όπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.

Transcript

1 Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) = U 0 - "x) όπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες. i) Nα δείξετε ότι υπάρχουν θέσεις ευσταθούς και ασταθούς ισορροπί ας του σωµατιδίου. ii) Eάν το σωµατίδιο αποµακρυνθεί ελαφρώς από µια θέση ευστα θούς ισορροπίας, να βρεθεί η περίοδος της ταλάντωσης που θα εκτε λέσει. ΛΥΣΗ: i) Αν υπάρχουν θέσεις ισορροπίας του σωµατιδίου πάνω στον άξονα x x, πρέπει στις θέσεις αυτές να µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της συνάρτη σης Ux), δηλαδή πρέπει να ισχύει: [ )] = 0 dux) dx = 0 d dx U - "x 0 U 0 "µx = 0 x = k" µε k = 0, ±, ±... ) Για την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης Ux) έχουµε: d Ux) d x = d dx U "µx 0 ) = U 0 x ) Σχήµα 8 Aπό την ) παρατηρούµε τα εξής: α. Αν k άρτιος τότε

2 d Ux) " d & x x= k' / = U 0 > 0 που σηµαίνει ότι στις θέσεις x=0, ±π/α, ±4π/α,... η Ux) παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, δηλαθή οι θέσεις αυτές είναι θέσεις ευσταθούς ισορροπίας του σωµα τιδίου. β. Αν k περιττός τότε d Ux) " d & x x= k' / = - U 0 < 0 δηλαδή στις θέσεις x=±π/α, ±3π/α,... η Ux) παρουσιάζει τοπικά µέγιστα, δήλα δη οι θέσεις αυτές είναι θέσεις ασταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου. Στο σχήµα 8) φαίνεται το διάγραµµα της συνάρτησης Ux) όπου απεικονίζονται οι θέσεις των τοπικών µεγίστων και ελαχίστων αυτής. ii) Θεωρούµε µια θέση x 0 ευσταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου και αναπτύσ σουµε κατά Taylor την συνάρτηση Ux) σε µια περιοχή του x 0, οπότε θα έχουµε: Ux) = Ux 0 ) + x - x 0 ) dux) " dx & + x - x 0) x=x 0 d Ux) " dx & +... x=x 0 Eάν η απόσταση x εγκλωβίζεται σε µια περιοχή του x 0 πολύ µικρού εύρους ε ε 0), δηλαδή εάν ισχύει x-x 0 ε, τότε η διαφορά x-x 0 είναι πολύ µικρή και µπορούµε να θεωρούµε τους όρους που περιέχουν την διαφορά αυτή σε δύναµη µεγαλύτερη του δύο αµελητέους, οπότε η πιο πάνω σχέση παίρνει την προσεγ γιστική µορφή: Ux) Ux 0 ) + x - x 0 ) " dux) dx ' & + x - x 0) x=x 0 Ux) U 0 -"x 0 ) + x-x 0 )U 0 &µ x 0 ) + x-x 0 ) Ux) U 0 -"k )+ x-x 0 )&U 0 'µ k ) + x-x 0 ) Ux) " U 0 x - x 0 ) = " U 0 " d Ux) dx ' & x=x 0 U 0 "x 0 ) & U 0 " k ) x - x 0 ) 3) H δύναµη F x) επί του σωµατιδίου, που απορρέει από την δυναµική ενέργεια Ux), υπόλογίζεται µέσω της σχέσεως:

3 F x) = - dux) dx i = - U 0 x - x 0 ) i 4) όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα x x. Eφαρµόζοντας για το σωµατίδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: m d x i ) = 4) F x) dt m d x i ) = - U dt 0 x - x 0 ) i d x - x 0 ) = - U 0 dt m x - x 0 ) d y dt + U 0 m y = 0 d y dt + y = 0 5) όπου τέθηκε x-x 0 =y και ω =α U 0 /m. H 5) αποτελεί την τυπική διαφορική εξίσωση ενός αρµονικού ταλαντωτή, δηλαδή αν το σωµατίδιο εκτραπεί πολύ λί γο από µια θέση ευσταθούς ισορροπίας και αφεθεί ελεύθερο θα εκτελεί περί την θέση αυτή αρµονική ταλάντωση µε περίοδο Τ που υπολογίζεται από την σχέση: T = " = U 0 / m = m U 0 P.M. fysikos Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται επί ενός άξονα x x υπό την επίδραση µιας δύναµης που ο φορέας της βρίσκεται στον άξονα, απορρέει δε από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) = U 0 e - x-x 0 ) - e - x-x 0 ) [ ] όπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου µε αρχή ένα σταθερό σηµείο Ο του άξονα - <x< +) και U 0, α, x 0 σταθερές θετικές ποσότητες. i) Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της Ux) και να δείξετε ότι η θέση x=x 0 αποτελεί θέση ευσταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου. ii) Εάν η ολική ενέργεια του σωµατιδίου είναι Ε=Ux 0 )/, να δείξετε ότι η κίνησή του είναι φραγµένη µέσα σε µια περιοχή του άξονα x x της οποίας να υπολογίσετε τα όρια. iii) Εάν το σωµατίδιο αφεθεί ελεύθερο στην αρχή Ο, να δείξετε ότι θα τεθεί σε κίνηση και ότι τελικά θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. Δίνεται ότι e 0. ΛΥΣΗ: i) Για την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας Ux) παρατηρούµε τα εξής:

4 α. U0) = U 0 e x 0 - e x 0 ) = U 0 e x 0 e - ) > 0 β. lim Ux) +" και x -" lim Ux) 0 x +" γ. Εάν η συνάρτηση Ux) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, τότε σε κάθε θέση ακρο τάτου η πρώτη παράγωγός της θα είναι µηδέν, δηλαδή θα ισχύει: dux) dx = 0 U 0 d ) - e - x-x 0 ) [ ] = 0 dx e- x-x 0 -e - x-x 0 ) + e - x-x 0 ) = 0 x = x 0 Η δεύτερη παράγωγος της Ux) στην θέση x=x 0 είναι: d Ux) " dx & = U 0 4' e -' x-x0 ) - ' e -' x-x 0 ) [ ] = ' U 0 > 0 x= x0 x= x 0 Σχήµα 9 που σηµαίνει ότι η Ux) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στην θέση x=x 0, του οποί ου η τιµή είναι: U min = U 0 e - x 0 -x 0 ) - e - x 0 -x 0 ) [ ] = -U 0 < 0 ) Άρα η θέση x=x 0 αποτελεί θέση ευταθούς ισορροπίας του σωµατιδίου. Με βάση όλα τα παραπάνω η γραφική παράσταση της Ux) έχει περίπου την µορφή που φαίνεται στο σχήµα 9). ii) Eάν η ολική µηχανική ενέργεια Ε του σωµατιδίου είναι U mim /, τότε εκ της γραφικής παράστασης προκύπτει ότι υπάρχουν δύο θέσεις αυτού x, x στις οποίες η κινητική του ενέργεια µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι η κίνησή του επί του άξονα x x εγκλωβίζεται µεταξύ των δύο αυτών θέσεων. Οι θέσεις αυτές εί ναι ρίζες της εξίσωσης:

5 = U 0 e- x-x 0 ) - e - x-x 0 ) [ ] - U 0 = U 0 e- x-x 0 ) - e - x-x 0 ) [ ] U min - = e - x-x 0 ) - 4e - x-x 0 ) - = z - 4z z - 4z + = 0 ) όπου τέθηκε z = e - x-x 0 ). Η ) είναι εξίσωση δεύτερου βάθµου ως προς z και οι ρίζες της είναι z = ± /, οπότε θα έχουµε: e - x -x 0 ) ) e - x -x 0 = + / " = - / ) = ln + / ) = ln - / - x - x 0 - x - x 0 ) ) " ) / ) / x = x 0 - ln + / x = x 0 - ln - / " 3) µε x 0 > ln + / ) /. iii) Στην θέση x=0 η δύναµη F 0 επί του σωµατιδίου, που απορρέει από την συνάρτηση Ux), είναι: F 0 = - dux) " dx & x=0 i = U 0 'e -' x-x 0 ) - 'e -' x-x 0 ) [ ] i x=0 F 0 = U 0 e x 0 - ex 0 ) i = U 0 e x 0 e - ) i 4) όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα x x. Aπό την 4) παρατηρούµε ότι την στιγµή που το σωµατίδιο αφήνεται ελεύθερο στην θέση x=0 η δύναµη που δέχεται έχει την θετική κατεύθυνση του άξονα x x, δηλαδή θα τεθεί σε κίνηση προς τα θετικά x. Kαθώς θα αυξάνεται το x η δύναµη F x) θα µειώνεται και για x + η δυναµή θα τείνει στο µηδέν, οπότε και η επιτάχυνσή του θα τεί νει στο µηδέν, δηλαδή αποκτά τελικώς σταθερή ταχύτητα v οριακή ταχύτη τα) που µπορεί να υπολογιστεί µε εφαρµογή του θεωρήµατος διατήρησης της µηχανικής ενέργειας κατά την κίνηση του σωµατιδίου από την θέση x=0 στο άπειρο. Έτσι θα έχουµε την σχέση: U0) + K0) = U) + K) U0) + 0 = 0 + K) U 0 e x 0 e - ) = mv " / v = U 0 e "x 0 e - ) / m P.M. fysikos Εντός κεντρικού πεδίου δυνάµεων η τροχιά σε πο λικές συντεταγµένες r,φ) µιας σηµειακής µάζας m έχει την µορφή:

6 r = + e" a) όπου r η απόσταση της µάζας από το σταθερό κέντρο Ο εκ του οποίου εκπορεύεται η δύναµη, φ η πολική της γωνία και, e θετικές σταθε ρές ποσότητες. i) Nα δείξετε ότι η δύναµη είναι ελκτική και ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης r. ii) Στην περίπτωση που η τροχιά της σηµειακής µάζας είναι παραβο λή και η στροφορµή της περί το ελκτικό κέντρο Ο έχει µέτρο L, να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητάς της την στιγµή που η πολική γωνία της µάζας είναι π/. ΛΥΣΗ: i) Από την θεωρία των κεντρικών κινήσεων είναι γνωστό ότι η διαφορική εξίσωση * της τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες r, φ) υλικού σηµεί ου που δέχεται κεντρική δύναµη F r) έχει την µορφή: d u d + u = - m Fr) ) L u όπου m η µάζα του υλικού σηµείου, L η σταθερή στροφορµή του περί το κέντρο Ο της δύναµης και u=/r. Στην περίπτωση που η τροχιά του υλικού σηµείου εντός κεντρικού πεδίου δυνάµεων έχει την µορφή κωνικής τοµής, δηλαδή περιγράφεται από την εξίσωση a) θα έχουµε: r = + e" u = + e" du d = -e"µ d u d = -e" ) Όµως από την a) προκύπτει ακόµη η σχέση: u = + e" e" = u - οπότε η ) γράφεται: d u d = -u + = -u 3) Συνδυάζοντας την ) µε την 3) παίρνουµε: * Bλέπε ανάρτηση ΘΕΜΑ 6ο) htt://mfysikos.wordress.com/0//04/οκτω-λυµενα-θεµατα-για-σπουδαστεσ-φυσ/

7 -u + u = - m L u Fr) = - mr Fr) L Fr) = - L m r Fr) = - k r 4) µε k=l /m. H σχέση 4) δήλώνει ότι η κεντρική δύναµη F r) είναι ελκτική και ακολουθεί τον νόµο του αντιστροφου τετραγώνου της απόστασης r από το ελκτικό κέντρο. ii) Στην περίπτωση που η τροχιά του υλικού σηµείου είναι παραβολή µε την εστία της να συµπίπτει µε το ελκτικό κέντρο Ο, τότε θα είναι e= το δε πλησι έστερο προς το Ο σηµείο της Α θα απέχει απόσταση r 0 για την οποία ισχύει: r 0 = + "0 0 = Εξάλλου το διάνυσµα της ταχύτητας v 0 του υλικού σηµείου στην θέση Α είναι κάθετο στην αντίστοιχη επιβατική ακτίνα OA και θα ισχύει: 5) 5) L = mv 0 OA = mv 0 r 0 v 0 = L /mr 0 v 0 = L /m 6) Η µηχανική ενέργεια Ε του υλικού σηµείου θα διατηρείται σταθερή και ίση µε το άθροισµα Κ Α +U A, δηλαδή θα ισχύει: E = K A + U A = mv 0 - k 5),6) r 0 E = m L & " m L - " m & = 0 7) Σχήµα 0 Επειδή και η µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου στην θέση Μ µε πολική γωνία π/, είναι µηδενική, θα έχουµε: 0 = K M + U M = mv M - k v r M = M k mr M = L m mr M

8 v M = L m + "/) = L m όπου v M η ταχύτητα του υλικού σηµείου στο σηµείο Μ. P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m εκτελεί επίπεδη κίνηση υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης F, η δε τροχιά του σε πολικές συντεταγµένες r, φ) περιγράφεται από την σχέση: r = e k" όπου α, k σταθερες θετικές ποσότητες µε k> 3. i) Εάν L είναι η σταθερή στροφορµή της µάζας m περί το το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη, να βρεθεί η σχέση που περιγρά φει την δύναµη. ii) Kάποια στιγµή που η ταχύτητα του υλικού σηµείου είναι κάθετη στον πολικό άξονα και η απόστασή του από το κέντρο της δύναµης r 0 δέχεται ώθηση βραχείας διάρκειας που µηδενίζει την ακτινική του ταχύτητα και διπλασιάζει την εγκάρσια ταχύτητά του. Να βρεθεί η εξίσωση που καθορίζει την νέα τροχιά του. ΛΥΣΗ: i) Από την θεωρία των κεντρικών κινήσεων είναι γνωστό ότι η διαφο ρική εξίσωση* της τροχιάς υλικού σηµείου που βρίσκεται σε κεντρικό πεδίο δυ νάµεων, έχει την µορφή: d u d + u = - m Fr) ) L u όπου m η µάζα του υλικού σηµείου, L η στροφορµή του περί το κέντρο Ο της δύναµης F r) και u=/r. Στην περίπτωση που η τροχιά του υλικού σηµείου εντός του κεντρικού πεδίου δυνάµεων περιγράφεται σε πολικές συντεταγµένες r,φ) από την εξίσωση r = e k" θα έχουµε: r = e u = e- k k" " du d = - ke- k " = - k r d u d = k e - k = k " r * Bλέπε ανάρτηση ΘΕΜΑ 6ο) ) htt://mfysikos.wordress.com/0//04/οκτω-λυµενα-θεµατα-για-σπουδαστεσ-φυσ/

9 Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: k r + r = - mr L Fr) k + = - mr3 L Fr) Fr) = - k + )L m r 3 3) H σχέση 3) δήλώνει ότι η κεντρική δύναµη F r) είναι ελκτική και ακολουθεί τον νόµο του αντίστροφου κύβου της απόστασης r από το ελκτικό κέντρο. ii) Θεωρώντας ως αρχή του χρόνου την στιγµή που το υλικό σηµείο δέχεται την ώθηση, µπορούµε να θεωρήσουµε µηδενική την πολική του γωνία την στιγ µή αυτή, ενώ r 0 θα είναι η αντίστοιχη πολική του ακτίνα. Επειδή µέσω της ώθησης διπλάσιάζεται η εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητάς του θα διπλασιάζε ται και η στροφορµή του περί το Ο, oπότε η διαφορική εξίσωση της νέας του τροχιάς σε πολικές συντεταγµένες θα έχει την µορφή: d 3) u d + u = - m 4L u Fr) ) d u d + u = k + 4 r d u d + u = mr 4L d u d + u = k + )u 4 k + )L m r 3 d u d - " k ' & u = 0 d u d - " u = 0 4) µε = k - 3)/4 > 0. Η 4) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και δέχεται λύση της µορφής: u = C e -" + C e " 5) όπου C, C σταθερές ολοκλήρωσης που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του υλικού σηµείου. Παραγωγίζοντας την 5) ως προς φ, έχουµε: du d = -"C e-" + "C e " du dt dt d = -"C e-" + "C e " ) - r dr d & = d' dt " r dt -C e-' +C e ' ) 6) dt =d dt -"C e -" +"C e " H 5) την χρονική στιγµή t=0 φ=0) δίνει: /r 0 = C + C 7) η δε 6) την ίδια χρονική στιγµή dr/dt=0, dφ/dt 0) δίνει:

10 " 0 = d ' dt& = 0 7) -C + C ) C = C C = C = /r 0 8) Mε βάση την 8) η 5) γράφεται: r = e-" + e " r 0 = cosh") r 0 r = r 0 cosh") 9) Σχήµα Σχήµα H 9) αποτελεί την εξίσωση της τροχιάς που θα ακολουθήσει το υλικό σηµείο µετά την ώθηση που θα δεκτεί. Στα σχήµατα ) και ) φαίνονται οι µορφές της τροχιάς του υλικού σηµείου πριν και µετά την ώθηση αντιστοίχως. P.M. fysikos Δύο σωµατίδια της ίδιας µάζας m, συνδέονται µετα ξύ τους µε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και αµελητέου φυσικού µή κους. Τα δύο σωµατίδια βρίσκονται αρχικά στις θέσεις A α, 0, 0), Α -α, 0, 0) και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες v,0 =V j, v,0 = 0 όπου α, V θετικές σταθερές ποσότητες και j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα y τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Ο,xyz. i) Nα βρείτε την µορφή της σχετικής τροχιάς του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο και στην συνέχεια τις εξισώσεις κίνησης των δύο σωµα τιδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους και στο Ο,xyz. ii) Mε κατάλληλο µηχανισµό τηλεχειρισµού µπορούµε να αλλάξουµε ακαριαία την σταθερά του ελατηρίου όσο θέλουµε, χωρίς να αλλάξου µε την θέση και την στροφορµή του συστήµατος περί το κέντρο µά ζας τους. Ποια στιγµή πρέπει να ενεργοποιήσουµε τον µηχανισµό, ώστε στην συνέχεια η απόσταση των δύο σωµατιδίων να διατηρείται σταθερή; Ποιες είναι οι δυνατές τιµές της σταθερής αυτής απόστασης και πόσο πρέπει να µεταβληθεί η σταθερά k; ΛΥΣΗ: i) H σχετική κινηση του ενός σωµατιδίου π.χ του Σ ) ως προς το άλλο δηλαδή το Σ ) είναι ισοδύναµη µε την κίνηση ενός υποθετικού σωµατιδίου µάζας ίσης προς την ανηγµένη µάζα µ=m/ του συστήµατος, αν σ αυτό ενερ

11 γούσε η αντίστοιχη δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο. Επειδή η δύναµη F είναι κεντρική µε κατευθυνση προς το Α η κίνηση της ανηγµένης µάζας είναι επίπεδη µε επίπεδο κίνησης xy, που ταυτίζεται µε το επίπεδο που καθορί Σχήµα 3 ζει το διάνυσµα της ταχύτητας V και του διανύσµατος θέσεως A A της ανηγ µένης µάζας µ την στιγµή t=0. Εφαρµόζοντας για την ανηγµένη µάζα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: µ d r dt = F m d r dt d r dt + r = 0 µε = k m = -k r d r dt + k m r = 0 όπου r το σχετικό διάνυσµα θέσεως της ανηγµένης µάζας ως προς το Σ την τυχαία χρονική στιγµή t σχ. 3). Η ) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: r = C µ"t + C "t ) όπου C, C σταθερά διανύσµατα, που θα προσδιορισθουν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης της ανηγµένης µάζας. Παραγωγίζοντας την ) ως προς τον χρό νο t παίρνουµε την ταχύτητα v " της ανηγµένης µάζας, δηλαδή την σχετική ταχύτητα του Α ως προς το Α την χρονική στιγµή t. Έτσι θα έχουµε: v " = d r / dt = C t - C &µt 3) ) Για t=0 οι σχέσεις ) και 3) δίνουν: i = C V j = " C C = V j / C = " i 4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 4) παίρνουµε:

12 r = Vµ"t j /" + &"t i 5) Εξάλλου το κέντρο µάζας C των δύο σωµατιδίων, συµφωνα µε το θεώρηµα κίνη σης του κέντρου µάζας, έχει στο σύστηµα αναφοράς Ο,xyz µηδενική επιτάχυν ση την δε χρονική στιγµή t=0 βρίσκεται στην αρχή Ο του συστήµατος r = 0 ) και έχει ταχύτητα v C = V + 0 )/, δηλαδή το κέντρο µάζας κινείται πάνω τον άξονα y µε σταθερή ταχύτητα v C = V /, που σηµαίνει ότι το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας είναι ένα αδρανειακό σύστηµα. Εξετάζοντας τα δύο σωµατίδια στο σύστηµα αυτό παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα θέσεώς τους ως προς το κέν τρο µάζας είναι: r = r / r = - r / " 5) r = "t i + V &µt / ) j r = -"t i - V &µt / j ) ') *) 6) Εάν x, y ), x, y ) είναι οι καρτεσιανές συντεταγµένες των σωµατιδίων Α, Α αντιστοίχως στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους θά έχουµε: x = "t, y = V&µt / x = -"t, y = -V&µt / ' ) x = " t, y = V / x = " t, y = V / ) &µ t ) &µ t ' ) *) Σχήµα 4 Σχήµα 5 x / = " t, y / V / x / = " t, y / V / ) = &µ t ) = &µ t ' ) *) ) = ) = x / + y / V / " x / + y / V / " & 7)

13 Οι σχέσεις 7) δηλώνουν ότι τα δύο σωµατίδια στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους κινούνται πάνω στην ίδια ελλειπτική τροχιά που έχει κέντρο το C και ηµιάξονες α και V/ω σχ. 4). Εξάλου εάν R, R είναι τα διανύς µατα θέσεως των σωµατιδίων Α, Α ως προς το σύστηµα αναφοράς Ο,xyz και R C το αντίστοιχο διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας C σχ. 5), θα έχουµε τις σχέσεις: R = R C + r / R = R C - r / " 6) R = Vt j / + "t i + V / ) &µt j R = Vt j / - "t i - V / )&µt j Οι σχέσεις 8) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης των δύο σωµατίδιων στο σύστη µα αναφοράς Ο,xyz. ii) Για να µένει σταθερή η απόσταση ανάµεσα στα δύο σωµατίδια καθώς αυτά θα κινούνται υπό την επίδραση των ελαστικών δυνάµεων από το ελατήριο που τα συνδέει, πρέπει η ελλειπτική τροχιά τους στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους να µετατραπεί σε κυκλική τροχιά. Τότε όµως η ελαστική δύναµη θα αποτελεί διαρκώς κεντροµόλο δύναµη για κάθε σωµατίδιο, δηλαδή πρέπει κάθε στιγµή ο φορέας της να είναι κάθετος στην σχετική του ταχύτητα. Άρα η αλλαγή της σταθεράς του ελατηρίου µε τηλεχειρισµό πρέπει να επιχει ρηθεί ή την στιγµή που τα σωµατίδια βρισκονται στις θέσεις α, α ή στις στις θέσεις β, β σχ. 4). Αυτό σηµαίνει ότι η απόσταση των δύο σωµατιδίων µπορεί να είναι ή α ή V/ω. Στην πρώτη περίπτωση θα ισχύει για το σωµατίδιο, όταν αυτό βρίσκεται στην θέση α η σχέση: mv / = k m V / ) = k k = mv /8 9) όπου k η νέα σταθερά του ελατηρίου και v η σχετική του ταχύτητα στην θέση α ίση µε V / λόγω της αρχής διατήρησης της στροφορµής του περί το κέντρο µάζας C. Στην δεύτερη περίπτωση θα ισχύει για το ίδιο σωµατίδιο όταν αυτό βρίσκεται στην θέση β η σχέση: mv V / = k V k = mv 0) V όπου k η νέα σταθερά του ελατηρίου και v η σχετική του ταχύτητα στην θέση β. Όµως λόγω διατήρησης της στροφορµής του σωµατιδίου περί το κέντρο µά ζας C θα ισχύει και η σχέση: mv V / = mv" / v = " οπότε η 0) γράφεται: ') *) 8) k = m " V = k / m ) m" V = 8k " mv P.M. fysikos