VERSION :00. α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "VERSION :00. α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο"

Ιππόλυτος Βλαβιανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 VERSION :00 _18975 α) Γνωρίζουμε από την Α Λυκείου 5.7 ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Εστω ΑΖ η τρίτη διάμεσος. Αφού ΔΕ//ΒΓ από θεώρημα Θαλή έχουμε: 3 3 Αφού ΔΕ//ΒΓ από θεώρημα Θαλή έχουμε: β)

2 _18984 Ι : : 6 5 Αρα θα είναι ανάλογες κι επειδή και ˆ ˆ από το ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια οπότε οι πλευρές τους IΙ. Αρχικά παρατηρώ ότι τα δύο τρίγωνα έχουν ˆ ˆ. Είναι ˆ ˆ. ˆ ˆ οπότε μένει να εξετάσω μήπως ˆ ˆ 180 ˆ 180 ˆ ˆ ˆ Πράγματι λοιπόν ˆ ˆ οπότε τα τρίγωνα είναι όμοια από το 1 ο κριτήριο ομοιότητας. Επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και μάλιστα για να γράψουμε σωστά την αναλογία, προσέχουμε έτσι ώστε ομόλογες (στο ίδιο κλάσμα-λόγο) πλευρές να είναι αυτές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες.αρα

3 IΙΙ. Προφανώς αφού ΑΒ=ΑΓ και ΔΕ=ΔΖ θα έχουμε: (1) Επειδή επιπλέον και ˆ ˆ από ο κριτήριο ομοιότητας τα δύο τρίγωνα είναι όμοια οπότε έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, οπότε η (1) συμπληρώνεται ως εξής:

4 _18990 Αν ΑΒ//ΔΕ τότε: ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ και των παραλλήλων ΑΒ και ΔΕ που τέμνονται από την AE ˆ ˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΔΕ που τέμνονται από την ΒΔ Αρα από 1 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια. β) 1 Αρα κι επειδή ˆ ˆ ως κατακορυφήν από ο κριτήριο ομοιότητας τα τρίγωνα είναι όμοια.

5 _18993 Aφού και η μόνη αναλογία που θα μπορούσε να ισχύει για τις πλευρές των τριγώνων θα ήταν: Υπολογίζω κάθε όρο χωριστά και απλοποιώ ώστε να έχω ανάγωγο (μη περαιτέρω απλοποιήσιμο) κλάσμα: : : 6 8 Aρα δεν ισχύει η αναλογία οπότε δεν είναι όμοια.

6 _18997 Αν Κ είναι το σημείο που το κέντρο της βάσης του κουτιού ακουμπάει στο κεκλιμένο επίπεδο τότε τα τρίγωνα ΔΑΚ και ΒΑΓ ειναι όμοια γιατί έχουν: ˆ κοινή ˆ ˆ 90 Επομένως από το 1 ο κριτήριο ομοιότητας τριγώνων αυτά είναι όμοια οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες δηλαδή: Αντικαθιστούμε με τα μήκη και τον συμβολισμό του σχήματος και έχουμε: s y 0 5 Αν αποσπάσουμε τα δύο τελευταία μέλη της αναλογίας έχουμε:

7 s 5 y y s s s Για y=3: s 8 4 Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΚ έχουμε: y s _19005 α) Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου γνωρίζουμε πώς 3 4 άρα 3 4 β) Ισχύει Αρα από το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος ΑΒΓ ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΒΓ.

8 _19011 Τα τρίγωνα ΣΒΓ και ΣΔΒ έχουν: ˆ ˆ ως εγγεγραμμένη και γωνία χορδής και εφαπτομένης που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο. ˆ κοινή Αρα από 1 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια, οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες Τα τρίγωνα ΣΑΓ και ΣΔΑ έχουν: ˆ ˆ ως εγγεγραμμένη και γωνία χορδής και εφαπτομένης που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο. ˆ κοινή Αρα από 1 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια, οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες

9 _19015 α) Αφού ΔΕ//ΒΓ από Θεώρημα σ. 153 (Σημαντική εφαρμογή Θαλή) τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν τις πλευρές τους ανάλογες άρα από 3 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια. Φυσικά θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι είναι όμοια επειδή έχουν την ˆ ˆ κοινή και ˆ ˆ ως εντός εκτός εναλλάξ των παραλλήλων ΔΕ και ΒΓ που τέμνονται από την ΔΒ. β) γ) H και δεδομένου ότι ΑΒ=4+5=9 έχουμε: ,5 6 x x x 3 x

10 _19017 Σχηματίζω τον λόγο των μικρότερων και τον λόγο των μεγαλύτερων πλευρών των τριγώνων που μας δίνονται: 8 8: : : : 6 3 Αρα κι επειδή και οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες (ορθές) τα τρίγωνα από το ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια.

11 Αρα θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Επομένως αφού 4 3 θα είναι και : Aρα σωστή είναι η σχέση iii.

12 _19019 α) Είναι ˆ ˆ 1 ως κατακορυφήν και ˆ ˆ 1 1 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΔΓ που τέμνονται από την ΑΓ. β) Αρα από 1 ο κριτήριο ομοιότητας τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Από αντικαθιστώντας με τα αριθμητικά δεδομένα παίρνω: Από αντικαθιστώντας με τα αριθμητικά δεδομένα παίρνω:

13 _1901 Σημείωση:Αν α<β και γ<δ τότε 1 1 οπότε πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη γι αυτό και η μόνη περίπτωση να υπάρχει αναλογία είναι να πάρουμε τον λόγο των μικρότερων πλευρών, των μεσαίων και των μεγαλύτερων για να δούμε αν είναι ίσοι. α) Αρα και επειδή ˆ ˆ 90 από ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια.

14 Ο λόγος ομοιότητας του ΚΛΜ προς το ΔΕΖ είναι 3. Υπολογίζω την γωνία ˆ. ˆ Αρα τα ισοσκελή τριγωνα αυτά δεν είναι όμοια αφού δεν είναι ίσες οι γωνίες που περιέχονται στις ίσες πλευρές καθενός.

15 _1903 α) Ομόλογες θα είναι οι πλευρές που έχουν ως προσκείμενες ίσες γωνίες. Αρα αφού ˆ ˆ και ˆ ˆ 90, ομόλογες θα είναι οι πλευρές ΑΒ και ΚΛ οπότε ο λόγος ομοιότητας του ΑΒΓΔΕ προς το ΚΛΜΝΡ θα είναι: β) x 18 3x 18 x x 6 x γ) Η περίμετρος του ΚΛΜΝΡ= = =69 Ο λόγος των περιμέτρων των όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητας (Θεώρημα σ.171) οπότε: Περίμετρος ΑΒΓΔΕ Περίμετρος ΑΒΓΔΕ (περίμετρος του ΚΛΜΝΡ)= Περίμετρος ΚΛΜΝΡ

16 _1904 Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος, το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου. Από το σημείο Δ φέρουμε την παράλληλη προς τη ΒΕ η οποία τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) (Μονάδες 10) (Μονάδες 10) (Μονάδες 5) α) Eπειδή ΔΕ//ΒΓ, από θεώρημα Θαλή έχουμε: (1) β) Επειδή ΔΖ/ΒΕ από θεώρημα Θαλή έχουμε: () γ) Η (1) γράφεται ισοδύναμα (3) Η () γράφεται ισοδύναμα (4) Επειδή τα δεύτερα μέλη των (3) και (4) είιναι ίσα, θα είναι και τα πρώτα ίσα:

17 _1906 α) Επειδή ΔΕ//ΑΓ από Σ.Ε.Θ έχουμε: β) Επειδή ΔΖ//ΑΒ από Σ.Ε.Θ έχουμε: γ) α), β) 1

18 _1908

19 _19030 α) Τα τρίγωνα έχουν ˆ ˆ 90 και ˆ ˆ 1 επειδή Οδ διχοτόμος άρα από 1 ο κριτήριο ομοιότητας είναι όμοια.επομένως θα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. (1) β) Παίρνουμε μόνο την αναλογία με τα δύο πρώτα μέλη της και έχουμε:.ομως ΟΒ=ΟΑ οπότε: Ομως δίνεται ΟΒ=ΟΑ οπότε αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση παίρνουμε:.

20 _19031 α) Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΔΒ έχουμε: οπότε αντικαθιστώντας με τα αριθμθητικά δεδομένα παίρνουμε: β) Στο τρίγωνο ΔΒΓ επειδή ΖΕ//ΒΓ από το θεώρημα του Θαλή έχουμε: οπότε αντικαθιστώντας με τα αριθμθητικά δεδομένα παίρνουμε:

21 _19033 α) Από αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή είναι ΕΖ//ΔΒ. καθώς και ΘΗ//ΔΒ Αρα τελικά ΕΖ//ΘΗ//ΔΒ. β) Από την σημαντική εφαρμογή του Θαλή θα είναι και γ) Αφού ΕΖ=ΘΗ και ΕΖ//ΘΗ, το τετράπλευρο ΕΖΗΘ έχει δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες οπότε θα είναι παραλληλόγραμμο.

22 _19033 α) Επειδή ΔΕ//ΒΓ από Σ.Ε.Θ τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές ανάλογες άρα είναι όμοια β) Επειδή ΔΕΖΒ παραλληλόγραμμο θα είναι ΔΕ=ΒΖ οπότε έχουμε: 3

23 _19036 α) Επειδή ΑΒ//ΓΔ από Θεώρημα Θαλή έχουμε: και αντικαθιστώντας με τις δοθείσες τιμές παίρνουμε: β) Επειδή ΒΜ//ΑΔ από Θεώρημα Θαλή έχουμε: και αντικαθιστώντας με τις δοθείσες τιμές παίρνουμε:

24 _19038 Φέρνουμε τα τμήματα ΔΑ και ΓΟ. Η γωνία ˆ είναι ορθή ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.για τον ίδιο λόγο είναι ορθή και η γωνία ˆ. Αρα τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΟΓΒ έχουν την γωνία ˆ 1 κοινή και ˆ ˆ. β) Ο λόγος ομοιότητας είναι Ο λόγος των εμβαδών τους ως γνωστόν είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. Αρα

25 _19040 α) Αφού ΒΓ=5 και ΔΒ=3 θα είναι ΔΓ=.Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: και αντικαθιστώντας με τα αριθμητικά δεδομένα έχουμε: β) Από θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου στο ΑΒΓ έχουμε: και αντικαθιστώντας με τα αριθμητικά δεδομένα έχουμε: Αρα ΔΕ=ΕΓ+ΓΔ=10+=1

26 _19041

27 _1904 α) Από 1 ο θεώρημα διαμέσων (9.5 σ.195) έχουμε: Αντικαθιστώντας με τα αριθμητικά δεδομένα έχουμε: β) Η μεγαλύτερη πλευρά είναι η α=7 και Αφού συμπεραίνουμε ότι ˆ 90 δηλαδή το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

28 _19043 α) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΑΓ έχουμε: Αρα β) Από θεώρημα IV (9. σ.184) έχουμε: γ) μονάδες εμβαδού 5

29 _19045 α) Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε: β) Αφού

Σχετικά έγγραφα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος