a n n! = ea e y2 2 y 0 10E(n A) = = 100 E(k) = n p = = 4.6

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "a n n! = ea e y2 2 y 0 10E(n A) = = 100 E(k) = n p = = 4.6"

Ὡρος Ταμτάκος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Λύσεις Θεμάτων Ιουνίου 200 Ασκηση (20 μονάδες) Οι 7 νάνοι ψάχνουν για διαμάντια στα ορυχεία τους. Στο ορυχείο A τα διαμάντια ανακαλύπτονται σύμφωνα με την κατανομή Poisson με ρυθμό 0 διαμάντια την ώρα (όταν δουλεύουν και οι 7 νάνοι ταυτόχρονα). Η διάμετρος των διαμαντιών είναι μια τυχαία μεταβλητή y = x όπου x ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση εκατοστό. Οι αντίστοιχες τιμές για το ορυχείο B είναι διαμάντι την ώρα, μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση 2 εκατοστά. (α) Υπολογίστε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την διάμετρο των διαμαντιών στο ορυχείο A. ( Εφόσον οι νάνοι δουλέψουν 0 ώρες στο ορυχείο A, ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του αριθμού διαμαντιών που θα βρεθούν από τους 7 νάνους; Ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του αριθμού διαμαντιών με διάμετρο μεγαλύτερη των 2 εκατοστών; (γ) Οι 7 νάνοι ψάχνουν για ένα διαμάντι με διάμετρο τουλάχιστον 4 εκατοστά για να το κάνουν δώρο στην Χιονάτη. Σε ποιο ορυχείο πρέπει να ψάξουν και ποια η πιθανότητα να μην το βρουν μέσα στις πρώτες 0 ώρες δουλειάς; (δ) Γράψτε τον αλγόριθμο σε ψευδοκώδικα που υπολογίζει την παραπάνω πιθανότητα χρησιμοποιώντας γεννήτριες τυχαίων αριθμών που ακολουθούν Poisson rndp() ή κανονική rndn() κατανομή. Υποδείξεις: - ισχύει: n n! = e - για z κανονική τ.μ με μέση τιμή µ z και τυπική απόκλιση σ z ισχύει: P ( z µ z σ z ) = 0.682, P ( z µ z 2σ z ) = 0.954, P ( z µ z 3σ z ) = 0.997, P ( z µ z 4σ z ) = n αριθμός διαμαντιών y διάμετρος α) Η κατανομή της y θα είναι μισή κανονική (το θετικό τμήμα), πολλαπλασιασμένη επί 2. 2 e y2 2 y 0 f y A (y A) = 2π 0 αλλού 0E(n A) = 0 0 = 00 P (y > 2 A) = P (y 2 A) = P ( x 2σ A ) = = Εστω k = αριθμός διαμαντιών μεγαλύτερων των 2cm. Η τυχαία μεταβλητή k είναι δυωνυμική με p = E(k) = n p = = 4.6

2 γ) ορυχείο Α P (y > 4 A) = P (y 4 A) = P ( x 4σ A ) = 0.00 Θέλουμε να υπολογίζουμε τον αναμενόμενο χρόνο εώς ότου βρεθεί το πρώτο διαμάντι μεγαλύτερο των 4cm. Εστω N ο συνολικός αριθμός διαμαντιών που θα βρεθούν εώς ότου βρεθεί το πρώτο διαμάντι μεγαλύτερο των 4cm, που ακολουθεί γεωμετρική κατανομή, καθώς κάθε διαμάντι είναι ένα Bernoulli πείραμα. Εστω t ο χρόνος που απαιτείται για να βρεθούν N διαμάντια. E(N) = p = 000 E(t N) = N λ A E(t N = 000) = = 00 Άρα ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να βρεθεί το επιθυμητό διαμάντι στο ορυχείο Α είναι 00 ώρες. ορυχείο Β Και όπως πρίν: P (y > 4 B) = P (y 4 B) = P ( x 2σ B ) = E(N) = p = 2.73 E(t N) = N λ B E(t N = 2.73) = 2.73 = 2.73 Άρα ο αναμενόμενος χρόνος μέχρι να βρεθεί το επιθυμητό διαμάντι στο ορυχείο Β είναι 2.73 ώρες. Και τελικά πρέπει να ψάξει στο ορυχείο Β. Εστω Ζ το ενδεχόμενο {οι επτά νάνοι δεν βρίσκουν κανένα διαμάντι των επιθυμητών προδιαγραφών στο ορυχείο Β, μέσα σε 0 ώρες}. Εφαρμόζουμε διαμερισμό και κανόνα της αλυσίδας. P (Z) = P (Z, n) = Και χρησιμοποιώντας την υπόδειξη: P (Z n)p (n) = ( 0.046) n 0n e 0 n! = e n n! P (Z) = e 0 e 9.54 = e 0.46 = 0.63 δ) yields = rndp(λ,0000,0); forech line of yields{ dimonds = sum(line); dimeters = rndn(µ, σ,dimonds); if sum(dimeters > 4) == 0 { success++; } } p = success/0000;

3 Ασκηση 2 (20 μονάδες) Δίνετε το τυχαίο διάνυσμα y = x, x 2, x 3 T που ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική κατανομή με διάνυσμα 0 b c 0 d μέσης τιμής µ = 0, 0, 0 T και πίνακα συνδιακύμανσης Σ = 0 0, με αντίστροφο Σ = 0 0 b 0 d 0 c όπου, b, c, d πραγματικοί αριθμοί. (α) Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης των τ.μ. x, x 3. Ποια ανισότητα πρέπει να πληρούν τα, b; ( Υπολογίστε τα c, d συναρτήσει των, b καθώς και την ορίζουσα Σ του πίνακα συνδιακύμανσης (γ) Υπολογίστε την υπό συνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f x3 x,x 2 (x 3 x, x 2 ). (δ) Ποια συνθήκη πρέπει να πληρούν τα, b ώστε οι τ.μ. x, x 3 να είναι ανεξάρτητες υπό συνθήκη x 2 = 0; Οταν ισχύει η συνθήκη αυτή που μόλις υπολογίσατε είναι οι τ.μ. x, x 3 γραμμικά ανεξάρτητες; α) καθώς ρ, θα πρέπει b ενώ επειδή είναι τιμή διασποράς, θα πρέπει > 0 ρ xx 3 = σ x x 3 σ x σ x3 = b = b 0 b c 0 d Σ Σ = I b 0 d 0 c { c + bd = c = d + bc = 0 b 2 2 b d = b 2 2 = c + bd 0 d + bc 0 0 d + bc 0 c + bd Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του 3 3 πίνακα χρησιμοποιούμε τις 2 2 υπο-ορίζουσες. 0 Σ = 0 + b 0 b 0 = 3 b 2 = γ) f x3,x,x 2 (x 3, x, x 2 ) = e (2π) 3 2 ((y µy)t Σ (y µ y)) 2 Σ Οπου: c 0 d (y µ y ) T Σ (y µ y ) = x x 2 x d 0 c x x 2 x 3 = x cx + dx 2 3 dx + cx 3 x x 2 x 3 = = cx 2 + dx x 3 + x2 2 + dx x 3 + cx 2 3 = c(x 2 + x 2 3) + 2dx x 3 + x2 2 f x3,x,x 2 (x 3, x, x 2 ) = (2π) 3/2 ( 2 b 2 ) e 2 (c(x2 +x2 3 )+2dxx3+ x2 2 )

4 έστω z = x, x 2 T Σ z = 0 0 Σ z = 2 Σ z = Σ z 0 0 = 0 0 f x,x 2 (x, x 2 ) = 2π e 2 (x2 +x2 2 ) f x3 x,x 2 (x 3 x, x 2 ) = f x 3,x,x 2 (x 3, x, x 2 ) f x,x 2 (x, x 2 ) δ) Για να είναι υπό συνθήκη ανεξάρτητες, πρέπει να ισχύει: = 2π( 2 b 2 ) f x3 x,x 2 (x 3 x, x 2 = 0) = f x3 x 2 (x 3 x 2 = 0) e 2 (c(x2 +x2 3 )+2dxx3 x 2 ) f x3 x,x 2 (x 3 x, x 2 = 0) = 2π( 2 b 2 ) e 2 (c(x2 +x2 3 )+2dxx3 x 2 ) Θέλουμε από τον εκθέτη να απαλειφθούν οι όροι που περιλαμβάνουν το x, άρα: b 2d = 2 b 2 2 = 0 b = 0 c = b 2 2 = 0 b = 0 Άρα πρέπει b = 0. Υπό αυτή την συνθήκη οι x, x 3 είναι γραμμικά ανεξάρτητες.

5 Ασκηση 3 (20 μονάδες) Ενα τυχαίο σήμα ορίζεται σαν: X(t) = T + ( t), όπου T ομοιόμορφη τ.μ στο (0,). (α) Βρείτε την συνάρτηση κατανομής της X(t) ( Βρείτε την μέση τιμή µ x (t) και την αυτοσυνδιακύμανση C x (t, t 2 ) α) Σε μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή t η ποσότητα T + ( t) είναι το άθροισμα μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας ντετερμινιστικής ποσότητας. Καθώς η T είναι ομοιόμορφη στο (0,), η X(t) είναι ομοιόμορφη στο (0 + ( t), + ( t)) = ( t, 2 t), με ΣΠΠ: {, t x 0 2 t f X(t) (x 0 ) 0, αλλού Και η συνάρτηση κατανομής είναι το ολοκλήρωμα της ΣΠΠ: F X(t) (x 0 ) = x0 f X(t) (y)dy = x0 t dy = x 0 + t, t x 0 2 t 0, x 0 < t F X(t) (x 0 ) = x 0 + t, t x 0 2 t, x 0 > 2 t E(X(t)) = E(T + t) = E(T ) + t = 2 + t = 3 2 t C X (t, t 2 ) = E((X(t ) E(X(t )))(X(t 2 ) E(X(t 2 )))) = = E((T + t t )(T + t t 2)) = = E((T 2 )(T 2 )) = = E((T 2 )2 ) = = E((T E(T )) 2 ) = σ 2 T = 2

6 Ασκηση 4 (20 μονάδες) Θεωρήστε το τυχαίο σήμα: Y (t) = ( 0 + X(t)) cos(2πf 0 t + θ) όπου 0,, f 0 είναι σταθερές X(t) είναι W SS τυχαίο σήμα με μηδενική μέση τιμή και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R X (τ) θ είναι τ.μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο 0, 2π, ανεξάρτητη του X(t) (α) Βρείτε την μέση τιμή του Y (t) ( Βρείτε την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R Y (τ) (γ) Υπολογίστε την πυκνότητα φάσματος ισχύος του Y (t) α) καθώς: E(Y (t)) = E(( 0 + X(t))cos(2πf 0 t + θ)) = E( 0 + X(t))E(cos(2πf 0 t + θ)) = 0 E(cos(2πf 0 t + θ)) = 2π 2π 0 cos(2πf 0 t + θ)dθ = 0 R Y (t, t + τ) = E(X(t)X(t + τ) = E(( 0 + X(t)) cos(2πf 0 t + θ)( 0 + X(t + τ)) cos(2πf 0 (t + τ) + θ)) = γ) = E(( 0 + X(t))( 0 + X(t + τ))) E(cos(2πf 0 t + θ)cos(2πf 0 (t + τ) + θ)) = = E( X(t + τ) + 0 X(t) + 2 X(t)X(t + τ)) 2 E(cos(2πf 0τ)) + E(cos(2πf 0 (2t + τ) + 2θ)) = = E(X(t + τ)) + 0 E(X(t)) + 2 R X (τ) cos(2πf 0 τ) = = 2 ( R X (τ))cos(2πf 0 τ) S Y (f) = F(R Y (τ)) = F( 2 ( R X (τ))cos(2πf 0 τ)) = = 2 F( R X (τ)) F(cos(2πf 0 τ)) = = 2 (2 0δ(f) + 2 S X (f)) 2 (δ(f f 0) + δ(f + f 0 )) = = 4 2 0(δ(f f 0 ) + δ(f + f 0 )) (S X (f f 0 ) + S X (f + f 0 ))

Σχετικά έγγραφα

4 4 2 = 3 2 = = 1 2

4 4 2 = 3 2 = = 1 2 Πιθανότητες και Τυχαία Σήματα Μάθημα 3 ΑΣΚΗΣΗ Εστω ότι έχουμε δύο νομίσματα. Στο νόμισμα A η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Στο νόμισμα B 4 3 η πιθανότητα να έρθει κεφαλή είναι. Δεν είστε σίγουροι ποιο