον όρισµά της) θέτει τον πόλο στο τρίτο τεταρτηµόριο, διότι = ( )* 4, όπου = και,-. =, /0. = 230. = και άρα o κλάδος που αντιστοιχεί στο βρίσκεται στο τρίτο τεταρτηµόριο. Παράδειγµα 2 Έστω η συνάρτηση ευθέως κλάδου. = Η συνάρτηση κλειστού βρόχου είναι η ( 3)(+2) 3

4 = ( 3)(+2)+ = 6+ α) Όταν =0, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (δηλαδή, του παρονοµαστή του ) είναι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς του ευθέως κλάδου, εν προκειµένω, οι = =3 και = = 2s. β) Όταν < 7 8, οι ρίζες και του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι παραγµατικές µε τιµές = , 2 = Άρα, ο γεωµετρικός τόπος των ριζών παραµένει επί του άξονος των $, έχοντας δύο κλάδους: ο ένας κλάδος πηγαίνει από το 2στο 0.5 και ο άλλος από το 3 στο 0.5. Η τιµή 0.5 προκύπτει προφανώς όταν στα, θέσουµε = 7 8. γ) Όταν > 7, τότε οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι συζυγείς µιγαδικές µε 8 τιµές = +& 4 25, 2 = & Άρα ο γεωµετρικός τόπος αυτών των ριζών είναι µία ευθεία κάθετη στον άξονα των $ στο σηµείο (0.5, 0). Παράδειγµα 3 Έστω = + ( 3)(+2) η συνάρτηση ευθέως κλάδου µε =+, =( 3)(+2) Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι = + +( )+ 6 α) Όταν =0, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (δηλαδή, του παρονοµαστή του ) είναι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς του ευθέως κλάδου, εν προκειµένω, οι = =3 και = = 2. β) H διακρίνουσα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι < = Αυτή µε τη σειρά της είναι ένα τριώνυµο ως προς, η διακρίνουσα του οποίου είναι 64, άρα ισχύει για κάθε >0, < >0. Άρα οι ρίζες και του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι πάντα πραγµατικές µε τιµές 4

5 = + <, 2 = < 2 Παρατήρηση : Όταν το τείνει στο άπειρο, διαπιστώνουµε ότι µόνο η τείνει στο, αφού στη < υπερισχύει ο όρος. Πράγµατι, η γίνεται περίπου ίση µε => του και άρα η. Από την άλλη, για να δούµε που τείνει η,γράφουµε την διακρίνουσα ως: Εποµένως, για >3 ισχύει = + < 2 < = 6+25 ( 3) +6 = +?( 3) = +( 6 ( 3) = Εποµένως ο ένας κλάδος θα ξεκινάει στον πόλο της =3 και θα περατούται στο µηδενικό της συνάρτησης µεταφοράς A =, ενώ ο δεύτερος κλάδος θα ξεκινάει στον πόλο = 2 και θα περατούται στο. Παρατήρηση 2: Επειδή για όλα τα η < είναι θετική, οι και είναι πάντα πραγµατικοί, άρα και οι δύο κλάδοι του γεωµετρικού τόπου θα βρίσκονται επί του άξονα των $. 2 Παράδειγµα 4 Έστω = η συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου. Η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι η = (+)(+2)(+3) (+)(+2)(+3)+ α) Όταν =0, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς του ευθέως κλάδου, εν προκειµένω, οι = =, = = 2 και B = B = 3. Όταν 0, η προκύπτουσα εξίσωση τρίτου βαθµού δεν έχει προφανή λύση και γι αυτό θα ακολουθήσουµε κανόνες για την ποιοτική σχεδίαση του γεωµετρικού τόπου των ριζών. Κανόνας : Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους, διότι η συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου έχει τρεις πόλους. Κάθε κλάδος θα ξεκινάει από έναν 5

6 αντίστοιχο πόλο της και, επειδή η δεν έχει µηδενικά, θα περατούται στο ±, καθώς +. Κανόνας 2: Ένας κλάδος ή ένα τµήµα κλάδου όπου οι ρίζες είναι πραγµατικές, αν υπάρχει, κείται στον άξονα των $. Ένας κλάδος του γεωµετρικού τόπου ή ένα τµήµα αυτού µπορεί να βρίσκεται στον πραγµατικό άξονα µόνον όταν δεξιά του υπάρχει περιττός αριθµός πόλων και µηδενικών της συνάρτησης µεταφοράς του ευθέως κλάδου, όταν έχουµε τον περιορισµό E G. Στο προκείµενο, ο αριστερότερα ευρισκόµενος πόλος της είναι ο B = 3. Όλα τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου µε H(3I < 3 έχουν δεξιά τους 3 πόλους + 0 µηδενικά της = περιττό αριθµό πόλων και µηδενικών. Άρα όλος ο άξονας των $ αριστερά του 3 είναι πιθανός κλάδος του γεωµετρικού τόπου, που προφανώς αντιστοιχεί σε πραγµατικές τιµές ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου. Θα θεµελιώσουµε σε επόµενο κανόνα ότι όντως αυτό είναι τµήµα του γεωµετρικού τόπου (γ.τ.). Αντιστοίχως, όλοι οι µιγαδικοί αριθµοί µε 2 < H(3I <, έχουν στα δεξιά τους µόνο έναν πόλο και καθόλου µηδενικά της, άρα ο γεωµετρικός τόπος των ριζών σε αυτό το χωρίο του C ενδεχοµένως κείται επί του άξονος των $. Ισοδυνάµως, το ευθύγραµµο τµήµα του άξονος των $ που αρχίζει από το 2 και περατούται στο είναι πιθανόν τµήµα του γεωµετρικού τόπου των ριζών. Για την ακρίβεια, είναι όντως τµήµα του γ.τ. όπως θα δείξουµε παρακάτω. Κανόνας 3: Επειδή ο βαθµός του παρονοµαστή της είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του αριθµητή της, υπάρχουν ασύµπτωτοι στο γεωµετρικό τόπο. Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων βρίσκεται επί του άξονα των $ µε τετµηµένη που δίνεται από τον τύπο Άρα, εν προκειµένω, K L = (ά*nopqrl SόUVW X=ά*NOPQRL RYZ[WP\ώW X) (SUή*O_ SόUVW X=SUή*O_ RYZ[WP\ώW X) K L = (=B===`) (B=`) = 2.. Κανόνας 4: Εάν 0 είναι ο αριθµός πόλων της και a είναι αριθµός µηδενικών της, τότε οι ασύµπτωτοι αναχωρούν από το σηµείο τοµής τους b c κατά γωνίες που δίνονται από τον τύπο. N L = (2d+)e 0 a, d =0,,,0 a Εν προκειµένω,.`l = S B,. L =e,. L = 7S B. Άρα, η µία ασύµπτωτη που αντιστοιχεί στη γωνία e, κείται επί του πραγµατικού άξονος και είναι ο κλάδος του γ.τ. που έχει ήδη εντοπιστεί για H(3I< 3. Οι άλλες δύο ασύµπτωτοι 6

7 είναι συµµετρικές ως προς τον πραγµατικό άξονα. Η µία ασύµπτωτος, έστω α εκκινεί από το b c και σχηµατίζει γωνία S µε τον άξονα των $, άρα έχει εξίσωση B $ = 2+gcosk e 3 l mno p =0+gsinke 3 l $ = 2+ g 2 mno p =g 3 2 Η άλλη, έστω n εκκινεί επίσης από το b c κι έχει εξίσωση $ = 2+gcoss 5e 3 t mno p =0+gsins5e 3 t $ = 2+ g 2 mno p = g 3 2 Κανόνας 5: Εντοπισµός του σηµείου θλάσης Ορίζεται ως σηµείο θλάσης ένα σηµείο επί του πραγµατικού άξονα από το οποίο εκκινούν τουλάχιστον δύο κλάδοι του γεωµετρικού τόπου. Αυτό σηµαίνει ότι έχουµε σηµείο θλάσης εκεί όπου έχουµε διπλές (τουλάχιστον) ρίζες της υποτιθέµενης συνάρτησης. Για να γίνει κατανοητό αυτό, ας θεωρήσουµε ότι πλησιάζουµε το σηµείο θλάσης από την πλευρά που βρίσκονται οι δύο κλάδοι. Επειδή ο γ.τ. είναι συµµετρικός (γιατί;;), πλησιάζοντας στο σηµείο θλάσης θα έχουµε δυο συζυγείς ρίζες για κάθε. Φθάνοντας στο σηµείο θλάσης, οι δύο συζυγείς θα εκφυλίζονται σε µία διπλή για το συγκεκριµένο. Εποµένως, στο σηµείο θλάσης έχω µηδενισµό της πρώτης παραγώγου του χαρακτηριστικού πολυωνύµου. Εν προκειµένω u u =v (+)(+2)(+3)w = =0 y, = 2± 3 3 Για να είναι τα y, σηµεία θλάσης, πρέπει να ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση για κάποια πραγµατική, µη αρνητική τιµή του. Εν προκειµένω α) για το y : +(y )=0 = = Η παράσταση µηδενίζεται για = X(z + ) β) για το y : +(y )=0 = = Η παράσταση µηδενίζεται για X(z 4 ) = η οποία δεν είναι αποδεκτή τιµή. Άρα σηµείο θλάσης είναι µόνο το y. 7

8 Κανόνας 6: Γωνία εκκίνησης από τους πόλους α) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο Κοντά στον πόλο ισχύει = +~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Αλλά, τότε, για κάθε µιγάδα 0 ισχύει +~, ενώ προφανώς 0+~ =~. Άρα στο προκείµενο, =~(~+)(~+2) ~ 2=2~ Όµως, επειδή ζητάµε τους πόλους του, δηλαδή ζητάµε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του κλειστού βρόχου, ισχύει πάντα Ειδικώτερα, κοντά στο ισχύει = 2~ = 2 ~ ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e. β) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 2 Κοντά στον πόλο 2 ισχύει = 2+~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Αλλά, τότε, για κάθε µιγάδα 0 ισχύει +~, ενώ προφανώς 0+~ =~. Οπότε, =(~ )~(~+) ~ Όµως, επειδή πάλι ζητάµε τους πόλους του, δηλαδή ζητάµε τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, ισχύει πάντα Ειδικώτερα, κοντά στο 2 ισχύει = ~ = ~ ([) =( )S ƒ(~)=2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = 2 o γ.τ. εκκινεί προς τα δεξιά, εφαπτόµενος στον άξονα των $ µε γωνία µηδέν ή ισοδυνάµως µε γωνία 2e. Θα φτάσει στο σηµείο θλάσης y µε =.4226, απ όπου θα αποκτήσει δύο τµήµατα που διαφοροποιούν τους κλάδους εκ των οποίων το ένα θα έχει ασύµπτωτο την n και το άλλο την n. γ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 3 8

9 Κοντά στον πόλο 3 ισχύει = 3+~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Οπότε =(~ 2)(~ )~ ( 2)( )~ =2~ Άρα ισχύει ότι και στην περίπτωση α), άρα ο γεωµετρικός τόπος φεύγει από τον B = 3 µε γωνία e. Κανόνας 7: Τοµή µε φανταστικό άξονα Όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης διέρχονται από τον άξονα των y (το φανταστικό άξονα), τότε το σύστηµα µεταβαίνει από ευστάθεια σε αστάθεια ή αντιστρόφως. Εποµένως, επειδή ο πίνακας Routh δίνει την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το σύστηµα ευσταθές, δηλαδή να έχει όλους τους πόλους στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, προφανώς οι οριακές τιµές του για τις οποίες θα ισχύει το κριτήριο του Routh θα συµπεριλαµβάνουν τα σηµεία τοµής του γεωµετρικού τόπου µε τον φανταστικό άξονα. Επιπλέον, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου οι οποίες είναι φανταστικές, δηλαδή είναι της µορφής =± & πρέπει να µηδενίζουν και το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του πολυωνύµου αυτού. Εν προκειµένω, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος είναι: Ο πίνακας Routh του πολυωνύµου προκύπτει = B B ` 6+ 0 Για την ευστάθεια του συστήµατος πρέπει να ισχύει 6<<60 Άρα, µας ενδιαφέρουν οι οριακές τιµές = 6 και =60. Εποµένως, θα µελετήσουµε την οριακή τιµή =60 και µόνο, διότι στο παρόν παράδειγµα έχουµε υποθέσει [0,+ ). Παρ όλα αυτά αναλύουµε και το = 6, για πληρότητα σε περίπτωση που µας ζητηθεί ανάλυση και για <0. α) Για = 6 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο γίνεται: = B

10 Αντικαθιστώντας = & και µηδενίζοντας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος προκύπτουν οι κάτωθι εξισώσεις 6 =0 B + =0 Κοινή ρίζα των παραπάνω εξισώσεων είναι η =0. Η ρίζα αυτή βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα. β) ) Για =60 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο γίνεται: = B Αντικαθιστώντας = & και µηδενίζοντας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος 6 +66=0 B + =0 Κοινές ρίζες των παραπάνω εξισώσεων είναι οι, =± =±3,366. Τα δύο αυτά σηµεία είναι τα σηµεία τοµής του γεωµετρικού τόπου των ριζών µε τον φανταστικό άξονα. Κανόνας 8: Έλεγχος της συµβατότητας των προηγουµένων κανόνων και θεµελίωση των πραγµατικών τµηµάτων του γ.τ.. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, αναφέραµε στον κανόνα ότι το ευθύγραµµο τµήµα επί του πραγµατικού άξονα από το 2 έως το µπορεί να είναι µέρος του γ.τ.. Το ίδιο παρατηρήσαµε για την ηµιευθεία επί του άξονος των $ που εκκινεί από το 3 και περατούται στο. Παρατηρούµε ότι αυτά είναι πλήρως συµβατά µε τις γωνίες εκκίνησης και το σηµείο θλάσης. Όντως από το = ο γ.τ. εκκινεί µε γωνία e, παραµένει επί του άξονος των $ έως το σηµείο θλάσης, απ όπου εκκινεί για να φτάσει σε µία ασύµπτωτο. Από τον πόλο = 2 εκκινεί µε γωνία 2e και παραµένει επί του πραγµατικού άξονος µέχρι το σηµείο θλάσης y που βρίσκεται µεταξύ του και. Από το σηµείο θλάσης εγκαταλείπει τον άξονα των $ τείνοντας στην άλλη ασύµπτωτο, συµµετρικά µε τον άλλο κλάδο γύρω από τον άξονα των $. Επίσης, από τον πόλο B = 3 ο γ.τ. εκκινεί µε γωνία e και είναι συµβατό να υποθέσουµε ότι παραµένει επί του πραγµατικού άξονος ικανοποιώντας και την απαίτηση ο άξονας των $ να είναι η τρίτη ασύµπτωτος. Εναλλακτική θεµελίωση των τµηµάτων του πραγµατικού άξονα Η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται στη µορφή Στο προκείµενο, +=0 = =, eόg (4.) 0

11 =(+)(+2)(+3) Ισχύει ότι = ( )S Α) Για ( 2, ) ισχύει ότι Άρα, η παραπάνω εξίσωση γίνεται (+) R,+ <0 άρα (+)= + ( )S (+2) R,+2 >0 άρα (+2)= +2 ( )` (+3) R,+3 >0 άρα (+3)= +3 ( )` ( )S = ( )(Sˆ`ˆ`) Άρα όλα τα σηµεία µε ( 2, ) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει = , ενώ οι φάσεις είναι ταυτοτικά ίσες, άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. Αρχίζει και διαφαίνεται τώρα ο γενικός κανών όσον αφορά το περιττό του πλήθους d των πόλων και ριζών του δεξιά του σηµείου που εξετάζω: κάθε πόλος της συνάρτησης µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου που βρίσκεται δεξιά του σηµείου που µας ενδιαφέρει, συµβάλει στο συνολικό όρισµα του X συνολικό πλήθος d αυτών είναι περιττό, το όρισµα του κατά e και κάθε µηδενικό κατά e. Άρα, επειδή το X που εξασφαλίζει το να είναι ίδιο το πρόσηµο στην σχέση (4.). Β) Οµοίως, για (, 3) ισχύουν Άρα, (+) R,+ <0 άρα (+)= + ( )S (+2) R,+2 <0 άρα (+2)= +2 ( )S (+3) R,+3 <0 άρα (+3)= +3 ( )S θα είναι τελικά 2 e+e, γεγονός ( )S = ( )(SˆSˆS) = ( )BS = ( )S Άρα όλα τα σηµεία µε (, 3) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει = ενώ οι φάσεις είναι ταυτοτικά ίσες, άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. rlocus_paradeigma4_taxi3.m Παράδειγµα 5

12 Έστω σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου = + (+2)(+3) Στο οποίο εφαρµόζεται η αντιστάθµιση του σχήµατος 2. Εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι η Όπου = + =(+2)(+3) και =+ Προφανώς οι πόλοι της είναι οι ρίζες του και τα µηδενικά της είναι οι ρίζες του. Κανόνας : Επειδή Šn. όœ end nž ή >Šn. όœ ndo. ή, o γεωµετρικός τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους, διότι η συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου έχει τρεις πόλους. Κάθε κλάδος θα ξεκινάει από έναν αντίστοιχο πόλο και, επειδή η έχει ένα µηδενικό, ο ένας κλάδος θα περατούται στο µηδενικό A =, ενώ οι άλλοι δύο κλάδοι θα περατούνται στο ±, καθώς +. Κανόνας 2: Ένας κλάδος ή τµήµα κλάδου του γεωµετρικού τόπου µπορεί να βρίσκεται στον πραγµατικό άξονα µόνον όταν δεξιά του υπάρχει περιττός αριθµός πόλων και µηδενικών. Παρατηρούµε το χωρίο του C µε H(3I µεταξύ 3 και 2 έχει δεξιά του τους πόλους 2 και 0, και το µηδενικό, άρα το τµήµα του πραγµατικού άξονος από το B = 3 έως το = 2 είναι υποψήφιο να είναι τµήµα του γ.τ.. Θα θεµελιώσουµε αργότερα ότι είναι. Οµοίως, το τµήµα του πραγµατικού άξονα που εκκινεί από τον πόλο =0 και καταλήγει στο µηδενικό A = είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Πάλι, θα αποδείξουµε εν συνεχεία ότι είναι. Κανόνας 3: Επειδή ο βαθµός του παρονοµαστή της είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του αριθµητή αυτής κατά 2, υπάρχουν ασύµπτωτοι στο γεωµετρικό τόπο. Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων µε τον άξονα των δίνεται από τον τύπο Άρα, εν προκειµένω, K L = (ά*nopqrl SόUVW X=ά*NOPQRL RYZ[WP\ώW X) (SUή*O_ SόUVW X=SUή*O_ RYZ[WP\ώW X) K L = ( ( )) (3 ) = 2. Κανόνας 4: Εάν 0 είναι ο αριθµός πόλων της και a είναι αριθµός των µηδενικών της, τότε οι ασύµπτωτοι αναχωρούν από το σηµείο τοµής τους K L κατά γωνίες που δίνονται από τον τύπο 2

13 . N L = (2d+)e 0 a, d =0,,,0 a Εν προκειµένω,.`l = S,. L = BS και µετά επαναλαµβάνονται οι ίδιες. Άρα, η µία ασύµπτωτη, έστω n, που αντιστοιχεί στη γωνία S είναι παράλληλη προς τον άξονα των p προς το +, ενώ η άλλη, έστω n, είναι πάλι παράλληλη προς των άξονα των p προς το. Κανόνας 5: Εντοπισµός του σηµείου θλάσης Έχουµε σηµείο θλάσης εκεί που έχουµε διπλές ρίζες της υποτιθέµενης συνάρτησης, επί του πραγµατικού άξονος, διότι από το σηµείο αυτό εκκινούν δύο τουλάχιστον διαφορετικά τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. Υπενθυµίζεται ότι αν θεωρήσουµε πως πλησιάζουµε το σηµείο θλάσης από την πλευρά που βρίσκονται οι δύο κλάδοι θα έχουµε δυο συζυγείς ρίζες για κάθε επειδή ο γ.τ. είναι συµµετρικός ως προς τον πραγµατικό άξονα. Φθάνοντας στο σηµείο θλάσης, οι δύο συζυγείς ρίζες εκφυλίζονται σε µία διπλή για το συγκεκριµένο. Εποµένως, για τον υπολογισµό του σηµείου θλάσης λύνω την χαρακτηριστική εξίσωση ως προς. Οπότε, εν προκειµένω λαµβάνω = = = B + Η ύπαρξη διπλής ρίζας στο σηµείο θλάσης απαιτεί u u = B (+) = 0 y = 2.46 Είναι προφανές ότι απορρίπτουµε τις µιγαδικές λύσεις γιατί το πρέπει να είναι θετικό πραγµατικό ή µηδέν και για τις συγκεκριµένες µιγαδικές ρίζες το βγαίνει µιγαδικό. Επιπλέον, το σηµείο θλάσης πρέπει να βρίσκεται πάντα επί του πραγµατικού άξονα. Για να είναι σηµείο θλάσης το y,πρέπει να ικανοποιεί τη χαρακτηριστική εξίσωση για κάποια πραγµατική, µη αρνητική τιµή του. Εν προκειµένω, +( 2.46)=0. Η εξίσωση επιλύεται για =0.486 Άρα όντως το y είναι σηµείο θλάσης. Κανόνας 6: Γωνία εκκίνησης από τους πόλους και γωνία άφιξης στο µηδενικό α) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 0. Κοντά στον πόλο 0 ισχύει =~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Αλλά, τότε, για κάθε µιγάδα 0 ισχύει +~, ενώ προφανώς 0+~ =~. 3

14 Συνεπώς =~(~+2)(~+3) 6~ ~+ Άρα, κοντά στο 0 6~ = 6 ~ ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο =0 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e. β) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 2. Κοντά στον πόλο 2 ισχύει = 2+~,~ C. Οπότε διότι ~ πολύ κοντά στο µηδέν. Άρα, κοντά στο 2 ισχύει =(~ 2)~(~+) 2~ ~ 2~ = 2 ~ ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = 2 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e. γ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 3. Κοντά στον πόλο 3 ισχύει = 3+~,~ C: =(~ 3)(~ )~ 3~ = oό o ~ e gύ m ά Ž 0 ~ 2 2 ( )` = 3 2 ~ ([) ƒ(~)=0 Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο B = 3 o γ.τ. εκκινεί προς τα δεξιά, εφαπτόµενος στον άξονα των $. δ) Γωνία άφιξης στο µηδενικό. Κοντά στο µηδενικό ισχύει = ~,~ C όπου πάλι ~ πολύ µικρή ποσότητα. (προσοχή στο αρνητικό πρόσηµο του ~ στην άφιξη). Κατά συνέπεια =( ~ )( ~+)( ~+2) 2 ~ ~ 2 ~ = 2 ~ (=) ([) =( )S ƒ(~)= e+2de Αυτό σηµαίνει ότι στο µηδενικό A = o γ.τ. αφικνείται µε γωνία e, εφαπτόµενος στον άξονα των $, δηλαδή από δεξιά. 4

15 Κανόνας 7: Τοµή µε φανταστικό άξονα Όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης διέρχονται από τον άξονα των p (το φανταστικό άξονα), τότε το σύστηµα µεταβαίνει από ευστάθεια σε αστάθεια ή αντιστρόφως. Εποµένως, επειδή ο πίνακας Routh δίνει την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το σύστηµα ευσταθές, δηλαδή να έχει όλους τους πόλους στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, προφανώς οι οριακές τιµές του για τις οποίες θα ισχύει το κριτήριο του Routh θα αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής του γεωµετρικού τόπου µε το φανταστικό άξονα. Επιπλέον, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου οι οποίες είναι φανταστικές, δηλαδή είναι της µορφής =± & πρέπει να µηδενίζουν και το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του πολυωνύµου αυτού. Εν προκειµένω, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος είναι = B +5 +(6+)+ B ,8 0 ` 0 Για την ευστάθεια του συστήµατος πρέπει να ισχύει Άρα, µας ενδιαφέρει η οριακή τιµή =0. >0 α) Για =0 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο γίνεται: = B Αντικαθιστώντας = & και µηδενίζοντας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος προκύπτουν οι εξισώσεις 5 =0 B +6 =0 Κοινή ρίζα των παραπάνω εξισώσεων είναι η =0. Η ρίζα αυτή βρίσκεται πάνω στον πραγµατικό άξονα. Το 0 είναι πόλος της συνάρτησης µεταφοράς του κατευθείαν κλάδου, οπότε µπορεί να αποτελεί µέρος του γεωµετρικού τόπου και άρα αποτελεί σηµείο τοµής του µε τον φανταστικό άξονα. 5

16 Κανόνας 8: Έλεγχος της συµβατότητας των προηγουµένων κανόνων, θεµελίωση των πραγµατικών τµηµάτων του γ.τ. και ποιοτική σχεδίαση αυτού. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, αναφέραµε στον κανόνα ότι το ευθύγραµµο τµήµα επί του πραγµατικού άξονα από το έως το 0 µπορεί να είναι µέρος του γ.τ.. Το ίδιο παρατηρήσαµε για το ευθύγραµµο τµήµα από το 3 έως το 2. Παρατηρούµε ότι αυτά είναι πλήρως συµβατά µε τις γωνίες εκκίνησης και το σηµείο θλάσης. Όντως από το =0 ο γ.τ. εκκινεί µε γωνία e, παραµένει επί του άξονος των $ έως το µηδενικό A =, και αυτός είναι ένας κλάδος του γ.τ.. Εν συνεχεία, ο δεύτερος κλάδος εκκινεί από το 2 µε γωνία e, οπότε εξακολουθεί να παραµένει επί του άξονος των, µέχρι το σηµείο θλάσης απ όπου εκκινεί τείνοντας να συµπέσει µε µία από τις ασυµπτώτους. Ο τρίτος κλάδος εκκινεί από τον πόλο B = 3 µε γωνία 2e και παραµένει επί του άξονος των x µέχρι να φτάσει στο σηµείο θλάσης. Από το σηµείο θλάσης εγκαταλείπει τον πραγµατικό άξονα συµµετρικά ως προς τον προηγούµενο κλάδο, τείνοντας να συµπέσει µε την άλλη ασύµπτωτο. Εναλλακτική θεµελίωση των τµηµάτων του πραγµατικού άξονα Η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται στη µορφή Στο προκείµενο, Ισχύει ότι Α) Για (,0) ισχύει ότι Άρα, η παραπάνω εξίσωση γίνεται +=0 =, eόg = (+2)(+3) (+) = ( )S R, < 0 άρα = ( )S (+2) R,+2 >0 άρα (+2)= +2 ( )` (+3) R,+3 >0 άρα (+3)= +3 ( )` (+) R,+ >0 άρα (+)= + ( )` ( )S = ( )(Sˆ`ˆ`=`) + Άρα όλα τα σηµεία µε (,0) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει =

17 δεδοµένου ότι έχει εξασφαλιστεί η ισότητα των ορισµάτων. Άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. Β) Οµοίως, για ( 3, 2) ισχύουν R, < 0 άρα = ( )S (+2) R,+2 <0 άρα (+2)= +2 ( )S (+3) R,+3 >0 άρα (+3)= +3 ( )` (+) R,+ <0 άρα (+)= + ( )S Άρα, ( )S = ( )(SˆSˆ`=S) = ( )S + Άρα όλα τα σηµεία µε ( 3, 2) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. = Επιβεβαιώνεται πάλι ο γενικός κανόνας: κάθε πόλος της συνάρτησης µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου που βρίσκεται δεξιά του σηµείου που εξετάζουµε, συµβάλει στο συνολικό όρισµα του X κατά e, ενώ κάθε µηδενικό κατά e. Επειδή το συνολικό πλήθος των µηδενικών και πόλων δεξιά του είναι περιττό, το όρισµα του γεγονός που εξασφαλίζει την ταυτότητα του προσήµου στα δύο µέλη της (2). X θα είναι τελικά 2 e+e, rlocus_paradeigma5_taxi3.m Παράδειγµα 6 Έστω σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου = +4 (+6)(+8)( +2+2) Για να µελετηθεί η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου του σχήµατος 2 και να ευρεθούν οι πόλοι της, γράφουµε αυτήν στη µορφή = + 7

18 όπου =+4 και =(+6)(+8)( +2+2) Κανόνας : Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών θα έχει πέντε κλάδους, διότι η συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου έχει πέντε πόλους. Κάθε κλάδος θα ξεκινάει από έναν αντίστοιχο πόλο και, επειδή η έχει ένα µηδενικό, ο ένας κλάδος θα περατούται στο µηδενικό A = 4, ενώ οι άλλοι τέσσερεις κλάδοι θα περατούνται στο ±, καθώς +. Κανόνας 2: Ένας κλάδος ή τµήµα κλάδου του γεωµετρικού τόπου µπορεί να βρίσκεται στον πραγµατικό άξονα µόνον όταν δεξιά του υπάρχει περιττός αριθµός πόλων και µηδενικών της. Παρατηρούµε ότι το χωρίο του C µε H(3I µεταξύ και 0 έχει δεξιά του τον πόλο 0, άρα το τµήµα του πραγµατικού άξονος από έως 0 είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Θα θεµελιώσουµε αργότερα ότι είναι. Το ευθύγραµµο τµήµα του πραγµατικού άξονος µε αρχή το 4 και πέρας το έχει δεξιά του τον πόλο 0, ως και τους συζυγείς µιγαδικούς πόλους ±&, στο σύνολο 3 πόλους και καθόλου µηδενικά, άρα και αυτό το ευθύγραµµο τµήµα είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Οµοίως, το τµήµα του πραγµατικού άξονος µεταξύ του πόλου 7 = 8 και 8 = 6 είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Πάλι, θα αποδείξουµε και για τα δύο αυτά τµήµατα αργότερα ότι όντως είναι. Κανόνας 3: Επειδή ο βαθµός του παρονοµαστή της είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του αριθµητή αυτής κατά 4, υπάρχουν 4 ασύµπτωτοι στο γεωµετρικό τόπο. Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων µε τον άξονα των $ δίνεται από τον τύπο K L = Άρα, εν προκειµένω, (ά.d ož n eόg ά.d ož n ~ omώ ). (egή. Œ eόg egή. Œ ~ omώ ) K L = ( 8 6+( &)+( +&)+0 ( 4)) (5 ) = 3 Κανόνας 4: Εάν 0 είναι ο αριθµός πόλων της και a είναι αριθµός µηδενικών της, τότε οι ασύµπτωτοι αναχωρούν από το σηµείο τοµής τους K L κατά γωνίες που δίνονται από τον τύπο. N L = (2d+)e 0 a, d =0,,,0 a Εν προκειµένω, Κανόνας 5: Εντοπισµός του σηµείου θλάσης.`l = S 8,. L = BS 8,. L = 7S 8,. B L = S 8 Έχουµε σηµείο θλάσης εκεί που έχουµε διπλές ρίζες της υποτιθέµενης συνάρτησης, διότι από το σηµείο αυτό εκκινούν δύο τουλάχιστον διαφορετικά τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. Εποµένως, για τον υπολογισµό των πιθανών σηµείων θλάσης λύνω την χαρακτηριστική εξίσωση ως προς. Οπότε, εν προκειµένω λαµβάνω 8

19 = = B Η ύπαρξη διπλής ρίζας στο σηµείο θλάσης απαιτεί u u = B (+4) =0 y = Είναι προφανές ότι απορρίπτουµε τις µιγαδικές λύσεις γιατί το πρέπει να είναι θετικό πραγµατικό ή µηδέν και για τις συγκεκριµένες µιγαδικές ρίζες το βγαίνει προφανώς µιγαδικό. Επιπλέον, το σηµείο θλάσης πρέπει να βρίσκεται πάντα επί του πραγµατικού άξονα. Άρα για να είναι το y σηµείο θλάσης, πρέπει να ικανοποιεί τη χαρακτηριστική εξίσωση για κάποια πραγµατική, µη αρνητική τιµή του. Εν προκειµένω για το y ισχύει: +( )=0. Η εξίσωση επιλύεται για = Άρα όντως το y είναι σηµείο θλάσης. Κανόνας 6: Γωνία εκκίνησης από τους πόλους και γωνία άφιξης στο µηδενικό α) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 0. Κοντά στον πόλο 0 ισχύει =~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Αλλά, τότε, για κάθε µιγάδα 0 ισχύει +~, ενώ προφανώς 0+~ =~. Συνεπώς, Άρα, κοντά στο 0 =~(~+6)(~+8)(~++&)(~+ &) 96~ ~ ~ = 24 ~ ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο =0 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e, δηλαδή προς τα αριστερά. β) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 6. Κοντά στον πόλο 6 ισχύει = 6+~,~ C : =(~ 6)~(~+2)(~ 5+&)(~ 5 &) (~ 2) Άρα, κοντά στο 6 ( 6)(+2)( 5+&)( 5 &) ~ ( ) ([) ( 2) 9

20 6( 5+&)( 5 &) ~ ([) =6 26 ~ ( ) ([) = =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = 6 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e. γ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο 8. Κοντά στον πόλο 8 ισχύει = 8+~,~ C: =(~ 8)(~ 2)~(~ 9 &)(~ 9+&) ~ 4 ( 8)( 2)( 9 &)( 9+&) ~ ( ) ([) = 4 4( 9 &)( 9+&) ~ ( ) ([) =4 82 ~ ( ) ([) = ƒ(~)=0 Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο B = 8 o γ.τ. εκκινεί προς τα δεξιά, εφαπτόµενος στον άξονα των $. δ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο &. Κοντά στον πόλο & ισχύει = &+~,~ C όπου ~ πολύ µικρή ποσότητα. Αλλά, τότε, για κάθε µιγάδα 0 ισχύει συνέπεια +~, ενώ προφανώς 0+~ =~. Κατά =(~ &)(~+5 &)(~+7 &)~(~ 2&) ~+3 & ( &)(5 &)(7 &)( 2&) ~ ( ) ([) = 3 & Αλλά & =?( ) +( ) vcos(.)+&/0(.)w & = 2 ( ) οµοίως 5 & = 26 ( )(=`, B) 7 & = 50 ( )(=`,8 ) 2& =2 ( )(= S ) 3 & = 0 ( )(=`,B 7) και 20

21 ~ = ~ ( ) ([) Οπότε συνολικά προκύπτει : ~ ( )k7s 8 =`, B=`,8 =S ˆ`,B 7ˆ ([)l =( )S 0 ƒ(~)=e s 5e 4 0,973 0,49 e 2 +0,3275t ƒ(~)=0,8028 Εποµένως, ο γεωµετρικός τόπος εκκινεί από τον πόλο & µε γωνία 0,8028 ή ισοδυνάµως κατά προσέγγιση µε γωνία 46 µοιρών. ε) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο +&. Λόγω της συµµετρίας του γεωµετρικού τόπου στον πραγµατικό άξονα, ο αντίστοιχος κλάδος αυτού εκκινεί από το πόλο +& µε γωνία 0,8028 ή ισοδυνάµως κατά προσέγγιση µε γωνία 46 µοιρών. στ) Γωνία άφιξης στο µηδενικό. Κοντά στο µηδενικό 4 ισχύει = 4 ~,~ C. Άρα =( ~ 4)( ~+2)( ~+4)( ~ 3+&)( ~ 3 &) 320 ~ ~ 320 ~ 320 ~ (=) ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι στο µηδενικό A = 4 o γ.τ. αφικνείται µε γωνία e, εφαπτόµενος στον άξονα των $, δηλαδή από δεξιά. Κανόνας 7: Τοµή µε φανταστικό άξονα Όταν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης διέρχονται από τον άξονα των p (το φανταστικό άξονα), τότε το σύστηµα µεταβαίνει από ευστάθεια σε αστάθεια ή αντιστρόφως. Εποµένως, επειδή ο πίνακας Routh δίνει την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το σύστηµα ευσταθές, δηλαδή να έχει όλους τους πόλους στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, προφανώς οι οριακές τιµές του για τις οποίες θα ισχύει το κριτήριο του Routh θα αντιστοιχούν στα σηµεία τοµής του γεωµετρικού τόπου µε το φανταστικό άξονα. Επιπλέον, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου οι οποίες είναι φανταστικές, δηλαδή είναι της µορφής =± & πρέπει να µηδενίζουν και το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του πολυωνύµου αυτού. 2

22 Εν προκειµένω, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος είναι = B +24 +(96+) B 70, , ,35 0, ,28 220, ` Για την ευστάθεια του συστήµατος πρέπει να ισχύει < 597,98 766,49< <43,38 ώστε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh να είναι οµόσηµοι αριθµοί. Άρα, µας ενδιαφέρουν οι οριακές τιµές =0 και =43,38. Επειδή έχουµε υποθέσει ότι >0 εξετάζουµε µόνο την λύση =43,38. α) Για =43,38 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο γίνεται: = B Αντικαθιστώντας = & και µηδενίζοντας το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος = B =0 Κοινή ρίζα των παραπάνω εξισώσεων είναι η =±,35, όπου ο γεωµετρικός τόπος θα τέµνει τον φανταστικό άξονα. β) Πρέπει επίσης να προσέξουµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς ευθέως κλάδου έχει πόλο το µηδέν. Άρα το σηµείο (0,0) είναι σηµείο τοµής µε τον φανταστικό άξονα το οποίον αντιστοιχεί στο =0. Κανόνας 8: Έλεγχος της συµβατότητας των προηγουµένων κανόνων, θεµελίωση των πραγµατικών τµηµάτων του γ.τ. και ποιοτική σχεδίαση αυτού. Θεµελίωση των τµηµάτων του πραγµατικού άξονα Η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται στη µορφή 22

23 +=0 =, eόg Στο προκείµενο, = (ˆš)(ˆ )(4ˆˆ) (ˆ8) (6.) Ισχύει ότι = ( )S Α) Για ( 4,0) ισχύει ότι R, < 0 άρα = ( )S (+6) R,+6 >0 άρα (+6)= +6 ( )` (+8) R,+8 >0 άρα (+8)= +8 ( )` ( +2+2) R, +2+2 >0 άρα ( +2+2)= +2+2 ( )` (+4) R,+4 >0 άρα (+4)= +4 ( )` Άρα, η (6.) εξίσωση γίνεται ( )S = ( )(Sˆ`ˆ`ˆ`=`) +4 Άρα όλα τα σηµεία µε ( 4,0) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. Β) Οµοίως, για ( 8, 6) ισχύουν = R, < 0 άρα = ( )S (+6) R,+6 <0 άρα (+6)= +6 ( )S (+8) R,+8 >0 άρα (+8)= +8 ( )` ( +2+2) R, +2+2 >0 άρα ( +2+2)= +2+2 ( )` (+4) R,+4 <0 άρα (+4)= +4 ( )S Άρα, 23

24 ( )S = ( )(SˆSˆ`ˆ`=S) +4 ( )S = ( )S +4 Άρα όλα τα σηµεία µε ( 8, 6) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. = ιαπιστώνουµε ότι ο γενικός κανόνας ισχύει και όταν υπάρχουν µιγαδικά µηδενικά και πόλοι στην, δηλαδή, κάθε πόλος της συνάρτησης µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου που βρίσκεται δεξιά του σηµείου που εξετάζουµε, συµβάλει στο συνολικό όρισµα του X κατά e, ενώ κάθε µηδενικό κατά e. Επειδή το συνολικό πλήθος των µηδενικών και πόλων δεξιά του είναι περιττό, το όρισµα του X την ταυτότητα του προσήµου στα δύο µέλη της (6.). θα είναι τελικά 2 e+e, γεγονός που εξασφαλίζει Είναι αξιοσηµείωτο ότι εφόσον η είναι ρητή συνάρτηση πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές, οι µιγαδικοί πόλοι και τα µιγαδικά µηδενικά της θα είναι συζυγή ανά δύο. Άρα, ένα τέτοιο ζεύγος συζυγών ριζών δεν αλλάζει την περιττότητα/αρτιότητα του πλήθους των πόλων και µηδενικών δεξιά του σηµείου που µας ενδιαφέρει. Εν ολίγοις, για τα πραγµατικά τµήµατα του γεωµετρικού τόπου ριζών, προσµετρούµε µόνο τους πόλους και µηδενικά της που κείνται επί του πραγµατικού άξονος. Ποιοτική σχεδίαση του γεωµετρικού τόπου Σε πλήρη συµφωνία µε τα προηγούµενα παρατηρούµε ότι από το =0 ο γ.τ. εκκινεί µε γωνία e, παραµένει επί του άξονος των $ έως το µηδενικό A = 4 και αυτός είναι ένας κλάδος του γ.τ.. Εν συνεχεία, ο δεύτερος κλάδος εκκινεί από το 6 µε γωνία e και εξακολουθεί να παραµένει επί του άξονος των, µέχρι το σηµείο θλάσης απ όπου εκκινεί τείνοντας να συµπέσει µε µία από τις ασυµπτώτους. Ο τρίτος κλάδος εκκινεί από τον πόλο 7 = 8 µε γωνία 0 και παραµένει επί του άξονος των µέχρι να φτάσει στο σηµείο θλάσης. Από το σηµείο θλάσης εγκαταλείπει τον πραγµατικό άξονα πάντα συµµετρικά µε τον προηγούµενο κλάδο τείνοντας να συµπέσει µε την άλλη ασύµπτωτο. Από τον µιγαδικό πόλο & εκκινεί ένας τέταρτος κλάδος µε γωνία 0,8028 ή ισοδυνάµως µε γωνία 46 µοιρών και τείνει στην τρίτη ασύµπτωτο. Τέλος, από τον πόλο +&, εκκινεί ο τελευταίος κλάδος του γεωµετρικού τόπου µε γωνία 46 µοιρών παραµένοντας συµµετρικός του προηγούµενου γύρω από τον πραγµατικό άξονα και τείνοντας στην τελευταία ασύµπτωτη. ύο κλάδοι πρέπει να τέµνουν τον άξονα των φανταστικών αριθµών στα συζυγή σηµεία (0,.35) και (0, -.35). Οι γωνίες εκκίνησης από τους πόλους και το σηµείο θλάσης, ως και η 24

25 θέση των ασυµπτώτων υποδεικνύουν ότι οι κλάδοι που εκκινούν από τους πόλους τέµνουν το φανταστικό άξονα και τείνουν στις ασυµπτώτους µε γωνίες π/4 και 7π/4. Αυτή είναι η µέγιστη πληροφορία που µας προσφέρουν οι παρουσιασθέντες κανόνες. rlocus_paradeigma6_taxi5.m Παράδειγµα 7 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του κάτωθι κλειστού βρόχου: + _ ( +4+5) µε = Σχήµα 3 (+2)(+5)(+8)( +2+5) Παρατηρούµε ότι αυτή η τοπολογία δεν είναι της µορφής του σχήµατος 2. Όπως, δε, έχουµε εξαρχής τονίσει, η µεθοδολογία εύρεσης του γεωµετρικού τόπου που έχουµε παρουσιάσει ως τώρα, ισχύει µόνο, για κλειστούς βρόχους της µορφής του σχήµατος 2. Έχουµε όµως θεµελιώσει στο κεφάλαιο περί τοπολογιών-διαγραµµάτων βαθµίδων ότι από πλευράς ΣΑΕ η τοπολογία του σχήµατος 3 είναι ισοδύναµη µε την κατωτέρω, διότι και οι δύο έχουν κοινό χαρακτηριστικό πολυώνυµο, δηλαδή κοινό παρονοµαστή στη συνάρτηση µεταφοράς. + _ µε Σχήµα 4 =

26 και = = ( +4+5) (+2)(+5)(+8)( +2+5) Ισοδυνάµως, µπορούµε να γράψουµε τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου του σχήµατος 3, ως εξής = + = = (+2)(+5)(+8)( +2+5) ( ) (+2)(+5)(+8)( +2+5) (+2)(+5)(+8)( +2+5)+( +4+5) = Θέτοντας =(+2)(+5)(+8)( +2+5) =( +4+5) προκύπτει πάλι ότι πρέπει να µελετήσουµε το γεωµετρικό τόπο +=0 που είναι ταυτόσηµος µε τη µορφή που προέκυψε από το σχήµα 4. Για τη µελέτη εφαρµόζουµε τους γνωστούς κανόνες, όπου = : Κανόνας : Ο γεωµετρικός τόπος των ριζών θα έχει πέντε κλάδους, διότι η συνάρτηση µεταφοράς έχει πέντε πόλους, τους 8, 5, 2, 2&, +2&. Κάθε κλάδος θα ξεκινάει από έναν αντίστοιχο πόλο και, επειδή η έχει τρία µηδενικά, οι τρεις κλάδοι θα περατούνται στα µηδενικά A =0,A = 2+&,A B = 2 &, ενώ οι άλλοι δύο κλάδοι θα περατούνται στο ±, καθώς +. Κανόνας 2: Ένας κλάδος ή ένα τµήµα κλάδου του γεωµετρικού τόπου µπορεί να βρίσκεται στον πραγµατικό άξονα µόνον όταν δεξιά του υπάρχει περιττός αριθµός πόλων και µηδενικών της. Τονίζεται ότι, εφόσον τα πολυώνυµα της έχουν πραγµατικούς συντελεστές, όταν και όπου έχω συζυγείς ρίζες, αυτές τύποις προσµετρώνται στην περιττότητα, αλλά κατ ουσίαν τις αγνοώ, αφού περιττός +2 περιττός. Εποµένως το χωρίο του C µε H(3I µεταξύ 2 και 0 έχει δεξιά του το µηδενικό 0, άρα το τµήµα του πραγµατικού άξονα από 2 έως 0 είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Θα θεµελιώσουµε αργότερα ότι είναι. Το ευθύγραµµο τµήµα του πραγµατικού άξονα µε αρχή το 8 και πέρας το 5 έχει δεξιά του τους πραγµατικούς πόλους 5 και 2 και το πραγµατικό µηδενικό 0 το σύνολο 3 τρεις πραγµατικούς πόλους είτε µηδενικά, άρα και αυτό το ευθύγραµµο τµήµα είναι υποψήφιο τµήµα του γ.τ.. Πάλι, θα αποδείξουµε αργότερα ότι είναι. Κανόνας 3: Επειδή ο βαθµός του παρονοµαστή της είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του αριθµητή αυτής κατά 2, υπάρχουν 2 ασύµπτωτοι στο γεωµετρικό τόπο. Το σηµείο τοµής των ασυµπτώτων µε τον άξονα των $ δίνεται από τον τύπο K L = (ά.d ož n eόg ά.d ož n ~ omώ ). (egή. Œ eόg egή. Œ ~ omώ ) 26

27 Άρα, εν προκειµένω, K L = ( ( 2&)+( +2&) 0 ( 2+&) ( 2 &)) (5 3) = 6.5. Κανόνας 4: Εάν 0 είναι ο αριθµός πόλων του και a είναι ο αριθµός των µηδενικών της, τότε οι ασύµπτωτοι αναχωρούν από το σηµείο τοµής τους K L κατά γωνίες που δίνονται από τον τύπο. N L = (2d+)e 0 a, d =0,,,0 a Εν προκειµένω, Κανόνας 5: Εντοπισµός του σηµείου θλάσης.`l = S,. L = BS Έχουµε σηµείο θλάσης εκεί που έχουµε διπλές ρίζες της υποτιθέµενης συνάρτησης, διότι από το σηµείο αυτό εκκινούν δύο τουλάχιστον διαφορετικά τµήµατα του γεωµετρικού τόπου. Εποµένως, για τον υπολογισµό του σηµείου θλάσης λύνω τη χαρακτηριστική εξίσωση ως προς. Οπότε, εν προκειµένω λαµβάνω = (+2)(+5)(+8)( +2+5) ( +4+5) Η ύπαρξη διπλής ρίζας στο σηµείο θλάσης απαιτεί u u = +29 š B v( +4+5)w =0 œy = 6,46 œy = 2,0849 œy B = 2,6955 Είναι προφανές ότι απορρίπτουµε τις µιγαδικές λύσεις γιατί το είναι θετικό πραγµατικό ή µηδέν και για τις συγκεκριµένες µιγαδικές ρίζες το βγαίνει µιγαδικό. Επιπλέον, το σηµείο θλάσης πρέπει να βρίσκεται πάντα επί του πραγµατικού άξονα. Για να είναι κάποιο εκ των œy, œy, œy B σηµείο θλάσης, πρέπει να ικανοποιεί την χαρακτηριστική εξίσωση για κάποια πραγµατική, µη αρνητική τιµή του. Εν προκειµένω για το ž Ÿ : + ( 6,46)=0. Η εξίσωση επιλύεται για =2,523 Άρα όντως το œy είναι σηµείο θλάσης και έστω αυτό y 27

28 για το ž : + (2,0849)=0. Η εξίσωση επιλύεται για = 06,9867 Άρα το œy δεν είναι σηµείο θλάσης διότι <0. για το ž : + B ( 2,6955)=0. Η εξίσωση επιλύεται για B = 4,644 Άρα το œy B δεν είναι σηµείο θλάσης διότι B <0. Κανόνας 6: Γωνία εκκίνησης από τους πόλους και γωνία άφιξης στα µηδενικά α) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο. Κοντά στον πόλο 2 ισχύει = 2+~,~, όπου ε πολύ µικρή ποσότητα. Συνεπώς =~(~+3)(~+6)(~ &)(~ +&) (~ 2)(~ &)(~+&) (+3)(+6)( &)( +&) ~ ( ) ([) ( 2)( &)(+&) Άρα, κοντά στο 2 ( 9) ( &)( +&) ~ ( ) ([) = 9( &)( +&) ~ ( ) ([) = ƒ(~) Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = 2 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία 0. β) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο. Κοντά στον πόλο 5 ισχύει = 5+~,~, όπου ε πολύ µικρή ποσότητα Άρα, κοντά στο 5 8~+20) =(~ 3)~(~+3)(~ (~ 5)(~ 80~ oό o ~ 0 6~+0) 50 8 ~ = ~ ([) =( )S ƒ(~)=e+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο = 5 o γ.τ. εκκινεί µε γωνία e. γ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο. Κοντά στον πόλο 8 ισχύει = 8+~,~, όπου ε πολύ µικρή ποσότητα 28

29 Άρα, κοντά στο 8 4~+53) =(~ 6)(~ 3)~(~ (~ 8)(~ 954~ oό o ~ 0 2~+37) ~ = ~ ([) =( )S ƒ(~)=0 Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο B = 8 o γ.τ. εκκινεί προς τα δεξιά, εφαπτόµενος στον άξονα των x. δ) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο Ÿ+. Κοντά στον πόλο +2& ισχύει = +2&+~,~, όπου ε πολύ µικρή ποσότητα. Άρα διότι ~ πολύ κοντά στο µηδέν. Άρα, κοντά στο +2& 29,2 ~ (=`.š8 `ˆ ([)) 29,2 ~ ( )(=`.š8 `ˆ ([)) = =( )S ƒ(~)=e+0,6490+2de =3,7906+2de Αυτό σηµαίνει ότι από τον πόλο 8 = +2& o κλάδος του γ.τ. εκκινεί µε γωνία περίπου 27,84. ε) Γωνία εκκίνησης από τον πόλο Ÿ. Λόγω συµµετρίας του γεωµετρικού τόπου ριζών περί τον πραγµατικό άξονα, από τον πόλο 7 = 2& o αντίστοιχος κλάδος του γ.τ. εκκινεί µε γωνία περίπου -27,84. Σηµειωτέον ότι λόγω της συµµετρίας, δεν απαιτείται να γίνει ο υπολογισµός της γωνίας εκκίνησης και από τους δύο πόλους. Προτείνεται, όµως, αυτό να γίνεται, ει δυνατόν, για λόγους επιβεβαίωσης. στ) Γωνία άφιξης στα µηδενικά Κοντά στο µηδενικό G ισχύει = ~,~ : 2~+5) =( ~+2)( ~+5)( ~+8)(~ ~(~ 400 oό o ~ 0 4~+5) 5~ 80 ~ = 80 ~ (=) ([) =( )` ƒ(~) =0 Αυτό σηµαίνει ότι στο µηδενικό A =0 o γ.τ. αφικνείται µε γωνία 0, εφαπτόµενος στον άξονα των x. 29

30 Κοντά στο µηδενικό + ισχύει = ~ 2+&,~ =( ~+&)( ~+3+&)( ~+&+6)( ~ & )( ~+3& ) ( ~ 2+&)( ~)( ~+2&) (+&)(+3+&)(+&+6)( & )(+3& ) ( 2+&)( ~)(+2&) 9,23(=.`) oό o ~ 0,όe ~ Άρα κοντά στο σηµείο -2 +j 9,23(=.`) ~ 9,23(=.`) = ( =) ([) =( )` ~ ƒ(~)= 2.0 Αυτό σηµαίνει ότι στο µηδενικό A = 2+&,o γ.τ. αφικνείται µε γωνία περίπου 5,6 µοιρών. Κοντά στο µηδενικό ισχύει = ~ 2 &,~ : 9,23(.`) ~ 9,23(.`) = ( =) ([) =( )` ~ ƒ(~)=+2.0 Αυτό σηµαίνει ότι στο µηδενικό A = 2 &,o γ.τ. αφικνείται µε γωνία περίπου 5,6 µοιρών. Παρατηρούµε ότι το αποτέλεσµα επιβεβαιώνει τη συµµετρία του γεωµετρικού τόπου γύρω απ τον πραγµατικό άξονα. Κανόνας 7: Τοµή µε φανταστικό άξονα Στο σηµείο αυτό διευκολύνει σηµαντικά την διαδικασία η παρατήρηση ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο =(+2)(+5)(+8)( +2+5)+ ( +4+5) = (0+) B + (287+4) + (490+5)+400=0 εµφανίζει το κέρδος στους συντελεστές των B, και. Εποµένως, αναµένει κανείς ότι ο εντοπισµός του µέσω του κριτηρίου Routh θα είναι ιδιαιτέρως κοπιαστικός όπως θα διαφανεί και στο παράδειγµα 8. Είναι συνεπώς καλύτερο να επιχειρήσει κανείς να θέσει = &, R,οπότε λαµβάνει: ( &)= 7 &+7 8 (0+) B & (287+4) + (490+5) &+400=0 7 8 (287+4) +400=0 (Ε7.) 7 (0+) B +(490+5) =0 (Ε7.2) 30

31 Η εξίσωση (Ε7.) που αφορά το πραγµατικό µέρος, έχει διακρίνουσα < =(287 +4) , η οποία πρέπει να ικανοποιεί την ανίσωση < 0, ως αναγκαία συνθήκη ώστε το να είναι πραγµατικό. Αυτό συνεπάγεται ότι (υπενθυµίζεται ότι έχουµε υποθέσει ότι 0 ). Οµοίως, η εξίσωση (Ε7.2) που αφορά το φανταστικό µέρος και αν προς στιγµήν υποθέσουµε ότι 0, έχει διακρίνουσα, < =(0+) 4(490+5), η οποία επίσης πρέπει να ικανοποιεί την ανίσωση < 0, ως αναγκαία συνθήκη ώστε το να είναι πραγµατικό. Αυτό συνεπάγεται ότι 84,67. Εποµένως, όσον αφορά τις διακρίνουσες και τον αρχικό περιορισµό του, το κοινό πεδίο συναλήθευσης απαιτεί 0 Στο σηµείο αυτό πολλαπλασιάζουµε την (Ε7.2) µε 7 αφού απλοποιήσουµε το, υποθέτοντας 0, και προσθέτουµε το αποτέλεσµα στην (Ε7.). Κατ αυτόν τον τρόπο, το 8 απλοποιείται και προκύπτει η εξίσωση: (3+430) ( )=0 = , 0 Αντικαθιστώντας αυτή την τιµή του στην απλοποιηµένη (Ε7.2) λαµβάνουµε s t (0+) (490+5)=0 ( ) (0+)( )(3+430)+(490+5)(3+430) =0 260 B =0 Η εξίσωση αυτή δίνει δύο µιγαδικές ρίζες και µια πραγµατική αρνητική την = 0.30 Κατά συνέπεια, και µε δεδοµένο ότι το πρέπει να είναι θετικό ή µηδέν διαπιστώνουµε ότι δεν υπάρχει τοµή του γεωµετρικού τόπου µε τον φανταστικό άξονα. Εν τούτοις, απλή παρατήρηση δείχνει ότι το ζεύγος =0 και =+ ικανοποιεί τη χαρακτηριστική εξίσωση, αφού ( &)= 7 &+7 8 (0+) B & (287+4) + (490+5) &+400=0 7 & (0+) B & (287+4) + (490+5) & =0 3

32 Παρατηρούµε ότι του το πρώτο κλάσµα τείνει στο µηδέν το δεύτερο στο B & το τρίτο στο 4 και το τέταρτο στο 5 &. Συνεπώς η εξίσωση έχει πλέον ως εξής: B & 4 +5 & =0 από όπου προφανώς καταδεικνύεται ότι το =0 είναι όντως λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης του, δηλαδή ο γεωµετρικός τόπος θα συναντά το φανταστικό άξονα στο σηµείο (0,0). Κανόνας 8: Έλεγχος της συµβατότητας των προηγουµένων κανόνων, θεµελίωση των πραγµατικών τµηµάτων του γ.τ. και ποιοτική σχεδίαση αυτού. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, αναφέραµε στον κανόνα ότι το ευθύγραµµο τµήµα επί του πραγµατικού άξονα από το 2 έως το 0 µπορεί να είναι µέρος του γ.τ.. Το ίδιο παρατηρήσαµε για το ευθύγραµµο τµήµα από το 8 έως το 5.Παρατηρούµε ότι αυτά είναι πλήρως συµβατά µε τις γωνίες εκκίνησης και το σηµείο θλάσης. Θα θεµελιώσουµε, µε χρήση των ορισµάτων των µιγάδων, ότι αυτά τα διαστήµατα είναι πράγµατι τµήµατα του γ.τ. Όντως, Α) Για ( 2,0) ισχύει ότι (+2) R,+2 >0 άρα (+2)= +2 ( )` (+5) R,+5 >0 άρα (+5)= +5 ( )` (+8) R,+8 >0 άρα (+8)= +8 ( )` R, < 0 άρα = ( )S ( +2+5) R, +2+5 >0 άρα ( +2+5)= +2+5 ( )` ( +4+5) R, +4+5 >0 άρα ( +4+5)= +4+5 ( )`, επειδή έχει µιγαδικές ρίζες Άρα, η εξίσωση = = γίνεται ( )S = ( )(`ˆ`ˆ`ˆ`=S=`) +4+5 Άρα όλα τα σηµεία µε ( 2,0) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει =

33 δεδοµένου ότι η ισότητα των ορισµάτων έχει εξασφαλιστεί. Άρα όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. Β) Οµοίως, για ( 8, 5) ισχύουν Άρα, (+2) R,+2 <0 άρα (+2)= +2 ( )S (+5) R,+5 <0 άρα (+5)= +5 ( )S (+8) R,+8 >0 άρα (+8)= +8 ( )` ( +2+5) R, +2+5>0 άρα ( +2+5)= +2+5 ( )` R, < 0 άρα = ( )S ( +4+5) R, +2+5 >0 άρα ( +4+5)= +4+5 ( )` ( )S = ( )(SˆSˆ`ˆ`=S=`) +4+5 ( )S = ( )S +4 Παρατηρούµε εκ νέου ότι, το γεγονός πως έχουµε περιττό αριθµό πόλων και µηδενικών της δεξιά ενός σηµείου του πραγµατικού άξονα, µας εξασφαλίζει την ισότητα των µιγαδικών ορισµάτων στην εξίσωση X =. Άρα όλα τα σηµεία µε ( 8, 5) ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, αφού για κάθε τέτοιο βρίσκω κι ένα για το οποίο ισχύει = συνεπώς όλα αυτά τα αποτελούν µέρος του γ.τ.. Ποιοτική σχεδίαση του γεωµετρικού τόπου Σύµφωνα µε όλα τα ανωτέρω, από το = 2 ο γ.τ. εκκινεί µε γωνία 0, παραµένει επί του άξονος των µέχρι το µηδενικό A =0 της, αφού στο διάστηµα ( 2,0) δεν υπάρχει σηµείο θλάσης. Άρα το διάστηµα [ 2,0] είναι ένας κλάδος του γ.τ., που εκκινεί από πόλο και καταλήγει σε µηδενικό της. Εν συνεχεία, ο δεύτερος κλάδος εκκινεί από το = 5 µε γωνία e, και εξακολουθεί να παραµένει επί του άξονος των, µέχρι το σηµείο θλάσης y =( 6,46,0) απ όπου εκκινεί, τείνοντας να συµπέσει προς τις ασυµπτώτους. Ο τρίτος κλάδος εκκινεί από τον πόλο B = 8 µε γωνία 0 και παραµένει επί του άξονος των µέχρι να φτάσει στο σηµείο θλάσης. Από το σηµείο θλάσης εγκαταλείπει τον πραγµατικό άξονα τείνοντας να συµπέσει µε την άλλη ασύµπτωτο, συµµετρικά του προηγούµενου κλάδου γύρω από τον πραγµατικό άξονα. Από τον µιγαδικό πόλο 8 = 2& ένας τέταρτος κλάδος του γεωµετρικού τόπου ριζών εκκινεί µε γωνία 27,84 µοιρών και περατούται στο µηδενικό της A = 2 & µε γωνία 5,6 µοιρών. Τέλος, από τον πόλο 7 = +2&, εκκινεί 33

34 ο τελευταίος κλάδος του γεωµετρικού τόπου µε γωνία 27,84, και περατούται στο µηδενικό της A B = 2+& µε γωνία 5,6 µοιρών. Σηµειωτέον ότι το µοναδικό σηµείο τοµής µε το φανταστικό άξονα είναι το (0,0), το οποίο προκύπτει όταν rlocus_paradeigma7_taxi5.m Παράδειγµα 8 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος ριζών του κάτωθι διαγράµµατος βαθµίδων : ª Σχήµα 5 Όπου = = ( 2)( )(+7) ª=(+2) Θα µελετήσουµε την ανωτέρω τοπολογία, µε χρήση της αρχής της επαλληλίας. Πράγµατι όλα τα εµπλεκόµενα συστήµατα είναι γραµµικά (και χρονικά αναλλοίωτα), άρα την συνολική απόκριση του συστήµατος του σχήµατος 5, µπορώ να την προσδιορίσω ως άθροισµα των κάτωθι τριών αποκρίσεων: Α) Της απόκρισης, η οποία προκύπτει όταν θέσουµε στο σύστηµα του σχήµατος 5 είσοδο την «, ενώ ταυτόχρονα θέτουµε = 2=0. Β) Της απόκρισης, η οποία προκύπτει όταν θέσουµε στο σύστηµα του σχήµατος 5 είσοδο την, ενώ ταυτόχρονα θέτουµε = 2=0. Γ) Της απόκρισης B, η οποία προκύπτει όταν θέσουµε στο σύστηµα του σχήµατος 5 είσοδο την 2, ενώ ταυτόχρονα θέτουµε = =0. Ακολουθεί διεξοδική ανάλυση των τριών προαναφερθεισών περιπτώσεων: 34

35 Α) Στην περίπτωση αυτή, το ισοδύναµο του σχήµατος 5 διάγραµµα βαθµίδων γίνεται ως εξής: + - ª Σχήµα 6 Στο ανωτέρω διάγραµµα η συνάρτηση µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου είναι η = Αυτή του κλάδου ανάδρασης είναι η ( )( 2)( )(+7) ª=(+2), Οπότε η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόγχου είναι η = Εποµένως : +ª = ( )( 2)( )(+7)+(+2) = = ( )( 2)( )(+7)+(+2). Β) Στην περίπτωση αυτή, το ισοδύναµο του σχήµατος 5 διάγραµµα βαθµίδων γίνεται ως εξής: ª Σχήµα 7 Στο ανωτέρω διάγραµµα η συνάρτηση µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου είναι η, ενώ η συνάρτηση µεταφοράς του κλάδου ανάδρασης είναι η : ª = (+2) , 35

36 Όπου το πρόσηµο - υπεισέρχεται επειδή στην διάταξη παραµένει ο αφαιρέτης του σχήµατος 5. Επειδή τώρα η ανάδραση είναι θετική, η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόγχου είναι η = v ª w = + ª = + ( 2)( )(+7) ( 2)( )(+7) (+2) = ( 2)( )(+7)( )+(+2) Παρατηρούµε ότι οι και έχουν κοινό παρονοµαστή, όπως έχει ήδη αναλυθεί στο κεφάλαιο περί διαγραµµάτων βαθµίδων. Εποµένως, η απόκριση του Γ.Χ.Α συστήµατος του σχήµατος 7 είναι η = = ( 2)( )(+7)( )+(+2) Γ) Στην περίπτωση αυτή, το ισοδύναµο του σχήµατος 5 διάγραµµα βαθµίδων γίνεται ως εξής: B ª Σχήµα 8 Στο ανωτέρω διάγραµµα η συνάρτηση µεταφοράς του κατ ευθείαν κλάδου είναι η, Όπου το πρόσηµο - υπεισέρχεται επειδή στην διάταξη παραµένει ο αφαιρέτης του σχήµατος 5. Η συνάρτηση µεταφοράς του κλάδου ανάδρασης είναι η ª. Επειδή πάλι η ανάδραση είναι θετική η συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόγχου είναι η 36

37 B = Εποµένως η απόκριση B γίνεται: ª( ) = +ª B = B 2= ( )( 2)( )(+7)+(+2) 2. Παρατηρούµε πάλι ότι ο παρονοµαστής της B είναι ίδιος µε αυτόν των και. Συνεπώς, η συνολική απόκριση του συστήµατος του σχήµατος 5 είναι η = + + B = v 2w+ ( ) ( )( 2)( )(+7)+(+2). Επαναλαµβάνουµε για σαφήνεια και καλύτερη κατανόηση το πρόβληµα της εύρεσης του γεωµετρικού τόπου ριζών: το ανωτέρω σύστηµα έχει ένα πηλίκο πολυωνύµων που υπέχει το ρόλο συνάρτησης µεταφοράς. Ο παρανοµαστής αυτής της συνάρτησης είναι ο =( 2)( )(+7)( )+(+2) Οπότε αν δηµιουργήσουµε την λεγόµενη και χαρακτηριστική εξίσωση =0 ( 2)( )(+7)( )+(+2) =0 τότε για κάθε βρίσκω µία πεντάδα λύσεων C, διότι το είναι πολυώνυµο πέµπτου βαθµού. Το σύνολο αυτών των πεντάδων για όλα τα [0,+ ) σχηµατίζουν τον γεωµετρικό τόπο των ριζών στο µιγαδικό επίπεδο. Έχουµε παρουσιάσει την γνωστή πλέον µεθοδολογία για την εύρεση πολλών σηµαντικών χαρακτηριστικών αυτού του γεωµετρικού τόπου, µεθοδολογία η οποία ισχύει για τοπολογίες του σχήµατος 2. Άρα, εάν θεωρήσουµε την τοπολογία του κάτωθι σχήµατος + _ Σχήµα 9 µε συνάρτηση µεταφοράς = (+2) ( 2)( )(+7)( ), 37

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΗΜΕΘΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως

Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως Βηµατική απόκριση ενός γενικού συστήµατος δευτέρας τάξεως Έστω σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς = (1) όπου ω 0 >0. (Το ω 0 συχνά λέγεται κυκλική (φυσική) ιδιοσυχνότητα του συστήµατος) Ισχύει = = + +. 1)

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Γ Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Γεωμετρικός Τόπος Ριζών Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11: Γεωμετρικός τόπος των ριζών Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ενότητα #4: Ευστάθεια Συστημάτων Κλειστού Βρόχου με τη Μέθοδο του Τόπου Ριζών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i. .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, 3+ 3 + + + ( ) 3+ 3 3 + 5 5 3 + ( ) 5 5 5 5 5. 5 + + (οι +, είναι συζυγείς,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα