1.3 Εσωτερικό Γινόμενο
|
|
- Μαργαρίτες Ανδρέου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γιν όμεν α: i) ΑΒ ΓΑ ii) ΒΑ ΒΓ 4 Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος είναι ισόπλευρο πλευράς 4 Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: i) ΑΔ ΒΓ ii) ΑΒ ΑΓ iii) ΑΒ ΓΒ iv) ΑΔ v) ΑΓ vi) ΑΔ ΑΓ vii) ΑΔ ΓΑ 149
2 5 Να βρείτε το α, β, αν είναι γνωστό ότι: i) α =, β = 4 και α + β = 5 ii) α + 5β = 10 και α 5β = 5 6 Αν α = (, ) και β = ( 4,10) να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β, 7 Αν α = (, ), β = (,8), γ = (, ), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i) α β, αγ, βγ ii) ( α β) γ και α ( βγ ) iii) ( α β) γ και α ( βγ ) αi, β j π 8 Αν α =, β = και (α ^ β )=, να βρείτε τους αριθμούς : 1 ι) α β ιι) α ιιι) (α - β ) (α + β ) ιv) (α - β ) 9 Να υπολογιστεί το γινόμενο α β στις παρακάτω περιπτώσεις: α) α = 1, β = και ( α, β ) = π 6 β) α =, β = και ( α, β ) = 75 γ) α =, β = 1 και ( α, β ) = Δίνονται τα διανύσματα α) α β β) α + β γ) ( α + β ) δ) ( α + β ) (4 α - 5β ) α και β με ( α,^ β ) = π 6 Αν α = και β = να βρεθούν: 1 1 Η γωνία των διανυσμάτων α και β είναι ίση με 60 ο και ισχύει ( α + β) ( α β), α + β = 7 Να βρείτε τα μέτρα των α και β καθώς και 150
3 1 Αν για τα συνεπίπεδα διανύσματα α, β, γ είναι: α = β = γ = 1, να βρεθούν τα μέτρα: α + 4γ, α + β γ ( α, β ) = π 6 και π ( βγ, ) =, 1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: α =, β = βρεθούν τα μήκη της πλευράς ΑΒ και της διαμέσου ΓΜ 14 Αν για τα διανύσματα: α, β είναι: υπολογισθούν τα μέτρα: α και β, όπου: ΑΒ= γ, ΒΓ= α, ΓΑ = β και π Γ = Να π ( α, β ) =, α + β α β και α + β = 7, να π 15 Αν α =1, β = και (α ^ β )=, να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος: γ =α - β 4 + β αν ( α ^ β ) = ( β ^ 16 Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος α + γ γ ) = π και α =, β = 4 και γ = 17 Αν β = α = ν = α β β + α β 18 Αν α =, β = 1 19 Αν α = 1 ν = α β + γ, β = και (, ) π αβ =, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος και α β =, να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος ν = α β, γ = 4 αβ, = βγ, = γα, = 60, να βρείτε το μέτρο του διανύσματος και 0 0 Αν α = α β + γ, β =, γ = 6 π και ( αβ, ) =, 5π βγ, =, (, ) 6 π αγ =, να υπολογίσετε το 6 α = ( 1, ) 1 Δίνονται τα διανύσματα υπολογίσετε το ΒΓ και β = ( 0,1) Αν ΑΒ = α β και ΑΓ = α β, να 151
4 Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν: α β, ( α + β) ( α β) και α β =, να βρείτε τα α, β π Αν για τα διανύσματα ισχύουν ( αβ, ) =, ( α β ) ( α + β ) α, β να υπολογίσετε τα μέτρα των α, β και α β = Αν Α(4, 1), Β(8, ), Γ(1, ), να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΒ, ΑΓ είναι αμβλεία α = 1, 0 7 και β =, λ Αν ( αβ, ) = 15, να βρεί τε το λ 5 Δίνονται τα διανύ6σματα 6 Έστω τα διανύσματα α = (, 6), β = (, 1) Να βρεθεί η γωνία ( α, β ) 7 Αν για τα διανύσματα α και β ισχύουν α = γωνία α, α β, β = α,β = 45 και 0, να υπολογιστεί η π 8 Αν: α = β και α β, α =, να βρεθεί η γωνία: α, β 4 9 Αν τα διανύσματα α = u + ν και β = 7u + 4ν είναι κάθετα και u = 1, ν =, να βρείτε τη γ ωνία θ των διανυσμάτων u και ν π 0 Αν α = β =1 και (α ^ β )=, να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων : α + β, α - β 1 Αν α = β = 1 και ( α, β ) = π να υπολογιστεί η γωνία των u = α + 4 β, v = α - β Να βρείτε την γωνία των διανυσμάτων α =(,1) και β =(+,1- ) Αν u (- -, ) κ αι v (- 1 -, ) και ο < ( u, v ) < π να αποδείξετε ότι: ( u, π v ) = 1 15
5 4 Αν, 1), να βρείτε το x, ώστε ( α, α = ((x-1), x) και π β = (- β ) = 5 Έστω δύο διανύσματα α και β με α =1, β = και (α ^ β )= π Αν δ = α + β, να υπολογίσετε τις γωνίες (δ ^α ),(δ ^ β ) 6 Να αναλυθεί το διάνυσμα ν =(,5) σε δύο συνιστώσες, μιας παράλληλης προς το διάνυσμα α =(1,) και μία κάθετη προς αυτ ό 7 Δίνονται τα διανύσματ α α = (, - 4) και β = (5, 10) Να αναλύσετε το διάνυσμα β σε δύο κ άθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α 8 Αν: α = ( 4, και β = ( 1, ), να αναλυθεί το α σε δύο κάθετες συνιστώσες: α 1, α, ώστ ε: α // β ) 9 Αν: α = (,) α β, β = ( 1, 4) 40 Δίνονται τα διανύσματα α ( 9,1 ), β ( 5,), να αναλυθεί το α σε δύο συνιστώσες: α 1, α, ώστε : α 1 // α + β και και γ (, 4) συνιστώσ ες u και ν παράλληλες αντίστοιχα προ ς τα διανύσματα β και γ 41 Δίνονται τα διανύσματα α ( 19, 4 ), β (,1) συνιστώσες u και και γ ( 1, ) ν κάθετες αντίστοιχα προς τα διανύσματα β και γ Να αναλυθεί το διάνυσμα α σε δύο Να αναλυθεί το διάνυσμα α σε δύο 41 Δίνονται τα σημεία Α(-,) και Β(1,1) Να βρείτε σημείο Γ του άξονα y'y για το οποίο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ 4 Αν α = ( α 1, α ), α 1 β - α β 1 = - 4 β = (β 1, β ) με α = β = και α β να αποδείξετε ότι ισχύει α 1 β - α β 1 = 4 ή 4 Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα ( α β )γ -( α γ ) β είναι κάθετο στο α 44 Θεωρούμε τα διανύσματα α και β με α =, β = 6 Να οριστεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα διανύσματα α + λβ και α - λβ να είναι κάθετα 15
6 45 Αν τα διανύσματα α και β έχουν ίσα μέτρα και είναι κάθετα να αποδείξετε ότι τότε και τα διανύσματα α + β, α - β είναι κάθετα 46 Δείξτε ότι τα διανύσματα 47 Να δείξετε ότι το διάνυσμα α = ( β β )α -(α β ) β, β είναι κάθετα μεταξύ τους βx β β - x είναι κάθετο στο β για κάθε διάνυσμα x 48 Σε καθεμιά από κάθετα μεταξύ τους α) β - ( ) αβ α και β β τις παρακάτω περιπτώσεις, να εξετάσετε αν τα διανύσματα που δίνονται είναι β) ( β α ) γ - γ ( α β ) και α γ) β - ( α ) β α α και α 49 Να βρείτε τις τιμές του x ώστε τα διανύσματα α = ( x,1), β = ( 4 x, 1), να είναι κάθετα 50 Να δείξετ ε ότ ι γι α κάθε λ τα διανύσματα α = ( λ, λ 1), β = ( λ+, 1) δεν είναι ορθογώνια 51 Αν α και β μ η παράλληλα να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: α ) α = β ( α β) ( α + β) γ) α β = α + β α β β) α + β = α β α β δ) α + β = α + β α β 5 Να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: ( αβ, 0) α β α β α) + = ( α + β) ( α β) α α α β α β + α β ) 1 = ( α + β) ( α β) α α α 154
7 5 Να αποδειχτούν οι συνεπαγωγές: α) αβ, 0, α ( α β) α β β) α, β, γ 0, α ( β γ), β γ α γ β α 54 Αν ( αβ, ) = x, ( βγ, ) = y, ( γα, ) = z και τα διανύσματα u = ( αγ) β ( αβ) γ ν = αγ β βγ α είναι κάθετα μεταξύ τους να αποδειχτεί α γ ή συν z = συν xσυν y και 55 Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων α και β όταν είναι: α β = 7, αβ, = 60 ο α + β α β α) γ) α ( ), και 56 Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε να είναι κάθετα τα διανύσματα: α x +,, β ( 4, x + 5) β) α ( x +, x) β x 1, x+ 5 x,1 x β x+, x+ 10 α x + 4, β x,1 x, δ), 57 Να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(κ 1, λ ), Β(λ, 1 κ) και Γ( λ, κ 1) είναι ισοσκελές ορθογώνιο με κο ρυφή Α για κάθε τιμή των παραμέτρων κ και λ 58 Να βρ εθεί διάνυσμα με μέτρο κάθετο στο διάνυσμα α =(-,4) νύσματα 59 Δίνονται τα δια u = (-, ) και v = (4, - ) Να βρείτ ε το διάνυσμα w ώστε να είναι w ( v - 5 u ) 60 Δίνονται τα διανύσματα α =(,-), β =(, -6), γ =( 1, σ υνδυασμός των α, β που έχει μέτρο και είναι κάθετο στο γ 61 Έστω τα δι ανύσματα α = ( 1, ), β = ( 1, ) ν = κα + λβ που είν αι κάθετα στο γ και έχουν μέτρ ο 5 6 Έστω τα διανύσματα α = ( 4, ) γ α β και γ = α ( ) 6 Αν ( 5, ) και γ = ( 4, ) ) Να βρεθεί γραμμικός Να βρείτε τα διανύσματα και β = (,7) Να βρείτε διάνυσμα γ ώστε να είναι α = και β = 7,, να βρείτε το διάνυσμα x ώστε: α x = 8 και β x = 0 155
8 64 Έστω τα διανύσματα α = (, ) και β = (, ) Να βρεθεί διάνυσμα γ, ώστε γ ( α + β) γ = 10 α + β και 65 Να βρεθεί το διάνυσμα u, αν είναι γνωστό ότι u α = 18 β = ( 4,6) και uβ = 1 66 Να βρείτε διάνυσμα u μέτρου 5, ώστε uα = 10, όπου α = (, 1) 67 Έστω i α = + j Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα u = στο α 68 Αν α = (,5) ( x, y) και β = ( 4, ) 69 Nα εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα: ( α β ) 70 Να εξετάσετε πότε από την ισότητα, να βρείτε διάνυσμα u, ώστε u // α και = α β α β = α γ προκύπτει β =γ, ό που α = (, ) και, με xy,, το οποίο είναι κάθετο uβ = Αν για τα δια νύσματα α και β ισχύουν β = α και α + β = α, δείξτε ότι τα α και β είναι αντίρροπα 7 Αν ισχύει α = β = α + β, να αποδείξετε ότι α β = α 7 Αν είναι β = α κα ι α + β = α, να αποδείξετε ότι α β 74 Να δειχτεί ότι: α + β + α + γ + γ + α = α + β + γ + α + β + γ 75 Αν α = β = 1 και α, β = θ να αποδειχτούν οι ισότητες: α) α + β = συνθ και β) α β = ημθ 76 Αν α = π, β = 1/ και α, β = π / να αποδειχτεί ότι: ημ α β + συν α β = β) ημ α β + συν α β = α) 156
9 77 Αν α =, β =, γ = ισότητες: α) α β + α γ = β + γ, = π /6 και ( α β) β), = π /, ( β γ) β γ α = β γ, = π /4, ( γ α) να αποδειχτούν οι 78 Να αποδειχτεί ότι για κάθε x ισχύουν οι ανισότητες: α) x α β x+ α β 0 β) x + α β x+ α β 0 79 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α και β να αποδειχτεί ότι: α) α β = α β α παράλληλο του β β) α β = α β α ομόρροπο του β γ) α β = α β α αντίρροπο του β 80 Να εξεταστεί αν ισχύουν οι σχέσεις: α) α β = α β β) α β = 0 α = 0 ή α β γ α β γ α α = α α = δ) γ) β = 0 81 Για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β να αποδειχτεί ότι: α) α + β = α + β α, β ομόρροπα β) α + β = α β α, β αντίρροπα 8 Δίνονται τα κάθετα και μη μηδε νικά διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει α = β Να βρείτε τ α διανύσματα x, y ώστε: x // α β y α β και x y = α β, β 8 Αν α β, ν = α α και u = β α να αποδείξετε ότι: β i ν α και u = α ii ν + u = α + β 157
10 84 Για τη μη μηδενικά διανύσματα α και π β είναι γνωστό ότι αβ, = 6 α + xβ = έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Να αποδείξετε ότι 0< α < 4 85 Αν α =, β =1 και ( αβ, ) = 60 ο, να λυθεί η εξίσωση x α β x+ ( α + β) = 1 και ότι η εξίσωση 86 Δίνο νται τα μοναδιαία διανύσματα α και β, με ( α, β ) = π Να βρείτε διάνυσμα x, τέτοιο ώστε x //( α + β ) και β ( α + x ) 87 Αν α = γ +δ, γ // β και δ β (β 0), να εκφράσετε τα γ,δ με την βοήθεια των α, β 88 Αν α = (1, ) και β = (, 4) να βρεθούν τ α διανύσματα p και q ώστε να ισχύουν συγχρόνως: α) α = p + q β) p // α γ) q β 89 Αν β 0 και α = p + q με p // β και q β να αποδειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) p αβ = β β β ) q = αβ α - β β π 90 Αν α =, β =1 (α ^ β )=, να βρεθεί διάνυσμα χ για το οποίο ισχύει: χ //α - β και α ( β + χ ) 91 Α ν Α(-,1), Β (4, 8), Γ(10,6) είναι κορυφές τριγώνου ΑΒΓ, να υπολογιστεί το διάνυσμα προβ ΑΓ ΒΓ 9 Δείξτε ότι αν α, β 0, τότε ισχύει : προβ α β = προβ β α α β ή α = β 158
11 Να ρείτε την προβολή του διανύσματος 9 β α = ( 1, ) 94 Αν α = 1, στο διάνυσμα α στο διάνυσμα β = (, 4) 0 β = και ( αβ, ) = 60, να βρ είτε την προβολή του διανύσματος ν = α β πάνω 95 Αν τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του ν = α + β πάνω στο u = α β 96 Αν α = ( 1, ), β = ( 4,) ν α β α β να βρείτε την π ροβ ν α και = ( ) 97 Έστω α = ( 4, ) και β = ( 1, ) Να υπολογίσετε το προβ α β α ( ) 98 Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(,-1), Γ(,1) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y), αν ισχύει : ΜΑ ΒΓ = ΑΒ ΑΓ 99 Δίνονται τα σημε ία Α,Β (Α Β) ενός επιπέδου P Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του P, αν ισχύει : ΜΑ=ΜΒ 100 Αν α, βγ, μοναδιαία και ισχύει α β + γ = 0, να υπολογίσετε την παράσταση: Α= α β + β γ + γ α 101 Θεωρούμε τα διανύ σματα α, β, γ με α + β - γ = 0 Αν α =, β = και γ = 5 υπολογίστε το: α β + β γ + γ α 10 Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα α + β και α 0 β, αν α =1, β = και ( αβ, ) =
12 0 10 Αν α = 1, β =, ( αβ, ) = 60 και α + β + γ = 0, να υπολογίσετε: i το γ ii το α γ + β γ 104 Αν είναι α + β + γ = 0 και α = β = γ = 1, να αποδείξετε ότι α β = β γ = γ α = 105 Αν α = β = γ =1 και α + β +γ = 0, να βρείτε: ι) την τιμή της παράστασης Α= α β + β γ + γ α ιι) τι ς γων ίες των α, β,γ ανά δύο 106 Έστω τα διανύσματα α, β με μέτρο 1 Αν τα διανύσματα γ =α +4 β και δ =α - β π σχηματίζουν γων ία, να βρείτε την γωνία των α, β, και β = α > Να βρεθεί η γωνία φ των α και β αν α( α + β) = Αν για τα διανύσματα α, βγ, ισχύει α + β γ = 0 και γ = β 109 Έστω τα διανύσματα α, β με α = και ότι για κάθε κ, λ ισχύει ( κα + 4λβ ) ( λα κβ ) i Να αποδείξετε ότι: α β ii Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων β και α β, να δείξετε ότι: α ( α + 6β) 110 Αν α = β = γ 0, α ( β γ) S = συν α, β + συν β, γ + συν γ, α,, β ( γ α) γ α β ( ) να βρεθεί το άθροισμα 111 Τα κάθετα διανύσματα α και β έχουν μέτρα και 4 αντίστοιχα Να βρεθεί διάνυσμα γ με μέτρο 1 που διχοτομεί την γωνία τους 11 Δίνονται τα διανύσματα α = (1, ), β = (, - 1) και γ = (- 1, 0) Να βρείτε όλα τα διανύσματα v με v = 10, v γ κ αι v = λ α + μβ, λ, μ R 160
13 ϕ 11 Αν α = β =1 και (α ^ β )= ϕ, να αποδείξετε ότι : α + β = συν 114 Να αποδειχτούν οι ισοδυναμίες: α) α + β < α β ( α, β) > π / α + β > α β α, β < π / β) 115 Αν τα διανύσματ α α και β δεν είναι μηδενικά και ισχύει α ( α + β) = α α + β ότι είναι παράλληλα να δειχτεί 116 Αν για τα μη μηδενικά διανύσματ α α και β ισχύει αβ+ βα= 0, να αποδείξετε ότι α β > α + β 117 i) Να εξετάσετε πότε ισχύε ι α β = α + β ii) Για τα μοναδιαία διανύσματ α α, β, γ ισχύει αβ + βγ 6αγ = 7 Να αποδείξετε ότι: α) β = α + γ β ) β = γ = α 118 Έστω τα διανύσματα α, β με α = β i Να αποδείξετε ότι: α β 0 x // α β ii Να βρείτε διάνυσμα x ώστε: αβ, = 10 και Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, βγ, αποδείξετε ότι: i β = α ii β γ και α ( β x) ισχύει α + β + γ = 0 και β γ α = =, να β γ 10 Αν για τα μη μηδενικά διανύσ ματα α, βγ, ισχύει ότι: α + β + γ = 0 και α = =, να 4 αποδείξετε ότι: i β = α ii α γ 11 Για κάθε διάνυσμα α του επιπέδου, να αποδείξετε ότι: α =(α i )i +(α j ) j 161
14 ισχύει: 1 Έστω ότι για τα μη μ ηδενικά διανύσματα α, β α β α = α β i Να αποδείξετε τα α, β είναι συγγραμμικά ii Αν τα διανύσματα ν,u έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης: α ( β) + β = ν // u x α x 0, να αποδείξετε ότι 1 Αν α =, β = κα ι α + β =, να βρεθούν οι τιμέ ς του λ για τις οποίες η εξίσωση xα + β = λ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες 14 Δίνονται τα μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους διανύσματα α, β Να βρείτεα, β τα διανύσματα x και y για τα οποία x // α β y α 4β και x+ y = α + β, 5 Αν 1 α // β και γ = λα + μβ, να αποδείξετε την ισοδυναμία 16 Θεωρούμε τα διανύσματα α, β με ( αβ, ) = 60 ο και i) Να βρεθεί το διάνυσμα x για το οποίο ( x α ) // β ii) Να βρεθεί το x α = γ // α + β λ = μ β =1, x + β α + και // 17 Αν α 0, να λυθεί η εξίσωση ( α + α ) x = ( αx α ) α 18 Αν ισχύουν β α = 1, αα+ ββ = 1 και ( αβ, ) = 60 ο να βρείτε το α β 4, 19 Αν α = ( 1, ), β = ( ) 10 Αν αβ, 0 και ισχύουν: 4 προβ λα + β = β, να βρείτε το λ 5 και ισχύει: β α β = α κ προβ α β α, να βρείτε το x αι ( + x ) = ( x) α 11 Αν α = 1, β = π αβ =, να βρείτ λ ώστε και (, ) προβ λα β α ε το : ( + ) = α 16
15 Αποδείξτε το πυθαγόρειο θεώρημα 1 1 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με διάμεσο ΑΜ, να αποδείξετε ότι : 1 ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΓ (πρώ το θεώρημα διαμέσων) 14 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ύψος ΑΔ και την διάμεσο ΑΜ Να αποδείξετε ότι : ΑΒ - ΑΓ = ΔΜ ΓΒ (δεύτερο θεώρημα διαμέσων) 15 Στο τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ ι) Να αποδείξετε ότι ΒΑ + ΒΑ ΑΓ= ΒΔ ΒΓ ιι) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α, τότε να αποδειχθεί ότι : ΑΒ = ΒΓ ΒΔ 16 ι) Σε κάθε τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδειχθεί ότι : ΑΒ + ΓΔ - ΒΓ - ΑΔ = ΑΓ ΔΒ ΑΒ ιι) Να απ οδείξετε την ισοδυναμία : ΑΓ ΔΒ + ΓΔ = ΒΓ + ΑΔ ιιι) Αν είναι γνωστά τα μήκη των πλευρών και των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου, να υπολογίσετε την γωνία των διαγωνίων του 17 Αν ΑΔ είναι διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Α =90), να αποδείξετε ότι : ΑΔ ΒΓ 1 = 18 Δίνονται τα σημεία Α και Β με ΑΒ = 4 ισχύει: ΒΜ ΒΜ ΒΑ = 9 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν 19 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαγώνιο 6 μονάδες Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία ισχύει: ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΔ = Δίνονται τα σημεία Α και Β με ΑΒ = α > 0 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν ΜΑ + ΜΒ = 4ΜΑ ΜΒ 141 Δίνονται τα σημεία Α και Β και ο αριθμός λ > 0 Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου όταν Μ Α + ΜΒ = λ 16
16 14 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΒΓ =, ΑΓ = 5 και ΑΒ = 7 Να υπολογισθεί η γωνία: (, ) ΒΓ ΓΑ 14 Αν α και β είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα και για κάθε κ ισχύει α + κβ α να δειχτεί ότι είναι α β και αντίστροφα 144 Αν οι θετικοί αριθμοί x και y ω συνδέονται με τη σχέση = 1, να αποδείξετε ότι x y α + β xα + y β 145 Αν για τα συγγραμμικά διανύσματ α α, β, γ αβ βγ γα + + = 1 α β β γ γ α να αποδείξετε ότι δύο από αυτά είναι αντίρροπα ισχύει 146 Αν για τα μοναδιαία διανύσματα α, β, γ και τους θετικούς πραγματικούς x, y, ω ισχύει x αβ + y βγ + z γα = x+ y+ z να αποδείξετε ότι α = β = γ 147 Αν είναι α = 1 και 1+ α β = α + β, να αποδείξετε ότι α // β 148 Έστω αβ 0 και α + β + γ = 0 με γ = Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα x, y είναι x = x + yα να αποδείξετε ότι: i) x + y 6 αy+ βx ii) 1 αβ και y = x + y β 164
17 149 α) Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει: α β α β β) Χρησιμοποιώντας το (α) ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης Α = 6x - 8ψ αν x + ψ = 6 γ) με τη βοήθεια του ( α) ερωτήματος αποδείξτε ότ ι: 6ημx -8συνx Έστω α και β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα Αν τα γ και δ είναι ομόροπα με τα α και β αντίστοιχα και έχουν μέτρο 1, να αποδείξετε ότι τα διανύσματα χ =γ + δ και y = β α + α β είναι συγγραμμικά με την διχοτόμο της γωνίας των α, β 151 Να αποδείξετε ότι οι μεσοκάθετοι των πλευρών τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο 15 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξετε ότι : α = β συνγ + γ συνβ 15 Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ,αν ισχύει : ( ΑΒ ΑΓ) ΑΔ = ( ΑΔ ΒΓ ) ΑΒ όπου ΑΔ είναι διάμεσος 154 Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλ ευρές α, β, γ ισχύει α= βσυνγ Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 155 Στο επίπεδο P ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ υπάρχουν τρία τουλάχιστον σημεία Μ διάφορα ανά δύο, ώστε : ( ΜΑ ΜΓ ) ΑΓ = ( ΜΒ ΜΔ ) ΒΔ Δείξτε ότι το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 156 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του για τα οποία είναι: ΑΜ ΑΒ = ΜΑ ΓΑ 157 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το περίκεντρο αυτού Ο Να βρεθεί ο γτ των σημείων Μ του επιπέδου του όταν ΜΒ + ΜΓ = ΜΑ 158 Δίνονται τα σημεία Α και Β και αριθμός λ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου όταν ΜΑ ΜΒ = λ 165
18
AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50
Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να
1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β
1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων
Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β
Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β
Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.
Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά
Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα
Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο
Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε
1,y 1) είναι η C : xx yy 0.
ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.
Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015
Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε
Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /
Διανύσματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / 7 / 0 1 8 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ
Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να
Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων
Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων 1 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y για τα οποία ισχύουν: x+ y= α+ 4 και 4x y= α+ Nδο τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Αν ισχύει η ισότητα MA+ 5ΡΑ = 3ΡΜ+ ΡΒ 4ΓΜ νδο τα σηµεία
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x
Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι
α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α
3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:
Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει
π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
1 x και y = - λx είναι κάθετες
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12
Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η
1.3 Εσωτερικό Γινόμενο
Εσωτερικό Γινόμενο η Μορφή Ασκήσεων: Μας ζητούν να υπολοίσουμε το εσωτερικό ινόμενο δύο διανυσμάτων Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με α =, β = π ( αβ, ) = Να υπολοισθούν τα εσωτερικά ινόμενα: i
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x
Συνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα
Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από
(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία
Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /
Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με
Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε
Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;
= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B
151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β
O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν
Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε y (1)
7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση M ( x, y ) ένα σημείο εκτός αυτής Θέλουμε y να υπολογίσουμε την απόσταση d( M, ε) του ε σημείου M από
ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης
Σημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
1 Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ Αν ισχύει η ισότητα AB + BK- ΒΛ = AM- AK, να αοδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν είναι ΒΔ = κ ΑΒ+ ΑΓ και ΓΕ ( 1+ κ ) = AB+ ΑΓ, να
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
2.1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης
1 Εξίσωση ευθείας-συντελεστής διεύθυνσης 1 Έστω η ευθεία (ε) η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(, μ), Β(5, μ), όπου Να βρείτε το μ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : α) η(ε) σχηματίζει γωνία 135
Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση
Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον
Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0
ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή