Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση:

Transcript

1 Η κινητική ενέργεια K σωµατιδίου µάζας m, που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R, ακολουθεί την σχέση: K=λs όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα και s το µήκος της διαδροµής που διάνυσε το σωµατίδιο. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το s την συνισταµένη δύναµη που προκαλεί την κίνηση του σωµατιδίου. ΛΥΣΗ: Eάν v είναι η ταχύτητα του σωµατιδίου, όταν αυτό έχει διαγράψει επί της τροχιάς του τόξο s, τότε θα έχουµε: K = mv / " K = s $ mv = s v = s m Παρατηρούµε από την ) ότι το µέτρο της v αύξάνεται µε τον χρόνο, αφού το s αυξάνεται, που σηµαίνει ότι το σωµατίδιο έχει επιτρόχια επιτάχυνση a οµόρροπη της ταχύτητάς του. Η αλγεβρική τιµή της a δίνεται από την σχέση: ) Σχήµα a = dv dt = dv ds ds dt = dv ) ds v a = " m s " m = " m s )

2 Εξάλλου το σωµατίδιο έχει και κεντροµόλο επιτάχυνση a που κατευθύνεται προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς του, της οποίας το µέτρο είναι: a = v R ) a = s R " m = " Rm s 3) Eάν r 0, r είναι τα µοναδιαία διανύσµατα κατά την διεύθυνση της επιβατικής ακτίνας του σωµατιδίου και κατά την διεύθυνση* της εφαπτοµένης της τροχιάς του, η επιτάχυνσή του a θα δίνεται από την σχέση: a = - a r 0 + a " r ),3) a = - s Rm r 0 + s m r " = s m - s r R 0 + r " 4) $ ' Σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η συνισταµένη δύναµη F που δέχεται το σωµατίδιο θα είναι: F = m a 4) F = s - s $ R r 0 + r " ' P.M. fysikos Σωµατίδιο εκτελεί επίπεδη κίνηση της οποίας οι παραµετρικές εξισώ σεις έχουν τη µορφή: x = αηµωt και y = βσυνωt όπου α, β, ω, θετικές και σταθερές ποσότητες µε α>β και t η παρά µετρος χρόνος. Να σχεδιάσετε την τροχιά του σωµατιδίου και να βρεί τε την ακτίνα καµπυλότητας αυτής στα σηµεία Α-α, 0) και Β0, β). ΛYΣΗ: i) Από τις εξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου προκύπτουν οι σχέσεις: x/ = "µt ) y/$ = 't* x / = "µ t ) y /$ = ' t* + ) x + y " = µ $t + ' $t x + y " = ) δηλαδή η τροχιά του είναι έλλειψη, µε µεγάλο ηµιάξονα α και µικρό ηµιάξονα * Το διάνυσµα r έχει την φορά περιστροφής της επιβατικής ακτίνας r του σωµα τιδίου, όταν η γωνία φ που σχήµατίζει αυτή µε τον πολικό άξονα ΟΑ 0 αυξάνεται.

3 β, αφού α>β. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t δύο φορές τις εξισώσεις κί νησης, έχουµε: dx/dt = "$"t ) dy/dt = -"'µ"t * d x/dt = -" µ"t ) d y/dt = -$" '"t * ) Σχήµα H συνισταµένη δύναµη F επί του σωµατιδίου, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νέυτωνα είναι: F = m d x i + d y $ j " dt dt ) F = -m "µt i +$'t j ) ) F = m -" µ"t i - $" '"t j F = -m x i + " j ) = -m r 3) όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy αντιστοίχως, Από την 3) προκύπτει ότι η F είναι κεντρική δύναµη µε κέντρο την αρχή Ο των αξό νων. Στα σηµεία Α και Β της ελλειπτικής τροχιάς η F ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη, διότι στα σηµεία αυτά το διάνυσµα της ταχύτητας v του σωµατιδίου είναι κάθετο στο διάνυσµα της δύναµης F. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: και mv A R A mv B R B = F A mv A R A = F B mv B R B = m " R A = v A " = m " R B = v B " 4) 5) όπου R A, R B οι ακτίνες καµπυλότητας της τροχιάς στα σηµεία Α και Β αυτής. Όµως το µέτρο της ταχύτητας v ικανοποιεί την σχέση: v = dx/dt) + dy/dt) = " $ "t +" 'µ "t $ " y v = + x ' " ) 6) H 6) εφαρµοζόµενη για τα σηµεία Α και Β δίνει:

4 $ " 0 v A = + " ' $ " " ) = και v B = + 0' " ) = " οπότε οι σχέσεις 4) και 5) γράφονται: R A = " = " και R = " B " = " ii) H δύναµη F ως κεντρική δύναµη είναι συντηρητική, δηλαδή απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας Ur), η οποία ικανοποιεί την σχέση: F = - dur) dr 3) - m r = - dur) dr dur) = m rdr 7) Ολοκληρώνοντας την 7) παίρνουµε: Ur) = m r + C 8) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Το έργο W A, B της F για την µετατόπιση του υλικού σηµείου από Α σε Β είναι ίσο µε U B -U A ), δηλαδή ισχύει: 8) W A,B =- U B -U A )=U A - U B W A,B = m " $ m ) + C - ' $ + C ' W A,B = m " - ) P.M. fysikos Στο σύστηµα του σχήµατος 3) τα σφαιρίδια Σ και Σ έχουν αντίστοι χα βάρη w και w, η τροχαλία είναι σταθερή µε αµελητέα µάζα, το ελατήριο ιδανικό µε σταθερά k, το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας είναι αβαρές και µη εκτατό και δεν µπορεί να ολισθαί νει. Tο σύστηµα ισορροπεί µε συγκράτηση του σφαιριδίου Σ και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο. Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τις επιταχύνσεις των δύο σφαιριδίων. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Όταν το σύστηµα βρισκεται σε ισορροπία, µε συγκράτηση του βαρύτε ρου σφαιριδίου Σ, το ελατήριο είναι τεντωµένο από την φυσική του κατάσταση κατά x 0 =w/g. Aν αφήσουµε ελεύθερο το σφαιρίδιο Σ το σύστηµα τιθεται σε κί νηση και σε πρώτο στάδιο το Σ κινείται προς τα κάτω παρασύρωντας το Σ

5 προς τα πάνω. Ας εξετάσουµε το σύστηµα κατά µια τυχαία στιγµή που η απο µάκρυνση του σφαιριδίου Σ από την θέση ισορροπίας του Ο είναι x, η δε απο µάκρυνση του Σ από την θέση Ο, όπου εκρατείτο ακίνητο είναι x. Tην στιγ Σχήµα 3 µή αυτή το Σ δέχεται το βάρος του w και την δύναµη F από το παραµορφωµέ νο ελατήριο, ενώ το Σ δέχεται το βάρος του w και την τάση του νήµατος, η οποία είναι ίση µε F, διότι το νήµα είναι αβαρές, η δε τροχαλία θεωρείται µε αµελητέα µάζα. Εφαρµόζοντας για τα δύο σφαιρίδια τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: F - w = wa /g " w - F = wa /g όπου a, a oι αντίστοιχες επιταχύνσεις των δύο σφαιριδίων. Το µέτρο της F στην εξεταζόµενη θέση του συστήµατος δίνεται από την σχέση: F = kx 0 + x - x )= kx 0 + kx - x ) = w + kx - x ) ) οπότε οι σχέσεις ) γράφονται: ) w + kx - x ) - w = wa /g " w - w - kx - x ) = wa /g kx - x ) = wa /g w - kx - x ) = wa /g " 3) Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις 3) παίρνουµε: 3kx -x )-w=wa /g-wa /g 3kx -x )-w=- wa -a )/g

6 3kx -x )-w=- w g dx dt - dx $ " dt d x -x ) + 3kg dt w x -x )=wg w d x -x ) dt + x -x ) = g d y dt + y = g 4) όπου τέθηκε y=x -x και ω =3kg/w. Η 4) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξί σωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής y t)=g/ω. Εξάλλου η αντίστοιχη οµογενής εξίσωση της 4) δέχεται λύση της µορφής: y t) = Aµ "t + ) 5) όπου Α, φ σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιοριστούν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης του συστήµατος. Η γενική λύση της 4) είναι: yt) = y t) + y t) = g/ + A"µ t + ) 6) Παραγωγίζοντας την 6) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: dyt)/ dt = A"$t + ) 7) Όµως την χρονική στιγµή t=0 που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί ισχύει y=x -x =0 και dy/dt=dx -x )/dt= dx /dt-dx /dt=0, οπότε από τις 6) και 7) παίρνουµε τις σχέσεις: 0 = g/ + A"µ 0 = A$ ' ) Aµ" = - g/ $" = 0 ' ) A = - g/ " = / $ 8) Έτσι η σχέση 6) παίρνει την µορφή: yt) = g/ - g/ "µt + / ) yt) = x -x g -"$t ) = w 3k -"$t ) 9) Oι σχέσεις 3) µε βάση την 9) δίνουν: kw -"$t)/3k = wa /g w - kw -"$t)/3k = wa /g ' -"$t)/3 = a /g /3 +"$t/3 = a /g ' a = g 3 -"$t) και a = g +"$t) 0) 6 Οι σχέσεις 0) αποτελούν τις ζητούµενες σχέσεις. Παρατήρηση:

7 Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις 0) µπορούµε µε δύο αλλεπάλληλες ολοκληρώ σεις να καταλήξουµε στις εξισώσεις κίνησης x =f t) και x =f t) των σφαιριδίων Σ και Σ αντιστοίχως. Ας το επιχειρήσουµε για το σφαιρίδιο Σ, οπότε µε τον ίδιο τρόπο αντιµετωπίζεται η περίπτωση του σφαιριδίου Σ. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η ταχύτητα του Σ µεταβάλλεται κατά dv, θα έχουµε την σχέση: a = dv dt dv dt = g 3 -"$t) dv = g -"$t)dt ) 3 Mε ολοκλήρωση της ) παίρνουµε: v = g 3 -"$t)dt + C v = gt 3 - g 3 "$tdt ) + C v = gt 3 - gµ"t 3" + C ) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη κίνησης του σφαιριδίου Σ, δηλαδή από το γεγονός ότι για t=0 είναι v =0, οπότε προκύπτει C=0. Έτσι η ) γράφεται: v = gt 3 - gµ"t 3" dx dt =gt 3 -gµ"t 3" dx = gt 3 dt-gµ"t dt 3) 3" όπου dx η µεταβολή της αλγεβρικής τιµής της αποµάκρυνσης του Σ, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt. Ολοκληρώνοντας την 3) παίρνουµε: x = gt 6 - g 3 "µt dt + C' x = gt 6 - g 3 "µtdt) + C' x = gt 6 - g"$t 3$ + C' 4) Η σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι x =0, οπότε η 4) δίνει C =g/3ω µε αποτέλεσµα αυτή να γράφεται: x = gt 6 - g"$t + g 3$ 3$ x = gt 6 + g 3 - "$t ) P.M. fysikos Ένα όχηµα µάζας Μ φέρει ανακλαστήρα αποτελούµενο από οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k. Το όχηµα κινείται πάνω σε οριζόντιο

8 δρόµο µε σταθερή ταχύτητα v και κάποια στιγµή προσπίπτει επί κατακορύφου τοίχου, µε αποτέλεσµα το ελατήριο του ανακλαστήρα να συµπιέζεται κατά την διεύθυνση του άξονά του. Εάν στην διάρκει α της συµπίεσης του ελατηρίου οι τέσσερις τροχοί του οχήµατος κυλί ονται χωρίς ολίσθηση, να υπολογισθούν: i) ο χρόνος συµπίεσης του ελατηρίου και ii) η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου. Δίνεται η µάζα m κάθε τροχού και ότι η ροπή αδράνειας αυτού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι=mR /, όπου R η ακτίνα του τροχού. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το όχηµα χωρίς τον ανακλαστήρα) κατά µια τυχαία χρο νική στιγµή t που το ελατήριο έχει συµπιεστεί κατά x. Tην στιγµή αυτή το όχηµα δέχεται το βάρος του W, την δύναµη F " από το συµπιεσµένο ελατήριο και τις τέσσερις αντιδράσεις του εδάφους επί των τροχών του, οι οποίες αναλύ ονται στις στατικές τριβές T, T επί των µπροστινών και των οπίσθιων τροχών αντιστοίχως και στις αντίστοιχες κάθετες αντιδράσεις N και N. Οι στατικές τριβές πρέπει να έχουν την φορά που σηµειώνεται στο σχήµα 4), ώστε οι ροπές τους περί τον άξονα κάθε τροχού να προκαλεί την απαιτούµενη ελάττωση της Σχήµα 4 γωνιακής του ταχύτητας, ώστε να εξασφαλίζεται η επιβραδυνόµενη κύλιση των τροχών. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας του οχήµατος τον δεύτερο νόµο κί νησης του Νεύτωνα µε θετική φορά επί της διευθύνσεως κίνησής του την φορά του διανύσµατος x της µετατοπίσεώς του, παίρνουµε την σχέση: M d x dt = T + T - F M d x " dt = T + T - kx ) Εφαρµόζοντας για κάθε µπροστινό και κάθε οπίσθιο τροχό του οχήµατος τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις:

9 T R = I' " T R = I' $ T R = mr '/" T R = mr '/$ T = mr'/" T = mr'/$ όπου ' η κοινή γωνιακή επιβράδυνση των τεσσάρων τροχών, η οποία κατευθύ νεται όπως στο σχήµα 4), δηλαδή πρέπει να είναι αντίρροπη προς την γωνιακή ταχύτητα των τροχών. Εξάλλου λόγω της κύλισης των τροχών θα ισχύει ανάµεσα στο διάνυσµα a C της επιβράδυνσης του κέντρου µάζας και του διανύσ µατος ', η σχέση: 0 = a C + '" R ) όπου R η επιβατική ακτίνα των σηµείων επαφής του τροχού µε το έδαφος, ως προς το κέντρο του τροχού. Όµως τα διανύσµατα a C και '" R ) είναι αντίρ ροπα, που σηµαίνει ότι οι αλγεβρικές τους τιµές θα ικανοποιούν την σχέση: ) d x /dt = -'R µε αποτέλεσµα οι σχέσεις ) να δίνουν: T =T = - m d x dt 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) παίρνουµε: M d x dt = -m d x dt - kx M + m) d x dt + kx = 0 d x dt + k M + m x = 0 d x dt + x = 0 µε = k M + m 4) Η 4) αποτελεί µια διαφορική εξίσωση, ακριβώς όµοια µε την διαφορική εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή, που σηµαίνει ότι η µετατόπιση του κέντρου µάζας του οχήµατος στην διάρκεια που το ελατήριο συµπιέζεται µετα βάλλεται ηµιτονικά µε τον χρόνο, η δε ηµιτονική συνάρτηση που περιγράφει την µεταβολή αυτή παρουσιάζει περίοδο Τ, για την οποία ισχύει: T = " = M + m k 5) Ο ζητούµενος χρόνος t * συµπίεσης του ελατηρίου είναι Τ/4, δηλαδή ισχύει: t * = T 4 5) t * = M + m k 6) ii) Επειδή στην διάρκεια της συµπίεσης του ελατηρίου τα έργα των στατικών τριβών και των καθέτων αντιδράσεων είναι µηδενικά, η µηχανική ενέργεια του συστήµατος όχηµα-ελατήριο διατηρείται σταθερή, οπότε µπορούµε να γράψου µε την σχέση:

10 K " + U " = K $ + U $ Mv + 4 I + 0 = 0 + kx max Mv + 4 mr 4 = kx max Mv + mv = kx max M + m)v = kx max x max = v M + m k όπου x max η ζητούµενη µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου. P.M. fysikos Στo ένα άκρο Α οµογενούς και λεπτής ράβδου ΑΒ, µάζας m και µή κους L, έχει δεθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους α το οποίο είναι στερεοµένο σε ακλόνητο σηµείο Ο, µε αποτέλεσµα η ράβδος να κρέµεται ακίνητη και κατακόρυφη. i) Σε ποιό σηµείο της ράβδου πρέπει να εξασκηθεί κάθετα προς αυτήν µια ώθηση βραχείας διάρκειας και δεδοµένου µέτρου Ω, ώστε η ράβδος να αποκτήσει την µικρότερη δυνατή κινητική ενέργεια. Πόση είναι η ενέργεια αυτή; ii) Σε ποιό σηµείο της ράβδου πρέπει να εξασκηθεί η ανωτέρω ώθηση, ώστε το νήµα αµέσως µετά την δράση της να µείνει κατακόρυφο. Δίνε ται η ροπή αδράνειας Ι C =ml) / της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος σ αυτή. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι η ράβδος δέχεται επί βραχύ χρονικό διάστηµα Δt δύναµη F µε φορέα καθετο προς αυτήν, που απέχει από το πάνω άκρο της κατά x. Eάν v C είναι η ταχύτητα που θα αποκτήσει το κέντρο µάζας C της ράβδου στο τέλος του χρόνου Δt, τότε εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε: F t = m v C = m v C = mv C v C = / m ) Εξάλλου, εάν είναι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αµέσως µετά την δράση της δύναµης F, περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, τότε η στροφορµή L O) της ράβδου περί το σηµείο Ο, θα δίνεται από την σχέση: L O) = moc v C ) + L C) L O) = m + L)v C k + I C "

11 L O) = m + L)v C k + ml) " k $ L O) = m + L) " m + L 3 ' ) k ) όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας. Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα µεταβολής της στροφορµής κατά τον χρόνο Δt, παίρνουµε την σχέση: L O) - 0 = OM F )"t L O) = + x)f"t k = + x) k ) Σχήµα 5 $ m +L) " ' m +L ) k =+x)" k +L) " 3 m +L 3 =+x) " m L m + L " 3 = x m = 3x - L)" ml 3) Η κινητική ενέργεια Κ που αποκτά η ράβδος δίνεται από την σχέση: K = mv C + I C = mv C + ml). K = m " v C + L $ 3 ' 4) H 4) µε βάση τις σχέσεις ) και 3) γράφεται: K = m " m + 3 x - L) $ m L ' = " 3x - L) $ + m L ' 5) Aπό την 5) προκύπτει ότι για δεδοµένη τιµή του µέτρου της ώθησης η κινητι κή ενέργεια Κ αποκτά ελάχιστη τιµή, όταν συµβεί x=l, δηλαδή όταν η ώθηση ενεργήσει στο κέντρο µάζας της ράβδου. Η ελάχιστη τιµή της κινητικής ενέρ γειας, συµφωνα µε την 5) είναι:

12 K min = / m 6) ii) Για να µείνει το νήµα κατακόρυφο αµέσως µετά την δράση της δύναµης F πρέπει η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου να είναι στο τέλος του χρόνου Δt µηδενική, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του σηµείου αυτού λόγω της µεταφορι κής κίνησης της ράβδου πρέπει να είναι αντίθετη της ταχύτητάς του λόγω της περιστροφής της ράβδου, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: ),3) v C = L m = 3x - L)L ml x = 3L 4 P.M. fysikos Οµογενές υγρό περιέχεται σ ένα ισοδιαµετρικό σωλήνα σχήµατος V, του οποίου τα δύο σκέλη σχηµατίζουν µε τον ορίζοντα γωνίες φ και φ. Δηµιουργούµε µε την βοήθεια εµβόλου µια υψοµετρική διαφορά του υγρού στα δύο σκέλη του σωλήνα καί στη συνέχεια ελευθερώνου µε το υγρό από το έµβολο. Nα δείξετε µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας ότι, το υγρό θα εκτελέσει περιοδική κίνηση και να υπο λογίσετε την περίοδό της. Nα αµελήσετε την τριβή µεταξύ του υγρού και των τοιχωµάτων του σωλήνα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας και το µήκος L του υγρού στον σωλήνα. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε το υγρό κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που η στάθµη του στο δεξιό σκέλος β) του σωλήνα υπέρκειται της στάθµης ισορροπίας σ) κατά y ενώ στο αριστερό σκέλος α) βρίσκεται κάτω από την στάθµη αυτή κατα y. Λόγω της ασυµπιεστότητος του υγρού το µήκος της στήλης που υπέρκειται της στάθµης σ) είναι ίσο µε το µήκος της κενής στήλης που βρίσκεται κάτω από την στάθµη αυτή, δηλαδή ισχύει η σχέση: y/µ" = y'/µ" y'= yµ" /µ" ) Όµως στην διάρκεια της κίνησης του υγρού εντός του σωλήνα η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, οπότε λαµβάνοντας ως επίπεδο µηδενικής βαρυ τικής δυναµικής ενέργειας την στάθµη ισορροπίας του ύγρου, παίρνουµε την σχέση: y S g y y' + S g y' "µ "µ + SL v = C gy µ" + gy' µ" + Lv = C ) gy µ" + gy µ " µ" µ " + Lv = C

13 gy + gy µ" + Lv µ" µ " = C µ" + µ" $ µ " ' gy + Lv = C ) Σχήµα 6 όπου S το εµβαδόν διατοµής του σωλήνα, ρ η πυκνότητα του υγρού v το µέτρο της ταχύτητας κάθε µορίου του και C µια σταθερά, της οποίας η τιµή θα βρεθεί αν εφαρµόσουµε την σχέση ) την χρονική στιγµή t=0 που το υγρό αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Αν δεχθούµε ότι για t=0 είναι y=y 0, τότε η ) δίνει: $ µ" + µ" µ " ' gy = C οπότε η ) παίρνει την µορφή: $ µ" + µ" µ " ' gy + Lv = µ" + µ" $ µ " ' gy 0 v = g L $ µ" + µ" µ " ' y 0 - y ) 3) Αν θεωρήσουµε ένα επιφανειακό µόριο του υγρού στο σκέλος β), τότε µπορού µε για το µόριο αυτό να γράψουµε την σχέση: v = dy/µ" ) dt = dy µ" dt οπότε η 3) γράφεται: dy µ " $ dt ' = g L $ µ" + µ" µ " ' y 0 - y ) dy$ " dt = ' y 0 - y ) dy dt = ± y 0 - y dt = ± dy y 0 - y 4)

14 µε = g L "µ + "µ ) 5) H διαφορική εξίσωση 4) µε ολοκλήρωση δίνει: t = ± * dy y 0 - y + k = ± "µ $ y ' ) + k y 0 H σταθερα ολοκλήρωσης k θα βρεθεί εκ της αρχικής συνθήκης ότι για t=0 είναι y=y 0, οπότε θα έχουµε: Άρα y 0 = ± µ " 0 y + k k = µ " 0 = ) $ ' $ ' y 0 $ y t = ± "µ 0 ' ) * t ± " = ± µ y $ 0 ' * ) y 0 y 0 y 0 $ µ "t ± ' ) = ± y y = y y 0 "$t 6) 0 Η σχέση 6) δηλώνει ότι η κίνηση του υγρού µέσα στον σωλήνα είναι περιοδι κή, µε περίοδο Τ που ικανοποιεί την σχέση: T = " 5) T = " = gµ$ + µ$ )/ L = L gµ$ + µ$ ) P.M. fysikos Δύο λεπτές και όµοιες ράβδοι ΟΜ και ΜΑ, µάζας m και µήκους L, συνδέονται µε άρθρωση στο σηµείο Μ, ενώ η ΟΜ µπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Το σύστηµα των δύο ράβδων ισορροπεί µε τις ράβδους σε κατακόρυφη θέση και κάποια στιγµή εξασκείται στην κάτω ράβδο ορι ζόντια δύναµη βραχείας διάρκειας που αναγκάζει το σύστηµα να κι νείται σε κατακόρυφο επίπεδο. i) Nα αποδείξετε ότι κατά τον χρόνο δράσεως της δύναµης η µεταβο λή της στροφορµής της ράβδου ΜΑ περί το άκρο της Μ είναι µε καλή προσέγγιση ίση µε d) k, όπου η ώθηση της δύναµης για τον χρό νο δράσεώς της, d η απόσταση του φορέα της ώθησης από το Μ και k

15 το εις το σχήµα µοναδιαίο διάνυσµα, το κάθετο στο επίπεδο κίνησης των δύο ράβδων. ii) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την απόσταση d τις γωνιακές ταχύτητες των δύο ράβδων αµέσως µετά την δράση της δύναµης και να διερευνήσετε τις σχέσεις που θα βρείτε. Τι συµβαίνει όταν η δύνα µη ενεργεί στο άκρο Α ή στην άρθρωση Μ; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 κάθε ράβδου περί άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Ας εξετάσουµε το σύστηµα των δύο ράβδων στην διάρκεια του πολύ µικρού χρόνου Δt Δt 0) που ενεργεί η οριζόντια δύναµη F. Θα δεχθούµε, χωρίς αυτό να επηρεάζει την γενικότητα, ότι οι ράβδοι ΟΜ και ΜΑ αποκτούν στο τέλος του χρόνου Δt γωνιακές ταχύτητες, αντιστοίχως, οµόρροπες προς το µοναδιαίο διάνυσµα k σχήµα 7). Προφανώς η πάνω ράβδος ΟΜ εκτε λεί γνήσια περιστροφή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σταθερό άκρο Σχήµα 7 της Ο, ενώ η κάτω ράβδος ΜΑ εκτελεί επίπεδη κίνηση στο ίδιο επίπεδο µε την ράβδο ΟΜ. Έτσι η ταχύτητα v M του σηµείου Μ αµέσως µετά την δράση της F θα διευθύνεται κάθετα προς την ράβδο ΟΜ, δηλαδή θα είναι οριζόντια και θα συνδέεται µε την αντίστοιχη ταχύτητα v C του κέντρου µάζας C της ράβδου ΜΑ, µέσω της σχέσεως: v M = v C + " C M) v C = v M - " C M) ) H σχέση ) εξασφαλίζει ότι η ταχύτητα v C είναι οµόρροπη ή αντίρροπη της v M, δηλαδή είναι οριζόντια σχήµα 7). Αν τώρα αναφερθούµε στην στροφορµή L της ράβδου ΜΑ περί το Μ, αυτή κατα τον χρόνο Δt µεταβάλλεται κατά L και για την µεταβολή αυτή ισχύει η σχέση: L /t = " A ) + v M $m v C ) )

16 όπου " A ) η συνολική ροπή περί το Α όλων των δυνάµεων που ενεργούν επί της ράβδου κατά τον χρόνο Δt. Όµως το εξωτερικό γινόµενο v M m v C ) είναι µηδενικό, διότι οι ταχύτητες v M και v C είναι ή οµόρροπες ή αντίρροπες, οπό τε η σχέση ) γράφεται: L = " A )t L = Fd" k )t 3) όπου η ροπή του βάρους της ράβδου ΜΑ περί το Μ είναι σχεδόν µηδενική στην διάρκεια του χρόνου Δt. Όµως το γινόµενο FΔt αποτελεί το µέτρο της ώθησης, οπότε η 3) γράφεται: L = "d) k L = "d 4) ii) Εξάλλου για το µέτρο της µεταβολή L ισχύει: L = L - 0 = ml " + ml ) v C L = ml " + ml v M + " L = ml $ ' " + ml " L + " L 4) $ ' d = ml " + ml " + ml 4 " d = 4mL " + ml " d ml = " 3 + " 6d ml = 3" + " 5) Εάν L " είναι η µεταβολή της στροφορµής περί το ακίνητο σηµείο Ο, του συστήµατος των δύο ράβδων κατά τον χρόνο Δt, θα ισχύει: L " /t = $ O ) + v O m v C ) = $ O ) + 0 m v C ) = $ O ) L " = $ O )t L " = FL + d)t$ k L " = $L + d) 6) όπου " O ) η συνολική ροπή περί το Ο, όλων των δυνάµεων που ενεργούν επί των δύο ράβδων κατά τον χρόνο Δt, που είναι ίση µε την αντίστοιχη ροπή της F, διότι οι ροπές των βαρών των δύο ράβδων περί το Ο είναι περίπου µηδενι κές κατά τον χρόνο Δt. Εξάλλου για το µέτρο της µεταβολή L " ισχύει: L " = L " - 0 = ml 3 $ + ml $ + m 3L ) v C L " = ml 3 $ + ml $ + m 3L v + $ L ' M * )

17 L " = ml 3 $ + ml $ + m 3L $ L + $ L 6) ' * ) L + d) = ml 3 " + ml " + 3mL " + 3mL " 4 " L + d) = ml " $ ' + ml + 3 $ ' 4 L + d) = ml 6 " + 5mL " 6 6L + d) ml = " + 5" 7) Σχήµα 8 Σχήµα 9 Οι σχέσεις 5) και 7) αποτελούν ένα σύστηµα πρώτου βαθµού ως προς τις ποσό τητες ω και ω, η λύση του οποίου δίνει τελικώς: = 6" 7mL L - 3d) και = 6" 7mL 8d - 3L) 8) Από τις σχέσεις 8) προκύπτουν τα εξής: α) Εάν η δύναµη F ενεργεί στο άκρο Α της ράβδου ΜΑ, τότε d=l και οι σχέ σεις 8) δίνουν: = - 6" 7mL < 0 και = 30" 7mL > 0 δηλαδή στο τέλος του χρόνου Δt η ράβδος ΟΜ στρέφεται δεξιόστροφα και η ΜΑ αριστερόστροφα σχήµα 8). β) Εάν η δύναµη F ενεργεί στην άρθρωση Μ των δύο ράβδων, τότε d=0 και οι σχέσεις 8) δίνουν:

18 = " 7mL > 0 και = - 8" 7mL < 0 δηλαδή στην περίπτωση αυτή συµβαίνουν ακριβώς τα αντίθετα απ ότι προηγου µένως σχήµα 9). P.M. fysikos