Οι μαθητές της Β Γυμνασίου της «Πολύτροπης αρμονίας» αποδεικνύουν τα θεωρήματα της Γεωμετρίας της Β λυκείου

Transcript

1 Οι μαθητές της Β Γυμνασίου της «Πολύτροπης αρμονίας» αποδεικνύουν τα θεωρήματα της Γεωμετρίας της Β λυκείου 1

2

3 Σχολική χρονιά Σύμβουλοι καθηγητές Οι μαθηματικοί: Άννα Γαβριήλ, Γιώργος Μανεάδης 3

4 Πρώταση 1η : Σε ορθογώνιο ΑΒΓ ( α, φέρουμε το ύψος ΑΔ=u. με ΑΒ= γ, ΑΒ= β, ΒΓ= Δείξτε : Οι παραπάνω αποδείξεις να γίνουν χρησιμοποιώντας μόνο Πυθαγόρειο θεώρημα Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Ελισάβετ Μητρούση Μάριος Δάμος 4

5 Λύση α ΒΔ= i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ από το καταπληκτικό Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + = + = ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ από το μεγαλειώδες Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + = + και λόγω του ( i ) : = - + 5

6 iii) ( ) =(α-δβ) (α-δβ)= = -ΔΒ α+ -α ΔΒ = = -α ΔΒ+ iv) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από το απίθανο Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = - Λόγω του (ii) = -( + - ) = = - + = - ( ) + Λόγω του (iii) = -( -α ΔΒ+ )+ = - +α ΔΒ- + =α ΔΒ Άρα: =α ΔΒ 6

7 α ΓΔ= Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ από το «άπαικτο» Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + Όμως =α ΒΔ επομένως = - α ΒΔ =α (α-βδ) =α ΓΔ ΒΔ ΓΔ= i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ από το διαχρονικό Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + = - ii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ από το απίστευτο Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + = - iii) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑBΓ από το πασίγνωστο Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : = + 7

8 Όμως ισχύει και : α= ΓΔ+ ΔΒ επομένως = επομένως ( ) =(ΓΔ+ΔΒ) (ΓΔ+ΔΒ)= +ΓΔ ΔΒ+ΔΒ ΓΔ+ = +ΓΔ ΔΒ+ - - =ΓΔ ΔΒ λόγω ( i ), ( ii), (iii) : + -( =ΓΔ ΔΒ =ΓΔ ΔΒ )-( - )=ΓΔ ΔΒ - + =ΓΔ ΔΒ

9 Πρόταση η : Αν Κ σημείο χορδής ΑΒ κύκλου (O, ρ) και d=οκ 1 ο δείξτε πώς ΑΚ ΚΒ=ρ -d ο Αν Λ είναι σημείο τομής των χορδών ΑΒ, ΓΔ δείξτε πως ΑΛ ΛΒ=ΓΛ ΛΔ 3 ο Αν Μ είναι σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ δείξτε πώς * ΑΜ ΜΒ=ΜΓ ΜΔ * Αν ΑΒΓΔ εγγράψιμο τότε ΜΑ ΜΒ= ΜΓ ΜΔ Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Άρτεμις Τσιανίκα Έλενα Νικοπούλου 9

10 Λύση 1 ο ) ΑΚ ΚΒ=(ΑΜ+ΜΚ) (ΒΜ-ΜΚ)= =(ΑΜ+ΜΚ) (ΑΜ-ΜΚ)= =ΑΜ ΜΚ Από το μεγαλειώδες πυθαγόρειο θεώρημα έχω: (ρ ΟΜ ) ΜΚ = = ρ ΟΜ ΜΚ = ρ (ΟΜ + ΜΚ )= = ρ ΟΚ = ρ d Άρα ΑΚ ΚΒ=ρ d 10

11 ο ) ΑΛ ΛΒ= ρ - d ΔΛ ΛΓ= ρ d Άρα ΑΛ ΛΒ =ΔΛ ΛΓ 11

12 3 ο ) Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΑΔΓ τριγώνου περνάει από το Β (και όχι από το Β ) τότε: ΑΜ ΜΓ=ΔΜ ΜΒ ΑΜ ΜΓ=ΔΜ ΜΒ ΔΜ ΜΒ =ΔΜ ΜΒ Άρα... ΜΒ =ΜΒ 1

13 Πρόταση 3 η : Αν Κ εξωτερικό σημείο κύκλου (Ο, ρ) και ευθεία (ε) που διέρχεται από το Κ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β και d= OK δείξτε: 1 ο και Αν ΚΓ εφαπτομένη του κύκλου τότε (Γ σημείο του κύκλου) ο Αν Λ εξωτερικό σημείο του κύκλου και ΛΑΒ, ΛΓΔ είναι τέμνουσες του κύκλου τότε 3 ο Αν Μ είναι σημείο τομής δύο απέναντι μη παράλληλων πλευρών κυρτού τετράπλευρου ΑΒΓΔ έστω των ΑΒ,ΓΔ ισχύει : Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ ΚΡΙΤΩΝΑΣ ΣΒΑΝΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΖΑΒΑΡΑΣ 13

14 Λύση ΚΑ ΚΒ=d -ρ και ΚΑ ΚΒ=ΚΓ ( ΚΓ εφαπτομένη του κύκλου) 1 ο Αν Μ μέσο της ΑΒ είναι KA KB=[KM-MA] [KM+MB]= =[KM-MA] [KM+MA]= =KM +KM MA-MA KM-MA= = KM - MA (1) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ από το ευφυές Πυθαγόρειο Θεώρημα έχω : ΚΜ =d ΟΜ () Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΜ από το συγκλονιστικό Πυθαγόρειο Θεώρημα έχω : ΜΑ =ρ ΟΜ (3)_ Επομένως από (1), (), (3) έχω : KA KB =ΚΜ -ΜΑ =d - ΟΜ [ρ -ΟΜ ]=d -OM -ρ +ΟΜ =d ρ () Τελικά : ΚΑ ΚΒ=d -ρ 14

15 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΓ από το πανέμορφο Πυθαγόρειο Θεώρημα έχω : ΚΓ =ΟΚ ΟΓ =d ρ ΑΡΑ: ΚΑ ΚΒ=ΚΓ ο ΛΑ ΛΒ=ΛΓ ΛΔ Όπως εξηγήσαμε στο 1 ο είναι : ΛΑ ΛΒ=d -ρ και: ΛΓ ΛΔ=d -ρ ΑΡΑ: ΛΑ ΛΒ=ΛΓ ΛΔ 15

16 3 ο ΜΑ ΜΒ= ΜΓ ΜΔ Αν ΑΒΓΔ εγγράψιμο τότε ΜΑ ΜΒ= - και ΜΓ ΜΔ= - άρα ΜΑ ΜΒ= ΜΓ ΜΔ Αντίστροφο Έστω ότι ΑΒΓΔ μη εγγράψιμο τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του ΑΒΓ τέμνει την ευθεία ΓΔ στο Δ Όμως ΜΑ ΜΒ= ΜΓ ΜΔ (δοσμένο ) και ΜΑ ΜΒ= ΜΓ ΜΔ Από την προηγούμενη πρόταση επομένως ΜΔ = ΜΔ άρα Δ, Δ ταυτίζονται και άρα ΑΒΓΔ είναι οπωσδήποτε εγγράψιμο 16

17 Πρόταση 4 η : 1 ο Αν Δ σημείο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και ΑΔ διχοτόμος της γωνίας δείξτε: ο Αν Μ είναι σημείο της ΒΓ τέτοιο ώστε δείξτε ΑΜ διχοτόμος της Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Ξανθίππη Κουμαρά Ιωάννα Παρασκευαΐδου 17

18 ΛΥΣΗ 1 Ο = ημâ 1 = M A και ημâ = Επειδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της ΒÂΓ έχουμε: ΔΜ=ΔΡ ή ( αποδεικνύοντας το με τριγωνομετρία) ημâ 1 = ημâ = ΔΜ=ΔΡ (1) Ε(ΑΒΔ)= * * = Ε(ΑΔΓ)= * * = και διαιρώντας κατά μέλη έχω: * * = * * * * = 18

19 λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (1) έχω: = Ο αντίστροφο Ε(ΑΒΜ)= Ε(ΑΜΓ)= * * = * * = ΛΥΣΗ Ο λόγος των παραπάνω εξισώσεων είναι: * * * = * * * = (1) Επειδή έχουμε το δεδομένο ότι =, για να ισχύει η σχέση (1) πρέπει =1 ΛΜ=ΜΡ. 19

20 Οπότε ημâ 1 = M A M M = ημâ τότε Â 1 = Â δηλαδή ΑΜ διχοτόμος της Α (Θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε το εξής : επειδή το Μ ισαπέχει από τις πλευρές τις γωνίας Â θα είναι σημείο της διχοτόμου της επομένως η ΑΜ είναι η διχοτόμος της γωνίας Â.) 0

21 Πρόταση 5η : 1 ο Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν δείξτε: ο Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν δείξτε: Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Σοφία Μωρέ Μαντώ Δαφνή 1

22 Λύση 1 ο ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ˆ ' ' 1 ˆ 1 ' ' ' ' ˆ ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

23 ο ˆ ˆ ˆ ' ' ' ' ' ' ' ˆ ' ' ' ' ' ' ' ˆ ' ' ' ' ' ˆ ' ' ' ' ' ' ' ' ά : ' ' ' ' ' 3

24 Πρόταση 6η : 1 ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές του κατά την ίδια φορά και κατά μέρη ΒΓ = ΑΒ, ΑΒ = ΑΓ και ΓΑ = ΒΓ. Να αποδειχτεί ότι: (Α Β Γ ) = 7 (ΑΒΓ) ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Κ τυχαίο μέσα σ αυτό. Φέρνουμε τις ΚΔΑΒ, ΚΕΒΓ και ΚΖΑΓ ώστε ΚΔ=ΑΒ, ΚΕ=ΒΓ και ΚΖ=ΑΓ. Να αποδειχτεί ότι : (ΔΕΖ)=3(ΑΒΓ). Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Ναταλία Παπαδημητρίου Κροκίδη Κωνσταντίνα 4

25 Λύση 5

26 1 ο Από την πρόταση( 5) έχουμε Αν Ε είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ τότε Επειδή Και όμοια = = =Ε Τελικά: E(A B Γ )=E+ 6

27 ο Από την πρόταση( 5) έχουμε = = =1 άρα Ε(ΚΔΖ)=Ε(ΑΒΓ) όμοια Ε(ΚΔΕ)=Ε(ΑΒΓ), Ε(ΚΕΖ)=Ε(ΑΒΓ) οπότε τελικά : Ε(ΔΕΖ)=3 Ε(ΑΒΓ) 7

28 Πρόταση 7 η : 1 ο Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει και ΒΔ ύψος του τότε ο Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει και ΒΔ ύψος του τότε Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Ελένη Καρύδη Ιωάννης Μπούμπαλης 8

29 Λύση 1 ο Το τρίγωνο BDC είναι ορθογώνιο με την γωνία D ορθή όποτε από το «άπαιχτο» Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : α = ΒD + DC α = ΒD + (β ΑD) α = ΒD + (β ΑD) * (β ΑD) α = ΒD + β β * ΑD β * ΑD + ΑD α = ΒD + β β * ΑD + ΑD α = γ ΑD + β β * ΑD + ΑD α = γ - ΑD + β β * ΑD + ΑD α = γ + β β * ΑD 9

30 ο Το τρίγωνο BΔΓ είναι ορθογώνιο με την γωνία Δ ορθή όποτε από το «άπαιχτο» Πυθαγόρειο θεώρημα έχω : ΒΓΔ α = ΔΒ + ΔΓ ΔΒ = γ ΑΔ ΔΓ = (β +ΑΔ) ΔΓ = β + ΑΔ + β * ΑΔ ΔΒ = γ ΑΔ ΔΓ = (β + ΑΔ) α = β + ΑΔ + Β *ΑΔ α = ΔΒ + ΔΓ α = γ ΑΔ + β + ΑΔ + β * ΑΔ α = β + γ + β * ΑΔ 30

31 Πρόταση 8 η : Αν Ε το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δείξτε ότι : 1 ο ο Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Αδάμ Ραφαήλ Μαχαίρας Παναγιώτης 31

32 Λύση 1 ο Ε= * ημ = Ε= *ΖΒ*ΑΓ Ε= * *ΑΓ Ε= ΟΥ (Μ μέσο της ΒΓ και Δ ίχνος του ύψους ΑΔ στην ΒΓ) 3

33 β =ΑΔ + ΔΓ = ΑΔ + (α/+δμ) β =ΑΔ + [(α/ + ΔΜ)*(α/ + ΔΜ)] β =ΑΔ + (α /4 + α*δμ/ + ΔΜ + α*δμ/) β =ΑΔ + α /4 + ΔΜ + (*α*δμ/) β =ΑΔ + α /4 + ΔΜ + α*δμ β =ΑΔ + α /4 + ΔΜ + α*δμ γ = ΑΔ + ΒΔ = ΑΔ + (α/-δμ) γ = ΑΔ + [(α/ - ΔΜ)*(α/ - ΔΜ)] γ = ΑΔ + (α /4 - α*δμ/ - α*δμ/ + ΔΜ ) γ = ΑΔ + α /4 + ΔΜ *α*δμ/ γ = ΑΔ + α /4 + ΔΜ α*δμ β - γ = ΑΔ + α /4 + ΔΜ + α*δμ [ ΑΔ + α /4 + ΔΜ α*δμ ] β - γ = ΑΔ + α /4 + ΔΜ + α*δμ ΑΔ - α /4 - ΔΜ + α*δμ β - γ = α*δμ + α*δμ β - γ = α*δμ 33

34 Πρόταση 9 η : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ το ύψος του ΑΔ =υ και η διάμεσός του 1 ο Δείξτε: ο Δείξτε : Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Μαριάντζελα Κατσαβρια Δημήτρης Χάλκος 34

35 Λύση Το ΑΔΓ είναι ορθογώνιο Τρίγωνο με Δ=90 ο Από το καταπληκτικό Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει: β =ΑΔ +ΔΓ β =υ +ΔΓ (ονομάζω ΒΓ=α και επειδή ΑΜ διάμεσος, ΜΓ=α/), άρα: ΔΓ=ΔΜ+ΜΓ=ΔΜ+, οπότε: β =υ +(ΔΜ+ ) β =υ +(ΔΜ+ )(ΔΜ+ ) β =υ +ΔΜ +ΔΜ. + ΔΜ+ β =υ + +ΔΜ +ΔΜ β =υ + +ΔΜ +ΔΜ. α 35

36 Το ΑΔΒ είναι ορθογώνιο Τρίγωνο με Δ=90 ο. Από το καταπληκτικό Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει: γ =ΑΔ +ΔΒ =γ =υ +ΔΒ (ονομάζω ΒΓ=α και επειδή ΑΜ διάμεσος ΒΓ, ΒΜ= ), άρα: ΔΒ=ΒΜ-ΔΜ= ΔΜ οπότε: γ =υ +( -ΔΜ) γ =υ +( - ΔΜ)( -ΔΜ) γ =υ + -. ΔΜ - ΔΜ. +ΔΜ γ =υ + +ΔΜ -ΔΜ-. γ =υ + +ΔΜ -ΔΜ. α οπότε 1 ο β +γ = +μ α β +γ = υ + +ΔΜ +ΔΜ. α +υ + +ΔΜ -ΔΜ. α = =υ + +ΔΜ = +(υ +ΔΜ ) Το ΑΔΜ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με Δ=90 ο Από το καταπληκτικό Πυθαγόρειο Θεώρημα προκύπτει: υ +ΔΜ =(μ α ), άρα: β +γ = +μ α ο β -γ =ΔΜ. α β -γ = υ + +ΔΜ +ΔΜ. α -(υ + +ΔΜ -ΔΜ. α)= =υ + +ΔΜ +ΔΜ. α-υ - -ΔΜ +ΔΜ. α=*δμ * α 36

37 Πρόταση 10 η Θέμα : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1 ο Δείξτε: ο Δείξτε : 3 ο Δείξτε : Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Γιώργος Κλαδάκης Νίκος Μενάγιας 37

38 Λύση 1 ο ( ) ( ) 1 38

39 ο Στο ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο από το μεγάλο Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε: Άρα: 1 οπότε : 1 δηλαδή 1 39

40 3 ο Στο ΔΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο(δ=90 ) από το θεόρατο Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε : Επίσης: ( ) ( ) ( ) (1) Στο ΑΔΓ ορθογώνιο τρίγωνο (Δ=90 ) από το χαρισματικό Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε : () 40

41 Στο ΑΔΓ ορθογώνιο τρίγωνο : οπότε (3) Η σχέση (1) γίνεται : Λαμβάνοντας υπόψη την () έχουμε : Και από την (3) παίρνουμε: δηλαδή και τελικά : 41

42 Πρόταση 11 η : Αν Ε είναι το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ και τ η ημιπερίμετρος αυτού του τριγώνου δείξτε : (τύπος του Ήρωνα) Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Γιάννης Μαστργιάννης Αθανάσιος Μπούφης 4

43 Λύση Χρησιμοποιώ τα δεδομένα της πρότασης 10 Καταρχήν δεν μπορεί να είναι όλες οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ μεγαλύτερες ή ίσες της ορθής. Ας πούμε ότι η τότε; 43

44 και Τελικά : 44

45 Πρόταση 1 η : Σε ορθογώνιο ΑΒΓ ( με ΑΒ= γ, ΑΒ= β, ΒΓ= α, φέρουμε το ύψος ΑΔ=u. Δείξτε : Οι παραπάνω αποδείξεις να γίνουν τριγωνομετρικά Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Σωτηρία Καμπόλη Ευάγγελος Αρμακάς 45

46 Στο τρίγωνο ΑΔΒ το συν = και στο τρίγωνο ΑΒΓ το συν = άρα: = α* ΒΔ = γ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ το συν = και στο τρίγωνο ΑΒΓ το συν = άρα: = -> β =α*γδ 46

47 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΑ εφ = = και στο τρίγωνο ΑΔΒ εφ = = όμως είναι οπότε: εφ = εφ -> ΒΔ*ΓΔ=υ Διευκρινήσεις 1)το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γωνία Α ορθή Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: β + γ = α ) Α Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ τότε * Ε=β*γ και *Ε=α*υ οπότε: β*γ=α*υ 47

48 Πρόταση 13 η : 1 ο Αν Ζ σημείο της ευθείας ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και ΑΖ διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας δείξτε: ο Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ < ΑΓ Μ είναι σημείο της ευθείας ΒΓ προς την πλευρά της Β ώστε δείξτε ΑΜ διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Δημήτρης-Μελέτης Μακρής Παναγιώτης Χατζηπαντελής 48

49 Λύση 1 0 Αν υ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και x είναι η απόσταση του Ζ από την ευθεία ΑΒ τότε : Ε (ΑΖΒ) = Ε (ΑΖΒ) = * * x Οπότε : * * x άρα ΖΒ*υ=ΑΒ*x δηλαδή 49

50 ZB= x* Αν x 1 είναι η απόσταση του Ζ από την ευθεία ΑΓ τότε x=x 1 διότι κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας : Ε (ΑΖΓ)= Ε (ΑΖΓ) = * * x Οπότε : * * x άρα ΖΓ*υ=ΑΓ*x δηλαδή ΖΓ= * x Τελικά : = x* * x = * * x * * x = 50

51 0 ΑΜ διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της Ονομάζω x την απόσταση του Μ από την ευθεία ΑΓ και y την απόσταση του Μ από την ΑΒ. Και : Ε (ΑΒΜ) = * y * Ε (ΑΒΜ) = επομένως : * y = * δηλαδή : y*αβ=υ*μβ άρα ΑΒ= * y 51

52 Ε (ΜΑΓ) = x* * Ε (ΜΑΓ) = οπότε : x* * = επομένως x*αγ=υ*μγ δηλαδή ΑΓ= * x Έτσι: * = y * = * * x * * y x * x = * y Όμως γνωρίζουμε ότι = οπότε από την σχέση έχουμε : x=y ΑΜ είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας = * y * x 5

53 Πρόταση 14 η : 1 ο Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ και Ε το εμβαδόν του δείξτε : ο Αν ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ και Ε το εμβαδόν του δείξτε : του ΑΒΓ Ο Ι Λ Υ Τ Ε Σ Βαλεράς Όθωνας Καλύβας Αλέξανδρος 53

54 1o αφού είναι εγεγραμένες γωνίες του ίδιου κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο. επειδή είναι εγεγραμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο. Τελικά : 54

55 ο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα: ( ) ( ) ( ) ( ) Τελικά : 55

56 56