3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε."

Transcript

1 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση την (4) = 7, 4 της παραγράφου μπορεί ισοδυνάμως να γραφεί ως το κάτωθι σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: = + 3. = Όπου =, 3. =, 3. 7 =. 3. Ας θεωρήσουμε, χωρίς καμία βλάβη της γενικότητας, ότι η είσοδος είναι η βηματική συνάρτηση!. Με αυτή την είσοδο και με χρήση των θεωρημάτων της γραμμικής άλγεβρας που παρουσιάστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, θα λύσουμε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 3.. Όντως, θα βρούμε, κατ αρχήν, τις ιδιοτιμές του πίνακα =, 3. δηλαδή ισοδυνάμως θα λύσουμε το σύστημα " = # " # % " = ' 3.3 det # % = ' # det, # - = ' 3.4 # # + λ + λ + = 3.5

2 Παρατηρούμε ότι η χαρακτηριστική εξίσωση (Eigen equation) έχει άμεση σχέση με τη διαφορική εξίσωση από την οποία εκκινήσαμε. Η3.5 έχει ρίζες # =, # =, # = 3, οι οποίες είναι οι ιδιοτιμές (Eigen values) του πίνακα, όπως προκύπτει άμεσα από τους διαιρέτες του σταθερού όρου της 3.5. Οι ιδιοτιμές αυτές είναι οι πόλοι της αρχικής συνάρτησης μεταφοράς. Εν συνεχεία, θα βρούμε τα ιδιοδιανύσματα (Eigen vectors), τα οποία αντιστοιχούν στις τρεις αυτές ιδιοτιμές, λύνοντας τρεις φορές το γραμμικό σύστημα 3.3 για τις τρεις διαφορετικές ιδιοτιμές, όπως περιεγράφη προηγουμένως: α) Για την ιδιοτιμή # = ισχύει: # % = 5 3. Όπως ήταν αυστηρά αναμενόμενο, η ορίζουσα του πίνακα 3. είναι μηδέν, αλλά η πάνω αριστερά υποορίζουσά του x είναι διάφορη του μηδενός. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εκφράσουμε τις δύο πρώτες συνιστώσες του αντιστοίχου ιδιοδιανύσματος συναρτήσει της τρίτης συνιστώσας με μοναδικό τρόπο, δηλαδή, εάν το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή # = είναι, έστω, τότε η (3.3) γίνεται, εν προκειμένω, 5 " 3 = 45, = = 5, 3.78 όπου η τρίτη εξίσωση παρελείφθη, αφού έχουμε θεμελιώσει-απαιτήσει να είναι γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (3.7). Επομένως, τελικά λαμβάνω: 5 5 " 3 = 45 = 4 5 = Δηλαδή, το σύνολο των πινάκων που ικανοποιούν την ιδιοεξίσωση (3.3) για # = είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του R, διάστασης ( μία ευθεία ) με βάση το 4. β) Για την ιδιοτιμή # = ισχύει:

3 # % = Όπως ήταν αυστηρά αναμενόμενο, η ορίζουσα του πίνακα 3.9 είναι μηδέν, αλλά η πάνω αριστερά υποορίζουσά του x είναι διάφορη του μηδενός. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εκφράσουμε τις δύο πρώτες συνιστώσες του αντιστοίχου ιδιοδιανύσματος συναρτήσει της τρίτης συνιστώσας με μοναδικό τρόπο, δηλαδή, εάν το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή # = είναι, έστω, τότε η (3.3) γίνεται, εν προκειμένω, = " < = =, = = + = = = + = = = = = 4 = = = όπου η τρίτη εξίσωση παρελείφθη, αφού έχουμε θεμελιώσει-απαιτήσει να είναι γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (3.). Επομένως, τελικά = 4 " < = = = = = 4 = =. 3. = A A Δηλαδή, το σύνολο των πινάκων που ικανοποιούν την ιδιοεξίσωση (3.3) για # = είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του R, διάστασης ( μία ευθεία ) με βάση το D E F. β) Για την ιδιοτιμή # = 3 ισχύει:

4 3 # % = Όπως ήταν αυστηρά αναμενόμενο, η ορίζουσα του πίνακα 3. είναι μηδέν, αλλά η πάνω αριστερά υποορίζουσά του x 3 είναι διάφορη του μηδενός. Για να 3 μην θεωρηθεί, όμως, ότι διαλέγουμε πάντα αυτήν, επιλέγουμε μία άλλη υποορίζουσα x διάφορη του μηδενός και συγκεκριμένα την κάτω δεξιά, δηλαδή 3 την. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εκφράσουμε τις δύο τελευταίες 3 συνιστώσες του αντιστοίχου ιδιοδιανύσματος συναρτήσει της πρώτης συνιστώσας με μοναδικό τρόπο, δηλαδή, εάν το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή # = 3 είναι, έστω, τότε η (3.3) γίνεται, εν προκειμένω, H " G = 4H, H 3H + H = H H 3H = H = 9H H = 3H όπου η πρώτη εξίσωση παρελείφθη, αφού έχουμε θεμελιώσει-απαιτήσει να είναι γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (3.3). Επομένως, τελικά λαμβάνω: H H " G = 4H = 3H = 4 3H. 3.4 H 9H 9 Δηλαδή, το σύνολο των πινάκων που ικανοποιούν την ιδιοεξίσωση (3.3) για # = 3 είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του R, διάστασης ( μία ευθεία ) με βάση το Θέτοντας 5 = = = H = λαμβάνουμε τις βάσεις των αντίστοιχων υποχώρων, τις οποίες αν συνενώσουμε ωσάν στήλες σε έναν ενιαίο πίνακα J έχουμε:

5 J = " 3 " < " G = D K 4 K 3F Επειδή οι ιδιοτιμές L 3 = 3, L < = <, L G = G είναι διαφορετικές, τα ιδιοδιανύσματα-βάσεις " 3," <," G είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι η ορίζουσα του J είναι διάφορη του μηδενός (πράγματι, detj =.5). Επιπλέον, ο J διαγωνοποιεί τον μέσω της σχέσεως J M3 J = 3 = J J M3, 3 3. όπου ο διαγώνιος πίνακας έχει στη διαγώνιο τις ιδιοτιμές με την ίδια σειρά με την οποία τοποθετήσαμε τα " 3," <, " G, ώστε να σχηματίσουν τον πίνακα J στη σχέση (3.5). Επανερχόμενοι στην επίλυση της εξίσωσης (3.), με βάση τα ανωτέρω, αυτό γράφεται ισοδυνάμως = J J M + 4! Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (3.7) από αριστερά με τον πίνακα J M, λαμβάνουμε M J = J M + J M 4! Στο σημείο αυτό: i) Παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία του J M είναι ανεξάρτητα του M χρόνου, άρα J = JM ii) Ορίζουμε N = J M 7 K iii) Ορίζουμε τον πίνακα OP = J M O = J M 4 = D 8F. 7 7K Με χρήση των ανωτέρω, η εξίσωση (3.8) γίνεται:

6 N = N + OP!, Q ή εάν θεωρήσουμε ότι N = Q, ισοδυνάμως, Q Q = Q + 7! Q = Q 8! Q = 3Q + 7! R Δηλαδή, μέσω της διαγωνοποίησης του πίνακα, επιτύχαμε αποσύμπλεξη των διαφορικών εξισώσεων στο σύστημά τους. Εδώ υπενθυμίζουμε ότι κάθε μία από τις εξισώσεις (3.) έχει γενική λύση, η οποία είναι άθροισμα της γενικής λύσεως της ομογενούς συν μία ειδική λύση. Η γενική λύση της ομογενούς είναι της μορφής ST U, όπου V ο συντελεστής του εκάστοτε Q W. Επομένως, οι εξισώσεις (3.) έχουν τις λύσεις Q = S T M + 7!, 3.7 Q = S T M 4!, 3.8 Q = S T M + 7!, 3.R όπου οι σταθερές S,S,S προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες στο Y και οι Z!, 4! και Z [! είναι οι ειδικές λύσεις των αντιστοίχων αποσυμπλεγμένων διαφορικών εξισώσεων. Οι ειδικές αυτές λύσεις προέκυψαν αντικαθιστώντας στις αποσυμπλεγμένες διαφορικές εξισώσεις Q W = 7! + 8, και απαιτώντας ταυτοτική ικανοποίησή τους Y. Προσοχή: Ενώ οι αρχικές συνθήκες στον Laplace υπολογίζονται από τις τιμές της αντίστοιχης συναρτήσεως στο M, εδώ οι αρχικές συνθήκες δίνονται στο Y. Αυτό είναι συμβατό με την απαίτηση ότι οι γνωστοί όροι OP των εξισώσεων (3.) πρέπει να είναι συνεχείς στο διάστημα που ισχύουν οι λύσεις (3.) (η βηματική συνάρτηση! είναι συνεχής μόνο για ).

7 Με βάση τα ανωτέρω, εάν θέσουμε R ] = R = J R τότε η λύση (3.) γράφεται σε μητρική μορφή S S S T M S 7 K N = T M S + D 4F! T M S 7K R J M3 R + D 4F! T M R 7K T M N = T M 7K 3. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με τον πίνακα J και τα δύο μέλη της ανωτέρω εξισώσεως και λόγω του ορισμού N = J M προκύπτει: T M R 7 K = J T M J M3 R + JD 4F! T M R 7K 3.3 T M R 7K = J T M J M3 R + ^ _! T M R Επειδή πολύ συχνά είναι απαραίτητο να συνδέουμε τo με το ` Y, προς το σκοπό αυτό θέτουμε = Y στην ανωτέρω εξίσωση οπότε λαμβάνουμε : Επειδή, δε,! Y = λαμβάνουμε R 7K Y = R + ^ _! Y R R 7K R = Y ^ _. R Κατά συνέπειαν η λύση του συστήματος διαφορικών εξισώσεων γράφεται και ως εξής:

8 T M T M = J T M J M3 Y J T M J M3 ^ T M T M 7K + ^ _! Τονίζεται ότι στη ανωτέρω εξίσωση οι όροι T M 7K 7 K J T M J M3 ^ _ + ^ _! T M 7K _ αποτελούν μία ειδική λύση του αρχικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, διαφορετική 7K της D 4F!. Πράγματι 7K T M 7K J T M J M3 ^ _ = T M Οπότε, η νέα ειδική λύση είναι η a 7TM 7TM + 7TM 7T M 7TM 7TM 7T 7TM 7TM + 7TM 7T M 7TM 7TM 7T M 4TM + TM A 4TM + TM A + ^ 7K _!. Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε με απευθείας εισαγωγή των ειδικών λύσεων b c,b c,b c ότι αυτές είναι πράγματι ειδικές λύσεις του αρχικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων. Επανερχόμενοι στην εξίσωση (3.3) T M R 7K = J T M J M3 R + ^ _! T M R κάνουμε χρήση της πασίγνωστης ιδιότητας

9 i T d = e #f f fjk g! = + #! + # + #! 3! 3.4 J και αντικαθιστώντας στη σχέση (3.3) προκύπτει J + # + # + # +! 3! + # + # + R J M3 R! + # 3! + # + # 7K + JD 4F! R 7K 3.5 Επικεντρώνοντας την προσοχή μας μόνο στο J n J M3 + # + # + # +! 3! + # + # +! + # 3! + # + # # # = Jop + # + ^ # # # _! + ^ # # # _!! + # 3! 3! + qjm # 3! + A + A J M3 Αλλά, εκ κατασκευής, ενώ # ^ άρα # # # _ = # # # J # J M = r # # # # # = # J M J # # # #

10 # J^ Ομοίως, # # οπότε η σχέση (3.5) γίνεται # _J M = J # # J M J # J M = = < # # # J^ # _J M = G # R 7 K = s% + + < + G! 3! + t R + JD 4F! R 7K 3.7 Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι η άπειρη σειρά πινάκων εντός της παρενθέσεως, δηλαδή η μήτρα u% + + <! w + G + + v + x! f! έχει ακριβώς την ίδια μορφή με το ανάπτυγμα σε σειρά της T d. Γι αυτό το λόγο ορίζουμε ένα νέο πίνακα που το συμβολίζουμε με T r μέσω της προφανούς ισότητας T r = % + + < f + G + + v! 3! g! Θα δείξουμε στην αμέσως επόμενη παράγραφο ότι ο πίνακας T r διατηρεί πολλές από τις τυπικές ιδιότητες της πραγματικής συνάρτησης T d. 3. Μερικές βασικές ιδιότητες της T r Για κάθε τετραγωνικό πίνακα r y y ορίζουμε τον κάτωθι πίνακα, όταν η σειρά στο δεξί μέλος συγκλίνει. T r = % + + < f + G + + v! 3! g! Tr = rt r = T r r προκύπτει άμεσα από παραγώγιση της σχέσης 3.9. e rk = % πάλι προκύπτει άμεσα με αντικατάσταση = στη σχέση T r { T r = T r {Y προκύπτει από την (3.9) εάν εφαρμόσουμε την επιμεριστική ιδιότητα και ομαδοποιήσουμε σε δυνάμεις του T r T Mr = p

11 είναι άμεση συνέπεια των προηγούμενων αν θέσουμε = 7} =. Η σχέση αυτή σημαίνει ότι εάν ο πίνακας T r ορίζεται για κάθε, τότε έχει πάντα αντίστροφο ο οποίος είναι ο T Mr. 5. T r ~ = T r~ προκύπτει με άμεση επαγωγή. Εάν r = J O J M3, τότε T r = J T O J M3 η απόδειξη είναι εντελώς ανάλογη µε τη µετάβαση από τη σχέση (3.) στην (3.8) 7. T r = L M { p r M } Απόδειξη L ƒ Tr = LrT r LT r T r ˆ = rltr p rlt r = T r ˆ = p LTr = p r M T r = L M { p r M } Προσοχή! Αυτή η ιδιότητα συνιστά µία εναλλακτική µέθοδο υπολογισµού της a rš, µέσω του υπολογισµού του αντίστροφου πίνακα του p r και εν συνεχεία µε εφαρµογή του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Laplace στο p r M3. Επιπλέον ο πίνακας p r M µπορεί επίσης να προσφέρει τη συνάρτηση µεταφοράς από τις εξισώσεις καταστάσεως καθώς όπου Œ Œ = + και = Ž Ž = D F, O = D F και η πρώτη γραµµή του έστω η ~. Τότε b ~ Ž ~ η πρώτη γραµµή της ανωτέρω συστήµατος διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως γράφεται b = b + b + + ~ b ~ + Ž 3.3 Θεωρώντας όλες τις αρχικές συνθήκες µηδέν στο = M προκύπτει Όπου L ƒ b = L b + b + + ~ b ~ + Ž = ~ ~ + Ž = ~ L + Ž L = D F ~ Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία και για τις άλλες διαφορικές εξισώσεις του αρχικού συστήµατος.ε. προκύπτει συνολικά η σχέση

12 L = r L + O L r L = O p r L = O L = p r M O Αντικαθιστώντας την ανωτέρω σχέση στην = λαµβάνουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος µε µία είσοδο και µία έξοδο : = p rm O 8. T r T O = T ryo εάν και µόνο εάν ισχύει r O = O r 3.3 Χρήση του πίνακα a r για την επίλυση του συστήµατος των κανονικών διαφορικών εξισώσεων Έστω το ΓΧΑ σύστηµα µιας εισόδου µιας εξόδου = + O, `Y = `k όπου `,,, z γνωστή συνάρτηση εισόδου συνεχής στο,, π.χ. η βηµατική συνάρτηση. Τότε πολλαπλασιάζοντας και τα µέλη µε T M προκύπτει T M TM = T M O Όµως από την ιδιότητα που δόθηκε παραπάνω και τον κανόνα παραγώγισης του γινοµένου T M TM = utm x = T M O Οπότε ολοκληρώνοντας από = Y έως κάποιο και χρησιµοποιώντας την ιδιότητα. του T ισχύει T M ` Y = T M š O Οπότε από την ιδιότητα 4. του T r οι έχουν τη µορφή k œ ` = T ` Y + T T M š O k œ Προσοχή : Σε αυτή την τυπική µορφή λύσης του ΓΧΑ συστήµατος διαφορικών εξισώσεων η µήτρα T πολλαπλασιάζει τον πίνακα ` υπολογισµένο στο = Y. Αυτό είναι άρρηκτα συνδεδεµένο µε το γεγονός ότι η T Y είναι λύση της οµογενούς εξίσωσης

13 = r, ενώ η γενική λύση είναι της µορφής = ž + Ÿ Όπου Ÿ είναι η ειδική λύση Ÿ = T T M š O! k œ Εάν βρούµε εµείς µια ειδική λύση του αποσυµπλεγµένου συστήµατος εξισώσεων µε επισκόπηση, δηλαδή διαισθητικά, όπως κάναµε στη λύση του συστήµατος (3.) τότε η γενική λύση είναι της µορφής = T ] + J όπου J ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων του και ] πίνακας στήλη, όπως ακριβώς αναπτύχθηκε στην προηγούµενη παράγραφο από την σχέση (3.) έως τη σχέση (3.3) που υπολογίζεται εάν στην ανωτέρω εξίσωση θέσουµε = Y. Οπότε ] = ` Y J Y. Παράδειγµα 3. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ίνεται το σύστηµα µιας εισόδου και µιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: = + = + Z = [ E Z [ [ 3 A, = ^ _, =, = 5 Να λυθεί το ανωτέρω σύστημα : Α) για =! και Β) για =

14 Επίλυση Βήμα ο: Βρίσκουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση και τις ιδιοτιμές του, δηλαδή λύνουμε την detr #% =. Z # detr #% = det # ª E # = [ [ Z 3 # A [ Οπότε λαμβάνουμε ισοδυνάμως # E + «E # + 3# + «E # + =. Κάνουμε όλους τους συντελεστές ακεραίους πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό 4. Άρα η παραπάνω εξίσωση γίνεται 4# E + 39# + 4# + 59# + 7 = Ψάχνουμε λύσεις της μορφής, όπου διαιρέτης του σταθερού όρου και διαιρέτης του συντελεστή του μεγιστοβαθμίου, δηλαδή εν προκειμένω =±, ±,±5,±7,±,±35,±7 ενώ = ±,±,±4. Αυτό έχει 4 ρίζες οι οποίες είναι # =,# =, # = 5, # E = 74, οι οποίες ευρέθησαν με την σειρά που αναφέρονται. Βήμα ο: Βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα του τα οποία είναι 4 και γραμμικώς ανεξάρτητα αφού οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι όλες διαφορετικές. Α) Ιδιοτιμή # = Λύνουμε το σύστημα 4 3 b 3 b r + %`3 = ' 5 3 b +b E = 3 b 3 4 b 4 b 3 b E = b + 53 b 9 b b E = 5 3 b + 37 b 3 b b E =

15 Eπιλέγουμε τυχαία την κάτω δεξιά υποορίζουσα 3 3, η οποία είναι διάφορη του μηδενός. Άρα επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το b, τον οποίο επιλέξαμε γιατί δεν πολλαπλασιάζει κανένα στοιχείο της υποορίζουσας αυτής: Με μέθοδο απαλοιφής Gauss προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα `3 = D b b Ή διαλέγοντας b = προκύπτει Β) Ιδιοτιμή # = Λύνουμε το σύστημα b F = b E b 5b b A `3 = D F 5 = b r + <%`< = ' 5 A 3 b 3 b 5 3 b +b E = 3 b 3 4 b 4 b 3 b E = b + 53 b 3 b b E = 5 3 b + 37 b 3 b b E = Διαλέγουμε την πάνω αριστερά υποορίζουσα 3 3, η οποία είναι διάφορη του μηδενός. Άρα επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το b E Με μέθοδο απαλοιφής Gauss προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα `< = D b b b F = b b b E b = b E E b E A A

16 Ή διαλέγοντας b E = προκύπτει `< = D F Γ) Ιδιοτιμή # = 5 Λύνουμε το σύστημα r + ±%`G = ' 8 3 b 3 b 5 3 b +b E = 3 b 9 4 b 4 b 3 b E = b + 53 b 5 b b E = 5 3 b + 37 b 3 b b E = Διαλέγουμε πάλι τυχαία την πάνω αριστερά υποορίζουσα 3 3, και βρίσκουμε ότι είναι διάφορη του μηδενός. Άρα επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το b E Με μέθοδο απαλοιφής Gauss προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα `G = D b b b F = D b E b E b E b F = b E D E b E F Ή διαλέγοντας b E = προκύπτει `G = D F Δ) Ιδιοτιμή # E = Z E

17 Λύνουμε το σύστημα 7 b 3 b 3 b ƒr + ² ³ % `G = ' 5 3 b +b E = 3 b 4 b 3 b E = b + 53 b 9 b b E = 5 3 b + 37 b 3 b 5 4 b E = Επιλέγουμε τυχαία την κάτω αριστερά υποορίζουσα που είναι διάφορη του μηδενός. Άρα επιλύουμε το άνωθεν σύστημα με ελεύθερο άγνωστο το b E. Με μέθοδο απαλοιφής Gauss προκύπτει η λύση και άρα το ιδιοδιάνυσμα b b `³ = D b F = b E = b E b E b E b E A A Ή διαλέγοντας b E = προκύπτει `³ A Άρα συνενώνοντας τα `3,`<,`G,`³, σχηματίζεται ο πίνακας J = `3 `< `G `³. Επομένως ο πίνακας J = 5 A

18 Να υπενθυμίσουμε ότι: Επειδή οι ιδιοτιμές L 3 = 3, L < = <, L G = ±,L ³ = ² ³ είναι διαφορετικές, τα ιδιοδιανύσματα-βάσεις `3,`<,`G,`³ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι η ορίζουσα του J είναι διάφορη του μηδενός (πράγματι, detj = 4.5). Επιπλέον, ο J διαγωνοποιεί τον μέσω της σχέσεως J M3 J 5 7 = J 5 J M3, Z EA Τώρα επιστρέφουμε στην επίλυση της αρχικής διαφορικής εξισώσεως. Με βάση τα ανωτέρω, αυτή γράφεται ισοδυνάμως ως = J J 5 7 4A J M + ^ _. = 5 J M + J M ^ 7 _. 4A Θέτοντας τον βοηθητικό πίνακα N = J M και OP = J M O = J M ^ _ = Z 5 8A έχουμε: N 5 7 4A N + OP,

19 Q = Q Q = Q + Q = 5Q Q E = 7 4 Q E R 3.3 Α) Για µš = Š ( τη βηματική συνάρτηση) Εδώ υπενθυμίζουμε ότι κάθε μία από τις εξισώσεις (3.3) έχει γενική λύση, η οποία είναι άθροισμα της γενικής λύσεως της ομογενούς συν μία ειδική λύση. Η γενική λύση της ομογενούς είναι της μορφής ST U, όπου V ο συντελεστής του εκάστοτε Q W. Επομένως, οι εξισώσεις (3.3) έχουν τις λύσεις Q = S T M +!, Q = S T M +!, 3.48 Q = S T M + 7!, 3.4R 5 Q E = S E T MZ E + 3 7!, 3.4 όπου οι σταθερές S,S,S, S E προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες στο Y ενώ οι!,!, Z!, Z! είναι οι ειδικές λύσεις των αντιστοίχων αποσυμπλεγμένων διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες επελέγησαν δοκιμάζοντας ειδική λύση της μορφής 7! + 8 και προσδιορίζοντας τα 7, 8, ούτως ώστε κάθε εξίσωση χωριστά να ικανοποιείται ταυτοτικά. Θέτοντας προκύπτει γ S γ c D γ F = JD c F γ E c E

20 @ TM T Οπότε = J M T M J M3 D T M¹ º A Š = e r» D γ γ γ F + γ E 4 3 γ γ γ F + J γ 7 7! 3 Z Z A! Επειδή πολύ συχνά είναι απαραίτητο να συνδέουμε τo με το ` Y, προς το σκοπό αυτό θέτουμε = Y στην ανωτέρω εξίσωση οπότε λαμβάνουμε : Y = D Επειδή, δε,! Y = λαμβάνουμε γ γ γ F + γ E 4 7 7! Y 3 5A D γ γ Τότε η λύση της διαφορικής γίνεται γ F = Y γ E A

21 3 3 = e r» Y e r» ! 3 5A 3 5A Š = e» Y 4 3 em» + em» 7 5 em»» E 4e M» 7 emz 7 5 em» em» 3 em» + e M» 3 em» em» + 3 Z 7 e» E» 7 emz ! E A 3 5A Θα μπορούσαμε να είχαμε υπολογίσει την ειδική λύση μέσω του τύπου στον οποίον αυτή η ειδική λύση είναι η ` = T ` Y + T T M š O k œ ¼ = T T M š O = T T M š O k œ k œ Αλλά εξ ορισμού ¼ = T Mš O k TMMš T Mš = J T MMš T M Mš J M3 T MZ E Mš A MMš + T M Mš 3T M Mš T MMš T MMš T MMš T MMš T M Mš T MMš T M Mš T MZ E Mš T MMš T MMš T MZ E Mš T MZ E Mš T MMš = T MZ E Mš 5T MMš T M Mš 5T MMš 3T MZ E Mš + T MMš 3T M Mš T MZ E Mš 5T MMš + T MMš + T M Mš T M Mš T MMš T MZ E Mš T MMš T M Mš T MMš T MZ E Mš T MMš T M Mš T MZ E Mš T MMš T MMš + T M Mš T MMš + T M Mš A

22 Ενώ T Mš Ec ½ ¾ 4T MMš kc ½ ¾ 8T M¹ º Mš c ½ ¾ + T MMš Zc ½ ¾ 4T M¹ º Mš 4T MMš T MMš + Zc ½ ¾ + T MMš + Zc ½ ¾ A Οπότε ολοκληρώνοντας τη τελευταία στήλη λαμβάνουμε την ειδική λύση ¼. Είναι προφανές ότι αυτή η διαδικασία είναι πολύ χρονοβόρα και επίπονη, σε αντίθεση με την ειδική λύση μέσω επισκοπήσεως που προτείναμε αρχικά. Β) Για µš = Š G Υπενθυμίζουμε ότι με τη μέθοδο διαγωνοποίησης οδηγηθήκαμε στο σύστημα των αποσυμπλεγμένων εξισώσεων Q = Q Q = Q + Q = 5Q Q E = 7 4 Q E R 3.3 όπου, εκ νέου, κάθε μία από τις 4 παραπάνω εξισώσεις έχει γενική λύση, η οποία είναι άθροισμα της γενικής λύσεως της ομογενούς συν μία ειδική λύση. Η γενική λύση της ομογενούς είναι της μορφής ST d, όπου # ο συντελεστής του εκάστοτε Q W. Για την ειδική λύση, παρατηρούμε ότι η είσοδος είναι =, άρα δοκιμάζουμε ως ειδική λύση πλήρες πολυώνυμο τρίτου βαθμού, δηλαδή Q c = R +, Όπου η α,β,γ,δ είναι προσδιοριστέοι συντελεστές. Για να τους προσδιορίσουμε, αντικαθιστούμε αυτή την ειδική λύση στην γενική μορφή κάθε μιας από τις αποσυμπλεγμένες διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή στην Q = #Q + Ž Όπου Ž είναι κάποιο από τα στοιχεία του OP όπου OP = J M O

23 Όντως R = #7 + #8 + #R + # + Ž Και επειδή η ανωτέρω σχέση πρέπει να ικανοποιείται ταυτοτικά για κάθε t, οι συντελεστές των ομωνύμων όρων πρέπει να είναι ίσοι. Άρα #7 = Ž α = Á d 37 = #8 β = 3α λ = 3Ž # 8 = #R R = 8 # = Ž # # = R = Ž # E Επομένως, για τον συγκεκριμένο OP και τις αντίστοιχες ιδιοτιμές # =, # =,# = 5,# E = Z οι ειδικές λύσεις είναι : E i) Για # = # = και Ž = OP =, =,8 =,R = 4, = 4 ii) Για # = # = και Ž = OP =, =,8 = E,R = E, = Ã iii) iv) Για # = # = 5 και Ž = OP3 = Z, = Z,8 = Z E E,R =, = [ Για # = # E = Z καιž = O P4 = 8, =, 8 = ÃE, R = kz, = ÃÃ E Z E«E Ek Άρα το διάνυσμα των ειδικών λύσεων των αποσυμπλεγμένων εξισώσεων είναι N aš = A Επομένως η λύση της διαφορικής εξίσωσης γίνεται :

24 γ γ = e» γ D γ F + JN aš = e» γ D γ F + J γ E γ A Επειδή πολύ συχνά είναι απαραίτητο να συνδέουμε τo με το ` Y, προς το σκοπό αυτό θέτουμε = Y στην ανωτέρω εξίσωση οπότε λαμβάνουμε : H λύση της εξίσωσης είναι: = e» Y + J γ γ Y = D γ F. γ A Παράδειγµα 3. ίνεται το σύστηµα µιας εισόδου και µιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: = + = + Όπου =, =, πίνακας b3, Ä πίνακας 3b

25 Να λυθεί το σύστημα για είσοδο τη βηματική συνάρτηση!

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας,

Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις:,, πίνακας, Παράδειγμα 3.2(Επίλυση συστήματος Jordan) Δίνεται το σύστημα μιας εισόδου και μιας εξόδου, το οποίο περιγράφεται από τις κάτωθι εξισώσεις: Όπου,, πίνακας, Να λυθεί το σύστημα με είσοδο τη συνάρτηση Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης 1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Διπλωματική Εργασία ΚΑΡΑΝΤΖΙΑ ΑΝΝΑ Επιβλέπων Καθηγητής: Παναγιώτης Ψαρράκος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Επίλυση συστήματος εξισώσεων Υποθέστε ότι: Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 20. Ποιοι είναι οι αριθμοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων.

Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Ισοδυναµία τοπολογιών βρόχων. Κατά κανόνα, συµφέρει να ανάγουµε τις «πολύπλοκες» τοπολογίες βρόχων σε έναν απλό κλειστό βρόχο, µε µία συνάρτηση µεταφοράς στον κατ ευθείαν κλάδο και µία συνάρτηση µεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)

Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : =

Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : = . Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς ++2 Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθειά του κατά BIBO. Λύση : Α) +3 +2 ++2 2 + + 2+2 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι L : 2 + 2 H είναι φραγμένη καθώς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα