ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Transcript

1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Χρονική Απόκριση Συστηµάτων Τα περισσότερα συστήµατα είναι από την φύση τους δυναµικά και παρουσιάζουν κάποιας µορφής αδράνεια στη συµπεριφορά τους. 3. ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Η απόκριση που εµφανίζει ένα σύστηµα σε κάποιο σήµα εισόδου (διέγερση µπορεί να θεωρηθεί ότι απαρτίζεται από δύο µέρη: Η µεταβατική απόκριση (tranint rpon εξασθενεί µε την πάροδο κάποιου (πεπερασµένου χρονικού διαστήµατος. Η απόκριση µόνιµης κατάστασης (tady-tat rpon είναι το τµήµα εκείνο της συνολικής απόκρισης ενός συστήµατος το οποίο παραµένει σαν απόκριση στο σήµα διέγερσης, αφού έχουν παρέλθει τα µεταβατικά φαινόµενα. Μ. Σφακιωτάκης rt ( ct ( ct ( c ( t + c ( t tr Μεταβατική απόκριση Απόκριση µόνιµης κατάστασης Χειµερινό εξάµηνο 07-8 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης Χρονική Απόκριση Συστηµάτων Στο παράδειγµα του σχήµατος, η τοποθέτηση της επιπρόσθετης µάζας (διέγερση στο σύστηµα του ελατηρίου, οδηγεί σε απότοµες ταλαντώσεις της µετατόπισης του ελατηρίου (έξοδος, οι οποίες διαρκούν κάποιο χρονικό διάστηµα (µεταβατική απόκριση µέχρι το σύστηµα να καταλήξει στην τελική νέα θέση ισορροπίας του στην οποία και παραµένει για όσο δεν µεταβάλλεται η είσοδος (µόνιµη κατάσταση. πρόσθετη µάζα µετατόπιση αρχική θέση (πριν την τοποθέτηση της πρόσθετης µάζας µεταβατική απόκριση τελική θέση ισορροπίας tady tat Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 3 Σφάλµατα Μόνιµης Κατάστασης H συµπεριφορά του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση είναι ιδιαίτερα σηµαντική, δεδοµένου ότι, για τα (περισσότερα συστήµατα ελέγχου, επιθυµούµε η έξοδος του υπό έλεγχο συστήµατος να ακολουθεί όσο το δυνατόν πιστότερα το σήµα εισόδου (προδιαγραφές ακρίβειας. Το σφάλµα µόνιµης κατάστασης (ή στατικό σφάλµα ή µόνιµο σφάλµα ενός συστήµατος ελέγχου είναι η διαφορά µεταξύ της εισόδου και της εξόδου του συστήµατος, για ένα συγκεκριµένο σήµα εισόδου, µετά την παρέλευση της µεταβατικής απόκρισης (δηλ. για t. Το σφάλµα µόνιµης κατάστασης ενός ΓΧΑ συστήµατος εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά τόσο του συστήµατος, όσο και του σήµατος εισόδου. Ενδέχεται εποµένως να διαφοροποιείται, ανάλογα µε το είδος της εισόδου. Ένα σύστηµα, π.χ., µπορεί να παρουσιάζει µηδενικό µόνιµο σφάλµα για βηµατικής µορφής είσοδο αναφοράς, αλλά να έχει µη-µηδενικό µόνιµο σφάλµα όταν η είσοδος αναφοράς είναι η συνάρτηση αναρρίχησης. Τονίζεται επίσης ότι οι µη-γραµµικότητες που εµφανίζουν τα πρακτικά συστήµατα ελέγχου αποτελούν επιπρόσθετες αιτίες για την εµφάνιση σφαλµάτων µόνιµης κατάστασης. Για την µελέτη του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης είναι ιδιαίτερα χρήσιµο το θεώρηµα τελικής τιµής (ΘΤΤ του µετασχηµατισµού Laplac. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 4

2 Θεώρηµα Τελικής Τιµής Γρήγορη Επανάληψη Το θεώρηµα τελικής τιµής (ΘΤΤ αναφέρεται στη συµπεριφορά µιας συνάρτησης f(t καθώς t, και είναι: limf ( t limf( t Το θεώρηµα τελικής τιµής µπορεί να χρησιµοποιηθεί µόνο όταν η συνάρτηση όντως λαµβάνει µία συγκεκριµένη τιµή στο όριο (καθώς t. Σε αντίθετη περίπτωση, το αποτέλεσµα από την εφαρµογή του ΘΤΤ θα είναι λάθος. Παράδειγµα. Να βρεθεί η έξοδος µόνιµης κατάστασης του παρακάτω συστήµατος, για βηµατική είσοδο R( 5/. R ( 0( + ( + ( + 5 To σύστηµα είναι ευσταθές (οι πόλοι του βρίσκονται στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο Μπορεί εποµένως να εφαρµοστεί το ΘΤΤ για την εύρεση της εξόδου σε βηµατικής µορφής είσοδο: 5 0( + GR ( ( ( + ( + 5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 5 0 0( limc( t c( limc( 5 t 0 ((5 Εφαρµογή ΘΤΤ για τον Υπολογισµό Μόνιµου Σφάλµατος Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το µόνιµο σφάλµα του παρακάτω (ευσταθούς συστήµατος ελέγχου για είσοδο αναφοράς r(t. R ( E E ( R ( R ( R ( ( a + + GH ( ( ( + + GH ( ( R ( R ( + GH ( ( + GH ( ( Αντικαθιστώντας, και µέσω του ΘΤΤ: lim ( t lim E( t lim αρνητικό σφάλµα υποδεικνύει ότι η έξοδος υπερβαίνει την τιµή της εισόδου αναφοράς ct ( H ( rt ( t ( Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 6 DC-Κέρδος Συστήµατος Το DC-κέρδος (DC gain, συχνά αναφέρεται και ως απολαβή συνεχούς ενός συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς G( υπολογίζεται ως G(0. Το DC-κέρδος αναφέρεται στο βαθµό ενίσχυσης του σήµατος εισόδου, αφού έχει παρέλθει η µεταβατική απόκριση του συστήµατος. Εάν η G( περιλαµβάνει πόλους στο (0, το DC-κέρδος απειρίζεται. DC-Κέρδος Συστήµατος G( R ( 3 + C( DC-κέρδος: G (0.5 4 G( R ( G( R ( 6 ( + ( + 3 DC-κέρδος : G ( DC-κέρδος: G (0.5 n[3 ]; d[ 5 4]; Gtf(n,d kdcgain(g Tranfr function: ^ n[3 ]; d[ 5 4]; Gtf(n,d kdcgain(g; t0:.0:0; r3+0.*t; lim(g,r,t G3( R ( 6 + ( + DC-κέρδος: G 3(0 0(4 k Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 8

3 H Επίδραση της Ανάδρασης στο DC-Κέρδος του Συστήµατος Τυποποιηµένα Σήµατα Δοκιµής & Αξιολόγησης R ( R ( Η αξιολόγηση της συµπεριφοράς ενός συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση ισορροπίας σε απεριοδικές εισόδους γίνεται αναφορικά µε τα τυποποιηµένα σήµατα δοκιµής. G ( cl Το στατικό κέρδος της συνολικής συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος θα είναι: DC-κέρδος συστήµατος κλειστού βρόχου: G(0 Gcl(0 + G (0 Βηµατική συνάρτηση Συνάρτηση αναρρίχησης Παραβολική συνάρτηση Εποµένως: Η χρήση της ανάδρασης περιορίζει το DC-κέρδος του συστήµατος κλειστού βρόχου κατά τον όρο /(+G(0 σε σχέση µε το DC-κέρδος του συστήµατος ανοιχτού βρόχου. t 0 r( t 0 t < 0 t t 0 r( t 0 t < 0 t t 0 r( t 0 t < 0 ( R( R ( 3 R Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 9 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 0 Βασικοί Τύποι Εισόδων Η αξιολόγηση της συµπεριφοράς ενός συστήµατος θα πρέπει να λαµβάνει υπόψη τις απαιτήσεις λειτουργίας του! γεωστατικός δορυφόρος δορυφόρος σε τροχιά σταθερής γωνιακής ταχύτητας Συστήµατα Ανοιχτού και Κλειστού Βρόχου Διάγραµµα βαθµίδων και συνάρτηση µεταφοράς για συστήµατα ανοιχτού και κλειστού βρόχου: R ( E ( R ( Υποδείξτε το κατάλληλο σήµα δοκιµής για την αξιολόγηση καθενός από τα συστήµατα αυτά. πύραυλος κατά την επιτάχυνση σύστηµα παρακολούθησης τροχιάς GR ( ( E ( R ( C ( [ ] R ( GE ( ( [ R ( H (] R ( + GH ( ( a H ( + GH ( ( E ( R ( + GH ( ( Ni, "Control Sytm Enginring", 4 th d. Για H(, θα ισχύει: E ( R ( + Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης

4 Σφάλµα Μόνιµης Κατάστασης Ανοιχτού και Κλειστού Βρόχου Σφάλµα Μόνιµης Κατάστασης Ανοιχτού και Κλειστού Βρόχου R ( c T + c GΟ( c GΟ ( c T + T + E ( R ( C ( [ G ] - ( R ( Ο T + E ( R ( R ( + R ( + Για µοναδιαία βηµατική είσοδο R( /, το σφάλµα µόνιµης κατάστασης θα είναι: lim E( lim( GΟ( 0 0 c GΟ(0 Εποµένως, εάν επιλέξουµε / c R ( E ( T + lim 0 + G( + G(0 + Άρα, για 0 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 3 R ( c T + c R ( E ( T + Υποθέτουµε ότι η σταθερά παρουσιάζει µια µεταβολή ΔΚ (π.χ., λόγω γήρανσης ή φθοράς των εξαρτηµάτων του συστήµατος, και εξετάζεται η επίδραση της µεταβολής αυτής στο µόνιµο σφάλµα του συστήµατος. GΟ(0 c ( + Δ ( + Δ (0. 0 έστω, Δ, και + G(0 + ( + Δ ( 0 9 Εποµένως: Ο έλεγχος ανοιχτού βρόχου µπορεί να µηδενίσει το µόνιµο σφάλµα ενός (ευσταθούς συστήµατος, όταν η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι γνωστή µε ακρίβεια και δεν µεταβάλλεται µε το χρόνο (πολύ δύσκολο να εξασφαλιστεί στη πράξη. Ο έλεγχος κλειστού βρόχου µπορεί να ανταποκριθεί πολύ καλύτερα σε τυχόν µεταβολές των παραµέτρων του συστήµατος, διατηρώντας χαµηλά το σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 4 Μόνιµο Σφάλµα Συστηµάτων Μοναδιαίας Ανάδρασης Για τη συστηµατοποίηση της ανάλυσης της συµπεριφοράς ΓΧΑ συστηµάτων κλειστού βρόχου αναφορικά µε τα σφάλµατα µόνιµης κατάστασης, µελετάται η τοπολογία µοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Προς διευκόλυνση της µελέτης που ακολουθεί, θεωρούµε την παραγοντοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος ανοιχτού βρόχου στη µορφή: ( + ( + L ( + Tz Tz Tzm N T T T ( p + ( p + L ( pn + Ένα σύστηµα ονοµάζεται σύστηµα τύπου Ν όταν η συνάρτηση µεταφοράς εµφανίζει Ν πόλους στο 0. R ( E ( Σταθερές Σφάλµατος R ( E ( G ( C Για τον χαρακτηρισµό της απόδοσης ενός συστήµατος ελέγχου κλειστού βρόχου, αναφορικά µε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης, ορίζονται οι ακόλουθες σταθερές σφάλµατος: Σταθερά σφάλµατος θέσης Κ p [αναφέρεται σε βηµατική είσοδο α] Σταθερά σφάλµατος ταχύτητας Κ v [αναφέρεται σε είσοδο αναρρίχησης] Σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης Κ a [αναφέρεται σε παραβολική είσοδο] Η παραπάνω ορολογία έχει προέλθει από εφαρµογές σέρβο-έλεγχου θέσης. R ( 5( R ( + R ( ω n ( + ζω τύπου-0 τύπου- τύπου- (για ζω 0 n n Όσο µεγαλύτερες οι τιµές των παραπάνω σταθερών σφάλµατος (ιδανικά, θα πρέπει να τείνουν στο, που αντιστοιχεί σε µηδενικό µόνιµο σφάλµα, τόσο µικρότερο το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος, για το αντίστοιχο σήµα εισόδου. Εάν κάποια από τις παραπάνω σταθερές σφάλµατος είναι µηδενική, αυτό σηµαίνει ότι το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος στο αντίστοιχο σήµα εισόδου είναι, δηλ. το σύστηµα αδυνατεί εντελώς να παρακολουθήσει το σήµα αναφοράς. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 6

5 Σταθερά Σφάλµατος Θέσης Κ p Για βηµατική είσοδο r(t, το µόνιµο σφάλµα (σφάλµα θέσης του συστήµατος προκύπτει ως: lim R ( lim 0 + G ( 0 + G ( + G(0 Η σταθερά σφάλµατος θέσης Κ p ορίζεται ως: Εποµένως, όταν η G( είναι σύστηµα τύπου-0: ( + ( T + ( Tp ( Tp Ενώ, για συστήµατα τύπου-ν (Ν>0: p lim ( (0 0 + G G Tz z... p lim ( a + ( T b + ( + ( + T... p lim 0 N T T... Υπενθύµιση: το G(0 εκφράζει το DC-κέρδος του συστήµατος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 7 p R ( R ( E ( Μόνιµο Σφάλµα για Βηµατική Είσοδο Αναφοράς r(t R ( E ( Τύπου-0 Τύπου- Τύπου- (5 + (5 + G (.5 G (.5 ( + ( + (5 + G (.5 (+ p p p Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 8 Σταθερά Σφάλµατος Ταχύτητας Κ v Για είσοδο αναρρίχησης r(tt, το µόνιµο σφάλµα (σφάλµα ταχύτητας του συστήµατος προκύπτει ως: lim R( lim 0 + G( 0 + G( lim 0 + G( lim R ( 0 G( Η σταθερά σφάλµατος ταχύτητας Κ v ορίζεται ως: Εποµένως, για ένα σύστηµα τύπου-0: ( + ( T + Tz z... v lim 0... ( Tp+ ( Tp+ Για ένα σύστηµα τύπου-: ( + ( T + Tz z... v lim 0 T... ( p + ( Tp+ Ενώ, για συστήµατα τύπου-ν (Ν>: v lim G( 0 ( + ( T + z z v lim 0 N T T ( p + ( p + T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 9 v R ( E ( Μόνιµο Σφάλµα για Είσοδο Αναφοράς Αναρρίχησης rt (.5t R ( E ( Τύπου-0 Τύπου- Τύπου- (5 + (5 + (5 + G (.5 G (.5 G (.5 ( + ( + (+ v.5 v Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 0 v

6 Σταθερά Σφάλµατος Επιτάχυνσης Κ a Για παραβολική είσοδο r(tt /, το µόνιµο σφάλµα (σφάλµα επιτάχυνσης του συστήµατος προκύπτει ως: lim R( lim 0 + G( 0 + G( lim G( lim 0 G( Η σταθερά σφάλµατος επιτάχυνσης Κ α ορίζεται ως: a lim G ( 0 Εποµένως, για ένα σύστηµα τύπου-0: T ( z+ ( Tz+... a lim 0... ( Tp+ ( Tp+ Για ένα σύστηµα τύπου-: T ( z+ ( Tz+... a lim 0 T... ( p + ( Tp+ Για ένα σύστηµα τύπου-: T ( z+ ( Tz+... a lim 0 Tp+ Tp+... ( ( Ενώ, για συστήµατα τύπου-ν (Ν>: T ( z+ ( Tz+... a lim 0 N T p + T p +... ( ( Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης a R ( 3 Μόνιµο Σφάλµα για Παραβολική Είσοδο Αναφοράς R ( E ( Τύπου-0 Τύπου- Τύπου- (5 + (5 + (5 + G (.5 G (.5 G (.5 ( + ( + (+ a Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης rt ( t / a a Μόνιµο Σφάλµα Συστήµατος Μοναδιαίας Ανάδρασης - Σύνοψη ( T + ( T +... R ( E ( z z N ( Tp+ ( Tp+... Σταθερές Σφάλµατος Συστήµατος Μοναδιαίας Ανάδρασης - Σύνοψη ( T + ( T R ( E ( z z N ( Tp+ ( Tp+ Τύπου-0 Σφάλµα Μόνιµης Κατάστασης Βηµατική είσοδος Είσοδος Αναρρίχησης Παραβολική είσοδος (Ν0 Τύπου- (Ν Τύπου- (Ν rt ( r( t t r t ( t / Υπενθύµιση! Η ανάλυση ισχύει µόνο για την περίπτωση που το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές, και οι τύποι αναφέρονται σε τοπολογία µοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης Σταθερά Σφάλµατος Θέσης Κ p Σταθερά Σφάλµατος Ταχύτητας Κ v Σταθερά Σφάλµατος Επιτάχυνσης Κ a Τύπου-0 p 0 0 Τύπου- 0 Τύπου- Τύπου-3 v a Υπενθύµιση! Η ανάλυση ισχύει µόνο για την περίπτωση που το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές, και οι τύποι αναφέρονται σε τοπολογία µοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης Κατά κανόνα, επιδιώκουµε την αύξηση των παραπάνω σταθερών σφάλµατος (όπου αυτό έχει νόηµα, ανάλογα µε τον τύπο του συστήµατος, προκειµένου να βελτιωθεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος για την αντίστοιχη είσοδο αναφοράς. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 3 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 4

7 Οι Σταθερές Σφάλµατος Οι συντελεστές Κ p, Κ v και Κ a περιγράφουν την ικανότητα του συστήµατος κλειστού βρόχου να περιορίζει ή και να εξαλείφει το σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Είναι εποµένως ενδεικτικοί της συµπεριφοράς του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση. Εµφανώς, η σχετική σηµασία των συντελεστών αυτών εξαρτάται από το είδος της εισόδου που εφαρµόζεται στην πράξη στο σύστηµα. Γενικά επιδιώκονται αυξηµένες τιµές για τους συντελεστές σφάλµατος, διατηρώντας όµως ικανοποιητική µεταβατική απόκριση του συστήµατος. Η στατική συµπεριφορά ενός συστήµατος µπορεί να βελτιωθεί αυξάνοντας τον τύπο του συστήµατος. Αυτό επιτυγχάνεται µέσω της προσθήκης ελεγκτών οι οποίοι εισάγουν έναν ή περισσότερους όρους ολοκλήρωσης στο σύστηµα. Κάτι τέτοιο όµως αφενός µεν µειώνει την ταχύτητα απόκρισης του συστήµατος (π.χ. το χρόνο ανόδου σε βηµατική διέγερση, αφετέρου δε, ενδέχεται να δηµιουργήσει προβλήµατα ευστάθειας, οπότε απαιτείται προσοχή κατά την σχεδίαση. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 5 Παράδειγµα Υπολογισµού Σφάλµατος Μόνιµης Κατάστασης (Ι Να βρεθεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του παρακάτω συστήµατος, για: r(t 5, t>0 R ( E ( 0( + r(t 5t, t>0 ( + 3( + 4 Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές (αποδεικνύεται βρίσκοντας τους πόλους του και βρίσκεται σε τοπολογία µοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Εποµένως, προκειµένου να χρησιµοποιηθούν οι τύποι υπολογισµού από τους σχετικούς πίνακες, η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος ανοιχτού βρόχου θα πρέπει να γραφεί ως: 0 ( + ( + G ( 3 4 ( + ( + ( + ( Εφόσον η G( είναι τύπου-0, το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι µη-µηδενικό για βηµατική είσοδο, και θα γίνεται για είσοδο αναρρίχησης. Με βάση τους πίνακες, για βηµατική είσοδο r(t 5 το σφάλµα µόνιµης κατάστασης υπολογίζεται ως: ! 0.38 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 6 Παράδειγµα Υπολογισµού Σφάλµατος Μόνιµης Κατάστασης (Ι Επιβεβαίωση µέσω Matlab R ( E ( 0( + ( + 3( ! 0.38 για t, το σφάλµα Παράδειγµα Υπολογισµού Σφάλµατος Μόνιµης Κατάστασης (ΙI Να βρεθεί το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του παρακάτω συστήµατος, για: r(t 5, t>0 R ( E ( 30 r(t 5t, t>0 ( + Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ασταθές, οπότε η ανάλυση για τον υπολογισµό του µόνιµου σφάλµατος δεν έχει νόηµα! G zpk([],[0 0 -],30 Gcl fdback(g,; pol(gcl tp(gcl i i Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 8

8 Παράδειγµα Σχεδίασης µε Βάση Προδιαγραφές Μόνιµου Σφάλµατος Να υπολογιστεί το κέρδος Κ προκειµένου το σφάλµα µόνιµης κατάστασης του παρακάτω συστήµατος να είναι 0% R ( E ( ( + 5 ( + 6( + 7( + 8 Παράδειγµα Σχεδίασης µε Βάση Προδιαγραφές Μόνιµου Σφάλµατος R ( E ( (0. + ( + ( + ( Φέρνουµε αρχικά το σύστηµα στην ενδεδειγµένη µελετώµενη µορφή: R ( E ( 5 ( ( + ( + ( Δεδοµένου ότι το σύστηµα είναι τύπου-, η σχεδίαση έχει νόηµα µόνο για το µόνιµο σφάλµα σε είσοδο αναρρίχησης (αφού το µόνιµο σφάλµα είναι 0 για βηµατική είσοδο και για παραβολική είσοδο. Με βάση τους τύπους που βρίσκονται στον συνοπτικό πίνακα, για rt ( t, το µόνιµο σφάλµα είναι εδώ θέλουµε. 0 5 εποµένως: Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 9 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 30 Παράδειγµα Σχεδίασης µε Βάση Προδιαγραφές Μόνιµου Σφάλµατος R ( E ( ( + 5 ( + 6( + 7( + 8 Παράδειγµα Σχεδίασης µε Βάση Προδιαγραφές Μόνιµου Σφάλµατος R ( E ( ( + 5 ( + 6( + 7( + 8 Η µεταβατική απόκριση του συστήµατος διαρκεί περίπου 3.5 c Στη µόνιµη κατάσταση το σφάλµα ισούται µε το 0% της κλίσης της εισόδου αναφοράς (δηλ. για r(tαt,.α 67; G zpk([-5],[ ],; Gcl fdback(*g,; t0:.0:4; ut; lim(gcl,u,t Στο παράδειγµα που µελετήσαµε, ο ελεγκτής του συστήµατος είχε την (απλή µορφή G c (, χρησιµοποιήσαµε δηλαδή αναλογικό έλεγχο (proportional control. Στη περίπτωση αυτή, ο τύπος του συστήµατος ανοιχτού βρόχου G c (G( δεν µεταβάλλεται, οπότε δεν µπορεί να επιτευχθεί µηδενικό σφάλµα σε είσοδο αναρρίχησης. Μία λύση για τον περαιτέρω περιορισµό του µόνιµου σφάλµατος σε είσοδο αναρρίχησης θα ήταν να αυξήσουµε ακόµα περισσότερο το κέρδος. Όµως δεν είναι πάντα εφικτή η πρακτική υλοποίηση συστηµάτων µε υψηλή απολαβή, ενώ η αύξηση του κέρδους υποβαθµίζει την µεταβατική απόκριση. Επίσης, µετά από ένα σηµείο το σύστηµα ενδέχεται να µεταβεί στην αστάθεια (εδώ συµβαίνει για >056. π.χ., για Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 3 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 3

9 Προσθήκη Όρων Ολοκλήρωσης Μια εναλλακτική προσέγγιση για την (πλήρη απάλειψη του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης αφορά στην προσθήκη όρων ολοκλήρωσης στον ελεγκτή G c (, προκειµένου να αυξηθεί ο τύπος του συστήµατος ανοιχτού βρόχου G c ( G(. Επιλέγοντας, για παράδειγµα, έλεγχο PI: G c ( k p + k i kp0; ki0; Gc tf([kp ki],[ 0]; G zpk([-5],[ ],; Gcl fdback(gc*g,; t0:.0:30; ut; lim(gcl,u,t R ( E ( ( + 5 Gc( ( + 6( + 7( + 8 Η µεταβατική απόκριση του συστήµατος διαρκεί περίπου 5 c Απλοποίηση Γενικευµένου Διαγράµµατος Βαθµίδων Προκειµένου να χρησιµοποιηθούν οι τύποι από τους πίνακες προσδιορισµού του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης, σε περίπτωση που το σύστηµα ελέγχου έχει τη γενική µορφή του σχήµατος, αυτό µπορεί να αναχθεί σε τοπολογία µοναδιαίας ανάδρασης, µε την εξής διαδικασία: ( R ( G ( E ( a G ( H ( R E ( a G( G( H ( H ( H( G ( R ( E ( a Το µόνιµο σφάλµα µηδενίζεται, αλλά η µεταβατική απόκριση υποβαθµίζεται (εντονότερες ταλαντώσεις, µεγαλύτερος χρόνος αποκατάστασης H ( Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 33 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 34 Απλοποίηση Γενικευµένου Διαγράµµατος Βαθµίδων R ( R ( E ( a G ( H ( Με τον µετασχηµατισµό αυτό µπορούν πλέον να εφαρµοστούν απευθείας οι τύποι του πίνακα για το σφάλµα µόνιµης κατάστασης Εναλλακτικά, το µόνιµο σφάλµα µπορεί να υπολογιστεί από την αρχική τοπολογία µε την αναλυτική εφαρµογή του ΘΤΤ E ( a G ( H ( R ( E ( a H ( R ( E ( + GH ( ( G( G( ( H ( H( G Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 35 Απλοποίηση Γενικευµένου Διαγράµµατος Βαθµίδων Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι σταθερές σφάλµατος του παρακάτω συστήµατος ελέγχου: R ( E ( a 5( + ( H ( R ( E ( G ( Το σύστηµα G ( είναι τύπου ( + 5( + ( + 3 G(... ( ( 4 5( GH ( ( ( + ( + 3 ( + 5 Εφόσον το ισοδύναµο σύστηµα µοναδιαίας ανάδρασης είναι p 3 τύπου 0, οι σταθερές σφάλµατος του συστήµατος κλειστού βρόχου 5 θα είναι: v a Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 36

10 Απλοποίηση Γενικευµένου Διαγράµµατος Βαθµίδων Παράδειγµα Να υπολογιστούν οι σταθερές σφάλµατος του παρακάτω συστήµατος ελέγχου: G ( G ( R ( E ( 4 ( + ( + 6 G ( R ( E ( G ( 4 G( G( G( G( ( + ( + 6 ( + G ( ( ( G( G( G( + G G + ( 4 G( ( + ( ( + ( ( + 7 Το σύστηµα G ( είναι τύπου- Εφόσον το ισοδύναµο σύστηµα µοναδιαίας ανάδρασης είναι τύπου, οι σταθερές σφάλµατος του συστήµατος κλειστού βρόχου θα είναι: p 8 v, a 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 37 Άσκηση # Να προσδιοριστεί η τιµή του Κ προκειµένου το µόνιµο σφάλµα για βηµατική είσοδο αναφοράς να είναι µηδέν. R ( E ( a H ( Απάντηση: 5.5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 38 Άσκηση # Να επιλεγούν οι τιµές των Κ και Κ προκειµένου το σφάλµα µόνιµης κατάστασης για βηµατική διαταραχή να είναι -0.5%, ενώ το µόνιµο σφάλµα για είσοδο αναφοράς r(tt να είναι %. R ( ( + ( + 3 D ( + ( 4 Βιβλιογραφία Π. Ν. Παρασκευόπουλος, "Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο Τόµος Α: Θεωρία", Αθήνα 00. [Κεφάλαιο 4] R.C. Dorf, R.H. Bihop, "Σύγχρονα Συστήµατα Αυτόµατου Ελέγχου", 9 η έκδοση, Εκδόσεις Τζιόλα. [Κεφάλαια 4-5]. Ogata, "Modrn Control Enginring", 3 η έκδοση, Εκδόσεις Prntic-Hall. [Κεφάλαιο 5] Ν. Ni, "Control Sytm Enginring", 4 η έκδοση, Εκδόσεις Wily. [Κεφάλαιο 7] Απάντηση: 300, Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 39 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 40

11 Άσκηση # - ΛΥΣΗ Να προσδιοριστεί η τιµή του Κ προκειµένου το µόνιµο σφάλµα για βηµατική είσοδο αναφοράς να είναι µηδέν. R ( E ( a H ( 0.4 T( C( R( G( + G(H( + 0.4( ( + ( T( Άσκηση # - ΛΥΣΗ Να επιλεγούν οι τιµές των Κ και Κ προκειµένου το σφάλµα µόνιµης κατάστασης για βηµατική διαταραχή να είναι -0.5%, ενώ το µόνιµο σφάλµα για είσοδο αναφοράς r(tt να είναι %. R ( ( + ( + 3 D ( + ( 4 Το σύστηµα είναι τύπου- ως προς το σήµα αναφοράς, οπότε: 6 R( t v Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 4 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 4 Άσκηση # - ΛΥΣΗ Αναδιατάσσουµε το διάγραµµα βαθµίδων, θεωρώντας σαν είσοδο την διαταραχή: D ( + ( 4 Άσκηση # - ΛΥΣΗ Αναδιατάσσουµε το διάγραµµα βαθµίδων, θεωρώντας σαν είσοδο την διαταραχή: D ( + ( 4 Για D( / : ( + ( + 3 Για D( / : ( + ( + 3 (+ 4 E D ( C D ( D( (+ 3 (+ + (+ + (+ 4(+ 3 (+ 4 (+ 3 D (t lim 0 E D ( 3 3 D (t R (t Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 43 (+ 4 E D ( C D ( D( (+ 3 (+ + (+ + (+ 4(+ 3 (+ 4 (+ 3 D (t lim 0 E D ( 3 3 D (t R (t Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 44

12 Άσκηση # - ΛΥΣΗ Ως τελευταίο στάδιο, πρέπει να επιβεβαιωθεί η ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου για τις συγκεκριµένες τιµές των κερδών. D ( Σηµειώσεις R ( ( + ( ( 4 300, (+ (+ 3 (+ 4 T( + (+ (+ (+ + (+ 4(+ 3 (+ 3 ( (+ (+.997( Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 45 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 46 Σηµειώσεις Σηµειώσεις Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 47 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [3] Σφάλµατα µόνιµης κατάστασης 48