ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσμός : Ονομάζεται το σύνολο του οποίου θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές : Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμέ έναν πληθυσμό καλούνται μεταβλητές. Συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Χ, Υ, Ζ.. και διακρίνονται σε ποσοτικές και ποιοτικές. Ποιοτικές Μεταβλητές : Οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί. Ποσοτικές Μεταβλητές : Εκείνες οι μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι α- ριθμοί και διακρίνονται σε Διακριτές και Συνεχείς ανάλογα αν παίρνουν μεμονωμένες τιμές ή τιμές μέσα σε κάποιο διάστημα αντίστοιχα. Δείγμα : Όταν μαζεύουμε πληροφορίες από ένα υποσύνολο του πληθυσμού αυτό καλείται δείγμα. Αντιπροσωπευτικό Δείγμα : Εκείνο το δείγμα το οποίο επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μονάδα του να έχει την ίδια δυνατότητα επιλογής. Συχνότητα : Έστω χ =1,, ν δείγμα μεγέθους ν μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Συχνότητα καλείται ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Ισχύει : ν= ν + n... n κ ν 1 + Σχετική Συχνότητα : Καλείται το πηλίκο της συχνότητας ν με το μέγεθος του δείγματος ν. Δηλαδή f = v v και ισχύουν οι σχέσεις : k 1. 0 f 1 και. f f f k = Aθροιστικές Συχνότητες: Όταν εξετάζουμε ποσοτικές μεταβλητές εκτός από τα ν, f υπολογίζουμε τις αθροιστικές συχνότητες Ν και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F. Ισχύουν οι σχέσεις : 1. ν 1 + n +... n k =Ν k. ν k = N k - N k f k= F k -Fk- 1. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

2 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Ανάλογα με την μεταβλητή φτιάχνουμε και τα αντίστοιχα διαγράμματα. Ραβδόγραμμα : Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες με βάσεις στον οριζόντιο ή κατακόρυφο άξονα. Χρησιμοποιείται σε ποιοτικές μεταβλητές. Διάγραμμα Συχνοτήτων : Χρησιμοποιείται για περιγραφή ποσοτικών μεταβλητών. Ενώνοντας τα σημεία (χ, ν ) ή (χ, f ) προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων. Κυκλικό Διάγραμμα : Χρησιμοποιείται τόσο σε ποιοτικές όσο και ποσοτικές μεταβλητές. Τα τόξα του υπολογίζονται σύμφωνα με τον τύπο: ω = n 360 n. Ιστόγραμμα Συχνοτήτων :Χρησιμοποιείται σε ομαδοποιημένα δεδομένα. Α- ποτελείται από ορθογώνια (ιστούς) η βάση των οποίων είναι ίση με το πλάτος της κλάσης και το ύψος είναι τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με την συχνότητα της κάθε κλάσης. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ 1 ο : Εκλογή του αριθμού των κλάσεων ή των ομάδων. Χρησιμοποιούμε τον πίνακα του βιβλίου στην σελ. 7. ΒΗΜΑ ο : Προσδιορισμός πλάτους των κλάσεων σύμφωνα με τον τύπο R c = όπου R είναι το εύρος και κ ο αριθμός των κλάσεων. Στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω αν χρειαστεί. k ΒΗΜΑ 3 ο : Κατασκευή κλάσεων. Ξεκινάμε από την μικρότερη παρατήρηση και προσθέτουμε κάθε φορά το πλάτος. ΒΗΜΑ 4 ο : Γίνεται η διαλογή των παρατηρήσεων. Συχνότητα κάθε κλάσης εδώ καλείται το πλήθος των παρατηρήσεων ν που προκύπτει από την κλάση. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Μέτρα που μας δίνουν τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο ά- ξονα και είναι η μέση τιμή x, η διάμεσος δ, και ( η επικρατούσα τιμή Μ 0 ). Οι τύποι τους φαίνονται στα τυπολόγια. ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Τέτοια μέτρα είναι το εύρος R, η διακύμανση S, η τυπική απόκλιση S, και το ( ενδοτεταρτομοριακό εύρος ). Ομοίως οι τύποι τους φαίνονται στα τυπολόγια. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

3 ΕΥΘΕΙΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ( εκτός ύλης ) Καλείται η ευθεία y = α + β x που προσαρμόζει καλύτερα τα σημεία (x,y) των μεταβλητών Χ, Υ όπου α, β παράμετροι που πρέπει να εκτιμηθούν ώστε η ευθεία που θα προκύψει να δίνει την καλύτερη σχέση εξάρτησης που υπάρχει μεταξύ x, y. ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ( εκτός ύλης ) Η μέθοδος που συνίσταται στον προσδιορισμό των α, β ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων (σφαλμάτων) των (χ, y ) από την ευθεία καλείται μέθοδός ελαχίστων τετραγώνων. Τα δε α, β καλούνται εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ένα από τα σημεία που διέρχεται η ψ = α + β χ είναι το ( x, y ). Γεωμετρική Ερμηνεία της Εκτιμήτριας α : Η τιμή της εκτιμήτριας α παριστάνει την τεταγμένη του σημείου στο οποίο η ευθεία παλινδρόμησης τέμνει τον yy, δηλαδή είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής y για x = 0. Γεωμετρική Ερμηνεία της Εκτιμήτριας β: Με αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής κατά μια μονάδα, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής Υ αυξάνονται ή μειώνονται κατά β μονάδες. (Αν β > 0 έχω αύξηση και μείωση αν β < 0). Η απόδειξη προκύπτει ως εξής: ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω x 1 και x δυο παρατηρήσεις ενός δείγματος με x = x 1 +1, τότε y 1 =α + β x 1 και y =α + β x = α+β (x 1 +1 )=α + β + β x 1. Τότε y - y 1 = β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για να αποδείξουμε ότι μια κατανομή είναι κανονική αποδεικνύουμε ένα από τα ε- ξής: α ) x = δ = M 0 ή β ) R = 6s Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

4 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ x = k å = 1 x v n k x = å = 1 x f ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΓΙΑ ΜΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΈΝΑ ΔΕΔΟΜΈΝΑ δ= μεσαία παρατήρηση όταν ν=περιττός δ= ημιάθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων όταν ν=άρτιος ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ( ΟΡΙΣΜΟΣ ) å ( c S - = n c) ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΔΕΔΟ- ΜΕΝΩΝ S = S = k å = 1 x k å = 1 v ( x - x) -( v k å = 1 v v x v ) 1 v ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ S= S ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ CV= x s α = y - β x ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΕΣ ΓΡ. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ β = n å x y - ( å x )( å nå x - ( å x ) y ) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων των βαθμών 300 φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Βαθμός χ Σχ. Συχνότητα Να υπολογίσετε: α ) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό 5. β ) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό μεγαλύτερο του 6. γ ) Πόσοι που πέρασαν το μάθημα έχουν πάρει βαθμό μέχρι 7. δ ) Πόσοι πήραν 9 ή 10. ε ) Να βρεθούν Ν, F, F %. ζ ) Να γίνει το ιστόγραμμα των συχνοτήτων.. Η κατανομή των αθροιστικών συχνοτήτων Ν μιας μεταβλητής χ είναι : Χ Ν Να γίνει ο πίνακάς συχνοτήτων f, f %, ν, Ν F. [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε.Μ.Ε] 3. Στα σχολεία ενός Δήμου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος Υπηρεσίας [ - ) Σχετική Συχνότητα f % α ) Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; β ) Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συμπληρώσει 35 χρόνια : ι ) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν τα επόμενα 1,5 χρόνια; ιι ) Πόσοι τελικά πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα 5 χρόνια ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του Δήμου να παραμείνει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. [ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 000] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

6 4. Στο παρακάτω ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, που αναφέρεται στα ποσά προστίμων σε 50 παραβατών, σβήστηκαν κατά λάθος τα ορθογώνια των κλάσεων (10-15) και (0-5) Σχ.Συχνότητα % Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει ποσό κάτω των 5 ή άνω των 5 και ότι η συχνότητα της κλάσης (0-5) είναι τριπλάσια από τη συχνότητα της κλάσης (10-15). α ) Να κατασκευαστούν τα ορθογώνια αυτά. β ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. [ Προτεινόμενα θέματα Φροντιστηρίων ] 5. Το πλήθος των επιτυχόντων στα Α.Ε. Ι κατά το έτος 000, που αποφοίτησαν από το Λύκειο των Αθηνών, δίνεται κατά κατεύθυνση στον παρακάτω πίνακα. χ v f f % F % Θετική Κατεύθυνση 4 48 Τεχνολογική Κατεύθυνση 80 Θεωρητική Κατεύθυνση Σύνολο - α ) Να συμπληρωθεί ο πίνακας. β ) Να γίνει το ραβδόγραμμα συχνοτήτων. γ ) Να γίνει το κυκλικό διάγραμμα των σχετικών συχνοτήτων %. 6. Τα αποτελέσματα των εκλογών σε ένα εκλογικό τμήμα δίνονται από τον παρακάτω (ελλιπή) πίνακα: Κόμμα x Συχνότητα ν Σχετική Συχνότητα f Α 0,15 Β 150 0,30 Γ 0,35 Δ Σύνολο α) Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τμήμα αυτό. β) Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόμμα σε αυτό το εκλογικό τμήμα. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

7 γ) Να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ] 7. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Χ. Να γράψετε στο τετράδιο σας συμπληρωμένο τον πίνακα. ΚΛΑΣΕΙΣ [ - ) ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ Ο ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ v ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΧ.ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΟ 1 F % [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 001 ] 8. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι ηλικίες των επισκεπτών ενός Αρχαιολογικού Μουσείου μια βροχερή μέρα. Συμπληρώστε τον πίνακα. Ηλικία [ - ) Επισκέπτες v f F % , Υπολογίστε στον διπλανό πίνακα τα x 4, ν 4, έτσι ώστε : ι) να υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές και ιι) η μέση τιμή να είναι 9,6 χ v x 4 ν Στο παρακάτω ιστόγραμμα δίνεται η ομαδοποιημένη κατανομή των απουσιών των μαθητών μιας τάξης Γυμνασίου στη διάρκεια του πρώτου τριμήνου. α) Κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων και υπολογίστε τη μέση τιμή των απουσιών του τμήματος. β) Κατασκευάστε τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 30

8 Αριθμός Μαθητών Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 16. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί καθώς και η διάμεσος τους. 1. Η μέση τιμή και η διάμεσος επτά αριθμών είναι 8. Οι πέντε από αυτούς είναι :, 5, 10, 11, 14. Να βρεθούν οι άλλοι δυο. 13. Ο μέσος όρος στα Μαθηματικά των μαθητών μιας τάξης ενός Λυκείου είναι 14. Στην τάξη αυτή ήρθαν από άλλο σχολείο δυο μαθητές με βαθμούς: ο ένας 19 και ο άλλος 13. Ο νέος μέσος όρος είναι 14,. Να βρεθεί ο αρχικός αριθμός των μαθητών της τάξης. [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε.Μ.Ε] 14. Η κατανομή 150 μαθητών ενός Λυκείου ως προς τις ώρες μελέτης ανά βδομάδα έχει μέση τιμή x =5. Αν οι 40 μαθητές της Α Λυκείου μελετούν κατά μέσο όρο 18 ώρες την εβδομάδα, ενώ οι 50 μαθητές της Β Λυκείου κατά ώρες, να βρεθεί ο μέσος χρόνος μελέτης των μαθητών της Γ Λυκείου. [ Ευκλείδης Β τεύχος 4 ] 15. Η μέση ηλικία 16 αγοριών και 1 κοριτσιών μιας τάξης είναι 15, χρόνια. Εάν η μέση ηλικία των κοριτσιών είναι 14,8 χρόνια, να βρείτε τη μέση ηλικία των αγοριών. 16. Το μέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών μιας ομάδας είναι 05 εκατοστά. α ) για να ψηλώσει την ομάδα ο προπονητής πήρε έναν παίκτη ύψους 16 ε- κατοστά. Ποιο είναι τώρα το μέσο ύψος της ομάδας ; β ) Αν ο προπονητής ήθελε να φτάσει το μέσο ύψος της ομάδας του στα 08 εκατοστά, τι ύψος θα έπρεπε να έχει ο νέος παίκτης ; 17. Στην ομάδα μπάσκετ 1 παικτών το μέσο ύψος είναι,0 μέτρα. Να βρεθεί το μέσο ύψος της ομάδας αν : α ) αποδεσμευτεί ένας παίκτης με ύψος 1,90. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 31

9 β ) δοθεί μεταγραφή σε δύο παίκτες με ύψος,05 και 1,95 αντίστοιχα. γ ) φύγει ένας παίκτης με ύψος 1,90 και έλθει ένας με ύψος,10. δ ) θέλουμε η ομάδα να έχει μέσο ύψος,04 μέτρα, τι ύψος πρέπει να έχει ο παίκτης που θα έλθει στην ομάδα. 18. Ένα κείμενο υπαγορεύτηκε σε 80 καθηγητές. Από την εξέταση των γραπτών ως τους τα ορθογραφικά λάθη συμπληρώθηκε ο παρακάτω πίνακας: χ v α ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή των λαθών. β ) Να βρεθεί η διάμεσος. 19. Ο διευθυντής ενός σχολείου ανέθεσε σε έναν μαθηματικό να κάνει μια στατιστική μελέτη σχετικά με τις επιδόσεις των μαθητών του σχολείου στα μαθηματικά. Ο εργένης και αφηρημένος μαθηματικός έβαλε για πλύσιμο μαζί με το πουκάμισο του και το χαρτί, στο οποίο είχε κάνει τη μελέτη. Από τα υπολείμματα του πλυμένου χαρτιού κατασκευάζει τον πίνακα που φαίνεται δίπλα. Ακόμα θυμάται με σιγουριά ότι κανένας μαθητής δεν πήρε κάτω από 7 μονάδες. Μπορείτε να τον συμπληρώσετε; Βαθμός [ - ) v f f % 0-,5, ,5 1 7,5-10 0, ,5 1, ,5 1,6 17, Σύνολο Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 μαθητών της Γ Λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Βάρος σε κιλά [ - ) β ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή των παραπάνω δεδομένων. Αθροιστική Σχ. Συχνότητα , , α ) Αν γνωρίζετε ότι η σχ. συχνότητα της 3 ης κλάσης είναι διπλάσια της σχ. συχνότητας της 1 ης κλάσης, να βρείτε τις τιμές της αθροιστικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην 3 η και 4 η κλάση. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 001] 1. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα ορθογραφικά σφάλματα μαθητών της Γ Λυκείου κατά την υπαγόρευση ενός κειμένου. Ο μέσος όρος των λαθών είναι x =,63 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

10 όπου Χ η μεταβλητή των λαθών. Από τον πίνακα αυτόν έχουν σβηστεί οι συχνότητες των τιμών χ=, χ=3. ΑΡΙΘΜΟΣ ΛΑΘΩΝ χ ΠΟΣΟΣΤΟ f % ΑΘΡ. ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ F % ΣΥΝΟΛΟ α ) Να υπολογιστεί η διακύμανση. β ) Αν ο πληθυσμός του δείγματος είναι ν=100 να υπολογιστεί η διάμεσος. [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε. Μ. Ε]. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. n c - c ) ( χ v f f % Ν χ v ΣΥΝΟΛΟ α ) Να υπολογίσετε την μέση τιμή και τη διάμεσο. β ) Να δειχθεί ότι s =0,49. [ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 000] 3. Σε μία εταιρεία το 68% των υπαλλήλων παίρνει μέσο εβδομαδιαίο μισθό 50, το 8% παίρνει μέσο εβδομαδιαίο μισθό 300 και τα υπόλοιπα 8 άτομα παίρνουν μέσο εβδομαδιαίο μισθό 350. Να βρείτε : α ) τα πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. β ) τον μέσο εβδομαδιαίο μισθό όλων των υπαλλήλων της εταιρείας, [Απ ] 4. Δίνεται ο πίνακας συχνοτήτων x Συχνότητα (v ) Αθροίσματα v x Σχετική Συχνότητα (f ) Σχετική Συχνότητα % (f %) α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. β. Να βρείτε τη μέση τιμή. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 001 Τ.Ε. Ε ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 33

11 5. Ρωτήσαμε 50 εργαζόμενους μιας εταιρείας ως προς τις μηνιαίες αποδοχές τους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στις δύο πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα: Αποδοχές σε Ευρώ (x ) Αριθμός εργαζομένων (v ) Αθροιστική συχνότητα Σχετική Συχνότητα (f ) Σχετική αθροιστική συχνότητα v x Aθροίσματα 50 α ) Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα και να συμπληρώσετε τις κενές στήλες. β ) Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. γ ) Να βρείτε τη μέση τιμή. [ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Τ. Ε. Ε ] 6. Η μέση τιμή του βάρους των μαθητών ενός τμήματος είναι 60 κιλά. Αν ο συντελεστής μεταβολής είναι 0, και n ( x - x) + n ( x - x) ( x - x) α ) να βρεθεί η διακύμανση β ) ο αριθμός των μαθητών ν. 1 1 n k k = [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 7. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής με τις αντίστοιχες συχνότητες. Μια συχνότητα χάθηκε. Να βρεθεί η συχνότητα που λείπει σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις : α ) η μέση τιμή είναι 8,6. β ) υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές. x n 4 1 ; 1 8. Σε μια μεγάλη πολυκατοικία κατοικούν 50 άτομα. Η ηλικία τους κυμαίνεται από 15 μέχρι 65 χρόνια. Αν γνωρίζουμε ότι 10 άτομα έχουν ηλικία κάτω από 5 χρόνια, 15 άτομα έχουν ηλικία κάτω από 35 χρόνια, 10 άτομα έχουν ηλικία 55 χρόνια και άνω και 15 άτομα έχουν ηλικία ίση και μεγαλύτερη από 45 χρόνια. Ζητούνται : α ) να παρασταθούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα κατανομής συχνοτήτων. β ) να υπολογιστεί η μέση τιμή. γ ) να υπολογιστεί η διακύμανση. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 34

12 δ ) να υπολογιστεί η επικρατούσα τιμή. [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 9. Σε ένα δείγμα μεγέθους 0 οι τιμές μιας μεταβλητής είναι 3, 4, 5, 7, 8, ψ. Η τιμή ψ είναι διαφορετική από τις άλλες και δεν είναι μικρότερη. Επίσης έχουμε τον πίνακα : x Ψ n 5 4 ; ; α ) αν το εύρος είναι 6 να βρεθεί ο ψ, β ) να βρεθούν οι συχνότητες των τιμών 8 και ψ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις ( ξεχωριστά ) ι ) η μέση τιμή είναι 6,5 ιι ) υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές, γ ) να βρεθεί η διάμεσος. 30. Η καθυστέρηση σε λεπτά 400 πτήσεων μιας αεροπορικής εταιρίας δίνεται στον διπλανό πίνακα. α) Ποια είναι η επικρατούσα τιμή; Καθυστέρηση Πτήσεις β) Προσθέστε στον πίνακα την στήλη των [ - ) v αθροιστικών συχνοτήτων και υπολογίστε τη διάμεσο γ) Υπολογίστε τη μέση τιμή. δ) Βρείτε την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας. Είναι ο πληθυσμός ομοιογενής; Άθροισμα Σε ένα δείγμα 30 μαθητών της Α Γυμνασίου βρήκαμε μέσο βάρος 50 κιλά και τυπική απόκλιση 7 κιλά. Σε ένα άλλο δείγμα 0 μαθητών της Α Λυκείου βρήκαμε μέσο βάρος 75 κιλά και τυπική απόκλιση 7 κιλά. Να βρεθεί ποιος πληθυσμός έχει την μεγαλύτερη ομοιογένεια. 3. Σε ένα τεστ στο μάθημα της Στατιστικής με άριστα το 0 οι 57 μαθητές δυο τάξεων πήραν τις παρακάτω βαθμολογίες: ΒΑΘΜΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ [0,) 4 [,4) 1 [4,6) 3 [6,8) 5 [8,10) 8 [10,1) 1 [1,14) 14 [14,16) 5 [16,18) 3 [18,0] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 35

13 Να υπολογιστούν: α ) Η μέση τιμή β ) Η διάμεσος γ ) Η επικρατούσα τιμή δ ) Η τυπική απόκλιση ε ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας 33. Ένα δείγμα 10 τιμών έχει διάμεσο δ=3.5 και επικρατούσα τιμή Μ=3. Αν είναι γνωστές μόνο 8 τιμές : 5,3,,6,7,,3,9 να βρεθούν : α ) Οι τιμές που λείπουν. β ) Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. γ ) Αν όλες οι τιμές του δείγματος πολλαπλασιαστούν αρχικά με τον παράγοντα - και στη συνέχεια μειωθούν κατά 1 μονάδα, να βρεθούν οι νέες τιμές της μέσης τιμής και της τυπικής απόκλισης. [Ένθετο Εξετάσεις 00] 34. Η βαθμολογία 10 μαθητών χ και 10 μαθητριών y στο μάθημα των Μαθηματικών φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Χ Υ Οι μαθητές ή οι μαθήτριες παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια βαθμολογίας; [ Ευκλείδης Β τεύχος 4 ] 35. Η εβδομαδιαία δαπάνη για βενζίνη 50 κατόχων Ι. Χ αυτοκινήτων κυμαίνεται από 5 έως 15. Γνωρίζουμε επίσης ότι 15 οδηγοί χρειάζονται λιγότερο από 7, 5 λιγότερο από 9, 5 τουλάχιστον 13 και 10 τουλάχιστον Να παρασταθούν τα δεδομένα σε πίνακα συχνοτήτων.. Να υπολογιστούν μέση τιμή, επικρατούσα τιμή, διάμεσος. 3. Να υπολογιστεί η διακύμανση και ο εύρος. 4. Να ελεγχθούν τα δεδομένα ως προς την ομοιογένεια. 36. Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας. γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ] 37. Μια εταιρεία απασχολεί 0 εργαζόμενους εκ των οποίων οι 10 εργάζονται στο τμήμα Α και οι 10 στο τμήμα Β. Η μέση τιμή των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α είναι 70 και ο μεγαλύτερος μισθός του τμήματος είναι 900. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 36

14 Οι μισθοί των εργαζομένων στο τμήμα Β είναι : 950, 900, 1060, 980, 90, 945, 975, 930, 900, 940. Να βρείτε : α) Το άθροισμα των μηνιαίων μισθών του τμήματος Α. β) Τη μέση τιμή, το εύρος και την επικρατούσα τιμή των μισθών του τμήματος Β. γ) Τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μισθών όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ] 38. Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων. β. Να βρείτε τη μέση τιμή. γ. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. δ. Να βρείτε τη διάμεσο. ε. Να βρείτε τη διακύμανση. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Τ. Ε. Ε ] 39. Σε μία πόλη σημειώθηκαν κατά τον Μήνα Μάιο οι παρακάτω θερμοκρασίες σε βαθμούς Κελσίου: 18, 19, 3, 5, 7, 3, 1, 0,,. Να βρεθεί η μέση τιμή των θερμοκρασιών, το εύρος και η τυπική απόκλιση. 40. Το βάρος 10 μαθητών σε κιλά είναι : 5, 50, 57, 5, 61, 50, 50, 5, 57, 50 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος 41. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την ηλικία 100 εργαζομένων μιας επιχείρησης. Ηλικία [0,30) [30,40) [40,50) [50,60) Συχνότητα α ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β ) Να βρεθεί η μέση τιμή, η διακύμανση και ο συντελεστής μεταβλητότητας των δεδομένων του πίνακα. Είναι το δείγμα ομοιογενές ; Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 37

15 γ ) Να βρεθεί : ι ) ο αριθμός των εργαζομένων που είναι τουλάχιστον 30 ετών. ιι ) το ποσοστό των εργαζομένων με ηλικία μικρότερη των 40 ετών. [ Ένθετο «Ο υποψήφιος» 003 ] 4. Οι τιμές δέκα προϊόντων σε ένα κατάστημα είναι : 7, 11, 10, 13, 15, 3, 1, 11, 4, 14 σε ευρώ. Να υπολογίσετε για τις τιμές των παραπάνω προϊόντων : α ) τη μέση τιμή. β ) την επικρατούσα τιμή. γ ) τη διάμεσο. δ ) τη διακύμανση. ε ) να βρεθεί το πλήθος των προϊόντων με τιμή τουλάχιστον 1 ευρώ. 43. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις πωλήσεις σε χιλιάδες που πραγματοποιήθηκαν από τους πωλητές μιας εταιρείας. Πωλήσεις x Αρ. Πωλητών v f Ν F f % F % , ,05 α ) να συμπληρωθούν τα κενά του πίνακα. β ) να βρεθεί αριθμός των πωλητών που έκαναν πωλήσεις μέχρι γ ) να βρεθεί ο αριθμός των πωλητών που έκαναν πωλήσεις από 000 μέχρι και δ ) να βρεθεί το ποσοστό των πωλητών που έκαναν πωλήσεις αξίας τουλάχιστον ε ) να βρεθεί η μέση τιμή του δείγματος. στ ) αν στην εταιρεία προσληφθούν 40 υπάλληλοι και ο καθένας κάνει πωλήσεις αξίας 4000, να βρεθεί η νέα μέση τιμή του δείγματος. 44. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές : [ Ένθετο «Ο υποψήφιος» 003 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 38

16 5, 3, 3ω, 3, ω, 3, 3ω, ω με ω > 0 α ) αν η μέση τιμή τους είναι 4, να αποδείξετε ότι ω = β ) για ω =, να βρείτε : ι ) το εύρος των τιμών. ιι ) την επικρατούσα τιμή. ιιι ) την τυπική απόκλιση. [ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003 Τ. Ε. Ε ] 45. Τα δέκα τμήματα της Γ Λυκείου μιας σχολικής μονάδας έχουν το εξής πλήθος μαθητών : Να βρείτε : 30, 6,, 30, 8, 36, 8, 3, 5, 3 α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την επικρατούσα τιμή. 46. Ένα δείγμα τριών παρατηρήσεων έχει διάμεσο 13, εύρος 9 και μέση τιμή 14. Να βρεθούν οι τρεις αυτές παρατηρήσεις. 47. Ο πίνακας παρουσιάζει των αριθμό των παιδιών που έχουν οι οικογένειες μιας πολυκατοικίας της Θεσσαλονίκης. Αριθμός Παιδιών x Οικογένειες n Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) την τυπική απόκλιση ε ) τον συντ. μεταβλητότητας 48. Ο πίνακας παρουσιάζει τις ηλικίες των υπαλλήλων ενός εργοστασίου κατασκευής χρωμάτων : Ηλικία [ - ) Υπάλληλοι n Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 39

17 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή β ) την τυπική απόκλιση γ ) τον συντ. μεταβλητότητας 49. Οι μέγιστες ημερήσιες θερμοκρασίες που παρατηρήθηκαν στην Θεσσαλονίκη σε 10 διαδοχικές μέρες ήταν : Να υπολογιστούν : 15, 15, 16, 18, 18, 16, 17, 18, 17, 0 α ) η μέση τιμή β ) τη διάμεσο γ ) το εύρος δ ) τη διασπορά ε ) την επικρατούσα τιμή. 50. Ο πίνακας παρουσιάζει τους βαθμούς των μαθητών ενός τμήματος σε ένα διαγώνισμα Φυσικής : Βαθμός x n Να υπολογίσετε : α ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν το πολύ 10, β ) το ποσοστό των μαθητών που πήραν τουλάχιστον 16, γ ) τη μέση τιμή των βαθμών, δ ) τη διάμεσο των βαθμών, ε ) την επικρατούσα τιμή, στ ) το εύρος. 51. α ) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: χ v Ν f % Άθροισμα β ) Ποια είναι η επικρατούσα τιμή, και ποια η διάμεσος; γ ) Υπολογίστε την μέση τιμή. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 40

18 5. Για την μεταβλητή Χ του παρακάνω πίνακα γνωρίζουμε ότι : ι ) υπάρχουν δυο επικρατούσες τιμές και ιι ) η μέση τιμή είναι x = 10,76. χ v χ v α ) Υπολογίστε n 3, x 5. β ) Ποια τιμή είναι η διάμεσος; γ ) Υπολογίστε την σχ.συχνοτήτα f 3 %. n x 5 7 Άθροισμα 53. α ) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, ο οποίος αναφέρεται στη βαθμολογία 00 μαθητών σε ένα μάθημα, στο οποίο εξετάστηκαν για την είσοδο τους σε μία ιδιωτική σχολή: Βαθμός Συχνότητα x v Ν x v Άθροισμα β ) Υπολογίστε τη μέση βαθμολογία. γ ) Η σχολή αποφάσισε να δεχθεί το 5% των υποψηφίων. Τι βαθμό πρέπει να έχει κάποιος για να εισαχθεί; 54. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων στον οποίο καταγράφεται ο αριθμός των τερμάτων που σημειώθηκαν σε κάθε έναν από τους 0 πρώτους αγώνες του πρωταθλήματος ποδοσφαίρου. α ) Να υπολογίσετε τις συχνότητες n,n 4 του πίνακα αν γνωρίζεται ότι η n είναι διπλάσια της n 4. β ) Να υπολογίσετε την μέση τιμή. γ ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Αρ.Τερμάτων Αγώνες χ v Σύνολο Ν f % F % Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 41

19 δ ) Να βρείτε το ποσοστό των αγώνων στους οποίους σημειώθηκαν τουλάχιστον τέρματα. ε ) Να βρείτε το πλήθος των αγώνων στους οποίους σημειώθηκαν ακριβώς 3 τέρματα. 55. Δίνεται ο πίνακας που αφορά μια μεταβλητή Χ. Γνωρίζουμε ότι : το εύρος είναι 10 και η μέση τιμή είναι 11. α ) Υπολογίστε την τιμή x 5. β ) Αποδείξτε ότι : α= 9 και β= 8. γ ) Ποια η διάμεσος ; 197 δ ) Αποδείξτε ότι η τυπική απόκλιση είναι ίση με. 4 χ v χ v α x 5 Άθροισμα 3 β 56. Σε ένα ινστιτούτο αδυνατίσματος οι πελάτες είναι χωρισμένοι σε τρεις ομάδες. Στην ομάδα Α συμμετέχουν 4 άτομα με μέσο βάρος 135 κιλά, στην ομάδα Β βρίσκονται 1 άτομα με συνολικό βάρος.310 κιλά, ενώ στην ομάδα Γ το μέσο βάρος είναι 9 κιλά. Το συνολικό βάρος των πελατών είναι 8,77 τόνοι. α ) Ποιο το μέσο βάρος στην ομάδα Β; β ) Πόσα κιλά ζυγίζουν συνολικά τα άτομα των ομάδων Α και Β; γ ) Πόσα άτομα συμμετέχουν στην ομάδα Γ; δ ) Ποιο είναι το μέσο βάρος όλων των πελατών; 57. Οι βαθμοί 50 μαθητών της Γ Λυκείου υπολογίστηκαν σε ένα βαθμολογικό κέντρο σε κλίμακα 0-0 και παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Διαστήματα [ - ) Μαθητές v Άθροισμα 50 Ο v Ο α ) Αποδείξτε ότι ο μέσος βαθμός είναι : 11 β ) Υπολογίστε την τυπική απόκλιση. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

20 γ ) Είναι το δείγμα ομοιογενές; 58. Συμπληρώστε καθέναν από τους παρακάτω πίνακες : χ v Ν f χ v f % f Άθροισμα Άθροισμα Σε κάθε περίπτωση να βρείτε: ι ) τη διάμεσο, ιι ) την επικρατούσα τιμή, ιιι ) τη μέση τιμή. 59. Στον πρώτο όροφο μιας τριώροφης οικοδομής υπάρχουν 4 διαμερίσματα με μέσο όρο 3 κατοίκους ανά διαμέρισμα, στον δεύτερο όροφο 4 διαμερίσματα με μέσο όρο,5 κατοίκους ανά διαμέρισμα και στον τρίτο, 3 διαμερίσματα με μέσο όρο 4 κατοίκους ανά διαμέρισμα. α ) Πόσοι ένοικοι υπάρχουν στην πολυκατοικία; β ) Ένας ένοικος του ου μετακόμισε. Ποιος είναι τώρα ο μέσος όρος κατοίκων ανά διαμέρισμα σε όλη την οικοδομή ; 60. Η κατανομή του βάρους σε κιλά 70 μαθητών ενός σχολείου δίνεται στον παρακάτω πίνακα : Βάρος [ - ) Μαθητές v Άθροισμα 70 α ) Αποδείξτε ότι το μέσο βάρος είναι 7 κιλά. β ) Ποια η διάμεσος; γ ) Αν καθένα από τα 150 κορίτσια του σχολείου χάσει από 3 κιλά και καθένα από τα 10 αγόρια πάρει από 1,5 κιλό, ποιο είναι το νέο μέσο βάρος των μαθητών; 61. Σε ένα κατάστημα υπάρχουν τριών ειδών φιστίκια, αρίστης ποιότητας, που πουλιούνται,5,,7 και 3 το κιλό, ανάλογα με το είδος. Το αφεντικό μέτρησε τις ποσότητες από κάθε είδος και έφτιαξε τον παρακάτω πίνακα : Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 43

21 Τιμή ανά κιλό Ποσότητα σε κιλά χ v χ v,5 α,7 0 3 β Άθροισμα α ) Ποια η μέση τιμή πώλησης ; β ) Αποδείξτε ότι α = 14, β = 16. γ ) Συμπληρώστε τον πίνακα. δ ) Αν πουληθούν 10 κιλά από τα φθηνότερα φιστίκια, ποια θα είναι η μέση τιμή πώλησης των υπολοίπων ; 6. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την ηλικία 100 εργαζομένων μιας επιχείρησης. Ηλικία [0,30) [30,40) [40,50) [50,60) Συχνότητα α ) Να κατασκευαστεί ο πίνακας σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β ) Να βρεθεί η μέση τιμή, η διακύμανση και ο συντελεστής μεταβλητότητας των δεδομένων του πίνακα. Είναι το δείγμα ομοιογενές ; γ ) Να βρεθεί : ι ) ο αριθμός των εργαζομένων που είναι τουλάχιστον 30 ετών. ιι ) το ποσοστό των εργαζομένων με ηλικία μικρότερη των 40 ετών. 63. Ο παρακάτω πίνακας καταγράφει σε κλάσεις τα κέρδη ενός δείγματος κατασκευαστικών επιχειρήσεων το 001 σε εκατοντάδες χιλιάδες. Κέρδη σε Εκατοντάδες Χιλιάδες Αριθμός Επιχειρήσεων [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,10) Να υπολογιστούν: 1. Το μέσο κέρδος των επιχειρήσεων.. Το ποσοστό των επιχειρήσεων που βρίσκονται στο επικρατέστερο διάστημα κερδών. 3. Ο αριθμός των επιχειρήσεων του δείγματος οι οποίες κέρδη 100 χιλιάδες έως 500 χιλιάδες. 4. Το ποσοστό των επιχειρήσεων που δηλώνουν από 00 χιλιάδες έως 600 χιλιάδες ή από 300 χιλιάδες έως 800 χιλιάδες. [Απ ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 44

22 64. Σε ένα Λύκειο φοιτούν 300 μαθητές και η μέση βαθμολογία τους στα Μαθηματικά το Α Τετράμηνο είναι 15. Στο Β Τετράμηνο ένας ορισμένος αριθμός μαθητών αύξησε την βαθμολογία του κατά 4 μονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι μείωσαν τη βαθμολογία τους κατά μονάδες ο κάθε μαθητής. Να βρείτε πόσοι μαθητές βελτίωσαν τη βαθμολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, αν γνωρίζουμε ότι η μέση βαθμολογία στο Β Τετράμηνο έγινε 17. [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 65. α ) Ένα δείγμα { w 1, w,.., w n } δίνει τα βάρη σε κιλά n ατόμων. Να χαρακτηριστούν ως Σωστές ή Λάθος οι παρακάτω προτάσεις. 1. Η μέση τιμή εκφράζεται σε κιλά.. Η διακύμανση εκφράζεται σε κιλά. 3. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται σε κιλά. 4. Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται σε κιλά. Αν x είναι η μέση τιμή του δείγματος να δειχθεί ότι å = ( x - ) = 0 n x 1 β ) Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του παραπάνω δείγματος (ν παρατηρήσεων) είναι 8 και 10 αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του δείγματος: {-6 w 1 +4, -6 w +4,..-6 w n +4} γ ) Η μέση τιμή 100 αριθμών είναι 4 και η μέση τιμή των 60 πρώτων απ αυτούς είναι 16. Να βρεθεί η μέση τιμή των υπολοίπων. δ ) Αν για σύνολο n παρατηρήσεων είναι : å = x = 55, s =, x = 3, όπου x η μέση τιμή και S τυπική απόκλιση του δείγματος. Να υπολογιστεί ο n. n 1 [Απ. Β. 36 Β3. 5] [Ένθετο Ο υποψήφιος 00] 66. Δίνονται οι παρατηρήσεις χ με ι=1,,.40. Δέκα απ αυτές μειώνονται κατά 4 και 6 από αυτές μειώνονται κατά 8και προκύπτουν έτσι οι παρατηρήσεις y όπου ι=1,,.40. α. ) να βρείτε την μέση τιμή των παρατηρήσεων y αν η μέση τιμή των παρατηρήσεων χ είναι 5. β. ) να βρείτε την διακύμανση και την τυπική απόκλιση των y αν 40 å = y = γ. ) να εξετάσετε αν το δείγμα των y είναι ομοιογενές. [Απ. Α. 5, Β. 16,58 Γ. Δεν είναι ομοιογενές ] [ Ευκλείδης Β τεύχος 44 ] 67. Η κατανομή του χρόνου (χ σε λεπτά ) που χρειάζεται να κάνει ο συρμός του η- λεκτρικού σιδηρόδρομου μεταξύ των σταθμών Καλλιθέας Ομόνοιας είναι κανονι- Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 45

23 κή. Αν για 100 διαδρομές μεταξύ αυτών των σταθμών έχουμε x n = 1000 και 100 å = 1 x n = τότε να υπολογιστούν: 1.Ο μέσος χρόνος που χρειάζεται ο ηλεκτρικός σιδηρόδρομος για να διανύσει την παραπάνω διαδρομή..η τυπική απόκλιση των παραπάνω διαδρομών. 3.Να εξεταστεί αν η κατανομή είναι ομοιογενής. Για την παραπάνω κατανομή χρόνων να βρεθούν: 4.Το πλήθος των διαδρομών που χρειάστηκε τουλάχιστον 10 λεπτά ο ηλεκτρικός να διανύσει την απόσταση Καλλιθέα Ομόνοια. 5.Το ποσοστό των διαδρομών που χρειάστηκε από 8. έως 11.8 λεπτά ο ηλεκτρικός να διανύσει την απόσταση Καλλιθέα Ομόνοια. [Απ λεπτά % διαδρομές 5. 95%] 100 å = Έστω η μεταβλητή Χ με τιμές : t, t... t n 1. α ) αν x είναι η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση, να δείξετε ότι η μεταβλητή: 00t 003 ψ = - x 1, ι=1,,.ν, ισχύει y = -. s CV x β ) Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή είναι κανονική, το εύρος είναι 1 και ο συντελεστής μεταβολής είναι CV x = 0.0, να βρεθεί η μέση τιμή της μεταβλητής ψ καθώς και η τυπική της απόκλιση. [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] 69. Η κατανομή των αθροιστικών συχνοτήτων Ν μιας μεταβλητής χ είναι : Χ Ν α. ) να γίνει ο πίνακάς συχνοτήτων f, f %, ν, ν f. β. ) να υπολογιστεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκεται: 1. Στο διάστημα 16 έως και 19.. Είναι τουλάχιστον Είναι το πολύ 18 [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε.Μ.Ε] 70. Η μέση θερμοκρασία στην πόλη της Καβάλας κατά το μήνα Σεπτέμβριο είναι 30 Ο C με τυπική απόκλιση Ο C. Υποθέτοντας ότι έχουμε περίπου κανονική κατανομή, να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των ημερών που έχουν: 1. θερμοκρασία πάνω από 3 Ο.. θερμοκρασία κάτω από 6 Ο. 3. θερμοκρασία τουλάχιστον 30 Ο. 4. θερμοκρασία μεταξύ 6 Ο και 3 Ο. [ Ευκλείδης Β τεύχος 4 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 46

24 71. Μια βιομηχανία κατασκευάζει λαμπτήρες με μέσο χρόνο ζωής 1800 ώρες και τυπική απόκλιση s=150 ώρες. Η κατανομή των λαμπτήρων ως προς τον χρόνο ζωής τους είναι κανονική. Τι ποσοστό αναμένεται να έχει χρόνο ζωής : 1. το πολύ 1800 ώρες.. άνω των 1950 ωρών. 3. από 1500 έως 1950 ώρες. 4. κάτω από 1500 ώρες. [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε.Μ.Ε] 7. Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι τους στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 1 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. 1. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος διαδρομής των μαθητών και η τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους.. Να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 3. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4000 πόσοι θα κάνουν τη διαδρομή σε χρόνο από 14 έως 16 λεπτά; 4. Μια μέρα λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρεθεί πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 001] 73. Εξετάσαμε ένα δείγμα μαθητών μιας τάξης ως προς το βάρος τους και διαπιστώθηκε ότι κυμαίνονται από 45 έως 75 κιλά, ενώ η κατανομή των βαρών είναι κανονική. α ) να βρεθεί η μέση τιμή και το εύρος, β ) να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές, γ ) αν το άθροισμα των βαρών είναι 1800 κιλά, να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος δ ) τι ποσοστό μαθητών έχει βάρος το οποίο κυμαίνεται από 50 έως 60 κιλά ; 74*. Δίνεται y = α + β x η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της y πάνω στην x η ο- ποία διέρχεται από το σημείο Ε (4,0). Αν μεταξύ των μέσων τιμών των δειγμάτων y, x ισχύει η σχέση y = x - 4 με x ¹ 4 να εκτιμήσετε το y όταν x=1. [Απ. 8 ] [ Ευκλείδης Β τεύχος 44 ] 3 x 75*. Δίνονται οι συναρτήσεις : f(χ)= χ +6 και h(χ)= + χ. 3 Ο Παραπάνω Πίνακας δίνει τη βαθμολογία με άριστα το 10 των μαθητών μιας τάξης Φροντιστηρίου στα Μαθηματικά και τη Φυσική. Μαθηματικά Χ h (-1/) h (1/) 4 h (3/) Φυσική Υ f (5) h (5/) λ f ()-1 f (1) Αν η παλινδρόμηση της y στη x είναι : y = x 1. Να βρεθεί ο βαθμός λ του μαθητή στη φυσική Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 47

25 . Να βρεθεί ο αναμενόμενος βαθμός της Φυσικής όταν ο βαθμός στα Μαθηματικά είναι 3. [Απ. 1.λ=4. 5. ] [Ένθετο Εξετάσεις 00] 76*. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει σε τετραγωνικά μέτρα τα μεγέθη 10 διαμερισμάτων στον Καρέα και τα αντίστοιχα ποσά ενοικίου: Χ Υ Μέγεθος σε m Μηνιαίο ενοίκιο σε Με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων να βρείτε την εξίσωση της ευθείας παλινδρόμησης της Υ στην Χ.. Ποίο εκτιμάτε ότι θα είναι το ύψος του ενοικίου μιας κατοικίας 115 m ; 3. Αν ήσασταν ιδιοκτήτης ενός διαμερίσματος 80 m και σας έδιναν ενοίκιο ίσο με 95 θα το νοικιάζατε; Να αιτιολογήσετε. 4. Κάποιο διαμέρισμα ξέρουμε ότι νοικιάζεται προς 143. Πόσα m είναι; [www.hms.gr/ Τράπεζα θεμάτων Ε.Μ.Ε] 77. Έστω ένα δείγμα 100 παρατηρήσεων χ όπου ι=1,.100 με συντελεστή μεταβολής 10% για τον οποίο ισχύει: 100 å = x = α. ) Να βρείτε την μέση τιμή του δείγματος. β.* ) Θεωρούμε επιπλέον με παρατηρήσεις : y 1 = x + 1 1, y 1 = x +,, y 100 = x Nα βρείτε τη μέση τιμή των παραπάνω παρατηρήσεων και την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων με Υ πάνω στην Χ. [ Διαγωνίσματα Μαθηματικών Γ. Μπαϊλάκης ] 78. Σε μια εταιρεία εργάζονται ν υπάλληλοι που έχουν εβδομαδιαίους μισθούς χ όπου ι=1,.ν, των οποίων η μέση τιμή είναι 400 και η τυπική απόκλιση είναι Να βρεθεί η μέση τιμή των χ όπου ι=1,..ν. Έστω ότι η εταιρεία κάνει αύξηση κάθε υπαλλήλου εξίσου κατά γ όπου 0 γ 00. Να εξετάσετε αν οι νέοι μισθοί αποτελούν ομοιογενές δείγμα. 3*. Έστω ότι η εταιρεία τροποποιεί με μισθούς σε y όπου ι=1,,,,,ν. με μέση 1 n y 1 n 4 τιμή 350 και å = x = σε. Να βρείτε την ευθεία των ελαχίστων τετράγωνων των σημείων (χ, y ) για ι=1,..ν. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 48

26 79. α ) Ένα δείγμα περιέχει τις τιμές : χ 1, χ, χ 3, χ 4, χ 5, της μεταβλητής Χ με σχετικές συχνότητες : +ω ω ω 1,, , ω, 1-3ω 8, αντίστοιχα. Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός ω. β ) Δίνεται ο πίνακας της μεταβλητής Χ : χ ι f 0,05 0,0 f 3 0,15 f 5 Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες των κλάσεων 3 και 5 αν γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή του δείγματος είναι 5, Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηματική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγματος έξι μαθητών της πρώτης τάξης (ομάδα Α) και έξι μαθητών της δεύτερης τάξης (ομάδα Β) ενός Γυμνασίου. Ομάδα Α Ομάδα Β α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε ομάδας. β. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ο- μάδες. γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της ομάδας Α γίνει αύξηση 0% και οι παρατηρήσεις της ομάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε μία, πώς διαμορφώνονται οι νέες μέσες τιμές των δύο ομάδων; δ. Να συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς την ομοιογένεια τις δύο ο- μάδες με τα νέα δεδομένα. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003] 81. Οι βαθμοί (με άριστα το 0) που έγραψαν 40 μαθητές μιας τάξης σε ένα διαγώνισμα ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις με πλάτος 4. Προέκυψαν τα εξής στοιχεία : v τέσσερις μαθητές είχαν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 16 και άλλοι τέσσερις είχαν βαθμό κάτω από 4, v δεκαπέντε μαθητές είχαν βαθμό κάτω από 10, v η διάμεσος της κατανομής ήταν 1, v η μέση βαθμολογία της τάξης ήταν 11. Ζητείται : α ) να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων β ) να βρείτε εύρος, διασπορά και τυπική απόκλιση, γ ) είναι το δείγμα ομοιογενές ; δ ) είναι η κατανομή κανονική ; Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 49

27 8. Στην «Αττική οδό» εξυπηρετούνται καθημερινά 00 χιλιάδες οχήματα, τα οποία διανύουν 5 έως 45 χιλιόμετρα. Η διανυόμενη απόσταση σε χιλιόμετρα από τα οχήματα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα : Κλάσεις σε χλμ Κέντρο κλάσης χ ι ν ι σε χιλιάδες οχήματα f % Ν F % Σύνολο 00 α ) να μεταφέρετε στο τετράδιο σας το παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο β ) να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα (χ ι, f %) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων γ ) να βρείτε τη μέση τιμή δ ) να βρείτε το πλήθος των οχημάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 5 χιλιομέτρων. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004] 83. Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο πίνακας Αριθμός Βιβλίων Αριθμός Μαθητών χ ι ν ι 0 α α + 8 4α 3 α -1 4 α Σύνολο 50 α ) υπολογίστε την τιμή του α β ) βρείτε τη μέση τιμή των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές γ ) βρείτε τη διάμεσο των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές δ ) την πιθανότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστον 3 βιβλία. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ] 84. Θεωρούμε δυο δείγματα Α και Β με παρατηρήσεις : Δείγμα Α : 1, 18, t 3, t 4,.., t 5 Δείγμα Β : 16, 14, t 3, t 4,.., t 5 Δίνεται ότι : t 3 + t t 5 = 345 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 50

28 α ) να δείξετε ότι x A = xb = 15 β ) αν s A η διακύμανση του δείγματος Α και s B η διακύμανση του Β, να αποδείξετε ότι : s A - s 16 B = 5 γ ) αν ο συντελεστής μεταβολής του Α είναι ίσος με 15 1, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής του Β. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΝΙΑΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 007 ] 85. Σε δείγμα ν παρατηρήσεων χ 1, χ,..χ ν, μιας μεταβλητής Χ είναι x = 8, sx = 4. α ) αν y 1, y,.y ν είναι δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν αντιστοίχως από τις χ 1, χ,..χ ν, όταν κάθε μια αυξηθεί κατά 10% τότε : ι ) εξετάστε αν το δείγμα y 1, y,.y ν είναι ομοιογενές. ιι ) να συγκριθούν τα δυο δείγματα ως προς την ομοιογένεια. β ) αν z x - x =, για κάθε ι = 1,,..ν s x ι ) να βρεθούν z s z,. ιι ) εξετάστε αν ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος των z, με ι = 1,,..ν. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 007 ] 86. Στο παρακάτω δείγμα 10 παρατηρήσεων : 1,, 4,, 6, 1, 3, 6, α, 6 είναι x = 4. α ) βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α β ) για α = 9, ι ) βρείτε τη διάμεσο, ιι ) βρείτε τη διακύμανση γ ) αν όλες οι παραπάνω παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 008, τότε ποια θα είναι η μέση τιμή των νέων παρατηρήσεων ; [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 008 ] 87. Για δυο τύπους μπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δυο δείγματα μεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των μπαταριών για κάθε δείγμα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόμενο πίνακα : Α Β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 51

29 α ) να βρείτε τη μέση τιμή διάρκειας ζωής μιας μπαταρίας τύπου Α και μιας τύπου Β β ) αν μια μπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 και μια μπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40, ποιον τύπο μπαταρίας συμφέρει να αγοράσετε ; (αιτιολογήστε) γ ) να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις της διάρκειας ζωής των δυο τύπων μπαταριών. δ ) να βρείτε ποιος από τους δυο τύπους Α και Β παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. Δίνεται 11 =3,3. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 008 ] * Οι ασκήσεις που φέρουν αστερίσκο είναι εκτός ύλης. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Παναγιώτης Π. Σταυρόπουλος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (ΕΠΙΛΟΓΗΣ) 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Θεωρία, ασκήσεις, θέματα Πανελλαδικών) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. Σύγκριση : Μέσης τιμής Διαμέσου Εύρους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Στατιστική Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 2 0 1 6 Γενικής κεφάλαιο 2 154 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 03 06 000... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται .1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών, στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήνου. Πήραµε τις επόµενες βαθµολογίες: 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. Να βρείτε: α) Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ίνεται η συνάρτηση f: ΙR ΙR με τύπο: 3, 4 a, 4 f ( ) 4 3, 4,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4

Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα x 1 2x 7 x 8 4 Μαθηματικά Β' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Na λυθούν οι εξισώσεις : α) 2 3x 1 x 8 x 1 (απ.: x = -2) β) γ) 2x 7 x 1 (απ.: x = -12) 4 3 4 5 x 2 x 4 2 x (απ.: x = 1) 4 5 δ) x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 000 0 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞETΑΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F () f () g (). Μονάδες 8 β) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 20 φορές. 5 5 5 1 2 5 4 3 2 3 1 3 6 4 1 4 6 6 5 4 i) Να κατασκευάσετε πίνακα α)

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 50 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ (κλάσεις ίσου πλάτους) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου 11. Δίνεται ο μηνιαίος μισθός (σε ευρώ) των 5 υψηλόμισθων υπαλλήλων μιας μεγάλης εταιρείας. 18 11 17 19 1 195 195 13 13 195 2 3 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α Α1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, με απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, να αποδείξετε ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ, 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 7. f ( x) x x x, x α. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης καθώς και τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων που παρουσιάζει.

Διαβάστε περισσότερα

Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f( 1 2 ), f(α+1), f( α) και f(x+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών. β. f(x) = ε. f(x) = x - 4. κ.

Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f( 1 2 ), f(α+1), f( α) και f(x+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών. β. f(x) = ε. f(x) = x - 4. κ. συναρτήσεις ο κεφάλαιο: διαφορικός λογισμός. Δίνεται η συνάρτηση f() = +, * Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f( ), f(α+), f( α) και f(+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ 369 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f (x) = Β. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Χρόνια υπηρεσίας [ - )

Χρόνια υπηρεσίας [ - ) Το 4 ο Θέμα (Πανελλαδικές 000-03) ) 000 Στα σ χολεί α ενός Δή μου υπη ρετούν συνολικά 00 εκπ αιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υ- πηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια υπηρεσίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ)

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1, x 2,..., x κ είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ Α. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 177. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Αν οι παρατηρήσεις είναι πολλές τότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων χωρίζοντας το διάστημα που ανήκουν οι παρατηρήσεις σε υποδιαστήματα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Β.. Β.. Β.. Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA Β ΚΥΚΛΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΕ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Οι βαθμοί των 11 μαθητών μιας τάξης ενός Τ.Ε.Ε. σε ένα μάθημα είναι: 1, 1, 9, 15, 1, 16, 17, 7, 19, 18, 17. Για τα δεδομένα αυτά: α. Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες )

Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Να δείξετε ότι αν A B τότε P A P B. (7 Μονάδες ) Τάξη Μάθημα : Γ Λυκείου : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Εξεταστέα Ύλη : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Καθηγητής : Καμπάς Νικόλαος Ημερομηνία : 3/02/2013 ΘΕΜΑ 1: Α. Έστω Α,Β δυο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα .. ΕΝΟΤΗΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ου ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι βαθμοί που πήραν είκοσι φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος σ ένα μάθημα 9 3 1 7 5 3 6 5 7 5 7 3 6 1 5 1 3 5 α. Ποια είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα