Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης Χειμερινό εξάμηνο 6/7

2 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Μαθηματική εξομοίωση Ανάλογα συστήματα Αναλογικό διάγραμμα 8//6 Δίνεται ηλεκτρικό κύκλωμα με είσοδο την πηγή τάσης και έξοδο την τάση : α Σχεδιάστε το μηχανικό του ανάλογο σημειώνοντας αναλογίες μεγεθών και στοιχείων. β Σημειώστε τις δυνάμεις στα σώματα και γράψτε την εξίσωση που αντιστοιχεί σε κάθε σώμα καθώς και την εξίσωση της εξόδου. Έστω ότι > >. γ Σχεδιάστε το αναλογικό διάγραμμα των εξισώσεων του μηχανικού συστήματος. δ Σχεδιάστε το ηλεκτρικό ανάλογο έντασης. Σημειώστε αναλογίες μεγεθών και στοιχείων. Λύση α Μηχανικό ανάλογο Αναλογίες μεγεθών: ˆ idt, ˆ i ˆ idt, ˆ i ˆ idt, ˆ i Έξοδος y t στο ηλεκτρικό τάσης: y idt ir C Έξοδος y t στο μηχανικό: y K

3 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ β Δυνάμεις στα σώματα: Εφαρμόζοντας το νόμο F σε κάθε σώμα προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις: Σώμα : F K Σώμα : Σώμα : γ Αναλογικό διάγραμμα Οι εξισώσεις του μηχανικού ανάλογου γράφονται: Σώμα : F K Σώμα : Σώμα : Έξοδος t y : K y

4 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ δ Ηλεκτρικό ανάλογο έντασης & αντιστοιχίες μεγεθών-στοιχείων: Έξοδος: y udt u L R

5 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Επίλυση κυκλωμάτων Άλγεβρα βαθμίδων Συνάρτηση μεταφοράς 6//6. Δίνεται ηλεκτρικό κύκλωμα. Θεωρήστε Υπολογίστε τη συνάρτηση μεταφοράς G με τη μέθοδο εντάσεων βρόχων και τάσεων κόμβων. Λύση Μετασχηματίζουμε το κύκλωμα κατά Laplace και ορίζουμε εντάσεις βρόχων: α Μέθοδος εντάσεων βρόχων: Βρόχος : Βρόχος : L R C R R R C I I Απλοποιώντας έχουμε: C LC RC C RC RC I C RC I Αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές: I 6 I 5

6 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ 6 Υπολογισμός ολικής ορίζουσας : Υπολογισμός μερικής ορίζουσας : Άρα 8 8 I και 8 8 I και η συνάρτηση μεταφοράς 8 8 G β Μέθοδος τάσεων κόμβων: Μετασχηματίζουμε το κύκλωμα κατά Laplace και ορίζουμε τάσεις κόμβων: Κόμβος : Κόμβος : Κόμβος : εφόσον ή απλοποιώντας ή

7 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ 7 Υπολογισμός ολικής ορίζουσας με ανάπτυγμα ως προς την η γραμμή: Υπολογισμός μερικών οριζουσών και : 8 Άρα και 8 8 G. Δίνεται διάγραμμα βαθμίδων. Υπολογίστε την ολική συνάρτηση μεταφοράς G. Λύση

8 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ 8 Από το διάγραμμα προκύπτουν οι εξισώσεις: 5 ή 5 6 Και 5 6 G

9 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Χρονική απόκριση συστημάτων //5. Δίνεται σύστημα πρώτης τάξης με σταθερά χρόνου T n και ενίσχυση Βρείτε και σχεδιάστε τη χρονική απόκριση y t για αρχική συνθήκη y και y θεωρώντας είσοδο:. α β u t u t t γ u t t. Λύση dy Η εξίσωση του συστήματος είναι: T n y t u t y dt dy dy ή y t u t y dt dt ή y t u t y Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση για α u t και οπότε y Είναι:, και η βηματική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t t με αρχική συνθήκη e : y και y Γωνία εξόδου: dy t e dt t t άρα o 76 9

10 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ β u t t και, οπότε d Είναι:, d, και η ανοδική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t t με αρχική συνθήκη t e y και y t Γωνία εξόδου: dy e t dt t t άρα o 6 γ u t t και, οπότε Είναι: άρα. και. 8 6 και. 8 και η αρμονική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t. t.8 t.8e t με αρχική συνθήκη y

11 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Μετασχηματίζοντας κατά Laplace την εξίσωση για y : y α u t και, οπότε Είναι:, και η βηματική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t t με αρχική συνθήκη e y και y Γωνία εξόδου: dy e t dt t t άρα 6 o β u t t και, οπότε d 6 Είναι:,, d και η ανοδική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t t με αρχική συνθήκη t e y και y t Γωνία εξόδου: dy t 8e 6 dt t t άρα 6 8 o

12 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ γ t t u και, οπότε 6 6 Είναι: άρα. και.8 και 8. 6 και η αρμονική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: t e t t t y.8.8. με αρχική συνθήκη y

13 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ. Δίνεται σύστημα δεύτερης τάξης με συνάρτηση μεταφοράς G. α Γράψτε τη διαφορική εξίσωση και υπολογίστε τους συντελεστές: φυσική συχνότητα n, συντελεστής απόσβεσης και ενίσχυση. β Βρείτε και σχεδιάστε τη χρονική απόκριση yt για βηματική είσοδο u t και μηδενικές αρχικές συνθήκες. γ Βρείτε και σχεδιάστε τη χρονική απόκριση yt για βηματική είσοδο u t και αρχικές συνθήκες Λύση y και y. α Είναι G Η διαφορική εξίσωση προκύπτει με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace: d y dy y t u t dt dt ή d y dy y t u t dt dt Η φυσική μορφή της εξίσωσης του συστήματος δεύτερης τάξης είναι: d y dy y t u dt dt t n n Οπότε από τη σύγκριση των συντελεστών με την εξίσωση προκύπτει: n n.7,. 9,. β Είναι:.5.66 Για μηδενική αρχική συνθήκη και είσοδο u t με έχουμε n Είναι: άρα. και.

14 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ και η βηματική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t...66t..66t e.5t με αρχική συνθήκη y και y. γ Η εξίσωση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y και y μετασχηματίζεται κατά Laplace: y y y Για είσοδο u t και έχουμε Είναι:..5.66

15 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ άρα. και.7 και η βηματική χρονική απόκριση με αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace είναι: y t...66t.7.66t e.5t με αρχική συνθήκη y και y. 5

16 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα ode //7. Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: G 5 α Γράψτε τον αναλυτικό πίνακα & σχεδιάστε το διάγραμμα ode μέτρου και φάσης δίνεται λογαριθμικό χαρτί. β Βρείτε την αρμονική απόκριση για 5Hz. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος γράφεται: G 5 5 Η ενίσχυση είναι: d log 6 d. 5 Ο αναλυτικός πίνακας μέτρου και το διάγραμμα λογαριθμικού μέτρου είναι: d 5 6d 6d 6d 6d 6d διπλός πόλος d / oct για d / oct d d d / oct d / oct d / oct απλή ρίζα d 6 d / oct 6 d / oct 6 d / oct 6 d / oct απλός πόλος d d 6d / oct 6d / oct 6d / oct διπλός πόλος 5 d d d d / oct d / oct διπλή ρίζα d d d d d / oct Σύνολο d / oct για 6d / oct d 6d d / oct d / oct d / oct 6

17 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Ο αναλυτικός πίνακας και το διάγραμμα λογαριθμικής φάσης είναι: διπλός πόλος απλή ρίζα απλός πόλος διπλός πόλος διπλή ρίζα Σύνολο

18 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Από τα διαγράμματα για 5 προκύπτει: d 5d log άρα log. 75 και και 9 o Οπότε η αρμονική απόκριση: y t t.85t 9. Θα μπορούσε το παρακάτω διάγραμμα μέτρου να προέρχεται από σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: G Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 8

19 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ Σε περίπτωση αρνητικής απάντησης προσδιορίστε τη συνάρτηση μεταφοράς που αντιστοιχεί στο δεδομένο διάγραμμα, γράψτε τον αναλυτικό πίνακα & σχεδιάστε το αντίστοιχο διάγραμμα φάσης. Λύση Η δεδομένη συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: G Άρα έχει ενίσχυση. 5 είναι: d log.5 d 8 και διπλή ρίζα, απλό πόλο, απλό πόλο Αναλύοντας το δεδομένο διάγραμμα προκύπτει:, απλή ρίζα. Ενίσχυση d 6d ή d 6d log άρα log. και.. 5 Κλίση Μεταβολή Μεταβολή Μεταβολή 6 d / oct απλή ρίζα 6 d / oct απλός πόλος 6 d / oct απλός πόλος d / oct διπλή ρίζα Οπότε αφορά σύστημα με διαφορετική ενίσχυση από το δεδομένο σύστημα, με απλή και όχι διπλή ρίζα, αλλά και με διπλή ρίζα και όχι απλή για. 9

20 Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: ' G.5.5 Ασκήσεις Πράξης ΣΑΕ. Ο αναλυτικός πίνακας και το διάγραμμα λογαριθμικής φάσης είναι:.5 απλή ρίζα απλός πόλος απλός πόλος διπλή ρίζα Σύνολο